CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA HÀM KHẢ VI
1) Tìm điểm cực trị địa phương của các hàm số dưới đây và xác định các khoảng tăng giảm của nó:
(a) f(x) = x2−3x+ 5,
(b) g(x) = 3x−4x2,
(c) h(x) = x3−3x−4,
(d) k(x) = x4+ 2x2−4.
2) Cũng yêu cầu như bài 1 đối với các hàm số sau:
(a) f(x) = x+1
xvới x= 0,
(b) g(x) = x
x2+ 1 với x∈R,
(c) h(x) = √x−2√x+ 2 với x > 0,
(d) k(x) = 2x+1
x2với x= 0.
3) Tìm điểm cực trị địa phương của các hàm số sau trên miền chỉ ra:
(a) f(x) = |x2−1|với −4≤x≤4,
(b) g(x) = 1 −3
p(x−1)2với 0≤x≤2,
(c) h(x) = x|x2−12|với −2≤x≤3,
(d) k(x) = x3
√x−8với 0≤x≤9.
4) Cho a1,a2,...,anlà các số thực và hàm fxác định trên Rnhư sau:
f(x) = n
X
i=1 (ai−x)2với x∈R.
Tìm điểm cực tiểu duy nhất của hàm f.
5) Cho a > b > 0và số tự nhiên n≥2. Chứng minh rằng: n
√a−n
√b < n
√a−b.
Gợi ý: Xét hàm f(x) = n
√x−n
√x−1, đánh giá ftại 1và a
b.
6) Dùng định lí giá trị trung bình chứng minh rằng: |sinx−siny| ≤ |x−y|,∀x,y ∈R.
7) Dùng định lí giá trị trung bình chứng minh rằng: x−1
x<lnx < x −1, x > 1.
8) Cho hàm f: [a,b]→Rliên tục trên đoạn [a,b]và khả vi trên (a,b). Chỉ ra rằng nếu lim
x→af′(x) = A
thì f′(a)tồn tại và bằng A.
9) Cho hàm f:R→Rxác định bởi:
f(x) =
2x4+x4sin 1
xvới x= 0
0với x= 0 .
Chứng minh rằng fcó cực tiểu toàn cục tại x= 0 nhưng nó có đạo hàm mang cả giá trị âm và
dương trên mỗi lân cận của 0.
10) Cho hàm g:R→Rxác định bởi:
g(x) =
x+ 2x2sin 1
xvới x= 0
0với x= 0 .
Chứng minh rằng g′(0) = 1 nhưng trên mỗi lân cận của 0đạo hàm g′(x)nhận cả giá trị âm và
giá trị dương, từ đó gkhông đơn điệu trên bất kì lân cận nào của 0.
1
BÀI TẬP
Hình 1: Đồ thị hàm f′(x).
11) Cho một ví dụ về hàm fliên tục đều trên đoạn [0,1] và khả vi trên (0,1) nhưng đạo hàm của nó
không bị chặn trên (0,1).
12) Xét hàm số:
h(x) =
(0nếu x < 0
1nếu x≥0.
(a) Chứng minh rằng không tồn tại một hàm số f:R→Rthỏa mãn f′(x) = h(x)với mọi
x∈R.
(b) Cho một ví dụ về hai hàm số f,g khác hàm hằng mà thỏa mãn đạo hàm của nó bằng h(x)
với mọi x= 0.
13) Cho hàm fxác định trên đoạn [a,b]và khả vi trên (a,b). Chứng minh rằng nếu f′dương trên
(a,b)thì ftăng chặt trên [a,b].
14) Cho hàm fxác định trên đoạn [a,b]và khả vi trên (a,b). Chứng minh rằng nếu f′khác 0 trên
(a,b)thì f′(x)<0hoặc f′(x)>0với mọi x∈(a,b).
15) Cho I= [a,b]. Chỉ ra rằng nếu fkhả vi trên Ivà đạo hàm f′bị chặn trên Ithì fthỏa mãn điều
kiện Lipschitz trên I.
16) Cho hàm số f: [0,+∞)→Rkhả vi trên (0,+∞)và giả sử lim
x→+∞f′(x) = b.
(a) CMR với số dương h > 0cho trước thì lim
x→+∞f(x+h)−f(x)
h=b.
(b) CMR nếu lim
x→+∞f(x) = athì b= 0.
(c) CMR lim
x→+∞f(x)
x=b.
2
17) Cho 2 hàm số f,g khả vi trên Rthỏa mãn f(0) = g(0) và f′(x)≤g′(x)với mọi x≥0. Chỉ ra
rằng f(x)≤g(x)với mọi x≥0.
18) Cho I= [a,b]và hàm số f:I→Rkhả vi tại c∈(a,b). Chứng minh rằng với số ϵ > 0bất kì tồn
tại số δ(ϵ)>0thỏa mãn nếu x,y ∈Ithỏa mãn 0<|x−y|< δ và a≤x≤c≤y≤bthì:
f(x)−f(y)
x−y−f′(c)
< ϵ.
19) Một hàm số f:I→Rđược gọi là khả vi đều trên I= [a,b]nếu với số ϵ > 0bất kì tồn tại số
δ(ϵ)>0sao cho với x,y ∈I: 0 <|x−y|< δ thì:
f(x)−f(y)
x−y−f′(x)
< ϵ.
Chứng minh rằng nếu fkhả vi đều trên Ithì f′liên tục đều trên (a,b).
20) Cho hàm số fliên tục trên đoạn [0,2] và khả vi trên (0,2) thỏa mãn f(0) = 0,f(1) = f(2) = 1.
(a) Chứng minh rằng tồn tại c1∈(0,1) thỏa mãn f′(c1) = 1.
(b) CMR tồn tại c2∈(1,2) thỏa mãn f′(c2) = 0.
(c) CMR tồn tại c∈(0,2) thỏa mãn f′(c) = 1
3.
BÀI TẬP THAM KHẢO:
1) Giải phương trình:
(a) log2(3x+ 1) + log3(2x+ 1) = 3x.
(b) 2008x+ 2010x= 2.2009x.
(c) (4x+ 2)(2 −x) = 6.
2) Cho dãy số thực xác định bởi
(x1=a
xn+1 = lnp1 + x2
n−2010 . Chứng minh rằng dãy xnhội tụ.
3) Tính I= lim
n→∞
1
2n
n
P
i=1
1
1 + sin iπ
2n
.
4) Cho phương trình: n
P
i=1
1
1 + nx = 1.
Chứng minh rằng: Với mỗi số tự nhiên nkhác 0 phương trình có duy nhất một nghiệm dương là
xn. Tính lim
n→∞ xn.
5) Chứng minh rằng ab+ba>1với mọi a,b > 0.
6) Cho đa thức P(x)và Q(x) = aP(x) + bP′(x) + cP′′(x)trong đó a,b,c lầ các số thực thỏa mãn
b2−4ac > 0. Chỉ ra rằng nếu Q(x)vô nghiệm thì P(x)vô nghiệm.
3