GV: Nguy n Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đ Nh th cễ ề ị ứ
Newton
NhÞ thøc newton vµ øng dông
I - NhÞ thøc newton
1 - C«ng thøc nhÞ thøc Newton:
Víi mäi cÆp sè a, -b vµ mäi sè nguyªn d¬ng ta cã:
(a + b)n = con an + c1n an – 1 b + c2n c1n – 2 b2 + … + cnn-1 abn – 1 + cnnbn
(*)
kkn
n
nk
k
nbaC −
=
∑
=
2 - C¸c nhËn xÐt vÒ c«ng thøc khai triÓn:
+ Sè c¸c sè h¹ng ë bªn ph¶i cña c«ng thøc (*) b»ng n + 1, n lµ sè mò cña
nhÞ thøc ë vÕ tr¸i.
+ Tæng c¸c sè mò cña a, b trong mçi sè h¹ng b»ng n.
+ C¸c hÖ sè cña khai triÓn lÇn lît lµ:
C0n; C1n; C2n; … Cn-1n; Cnn;
Víi chó ý: Ckn = Cnn–k 0 < k < n.
3 - Mét sè d¹ng ®Æc biÖt:
+ D¹ng 1: Thay a = 1 vµ b = x vµo (*) ta ®îc
(1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + …+ Cn-1n xn-1 + Cnn xn
+ D¹ng 2: Thay a = 1 vµ b = -x vµo (*) ta ®îc (2)
(1 - x)n = C0n - C2n x+ C2nx2 + …(-1) kCkn xk + …+ (-1)n Cnn xn (3)
4 - Mét sè hÖ thøc gi÷a c¸c hÖ sè nhÞ thøc
+ Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc
C0n + C1n x + C2n + …+ Cnn = 2n
+ Thay x = -1 vµo (3) ta ®îc:
C0n - C1n x + C2n - …+ (-1)n Cnn = 0
A - ¸p dông
I. ViÕt khai triÓn vµ tÝnh cña c¸c biÓu thøc sö dông khai triÓn ®ã:
Bµi 1: Thùc hiÖn khai triÓn:
TRUNG TÂM LTĐH TÀI Đ C TrangỨ1
1
1
−
+−
=
k
n
k
n
C
k
kn
C
GV: Nguy n Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đ Nh th cễ ề ị ứ
Newton
(3x – 4)5
CT: Ta cã (3x – 4)5
kk
k
kxC )4.()3( 5
5
0
5−= −
=
∑
= 35. C05 . x5 + 4.34 C15 x4 + … + 45 C55
Trong khai triÓn ®ã
+ Cã 6 sè h¹ng.
+ C¸c hÖ sè cã tÝnh ®èi xøng nhau
+ Ta cã c¸c hÖ sè cña 3 hÖ sè ®Çu cña c«ng thøc khai triÓn ®ã lµ c¸c hÖ
sè
C05 = 1 C15 = 5 C25 = 10
VËy (3x – 4)5 = 243x5 – 1620 x4 + 4320 x3 – 5760 x2 + 3840 x – 1024
Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
a: S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66
b: S2 = C05 + 2C15 + 22 C25 + … +25 C55
c: S3 = 317. C017 – 41. 316. C117 + 42. 315. C217 – 43.314. C37 + …-417.C1717
d: S4 = C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111
e:
0
1
2001
2002
2001
20022002
2000
2001
1
2002
2001
2002
0
20024 ...... CCCCCCCCS k
k
k+++++= −
−
Gi¶i:a ta cã
S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66 = (1 + 1)6 = 26 = 64
b:Ta cã (1 + x)5
k
k
kxC
∑
=
=5
0
5
(1)
Thay x = 2 vµo (1) ta ®îc:
S2 = C05 + 2C15 + 22. C25 + … +25 C55 = 35 = 243
c:Ta cã:
S3 = 317. C017 – 41. 316. C117 + 42. 315. C217 – 43.314. C37 + …-417.C1717
= C017.317+ C117.316(-4)1 + C217 315 (-4)2 + C317 314 (-4) + …+ C1717
(-14)17 = (3 – 4)17 = (3 – 4)17 = -1
d: Ta cã (1 + 1)11 = C011 + C111 + C211 + … + C611 + C211 +…+ C1111
MÆt kh¸c Ck11 = C1111-k víi k
∈
(0,1,2,…11)
Do vËy: (1 + 1)11 = 2 (C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111) = 2S4
TRUNG TÂM LTĐH TÀI Đ C TrangỨ2
GV: Nguy n Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đ Nh th cễ ề ị ứ
Newton
→S4 = 210
e: Ta cã
k
k
k
k
C
kk
k
k
kk
CC
2001
2001
20022002
2002
)!2001(!
!2002!2002
)!2001(
)!2002(
.
)!2002(!
!2002
....
=
−
=
−
−
−
=
−
−
Tõ ®ã: S5 = 2002 (
20012001
2001
1
2001
0
2001 )11(2002)... +=+++ CCC
Bµi 3: T×m sè nguyªn d¬ng n sao cho:
Con + 2 C1n + 4 C2n + … + 2n Cnn = 243 (1)
Gi¶i: Ta cã
Con + 2 C1n + 2 C2n + … + 2n Cnn = (1 + 2)n = 3n
VËy (1) ⇔ 3n = 243 = 35 ⇔ n = 5
Bµi tËp t¬ng tù
Bµi 4: ViÕt khai triÓn (3x – 1)16 vµ chøng minh r»ng
316. Co16 – 315 C116 + … + C1616 = 216.
Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau:
a: S1 = 2n C0n + 2n-2 C2n + 2n-4 C4n + … + Cnn
b: S2 = 2n-1 C1n + 2n-3 C3n + 2n-5 C5n + … +Cnn
c: S3 = C610 C710 + C810 + C910 + C1010
Bµi 6: TÝnh tæng
S =
II. T×m hÖ sè (t×m sè h¹ng) trong khai triÓn
Ph¬ng ph¸p: Víi c¸c yªu cÇu vÒ hÖ sè trong khai triÓn NEWTON, ta cÇn lu
ý:
1 – Ta cã: (a + b)n =
Do ®ã hÖ sè cña sè h¹ng thø i lµ Cin, vµ sè h¹ng thø i: Cin an-i bi
2 – Ta cã
Do ®ã: HÖ sè xk trong khai triÓn trªn lµ Cin víi i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
α ( n – i) +β i = k
§Æc biÖt khi k = 0 ®ã chÝnh lµ sè h¹ng kh«ng phô thuéc x.
VÝ dô 1: Cho biÕt hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 cña kiÕn thøc nhÞ thøc.
TRUNG TÂM LTĐH TÀI Đ C TrangỨ3
iin
n
n
i
baC
−
=
∑
1
0
∑∑
=
+−
−
=
==+
n
i
ini
n
i
in
n
i
i
n
n
xCxxCbx
0
)(
0
)()()(
βαβαβα
GV: Nguy n Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đ Nh th cễ ề ị ứ
Newton
Tõ ®ã, hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 , cña khai triÓn nhÞ thøc lµ:
VËy thø h¹ng thø 7 ®îc cho bëi
VÝ dô 2: Trong khai triÓn nhÞ thøc h·y t×m sè h¹ng kh«ng
phô thuéc vµo x biÕt.
Cnn + Cn-1n + Cn-2n = 79
Gi¶i: + XÐt PT: Cnn + Cn-1n + Cn-2n = 79 (1)
Ta cã PT (1)
(do n ∈ N)
Khi ®ã:
Sè h¹ng thø k + 1 kh«ng phô thuéc x trong khai triÓn.
T/m
VËy hÖ sè kh«ng phô thuéc x b»ng C512
VÝ dô 3: Cho biÕt ba sè h¹ng ®Çu tiªn cña KT
Cã c¸c hÖ sè h¹ng liªn tiÕp cña mét cÊp sè céng. T×m tÊt c¶ c¸c h¹ng tö
h÷u tû cña khai triÓn ®ã ®· cho.
Gi¶i: Ta cã:
Ta cã ba hµng tö ®Çu tiªn cña khai triÓn cã c¸c hÖ sè lµ:
c0n; c1n 2-1; c2n 2-2;
Ba hÖ sè liªn tiÕp theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng ⇔
C0n + C2n 2-2 = 2C1n 2-1 ⇔
TRUNG TÂM LTĐH TÀI Đ C TrangỨ4
( )
∑
=
−−−
=+=
+
n
i
ni
n
n
xxCxx
x
x
xx
0
3/212/53/22/52
)()(
9
072
72)1(36
)2(!2
!
36
2
2
=⇔
=−−⇔
=−⇔=
−
⇔=
n
nn
nn
n
n
C
n
2/763/232/56
9
84)()( xxxC =
−
( )
n
xxx
15/283 −
+
12
015679
2
)1(
1
2
=⇔
=−+⇔=
−
++⇔
n
nn
nn
n
∑
=
−−−
=+
12
0
5/28123/41215/28
3
)()()
k
kkk
n
xxCxxx
15
28
3
)12(4
12
0
12
kk
C
k
k
−
−
=
∑
=
50
15
28
3
)12(4 =⇔=−
−k
kk
n
x
x)
2
1
(
4
+
nknk
n
n
k
nn
xxCxx
x
x)2()()2()
2
1
(
4/112/1
0
4/112/1
4
−−−
=
−−
∑
=+=+
4
32
0
2
kn
k
n
k
x
=
−
=
∑
=
089
8
)1(
1
2
=+−⇔=
−
+nnn
nn
GV: Nguy n Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đ Nh th cễ ề ị ứ
Newton
a) Víi n = 1 ta ®îc kh«ng cã h¹ng tö h÷u tû
b) n = 8 ta ®îc:
Sè h¹ng thø k + 1 lµ hÖ sè h÷u tû ⇔ ( 16 – 3k)/4 ∈N, 0 < k < 8
⇔ ⇔
Víi k = 0 ⇔ h¹ng tö h÷u tû: Co8 20 x4 = x4
k = 4 h¹ng tö h÷u tû: C48 2-4
VÝ dô 4: T×m hÖ sè lín nhÊt trong khai triÓn (1 + x)n
CT: Ta cã (1 + x)n =
- C¸c hÖ sè trong khai triÓn lµ:
Con; C1n…; Cnn.
Ta cã ∀ n, k nguyªn, kh«ng ©m vµ k < n ta cã:
&
Ta cã:
Tøc lµ: Ckn t¨ng khi k t¨ng vµ
Ckn gi¶m khi k gi¶m vµ
VËy n lÎ th× Ckn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i
Víi n lÎ th× Ckn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = n/2
VÝ dô 5: T×m hÖ sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt cña khai triÓn (a + b)n biÕt r»ng
tæng c¸c hÖ sè b»ng 4096
CT : Tæng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n b»ng:
Con + C1n + C2n + … + Cnn = 2n = 4096 ⇔ n = 12
TRUNG TÂM LTĐH TÀI Đ C TrangỨ5
=
=
⇔8
1
n
n
4
316
8
8
0
8
4
2
1
k
kk
k
xcc
x
x
−
−
=
∑
=
+
16 – 3k = 4i; i ∈ N
0 < k < 8
=
=
4
0
k
k
xx 8
35
=
kk
n
n
k
xC
∑
=0
)!(!
!
knk
n
C
k
n
−
=
1)1()!1(
!
1
+−−
=
−
knk
n
C
k
n
2
1
11
1
1
1
1
+
<⇔>−
=
⇔>⇔<
−
−
n
k
k
n
C
C
CC
k
n
k
n
k
n
k
n
2
1
11
1
1
1
1
+
>⇔<−
=
⇔<⇔>
−
−
n
k
k
n
C
C
CC
k
n
k
n
k
n
k
n
2
1+
<n
k
2
1+
>n
k
2
1+
=n
k
+4
2
1
x
x