CHUYÊN ĐỀ LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN - PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
A
0
B 0,
thì:
2
I. Với A B . A B . và ngược lại A B . A B .
0A , ta có:
2
A A Đặc biệt, khi . A
A
B 0,
thì 0
và ngược lại II. Với A B A B A B A B
III. Bổ sung
n
,..., . ... ... . Với A thì: 0 A A , 1 2 A 1 A 2 A n A A A 1 2 n
a
0
0a hoặc
0b ).
b 0;
thì: a b
0
a b (dấu “=” xảy ra Với
a b thì: a b
a b hoặc
0b ).
a b (dấu “=” xảy ra Với
5
B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Thực hiện phép tính Ví dụ minh họa 1. Tính:
3
d) b) 24. 12. 0,5 c) a) 810.40 12 5 3 .4 180 : 5 200 : 8
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
2
2
2
9 . 10 . 2
9.10.2 180
810.40 81.100.4 81. 100. 4
2
. Vậy biểu thức có giá trị là: 180
5
5
2
24. 12. 0,5 24.12.0,5 144 12 12 . b) Ta có:
3
3
3
5 3.4 5 3 .4
5 3 .4 5 3 .4
c) Ta có: 4 4 12 5 3 .4
Vậy biểu thức có giá trị là: 4
d) Ta có 1, 2 6 5 180 : 5 200 : 8 180 : 5 200 : 8 36 25
Vậy biểu thức có giá trị là: 1,2 Ví dụ minh họa 2.
0a ;
0b . Chứng minh a b
b) Với a b a) So sánh: 16 4 và 16 4
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
1
16 4 36 4 2 6
2
16 4 20 36
2
2
a
b
a
b
16 4 Từ 1 và 2 suy ra: 16 4
0a ;
0b , giả sử
b) Với
b
2
2
2
a b
a b
a b a b
2
2
ab
a
b
a b
Ta có:
2
2
Để so sánh a b với a với ta so sánh
a b a b
a b Vì 2 ab nên suy ra Do đó a b
Ví dụ minh họa 3. Thực hiện phép tính
50 . 2
18 32 b) 50 – 18 200 162 a) A B
Hướng dẫn giải:
18 32 A
32. 2 50. 2 18. 2 a) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép nhân các căn thức bậc hai của các số không âm, ta có: 50 . 2
18.2 32.2 50.2
6 8 10
4
36 64 100
b) Sử dụng phép khai phương một tích của các số không âm, ta có:
50 – 18 200 162 B
25.2 9.2 100.2 81.2
9. 2 100. 2 81. 2
2. 25 9 100 81
25. 2 2. 5 3 10 9
3 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính:
a) 49.36.100 b) 0, 45.0, 3.6 c) 147.75 d) 4, 9.1200.0, 3
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau: 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
b) 13. 52 c) 12, 5. 0, 2. 0,1 d) 48, 4. 5. 0, 5 a) 5. 45
:
:
Bài 3: Tính:
3 15
36 45
288 169
8 225
d) c) a) 45 : 80 b) 13 : 468
Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:
: 8
72 9
7 48 3 27 2 12 : 3 a) b)
7 : 7
5 : 5
1 7
16 7
125 245 d) c)
Bài 5: Thực hiện các phép tính sau:
3 a) 12 27 3 b)
c) 252 700 1008 448 d) 12 3 27 3 12 2 75
3
2
3
Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:
2 1
3
5
3
5
216
33 12 6
a) 2 3 3 2 b) 1
d) 15
2
c)
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
2
2
2 7 . 6 . 10
7.6.10 420
2
a) Biến đổi biểu thức: 49.36.100 49. 36. 100
0, 45.0,3.6 0,81 0,9 0,9 b) Biến đổi biểu thức:
c) Biến đổi biểu thức: 147.75 49.3.3.25
49.0,1.12.100.3.0,1
49.9.25 49. 9. 25 7.3.5 105
d) Biến đổi biểu thức: 4,9.1200.0, 3
49.36 49. 36 7.6 42
5. 45
5.45
225
2 15
15
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
a)
12, 5.0, 2.0,1
0, 25
0, 5
b) 13. 52 13.52 676 26
48, 4.5.0,5
c) 12, 5. 0, 2. 0,1
122 11
d) 48, 4. 5. 0, 5
Bài 3: Tính:
45 : 80 a) 45 80 9 16 3 4 45 80
13 : 468 b) 13 468 1 36 1 6 13 468
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
:
3 15
36 45
3 36 : 15 45
3 45 . 15 36
1 4
1 2
8
:
c)
288 169
8 225
288 : 169 225
288 225 . 169
8
d)
36.225 169 6.15 13 90 13 36. 225 169
: 8
: 8
1 1
Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:
72 9
72 9
72 1 . 9 8
a) Biến đổi biểu thức:
7 48 3 27 2 12 : 3
33 3 : 3 33 28 3 9 3 4 3 : 3 Vậy biểu thức có giá trị là: 1 b) Biến đổi biểu thức:
5 : 5
5 : 5 11 5 : 5 11
125 245 5 5 7 5
Vậy biểu thức có giá trị là: 33 c) Biến đổi biểu thức: Vậy biểu thức có giá trị là: 11
7 : 7
7 : 7
: 7
1 7
16 7
7 7
4 7 7
4 7 7
4 7
d) Biến đổi biểu thức:
4 7
Vậy biểu thức có giá trị là:
Bài 5: Thực hiện các phép tính sau:
27 a) Ta có: 12
3 0
3 12 2 75 12. 3 2 75. 3
36 2 225 3 3 2 3 1 6 2.15 24 2 3 3 3 b) Ta có:
c) Ta có: 252 700 1008 448
6 10 12 7 8 7 6 7 10 7 12 7
d) Biến đổi biểu thức 3 12 27 3
3 2 3 3 3 3.4 3
3
3.4 12
Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:
3
2
3
a) Biến đổi biểu thức 2
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
3 1
3 1
2
2
3 1
3 1
3 1
3 1
2
2
2
2
4 2 3 2 4 2 3 2 2 2
3 1 3 1 3 1 2 3 1 2 2
2 2 2
2 1
2
2
3
2
2
1
1 2 3 3
3 3 2
Vậy biểu thức có giá trị là: 2 b) Biến đổi biểu thức 1
4 2 3 2 2 2 3
3
5
3
5
Vậy biểu thức có giá trị là: 2 2 3
2
2
2
2 3
5
3
5. 3
5
3
5
5
3
3
2
5
3
5
5 . 3
c) Biến đổi biểu thức
2
2 5 2 3
5 5 3 3
6 2 9 5 6 4 10
216
33 12 6
Vậy biểu thức có giá trị là: 10
2
2
d) Biến đổi biểu thức 15
33 12 6 3 6 3 2 6 15 6 6
3 2 6 3 6 2 6 3 15 6 6
6
Vậy biểu thức có giá trị là: 6 .
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
Dạng 2. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức Ví dụ minh họa 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a 5 25
a 25
49
a
a 3
0a
0a
4
2
6
3
16
a
3 9
a
với b) với a)
a 6
a 6
c) với a bất kì d) với a bất kì.
2
a 5 25
a 25
a 5. 5
25
a
Hướng dẫn giải:
5 a
0a nên 5
0a , do đó 5 a
2
a 5 25
a 25
a 25
a 25
a 25
a 50 .
vì . a) Biểu thức
5. 5 a
2
49
a
a 3
7
a
a 3 .
Vậy
a
b) Biểu thức
a 7
0a nên 7
0a , do đó 7
2
49
a
a 3
7
a
a 3
a 10 .
Với .
4
2
2
2
Vậy
2
2
16 a 6 a 4 a 6 a c) Biểu thức
4
a
24 a nên 0
a 4
4
2
2
2
2
Với mọi a ta đều có
16
a
6
a
4
a
6
a
10
a
6
3
3
3
Vậy
6
3
3
3
2
2
2
a 3
3 9
a
6
a
a 3.3
6
a
a 3
3 9 a 6 a a 3. 3 6 a d) Biểu thức
a 3
0a thì
33 a nên 0
6
3
3
3
2
2
2
, ta có: Nếu
33 a nên 0
0a thì
a 3
a 3
3 9 a 6 a 3. 6 a 15 a 3 a . , ta có: Nếu
2
2
Ví dụ minh họa 2. Rút gọn các biểu thức sau:
2x
x 3
4
x
x
4
x
4
3
x
x
x
với
9 6
4
x
x
9
a) b) với
x 2
6 x
x 9
2 4 x x 2
với với c) d) 0 9 x x
2
4
x
x
4
x
4
x
x
2
4
x
2
x
Hướng dẫn giải:
4
2
x
2
2
2 0
a) Biểu thức
x .
2x nên
x , do đó
2
4
x
x
4
x
4
x
x
2
3
x
Vì
4
2
2
3
x
x
x
3
x
3
x
3
x
3
x
Vậy
9 6
2
3
3
x
x
b) Biểu thức
x nên 3 3
0x , do đó
2
3
x
x
x
3
x
3
x
2
x
Vì
9 6
3
2
3
x
9
Vậy
6 x
x 9
x x
3 3
3
x
3
x
x
c) Biểu thức
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
x
2
2
x 2 x 4 d) Biểu thức x 2 x x 2 2 4 x x 2
x .
x thì 2
x nên 2 0
x
4
1
Với
x x
2 2
2 4 x x 2
x
x
2
Vậy
2
x thì 2
x nên 2 0
2
4
x
1
Với .
4 x 2 x
2 x 2 x
Vậy
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Rút gọn các biểu thức:
a) b) 10 8 15 12 15 35 6 14
2 16 d) c) 3 2 6 3 8 4 3 2 15 2 10 2 5 2 10 6 3 6
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
x
xy
a
x
0;
y
0
b b a 1
a b ab
y
xy
x x
y y
x
y
0 b) với a) với b 0; 1 a ab
0x
2
x
y
2
y
y
2
1
x
y
y
1,
1,
0
c) d) x x 2 2 x x 1 1
4
x 1 y 1
x
1
e)
2
a
Bài 3: Rút gọn và tính:
a
7, 25;
b
3, 25
15
a
a 8
15 16
3 5
5 3
2
2
2
2
2
10
a
10 4
a
2
a
a
2
a
1
a
a) b) với với : a b 1 1 b a 1 1
1
với
a 4
với
2 5
5 2
d) 5 c) a
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Rút gọn các biểu thức:
3 5 2 a) Biểu thức: 3 7 15 35 6 14 3 7 7 5 2
3 7
Biểu thức rút gọn là:
2 b) Biểu thức: 5 2 10 8 15 12 2 2 3 5 3
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
5 2
Biểu thức rút gọn là:
c) Biểu thức: 3 2 15 2 10 2 5 2 10
3 2 5 1
3 1
3 1
2 5 2 3 2 2 5 3 2 3 3 2 6 3 6 2 2 2 5 2 3
3 1
3 3 2 5 2 2 5 2
2 2 3 1
Biểu thức rút gọn là: 2 2 3 1
2 16 d) Biểu thức: 3 2 6 3 8 4
2 2 8 8 4 4 6 4 3 2 6 3 3 2 2 2 3
8 4 2 2 3 2 4 3 2 2 6 3
2
2
3
4
2 2 4 4 4 2 6 3 8 4
2
1
1
2
3
4
2
3 3
Biểu thức rút gọn là: 1 Bài 2: Rút gọn các biểu thức:
x
0;
y
0
x x y x xy thì a) Với y xy x y y y x
x y
Biểu thức rút gọn là:
a
b b a 1
0 b) Với thì a ab
1 ab
1
1
b 1
a b ab 1
1
ab b ab a a ab ab ab ab b 0; 1 1
b 1 a ab
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
x x
y y
x
y
Biểu thức rút gọn là: a ab b 1
2
x
y
3
3
x
y
x
2
xy
y
x
y
x
y
xy
y
x
x
2
xy
y
y
x
xy
y
x
2
xy
x
y
xy
c) Biểu thức
2
x
x
x
1
1
Biểu thức rút gọn là: xy
0x
2
x x
x x
x
2 2
1 1
1
x
1
x
1 1
x
1
nên d) Với
x
1
2
y
2
y
1
x
1,
y
1,
y
0
Biểu thức rút gọn là:
4
x 1 y 1
x
1
2
y
y
1
1
.
4
2
x 1 y 1
x 1 y 1
x
x
1
1
e) Biểu thức
y 1 ,
Nếu 0 y 1 0 y 1 y 1
1
2
2
1
x
y y 1 Thì . . x 1 1 x 1 y 1 x 1 y 1 x
1
y 1 ,
Nếu y 1 y 1 0 y 1
1
2
2
1
1
y y 1 Thì . . 1 x 1 x 1 1 y x 1 1 y x x
Bài 3: Rút gọn và tính:
a) Ta có : a b 1 1 b a 1 1
1 1
1 1
a a . a b 1 1 a b 1 1 a b 1 1 b b
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a
7, 25;
b
3, 25
7, 25 1 6, 25 1
6, 25 2, 25
25 9
5 3
thay vào ta được Với
5 3
2
. Vậy biểu thức có giá trị
2
a
b) Ta có 15 a 8 a 15 a 4 15 a 15 16 4
3 5
5 3
Với thay vào ta được
15.
15.
4
4 3 5 4
3 5
5 3
2
15 a 15 4 4 3 5 5 3
2
c) Ta có 10 a 4 a 10 4 a 10 2 a 10 2
a
2 5
5 2
. 10
. 10 2
5 2 5 2
5 2
2 5
2
2
2
2
a
2
a
a
2
a
1
Với thay vào ta được a 10 2 10 2 2 5 5 2
1
2
2
2
2
d) Ta có
1
1
2
2
2
2
1 1
1 1
a
a
2
2
a
a
1 1
1 1
2
2
a 2 a a 2 a 1 1 1 1
a
a
1 1
1 1
2
2
5
5
5 1 1
5 1 1
1 1
1 1
2 1
2 1
5 thay vào ta được Với a
3 1 2
4 1 4 1
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
10
3
20
Dạng 3. Giải phương trình Ví dụ minh họa 1. Giải các phương trình sau:
x
23 x
x 2
d) b) c) a) 2. 5 x 5 x 7 3 0
x
x
2
5 0
x
5 25
10
x
x 2
10
a) Điều kiện xác định là Hướng dẫn giải: 5 2
x
thỏa mãn điều kiện .
7x .
Khi đó, phương trình được đưa về dạng: 20 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm b) Điều kiện xác định là
x 7 3 0 7 3 x
7x ta có
. Vậy phương trình vô nghiệm.
3x
với mọi 0 7 x và 3 0
10
x
3
20
5
x
x
3 2 .
5x là nghiệm của phương trình.
x
2 0
2
c) Điều kiện xác định là Khi đó, phương trình được đưa về dạng:
2
2
2
2
2
2
x
x
x
3
x
3
x
x
4
x
4
x thì 2
2
2
2
x
2
x
x
0
2
2
2
0
3
Vậy d) Với
x
21
x
3 0 1 x x 3 3 1 0
x 3 0 x 3 1 1 (thỏa mãn điều kiện) x 3 0 x 3 1 1
x
x
3;
3
1
1
Vậy nghiệm của phương trình là .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau:
10 b) 16 7 11 a) 3 x 1 x
x
x
3
x
x
x
4 2
x
2 6
9
6
2 4
5 0
c) d)
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Giải các phương trình sau:
x
x
3
1 0
1 3
a) Điều kiện có nghĩa:
Khi đó, phương trình 3 x 10 1 10 3 3 x x 1 (thỏa điều kiện)
3x .
Vậy nghiệm của phương trình là:
11 b) 16 7 x
x
x
0
16 7
16 7
Điều kiện có nghĩa:
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
x
x
x
16 7
11
11
16 7
(thỏa điều kiện)
5 7
Khi đó, phương trình
5 x 7
x
x
3
x
6
x
3
3
x
6
3
3
x
2 6
9
x
6
Vậy nghiệm của phương trình là:
2
c)
2 x 6 0 TM 6
x
x x x 6 x 3 3 3 3 3 L x 9 2 3 4 x x
9 2
x
x
4 2
x
5 0
x
2
2
x
5
2
2
x
5
2 4
x
Vậy nghiệm của phương trình là:
2
x
5 0
2
TM
5
x x
x
5
x 3 2 3 2
x
L
2 3
5 x 2 x 8
d)
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 4:Nâng cao phát triển tư duy
2
2
2 . 4
8 . 2
2
2
P
. Ví dụ minh họa 1: Rút gọn các biểu thức sau:
Giải
nên ta và a b b
Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng a dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính.
2
2
2 . 4
8 . 2
2
2
2
2
2 . 2
2
2 . 4
8
P
4 2
2
2 . 2
P
2 . 4 2 2
2 . 2
4 2. 2
P
2 .
Trình bày lời giải
2
3
4 2 3
21 12 3
A
Ví dụ minh họa 2:: Rút gọn biểu thức:
Giải
2A
b
Tìm cách giải. Với những bài toán có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số căn, bằng cách đưa
A
2a
các căn ở phía trong về dạng sau đó dùng hằng đẳng thức và giải như các ví dụ
trên.
Trình bày lời giải
2
3
4 2 3
21 12 3
A
2
3
4 2 3
2 3 3
2
3
4 2 3 2 3 3
2
2
3
4 4 3 3
2
3
2
3
2
2
3 2
3
4
Ta có
2A .
.
2
2 5 2
2
2 5 2
Suy ra
C
Ví dụ minh họa 3: Rút gọn:
Giải
Tìm cách giải.
2
Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng b x y . 2a
2C sau đó nhận xét dấu của C,
ta thường tính Do vậy để rút gọn biểu thức dạng C x y x y
từ đó tìm được C.
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
Trình bày lời giải
2
2
Xét 2 2 5 2 2 2 5 2 2 2 2 5 2 C 2 5 2 2
5 1
5 1
2
4 2 4 2 C 4 2 4 2 5 2
0C nên
2 5 1
2
2
x
x
y
y
6 2 5 . Vì 1 5 . C C
1
1
y .
, x y thỏa mãn
Ví dụ minh họa 4: Cho . Chứng minh rằng: x
y , chúng ta cần
x
y
Giải
2
2
x
x
. Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trò như nhau. Phân tích từ kết luận để có x phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử
y
y
x y chúng ta vận , do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử
a b b b a a a b . Lưu ý rằng mẫu số khác 0. Từ đó từ đó suy ra: có chứa nhân tử b a b a
Dễ thấy dụng chúng ra có lời giải sau:
Trình bày lời giải
x
1;
y
. 1
Từ đề bài ta có điều kiện:
x
1;
y
1
y
. x
- Trường hợp 1: Xét
2
2
x
y
x
y
1
1 0
x
y
0
y
x
y
x
1 1
x
y
1 1
x
y
x
0
y
x
y
1
1 1
x
0
0
x
x
y
y
y
- Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có:
x
y
1
1 1
2
1
8
16
a
. Vì
a 51
a
2
Ví dụ minh họa 5: Cho . Tính giá trị biểu thức
2
1
Giải
a
2
2
4 ;a a và
8a bằng hằng đẳng thức. Bài toán sẽ đơn
Tìm cách giải. Để thay giá trị trực tiếp vào biểu thức thì khai triển dài dòng, dễ dẫn đến sai
lầm. Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính giản và không dễ mắc sai lầm.
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
a
2
2
1
4
2
a
a
4
a
1
1 2
4
Trình bày lời giải
2 a
1 2 1
8
8
256
289 408 2 288 577 408 2
16
a
a
577 408 2 16
1 4 4 a 2 3 2 2 16 a 9 12 2 8 17 12 2
51 1
8
577 408 2 408 408 2 16
169 16
8
16
a
a 51
2 Xét 16 a a 51 577 408 2 16 2
169 16
13 4
2
6
2
6
Vậy .
;
S
a
b
2
2
1 7 a
1 7 b
Ví dụ minh họa 6: Tính giá trị với .
Giải
Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài toán sẽ phức tạp, có thể dẫn đến sai lầm. Bài toán có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính tổng và tích của a và b, sau đó dùng các hằng đẳng thức để tính dần dần.
a b
ab
6;
Trình bày lời giải
1
2
2
Từ đề bài suy ra:
a
b
ab
2
a b
; 4
2
3
3
3
a
b
3 6
a b
6 6 3.1. 6
3 ab a b
2
2
3
3
5
5
5
5
2 2
a
b
a
b
a
2 3 a b
3 2 a b
b
a
b
a b a b
Ta có:
5
5
Xét
5
4.3 6 a b 1 6
5 11 6
2
2
5
5
7
7
7
7
3
3
a
b
a
b
a
2 5 a b
5 2 a b
b
a
b
b
Từ đó tính được: a b
2 2 a b a
7
7
7
Xét
7 a
7
7
Suy ra: 4.11 6 a b 1.3 6 b 41 6
41 6
b
a
S
1 7 a
1 7 b
.
b
a
b
0;
Ví dụ minh họa 7: Cho . Chứng minh đẳng thức:
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
a b a b a b a 2 a 2
2
2
Giải
a b a b B Đặt vế phải là: a 2 a 2
0B
2
2
2
2
Ta có
2
2
2
a
a
b
2
2
2.
;
B
B
b
a
a
4
a
b
a a b a a b 2 a b a b Xét . 2. B 2 a 2 2 a 2
0B nên B
Vì .
2
2
Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh.
x
x
2
y
y
2
y
3
1
2
; x y thỏa mãn:
3
Ví dụ minh họa 8: Cho các số thực
3 3
Chứng minh rằng: x y xy 1
2
2
Giải
1y
z
x
x
2
z
z
2
2 *
từ giả thiết ta có:
Đặt
x
x
2 2 ta được
2
2
2
2
x
x
z
z
2
2
x
x
2
2
2
2
2
2
z
z
2
2
x
2
z
z
x
x
2
x
2
2
1
2
Nhân hai vế với
2
z
z
ta được
2
2
2
2
x
x
2
z
z
2
z
z
2
2
2
2
x
2 2
2
z
z
x
2
2
2
x
z
z
x
2
2
2
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với
x
1 0
0
y
x
x
y
z
1
Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được:
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3
3
2
2
2
2
x
y
3
xy
x
y
x
xy
y
3
xy
x
xy
y
3
xy
2
2
2
x
xy
y
x
y
1
2
3
Xét
3 3
x y xy 1 Vậy . Điều phải chứng minh.
3
5
10
2
A
BÀI TỰ LUYỆN Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.
5. 3
; b) 2 3 . 2 a) B 3 1
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
3 10 12 2 P Q a) ; b) . 3 8 4 4 20 3 6 5 3 2 6 3
6
3
6
3
2
2
6 2
6 2
C
Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
2
6
D
a) ;
9 6 2 3
5
4
3
2
. b)
3
x
3
x
6
x
20
x
2018
B x
2
Bài 4. Cho 3 2 . x . Tính giá trị
2002
x
2003
A x
27 10 2
27 10 2
27 10 2
27 10 2
x
13 3
13 3 :
13 2
Bài 5. Tính giá trị biểu thức với
2
2
a b
1
b
1
a
2
2
Bài 6. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:
a
b
. 1
2
2
2
2009
2 2009 .2010
2010
Chứng minh rằng
2
b) Chứng minh rằng số là số nguyên dương.
0;
b
a
b
2
a
b
a
b
a
a
b
3
5
3
5
Bài 7. Cho . Chứng minh đẳng thức:
x
;
.
;
;
x 2
2 A x x B x 2 1
1
2 3 x C x 2 1
3 5 x D x 2 1
5 x 2
7
5
7
5
A
3 2 2
và . Hãy tính: Bài 8. Cho 1
7 2 11
. Bài 9. Rút gọn biểu thức:
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
x
y y
y
x x
1
1
, x y là các số thực thỏa mãn:
2
2
.Tìm giá trị nhỏ nhất của Bài 10. Cho
S x 3 xy 2 y 8 y 12 .
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:
4
P
5 3 5 48 10 7 4 3
;
6 2 2. 3
2
12
18
128
Q
3 1
.
Bài 12. Rút gọn biểu thức:
6 2 5 13 48 2 3 3 13 48 a) A b) T 6 2 3 1
4
2
2
2
3
6 3 2
3
2 10 6 Bài 13. Rút gọn biểu thức: A : . 30 2 2 2 10 2 2 2 3 1
x
S
x
16
x
2
2
.Tính giá trị biểu thức: . Bài 14. Biết
x 2019 x 2019 2020 y 2019 y 2019 2020 2020 .Tính giá trị của Bài 15. Cho
A x
y
.
2
2
x
x
x
x
9
A
: 2 1
5 2
2
x 2 x 3
x
x
x
x
2
9
3
6
2013
2012
2011
2013
2012
2011
Bài 16. Rút gọn biểu thức:
8
P
a
a 11
b 8
b 11
b
a
5
Bài 17. Cho biểu thức . Tính giá trị biểu thức của P
2
P
. 5 và với a 4 b 4
;
0
x
x
và 3 2
6 2 9 4x x
3 2
3 2
x x a Bài 18. Cho 3 2 .Tính giá trị của biểu thức
3
2
A
2
x
3
x
4
x
Với 2
theo a.
5
5
5
5
x
2
2
3
5 1
.
2
2
Bài 19. Tính giá trị của biểu thức:
4 . Hỏi có tồn tại hay không 6
Bài 20. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên.
HƯỚNG DẪN
Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3
5
10
2
A
5. 3
; a)
b) 2 3 . 2 B 3 1
3
6 2 5.
5
Hướng dẫn giải – đáp số
A
5. 3
5 . 2
5 1
5 1 . 3
a) Ta có
2 5 1 .
5 1 . 3
5 1 .
5 1 . 3
5 5
2. 9 5
5 2 5 1 . 3
2 3
5 . 3
5 5 . 8
Vậy A là số tự nhiên.
3 1 .
2 3 1
b) Ta có 3 1 . 4 2 3 B
3 1 .
3 1
3 1 2 B .
Vậy B là số tự nhiên.
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
3 10 12 P a) ; 3 20 3 6 5
10
2
6
3
2
2
10 3
6 3
P
2 Q . b) 8 4 4 3 2 6 3
3
3
5
3
5
3
2 . 2
P
3 2 2
a) Ta có: Hướng dẫn giải – đáp số 5
5
3
2
3
2
2
8
Q
2
1
.
6 4
4
2
3
3 2 2 2 3
4 1
b) Ta có .
6
3
6
3
2
2
6 2
6 2
C
Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
2
6
D
; a)
9 6 2 3
b) .
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
1 2 3 2 2 2 3 2 6
1 2 3 2 2 2 3 2 6
C
Hướng dẫn giải – đáp số
2
2
2
2
3
2
3
1
2
3
2
3
1
1
C
2
1 2
a)
6
3. 3 2 2
3. 2 2 2 1
6
D
C . 2 2 2 2
3
3
2
3
2
2 1
3
2 1
2
1 .
3
3
5
4
3
2
b)
3
x
3
x
6
x
20
x
2018
B x
Bài 4. Cho 3 2 . x . Tính giá trị
Hướng dẫn giải – đáp số
2
2
x
4
x
4 3
x
4
x
1 0 *
3
2
2
2
2
3 , bình phương hai vế ta được: Từ x 2
x
4
x
x
x
4
x
5
x
4
x
2013
B x
1
1
1
2013
Ta có
B
2
Kết hợp với (*) ta có: .
2002
x
2003
A x
27 10 2
27 10 2
27 10 2
27 10 2
x
13 3
13 3 :
13 2
với Bài 5. Tính giá trị biểu thức
Hướng dẫn giải – đáp số
2
Ta có: 27 10 2 5 2 2 . 5
2
27 10 2 5 2 2 5
2 2 . 5
2 2 . 5
5 2 5 2 Tử số là:
2 .23
2 .23 46 2
a
a
13 3
. 0
13 3;
5 5 .
Xét 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
13 3
2 a
13 3 2
13 3
13 3
2 13 4
a
2
2 a
13 2
.
46
x
2
13 2
46 2 13 2 :
Do đó .
246
2002.46 2003 92205
A
. Vậy giá trị biểu thức
2
2
a b
1
b
1
a
2
2
Bài 6. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:
a
b
. 1
2
2
2
Chứng minh rằng
2009
2 2009 .2010
2010
b) Chứng minh rằng số là số nguyên dương.
2
2
a
1
a
1
b
Hướng dẫn giải – đáp số
b
. a) Ta có
2
2
2
2
2
2
2
2
a
2
a
1
a
a
b
b 2
1
b
1
1
a
b
a
b
1
b
Bình phương hai vế không âm, ta được:
1
.
2
2
2
2
4
4
2
2
a
a
b
b
a
b
a
b
0
1
1
2
2
2
b
a
b
0
a
2 1
2
2
Bình phương hai vế không âm, ta được:
a
b
0
2
2
b
2 1 0
a
1
2 a
hay
b
. Điều phải chứng minh.
2009
Do a, b là hai số dương khác nhau nên
a
2
2
2
2
2
4
3
2
a
a
a
a
2
a
a
a
2 a a
1
1
1
2
4
2
a
2
a
a
a
2 a a
1
1
2 1
2
2
2009
2009 1
a
a
là số nguyên dương.
1
2
, ta có: b) Đặt
0;
b
a
b
2
a
b
a
b
a
a
b
Bài 7. Cho . Chứng minh đẳng thức:
a
b
a
b
Hướng dẫn giải – đáp số
0A .
Đặt A ta có
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
A
b
2.
a
b
b
a
a
b a
2
2
2
2
2
a
2
a
A
b
2.
a
a
b
A
2
Xét
0A nên
2
A
a
a
b
3
5
3
5
x
Vì . Suy ra điều phải chứng minh.
;
.
;
;
x 2
2 A x x B x 2 1
1
2 3 x C x 2 1
3 5 x D x 2 1
5 x 2
và . Hãy tính: Bài 8. Cho 1
3
5. 3
5
9 5
2
Hướng dẫn giải – đáp số
.
A x x 2.
1
5 3
5
Ta có:
3
6 .
2 B x 1
2 x 2
Ta có:
2 x 1
2 x 2
C 3 5 3 5 Ta có: 6 2 x 1 x 2 x x 1 2
3 5 3 5 .4 C
6 2 5 6 2 5 .2. 2 C
5 1 .2 2
2 x 1
2 x 2
3 x 1
3 x 2
5 x 1
2 3 x x 2 1
3 3 x x 2 1
5 x 2
5 1 4 10 . C
Xét
5 x 1
5 x 2
2 2 x x 1 2
6.4 10 x 1 x 2
5 x 1
5 x 2
24 10 4 3 5 3 5
5 x 1
5 x 2
24 10 6 2 5 6 2 5 .2. 2
5 x 1
5 x 2
5 1 .2 2
20 10
24 10 5 1
5 D x 1
5 x 2
7
5
7
5
A
3 2 2
.
7 2 11
Bài 9. Rút gọn biểu thức: .
7
5
7
5
Hướng dẫn giải – đáp số
B
7
7
5
5
2 B
5 2
7
5 7
Xét
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
B 14 2 49 5 14 4 11
0B nên
2
14 4 11
A
A
2
1
Mà 14 4 11 . B
2 1
2 1
7 2 11
x
y y
y
x x
. Từ đó suy ra:
1
1
, x y là các số thực thỏa mãn:
2
2
Bài 10. Cho .Tìm giá trị nhỏ nhất của
S x 3 xy 2 y 8 y 12 .
Hướng dẫn giải – đáp số
x
y 1;
. 1
x
1
Tập xác định
y suy ra:
2 1
P
2 3.1.1 2.1
8.1 12 6 1
1x hoặc
Trường hợp 1: Xét
1y . Ta có:
x x
y y
x
y
1
1 0
y
x
y
x
xy
y
0
.
x x
1
1 y 1
1
x
y
x
y
0
x
y
x
xy
y
.
1
x
y
1
x
y
x
y
x
xy
0
y
.
x
y
1
1
x
y
x
xy
0
y
Trường hợp 2: Xét ít nhất
x
1
y 1;
nên
x
y
1
1
x
y
0
Mà
y x
2
2
2
Suy ra
S
x
3
x
2
x
8
x
12
8
12
2.
2
22 x
x
S
x
S
4 0
2
Ta có:
2x .
Dấu bằng xảy ra khi
x
2 2
. Do đó giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi
2x .
Từ (1) và (2) vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:
4
;
P 5 3 5 48 10 7 4 3 23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
6 2 2. 3
2
12
18
128
Q
3 1
.
4
5 3 5 48 10 4 4 3 3
P
Hướng dẫn giải – đáp số
4
5 3 5 48 10
2
3
P
2
4
3
P
5 3 5 48 10 2
4
5 3 5 28 10 3
P
4
5 3 5 25 10 3 3
P
4
5 3 5
5
3
P
2
4
3
P
5 3 5 5
4
5 3 25 5 3
4
25
9
P
. 3
a) Ta có:
6 2 2. 3
2
12
16 8 2 2
Q
3 1
6 2 2. 3
2
12
4
2
Q
3 1
2
6 2 2. 3
2 2 3 4
2
Q
3 1
6 2 2 3
3 2 3 1
Q
3 1
6 2 2 3
3 1
6 2 2 2
3
Q
3 1
3 1
b)
3 1
3 1
4 2 3
2
Q
3 1
3 1
3 1 .
6 2 4 2 3 Q 6 2 3 1
Bài 12. Rút gọn biểu thức:
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
6 2 5 13 48 2 3 3 13 48 b) T A a) 6 2 3 1
Hướng dẫn giải – đáp số
6 2 5 12 4 3 1 a) Ta có: A 3 1
2 2 3 1
3 1
6 2
2 3 1
A
6 2 3 2 3 1 3 1
3 1
6 2
3 1
A
3 1
3 2 3 1 3 1
2 3 1
A
1
6 2 5 A 6 2 5 2 3 1 3 1
3 1
3 1 3 1
.
2 2 3 1
2
2 3 3 2 3 3 13 4 3 T b) Ta có 6 2 6 2
3 1
2 3 2 3 T 6 2 3 2 3 1 2 6 2 2 3 3 1 3 1
3 1
3 T 1 . 4 2 3 3 1 3 1 3 1 2. 2
2 10 6 Bài 13. Rút gọn biểu thức: A : . 30 2 2 2 10 2 2 2 3 1
Hướng dẫn giải – đáp số
10 2
10
2 2 2
3 3 Ta có: . A 3 1 2 2
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2 . 2
3
2
.
.
A
2
3 1 2
4 2 3 4
3 1 2
2 3 1
10 3 A . 3 1 2 2 10 2
4
2
2
2
3
6 3 2
3
A . . 4 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 4 1 . 2
x
S
x
16
x
.Tính giá trị biểu thức: . Bài 14. Biết
Hướng dẫn giải – đáp số
2 x
8 2 2
3
3
2 x
2 3 4 2
8 2 2
3
2 x
2 6 3 3
2
2 2 3 6 3 2 3 2 2 2 3 Xét 3 6 3 2
2 2 3 6 3 3 . x 8
2
4
x
x
3 6 3 3 2
2
64 16
3 6 3 3
4 2
2
4
64 16
x
x
32
2
Bình phương hai vế ta được:
16
x
32
4 x
2
2
.
Bài 15. Cho x 2019 x 2019 2020 y 2019 y 2019 2020 2020 .Tính giá trị của
A x
y
.
Hướng dẫn giải – đáp số
x
2019
a y ;
2019
. b
2
2
a
a
2020 .
b
b
2020
2020 *
Đặt
a
a
Đẳng thức đã cho có dạng:
2 2020
, ta được:
2
2
2
2
a
2020
a
b
b
2020
a
2020
a
.2020
2
2
b
2020
a
2020
a
b
1
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
b
b
, ta được:
2
2
2
2
a
a
2020
b
2020
b
2020.
2020
b
b
2 2020
2
2
a
2020
b
2020
b
a
2
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với
a b
x
2019
2019
0
y
0
Từ (1) và (2) cộng vế với vế và rút gọn ta được:
A x
y
4038
2
2
x
x
x
x
9
A
: 2 1
. Vậy
5 2
2
x 2 x 3
x
x
x
x
2
9
3
6
Bài 16. Rút gọn biểu thức:
2
3
3
3
x
x
x
3
x
: 2
A
Hướng dẫn giải – đáp số
2 x 3 x
3
2
3
3
x
x
x
x
x
x
x
3x
,
Ta có:
2 3 3 x x x x x 3 : 2 A 3 3 x x 3 3 2 3 x x x Điều kiện xác định 3 x x
2013
2012
2011
2013
2012
2011
A . . x x 1 2 x 3 3 1 3 2 3 x
a
P
8
a
a 11
b 8
b 11
b
. Tính giá trị biểu thức của P Bài 17. Cho biểu thức
5
5 và . với a 4 b 4
Hướng dẫn giải – đáp số
2
2
a
8
a
16 5
a
8
a
11 0
5 bình phương hai vế ta được: Xét a 4
2
2
b
b 8
16 5
b
b 8
11 0
.
2011
2
2011
2
8
a
a
b
b
b 8
P a
11
11
0P .
5 bình phương hai vế ta được: Xét b 4
;
0
x
x
và 3 2
3 2
3 2
x x Bài 18. Cho 3 2 . a
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
P
6 2 9 4x x
theo a. Tính giá trị của biểu thức
2
3 2
x
x
x
x
3 2
3 2
3 2
P
Hướng dẫn giải – đáp số
x
Ta có:
2
x x 3 2 3 2 x x 3 2 3 2 P x x
3 2 x
3 2 x
3
2
A
2
x
3
x
4
x
x x 3 2 3 2 x 4 P . 4 a x x x x 3 2 3 2
Với 2
5
5
5
5
x
2
2
3
5 1
.
2
2
Bài 19. Tính giá trị của biểu thức:
5
5
5
5
a
2
2
,
a
0 .
Hướng dẫn giải – đáp số
2
2
5
5
2
Đặt
4 2 4
6 2 5
5
a
4
4
3
2 5 1
2
3
5
a
3
5
3
5 1
x
1
6 2 5 2
6 2 5 2
Xét
2
x
2 1
2
1
x
x
2
x
2
x
. 1 0
2 1
3
2
1 2 1 5 1 2 5 1 2
A
2
x
3
x
4
x
2
2
2
A
2
2
x
x
2
x
1 1
.
x x
1
1
Ta có:
4 . Hỏi có tồn tại hay không 6
Bài 20. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên.
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt số đó là ab . Theo đầu bài, ta có:
28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
ab ab a a 2 b a b b
a a 2 a b 2 b 10 10 a
K K
. a chẵn. Đặt a 2 K 2 2 b 10 K b 5
0;1; 4;9
9b nên
b
. Do
b
K
5
a
0
10
b
K
a
8
4
1
Số đó là 81
(loại) Nếu
b
K
3
a
6
4
Số đó là 64 (đã cho)
Nếu
b
K
4
a
2
9
Số đó là 49.
Nếu
Nếu
II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ CÁC DẠNG
Câu 1. Cho a là số không âm b , c là số dương. Khẳng định nào sau đây là
a
ab
a
ab
=
=
=
đúng?
a b
ab c
b
c
bc
c
,a b là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. Cả A, B đều đúng.
a
a b=
b a=
.a b
ab=
ab
=
Câu 2. Cho
b
A. ab . B. a b . C. . D. .
2018
+
2019
=
2018
+
2019
2018.2019
=
Câu 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2019
2019
=
2018.2019
2018.2019
=
. B. . A. 2018
2018
. . D. C. 2018. 2019
Câu 4. Kết quả của phép tính 1, 25. 51, 2 là?
A. 32 . B. 16 . C. 64 . D. 8 .
Câu 5. Kết quả của phép tính 2, 5. 14, 4 là?
A. 36 . B. 6 . C. 18 . D. 9 .
81 169
là? Câu 6. Kết quả của phép tính
29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
. B. . C. . D. . A. 9 13 9 169 3 13 13 9
1,21 576
là? Câu 7. Kết quả của phép tính
A. . B. . C. . D. . 1,1 240 11 24 11 240 240 11
625 729-
Câu 8. Kết quả phép tính:
A. . B. C. D. Không tồn tại. 25 27 25 - . 27 5 - . 7
- 999 111
là? Câu 9. Kết quả của phép tính
2 12 .
2 11)- (
B. 9- . C. 3- . D. Không tồn tại. A. 9 .
có kết quả là? Câu 10. Phép tính
4
a
.(2
2) a - với 1
A. 33- . B. 132- . D. Không tồn tại.
2
2
(1
2 )a a-
a (2
a- 1)
1)
2 )a a-
a a - .
Câu 11. Rút gọn biểu thức a ³ ta được C. 132 . 1 2
2
a
.(2
a -
2) 3
B. . C. . D. (1 . A. (2
2
2
(3
2 )a a-
a (2
a- 3)
3)
2 )a a-
a a - .
0 với Câu 12. Rút gọn biểu thức 3 a£ < ta được 2
0, 9.0,1. 3(
2 )x-
3
B. . C. . D. (3 . A. (2
x >
3)
3)
3)
Câu 13. Rút gọn biểu thức với
x - .
)x- .
x - .
x - .
x =
29
2
x
x- 2.
+ khi
A. 0, 3( B. 0, 3(3 C. 0, 9( D. 0,1(
là Câu 14. Giá trị biểu thức
+
a 2(
b
)
0
,
=
D
B. 5 . C. 10 . D. 25 . A. 29 .
a b > ta được
2
2
+
+
a
b
b ab 2
b
Câu 15. Rút gọn biểu thức với
b+ .
a
b
-
E
=
a
b
. B. 2 . D. 2 b . C. A. a b 2
< < ta được
2 )
( a
ab b -
2
a
Câu 16. Rút gọn biểu thức với 0
30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
4
0
. C. . D. a b . B. . A. a 2 b- 2 b 2
b ¹ ta được
2
a b
với Câu 17. Rút gọn biểu thức
2a b
2a - . b
2a b
2
. D. . B. A. C. . a b
m 3 n 8
64 n 2 m 9
m n> 0; 0 Câu 18. Rút gọn biểu thức với < ta được:
2
.
0
B. 1 . C. A. 1- . . D. m n m - . n
ab ¹ ta được:
a 11
121 4 10 a b
với Câu 19. Rút gọn biểu thức
1 5
1 5 b
11 5 b
b
4 2 a b 4
.
0
A. . B. . C. 5b . D. .
ab ¹ ta được.
9 8 4 a b
Câu 20. Rút gọn biểu thức với
2a b
3
+
x
22 x
0
. B. 12 . C. 6 . D. 36 . A.
x > ta được
+
x
2
2
Câu 21. Rút gọn biểu thức với
x + .
B. x- . C. x . D. A. x .
5
4
x 9
+
x 33
x 3
+
11
0
0 x = 0 x = Câu 22. Rút gọn biểu thức = x - = 1 0 x é ê ê ê 2 ë 1 2 é ê ê ê ê ë
x > ta được:
2x .
với
4x .
23x .
x + . 11
22 x
x 12
+
A
=
0
B
2
x > cho biểu thức
B. C. D. 3 A.
x= . Có bao nhiêu
6
x
+
và Câu 23. Với
giá trị của x để A B= .
A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. Vô số.
31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
-
x
x 5
5
=
A
x > cho biểu thức
x= .
-
x
5
Và B Câu 24. Với
Có bao nhiêu giá trị của x để A B= .
B
=
³
y
, x y
0; 3 x
¹ , rút gọn biểu thức
A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. Vô số.
- x 3 3 x
3 xy - y
ta được: Câu 25. Với
x
A
=
xy y
1 x 3 x 3 3 x A. . B. . C. . D. . x 3 y- x 3 y+ 3 x y+ 3 x y-
- - ta được x
x y , ³ 0; x y , Câu 26. Với ¹ rút gọn biểu thức
-
700
+
1008
-
448
y x 1 x . C. A. . B. . D. . x y- x y- x y- x y+
là: Câu 27. Giá trị của biểu thức 252
3
3
-
a
b
b
a
a
³
b
³
a
0,
0,
, b
-
¹ rút gọn biểu thức
A. 7 . B. 0 . C. 4 7 . D. 5 7 .
+ -
a
b
-
a
b
ta Câu 28. Với
ab
ab
-
b 2
ab
-
a 2
2b
được.
a
b-
a
-
b
a
-
b
a
b-
. B. . C. . D. . A.
0x của phương trình
x 9
-
7
=
x 7
+
5
Câu 29. Khẳng định nào sau đây đúng về nghiệm
x 7
+
5
5
8
9
5
7
x < .
.
x > .
x > .
0
0
0
x< < . 0
B. C. D. A.
x 4 - + 20 x - - 5 x 9 45 4 - = là Câu 30. Nghiệm của phương trình 1 3
9
8
9
x = - .
x = .
x = .
5 B. x = . C. D. A.
HƯỚNG DẪN
Câu 1. Đáp án D.
32. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a
=
a b
b
ab
=
ab c
Với số a không âm và số b dương , ta có
c > 0
với
c Từ đó suy ra Câu 2. Đáp án C.
ab
=
a b .
,a b không âm, ta có
Với hai số
=
2018.2019
Câu 3. Đáp án C.
Ta có 2018. 2019
2
1,25. 51,2
=
1,25.51,2
=
64
=
8
= . 8
Câu 4. Đáp án D.
2, 5. 14, 4
=
2, 5.14, 4
=
36
=
2 6
= . 6
Câu 5. Đáp án B.
81
2 9
=
=
=
Câu 6. Đáp án A.
2
81 169
9 13
169
13
.
1,21
2 1,1
=
=
=
=
Câu 7. Đáp án C.
2
1,21 576
1,1 24
11 240
576
24
.
Câu 8. Đáp án D.
- 729 < 0;625 > 0 < 0 625 - 729 nên không tồn tại căn bậc hai của số âm. Vì Câu 9. Đáp án D.
- 999 < 0;111 > 0 0 Vì < nên không tồn tại căn bậc hai của số âm - 999 111
2 12 .
- (
2 11 )
=
2 12 .
- (
2 11 )
= |
| 12 .
|
- = 11
|
12.11
=
132
Câu 10. Đáp án C.
.
4
4
2
2
2 ∣ ∣
=
a
a . 2 |
- = | 1
a
a . 2 (
-
1 )
a
a .(2
-
2 1)
=
a
a . (2
-
2 1)
=
a . (2
-
2 1)
( a
)2
Câu 11. Đáp án C.
1
1
a 2
a 2
- = - )
a ³ - ³ a 2 1 0 (vì 1 2
33. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
-
2 3 )
=
-
2 3 )
= |
.|
|
- = 3
|
( . 3
-
)
a
a . 2 (
a
a . 2 (
a
a 2
a
a 2
Câu 12. Đáp án D.
0 a 2 a 2 a 2 a 3 3 3 (vì £ < - £ - = - ) 0 3 2
( 0, 9.0,1. 3
-
2 )
2 )
-
0, 09. 3 (
-
2 )
=
0, 3. 3
|
-
|
x
x
x
x
x
|
3
Câu 13. Đáp án A.
3
x
> - < 0 3
0, 9.0,1. 3 (
-
2 )
=
-
x
= ( 0, 09. 3 = | 3 - = - x x 0, 3 ( 3 ) .
Ta có x Mà
2
. Nên Câu 14. Đáp án B.
29
x =
x - 2. x + = 2 x - với 4 x ³ 2 Ta có
2
x - = 4
29
-
4
(
)2
25
=
= . 5
Thay (TMĐK)
a 2(
b
)
+
)
)
( 2 a
+
b
b
( 2 a
+
b
b
D
=
.
.
=
=
2
2
2
2
a
b
b 2 ab
+
+
b
b
b
2 )
a
ab 2
b
( a
b
+
+
+
a ( 2
+
b
)
a ( 2
+
b
)
=
.
=
.
=
2
b +
|
a
b
|
b +
b
a
b
b
a b ,
a
a
a
0
0
b
b
b
Vào biểu thức ta được Câu 15. Đáp án B.
> + > + = + )
(vì
a
-
b
-
-
a
b
ab
a
b
E
=
=
=
=
.
.
b ) -
a b . - b a
|
|
a ( 2
- a |
b b |
ab - b
2 )
a (
2
a
a
a
2
2
-
b
a (
2 )
a
a
a
b
b
b
( a
0
)
|
|
Câu 16. Đáp án C.
< < nên b
- < - = - - . Khi đó
Mà 0
b E = = - b a ( ) - - 2 a ( b b ) - 2
2
2
4
4
2
a
( a
)2
a
a
=
=
=
=
2
2
2
a b
b
b
b
b
Câu 17. Đáp án D
Ta có
Câu 18. Đáp án A.
34. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
)
=
=
=
.
1
= -
| |
| |
m 3 n 8
m 3 n 8
m 3 n 8
n 8 m 3
- n m 8 3 . ( n m 8 .3
n 64 2 m 9
2 n 8 ) ( 2 m ) ( 3
m
0; n>
Ta có:
< . 0)
(vì
2
2
2
Câu 19. Đáp án A.
2 11
5
4
10
2
2
2
5
( a
)
( b
)
121 = = = . . . 1 5 a 11 a 11 a 11 b 11 2 a b . a b . .
9
3
4 2 a b 4
.
.
.
=
=
=
4 2 a b 4
=
4 2 a b 4
= 12
2
2
8
4
9 8 4 a b
4 2 a b 12 4 2 a b .
4
2
.
8 4 a b
a
b
.
4 2 a b 12 ( ) b
( a
)
Câu 20. Đáp án B.
3
2
2 x x (
Câu 21. Đáp án A.
x
+
22 x
2
0
x > nên x
x=
x
+
2
3
x
22 x
+
x
=
+ 2) x . x + 2 = = = x = x Ta có mà x + 2 x + 2
2
+
Từ đó .
x Câu 22. Đáp án C.
5
4
4
2
11)
4 3 (3 x x
+
3.
11
9 x
33 x
x
. 3 x
+
+
2
2
2
3.
3.
x
3 x
=
=
=
=
=
( x
)
11
11
11
3 x
3 x
3 x
+
+
+
Ta có
Câu 23. Đáp án A.
22 x
x 12
+
A
=
6
x
+
+ x x ( 6) + x x 6 = = = x + + x x 6 6
= - x 2
x 2
x
x
= 0
x
x
0
( 2
) - = 1
= 0 x = 0 Để A B= = x 2 - = 1 0 x é ê ê ê ë 1 2 é x ê ê ê ê ë
0( ) L
N ( ) 1 4 é =ê x ê ê =êë x
2
x x (
-
5)
x x
-
5
x
x 5
-
=
=
=
x
A
=
5
x
-
x
-
5
x
-
5
Câu 24. Đáp án C.
Để A B=
35. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
x > ) 5
(
) - = 1
x = 0 x 0 = = - x x x x = 0 x x 0 (loại vì 0 1 = x 1 1 x 0 é x = ê ê = x êë é ê ê ê ë é ê ê ê - = ë
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện đề bài.
2
-
-
y
y
x 3
x 3
(
)
(
x 3
=
=
=
=
B
Câu 25. Đáp án C.
2
2
xy 3 - y
- x 3 x 3
+
y
x 3
-
) +
y
y
x 3
x 3
-
y
x 3
(
)
x 3 )(
(
)
x 3 . (
)
2
-
y
x
x
.
x
(
x
x
=
=
=
=
A
Câu 26. Đáp án D.
2
2
-
- x
xy y
+
x
y
) +
-
x
y
x
y
-
x
y
(
- x )(
)
( (
) )
y )
(
.
-
700
+
1008
-
448
=
36.7
-
100.7
+
144.7
-
64.7
Câu 27. Đáp án B.
252
= 6 7 - 10 7 + 12 7 - 8 7 = 7(6 10 12 8) 0 - + - =
3
3
a
b
a
b
-
-
Câu 28. Đáp án B.
a
b
+ -
a
b
-
2
2
a
+
b
a
-
a b .
+
b
Ta có
(
(
)
(
)
a
-
b
ù ú ú û
-
2
2
a
-
b
a
-
b
)( b a )( b
é ) ( ê ê ë (
) )
(
)
a
-
b
a
-
ab
+
b
a
- - +
a
b
ab
-
b
ab
-
b 2
=
-
=
=
a
b
a
b
a
b
a
b
-
-
-
-
+ - ab a - b = - a - b a - a + b a ( + b )
Câu 29. Đáp án D.
x 9
-
7
=
x 7
+
5
- =
x 9
7
x 7
+
5
7 x 5 0 x Điều kiện + > > - 5 7
(
)2
x 7
+
5
7
x 9
x 7
x 2
6
6
5
7
= = (TM) x
x
12 - = + 5 Vậy nghiệm của phương trình là
x = < < .
0
0
Với điều kiện trên ta có
Câu 30. Đáp án D.
36. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
0
0
5 - ³
20 - ³
5
0
5
x
x
0
0 0
)5 - ³ - ³ ³ ) 5 - ³
ì ï 4 x ï ï ï 5 0 x - ³ í ï ï 9 45 x - ³ ï ï î
ì ï x ï ï ï 4( x í ï ï (9 x ï ï î
Điều kiện
Với điều kiện trên ta có
x ( 4 - + 5 ) x - - 5 x ( 9 5 ) 4 x 4 - + 20 x - - 5 x 9 45 - = - = 4. 1 3 1 3
4. . 9. 5 4 2 .3. 5 x 5 - + x 5 - - x - = x 5 - + x 5 - - x - 1 3 1 3 x x 2 = 4 5 4 5 2
4
5
5
9(
)
x - = - = =
x
x
TM
9
- = - = 2 2
x = .
Vậy nghiệm của phương trình là
------------------------- Toán Học Sơ Đồ -------------------------
