CÁC BÀI TOÁN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC -----------Phần 1---------

A. CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC I. Kiến thức cần nhớ  Số phức (dạng đại số): ; a là phần thực, b là phần ảo của z;

z là số thực z là số ảo phần ảo của z bằng 0; phần thực của z bằng 0.

 Hai số phức bằng nhau: .

 Biểu diễn hình học: Số phức được biểu diễn bởi điểm hay

bởi vec tơ trong mặt phẳng tọa độ (mặt phẳng phức).

 Cộng, trừ số phức:

Số đối của là .

z biểu diễn bởi thì:

biểu diễn bởi biểu diễn bởi , z’ biểu diễn bởi .  Nhân hai số phức:

thì .

k là số thực, z biểu diễn bởi  Số phức liên hợp của số phức biểu diễn bởi là .

z là số thực , z là số ảo .

 Môđun của số phức :

với mọi và

với mọi .

 Chia hai số phức:

Số phức nghịch đảo của :

Thương của chia cho :

Với thì:

 Căn bậc hai của số phức

Z là một căn bậc hai của số phức .

là căn bậc hai của .

Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0. Số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau. Hai căn bậc hai của số thực là .

Hai căn bậc hai của số thực là .

II. Bài tập 1. Xác định các yếu tố của số phức Ví dụ 1 Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a)

b)

c)

d)

có phần thực là -1; phần ảo là -1.

có phần thực là -7; phần ảo là .

có phần thực là 13, phần ảo là 0. có phần thực là 1, phần ảo là 7. Giải: a) b) c) d)

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính:

Giải: a)

b)

c)

d)

Ví dụ 2: Cho . Hãy tính .

Giải:

và Tính môđun Ví dụ 3: Giả sử z1; z2 là hai số phức thỏa mãn

Giải: Đặt

Suy ra

Ta lại có:

Suy ra

Khi đó:

Tính giá trị biểu

Chú ý: Học sinh có thể đặt z1; z2 dạng đại số để tính. Ví dụ 4: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình thức Giải: Ta có:

Vậy

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn Tính

Giải:

ta có Với

ta có Với

Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn Tìm môđun của số phức

Giải: Ta có

Do đó Suy ra

Vậy

Ví dụ 7: Tính mô đun của số phức z biết rằng:

) Giải: Gọi z= a+ bi (a, b Ta có

Suy ra môđun:

Tính Ví dụ 8: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn điều kiện:

biết

Giải: Đặt

Đặt

Từ

Vậy

Ví dụ 9: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm số phức có mô đun nhỏ

nhất, lớn nhất. Giải: Đặt thì

Từ (1) ta có: Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z=3i và số phức có mô đun nhỏ nhất là z=i

Ví dụ 10: Biết rằng số phức z thỏa mãn là một số thực. Tìm giá trị

nhỏ nhất của

Giải: Đặt ta có

Ta có: Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z Tìm được M(-2;2) thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất suy ra z=-2+2i.

Ví dụ 11: Biết rằng số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của

Giải: Gọi ta có

nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất, lớn nhất khi và chỉ

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;-3) bán kính M là điểm biểu diễn của z thì khi OM lớn nhất.

Tìm được Min khi

và Max khi

Ví dụ 12: Cho ba số phức đều có mô dun bằng 1. Chứng minh rằng:

Giải: Vì

Nên

Suy ra

Ví dụ 13: Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãn thì

Giải: Đặt

Ta có:

Ta được vì >0 nên

Ví dụ 14: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: .

Giải: a) Gọi là căn bậc hai của . Khi đó:

và Vậy có hai căn bậc hai là: .

b) Gọi là căn bậc hai của . Khi đó:

và . Vậy có hai căn bậc hai là:

.

c) Hai căn bậc hai của -4 là d) Gọi là căn bậc hai của . Khi đó:

Vậy có hai căn bậc hai là: và .

2. Ứng dụng của số phức trong chứng minh bất đẳng thức Ví dụ:15 Chứng minh rằng các bất đẳng thức:

a)

b)

Giải:

a) Đặt

Ta có:

Và

nên ta có điều phải chứng minh. Do

b) Đặt

Làm tương tự như phần a) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu thì

Giải:

thì Giả sử

Ta có:

đpcm

vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện CMR:

Giải: Ta có với hai số phức bất kỳ ta có :

Ta có :

Đặt ta có

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài tập tự luyện 1. Cho các số phức :

a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức. b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức. c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.

2. Xác định phần thực, phần ảo và tính môđun của các số sau:

b)

a)

d) c)

g) e)

k) h)

. l)

3. Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

b)

d)

a) c)

Phạm Thị Thêu – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán http://baigiangtructuyen.vn/

Sđt: 01649 232 901 8