intTypePromotion=1

Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 3

Chia sẻ: Afasg Agq | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

0
511
lượt xem
202
download

Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 3

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr. Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 3

  1. 2.2. Phˆn th´.c h˜.u ty uu’ a 55 √ √ 5−1 5+1 (DS. x2 − x + 1 x2 + x+1 ) 2 2 Chı dˆ n. D˘t x2 l`m th`.a sˆ chung rˆi d`ng ph´p dˆi biˆn y = ’˜ ’´ `u ´ a a a uo o eoe . 1 x+ x n −1 kπ 7) x2n − 1 (DS. (x2 − 1) (x2 − 2x cos + 1)) n k =1 n 2kπ 8) x2n+1 − 1 x2 − 2x cos (DS. (x − 1) +1 ) 2n + 1 k =1 Phˆn th´.c h˜.u ty ’ 2.2 a u u Mˆt h`m sˆ x´c dinh du.´.i dang thu.o.ng cua hai da th´.c dai sˆ tai ´ ´ ’ oa oa . o. u . o. . .ng diˆm m` mˆ u sˆ khˆng triˆt tiˆu goi l` phˆn th´.c h˜.u ty. ’ ˜´ uu’ nh˜ u e aaoo e e .a a . P ( x) R ( x) = , Q(x) = 0. Q(x) Nˆu degP < degQ th` R(x) goi l` phˆn th´.c h˜.u ty thu.c su.. Nˆu ´ ´ uu’. e ı .a a e . .o.c goi l` phˆn th´.c h˜.u ty khˆng thu.c su.. uu’o degP degQ th` R(x) du . ı .a a . . `ng c´ch thu.c hiˆn ph´p chia P (x) cho ´u degP Nˆ e degQ th` b˘ ıa a e e . . .o.c Q(x) ta thu du . P ( x) P 1 ( x) = W ( x) + (2.12) Q(x) Q(x) P 1 ( x) trong d´ W (x) l` da th´.c, c`n l` phˆn th´.c h˜.u ty thu.c su.. uu’ o a u o aa .. Q(x) Vˆ sau ta chı x´t c´c phˆn th´.c h˜.u ty l` thu.o.ng cua hai da th´.c ` ’e a u u ’a ’ e a u dai sˆ v´.i hˆ sˆ thu.c (phˆn th´.c nhu. vˆy du.o.c goi l` phˆn th´.c h˜.u ´ .´ . oo eo . a u a .a a uu . . .i hˆ sˆ thu.c). ’o .´ ty v´ e o . Phˆn th´.c thu.c do.n gian nhˆt (c`n goi l` phˆn th´.c co. ban) l` ´ ’ ’ a u a o .a a u a . nh˜.ng phˆn th´.c du.o.c biˆu diˆn tˆi gian bo.i mˆt trong hai dang sau ’ ˜o’ e´ ’ u a u e o . . . dˆy a A Bx + C A, B, C, p, q ∈ R. I. ; II. ; ( x − α) m ( x2 + px + q )m
  2. Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u’ 56 u aa T`. dinh l´ Gauss v` c´c hˆ qua cua n´ ta c´ aa e ’’ o u. y o . P ( x) Dinh l´. Moi phˆn th´.c h˜.u ty thu.c su. e o . . o. ˜ -. .´ uu’. y a . Q(x) hˆ sˆ thu c v´ i mˆ u a . ´ sˆ c´ dang oo. Q(x) = (x − α)r (x − β )s · · · (x2 + p1 x + q1)m × × (x2 + p2 x + q2 ) · · · (x2 + ps x + qs )n (2.13) d` u c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang tˆng h˜.u han c´c phˆn th´.c co. ban ’’ ˜ ’ ’ ˆoee e e o. o u a a u . dang I v` II a . P ( x) A B C = + + ··· + + r r −1 Q(x) ( x − α) ( x − α) x−α D E F + + + ··· + + s s−1 (x − β ) (x − β ) x−β ...... ... ... ... ... ... ... Gx + H Ix + H Lx + M +2 +2 + ··· + 2 + m m −1 (x + p1 x + q1) (x + p1 x + q1) x + p1 x + q1 ...... ... ... ... ... ... ... Nx + P Qx + R Sx + T +2 +2 + ··· + 2 , n n −1 (x + ps x + qs ) (x + ps x + qs ) x + ps x + qs (2.14) trong d´ A, B, . . . l` nh˜.ng h˘ng sˆ thu.c. ` ´ o au a o. . vˆy c´c phˆn th´.c co. ban o. vˆ phai cua (2.14) s˘p xˆp theo ´ ´´ ’’e ’’ Nhu a a a u ae . .ng nh´m tu.o.ng u.ng v´.i c´c th`.a sˆ o. vˆ phai cua (2.13), trong d´ ´ ´ u o’ e ’ ’ t` u o ´ oa o sˆ sˆ hang cua mˆ i nh´m b˘ng sˆ m˜ cua lu˜ th`.a cua th`.a sˆ tu.o.ng ˜ ` ´´ ´ ´ ’ ou’ yu’ oo . o o a uo .ng. u ´ Cˆn lu.u y r˘ng khi khai triˆn phˆn th´.c cu thˆ theo cˆng th´.c ’ ’ ` ` a ´a e a u .e o u ’` ˜ . ´.´ ´´ (2.14) mˆt sˆ hˆ sˆ c´ thˆ b˘ng 0 v` do d´ sˆ sˆ hang trong mˆ i nh´m o oeoo ea a ooo . o o .n sˆ m˜ cua th`.a sˆ tu.o.ng u.ng. ’ ´ ´ c´ thˆ b´ ho o u ’ o ee uo ´ .c h`nh, dˆ t´nh c´c hˆ sˆ A, B, . . . ta s˜ su. dung c´c ’ .´ e’ . Trong thu a eı a eo a . phu.o.ng ph´p sau. a
  3. 2.2. Phˆn th´.c h˜.u ty uu’ a 57 I. Gia su. da th´.c Q(x) chı c´ c´c nghiˆm thu.c do.n, t´.c l` ’’ ’oa u e ua . . n Q(x) = (x − aj ), ai = aj ∀ i = j. j =1 Khi d´ o n P ( x) Aj = · (2.15) Q(x) x − aj j =1 Dˆ x´c dinh Ak ta nhˆn hai vˆ cua (2.15) v´.i x − ak v` thu du.o.c ’ ´ e’ ea . a o a . P ( x) A1 Ak−1 = Ak + + ··· + n x − a1 x − ak−1 (x − aj ) j =1 j =k Ak+1 An + + ··· + (x − ak ). (2.16) x − ak+1 x − an Thay x = ak v`o (2.16) ta c´ a o P (ak ) Ak = · (2.17) n (ak − aj ) j =1 j =k Ak Nhu. vˆy dˆ t´ hˆ sˆ Ak cua phˆn th´.c ta x´a th`.a sˆ ’ .´ ´ ’ a e ınh e o a u o uo . x − ak P ( x) ˜´ ’ ´ ’ a o’ (x − ak ) khoi mˆ u sˆ cua v` tiˆp theo l` thay x = ak v`o biˆu ae a a e Q(x) th´.c c`n lai. V` vˆy phu.o.ng ph´p n`y du.o.c goi l` phu.o.ng ph´p x´a. uo. ıa aa .a ao . . .c (2.17) khˆng c`n su. dung ´ o’. II. Nˆu Q(x) c´ nghiˆm bˆi th` cˆng th´ e o e o ıo u o . . du.o.c. Gia su. Q(x) = g m , trong d´ ho˘c g = x − α ho˘c g l` t´ c´c ’’ oa a a ıch a . . . .a sˆ l` tam th´.c bˆc hai v´.i hai biˆt sˆ ˆm. Trong tru.`.ng ho.p u´ .´ th` o a ua o e oa o . . .a cua g : ’ ` ’ n`y ta cˆn khai triˆn P (x) theo c´c lu˜ th` a a e a yu P (x) = a0 + a1g + a2g 2 + . . .
  4. Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u’ 58 u aa trong d´ a0, a1, . . . l` h˘ng sˆ nˆu g = x − α v` l` da th´.c bˆc khˆng ` ´´ o aa oe aa ua o . .o.t qu´ 1 trong tru.`.ng ho.p th´. hai (trong tru.`.ng ho.p n`y ta cˆn ` vu . a o u o a a . . thu.c hiˆn theo quy t˘c ph´p chia c´ du.). ´ e a e o . . .i tru.`.ng ho.p tˆng qu´t, ta nhˆn hai vˆ cua (2.14) v´.i ’ ´ ´ e’ III. Dˆi v´ oo o .o a a o da th´.c Q(z ) v` s˘p xˆp c´c sˆ hang o. vˆ phai d˘ng th´.c thu du.o.c ’ ´ ´ ´’a ´ ’e u aa e a o . u . .c v` thu du.o.c d` ng nhˆt th´.c gi˜.a hai da th´.c: mˆt da ´u th`nh da th´ a a u .ˆ o a u u o . .c l` P (x), c`n da th´.c kia l` da th´.c v´.i hˆ sˆ A, B, . . . chu.a du.o.c ´ th´ a u o u a u o eo. . `ng c´c hˆ sˆ cua c´c lu˜ th`.a c`ng bˆc ta thu du.o.c ´’ a x´c d.nh. Cˆn b˘ ai aa a eo yuu a . . . .o.ng tr`nh tuyˆn t´ v´.i ˆn l` A, B, . . . . ’ ´ hˆ phu e ı e ınh o a a . Giai hˆ d´, ta t` du.o.c c´c hˆ sˆ A, B, . . . Phu.o.ng ph´p n`y goi .´ ’ eo ım . a eo aa. . .o.ng ph´p hˆ sˆ bˆt dinh. .´´ l` phu a a eoa . ’ .´` ´ Ta c´ thˆ x´c dinh hˆ sˆ b˘ng c´ch kh´c l` cho biˆn x trong d` ng o ea . eoa a aa e o ˆ nhˆt th´.c nh˜.ng tri sˆ t`y y (ch˘ng han c´c gi´ tri d´ l` nghiˆm thu.c ’ ´ ´ a u u .ou ´ a . a a .oa e. . ˜´ ’ cua mˆ u sˆ). ao CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. Khai triˆn c´c phˆn th´.c h˜.u ty sau th`nh tˆng c´c phˆn ’ ’ uu’ ı. ea a a o a a .c co. ban ’ th´ u 2x3 + 4x2 + x + 2 x2 − 2x 1) , 2) · (x − 1)2 (x2 + x + 1) (x − 1)2 (x2 + 1)2 Giai. 1) V` tam th´.c bˆc hai x2 + x + 1 khˆng c´ nghiˆm thu.c nˆn ’ ı ua o o e .e . . 2x3 + 4x2 + x + 2 B1 B2 Mx + N R1 (x) = = + +2 · 2 (x2 + x + 1) 2 (x − 1) (x − 1) (x − 1) x +x+1 ˜´ Quy d` ng mˆ u sˆ ta c´ o ˆ ao o 2x3 + 4x2 + x + 2 (x − 1)2 (x2 + x + 1) B1(x3 − 1) + B2 (x2 + x + 1) + (Mx + N )(x2 − 2x + 1) = · (x − 1)2 (x2 + x + 1)
  5. 2.2. Phˆn th´.c h˜.u ty uu’ a 59 Cˆn b˘ng hˆ sˆ cua x0 , x1, x2 v` x3 trong c´c tu. sˆ ta thu du.o.c hˆ a` .´ ´ eo’ a ’o a a e . . .o.ng tr` phu ınh x3 B1 + B2 + N = 2, x2 B2 + M − 2N = 1, x1 B2 + N − 2M = 4, x0 B1 + M = 2. Giai hˆ phu.o.ng tr` ta c´ B1 = 2, B2 = 3, M = 0, N = 1. T`. d´ ’e ınh o uo . 2 3 1 R1 (x) = + +2 · 2 x − 1 (x − 1) x +x+1 2) Ta c´ o x2 − 2x A1 A2 M1 x + N1 M2 x + N2 R2 = = + + + · 2 (x2 + 1)2 2 x2 + 1 (x2 + 1)2 (x − 1) x − 1 (x − 1) Quy d` ng mˆ u sˆ v` cˆn b˘ng c´c tu. sˆ ta c´ ˜´ a oaa ` ´ a ’o o ˆ a o x2 − 2x = A1(x − 1)(x2 + 1)2 + A2 (x2 + 1)2 + (M1 x + N1 )(x − 1)2 (x2 + 1) + (M2x + N2 )(x − 1)2 . So s´nh c´c hˆ sˆ cua c´c lu˜ th`.a c`ng bˆc o. hai vˆ ta thu du.o.c ´ .´ a eo ’ a a’ a yuu e . . x5 A1 + M1 = 0, x4 − A1 + A2 − 2M1 + N1 = 0, x3 2A1 + 2M1 − 2N1 + M2 = 0, x2 − 2A1 + 2A2 − 2M1 + 2N1 + 2N1 − 2M2 + N2 = 1, x1 A1 + M1 − 2N1 + M2 − 2N2 = −2, x0 − A1 + A2 + N1 + N2 = 0. T`. d´ suy ra uo 1 1 1 A1 = , A2 = − , M1 = − , 2 4 2 1 1 N1 = − , M2 = − , N2 = 1 4 2
  6. Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u’ 60 u aa v` do vˆy a a . 1 1 1 1 1 − − x− − x+1 x2 − 2x =2+ 4+2 4+ 2 · (x − 1)2 (x2 + 1)2 x − 1 (x − 1)2 x2 + 1 (x2 + 1)2 V´ du 2. C˜ng hoi nhu. trˆn ’ ı. u e x4 1 1) R1 (x) = ; 2) R2 (x) = · x4 + 5x2 + 1 x4 + 1 Giai. 1) R1 (x) l` phˆn th´.c h˜.u ty khˆng thu.c su. nˆn dˆu tiˆn .e` ’ uu’ aa o a e . .c hiˆn ph´p chia: ` cˆn thu a e e . . x4 5x2 + 4 =1− 4 = 1 + R3 (x). x4 + 5x2 + 4 x + 5x2 + 4 Ch´ y r˘ng x4 + 5x2 + 4 = (x2 + 1)(x2 + 4), do d´ u´ ` a o 5x2 + 4 M1 x + N1 M2 x + N2 R3 = − = + · 2 + 1)(x2 + 4) x2 + 1 x2 + 4 (x Quy d` ng mˆ u sˆ v` so s´nh hai tu. sˆ ta thu du.o.c ˜´ ´ ’o o ˆ a oa a . −5x2 − 4 = (M1 x + N1)(x2 + 4) + (M2 x + N2 )(x2 + 1) v` tiˆp theo l` cˆn b˘ng c´c hˆ sˆ cua c´c lu˜ th`.a c`ng bˆc cua x ta ´ aa ` .´ a eo’ a a’ ae a yuu . .o.c hˆ phu.o.ng tr`nh thu du . e ı . x3 M1 + M2 = 0, x2 N1 + N2 = −5, 1 16 ⇒ M1 = M2 = 0, N1 = , N2 = − · 3 3 x1 4M1 + N − 2 = 0, x0 4N1 + N − 2 = −4 Vˆy a . 1 1 16 1 R1 (x) = 1 + ·2 − ·2 · 3 x +1 3 x +4
  7. 2.2. Phˆn th´.c h˜.u ty uu’ a 61 √ √ 2) V` x4 + 1 = (x2 + 1)2 − 2x2 = (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1) nˆn ı e 1 M1 x + N1 M2 x + N2 √ √ R2 = = + · x4 +1 x2 + 2x + 1 x2 − 2x + 1 T`. d` ng nhˆt th´.c ´ uˆ o a u √ √ 1 ≡ (M1 x + N1)(x2 − 2x + 1) + (M + 2x + N2 )(x2 + 2x + 1), tiˆn h`nh tu.o.ng tu. nhu. trˆn ta c´ ´ ea e o . 1 1 M1 = −M2 = √ , N1 = N2 = · 2 22 Do d´ o √ √ 1 1 x+ 2 1 x− 2 =√ √ −√ √ · x4 + 1 2 2 x2 + 2x + 1 2 2 x2 − 2x + 1 V´ du 3. T` khai triˆn phˆn th´.c ’ ı. ım e a u x2 + 2x + 6 x+1 1) R1 (x) = ; 2) R2 (x) = · (x − 1)(x − 2)x (x − 1)(x − 2)(x − 4) Giai. 1) V` mˆ u sˆ chı c´ nghiˆm do.n 0, 1, 2 nˆn ı ˜ o ’o a´ ’ e e . x+1 A1 A2 A2 = + + · x(x − 1)(x − 2) x x−1 x−2 Ap dung cˆng th´.c (2.17) ta du.o.c ´ o u . . x+1 1 x=0 A1 = = ; 2 (x − 1)(x − 2) x=0 x+1 x+1 3 A2 = = −2, A3 = = · x(x − 2) x=1 x(x − 1) 2 x=2 Vˆy a . 1 −2 3 R1 (x) = + + · 2x x − 1 2(x − 2)
  8. Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u’ 62 u aa 2) Tu.o.ng tu. ta c´ o . x2 + 2x + 6 A1 B C R2 (x) = = + + (x − 1)(x − 2)(x − 4) x−1 x−2 x−3 V` mˆ u sˆ cua R2 (x) chı c´ nghiˆm do.n nˆn ˜´ ıa o’ ’o e e . x2 + 2x + 6 A= = 3, (x − 2)(x − 4) x=1 x2 + 2x + 6 B= = −7, (x − 1)(x − 4) x=2 x2 + 2x + 6 C= = 5. (x − 1)(x − 2) x=4 Do d´ o 3 7 5 R2(x) = − + · x−1 x−2 x−4 Nhˆn x´t. Trong mˆt sˆ tru.`.ng ho.p d˘c biˆt, viˆc khai triˆn phˆn ’ .´ ae oo o a e e e a . . . . . .c h˜.u ty c´ thˆ thu du.o.c do.n gian ho.n v` nhanh ho.n. Ch˘ng han, ’ ’ th´ u ’ o e ’ u a a . . 1 .c .c co. ban ’ ’ ’ ’ dˆ khai triˆn phˆn th´ e e a u2 th`nh tˆng c´c phˆn th´ a o a a u x (1 + x2)2 ta c´ thˆ thu.c hiˆn nhu. sau: ’ oe. e . (1 + x2) − x2 1 1 1 = 22 =22 −2 2 (x2 + 1)2 2 x (x + 1) (x + 1)2 x x (x + 1) (1 + x2) − x2 1 = −2 2 (x2 + 1) (x + 1)2 x 1 1 1 = 2− 2 −2 · x + 1 (x + 1)2 x V´ du 4. Khai triˆn c´c phˆn th´.c h˜.u ty sau: ’ uu’ ı. ea a x4 + 5x3 + 5x2 − 3x + 1 x5 + 3x4 + x3 − 2x2 + 2x + 3 1) ; 2) · (x + 2)5 (x2 + x + 1)3 Giai. 1) D˘t g = (x + 2). Khi d´ b˘ng c´ch khai triˆn tu. sˆ theo ’ ` ´ ’ e ’o a oa a . c´c lu˜ th`.a cua x + 2 b˘ng c´ch ´p dung cˆng th´.c nhi th´.c Newton ` yu’ a a aa o u .u .
  9. 2.2. Phˆn th´.c h˜.u ty uu’ a 63 ta thu du.o.c . x4 + 5x3 + 5x2 − 3x + 1 = (x + 2)5 [(x + 2) − 2]4 + 5[(x + 2) − 2]3 + 5[(x + 2) − 2]2 − 3[(x + 2) − 2)] + 1 = (x + 2)5 3 + 5g − g 2 − 3g 3 + g 4 3 5 1 3 1 = = 5+ 4− 3− 2+ 5 g g g g g g 3 5 1 3 1 = + − − + · 5 4 3 3 (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2) x+2 2) D˘t g = x2 + x + 1. D´ l` tam th´.c bˆc hai khˆng c´ nghiˆm a oa ua o o e . . . .c. Ap dung thuˆt to´n chia c´ du. ta c´ ´ thu a a o o . . . P (x) = x5 + 3x4 + x3 − 2x2 + 2x + 3 = (x2 + x + 1)(x3 + 2x2 − 2x − 2) + 6x + 5 t´.c l` ua q1 = x3 + 2x2 − 2x − 2, P = g · q1 + r1 , r1 = 6x + 5. Ta lai chia q1 cho g v` thu du.o.c a . . q1 = gq2 + r2 , degq2 < deg(g ) q2 = x + 1, r2 = −4x − 3. Nhu. vˆy a . P = gq1 + r1 = r1 + g (r2 + gq2) = r1 + r2 g + q2g 2 . T`. d´ suy ra uo P r1 r2 1 = 3 + 3 + q2 · g3 g g g 6x + 5 4x + 3 x+1 =2 −2 +2 · 3 2 (x + x + 1) (x + x + 1) x +x+1
  10. Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u’ 64 u aa ` ˆ BAI TAP . Trong c´c b`i to´n sau dˆy, h˜y khai triˆn phˆn th´.c h˜.u ty d˜ ’ ’a aa a a a e a uu .u han c´c phˆn th´.c co. ban thu.c. ’ ’ cho th`nh tˆng h˜ a o u .a a u . 2x − 3 1. x(x2 − 1)(x2 − 4) 3 1 5 1 7 (DS. − + + + − ) 4x 6(x − 1) 6(x + 1) 24(x − 2) 24(x + 2) x+1 2 2x + 1 2. 3 (DS. − ) 2 + x + 1) x −1 3(x − 1) 3(x 1 3. 3 x (x − 1)4 10 4 1 10 6 3 1 (DS. + 2+ 3− + − + ) 2 3 (x − 1)4 x x x x − 1 (x − 1) (x − 1) 1 3 1 4. 4 (DS. − + 2 16(x − 1) 16(x − 1)2 (x − 1) 3 1 1 1 + + + + ) 16(x + 1) 16(x + 1)2 4(x2 + 1) 4(x2 + 1)2 2x − 1 5. (x + 1)3 (x2 + x + 1) 2 1 3 2x − 1 (DS. − − −2 ) 2 3 x + 1 (x + 1) (x + 1) x +x+1 1 1 x x x 6. (DS. + 2 −2 −2 ) x(x2 + 1)3 x (x + 1)3 (x + 1)2 x + 1 x2 + 3x + 1 1 3 3 3x 7. (DS. + 3− + 2 ) x4(x2 + 1) 4 x x x x +1 x5 + 3x3 − x2 + 4x − 2 2x − 1 x−1 x 8. (DS. +2 +2 ) (x2 + 1)3 2 + 1)3 2 (x (x + 1) x +1 x5 + 2x3 − 6x2 − 3x − 9 9. (x2 + x + 2)3 1 x−1 x−2 (DS. 2 +2 +2 ) 3 2 (x + x + 2) (x + x + 2) x +x+2 2x − 1 10. x(x + 1)2 (x2 + x + 1)2
  11. 2.2. Phˆn th´.c h˜.u ty uu’ a 65 1 7 3 6x + 2 3x + 2 (DS. − + + −2 −2 ) 2 x + x + 1 (x + x + 1)2 x x + 1 (x + 1) x2 11. 2 (x + 1)(x2 + x + 1)2 1 1 x (DS. 2 +2 −2 ) x + 1 x + x + 1 (x + x + 1)2 1 12. 5 4 + x3 − x2 + x − 1 x −x 1 1 2x + 1 1 (DS. − − ) 2+x+1 2 − x + 1) 3(x − 1) 6 x 2(x
  12. Chu.o.ng 3 Ma trˆn. Dinh th´.c -. a u . 3.1 Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 a . -. 3.1.1 Dinh ngh˜ ma trˆn . . . . . . . . . . . . . 67 ıa a . ´ 3.1.2 C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn ma trˆn . . 69 a e a e ınh e a . 3.1.3 Ph´p nhˆn c´c ma trˆn . . . . . . . . . . . 71 e aa a . ’ 3.1.4Ph´p chuyˆn vi ma trˆn . . . . . . . . . . . 72 e e. a . Dinh th´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 -. 3.2 u ´ 3.2.1 Nghich thˆ . . . . . . . . . . e . . . . . . . . 85 . D.nh th´.c . . . . . . . . . . . -i 3.2.2 u . . . . . . . . 85 T´ chˆt cua dinh th´.c . . . ´ ınh a ’ 3.2.3 u . . . . . . . . 88 . Phu.o.ng ph´p t´ dinh th´.c 3.2.4 a ınh . u . . . . . . . . 89 ’ 3.3 Hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . 109 a . . -. 3.3.1 Dinh ngh˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 ıa Phu.o.ng ph´p t` hang cua ma trˆn . . . . 109 ’ 3.3.2 a ım . a . ’ 3.4 Ma trˆn nghich dao . . . . . . . . . . . . . . 118 a . . -. 3.4.1 Dinh ngh˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 ıa
  13. 3.1. Ma trˆn a 67 . Phu.o.ng ph´p t` ma trˆn nghich dao . . . 119 ’ 3.4.2 a ım a . . 3.1 Ma trˆn a . Gia su. P l` tru.`.ng sˆ n`o d´ (P = R, C). ´ ’’ a o oa o -. 3.1.1 Dinh ngh˜ ma trˆn ıa a . Ta x´t bang h`nh ch˜. nhˆt lˆp nˆn t`. m × n sˆ cua P : ´ e’ o’ ı u aa eu .. a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . .. . . . . . . . am1 am2 . . . amn Bang sˆ n`y du.o.c goi l` ma trˆn (hay ch´nh x´c ho.n: ma trˆn sˆ) ´ ´ ’ oa .a a ı a ao . . . k´ch thu.´.c m × n. C´c sˆ aij , i = 1, m, j = 1, n du.o.c goi l` phˆn .a` ´ ı o ao a . . cua ma trˆn, trong d´ i chı sˆ hiˆu h`ng, j chı sˆ hiˆu cˆt cua ma ´. ´.. tu ’ ’ ’o e a ’o e o ’ a o . trˆn. a. ’ K´ hiˆu: c´ thˆ d`ng mˆt trong c´c k´ hiˆu ye o eu o aye . . .     a11 a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n      a21 a22 . . . a2n   a21 a22 . . . a2n  A= . .  , hay  . .  hay . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .   am1 am2 . . . amn am1 am2 . . . amn a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . .. . . . . . . . am1 am2 . . . amn
  14. Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 68 u . hay ng˘n gon ho.n ´. a A = aij = aij = aij . m ×n m ×n m ×n Tˆp ho.p moi (m × n)-ma trˆn du.o.c k´ hiˆu l` M(m × n). a a . yea . . . . . .o.c goi l` ma trˆn vuˆng ´u m = n th` ma trˆn A = aij Nˆ e ı a du . .a a o . . m ×n n .`.ng k´ hiˆu: A = aij .i ma trˆn ´ ´ cˆp n (thu o a ye = aij 1 ). Dˆi v´ oo a . . n ×n n . aii , i = 1, n du.o.c goi l` nh˜.ng phˆn ` ` a’ vuˆng A = aij 1 c´c phˆn tu o a au a . . . du.`.ng ch´o. C´c phˆn tu. n`y lˆp th`nh du.`.ng ch´o ch´nh cua ma ` ’ a ’aa ’ tu o e a a o e ı . trˆn vuˆng. a o . Ma trˆn vuˆng m` moi phˆn tu. khˆng n˘m trˆn du.`.ng ch´o ch´ ` ` a’ a o a. o a e o e ınh . .c l` aij = 0 ∀ i = j ) goi l` ma trˆn du.`.ng ch´o: e` d` u b˘ng 0 (t´ a ˆa u .a a o e .   d1     d2     .. A=  = diag[d1 d2 . . . dn ]. .   ..   .   dn Nˆu trong ma trˆn du.`.ng ch´o A moi phˆn tu. d1 = d2 = · · · = dn = 1 ´ `a’ e a o e . . .o.c goi l` ma trˆn do.n vi cˆp n v` k´ hiˆu: ´ th` ma trˆn d´ du . ı ao .a a .a ay e . . .   1     1     .. En = E =  . .   ..  .   1  0 ´ nˆu i = j e n Nhu. vˆy En = δij a , trong d´ δij = o . 1 1 ´ nˆu i = j. e
  15. 3.1. Ma trˆn a 69 . Sau c`ng, (m × n)-ma trˆn dang u a . .   0 0 ... 0   0 0 . . . 0 . .  Om×n =  . . ... . . . . . 0 0 ... 0 goi l` ma trˆn - khˆng k´ thu.´.c m × n. Nˆu m = n th` k´ hiˆu On ´ .a a o ıch o e ıy e . . n hay O1 . ´ ’a Nhˆn x´t. 1) Ta nhˆn manh: ma trˆn A = aij m×n khˆng phai l` ae a a o . . . .´ ´ ’ mˆt sˆ, n´ l` mˆt Bang c´c sˆ. o o oa o ao . 2) Ma trˆn k´ thu.´.c (1 × n) goi l` ma trˆn h`ng a ıch o .a aa . . a1, a2, . . . , an c`n ma trˆn (m × 1) goi l` ma trˆn cˆt o a .a ao . . .  a1   a2  . . . am ´ 3.1.2 C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn ma trˆn a e a e ınh e a . Gia su. moi ma trˆn du.o.c x´t l` trˆn c`ng mˆt tru.`.ng P (= R, C). ’’ . a eaeu o o . . . .p c´c ma trˆn l` ph´p cˆng c´c ´ C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn tˆp ho a a e a e ınh e a aaeo a . . . . ma trˆn (chı dˆi v´.i c´c ma trˆn c`ng k´ thu.´.c!) v` ph´p nhˆn ma ´ ’oo a a au ıch o ae a . . .i mˆt sˆ v` ch´ng du.o.c dinh ngh˜a nh`. c´c ph´p to´n trˆn c´c .´ trˆn v´ o o a u ao ı oa e a ea . .. . cua ch´ng. ` phˆn tu ’ a’ u 1. Cho A = aij m×n , B = bij m×n . Ma trˆn C = cij m×n du.o.c a. . ’ ´ ’ goi l` tˆng cua A v` B nˆu . ao a e cij = aij + bij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n
  16. Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 70 u . v` k´ hiˆu ay e . C = A+B [cij ] = [aij + bij ], i = 1, m, j = 1, n . 2. Gia su. A = aij m×n v` λ ∈ P . Ma trˆn C = cij du.o.c goi ’’ a a . .. m ×n .i sˆ λ nˆu ´ o´ a ıch ’ l` t´ cua ma trˆn A v´ o a e . cij = λaij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n v` k´ hiˆu ay e . C = λA λA = λaij ). m ×n Tru.`.ng ho.p d˘c biˆt khi λ = −1 ta viˆt (−1)A = −A v` goi −A ´ o a e e a. . . . ´ ao’ l` ma trˆn dˆi cua ma trˆn A. a a . . C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn tˆp ho.p ma trˆn M(m × n) c´ c´c ´ a e a e ınh e a a oa . . . ´ t´ chˆt sau dˆy. ınh a a Gia su. A, B, C ∈ M(m × n) v` α, β ∈ P . Khi d´ ’’ a o I. A + B = B + A (luˆt giao ho´n). a a . II. A + (B + C ) = (A + B ) + C (luˆt kˆt ho.p). .´ ae. III. A + Om×n = A. IV. A + (−A) = Om×n . V. 1 · A = A. VI. α(βA) = (αβ )A - luˆt kˆt ho.p dˆi v´.i ph´p nhˆn c´c sˆ. .´ ´ ´ ae. oo e aao VII. α(A + B ) = αA + αB - luˆt phˆn bˆ cua ph´p nhˆn v´.i mˆt ´ a o’ a e aoo . . ´ dˆi v´.i ph´p cˆng ma trˆn. ´o sˆ o o eo a . . VIII. (α + β )A = αA + βA - luˆt phˆn bˆ cua ph´p nhˆn v´.i ma ´ a o’ a e ao . trˆn dˆi v´.i ph´p cˆng c´c sˆ. ´ ´ aoo eo ao . . Hiˆu c´c ma trˆn A − B c´ thˆ dinh ngh˜a nhu. sau ’ ea a o e. ı . . def A − B = A + (−B ).
  17. 3.1. Ma trˆn a 71 . 3.1.3 Ph´p nhˆn c´c ma trˆn e a a a . Ma trˆn A du.o.c goi l` tu.o.ng th´ v´.i ma trˆn B nˆu sˆ cˆt cua ma ´ ´. e oo ’ a .a ıch o a . . . trˆn A b˘ng sˆ h`ng cua ma trˆn B (t`. su. tu.o.ng th´ cua A v´.i B ` ´ ’ ıch ’ a a oa a u. o . . .o.c r˘ng ma trˆn B tu.o.ng th´ch v´.i ma trˆn ` n´i chung khˆng suy ra du . a o o a ı o a . . A). Cho ma trˆn A = aij m×n v` B = bij n×p . Ma trˆn C = cij m×p a a a . . .o.c goi l` t´ cua ma trˆn A v´.i ma trˆn B nˆu ´ . a ıch ’ du . a o a e . . n cij = ais bsj . (3.1) s=1 K´ hiˆu C = AB v` n´i r˘ng “nhˆn bˆn phai ma trˆn A v´.i ma ao` ’ ye a ae a o . . .i ma trˆn A”. trˆn B ” hay “nhˆn bˆn tr´i ma trˆn B v´ a ae a a o a . . . . (3.1) suy ra quy t˘c t` c´c sˆ hang cua t´ c´c ma trˆn: ´ ım a o . ´ ’ ıch a T` u a a . ` n tu. cij du.ng o. vi tr´ giao cua h`ng th´. i v` cˆt th´. j cua ma ’ ’.ı ’ ’ phˆa ´ a u ao u . ’ng c´c t´ch cua c´c phˆn tu. h`ng th´. i cua ma ` ` ’a a ’a ’ trˆn C = AB b˘ng tˆ a a o aı u . .i c´c phˆn tu. tu.o.ng u.ng cua cˆt th´. j cua ma trˆn ` a’ ’o ’ trˆn A nhˆn v´ a a ao ´ u a . . . B.   a11 a12 . . . a1n       . . bij b1p  ... ... ... ...  b11 c . c1p       11    ai1 ai2 . . . ain  ×  .  .  .  =  . . . cij . . .  . . .  . . .      . . cmp  ... ... ... ...  bn1 bij bnp cm1 . am1 am2 . . . amn ´ Ch´ ´. 1) N´i chung ph´p nhˆn ma trˆn khˆng c´ t´nh chˆt giao uy o e a a o oı a . ho´n. a ’` 2) T´ hai ma trˆn kh´c 0 c´ thˆ b˘ng ma trˆn khˆng. ıch a a o ea a o . . .i diˆu kiˆn c´c ph´p to´n du.o.c viˆt ra c´ ngh˜a, ph´p nhˆn ´ 3) V´ `oe ea e a e o ı e a . . ´ ma trˆn c´ c´c t´ chˆt sau a o a ınh a . I. (AB )C = A(BC ) - luˆt kˆt ho.p. .´ ae. II. α(AB ) = (αA)B = A(αB ), α ∈ P . ´ ’ III. (A + B )C = AC + BC (luˆt phˆn bˆ ph´p nhˆn bˆn phai a aoe ae .
  18. Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 72 u . dˆi v´.i ph´p cˆng ma trˆn). ´ oo eo a . . ´ IV. C (A + B ) = CA + CB (luˆt phˆn bˆ ph´p nhˆn bˆn tr´i a aoe ae a . .i ph´p cˆng ma trˆn). ´ dˆi v´ oo eo a . . ’ 3.1.4 Ph´p chuyˆn vi ma trˆn e e a . . ’ Ph´p to´n trˆn c´c ma trˆn m` trong d´ c´c h`ng chuyˆn th`nh c´c e a ea a a oa a e a a . .o.c goi l` ph´p chuyˆn vi ma ’ ’. cˆt c`n c´c cˆt chuyˆn th`nh c´c h`ng du . . a e ooao e a aa e . . trˆn. a. Cho ma trˆn A = aij m×n . Ma trˆn thu du.o.c t`. ma trˆn A b˘ng ` a a .u a a . . . ph´p chuyˆn vi ma trˆn du.o.c goi l` ma trˆn chuyˆn vi dˆi v´.i ma trˆn ’ ’ ´ e e. a . .a a e .oo a . . . .o.c k´ hiˆu l` AT . Nhu. vˆy: AT l` (n × m)-ma trˆn. A v` du . y e a a a a a . . . .o.c goi l` ma trˆn dˆi x´.ng nˆu AT = A v` du.o.c ´ ´ Ma trˆn vuˆng du . . a a o a ou e a . . . .ng nˆu AT = −A. Nhu. vˆy nˆu A = aij n l` ´ ´ ’u goi l` ma trˆn phan x´ a a e ae a . . . 1 ma trˆn dˆi x´.ng th` aij = aji ∀ i, j = 1, n v` nˆu A phan x´.ng th` ´ ´ ’ aou ı ae u ı . . trˆn du.`.ng ch´o ch´nh cua ma trˆn ` ’ ’ aij = −aji . Do d´ c´c phˆn tu e oa a o e ı a . .ng l` b˘ng 0.` ’u phan x´ aa CAC V´ DU ´ I . 12 56 V´ du 1. 1) Cˆng c´c ma trˆn ı. o a a v` a . . . 34 78 −1 2 −1 v´.i sˆ λ = 3. ´ 2) Nhˆn ma trˆn A = a a oo . 40 1 Giai. 1) Hai ma trˆn d˜ cho c´ c`ng k´ch thu.´.c nˆn c´ thˆ cˆng ’. ’ aa ou ı o e o eo . v´.i nhau. Theo dinh ngh˜a ph´p cˆng c´c ma trˆn ta c´ o ı eo a a o . . . 12 56 1+5 2+6 68 + = = . 34 78 3+7 4+8 10 12 −1 2 −1 −1 · 3 2 · 3 −1 · 3 2) λA = 3· = = 40 1 4·3 0·3 1·3
  19. 3.1. Ma trˆn a 73 . −3 6 −3 . 12 0 3 V´ du 2. Trong tru.`.ng ho.p n`o th` ı. o a ı: . ’ nhˆn bˆn phai mˆt ma trˆn h`ng v´.i mˆt ma trˆn cˆt ? ’ 1) c´ thˆ a e oe o aa o o ao . . . . . .i mˆt ma trˆn h`ng ? ’ ’ 2) c´ thˆ nhˆn bˆn phai mˆt ma trˆn cˆt v´ oeae o aoo o aa . . . . . ’ i. 1) Ma trˆn h`ng l` ma trˆn k´ch thu.´.c (1 × n) c`n ma trˆn Gia aa a aı o o a . . . .´.c (m × 1). Ph´p nhˆn ma trˆn h`ng (1 × n) cˆt l` ma trˆn k´ thu o oa a ıch e a aa . . . .i ma trˆn cˆt (m × 1) chı c´ thˆ nˆu n = m: ’´ ’o ee v´ o ao . . 1×n · n×1 = 1×1 t´.c l` kˆt qua ph´p nhˆn l` mˆt sˆ, cu thˆ l` ’ ´ .´ ’ u ae e a a o o . ea  b1   b2  a1 a2 . . . an  .  = a1b1 + a2b2 + · · · + an bn = c. . . bn 2) Ma trˆn cˆt A ao . .   a1   a2  A= .  . . am l` ma trˆn k´ thu.´.c (m × 1). Ma trˆn n`y tu.o.ng th´ch v´.i ma trˆn a a ıch o aa ı o a . . . .´.c (1 × n), t´.c l` ma trˆn h`ng. Nhu. vˆy ph´p nhˆn d˜ nˆu k´ch thu o ı ua aa a e a ae . . .c hiˆn du.o.c, cu thˆ l` ’a luˆn luˆn thu o o e .e . . .    a1 a1b1 a1b2 . . . a1bn     a2   a2b1 a2b2 . . . a2bn   .  b1 b2 . . . bn =  . . . . . . . .. . . . . . . am am b1 am b2 . . . am bn
  20. Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 74 u . ´ V´ du 3. T´ AB v` BA nˆu ı. ınh a e  1 321  , B = 3. 1) A = 012 3   −1 0 1 4 −1   2) A = , B =  1 3 . 20 1 −1 1 ´ ’ Giai. 1) Theo quy t˘c nhˆn c´c ma trˆn ta c´ a aa a o .  1 3 2 1  3·1+2·3+1·3 12 3  = AB = = . 012 0·1+1·3+2·3 9 3 T´ BA khˆng tˆn tai v` ma trˆn B khˆng tu.o.ng th´ v´.i ma ` ıch o o.ı a o ıch o . trˆn A. a . 2) Ta c´ ma trˆn A tu.o.ng th´ch v´.i ma trˆn B . Do d´ o a ı o a o . .   −2 0 1 4 −1    1 3 AB = 20 1 −1 1 1 · (−2) + 4 · 1 + (−1)(−1) 1 · 0 + 4 · 3 + (−1) · 1 = 2 · (−2) + 0 · 1 + (1) · (−1) 2·0+0·3+1·1 3 11 = . −5 1 Tu.o.ng tu., ma trˆn B tu.o.ng th´ch v´.i a ı o ma trˆn A v` a a . . .   −2 −8 2   BA =  7 2 . 4 1 −4 2 01 V´ du 4. 1) Cho ma trˆn A = ı. a . T` moi ma trˆn X giao ım . a . . 00 ho´n v´.i A (AX = XA). ao
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2