Chào các em ! Chuyên ñ ñ u tiên th y và các em s ñi tìm hi u là bài toán TÍCH PHÂN. Chúng ta có trong tay 2 công c chính ñ gi i quy t là . I BI N và TÍCH PHÂN T NG PH N và m t vài kĩ thu t ñ làm cho 2 công c trên phát huy tác d ng như: Tách tích phân (dùn

Chia sẻ: Minh Hưng Phạm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chủ đề:

Giới thiệu và phân loại IC số

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chào các em ! Chuyên ñ ñ u tiên th y và các em s ñi tìm hi u là bài toán TÍCH PHÂN. Chúng ta có trong tay 2 công c chính ñ gi i quy t là . I BI N và TÍCH PHÂN T NG PH N và m t vài kĩ thu t ñ làm cho 2 công c trên phát huy tác d ng như: Tách tích phân (dùn

Chào các em ! Chuyên ñ ñ u tiên th y và các em s ñi tìm hi u là bài toán TÍCH PHÂN. Chúng ta có trong tay 2 công c chính ñ gi i quy t là ð I BI N và TÍCH PHÂN T NG PH N và m t vài kĩ thu t ñ làm cho 2 công c trên phát huy tác d ng như: Tách tích phân (dùng phương pháp ñ ng nh t h s , thêm b t…), kĩ thu t nhân, chia dư i d u tích phân, dùng các công th c ñ bi n ñ i (công th c lư ng giác, h ng ñ ng th c…), s d ng tích phân liên k t ( quan sát ñ tìm tích phân liên k t, s d ng c n ñ ñ i bi n, s d ng các ñ ng th c và tính ch n l c a hàm s …)…Vì v y: Khi ñ ng trư c m t bài toán tích phân các em s có nh ng hư ng ñi sau: TH1: N u dư i d u tích phân có căn : +) Hư ng tư duy 1: ð t t b ng căn (ñi u này ñã ñúng cho t t c các ñ thi ð i H c – Cao ð ng t 2002 – 2012). N u không n hãy chuy n sang: b +) Hư ng tư duy th 2: V i tích phân I = ∫ f( ax 2 + bx + c ) dx mà ax 2 + bx + c ta bi n ñ i v d ng: a m m *) m 2 − x 2 thì ñ t x = m sin t ( x = m cos t ) *) x 2 − m 2 thì ñ t x = (x= ) cos t sin t *) x 2 + m2 thì ñ t x = m tan t ( x = m cot t ) *) x − x 2 thì ñ t x = sin 2 t ( x = cos 2 t ) b  m± x  V i tích phân I = ∫f   dx thì ñ t x = m cos 2t .  a  mm x  β dx CHÚ Ý: V i tích phân có d ng ∫ α x2 ± k thì ta có th không dùng t i phương pháp trên. C th ta bi n ñ i: β dx β ( x + x 2 ± k )dx β d ( x + x2 ± k ) β ∫ α x2 ± k =∫ α (x + x2 ± k ) x2 ± k =∫ α ( x + x2 ± k ) = ln( x + x 2 ± k ) α = ... N u v n chưa n hãy chuy n sang : +) Hư ng tư duy th 3: Nhân v i lư ng liên h p tương ng r i quay v 2 hư ng tư duy ñ u. TH2 : N u dư i d u tích phân có hàm lư ng giác và hàm mũ có d ng sin u và eu mà u ≠ ax + b ( nghĩa là u không là hàm b c nh t ho c b c không ) thì ñi u ñ u tiên là ñ i bi n t = u . Sau ñó quay v các TH1 ho c TH3. TH3: N u dư i d u tích phân xu t hi n hai trong b n hàm: log, ña th c ( ñây k c phân th c), lư ng giác và mũ thì: +) Hư ng tư duy 1: S d ng tích phân t ng ph n theo th t ưu tiên “u dv” là : “log ña th c lư ng giác mũ” b b ∫ udv = uv a − ∫ vdu ) b (nghĩa là anh nào ñ ng trư c trong th t th y nêu thì s ñư c ñ t là u còn anh ñ ng sau là dv: a a ( Các em có th có cách nh “hài hư c” theo th t ưu tiên “u dv” là: “nh t log, nhì ña, tam lư ng, t mũ” ). CHÚ Ý: **) Khi s d ng phương pháp tích phân t ng ph n thì s l n th c hi n ph thu c vào b c c a hàm logarit và ña th c. *) N u trong bi u th c tích phân có log a f ( x) (ho c ln f ( x) ) ⇒ tích phân t ng ph n n l n. n n C th : n −1 *) N u trong bi u th c tích phân có ña th c b c n: f ( x) = an x + an−1 x + ... + a0 (không có hàm logarit) n ⇒ tích phân t ng ph n n l n. β **) N u I = ∫ f ( x )e ax + b dx mà f ( x) có b c n ( n ≥ 2 ) (theo CHÚ Ý trên ta ph i tính tích phân t ng ph n n l n) α song trong trư ng h p này chúng ta có th có cách “kh c ph c” (không ph i tính tích phân t ng ph n) b ng cách ∫ [ f ( x) + f '( x)] e dx = f ( x)e + C (trong bài các em ph i ch ng minh). x x tách ghép và s d ng công th c: **) Khi g p lư ng giác và mũ ta có th ñ t “u dv” theo th t “lư ng giác mũ” ho c ngư c l i ñ u ñư c và ph i s d ng hai l n tích phân t ng ph n.C hai l n tích phân t ng ph n trong trư ng h p này ph i th ng nh t theo cùng th t . N u không s x y ra hi n tư ng I = I. N u v n chưa n thì chuy n sang: 1
+) Hư ng tư duy 2: S d ng kĩ thu t vi phân ( du = u ' dx (**) ) và ñ i bi n (các em s tìm hi u kĩ các TH sau) . N u s d ng (**) : +) theo chi u thu n (t Trái → Ph i): các em ph i ñi tính ñ o ð O HÀM. +) theo chi u ngh ch (t Ph i → Trái): các em ph i ñi tính NGUYÊN HÀM. Các em có th nh theo cách sau : “ñưa vào thì tính NGUYÊN HÀM, ñưa ra thì tính ð O HÀM”. β f ( x) TH4: N u dư i d u tích phân có d ng h u t : I = ∫ α g ( x) dx +) Hư ng tư duy 1: N u b c c a f ( x) l n hơn ho c b ng b c g ( x) . Thì th c hi n phép chia ñ chuy n I v d ng: β β β  r ( x)  r ( x) I = ∫  h( x ) +  dx = ∫ h( x)dx + ∫ dx = I1 + I 2 . V i I1 tính ñơn gi n và tính I 2 s chuy n sang: α  g ( x)  α α g ( x) +) Hư ng tư duy 2: N u b c c a f ( x) nh hơn b c g ( x ) thì hãy ñi theo th t : β f ( x) A dx A β *) Hư ng tư duy 2.1: N u = ⇒ I = A∫ = ln ax + b =? g ( x) ax + b α ax + b a α f ( x) Ax + B Ax + B k ( ax + bx + c ) '+ l β β 2 *) Hư ng tư duy 2.2: N u = 2 thì bi n ñ i I = ∫ 2 =∫ dx g ( x) ax + bx + c α ax + bx + c α ax 2 + bx + c β β d (ax 2 + bx + c) dx β = k∫ + l∫ 2 = k ln ax 2 + bx + c + l .I 3 α ax + bx + c 2 α ax + bx + c α β dx và ñi tính I 3 = ∫ α ax 2 + bx + c b ng cách chuy n sang Hư ng tư duy 2.3: β f ( x) A dx *) Hư ng tư duy 2.3: N u = 2 ⇒ I = A∫ 2 thì: g ( x) ax + bx + c α ax + bx + c x−x β β β dx A  1 1  A **) Kh năng 1: I = A∫ = ∫  x − x2 − x − x1  dx = a( x2 − x1 ) ln x − x12 α = ?  α a ( x − x1 )( x − x2 ) a ( x2 − x1 ) α  β dx A β **) Kh năng 2: I = A ∫ α a( x − x ) 0 2 =− a ( x − x0 ) α =? β  kdt A dx dx = = k (1 + tan 2 t )dt **) Kh năng 3: I = ∫ thì ñ t x + x0 = k tan t ⇒  2 cos t a α ( x + x0 ) 2 + k 2 ( x + x ) 2 + k 2 = k 2 (1 + tan 2 t )  0 β β A 1 k (1 + tan 2 t ) A 1 A( β1 − α ) β ⇒I= ∫ k 2 (1 + tan 2 t ) ka α∫ dt = ka 1 a α1 dt = α =? 1 *) Hư ng tư duy 2.4: N u g ( x ) có b c l n hơn 2 thì tìm cách ñưa v 3 hư ng tư duy 2.1, 2.2, 2.3 b ng các kĩ thu t: +) Tách ghép, nhân, chia và ñ i bi n ñ gi m b c. +) ð ng nh t h s theo thu t toán: f ( x) A1 A2 Am B1 x + C1 B2 x + C2 Bn x + Cn = + + ... + + + + ... + ( ax + b) (cx + dx + e) m 2 n (ax + b) ( ax + b) 2 (ax + b) m (cx + dx + e) (cx + dx + e) 2 2 2 (cx 2 + dx + e) n Sau ñó quy ñ ng b m u s r i dùng tính ch t “hai ña th c b ng nhau khi các h s tương ng c a chúng b ng nhau” t ñó ta s tìm ñư c các Ai , B j , C j (i = 1, m; j = 1, n) ho c có th dùng cách ch n x ñ tìm các Ai , B j , C j . 2
β TH5: N u dư i d u tích phân có d ng lư ng giác: I = ∫ f (sin x, cos x)dx α thì: β +) Hư ng tư duy 1: N u I = ∫ f (sin x, cos n x )dx ( m, n ∈ ) thì d a vào tính ch n l ñ chúng ta ñ i bi n. C th : m α *) N u m, n khác tính ch n l thì các em s ñ t t theo anh mang mũ ch n. C th : **) m ch n, n l thì ñ t t = sin x ** ) m l , n ch n thì ñ t t = cos x *) N u m, n cùng tính ch n l . C th : **) m, n ñ u l thì ñ t t = sin x ho c t = cos x (kinh nghi m là nên ñ t theo anh mang mũ l n hơn). **) m, n ñ u ch n thì ñ t t = tan x (ho c t = cot x ) ho c s d ng các công th c h b c. h( x ) +) Hư ng tư duy 2: N u f (sin x, cos x) = trong ñó h( x ), g ( x ) ch a các hàm lư ng giác thì g ( x) *) Hư ng tư duy 2.1 : Ý nghĩ ñ u tiên hãy tính g '( x ) và n u phân tích d dàng h( x) = k .g ( x) + l.r ( g '( x).g ( x) ) thì β β β khi ñó I = k dx + l r ( g '( x).g ( x) )dx = kI1 + lI 2 và tính I 2 = r ( g '( x).g ( x) )dx b ng các ñ i bi n: t = g ( x ) ∫ ∫ ∫ α α α N u vi c xác ñ nh khó thì hãy chuy n sang vi c làm “th công” qua Hư ng tư duy 2.2 *) Hư ng tư duy 2.2: N u h( x ), g ( x ) là các hàm b c nh t theo sin x và cos x thì dùng ppháp ñ ng nh t h s : h( x) a sin x + b cos x c sin x + d cos x c cos x − d sin x **) = =A +B . Khi ñó: g ( x) c sin x + d cos x c sin x + d cos x c sin x + d cos x β β β β c cos x − d sin x d (c sin x + d cos x) β I = A∫ dx + B ∫ dx = A∫ dx + B ∫ = ( A.x + B ln c sin x + d cos x ) = ? α c sin x + d cos x c sin x + d cos x α α α α h( x ) a sin x + b cos x + e c sin x + d cos x + h c cos x − d sin x 1 **) = =A +B +C .Khi ñó: g ( x) c sin x + d cos x + h c sin x + d cos x + h c sin x + d cos x + h c sin x + d cos x + h β I = ( Ax + B ln c sin x + d cos x + h ) + C.I 3 và ta tính I 3 = ∫ β dx b ng hai cách: α α c sin x + d cos x + h C1: Dùng công th c bi n ñ i lư ng giác ñ chuy n v các công th c lư ng giác trong b ng nguyên hàm . N u không n hãy chuy n sang : x 2dt 2t 1− t2 C2: ð t t = tan ⇒ dx = và s inx = ; cos x = Sau ñó quay v TH4 2 1+ t 2 1+ t2 1+ t 2 β β f (tan x).dx dx *) Hư ng tư duy 2.3: N u I = ∫ a sin 2 x + b cos2 x ( ho c I = α a sin 2 x + b cos2 x ) thì bi n ñ i: α ∫ β β β f (tan x).dx f (tan x).d (tan x) 1 f (t ) dt I =∫ =∫ =∫ 2 . Sau ñó quay v TH4 α cos x ( a tan x + b ) a tan 2 x + b α1 at + b 2 2 α β dt = (cos x m sin x)dx  *) Hư ng tư duy 2.4: N u I = ∫ f (sin x ± cos x;sin x cos x)dx thì ñ t t = sin x ± cos x ⇒  sin x cos x = ± t 2 −1 α   2 Sau ñó quay v TH4 3
β TH6: N u dư i d u tích phân có d u tr tuy t ñ i I = ∫ α f ( x) dx thì tìm cách phá tr tuy t ñ i b ng cách ñi xét d u c a f ( x) trong ño n [α ; β ] . C th : B1: Gi i phương trình f ( x) = 0 ⇒ xi = ? và ch n các xi ∈ [α ; β ] r i chuy n sang: B2: L p b ng xét d u: (Gi s ta b ng xét d u: ) β γ β B3: Ta d a vào công th c ∫ f ( x)dx = α f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ( α < γ < β ) ñ α ∫ γ tách : β xi β xi β I = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . Sau ñó chuy n v 5 TH ñ u. α α xi α xi Như th y ñã nói trư c ñó, trong ñ thi ð i H c và Cao ð ng câu Tích Phân không ñư c coi là câu phân lo i h c sinh vì v y các em không nên c g ng dành nhi u th i gian cho nh ng bài toán khó và l (hãy dành th i gian cho nh ng chuyên ñ và các môn khác n a). Vì v y nh m bám sát ñ thi, th y ñã c g ng biên so n chi ti t các hư ng ñi (theo m t m ch tư duy ) khi các em ñ ng trư c m t bài Tích Phân. N u các em v n d ng theo ñúng nh ng hư ng tư duy mà th y ñã g i t i các em thì th y tin ch c các em có th gi i quy t ñư c t t c các câu tích phân trong ñ thi ñ i h c (nhưng ñ l y ñư c ñi m tuy t ñ i trong ph n này thì các em cũng nên rèn cho mình tính c n th n và kĩ năng tính toán th t chính xác b ng cách làm nhi u bài t p – ñáp s chính xác luôn là ñi u mà chúng ta c n). Chúc các em h c t t và h n g p l i các em vào các chuyên ñ sau ! Biên so n : Thanh Tùng M i th c m c các em liên h v i th y theo E –mail: giaidaptoancap3@yahoo.com và ph n bài t p ñi kèm cùng bài gi i các em có th truy c p vào trang: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 4