Chuyên : PHNG TRÌNH VI PHÂN CP II
A. MT S VN  LÝ THUYT
1. Phng trình tuyn tính cp hai thun nht vi h s hng
Dng : PTVPTT cp 2 thun nht có dng:
 
, (1)
trong ó a, b và c là các hng s,
.
Mc ích: Tìm nghim tng quát ca (1).
Cách gii: Xét phng trình c trng:

 
a. Trng hp 1: PT c trng (3) có hai nghim thc phân bit
NH LÝ 1. Nu phng trình c trng có 2 nghim thc, phân bit
và
, khi ó
là mt nghim tng quát ca phng trình (1).
b. Trng hp 2:Phơng trình c trng có nghim bi
NH LÝ 2. Nu phng trình c trng có hai nghim bng nhau
, khi ó
là nghim tng quát ca phng trình (1).
c. Trng hp 3: Phơng trình c trng có nghim phc.
NH LÝ 3. Nu phng trình c trng có cp nghim phân bit phc liên hp

(vi
), khi ó nghim tng quát ca phng trình (1) có dng :
 

 
2. Phng trình tuyn tính cp hai không thun nht vi h s hng
Dng : PTVPTT cp hai không thun nht có dng:
 
  
≠ 0
TS. Nguyn Hu Th - B môn Toán Trưng i hc Thy Li
2012
1
Cách gii:
+ Trc ht tìm nghim tng quát ca phơng trình thun nht tơng ng
+ Tip theo phi tìm c mt nghim riêng ca PTVPTT không thun nht (2): y
p
(x)
Khi ó nghim tng quát ca phơng trình không thun nht (2) có dng:
Nh vy nhim v còn li ca chúng ta là phi tìm y
p
.
Các phng pháp tìm
()
a. Phơng pháp h s bt nh



()
 
 !"!#$%&'()*+
 
 % !"!#$%&'(
)*+


 
,% !"!#$%&'(
)*+

 

()
()-
,  ,-.
/% !"!#$%&'(
)*+
 
% !"!#$%&'()*+
 

0 = max (,).
b. Phng pháp bin thiên tham s
Gi s ta ã tìm c nghim tng quát ca PTVPTT thun nht tng ng
TS. Nguyn Hu Th - B môn Toán Trưng i hc Thy Li
2012
2

+ Tìm s i tìm nghim riêng ca PTVPTT không thun nht (2) di dng:

+  tìm
(),
() ta i gii h phng trình sau:

+ Gii h tren ta nhn c các hàm

.
+ Nghim riêng ca PTVPTT không thun nht (2):


Và khi ó nghim tng quát ca PTVPTT không thun nht (2) là:
=
+
.
3, Gii bài toán giá tr ban u: Xét bài toán

+!
+ = "() (∗)
()=
$
;
()=
&
(∗∗)'
+ Trc ht ta tìm nghim tng quát ca PTVP (*)
+ Ta ch ly các nghim tha mãn (**) làm nghim ca bài toán ã cho.
B. MT S BÀI TP
Bài s 1 : Tìm nghim tng quát ca các PTVPTT thun nht sau
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

8.

9.

TS. Nguyn Hu Th - B môn Toán Trưng i hc Thy Li
2012
3
Bài s 2 : Gii các bài toán giá tr ban u i vi PTVPTT thun nht
1.
  
2.

3.
  
Bài s 3 : Tìm nghim ca PTVPTT không thun nht sau
1.

2.
3.

4.

5.

6.
7.

8.

9.

10.
 
11.
12.
 
13.
 
14.

15.

TS. Nguyn Hu Th - B môn Toán Trưng i hc Thy Li
2012
1
Bài s 4: S dng phng pháp tham s
bin thiên  tìm mt nghim riêng, t ó
suy ra nghim tng quát.
1.
2.
3.
4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Bài s 5: Gii bài toán giá tr ban u i vi PTVPTT không thun nht sau:
1.
2.
3.

4.

5.
C. MT S  THI GN ÂY
1.(1997) Tìm nghim tng quát ca phng trình vi phân cp hai:
( −2( = 2sin
2.(1999) Gii phng trình: ( −2( +5( = /0cos2
3.(2000) Tìm nghim tng quát ca phng trình vi phân
( −3( = 3−1+9sin3
4.(2001) Gii phng trình vi phân sau: ( −2( +10( = /0+sin3.