Các yếu tố của hình học cầu

1

Các yếu tố của hình học cầu

1. Hình học cầu nghiên cứu tính chất của các hình nằm trên một mặt cầu nào đó.

Ta ký hiệu mặt cầu này là S, tâm của nó là O, bán kính r.

Lấy măt phẳng Π| ρ(O, Π) < r. Khi đó, S ∩ Π là một đường tròn. Đường tròn đó được

gọi là đường tròn lớn nếu O ∈ Π, gọi là đường tròn nhỏ nếu O /∈ Π. Trong hình học cầu,

các đường tròn lớn đóng vai trò như các đường thẳng thông thường trên mặt phẳng. Ở

đây có các kết quả tương tự: Với 2 điểm A, B bất kỳ thuộc S luôn tồn tại đường tròn lớn

đi qua A,B. Nhưng cũng có những khẳng định hoàn toàn khác: Qua 2 điểm A,B có vô

số đường tròn lớn đi qua, đường tròn đó chỉ duy nhất khi A, B không là hai điểm xuyên

tâm đối của S. Hơn nữa trên mặt phẳng Euclid hay trên mặt phẳng Lobasepsiky, tồn tại

hai đường thẳng không có điểm chung, còn trên mặt cầu, bất kỳ hai đường tròn lớn đều

cắt nhau (tại hai điểm xuyên tâm đối của mặt cầu), nghĩa là không có khái niệm "song

song".

Khái niệm đường gấp khúc cầu M1M2...Mk được định nghĩa tương tự đường gấp khúc

trong mặt phẳng Euclid: ta chỉ việc thay các đoạn thẳng M1M2, ..., Mk−1Mk bằng các

cung (cid:94) M1M2, ..., (cid:94) Mk−1Mk của các đường tròn lớn. Ta nói hình F ⊂ S chia hình S\F

thành 2 phần F (cid:48) và F ” nếu F (cid:48) ∪ F ” = S và F (cid:48) ∩ F ” = ∅ và thỏa mãn 2 điều kiện sau:

a. Với mọi hai điểm của hình F (cid:48) (hoặc của F ”) đều được nối bởi đường gấp khúc cầu

không giao với F

b. Nếu A thuộc F (cid:48) và B thuộc F ” thì không tồn tại đường gấp khúc cầu nối A với B

mà không cắt hình F.

Dễ thấy rằng mọi đường tròn lớn Q đều chia hình S\Q thành hai phần mà ta ký hiệu là

S (cid:48) và S”. Hai điểm A và B thuộc vào một trong S (cid:48) hay S” khi và chỉ khi A và B nằm về

một phía của mặt phẳng Π.

2

Hình 1: h.a h.b

Mỗi hình S (cid:48) ∩ Q và S” ∩ Q được gọi là các nửa cầu. còn đuường tròn lớn Q được gọi

là bờ của các nửa cầu. Đặc biệt trong hình học cầu, các nửa cấu đóng vai trò như các

nửa mặt phẳng trong Hình học Euclid phẳng. Nếu nửa cầu có bờ là đường tròn lớn Q và

chứa điểm M /∈ Q thì ta sẽ ký hiệu là [Q, M ).

Giả sử A và B là hai điểm xuyên tâm đối của S, ACB và ADB là hai nửa đường tròn

nào đó với đầu mút là các điểm A, B. Ký hiệu Γ là hợp của hai nửa đường tròn này (Hình

Hình 4.1-a). Ta có thể chứng minh được rằng hình Γ chia hình S\Γ thành hai phần D(cid:48)

và D”. Mỗi hình D1 = D(cid:48) ∪ Γ, D2 = D” ∪ Γ được gọi là "một nhị giác" với đỉnh là các

điểm A, B. Các nửa đường tròn ACB và ADB được gọi là các "cạnh" của nhị giác. Nhị

giác là khaí niệm tương tự khái niệm góc trng mặt phẳng: Nhị giác là giao hay hợp của

hai nửa cầu. Rõ rạng nhị giác có thể được xét như giao của mặt cầu S với góc nhị diện

(C,AB,D). Góc phẳng của góc nhị diện này được gọi là góc của nhị giác đã cho. Góc này

cũng có thể xét như góc giữa các tiếp tuyến tại A (hoặc B) của đường tròn lớn, chứa cạnh

của nhị giác. Khi góc này là góc vuông thì nhị giác được gọi là nhị giác vuông.

Giả sử Q1 và Q2 là hai đường tròn phân biệt và Q1 ∩ Q2 = {A, B}. Ở đây ta có hai

cặp nhị giác đối đỉnh, bị cắt trên mặt cầu S bởi hai góc nhị diện đối đỉnh nhận được từ

giao các mặt phẳng Π ⊃ Q1 và Σ ⊃ Q2. Nếu một trong chúng là nhị giác vuông thì cả

3

ba nhị giác còn lại cũng vuông. Trong trường hợp này các nửa đường tròn lớn được gọi

là vuông góc (trực giao): Q1⊥Q2. Rõ ràng: Q1⊥Q2 ⇐⇒ Π⊥Σ.

Giả sử cho đường tròn lớn Q1 và điểm M không là cực của Q1. Khi đó tồn tại và duy

nhất đường tròn lớn Q2 đi qua M và vuông góc với đường tròn Q1. Để nhận được đường

tròn Q2 này ta cần phải lấy giao của mặt cầu S với mặt phẳng Σ đi qua đường thẳng

(OM ) vuông góc với mặt phẳng Π ⊃ Q.

Nếu điểm M là cực của đường tròn lớn Q1 thì mọi đường tròn lớn đi qua điểm M đều

vuông góc với Q1. Kết quả này khác với hình học Euclid (hoặc hình học Lobasepsky): ở

đó, qua mỗi điểm của mặt phẳng có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một đường

thẳng cho trước.

2. Lấy 2 điểm A, B ∈ S và Q là đường tròn lớn đi qua A, B (Hình 4.1-b). Đường tròn

Q là hợp của hai cung của nó (cid:95) AM B và (cid:95) AN B với các đầu mút là A, B. Độ dài của

một trong hai cung mà không lớn hơn nửa đường tròn lớn, được gọi là khoảng cách cầu

giữa hai điểm A và B, được ký hiệu là d(A, B). Ta có d(A, B) ≤ πr, ∀A, B ∈ S.

Giả sử (cid:95) AM B ⊂ Q nhỏ hơn nửa đường tròn, nghĩa là d(A, B) là độ dài của cung

này. Ta ký hiệu α là góc ở tâm AOB, ứng với cung (cid:95) AM B và ký hiệu ρ(A, B) là độ dài

đoạn thẳng AB. Như đã biết:

d(A, B) = αr (1)

Từ tam giác AOB ta nhận được

ρ(A, B) = 2r sin (2) α 2

Từ (1) và (2) ta suy ra:

ρ(A, B) = 2r sin (3) d(A, B) 2r

3. Ánh xạ đẳng cự bất kỳ từ mặt cầu này lên chính nó được gọi là phép dời cầu, tức là

ánh xạ f : S −→ S sao cho

d(A, B) = d(f (a), f (B)), ∀A, B ∈ S

4

Nhưng khi đó theo (3) ta có:

ρ(A, B) = ρ(f (a), f (B)), ∀A, B ∈ S

Do đó, mọi phép dời cầu trên S sinh ra một phép dời f0 nào đó trong không gian, hơn

nữa f0(O) = O. Ngược lại, mọi phép dời g0 trong không gian với O là điểm bất biến sinh

ra một phép dời cầu trên S. Rõ ràng (gf )0 = g0f0.

Từ đó ta kết luận được rằng tập hợp tất cả csc phép dời cầu là một nhóm, đẳng cấu

với nhóm con dừng H0 tại điểm O của nhóm các phép dời trong không gian, tức là đẳng

cấu với nhóm các phép biến đổi trực giao trong không gian. Do đó nhóm các phép dời

cầu phụ thuộc vào 3 tham số (cũng như nhóm các phép dời hình trong mặt phẳng).

Hai hình F (cid:48), F ” ⊂ S được gọi là bằng nhau (toàn đẳng) nếu tồn tại một phép dời cầu

trên S biến hình này thành hình kia. Do đó, các hình F (cid:48), F ” ⊂ S bằng nhau nếu chúng

H0−tương đương.

4. Lấy trên mặt cầu S ba điểm A,B,C ở vị trí tổng quát. Các điểm này xác định ba

nửa cầu mà mỗi nửa đó chứa các điểm A, B,c, hơn nữa hai trong ba điểm này nằm trên

bờ của các nửa cầu. Giao của ba nửa cầu này được gọi là tam giác cầu với các đỉnh là

A,B,C. Các cung AB, BC.AC của các đường tròn lớn (nhỏ hơn nửa đường tròn) được gọi

là các cạnh của tam giác cầu ABC. Điểm A là đỉnh của nhị giác chứa tam giác cầu ABC.

Góc của nhị giác này được gọi là góc BAC của tam giác cầu ABC. Tương tự như thế

với các gọc ABC, ACB của tam giác. Độ lớn của các góc này ta sẽ ký hiệu tương ứng là

A, B, C.

Giả sử −→e1 , −→e2 , −→e3 là các véc tơ đơn vị trên các trục OA, OB, OC (Hình 4.2), còn α, β, γ

là độ lớn các góc BOC, AOC, AOB. Khi đó, ta luôn luôn có thể ký hiệu các đỉnh của tam giác cầu ABC theo thứ tự sao cho bộ ba véc tơ −→e1 , −→e2 , −→e3 là một tam diện thuận.

Đường thẳng (AX) là tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn lớn, chứa cung AB, cắt

nửa mặt phẳng [(AO), B) theo tia [AX). Ký hiệu (cid:126)p là véc tơ đơn vị chỉ phương của tia

[AX). Bằng cách dựng tương tự đối với cung AC, ta nhận được véc tơ đơn vị (cid:126)q. Hiển

5

Hình 2:

(c); và nhiên: cos A = (cid:126)p.(cid:126)q (a); ta có: (cid:126)p = x.−→e1 + y.−→e2 (b); (cid:126)q = u.−→e1 + v.−→e3

=⇒ (cid:126)p.−→e1 = 0; (cid:93)(−→e2 , (cid:126)p) = − γ =⇒ (cid:126)p.−→e2 = sin γ (cid:93)(−→e1 , (cid:126)p) = π 2 π 2

Do đó x và y cần thỏa mãn hệ phương trình:

x + y cos γ = 0

x cos γ + y = sin γ

Sau khi giải hệ này ta viết đẳng thức (b) dạng:

(b(cid:48)) (cid:126)p = −c tan γ.−→e1 + .−→e2 1 sin γ

Tương tự tìm được

(c(cid:48)) (cid:126)q = −c tan β.−→e1 + .−→e3

(4) (a), (b(cid:48)), (c(cid:48)) =⇒ cos A = 1 sin β cos α − cos β. cos γ sin β sin γ

Lấy cơ sở trực chuẩn thuận {(cid:126)i,(cid:126)j, (cid:126)k}, trong đó: (cid:126)i = −→e1 ,(cid:126)j = (cid:126)p. Khi đó, (cid:126)q = (cid:126)j. cos A+(cid:126)k. sin A.

Sử dụng công thức (b’), (c’) ta nhận được:

−→e1 = (cid:126)i −→e2 = cos γ.(cid:126)i + sin γ.(cid:126)j −→e3 = cos β.(cid:126)i + cos A sin β.(cid:126)j + sin A sin β.(cid:126)k

6

Do đó,

(5) (−→e1 , −→e2 , −→e3 ) = sin A. sin β. sin γ

Hoán vị vòng quanh ta được

(6) (−→e2 , −→e3 , −→e1 ) = sin B. sin γ. sin α

(7) (−→e3 , −→e1 , −→e2 ) = sin C. sin α. sin β

Vì vế trái các công thức (5), (6),(7) bằng nhau nên các vế phải cũng bằng nhau. Sau khi

giản ước sin α. sin β. sin γ (cid:54)= 0 ta tìm được:

(8) = = sin A sin α sin B sin β sin C sin γ

Ký hiệu d(B, C) = a; d(A, C) = b; d(A, B) = c (a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác cầu

ABC). Theo công thức (1)

α = ; β = ; γ = b r c r a r

và công thức (8) có dạng:

= = sin sin sin sin A a r sin C c r sin B b r

Đây là định lý sin đối với tam giác cầu.

5. Lấy tam giác cầu ABC Ký hiệu A∗ là cực của đường tròn lớn Q(B, C) thuộc nửa

cầu [Q(B, C), A). Tương tự nhận được các điểm B∗, C ∗. Tam giác cầu A∗B∗C ∗ được gọi

là tam giác cực đối với tam giác cầu ABC. Ta có:

.r = r. −−→ OB∗ = .r = r. −→ OA∗ = −→ e(cid:48) 1 ; −→ e(cid:48) 2 ; −→e2 ∧ −→e3 |−→e2 ∧ −→e3 | −→e3 ∧ −→e1 |−→e3 ∧ −→e1 |

−→ OC ∗ = .r = r.

(cid:48) là các véc tơ đơn vi của

−→ OA∗, −−→ OB∗, −→ OC ∗.

(cid:48), −→e2

(cid:48), −→e3

−→ 3 ; trong đó, −→e1 e(cid:48) −→e1 ∧ −→e2 |−→e1 ∧ −→e2 |

Giả sử tam giác cầu A1B1C1 là tam giác cực đối với tam giác cầu A∗B∗C ∗. Khi đó:

(cid:48)

.r .r = −→ OA1 =

(cid:48)|

−→e2 |−→e2 (−→e3 ∧ −→e1 ) ∧ (−→e1 ∧ −→e2 ).|(−→e3 ∧ −→e1 )|.|−→e1 ∧ −→e2 | |−→e3 ∧ −→e1 |.|−→e1 ∧ −→e2 |.(−→e3 ∧ −→e1 ) ∧ (−→e1 ∧ −→e2 )

(cid:48) ∧ −→e3 (cid:48) ∧ −→e3

Nhưng vì: (−→e3 ∧ −→e1 ) ∧ (−→e1 ∧ −→e2 ) = −→e1 (−→e3 , −→e1 , −→e2 ) − −→e3 (−→e1 , −→e1 , −→e2 ) = −→e1 (−→e3 , −→e1 , −→e2 ) và (−→e3 , −→e1 , −→e2 ) > 0 nên −→ OA =⇒ A1 = A. Tương tự nhận được B1 = B, C1 = C. −→ OA1 = −→e1 r =

7

Như vậy nếu tam giác A∗B∗C ∗ là tam giác cực đối với tam giác ABC thì tam giác

ABC chính là tam giác cực của tam giác A∗B∗C ∗. Ta ký hiệu a∗, b∗, c∗ là độ dài các cạnh

của tam giác cầu A∗B∗C ∗ (Hình 4.3), ta nhận được:

= = − cos = −−→p1 −→q1 −→ e(cid:48) 2 −→ e(cid:48) 3 = a∗ r (−→e3 ∧ −→e1 ).(−→e1 ∧ −→e2 ) |−→e3 ∧ −→e1 |.|−→e1 ∧ −→e2 | (−→e1 ∧ −→e2 ).(−→e1 ∧ −→e3 ) |−→e1 ∧ −→e2 |.|−→e1 ∧ −→e3 |

Hình 3:

là là pháp véc tơ đơn vị của mặt phẳng OAB;−→q1 = trong đó, −→p1 = −→e1 ∧ −→e2 |−→e1 ∧ −→e2 | −→e1 ∧ −→e3 |−→e1 ∧ −→e3 |

pháp véc tơ đơn vị của mặt phẳng OAC, hơn nữa, dễ thấy −→p1 −→q1 = cos A. Bởi vậy,

cos = − cos A =⇒ = π − A a∗ r a∗ r

Tương tự tìm được:

= π − B; = π − C (9) c∗ r b∗ r

Đối với tam giác A∗B∗C ∗ ta có:

cos A∗ sin sin = cos cos (10) b∗ r c∗ r b∗ r c∗ r

Vì đối với tam giác A∗B∗C cực là tam giác ABC nên công thức đầu của (9):

= π − A∗ =⇒ A∗ = π − (11) a r a r

8

Do có (9),(11) nên công thức (10) có dạng:

sin B sin C = cos A + cos B cos C cos a r

Đẳng thức này được gọi là định lý cô sin của tam giác cầu.

6. Xét nhị giác cầu với đỉnh là A và B (Hình 4.4). Qua tâm O của cầu S dựng mặt

phẳng vuông góc với đường thẳng (AB). Mặt phẳng này cắt nhị giác theo cung CD cả

đường tròn lớn. Rõ ràng diện tích của nhị giác gấp đôi diện tích tam giác cầu ACD.

Trong mục tiêu trực chuẩn {O, −→ i , −→ j , −→ k } với −→ OC = r(cid:126)i; −→ OA = r(cid:126)k, phương trình của nửa

cầu trên [Q(C, D), A) có dạng

Hình 4:

(cid:112) z = r2 − x2 − y2 (12)

Diện tích σ của tam giác cầu ABC được tính theo công thức

(cid:90) (cid:90) (cid:113) 1 + (z(cid:48) (13) σ =

x)2 + (z(cid:48)

y)2dxdy

∆

Với ∆ là hình quạt tròn COD. Từ các công thức (12), (13) suy ra

(cid:90) (cid:90) σ = r dxdy (cid:112)r2 − x2 − y2

∆

9

Đổi biến số

(14) x = ρ cos ϕ; y = ρ sin ϕ

nhận được: (cid:90) (cid:90) σ = r .dρdϕ . D(x, y) D(ρ, ϕ) 1 (cid:112)r2 − ρ2

∆1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Trong đó, ∆1 là miền mặt phẳng theo tham biến ρ, ϕ, xác định bởi các bất đẳng thức

0 ≤ ρ ≤ r; 0 ≤ ϕ ≤ A (A là độ lớn góc của nhị giác). Ta tính ánh xạ Jacobi (14):

sin ϕ cos ϕ = = ρ D(x, y) D(ρ, ϕ) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −ρ sin ϕ ρ cos ϕ

Nghĩa là (cid:90) (cid:90) (cid:90) r (cid:90) A σ = r dϕ = r . ρdρdϕ (cid:112)r2 − ρ2 ρdρ (cid:112)r2 − ρ2

0

0

∆1

Tiếp theo vì (cid:90) r (cid:90) A (cid:112) dϕ = A, = − r2 − ρ2(cid:12) (cid:12)

r 0 = r,

ρdρ (cid:112)r2 − ρ2

0

0

nên σ = Ar2. Do đó, diện tích nhị giác ABCD được tính theo công thức S(ABCD) =

2A.r2, trong đó, A là độ lớn góc của nhị giác này.

7. Ta hãy tìm diện tích của tam giác cầu ABC (Hình 4.5).

Giả sử A1, B1, C1 là các điểm xuyên tâm đối tương ứng của A, B, C. Ta nhận thấy

tổng diện tích các tam giác cầu ABC và BCA1 bằng diện tích của nhị giác AA1BC, nghĩa

là:

(15) S(ABC) + S(BCA1) = 2A.r2

Tương tự

(16) S(ABC) + S(ACB1) = 2B.r2; S(ABC) + S(ABC1) = 2C.r2;

Từ (15), (16) ta suy ra: 2S(ABC)+

(17) +[S(ABC) + S(BCA1) + S(ACB1) + S(ABC1)] = 2r2(A + B + C)

10

Hình 5:

Các tam giác cầu ABC1 và A1B1C1 bằng nhau (vì chúng đối xứng qua tâm O mặt cầu)

nên S(ABC1) = S(A1B1C1). Bởi vậy trong về trái của (17), tổng trong ngoặc vuông bằng

2πr2 (đúng bằng diện tích nửa cầu). Như vậy,

S(ABC) = (cid:15)r2 (18)

trong đó, (cid:15) = A + B + C − π, và được gọi là "độ cong" của tam giác cầu. Từ (18) rút ra:

(cid:15) > 0, nghĩa là A + B + C > π. Như vậy tổng các góc trong của một tam giác cầu lớn

hơn góc bẹt. Sự kiện này khẳng định sự khác biệt giữa Hình học cầu với Hình học Euclid

cũng như với Hình học Lobasepsky.