Bμi gi¶ng VËt lý ®¹i c−¬ng

T¸c gi¶: PGS. TS §ç Ngäc UÊn

ViÖn VËt lý kü thuËt

Tr−êng §H B¸ch khoa Hμ néi

Ch−¬ng 2 ThuyÕt t−¬ng ®èi hÑp Einstein (Anhxtanh)

Albert Einstein

y’

M

rr

'rr

O

=

x’

x

O’

d dt

d 'dt z

= r v

1. Tæng hîp vËn tèc vμ gia tèc r += r y 'oo 'r r r r rd 'rd 'ood + dt dt dt r r V'v +=⇒

Vt¬ vtèc trong hqc O

vr

z’ 'vr Vt¬ vtèc trong hqc O’ r Vt¬ vtèc O’ ®èi víi O V VÐc t¬ vËn tèc cña chÊt ®iÓm ®èi víi hÖ qchiÕu O b»ng tæng hîp vÐc t¬ vtèc cña chÊt ®iÓm ®ã ®èi víi hÖ qc O’ch®éng tÞnh tiÕn ®víi hÖ qc O vμ vt¬ vtèc tÞnh tiÕn cña hÖ qc O’ ®èi víi hÖ qc O

=

+

r r A'a

r a

+=⇒

Vd dt

r vd dt

r 'vd dt

a Vt¬ gia tèc M trong hqc O

a’ Vt¬ gia tèc M trong hqc O’

A Vt¬ gia tèc O’ ®èi víi hqc O

VÐc t¬ gia tèc cña chÊt ®iÓm ®èi víi mét hÖ qchiÕu O b»ng tæng hîp vÐc t¬ gia tèc cña chÊt ®iÓm ®ã ®èi víi hÖ qc O’chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn ®èi víi hÖ qc O vμ vt¬ gia tèc tÞnh tiÕn cña hÖ qc O’ ®èi víi hÖ qc O

am

r

Galilª

2. Nguyªn lý t−¬ng ®èi Galilª r r = HÖ qui chiÕu qu¸n tÝnh: F NÕu O’ chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu r = r 'amam ®èi víi O th× A=0 r r am'am F = =

O’còng lμ hqc qu¸n tÝnh

Mäi hÖ qui chiÕu chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu víi hqc qu¸n tÝnh còng lμ hqc qu¸n tÝnh. C¸c ®Þnh luËt Niu t¬n nghiÖm ®óng trong mäi hÖ qui chiÕu chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu ®èi víi hqc qu¸n tÝnh

C¸c ph−¬ng tr×nh ®éng lùc häc trong c¸c hÖ qui chiÕu qu¸n tÝnh cã d¹ng nh− nhau.

C¸c ph−¬ng tr×nh c¬ häc bÊt biÕn ®èi víi phÐp biÕn ®æi Galilª

3. ThuyÕt t−¬ng ®èi hÑp cña Anhxtanh 3.1. Kh¸i niÖm më ®Çu: C¬ häc Niut¬n h×nh thμnh quan niÖm vÒ kh«ng gian, thêi gian vμ vËt chÊt kh«ng phô thuéc vμo chuyÓn ®éng (v< M©u thuÉn c¬ häc Niut¬n => X©y dùng m«n c¬ häc tæng qu¸t h¬n: C¬ häc t−¬ng ®èi tÝnh

3.2. C¸c tiÒn ®Ò Anhxtanh: (cid:1) Nguyªn lý t−¬ng ®èi: Mäi ®Þnh luËt vËt lý ®Òu nh− nhau trong c¸c hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh

(cid:3) Nguyªn lý vÒ sù bÊt biÕn cña vËn tèc ¸nh s¸ng:VËn tèc ¸nh s¸ng trong ch©n kh«ng ®Òu b»ng nhau ®èi víi mäi hÖ qu¸n tÝnh. Nã cã gi¸ trÞ b»ng c=3.108m/s vμ lμ gi¸ trÞ cùc ®¹i trong tù nhiªn.(kh¸c CH Niut¬n) CH Niut¬n: C¸c ®Þnh luËt c¬ häc

T−¬ng t¸c tøc thêi (vËn tèc truyÒn

t−¬ng t¸c lμ ∞

3.3. §éng häc t−¬ng ®èi tÝnh - PhÐp biÕn ®æi Lorentz

3.3.1. Sù m©u thuÉn cña phÐp biÕn ®æi Galilª víi thuyÕt t−¬ng ®èi Anhxtanh

y’

K’

K

y

x’

O’

A B C

O

x

z’

z

PhÐp biÕn ®æi Galilª

t=t’; v=v’+V l=x2-x1=x2’- x1’=l’ ¸p dông cho hai hÖ K vμ K’: O’ chuyÓn ®éng víi V Trªn O’ Cã A, B, C

¸nh s¸ng ph¸t ra tõ B: Tíi A víi v=c+V Tíi C víi v=c-V => Tr¸i víi tiÒn ®Ò thø 2 cña Anhxtanh PhÐp biÕn ®æi Galilª kh«ng phï hîp cho chuyÓn ®éng cã vËn tèc cì vËn tèc ¸nh s¸ng

3.3. 2. PhÐp biÕn ®æi Lorentz: • Thêi gian lμ t−¬ng ®èi t ≠ t’

• Kh«ng gian trong hai hÖ: x’=f(x,t) Gèc O’chuyÓn ®éng víi vËn tèc V ®èi víi K

Cã x-Vt=0

1

2

1

−

V 2 c

Trong K’ to¹ ®é cña O’ lu«n cã x’=0 §èi víi O’ viÕt: x’=α(x-Vt)

O x = β(x’+Vt’) Thay x’ ⇔ x, V ⇔ -V vμ t’ ⇔t cã α = β =α Theo tiÒn ®Ò 2: x=ct vμ x’=ct’ cã: ct’= αt(c-V) vμ ct= βt’(c+V) Nh©n 2 vÕ cã:

'x

+

−

x

=

Thay vμo cã x 'x =

'Vt 2

Vt 2

1

−

1

−

V 2 c

V 2 c

2

Tõ ®©y, rót t’ :

Thay x’

1

x.

'x

−

−

't

=

V 2 c V

x

t

−

't

'x

+

V 2 c

V 2 c

't

=

t

=

2

2

1

−

1

−

V 2 c

V 2 c

x

−

t

x

−

'x

=

PhÐp biÕn ®æi Lorentz:

V 2 c

Vt 2

't

=

2

1

−

1

−

V 2 c

V 2 c

'x

+

't

'x

+

x

=

'Vt 2

V 2 c

y’=y, z’=z

t

=

2

1

−

V 2 c

1

−

V 2 c NÕu V< B§ Galilª x’=x-Vt, y’=y, z’=z, t’=t x=x’+Vt’, y=y’, z=z’, t=t’

y=y’, z=z’

3.4. C¸c hÖ qu¶ cña phÐp biÕn ®æi Lorentz:

t

t

x(

−

−

−

2

1

2

)x 1

V 2 c

−

=

't 2

't 1

2

1

−

V 2 c

3.4.1. Kh¸i niÖm vÒ tÝnh ®ång thêi vμ quan hÖ nh©n qu¶

Δt’=Δt=0 chØ khi x1=x2 Hai sù kiÖn rêi r¹c 1 vμ 2 x¶y ra ®ång thêi ë hÖ qui chiÕu nμy, nh−ng ch−a ch¾c ®· ®ång thêi x¶y ra ®èi víi hÖ qui chiÕu kh¸c.

Quan hÖ nh©n qu¶:Hai sù kiÖn 1-nguyªn nh©n, 2-hÖ qu¶

t(

t

1)[

]

−

−

2

1

Vv 2 c

−

=

't 2

't 1

2

1

−

V 2 c

x1=vt1, x2=vt2 víi x2>x1

v× vt1 th× t2’>t1’ => Nguyªn nh©n lu«n x¶y ra tr−íc hÖ qu¶ trong mäi hÖ qui chiÕu.

3.4.2. Sù co ng¾n Lorentz

x

−

1

=

'x 1

Vt 1 2

1

−

2

x

−

2

1

l

l

=

−

=

0

'x'x − 1

2

x

−

2

1 2

Kh«ng gian

=

'x 2

V 2 c Vt 2 2

1

−

V 2 c

1

−

§é dμi ®o trªn tμu:l0=x2’-x1’ §é dμi ®o tõ tr¸i ®Êt: l=x2-x1 V x 2 c

V 2 c

V=2,6.108m/s th× l=0,5l0

§é dμi däc theo ph−¬ng chuyÓn ®éng cña thanh trong hÖ quy chiÕu mμ thanh chuyÓn ®éng ng¾n h¬n ®é dμi ®é dμi cña thanh trong hÖ mμ thanh ®øng yªn. V< l=l0

't

'x

+

2

Thêi gian lμ t−¬ng ®èi

t

=

2

2

2

't

−

2

t

t

−

=

1t

't Δ=Δ

−

2

1

1

−

V 2 c

V 2 c V 2 c

1

−

't 1 2 V 2 c

'x

+

't 1

Trong hÖ chuyÓn ®éng K’:Δt’ Trong hÖ ®øng yªn K: Δt

t

=

1

2

1

−

V 2 c V 2 c

V=2,9996.108m/s th× Δt’ =10-2 Δt

Kho¶ng thêi gian diÔn ra cïng mét qu¸ tr×nh trong hÖ chuyÓn ®éng ng¾n h¬n trong hÖ ®øng yªn; V< Δt’ = Δt

Tõ thøc gÆp tiªn

Tõ thøc ®i 3 ngμy víi tiªn trë vÒ, trªn tr¸i ®Êt ®· tr«i ®i 300 n¨m V=?

Nhμ du nhμnh vò trô bay víi V=2,9996.108m/s ®i vÒ mÊt 20 n¨m (Trªn tμu anh ta giμ ®i 20 tuæi) th× trªn tr¸i ®Êt ®· tr¶i qua 2000 n¨m

dx

−

dx

x

−

'dx

=

=

'x

=

Vdt 2

Vt 2

'dx 'dt

dx

dt

1

−

1

−

Vdt − V 2− c

V 2 c

u

V

x

'u

=

x

t

x

dt

dx

−

−

V 2 c

V 2 c V 2 c

u

1

−

't

'dt

=

=

x

2

2

− V 2 c

1

1

−

−

V 2 c

c

'u

=

=

x

3.4.3. §Þnh lý vÒ tæng hîp vËn tèc

c

1

−

V 2 c Vc − V 2 c

NÕu ux=c th×

m

0

m

=

2

r F

=

3.5. §éng lùc häc t−¬ng ®èi tÝnh

1

−

2

v c

3.5.1. Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña chuyÓn ®éng chÊt ®iÓm r )vm(d dt

r vm 0

r vm

=

r F

=

2

r )vm(d dt

2

1 − rr sdF

dW

dA

ds.F

v c =

=

=

m0 - khèi l−îng nghØ (v=0) 3.5.2. §éng l−îng vμ n¨ng l−îng

vm 0

dW

[

ds]

=

2

d dt

2

1

−

−

2

vm 0

1 2

v c

[

1.(v[

)

]

m] =

−

0

2

2

d dt

d dt

v c

1

−

2

2

m

dW

[

ds]

=

+

2

2

dv dt

dv dt

2/3

2 1(c

)

−

1

−

2

2

v c vm 0 v c

0 v c

vdv

ds

=

2

v

dW

1[

]

=

+

=

2

vdvm 0 2

2/3

2 1(c

)

)

1(

−

−

1

−

2

2

2

v c

dv dt vdvm 0 2 v c

v c

m

0

m

=

dm

=

2

2/3

1

−

)

2 1(c

−

2

2

vdvm 0 2 v c

2mc

(cid:4) HÖ thøc Anhxtanh

W =

=

v c dW 2= dmc 2 + W mc C = 0C;0m;0W = = (cid:5) HÖ qu¶

1

2

2

W

mc

)1

−

=

−

cm 0

2 (cm 0

=d

2

1

−

2

v c

(cid:1) §éng n¨ng:

2

2

1

−

1 −≈

2

2

v c

1 2

v c

2

2

2

1(cmW

)1

≈

−

≈

+

d

0

2

vm 0 2

v c

1 2 (cid:6) Quan hÖ gi÷a n¨ng l−îng vμ ®éng l−îng

2

2

2

cm 0

2

4

2

2

W

=

0

1(Wcm =

−

W) =

−

2

2

v c

2 vW 2 c

1

−

2

v c

W

=

2

r = r vmp vμ 22 cp

+

c.mW =

2mc 2 4 0

NÕu v<

=

+

1 WWW 2

2

2

2

cm 1

cm 2

mc

=

+

2

2

1

1

−

−

2

2

v c

v c

2

2

2

cm 2

2

cm 1

>

cm 2

>

2

cm 1

2

1

−

2

1

−

2

v c

v c

(cid:7) §é hôt khèi trong ph©n r· h¹t nh©n:

m > m1 + m2

Khèi l−îng h¹t nh©n tr−íc khi ph©n r· lín h¬n khèi l−îng cña c¸c h¹t thμnh phÇn ph©n r·. N¨ng l−îng to¶ ra: ΔW=[m-(m1+m2)]c2=Δmc2

(cid:8) ý nghÜa triÕt häc cña hÖ thøc Anhxtanh: • Duy t©m: VËt chÊt biÕn thμnh n¨ng l−îng -> thiªu huû • Duy vËt: VËt chÊt tån t¹i kh¸ch quan, hÖ thøc Anhxtanh nèi liÒn 2 tÝnh chÊt cña vËt chÊt: Qu¸n tÝnh (m) vμ Møc ®é vËn ®éng (W).

4. ThuyÕt t−¬ng ®èi réng (tæng qu¸t): ThuyÕt t−¬ng ®èi hÑp chØ nghiªn cøu trong hÖ qui chiÕu qu¸n tÝnh. Khi hÖ qui chiÕu chuyÓn ®éng cã gia tèc a so víi hÖ qui chiÕu qu¸n tÝnh, hÖ qui chiÕu ®ã lμ hÖ qui chiÕu kh«ng qu¸n tÝnh. ChÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong hÖ qui chiÕu kh«ng qu¸n tÝnh chÞu t¸c dông cña lùc qu¸n tÝnh -> t−¬ng ®−¬ng gia tèc hÊp dÉn ®Òu g=-a Kh«ng ph©n biÖt ®−îc chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong hÖ qui chiÕu kh«ng qu¸n tÝnh hay trong hÖ qui chiÕu qu¸n tÝnh cã gia tèc hÊp dÉn ®Òu.

Nguyªn lý t−¬ng ®−¬ng: Kh«ng thÓ cã mét thÝ nghiÖm nμo thùc hiÖn ®−îc trong mét kh«ng gian ®Þa ph−¬ng cã thÓ ph©n biÖt ®−îc mét hÖ qui chiÕu chuyÓn ®éng cã gia tèc vμ mét hÖ qui chiÕu qu¸n tÝnh trong ®ã tån t¹i mét tr−êng hÊp dÉn ®Òu. ThuyÕt t−¬ng ®èi réng nghiªn cøu liªn hÖ gi÷a kh«ng gian, thêi gian vμ vËt chÊt trong hÖ qui chiÕu kh«ng qu¸n tÝnh b»ng c¸ch h×nh häc ho¸: ThuyÕt t−¬ng ®èi hÑp: Kh«ng gian bèn chiÒu x, y, z vμ t cña hÖ qui chiÕu qu¸n tÝnh trong tr−êng hÊp dÉn lμ c¸c trôc th¼ng + hÊp dÉn.

y

gr

y

x

O

§−êng ng¾n nhÊt gi÷a 2 ®iÓm lμ ®−êng th¼ng trªn mÆt ph¼ng -> Kh«ng - thêi gian ph¼ng + g. ThuyÕt t−¬ng ®èi réng: Kh«ng gian bèn chiÒu x, y, z vμ t cña hÖ qui chiÕu kh«ng qu¸n tÝnh lμ c¸c trôc cong -> §−êng ng¾n nhÊt gi÷a 2 ®iÓm lμ ®−êng cong trªn mÆt cÇu -> kh«ng - thêi gian cong vμ g=0

z

g=0 Kh«ng gian ba chiÒu x, y, z trong hÖ cã tr−êng hÊp dÉn ®Òu O x

z

t−¬ng ®èi réng

t−¬ng ®èi hÑp

HiÖu øng cong kh«ng - thêi gian thÊy rÊt râ t¹i nh÷ng vËt cã khèi l−îng lín: gÇn c¸c lç ®en trong vò trô, t¹i ®©y mËt ®é vËt chÊt rÊt lín lªn ®Õn cì 1015 lÇn mËt ®é vËt chÊt cña mÆt trêi. -> kh«ng - thêi gian bÞ uèn cong m¹nh. -> ¸nh s¸ng bÞ uèn cong vμ kh«ng tho¸t khái c¸c lç ®en.