Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo
54 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226
Hướng dẫn học
Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:
Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia
thảo luận trên diễn đàn.
Đọc tài liệu:
1. Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại
học KTQD, 2012.
2. Bộ môn toán cơ bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB
Thống kê.
3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB
Giáo dục.
4. Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Thir
d
edition, Mc. Graw–Hill, Inc.
5. Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S,
2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts,
London, England.
Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc
qua email.
Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học.
Nội dung
Phép nhân ma trận với ma trận;
Ma trận nghịch đảo;
Ứng dụng của ma trận nghịch đảo.
Mục tiêu
Sinh viên nắm được định nghĩa phép hệ phương trình Cramer.
Hiểu và áp dụng thành thạo việc giải hệ phương trình Cramer theo hai phương pháp:
Phương pháp ma trận nghịch đảo và phương pháp Cramer.
Nắm được mô hình cân bằng thị trường. Áp dụng được vào bài tập.
Nắm được mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô và áp dụng được vào các bài tập liên quan.
BÀI 5 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo
TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 55
Tình huống dẫn nhập
Tính doanh thu của một cửa hàng
Một cửa hàng gạo chuyên kinh doanh ba mặt hàng: gạo Bắc Hương, gạo Tám Điện Biên và gạo
Tám Thái Lan với giá tương ứng là 18.000 đồng/1kg; 20.000 đồng/1kg và 19.000 đồng/1kg.
Trong 3 tháng đầu năm, cửa hàng bán được số lượng cụ thể như sau:
Đơn vị: kg
Tháng
Loại gạo 1 2 3
Bắc Hương 345 340 350
Tám Điện Biên 315 330 370
Tám Thái Lan 430 425 425
Hãy sử dụng ma trận, tính doanh thu của cửa hàng trong từng tháng.
Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo
56 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226
5.1. Phép nhân ma trận với ma trận
5.1.1. Định nghĩa phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận:
11 12 1p
11 12 1n
21 22 2p
21 22 2n
n1 n2 np
m1 m1 mn
b
b...a
aa...a
b
b...a
aa...a
A = , B = ... ... ... ...
... ... ... ...
b
b...a
aa...a






Trong đó ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B.
Định nghĩa: Tích của ma trận A và ma trận B là một ma trận cấp m×p, ký hiệu là AB
và được xác định như sau
11 12 1p
21 22 2p
m1 m2 mp
cc...c
cc...c
AB = ... ... ... ...
cc...c







Trong đó:
cij = ailblj + ai2b2j + … + ainbnj
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p)
Để thực hiện phép nhân ma trận với ma trận theo định nghĩa trên bạn cần lưu ý mấy
điểm sau đây:
Tồn tại tích AB khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước (ma trận A) bằng số dòng
của ma trận đứng sau (ma trận B);
Cấp của ma trận AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận
A và số cột bằng số cột của ma trận B.
Tính các phân tử của ma trận AB; Phần tử cij thuộc dòng i và cột j của ma trận AB là
tích của dòng thứ i của ma trận A với cột thứ j của ma trận B theo quy tắc nhân một
dòng với một cột như sau:
1
2
12 n 11 22 nn
n
y
y
[x x ... x ] = x y + x y + + x y
y






Ví dụ 1: Cho 2 ma trận
31 2 0 2 5 1
A = 2 5 4 , B = 1 3 0 1
10 3 5 1 4 1







Trong trường hợp này tích AB có nghĩa vì số cột của A và số dòng của B cùng 3,
nhưng tích BA không có nghĩa vì số cột của B (ma trận đứng trước) bằng 4, trong khi
số dòng của A (ma trận đứng sau) bằng 3.
Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo
TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 57
Ma trận AB là một ma trận cấp 3×4:
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
cccc
AB = c c c c
cccc





Để tính các phần tử thuộc dòng thứ nhất của AB ta lấy dòng thứ nhất của A nhân lần
lượt với các cột của B theo quy tắc nhân một dòng với một cột:

11
0
c = 3 1 2 1 = 3.0 + 1.1 + ( 2).( 5) = 11
5







12
2
c = 3 1 2 3 = 3.2 + 1.3 + ( 2).( 1) = 11
1







13
5
c = 3 1 2 0 = 3.( 5) + 1.0 + ( 2).4 = 23
4







14
1
c = 3 1 2 1 = 3.1 + 1.( 1) + ( 2).1 = 0
1






Để tính các phần tử thuộc dòng thứ hai của AB ta lấy dòng thứ hai của A nhân lần
lượt với các cột của B:
21
22
23
24
c = 2.0 + 5.1 + 4.( 5) = 15
c = 2.2 + 5.3 + 4.( 1) = 15
c = 2.( 5) + 5.0 + 4.4 = 6
c = 2.1 + 5.( 1) + 4.1 = 1
Để tính các phần tử thuộc dòng thứ ba của AB ta lấy dòng thứ ba của A nhân lần lượt
với các cột của B
31
32
33
34
c = ( 1).0 + 0.1 + ( 3).( 5) = 15
c = ( 1).2 + 0.3 + ( 3).( 1) = 1
c = ( 1).( 5) + 0.0 + ( 3).4 = 7
c = ( 1).1 + 0.( 1) + ( 3).1= 4




Kết quả là:
11 11 23 0
AB = 15 15 6 1
15 1 7 4





Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo
58 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226
Ví dụ 2: Cho 2 ma trận:
211 120
A = 0 8 5 , B = 4 7 1
562 521






Hai ma trận đã cho là hai ma trận vuông cấp 3. Theo quy tắc nhân ma trận thì AB và
BA cũng có nghĩa và cả hai tích đó đều là ma trận vuông cấp 3. Bạn hãy tự tính toán
các phần tử của các ma trận tích và đối chiếu với các kết quả sau đây:
3130 2159
AB = 7 66 3 , BA = 2 66 41 .
19 36 4 5 5 3







Chú ý: Trong phạm vi các ma trận vuông cùng cấp ta có thể nhân hai ma trận bất kỳ
và tích của hai ma trận vuông cấp n là một ma trận vuông cấp n. Tuy nhiên, ngay cả
trong phạm vi các ma trân vuông cùng cấp phép nhân ma trận không có tính chất giao
hoán (ví dụ trên là một trường hợp AB ≠ BA).
5.1.2. Các tính chất cơ bản của phép nhân hai ma trận
Phép nhân ma trận với ma trận có các tính chất cơ bản sau đây. Chúng tôi bỏ qua phần
chứng minh. Bạn cần đọc kỹ để hiểu chính xác nội dung của các tính chất đó.
(1) Tính chất kết hợp:
(AB)C = A(BC)
Trong đó A, B, C là ba ma trận bất kỳ thỏa mãn điều kiện: số cột của A bằng số
dòng của B và số cột B bằng số dòng của C. Do phép nhân có tính chất kết hợp,
khi viết tích của ba hoặc nhiều ma trận ta có thể bỏ các dấu ngoặc.
(2) Tính chất phân phối của phép nhân hai ma trận đối với phép cộng:
A(B + C) = AB + AC, (B + C)D = BD + CD
Trong đó B và C là hai ma trận cùng cấp có số dòng bằng số cột của ma trận A và
số cột bằng số dòng của ma trận D.
(3) Với A, B là hai ma trận sao cho tích AB có nghĩa và α là một số bất kỳ ta luôn có:
α(AB) = (αA)B = A(αB)
Tính chất này cho ta một quy tắc: Khi nhân một số với tích của hai ma trận ta có
thể nhân số đó với một trong hai ma trận đó.
(4) Tính chất nhân với ma trận đơn vị
AE = A, EB = B
Đặc biệt, trong tập hợp các ma trận vuông cùng cấp ta luôn có:
AE = EA = A
(5) Ma trận chuyển vị của ma trận AB (khi tích AB có nghĩa) bằng tích của ma trận
chuyển vị của B với ma trận chuyển vị của A:
(AB)’ = B’A’
(6) Định thức của tích các ma trận vuông cùng cấp bằng tích các định thức của chúng:
AB = A . B