Chương 5
ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
Ước lượng khoảng
Ước lượng điểm
Trung bình tổng thể
Tỷ lệ tổng thể
Ước lượng không chệch
Ước lượng điểm
Dấu hiệu 𝑋 mà ta nghiên cứu trên một tổng thể có kỳ
vọng 𝜇, phương sai 𝜎2 và tỷ lệ 𝑝 chưa biết, ta gọi
chung là đặc trưng 𝜃.
Thống kê 𝑇 = 𝑇(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) được gọi là ước
lượng điểm của đặc trưng 𝜃 nếu 𝑇 ≈ 𝜃.
𝑇 = 𝑇(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) được gọi là ước lượng không
chệch của đặc trưng 𝜃 nếu 𝐸𝑇 = 𝜃.
Định lý: Trung bình mẫu 𝑋
là ước lượng không chệch
của 𝜇; Tỷ lệ mẫu 𝐹 là ước lượng không chệch của tỷ
lệ tổng thể 𝑝.
Khoảng (𝑎; 𝑏) được gọi là khoảng ước lượng của
đặc trưng 𝜃 nếu 𝑎 < 𝜃 < 𝑏.
Ước lượng khoảng
1 − 𝛼 = 𝑃(𝑇
1< 𝜃 < 𝑇2) là độ tin cậy của ước
lượng, trong đó, 𝑇
1, 𝑇2 là hai đại lượng thống
kê trên mẫu 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛.
Nếu có 𝐸𝑇 = 𝜃 thì khoảng ước lượng có
dạng đối xứng
(𝑇 − 𝜖; 𝑇 + 𝜖)
số 𝜖 được gọi là sai số.
Ước lượng trung bình tổng thể
Bài toán: Kỳ vọng 𝜇 của dấu hiệu 𝑋 trên tổng thể chưa
biết. Tìm khoảng ước lượng cho 𝜇 với độ tin cậy 1 − 𝛼.
Lấy mẫu ngẫu nhiên (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛). Vì 𝐸 𝑋
= 𝜇 nên ta
tìm khoảng ước lượng có dạng (𝑋
− 𝜖, 𝑋
+ 𝜖).
𝑃𝑋
− 𝜖 < 𝜇 < 𝑋
+ 𝜖 = 1 − 𝛼
Trường hợp: 𝑛 ≥ 30 và 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 đã biết.
𝑃 − 𝜖
𝜎𝑛 < 𝑋
− 𝜇
𝜎𝑛 < 𝜖
𝜎𝑛 = 1 − 𝛼
𝑋
− 𝜇
𝜎𝑛~
𝑁(0,1)
𝑃0 < 𝑋
− 𝜇
𝜎<𝜖
𝜎𝑛 = 1 − 𝛼
2
Ước lượng trung bình tổng thể
Trường hợp: 𝑛 ≥ 30 và 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 đã biết.
𝑋
− 𝜇
𝜎~
𝑁(0,1) 𝑃 0 < 𝑋
− 𝜇
𝜎𝑛 < 𝜖
𝜎𝑛 = 1 − 𝛼
2
Chọn 𝜖
𝜎𝑛 = 𝑧𝛼: 𝑃 0 < 𝑍 < 𝑧𝛼=1 − 𝛼
2
𝜙(𝑧𝛼) = 1 − 𝛼
2
𝑋
− 𝑧𝛼
𝜎
𝑛, 𝑋
+ 𝑧𝛼
𝜎
𝑛
Khoảng ước lượng ngẫu nhiên
Khoảng ước lượng thực nghiệm
𝑥
− 𝑧𝛼
𝜎
𝑛, 𝑥
+ 𝑧𝛼
𝜎
𝑛
