1
Chào các em !
Chuyên ñề ñầu tiên thầy và các em sẽ ñi tìm hiểu là bài toán TÍCH PHÂN. Chúng ta có trong tay 2 công cụ
chính ñể giải quyết là ðỔI BIẾN và TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN và một vài kĩ thuật ñể làm cho 2 công cụ trên phát
huy tác dụng như: Tách tích phân (dùng phương pháp ñồng nhất hệ số, thêm bớt…), kĩ thuật nhân, chia dưới dấu tích
phân, dùng các công thức ñể biến ñổi (công thức lượng giác, hằng ñẳng thức…), sử dụng tích phân liên kết ( quan sát
ñể tìm tích phân liên kết, sử dụng cận ñể ñổi biến, sử dụng các ñẳng thức và tính chẵn lẻ của hàm số…)…Vì vậy:
Khi ñứng trước một bài toán tích phân các em sẽ có những hướng ñi sau:
TH1: Nếu dưới dấu tích phân có căn :
+) Hướng tư duy 1: ðặt
t
bằng căn (ñiều này ñã ñúng cho tất cả các ñề thi ðại Học – Cao ðẳng từ 2002 – 2012).
Nếu không ổn hãy chuyển sang:
+) Hướng tư duy thứ 2: Với tích phân 2
( ax )
b
a
I f bx c dx
= + +
∫ mà 2
ax
bx c
+ +
ta biến ñổi về dạng:
*)
2 2
m x
−
thì ñặt
x m t
=
(
cos
x m t
=
) *)
2 2
x m
−thì ñặt
cos
m
x
t
= (
sin
m
x
t
=)
*)
2 2
x m
+thì ñặt
tan
x m t
=
(
cot
x m t
=
) *)
2
x x
−
thì ñặt
2
sin
x t
= (
2
cos
x t
=)
Với tích phân
b
a
m x
I f dx
m x
±
=
∫m thì ñặt
cos2
x m t
=
.
CHÚ Ý: Với tích phân có dạng 2
dx
x k
β
α
±
∫ thì ta có thể không dùng tới phương pháp trên. Cụ thể ta biến ñổi:
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
ln( ) ...
( ) ( )
dx x x k dx d x x k x x k
x k x x k x k x x k
β β β
α α α
β
α
+ ± + ±
= = = + ± =
± + ± ± + ±
∫ ∫ ∫
Nếu vẫn chưa ổn hãy chuyển sang :
+) Hướng tư duy thứ 3: Nhân với lượng liên hợp tương ứng rồi quay về 2 hướng tư duy ñầu.
TH2 : Nếu dưới dấu tích phân có hàm lượng giác và hàm mũ có dạng
sin
u
và
u
e
mà
u ax b
≠ +
( nghĩa là
u
không
là hàm bậc nhất hoặc bậc không ) thì ñiều ñầu tiên là ñổi biến
t u
=
. Sau ñó quay về các TH1 hoặc TH3.
TH3: Nếu dưới dấu tích phân xuất hiện hai trong bốn hàm: log, ña thức (ở ñây kể cả phân thức), lượng giác và mũ thì:
+) Hướng tư duy 1: Sử dụng tích phân từng phần theo thứ tự ưu tiên “udv” là : “log ña thức lượng giác mũ”
(nghĩa là anh nào ñứng trước trong thứ tự thầy nêu thì sẽ ñược ñặt là u còn anh ñứng sau là dv: b b
b
a
a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫
)
( Các em có thể có cách nhớ “hài hước” theo thứ tự ưu tiên “udv” là: “nhất log, nhì ña, tam lượng, tứ mũ” ).
CHÚ Ý:
**) Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần thì số lần thực hiện phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và ña thức.
Cụ thể: *) Nếu trong biểu thức tích phân có
log ( )
n
a
f x
(hoặc
ln ( )
n
f x
)
⇒
tích phân từng phần
n
lần.
*) Nếu trong biểu thức tích phân có ña thức bậc n:1
1 0
( ) ...
n n
n n
f x a x a x a
−
−
= + + +
(không có hàm logarit)
⇒
tích phân từng phần
n
lần.
**) Nếu
I
=
( ) ax b
f x e dx
β
α
+
∫ mà
( )
f x
có bậc
n
(
)
2
n
≥
(theo CHÚ Ý trên ta phải tính tích phân từng phần n lần)
song trong trường hợp này chúng ta có thể có cách “khắc phục” (không phải tính tích phân từng phần) bằng cách
tách ghép và sử dụng công thức:
[
]
( ) '( ) ( )
x x
f x f x e dx f x e C
+ = +
∫
(trong bài các em phải chứng minh).
**) Khi gặp lượng giác và mũ ta có thể ñặt “udv” theo thứ tự “lượng giác mũ” hoặc ngược lại ñều ñược và
phải sử dụng hai lần tích phân từng phần.Cả hai lần tích phân từng phần trong trường hợp này phải thống nhất theo
cùng thứ tự. Nếu không sẽ xảy ra hiện tượng I = I.
Nếu vấn chưa ổn thì chuyển sang:
2
+) Hướng tư duy 2: Sử dụng kĩ thuật vi phân (
'
du u dx
=
(**) ) và ñổi biến (các em sẽ tìm hiểu kĩ ở các TH sau) .
Nếu sử dụng (**) : +) theo chiều thuận (từ Trái
→
Phải): các em phải ñi tính ñạo ðẠO HÀM.
+) theo chiều nghịch (từ Phải
→
Trái): các em phải ñi tính NGUYÊN HÀM.
Các em có thể nhớ theo cách sau : “ñưa vào thì tính NGUYÊN HÀM, ñưa ra thì tính ðẠO HÀM”.
TH4: Nếu dưới dấu tích phân có dạng hữu tỉ:
I
=
( )
( )
f x
dx
g x
β
α
∫
+) Hướng tư duy 1: Nếu bậc của
( )
f x
lớn hơn hoặc bằng bậc
( )
g x
. Thì thực hiện phép chia ñể chuyển
I
về dạng:
1 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
r x r x
I h x dx h x dx dx I I
g x g x
β β β
α α α
= + = + = +
∫ ∫ ∫ . Với
1
I
tính ñơn giản và tính
2
I
sẽ chuyển sang:
+) Hướng tư duy 2: Nếu bậc của
( )
f x
nhỏ hơn bậc
( )
g x
thì hãy ñi theo thứ tự:
*) Hướng tư duy 2.1: Nếu ( )
ln ?
( )
f x A dx A
I A ax b
g x ax b ax b a
β
α
β
α
=⇒= = + =
+ +
∫
*) Hướng tư duy 2.2: Nếu 2
( )
( )
f x Ax B
g x ax bx c
+
=
+ +
thì biến ñổi
(
)
2
2 2
'
k ax bx c l
Ax B
I dx
ax bx c ax bx c
β β
α α
+ + +
+
= =
+ + + +
∫ ∫
22
3
2 2
( )
ln .
d ax bx c dx
k l k ax bx c l I
ax bx c ax bx c
β β
α α
β
α
+ +
= + = + + +
+ + + +
∫ ∫
và ñi tính 32
dx
I
ax bx c
β
α
=
+ +
∫ bằng cách chuyển sang Hướng tư duy 2.3:
*) Hướng tư duy 2.3: Nếu 2 2
( )
( )
f x A dx
I A
g x ax bx c ax bx c
β
α
=⇒=
+ + + +
∫ thì:
**) Khả năng 1: 2
1 2 2 1 2 1 2 1 1
1 1
ln ?
( )( ) ( ) ( )
x x
dx A A
I A dx
a x x x x a x x x x x x a x x x x
β β
α α
β
α
−
= = − = =
− − − − − − −
∫ ∫
**) Khả năng 2: 2
0 0
?
( ) ( )
dx A
I A a x x a x x
β
α
β
α
= = − =
− −
∫
**) Khả năng 3:
2 2
0
( )
A dx
I
a x x k
β
α
=
+ +
∫ thì ñặt
2
2
02 2 2 2
0
(1 tan )
tan cos
( ) (1 tan )
kdt
dx k t dt
x x k t t
x x k k t
= = +
+ = ⇒
+ + = +
1 1
1 1
21 1
2 2
( )(1 tan )
?
(1 tan )
AA k t A
I dt dt
a k t ka ka
β β
α α
β
α
β α
−+
⇒= = = =
+
∫ ∫
*) Hướng tư duy 2.4: Nếu
( )
g x
có bậc lớn hơn 2 thì tìm cách ñưa về 3 hướng tư duy 2.1, 2.2, 2.3 bằng các kĩ thuật:
+) Tách ghép, nhân, chia và ñổi biến ñể giảm bậc.
+) ðồng nhất hệ số theo thuật toán:
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2
( ) ... ...
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
m
m n m n
B x CA
A A B x C B x Cf x n
ax b cx dx e ax b ax b ax b cx dx e cx dx e cx dx e
+
+ +
= + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + +
Sau ñó quy ñồng bỏ mẫu số rồi dùng tính chất “hai ña thức bằng nhau khi các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau”
từ ñó ta sẽ tìm ñược các
,
i j
A B
,
j
C
( 1, ; 1, )
i m j n
= = hoặc có thể dùng cách chọn
x
ñể tìm các
,
i j
A B
,
j
C
.
3
TH5: Nếu dưới dấu tích phân có dạng lượng giác:
(sin ,cos )
I f x x dx
β
α
=∫ thì:
+) Hướng tư duy 1: Nếu
(sin ,cos )
m n
I f x x dx
β
α
=∫ ( ,m n
∈
) thì dựa vào tính chẵn lẻ ñể chúng ta ñổi biến. Cụ thể:
*) Nếu
,
m n
khác tính chẵn lẻ thì các em sẽ ñặt
t
theo anh mang mũ chẵn. Cụ thể :
**)
m
chẵn,
n
lẻ thì ñặt
sin
t x
=
** )
m
lẻ,
n
chẵn thì ñặt
cos
t x
=
*) Nếu
,
m n
cùng tính chẵn lẻ. Cụ thể :
**)
,
m n
ñều lẻ thì ñặt
sin
t x
=
hoặc
cos
t x
=
(kinh nghiệm là nên ñặt theo anh mang mũ lớn hơn).
**)
,
m n
ñều chẵn thì ñặt
tan
t x
=
(hoặc
cot
t x
=
) hoặc sử dụng các công thức hạ bậc.
+) Hướng tư duy 2: Nếu
( )
(sin ,cos )
( )
h x
f x x
g x
= trong ñó
( ), ( )
h x g x
chứa các hàm lượng giác thì
*) Hướng tư duy 2.1 : Ý nghĩ ñầu tiên hãy tính
'( )
g x
và nếu phân tích dễ dàng
(
)
( ) . ( ) . '( ). ( )
h x k g x l r g x g x
= + thì
khi ñó
( )
1 2
'( ). ( )
I k dx l r g x g x dx kI lI
β β
α α
= + = +
∫ ∫ và tính
( )
2
'( ). ( )
I r g x g x dx
β
α
=∫ bằng các ñổi biến:
( )
t g x
=
Nếu việc xác ñịnh khó thì hãy chuyển sang việc làm “thủ công” qua Hướng tư duy 2.2
*) Hướng tư duy 2.2: Nếu
( ), ( )
h x g x
là các hàm bậc nhất theo
sin
x
và
cos
x
thì dùng ppháp ñồng nhất hệ số:
**)
( ) asin cos sin cos cos sin
( ) sin cos sin cos sin cos
h x x b x c x d x c x d x
A B
g x c x d x c x d x c x d x
+ + −
= = +
+ + + . Khi ñó:
( )
cos sin ( sin cos )
. ln sin cos ?
sin cos sin cos
c x d x d c x d x
I A dx B dx A dx B A x B c x d x
c x d x c x d x
β β β β
α α α α
β
α
− +
= + = + = + + =
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
**) ( ) asin cos sin cos cos sin 1
( ) sin cos sin cos sin cos sin cos
h x x b x e c x d x h c x d x
ABC
g x c x d x h c x d x h c x d x h c x d x h
+ + + + −
= = + +
+ + + + + + + +
.Khi ñó:
( )
3
ln sin cos .
I Ax B c x d x h C I
β
α
= + + + + và ta tính 3sin cos
dx
I
c x d x h
β
α
=
+ +
∫ bằng hai cách:
C1: Dùng công thức biến ñổi lượng giác ñể chuyển về các công thức lượng giác trong bảng nguyên hàm .
Nếu không ổn hãy chuyển sang :
C2: ðặt
tan
2
x
t=
⇒
2
2
1
dt
dx
t
=
+
và
2
2 2
2 1
sinx ; cos
1 1
t t
x
t t
−
= =
+ +
Sau ñó quay về TH4
*) Hướng tư duy 2.3: Nếu 2 2
(tan ).
sin cos
f x dx
I
a x b x
β
α
=+
∫ ( hoặc 2 2
sin cos
dx
I
a x b x
β
α
=+
∫ ) thì biến ñổi:
1
1
2 2 2 2
(tan ). (tan ). (tan ) ( )
cos ( tan ) tan
f x dx f x d x f t dt
I
x a x b a x b at b
β
β β
α α α
= = =
+ + +
∫ ∫ ∫ . Sau ñó quay về TH4
*) Hướng tư duy 2.4: Nếu
(sin cos ;sin cos )
I f x x x x dx
β
α
= ±
∫ thì ñặt 2
(cos sin )
sin cos
1
sin cos
2
dt x x dx
t x x t
x x
=
= ± ⇒
−
= ±
m
Sau ñó quay về TH4
4
TH6: Nếu dưới dấu tích phân có dấu trị tuyệt ñối
( )
I f x dx
β
α
=∫ thì tìm cách phá trị tuyệt ñối bằng cách ñi xét dấu
của
( )
f x
trong ñoạn
[
]
;
α β
. Cụ thể:
B1: Giải phương trình
( ) 0 ?
i
f x x
=⇒=
và chọn các
[ ; ]
i
x
α β
∈
rồi chuyển sang:
B2: Lập bảng xét dấu: (Giả sử ta bảng xét dấu: )
B3: Ta dựa vào công thức
( ) ( ) ( )
f x dx f x dx f x dx
β γ β
α α γ
= +
∫ ∫ ∫ (
α γ β
< <
) ñể tách :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i i
i i
x x
x x
I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
β β β
α α α
= = + = −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Sau ñó chuyển về 5 TH ñầu.
Như thầy ñã nói trước ñó, trong ñề thi ðại Học và Cao ðẳng câu Tích Phân không ñược coi là câu phân loại học
sinh vì vậy các em không nên cố gắng dành nhiều thời gian cho những bài toán khó và lạ (hãy dành thời gian cho
những chuyên ñề và các môn khác nữa). Vì vậy nhằm bám sát ñề thi, thầy ñã cố gắng biên soạn chi tiết các hướng ñi
(theo một mạch tư duy ) khi các em ñứng trước một bài Tích Phân. Nếu các em vận dụng theo ñúng những hướng tư
duy mà thầy ñã gửi tới các em thì thầy tin chắc các em có thể giải quyết ñược tất cả các câu tích phân trong ñề thi ñại
học (nhưng ñể lấy ñược ñiểm tuyệt ñối trong phần này thì các em cũng nên rèn cho mình tính cẩn thận và kĩ năng tính
toán thật chính xác bằng cách làm nhiều bài tập – ñáp số chính xác luôn là ñiều mà chúng ta cần).
Chúc các em học tốt và hẹn gặp lại các em vào các chuyên ñề sau !
Biên soạn : Thanh Tùng
Mọi thắc mắc các em liên hệ với thầy theo E –mail: giaidaptoancap3@yahoo.com và phần bài tập ñi kèm cùng bài
giải các em có thể truy cập vào trang: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3