intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Các bài toán về nhị thức newton

Chia sẻ: Nguyễn Văn Huy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:20

Thêm vào BST
Báo xấu
716
lượt xem 101
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về Các bài toán về nhị thức newton...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài toán về nhị thức newton

  1. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton NhÞ thøc newton vµ øng dông I - NhÞ thøc newton 1 - C«ng thøc nhÞ thøc Newton: Víi mäi cÆp sè a, -b vµ mäi sè nguyªn d¬ng ta cã: (a + b)n = con an + c1n an – 1 b + c2n c1n – 2 b2 + … + cnn-1 abn – 1 + cnnbn n = ∑ C n a n−k b k (*) k k =n 2 - C¸c nhËn xÐt vÒ c«ng thøc khai triÓn: + Sè c¸c sè h¹ng ë bªn ph¶i cña c«ng thøc (*) b»ng n + 1, n lµ sè mò cña nhÞ thøc ë vÕ tr¸i. + Tæng c¸c sè mò cña a, b trong mçi sè h¹ng b»ng n. + C¸c hÖ sè cña khai triÓn lÇn lît lµ: C0n; C1n; C2n; … Cn-1n; Cnn; Víi chó ý: Ckn = Cnn–k 0 < k < n. n − k + 1 k −1 Cn = k Cn k 3 - Mét sè d¹ng ®Æc biÖt: + D¹ng 1: Thay a = 1 vµ b = x vµo (*) ta ®îc (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + …+ Cn-1n xn-1 + Cnn xn + D¹ng 2: Thay a = 1 vµ b = -x vµo (*) ta ®îc (2) (1 - x)n = C0n - C2n x+ C2nx2 + …(-1) kCkn xk + …+ (-1)n Cnn xn (3) 4 - Mét sè hÖ thøc gi÷a c¸c hÖ sè nhÞ thøc + Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc C0n + C1n x + C2n + …+ Cnn = 2n + Thay x = -1 vµo (3) ta ®îc: C0n - C1n x + C2n - …+ (-1)n Cnn = 0 A - ¸p dông I. ViÕt khai triÓn vµ tÝnh cña c¸c biÓu thøc sö dông khai triÓn ®ã: Bµi 1: Thùc hiÖn khai triÓn: TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang1
  2. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton (3x – 4)5 5 CT: Ta cã (3x – 4)5 = ∑ C5 (3x) .(−4) 5− k k k k =0 = 35. C05 . x5 + 4.34 C15 x4 + … + 45 C55 Trong khai triÓn ®ã + Cã 6 sè h¹ng. + C¸c hÖ sè cã tÝnh ®èi xøng nhau + Ta cã c¸c hÖ sè cña 3 hÖ sè ®Çu cña c«ng thøc khai triÓn ®ã lµ c¸c hÖ sè C05 = 1 C15 = 5 C25 = 10 VËy (3x – 4)5 = 243x5 – 1620 x4 + 4320 x3 – 5760 x2 + 3840 x – 1024 Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66 a: S2 = C05 + 2C15 + 22 C25 + … +25 C55 b: S3 = 317. C017 – 41. 316. C117 + 42. 315. C217 – 43.314. C37 + …-417.C1717 c: S4 = C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111 d: 2001− k S 4 = C2002C2002 + C2002C2001 + ... + C2002C2002−k + ... + C 2002 C10 0 2001 1 2000 k 2001 e: Gi¶i:a ta cã S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66 = (1 + 1)6 = 26 = 64 5 ∑C 5= k x k (1) b:Ta cã (1 + x) 5 k =0 Thay x = 2 vµo (1) ta ®îc: S2 = C05 + 2C15 + 22. C25 + … +25 C55 = 35 = 243 c:Ta cã: = 317. C017 – 41. 316. C117 + 42. 315. C217 – 43.314. C37 + …-417.C1717 S3 = C017.317+ C117.316(-4)1 + C217 315 (-4)2 + C317 314 (-4) + …+ C1717 (-14)17 = (3 – 4)17 = (3 – 4)17 = -1 d: Ta cã (1 + 1)11 = C011 + C111 + C211 + … + C611 + C211 +…+ C1111 ∈ MÆt kh¸c Ck11 = C1111-k víi k (0,1,2,…11) Do vËy: (1 + 1)11 = 2 (C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111) = 2S4 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang2
  3. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton →S4 = 210 ( 2002 − k )! 2002! 2001− k C 2002 .C 2002− k = ... k . k!(2002 − k )! (2001 − k )! e: Ta cã 2002!2002! = = 2002C 2001 k k!( 2001 − k )! ( C 2001 + C 2001 + ... + C2001 ) = 2002(1 + 1) 0 1 2001 2001 Tõ ®ã: S5 = 2002 Bµi 3: T×m sè nguyªn d¬ng n sao cho: Con + 2 C1n + 4 C2n + … + 2n Cnn = 243 (1) Gi¶i: Ta cã Con + 2 C1n + 2 C2n + … + 2n Cnn = (1 + 2)n = 3n VËy (1) ⇔ 3n = 243 = 35 ⇔ n = 5 Bµi tËp t¬ng tù Bµi 4: ViÕt khai triÓn (3x – 1)16 vµ chøng minh r»ng 316. Co16 – 315 C116 + … + C1616 = 216. Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: S1 = 2n C0n + 2n-2 C2n + 2n-4 C4n + … + Cnn a: S2 = 2n-1 C1n + 2n-3 C3n + 2n-5 C5n + … +Cnn b: S3 = C610 C710 + C810 + C910 + C1010 c: Bµi 6: TÝnh tæng S = C 2000 + C2000 + .3C2000 + ... + 2001C2000 0 1 2 2000 II. T×m hÖ sè (t×m sè h¹ng) trong khai triÓn Ph¬ng ph¸p: Víi c¸c yªu cÇu vÒ hÖ sè trong khai triÓn NEWTON, ta cÇn l u ý: n ∑ 1 n −i i n 1 – Ta cã: (a + b) = Cn a b i =0 Do ®ã hÖ sè cña sè h¹ng thø i lµ Cin, vµ sè h¹ng thø i: Cin an-i bi n −i n n 2 – Ta cã ( x α + b β ) n = ∑ C ni ( x α ) ( x β ) i = ∑ Cni x α ( n−i )+ β i =0 i =0 Do ®ã: HÖ sè xk trong khai triÓn trªn lµ Cin víi i lµ nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh α ( n – i) +β i = k §Æc biÖt khi k = 0 ®ã chÝnh lµ sè h¹ng kh«ng phô thuéc x. VÝ dô 1: Cho biÕt hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 cña kiÕn thøc nhÞ thøc. TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang3
  4. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton n  x  = ( x 5 / 2 + x − 2 / 3 ) = ∑ C n ( x 5 / 2 ) n −1 ( x − 2 / 3 ) n x 2 x + i x    i =0 Tõ ®ã, hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 , cña khai triÓn nhÞ thøc lµ: n! C n = 36 ⇔ = 36 ⇔ n(n − 1) = 72 2 2!( n − 2) ⇔ n 2 − n − 72 = 0 ⇔ n = 9 VËy thø h¹ng thø 7 ®îc cho bëi C96 ( x 5 / 2 ) 3 ( x −2 / 3 ) 6 = 84 x 7 / 2 VÝ dô 2: Trong khai triÓn nhÞ thøc x + x −28 /15 ) n ( x3 h·y t×m sè h¹ng kh«ng phô thuéc vµo x biÕt. Cnn + Cn-1n + Cn-2n = 79 Gi¶i: + XÐt PT: Cnn + Cn-1n + Cn-2n = 79 (1) n( n − 1) Ta cã PT (1)⇔ 1 + n + = 79 ⇔ n 2 + n − 156 = 0 2 (do n ∈ N) ⇔ n = 12 Khi ®ã: x3 x + x −28 / 15 )12 = ∑12=0 C nk ( x 4 / 3 )12−k ( x −28 / 5 ) k k 4(12 − k ) 28k 12 = ∑ C12 − k 3 15 k =0 Sè h¹ng thø k + 1 kh«ng phô thuéc x trong khai triÓn. T/m 4(12 − k ) − 28k = 0 ⇔ k = 5 3 15 VËy hÖ sè kh«ng phô thuéc x b»ng C512 VÝ dô 3: Cho biÕt ba sè h¹ng ®Çu tiªn cña KT 1 ( x+ )n 4 2x Cã c¸c hÖ sè h¹ng liªn tiÕp cña mét cÊp sè céng. T×m tÊt c¶ c¸c h¹ng tö h÷u tû cña khai triÓn ®ã ®· cho. n 1 ) n = ( x1 / 2 + 2 −1 x −1 / 4 ) n = ∑ C n ( x1 / 2 ) n −k (2 −1 x −1 / 4 ) n Gi¶i: Ta cã:( x + k 24 x k =0 2 n =3 k n = ∑ 2 −k x 4 k =0 Ta cã ba hµng tö ®Çu tiªn cña khai triÓn cã c¸c hÖ sè lµ: c0n; c1n 2-1; c2n 2-2; Ba hÖ sè liªn tiÕp theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng ⇔ n(n − 1) C0n + C2n 2-2 = 2C1n 2-1 ⇔ 1+ = n ⇔ n 2 − 9n + 8 = 0 8 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang4
  5. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton n = 1 ⇔ n = 8  1  x+ 4    a) Víi n = 1 ta ®îc kh«ng cã h¹ng tö h÷u tû  2 x 16 −3 k  1 8  x + 4  8 = ∑ c8 c −k x k 4 b) n = 8 ta ®îc:    2 x  k =0 Sè h¹ng thø k + 1 lµ hÖ sè h÷u tû ⇔ ( 16 – 3k)/4 ∈N, 0 < k < 8 k = 0 16 – 3k =4i; i ∈ N ⇔ ⇔ k = 4 0 1 ⇔ k < k −1 k 2 Cn n =1 n +1 k Cn C nk −1 > C nk ⇔ k −1 k 2 Cn n +1 Tøc lµ: Ckn t¨ng khi k t¨ng vµk < 2 n +1 gi¶m khi k gi¶m vµk > Ckn 2 n +1 VËy n lÎ th× Ckn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i= 2 k Víi n lÎ th× Ckn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = n/2 VÝ dô 5: T×m hÖ sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt cña khai triÓn (a + b) n biÕt r»ng tæng c¸c hÖ sè b»ng 4096 CT : Tæng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b) n b»ng: Con + C1n + C2n + … + Cnn = 2n = 4096 ⇔ n = 12 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang5
  6. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton ⇒ Ta ®i t×m gi¸ trÞ lín nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ: Co12; C112; …, C1212 Thùc hiÖn so s¸nh Ck12 vµ C12 k-1 b»ng c¸ch xÐt; 12! 13 − k 13 k!(12 − k )! k (1) C = = = −1 12 k −1 12! k k C 12 (k − 1)!(13 − k )! k C12 13 C12−1 < C12 ⇔ >1⇔ k < k k Tõ (1) suy ra k −1 2 C12 k C12 13 13 C12−1 > C12 ⇔ < 1 ⇔ k < −1 < 1 ⇔ k > k k k −1 2 2 C12 VËy Ck12 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = 6 vµ C6n = 924 VÝ dô 6: T×m sè h¹ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt cña khai triÓn. 12 ak = C2k7( )27− k( )k = C2k722k− 273− k (0 ≤ k ≤ 27) 23 Gi¶i: Ta cã gäi tk lµ sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn. 8 8−k h Ta cã a = C ( ) ( ) = C 2 3 (0 ≤ k ≤ 27) = ∑ C8 1  2  k 1 27 − k 2 k k 2 k − 27 − k k   k 27 27 3  3  K =0 23 8−k k 1  2  k C   2(9 −k ) 8 tk 3  3  = = XÐt (1) 9− k− k 1 tk − k k 1 1  2  C8 −     1 3  3  Tõ (1) suy ra: 2(9 −k ) t tk – 1 < t k ⇔k > ⇔ > ⇔ t k ⇔k < ⇔ < ⇔ 6 VËy tk ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = 6 vµ cã gi¸ trÞ b»ng 2 6 1  2  1792 C    = 6 8 3  3  2187 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang6
  7. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton Px = ( 1 + 2x)12 VÝ dô 7: Khai triÓn ®a thøc . Thµnh d¹ng P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a20x10 Max (a1 a2 … a12) 12 12 Gi¶i: Ta cã (1 + 2x)12 =∑C12 ( 2 x) k =∑C12 2 k x k k k k= k= 0 0 ak = Ck12 2k víi k = 1,12 Suy ra : 12! k+ k k k!(12 −k )! ak C2 1 = = = XÐt (1) 12 2− !12 k+ 2k + 2(12 −k ) 1 1 ak + C 1 n ( k + ) (11 −k )! 1! Tõ (1), suy ra: k +1 a 23 ak + 1 < ak ⇔ a > 1 ⇔ 2(12 − k ) > 1 ⇔ k > 3 k k +1 k +1 ak 23 ak + 1 > a k ⇔ 2C n 8 9 C n 2 > C n 2 99  Cn  25 ⇔ 8 ⇔  8 1 7 ⇔ 11 ≤ n ≤ ⇒ n = 12 88 Cn > Cn Cn 2 > Cn 2 Cn 1 77 2  >   2   Cn 2 7   VD9: Cho khai triÓn1 + 2 x) n ( 2 3 1 – BiÕt tæng hai hÖ sè ®Çu vµ hai lÇn hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 trong 1285 khai triÓn b»ng . T×m hÖ sè lín nhÊt trong c¸c hÖ sè khi khai triÓn nhÞ 2n thøc trªn. TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang7
  8. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton 2 – BiÕt h¹ng tö thø 11 cã hÖ sè lín nhÊt. T×m n. 12 01 11 2 14 9 ( + x) n = C n n + C n n−1 + x + C n n − 2 x 2 + ... + C nn ( ) n x n 2 23 3 29 3 2 2 Gi¶i: Ta cã 01 11 2 1 4 1285 C n n + C n n−1 + + 2C n2 n− 2 = n 3 29 2 2 2 Theo gt 4n 16(n − 1) 1+ + = 1285 ⇔ 16n 2 − 4n = 11556 = 0 ⇔ 3 9 ⇔ n = 27 (tho¶ m·n) hoÆc n = -26,75 (l) 27 12 k1 2 ( :+ x) 27 = ∑ C 27 ( ) 27 − k ( ) k x k VËy n = 7 ta cã khai triÓn 23 2 3 k =0 1 27− k 2 k HST9: a k = C 27 ( ) ( ) = C 27 2 2 k − 27 3 − k (0 ≤ k ≤ 27) k k 2 3 2 ( k +1) − 27 − ( k +1) 4 27 − k a k +1 k −1 2 .3 LËp tØ sè: = C 27 . k 2 k −27 −k = ≥ 1 ⇔ 0 ≤ k ≤ 15 5 k +1 ak C 27 2 3 Do ®ã (ak) t¨ng khi 0 < k < 15 => (ak) max = a15 Do ®ã (ak) gi¶m khi 16 < k < 27 => (ak) max = a16 a16 3 17 − 15 = = 1 = >a16 = a15 Mµ a15 4 16 Nªn (ak) max = a15 = C2723. 3-15. 2) KÕt qu¶: n ∈{17, 18, 19 }lµm t¬ng tù VD8 VD10: T×m c¸c h¹ng tö lµ sè nguyªn trong khi khai triÓn. x2 Gi¶i: ta cã ( + )n 55 19 − k k 19 19 ( 3 + 2 ) = ∑ C ( 3) ( 2) = ∑ C 3 19 − k 3 19 k k k 3 2 3 2 19 19 k =0 k =0 §Ó h¹ng tö lµ sè nguyªn th×  k∈N  m, k ∈ N  m, k ∈ N  0 ≤ k ≤ 19  0≤m≤6  0 ≤ k ≤ 19  m =1⇒ k = 3  0 ≤ k ≤ 19 19 − k 19 − 3m     ∈ N ⇔  k = 3m ⇔ 19 − 3k ⇔ ∈N ⇔ m =5⇒ k =9   2 ∈N 2 2 19 − k m = 5 ⇒ k = 15  k∈N  k ∈N    0 ≤ 3m ≤ 19 ∈N  2 3  VËy c¸c h¹ng tö lµ sè nguyªn lµ C319 38 2; C919 35 23; C1519 32 25 1 3 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang8
  9. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton VD11: BiÕt r»ng trong khai triÓn (x - )n = C0n x4 – C1n1xn-1 + C21 xn-2 n 9 3 1 - …(1)n Cnn ( )n HÖ sè cña h¹ng tö thø ba 3 1 n! = 45 ⇔ n(n − 1) = 90 Trong KT trªn lµ : 9 C2n = 5  2!( n − 2)!  n2 – n – 90 = 0  n = 10 hoÆc n = -9 (lo¹i) 1 )10 sÏ cã 11 sè h¹ng. Khi n = 10 th× khai triÓn (x - 3 Do ®ã sè h¹ng chÝnh gi÷a lµ sè h¹ng thø 6 ®ã lµ: 1 28 C10 x 5 (− ) 3 = − x 5 5 3 27 III – TÝnh c¸c tæng Ckn vµ cm®t chøa Ckn Bµi 1: Víi n sè nguyªn d¬ng CMR a) C1n + 2 C2n + … + (n – 1) Cn-1n + n Cnn = n. 2n-1 b) 2.1 C2n + 3.2 C3n + … + n (n – 1) Cnn = n (n – 1) 2n-2 CM: Víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã; (1 + x)n = C0n + C1n x+ C2n x2 + … + Cn-1n xn-1 + Cnn xn (1) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo x ta ®îc. n(1 + x)n-1 = C1n + 2C2n x + … + (n - 1) Cn-1n. xn-2 + n Cnn xn-1 (2) a) thay x = 1 vµo (2) ta ®îc. n. 2n-1 = C1n + 2 C2n + … + (n – 1) Cn-1n + n Cnn (§PCM) b) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo x Ta ®îc: n(n –1) (1 + x)n-2 = 2.1 C2n + 3 . 2 C2n x + … + (n – 1) (n – 2) Cn-1n xn-3 + n (n – 1) Cnn xn-2 (3) Thay x = 1 vµ (3) ta ®îc. n(n –1) 2n-2 = 2.1 C2n + 3 . 2 C2n x + … + (n – 1) (n – 2) Cn-1n + + n(n-1) Cnn (§PCM). * Chó ý: (1) NÕu ph¶i tÝnh tæng cã d¹ng: S1 = C1n + 2C2n ∝ + 3 C3n ∝ + … + (n-1) Cn-1n ∝n-2 + n Cnn ∝n-2 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang9
  10. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton n ∑k + XÐt khai triÓn (1 + x) = C n xn n (1) k =0 + LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo x ®îc: n n(1 + x)n-1 = ∑ C nk x k −1 (2) k =0 + Thay x = ∝ vµo (2) ⇒ kÕt qu¶. + NÕu ph¶i tÝnh tæng d¹ng. S1 = 2. 1C2n + 3.2C3n ∝ + … + (n-1) (n-2) Cnn-1 ∝n-3 + n (n-1)(n – 2)Cnn-1 ∝n-3 + n(n-1) Cnn ∝n-2 Ph¬ng ph¸p: + XÐt khai triÓn (1) + LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo x ®îc (2) + LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo x ®îc n =∑ k (k − 1)C n x k k −2 n-2 n(n-1) (1+x) (3) k =0 Thay x = ∝ vµo (3) ⇒ kÕt qu¶ Ch¼ng h¹n tÝnh tæng: C1n + 22 C2n 1 + 3 C3n22 + … + (n-1) Cnn-1 cn-2 + n Cnn 2n-1 = n(1+ 2) n-2 = n3n-2. VD2: CM c¸c ®¼ng thøc sau: C1n3n-1 + 2 C2n. 3n-2 + … + (n-1) Cnn-1 3 + n Cnn = n 4n-1 (1) Híng dÉn: 1 k. Ckn 3n-l = k Ckn. 3-k+1. 3n-1 = k 3n-1 Ck3 k − 1 C1: §Ó ý: n 1 1 Tõ ®ã (1) ⇔ C1n 3n-1 + 2 C2n 3n-1 + … + (n – 1) Cnn-1 n–2 3 3 1 + 3n-1 n Cnn = n. 4n-2 n-1 3 1 1 1 ⇔ C1n + 2 C2n + … + ( n – 1) Cnn-1 ( )n-2 + n Cnn 3 k-1 3 3 4 1 = n ( 3 )n-1 = n (1 +3 )n-1 1 ⇒ Thay x = vµo (2) ta ®îc ®pcm 3 C¸ch 2: §Ó ý : n. 4n-1 = n (3+ 1)n-1 n (3 + x ) n = ∑ C n 3 n − k x k k k =0 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang10
  11. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton ⇒ XÐt khai triÓn (1) + LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x ta ®uîc. n = ∑ kC n 3 n−k x k −1 n −1 (3 + x ) k (2) k =0 + Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc. n(3 + 1)n-1 = C1n 3n-1 + 2 C2n 3n-2 + … + n Cnn 3n-1 ⇔ ®iÒu ph¶i chøng minh * Chó ý: TÝnh tæng cã d¹ng. S3 = C1n ∝n - 1 + Cn2 ∝n-2 +… + (n-1) Cnn-2 ∝ + n Cnn n + XÐt khai triÓn (∝ + x)= ∑ kC nk α n−k x k −1 n C¸ch 1: (1) k =0 + LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x n Ta ®îc n(∝ + x)n-1 = ∑ kC nk α n−k x k −1 (2) k =0 Trong (2) thay x = 1 vµo ta ®îc kÕt qu¶ VD3: CMR 2n-1 C1n + 2n-1 C2n + 3.2n-3 C3n + 4. 2n-4 C4n + … + n Cnn = n. 3n-1 1 (lµm t¬ng tù VD2 víi ∝ = 2 VD4: 1. Chøng minh c¸c hÖ thøc sau: Con + 2 C1n + 3 C2n + … + (n + 1) Cnn = (n + 2) 2n-1 2) TÝnh tæng : S = 2 . 1 C1n + 3. 2 C2n + … + n (n – 1) Cnn-1 + (n + 1) n Cnn. Gi¶i: a) C¸ch 1: XÐt khai triÓn: (1 + x)n = Con + C1n + C2n x2 … + Cnn-1 xn-1 + Cnn cn ⇒ f(x) = x (1 + x)n = Con x + C1nx2 + C2n x3 + … + Cnn-1- xn +Cnn xn+1 (1) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) ta ®îc. (1 + x)n + xn (1 + x)n-1 = C0nx + C1nx2 + C2nx3 +…+n Cnn-1 xn-1 + + n(n+1) Cnn xn (2) Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc. 2C1n + 3 . 2 C2n + … + n(n-1) Cnn-1 + (n + 1) n Cnn = (2 + n) 2n-1 ⇒ ®pcm. TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang11
  12. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton b) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) ta ®îc. n(1+x)n-1 + n (1+ x)n-1 + n. x (n –1) (1 + x)n-2 = 2 C1n + 3.2 C2n x + … + n (n-1) Cnn-1 cn-2 (n+1) n Cnn xn-1 (3) Thay x = 1 vµo (3) ta ®îc. S = 2 C1n + 3. 2 C2n + … + n (n-1) Cnn-1 + (n+ 1) n Cnn = 2n . 2n-1 + n (n-1) 2n-2 = n. 2 n-2. (n + 1) • Chó ý: TÝnh tæng: (1) S4 = Con + 2 C1n ∝ + 3 C2n∝2 + … + n Cnn-1 ∝n-1 + (n+1) Cnn ∝n. Ph¬ng ph¸p: -XÐt khai triÓn: n (1 + x)n = ∑ C nk x k (1) k =0 + Nh©n 2 vÕ cña (1) víi x ta ®îc. n x (1 + x)n = ∑ C nk x k +1 (2) k =0 LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo biÕn x ta ®îc n = ∑ (k + 1)C n x k k (1 + x)n + nx (1 + x)n-1 (3) k =0 Thay x = ∝ vµo (3) ⇒ kÕt qu¶ tæng S4. (2) S5 = 2. 1 C1n + 3. 2 C2n∝ + … + n (n – 1) Cnn-1 ∝n-2 + (n + 1) n Cnn ∝n-1 Ph¬ng ph¸p: LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (3) sau ®ã thay x =∝ => kÕt qu¶. VD5: TÝnh tæng. S1 = 2 C1n + 3. 22 C2n + 4.3 C2n 22 +…+ n (n-1) Cnn-1 2n-2 + + (n+1) n Cnn 2n-1 S2 = 12 C1n + 22 C2n + 33 C3n 42 C4n +…+ p2 Cpn + …+ n2 Cnn HD : §Ó ý p2Cpn = p.p Cpn = p [(p+1) –1] Cpn = p(p+1) Cpn – p Cpn. ⇒ S2 = [2 C1n + 3. 2 C2n + … + p (p+1) Cpn + … + (n + 1) n Cnn] - [ C1n + c2n + … + pCpn + … + n Cnn ] Gi¶i: XÐt f(x) = (1 + x)n = Con + C1nx + C2n x2 + C3n x3 + … + Cnn xn TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang12
  13. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton Vµ g(x) = x (1 + x)n = Conx + C1x x2 + C2n x3 + C3n x4 + … + Cnn xn+1 Ta cã f(x) = n (1 + x)n-1 = C1n + 2 C2nx + 3 C3n x2 + … + n Cnn xn-1. ⇒ f(1) = n. 2n-1 = C1n + 2 C2n + 3 C3n + … + n Cnn (1) g’(x) = (1+ x)n + nx (1 + x)n-1 = Con + 2 C1nx + x C2n x2 + 4 C3n x3 + … + (p + 1) Cpn xp + … + (n-1) Cnn xn. g’’(x) = 2n (1 + x)n-1 + n (n – 1) x (1 + x) n-2 = 2 C1n + 3 . 2 C2n + 4 . 3 C3n x2 + … + (p + 1) p Cpn xp-1 + … + (n + 1) n Cnn xn-2 ⇒ g’’ (1) = 2n. 2n-1 + n (n-1) 2n-2. = 2 C1n+ 3. 2 C2n + 4. 3 C3n + … + (= + 1) p Cpn + … + (n + 1) n Cnn. LÊy (2) – (1) ⇒ S2 = 2n. 2n-1 + n ( n- 1)n-2 – n. 2n-1 = n. 2n – 2 (3n – 1). VD6: Víi n nguyªn d¬ng h·y chøng minh. (1) 4n Con – 4n-1 C1n + 4 n-2 C2n + … + (-1)n Cnn. = Con + 2 C1n + … + n 2n-1 Cnn + … + 2n Cnn. (2) C1n + 4 C2n + … + n.2n-1 Cnn = n. 4n-1 Con – (n-1) 4n-2 C1n + (n-2) 4n-3 C2n + … + (-1)n-1 Cnn-1. Gi¶i (1) víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã. (4 – x)n = Con + 4n – C1n 4n-1 x + 4n-2 C2n x2 + … + (-1)n Cnn xn (1) Thay x = 1 vµ (1) 3n = Con 4n- C1n 4n-1 + C2n 4n-2 + … + (-1)n Cnn (*) Víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã: (1 + x)n = Con + C1n x + … + Cnn xn (2) Thay x = 2 vµo (2) ta ®îc; 3n = Con C1n 2 + 22 C2n + … + 2n Cnn (**) Tõ (*) vµ (**) ⇒ ®pcm. (2) víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã: TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang13
  14. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton (1 + x)n = Con + C1nx + C2n x2+ … + Cnn-1 xn-1 + Cnn xn (1) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo biÕn x ta ®îc: n (1 + x)n-1 = C1n + 2 C2n x + … + (n-1) Cnn-1 xn-2 + n Cnn xn-1 (2) Thay x = 2 vµo (2) ta ®îc. n. 3n-1 = C1n + 4 C2n + … + ( n- 1) Cnn-1 xn-2 + n Cnn xn-1 (3) Víi mäi x vµ n nguyªn d¬ng ta cã (x – 1)n = Con xn - C1nxn-1 + … + (-1)n Cnn (4) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (4) theo biÕn x (x – 1)n-1 = n Con xn-1 - (n-1)C0n xn-2 + … + (-1)n-1 Cnn-1 (5) Thay x = 4 vµo (5) ta ®îc. n. 3n-1 = n. 4n-1 Con – (n-1) 4n-2 C1n + (n-2) 4n-3 (C2n + … + (-1)n-1 Cnn-1 (6) Tõ (3) vµ (6) => ®iÒu ph¶i chøng minh. n n ∑ k (k =∑ Chó ý; Nh vËy ®Ó tÝnh tæng cã d¹ng kCnk =hoÆc − 1)C n k k = −0 k = −0 Ta lÊy ®¹o hµm mét hoÆc hai lÇn cña nhÞ thøc Niu t¬n. Bµi tËp luyÖn tËp: TÝnh c¸c tæng sau: 2005 1) S1 = 2006. 32005. C02006 + 2005. 32004. C12006 + C22006 + …2006 C+ HDG: + XÐt khai triÓn (x + 1)2006 = x2006 C02006 + x2005 C12006 + …+ (1) 2005 C 2006 + LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) C 2005 2006. (x + 1)2005 = 2006.x2005 C02006 + 2005 x2004 C12006 + … 2006 + (2) + Thay x = 3 vµo (2) => S1 = 2006.42005. 2) S2 = 52005. C12006 + 2.52004 .4.C22006 + 3.52003. 42 C32006 +…+2006.42005 2005 C 2006 2006 HDG: + XÐt khai triÓn : (5 + x)2006∑ C 2006 .52006−k x k =k (1) k =0 2006 + LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) ta ®2006(5 + x) 2005 ∑ C 2006 .5 2006−k x k −1 k îc (2) k =0 + Thay x = 4 => S2 = 2006.92005. TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang14
  15. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton 3) S3 = 99.398 C099 – 98 . 397 C199 + 97 . 396 C299 - … + C9899 99 ∑k HDG: + XÐt KT (x + 1)99 = C99 .x 99−k k =0 99 + LÊy ®¹o hµm 2 vÕ (1) theo x ®îc (2) = (x + 1) ∑ C (99 − k ) x 98− k k 98 = 99 k =0 + Thay x = -3 vµo (2) ®îc S3 = 99.298 4) S4 = C02006 + 2C12006 + 3C22006 + 4C32006 + …+ 2007 2006 C 2006 HDG: + T¸ch S4 = I + J; I = C02006 + C12006 + …+ 2006 C 2006 2006 C 2006 Vµ J = C12006 +2C22006 + 3C32006 + …+ 2006 C2: Nh©n 2 vÕ khai triÓn (1 + x) 2006 víi x lÊy ®/h 1 vÕ theo x sau ®ã thay x = 1 => kÕt qu¶. 2006 C 2006 5) S5 = 3 C02006 + 4C12006 + 5C22006 + …+ 2009 2006 ∑k k ==0 C 2006 .x 2006 HDG: + XÐt KT: (1 + x) (1) k 2006 =∑ C 2006 .x k +3 k 3 3 2006 + Nh©n 2 vÕ (1) víi x : x (1 + x) (2) k =0 + LÊy ®/h 1 vÕ cña (2) theo x ®îc (3) + Chän k = 1 => kÕt qu¶ S5 = 22005. 2012 2007 6) S6 =4.53 C02007 + 5.54 C12007 + 6.55 C22007 +…+ 2011.5C 2007 2010 XÐt KT : x4 (1 + x)2007 lµm t¬ng tù VD5. * NhËn xÐt: víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã: n ∑ xk (1) (1 + ) n = k x Cn k=0 LÊy tÝch ph©n theo x hai vÕ cña (1). Ta ®îc. 1 1 n ∑ ∫ ∫ (1 + ) n dx = k xk x C n k=0 0 0 1 1 (1 + ) n + xk+ 1 1 n x ∫∑ k +∫ ⇔ k C n n+ 1 10 k=0 0 n+ t k +Cn (1 + ) − 1 1 k n x 1 ∑k + ⇔ = (2) n+ 1 1 k= 0 + Thay t = 1 vµ (2) ta ®îc 2n+ − 1 k n 1 Cn ∑+ = 1+ n k= k 1 0 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang15
  16. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton Hay 2n+ 3n + − 22 23 1 1 1 2C n + Cn + Cn + + Cn = 0 1 2 n ... n+ n+ 2 3 1 1 Thay t = -1 vµo (2 ) ta ®îc (1− k + C n (−) k Cn − )1k k n n 1 1 1 ∑ k+ ∑k+ = ⇔ = n+ n+ 1 1 1 1 k= k= 0 0 Hay : C1C2 n Cn 1 n − + n + + −) n = 0 2C ... ( 1 n 1+ 1+ 1+ 1+ 1 2 n n Thay t = 2 vµo (2) ta ®îc: 3n + − 2 k Cn k 1 n 1 ∑+ = n+ 1 0k 1 k= Hay 2n+ 3n + − 22 23 1 1 1 2C n + Cn + Cn + + Cn = 0 1 2 n ... n+ n+ 2 3 1 1 + XÐt khai triÓn: n (1 − x) n = ∑(−1) k Cn x k = Cn − Cn x + Cn x 2 + ... + ( −1) k Cn x k + ... + ( −1) n C1n (1) n k 0 1 2 k k =0 x = 1/3 vµo (1) ta ®îc n  1 11 1 1  −  = n − Cn + 2 Cn + + − ) C0 2 ... ( 1 n n Cn n 1 3 3 3 3  2n 11 1 1 ⇔ n = n − Cn + 2 Cn + + − ) n C0 2 n ... ( 1 Cn 3 3 3 3 Ta cã  n 11 11 1 1 2 n = n  n − Cn + Cn + 2 Cn + + − ) n n Cn  3 C0 2 ... ( 1 Tõ khai triÓn (1) ta 3 cã:   3 3 3 [ ] n +1 2 (1 − x) 1 2 2 I = ∫ (1 − x) n dx = ∫ (1 − x) n d (1 − x) = − = 1 + (−1) n (2) 1+1 0 n +1 0 0 MÆt kh¸c: x k +1 2 n n ∑ (−1) C x = ∑ 2 I =∫ (−1) C k k k k k n n k +1 0 k =0 k =0 0 (−1) n +1 n k 11 12 = 2C n − 2 2 C n + 2 3 C n + ... + 0 2 Cn (3) n +1 2 3 Tõ (2) vµ (3) ta cã ®¼ng thøc: [ ] (−1) k n+1 n 11 12 1 = 2C n − 2 2 C n + 2 3 C n + ... + 2 Cn = 1 + ( −1) n 0 n +1 n +1 2 3 Chó ý: §Ó tÝnh tæng d¹ng k k n n Cn Cn ∑ ∑ = k +1 ( k + 1)(k + 2) k = −0 k = −0 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang16
  17. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton hoÆc Ta lÊy tÝch ph©n 1 hoÆc 2 lÇn cña nhÞ thøc Niu t¬n. VÝ dô 7: CM (−1) n C nn C n C n2 1 2.4...2n Cn − + − ... + = 0 2n + 1 3.5...( 2n + 1) 3 5 Gi¶i: 1 XÐt: I n = ∫0 (1 − x ) dx 2n víi n∈ N Ta x¸c ®Þnh tÝch ph©n In b»ng ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn, víi ®Æt: u = (1 − x 2 ) n du = −2nx (1 − x 2 ) n−1 dx ⇔  dv = dx v = x Khi ®ã: [ ] n −1 1 1 I n = x(1 − x 2 ) n 1 +2n ∫ (1 − x 2 ) x 2 dx = −2n ∫ (1 − x 2 ) (1 − x 2 ) − 1dx 0 0 0 = −2n  ∫ x(1 − x 2 ) n dx − ∫ (1 − x 2 ) n−1 dx  − 2n( I n − I n−1 ) 1 1 0    0 2n 2(n − 1) 2 2n 2.4...2n 1 ∫0 dx I n −1 = (1) ⇔ In = .... I 0 = 2n + 1 2n + 1 2n − 1 3.5...(2n + 1) 3 n Ta cã = 2.4...2n(1 − x) n = ∑ (−1) k Cnk x k 3.5...(2n + 1) k =0 n (1 − x 2 ) n = ∑ (−1) k C n x 2 k (2) Suy ra k k =0 LÊy tÝch ph©n theo x hai vÕ cña (2), ta ®îc. x 2 k +1 n 2 (1 − x 2 ) n dx = ∫ (−1) k Cnk x 2 k = ∑ (−1) k C n 1 1 ∫ k 2k + 1 0 0 0 k =0 (−1) C 1 2 n n C C (3) = Cn − + − ... + 0 n n n 2n + 1 3 5 Tõ (1) vµ (3) suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. VD 8: CM: 2 n+1 − 1 1 C2 Cn Cn Cn + + n + ... + n = 0 1+1 1+ 2 1+ n n +1 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang17
  18. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton Ta tÝnh tÝch ph©n + x) n dx 1 ∫ (1 0 2 n+1 − 1 1 Ta ®îc (1) ∫ (1 + x) n dx = n +1 0 MÆt kh¸c ta cã ( 1 + x)n = C 0 + C 1n .x + C 2 .x 2 +…+ C n . x n n n n 1 1 1 1 1 LÊy TP ta cã ∫ (1 + x) dx = C n ∫ dx + C n ∫ x.dx + C n ∫ x dx + ... + C n ∫ x .dx n 0 1 2 2 n n 0 0 0 0 0 n +1 2 −1 1 2 n C C C Cn + + + ... + = 0 n n n = 1+1 1+ 2 n +1 n +1 (−1) n C nn −1 111213 C − C n + C n − C n + ... + = 0 VD 9: CM n n +1 n +1 2 3 4 −1 −1 Ta tÝnhI = ∫0 (1 + x ) n dx = n + 1 (1) Ta cã: (1 + x) n = C n + C n x + C n x 2 + C n x 3 + ... + C n x n 0 1 2 3 n −1 −1 −1 −1 −1 ⇒∫ (1 + x) n dx = C n ∫ dx + C n ∫ ( xdx + C n ∫ x 2 dx + ... + C nn ∫ 0 1 2 xn 0 0 0 0 0 x n+1 x 2 −1 3 2x −1 ∫0 0− −1 (1 + x) n dx = C n x 01 + C n+ Cn + ... + C n 1 1 n 0 0 0 n +1 2 3 n +1 (−1) 1112 = −C n + C n − C n + ... + 0 n C n ( 2) n +1 2 3 VËy Tõ (1) vµ (2) => ®iÒu ph¶i chøng minh 1 =∫ x VD 10: 1. - TÝnh tÝchI ph©n(1 − x ) dx 2n 0 (−1) n n 101112 1 Cn − Cn + Cn + ... + Cn = 2 – CM 2 2n + 2 2(n + 1) 4 6 11 1 1- Ta cã: I = ∫0 x(1 − x ) dx = − 2 ∫0 (1 − x ) d (1 − x ) 2n 2n 2 1 (1 − 2 2 ) n+1 1 1 ∫0 = 2(n + 1) (1) =− 2 n +1 2 – Theo khai triÓn nhÞ thøc Niu t¬n ta cã (1 + x) n = C n + C n x + C n + C n x 2 + ... + C n x n 0 1 2 2 n ⇒ (1 + x) n = C n − C n (− x 2 ) + C n2 (− x 2 ) 2 + ... + C nn (− x 2 ) n 0 1 ⇒ x(1 − x) n = xC n − x 3C n + x 5 C n + ... + (−1) n x 2 n +1C nn 0 1 2 x 2 n +1 1 2 1 1 x4 1 1 1 ⇒ ∫ x (1 − x 2 ) n dx = x 0 Cn − C n + ... + (−1) n 1 0 0 2n + 1 2 4 0 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang18
  19. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton = 101112 (2) (−1) n n C n − C n + C n + ... + Cn 2n + 2 2 4 6 So s¸nh (1) vµ (2) => ®iÒu ph¶i chøng minh. Bµi tËp: Bµi 1: Chøng minh r»ng: C 2 n + C 2 n + C 2 n + ... + C 2 n = C 2 n + C 2 n + C 2 n + ... + C 22nn−1 0 1 4 2n 1 3 5 Bµi 2: Chøng minh r»ng: (C n ) 2 + (C 2 n ) 2 + ... + (Cn ) 2 = C2 n 0 1 n n Bµi 3: Chøng minh: (C n ) 2 + (C2 n ) 2 + (C2 n ) 2 ... + (C2 n ) 2 = (−1) n C 2 n 0 1 2 2n 1 Bµi 4: Chøng minh r»ng: (-1)n C0n + (-1)n-1 2C1n + … + (-1)n-k 2k Ckn + 2n Cnn = 1 Bµi 5: Chøng minh r»ng: C02n + C12n + C42n + … + (C22nn ) 2 = 22n-1 Bµi 6: chøng minh r»ng: (−1) n n 1011 1 Cn − Cn + ... + Cn = 2n + 2 2(n + 1) 2 4 Bµi 7: Chøng minh r»ng: 2 n+1 − 1 1011 1 C n − C n + ... + Cn = n 3n + 3 3(n + 1) 3 6 Bµi 8: Chøng minh r»ng víi c¸c sè k, n∈N vµ 5 < k < n ta cã 1k C n +5 = C 5 C n + C C n −1 + ... + C 55 C n −1 k 0k k 5 Bµi 9: TÝnh tÝch ph©n 1 I = ∫ x(1 − x 2 ) n dx 0 Chøng minh r»ng: (−1) n C n n 101112 1 C n − C n + C n − ... + = 2(n + 1) 2(n + 1) 2 4 6 Bµi 10: Cho n lµ mét sè tù nhiªn lín h¬n 2 a – TÝnh tÝch ph©n 1 I = ∫ x 2 (1 − x 2 ) n dx 0 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang19
  20. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton b – Chøng minh r»ng 2 n+1 − 1 10 11 12 1 cn + cn + cn + ... + Cn = n 3n + 3 3(n + 1) 3 6 9 Bµi 11: TÝnh tÝch ph©n: 1 I = ∫ x(1 − x)19 dx 0 Rót gän tæng 10 11 12 1 18 1 19 S = C19 − C19 + C19 − ... + C19 − C19 2 3 4 20 21 Bµi 12: Cho f(x) = x (x + 1)2001 a – TÝnh f (x) b – TÝnh tæng S = C 2001 + 2C 2001 + ... + 2001C 2001 + 2002C 2001 0 1 2000 2001 Bµi 13: TÝnh tæng S = C2005 + 2C 2005 + ... + 2003C 2005 + 2006C2005 0 1 2004 2005 Bµi 14: Chøng minh r»ng víi c¸c sè m, p, n nguyªn, d¬ng sao cho. p −1 p −1 1 P< n vµ p < m ta cã C n+ m = C n Cm + Cn C m + ... + C n C n + C n Cm p 0 p 1 p0 TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2