CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 31

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

74
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong Vật lý lượng tử, lý thuyết tán xạ là một bộ phận quan trọng và được nghiên cứu qui mô, với nhiều cách đặt vấn đề và nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây, chúng ta chỉ xét bài toán đơn giản và điển hình nhất về bài toán tán xạ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 31

Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 31 BÀI TOÁN TÁN XẠ. PHƯƠNG PHÁP BORN
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong Vật lý lượng tử, lý thuyết tán xạ là một bộ ph ận quan trọng và được nghiên cứu qui mô, với nhiều cách đặt vấn đề và nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây, chúng ta chỉ xét bài toán đơn giản và điển hình nh ất về bài toán tán xạ. Chú ý rằng, trong Vật lý lượng tử thì lý thuyết tán x ạ cũng là lý thuyết va chạm, vì đối với hạt vi mô, do tính bất định về v ị trí, không thể nói đến va đập trực tiếp theo nghĩa cổ điển.
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.Bài toán điển hình về tán xạ trong Cơ học lượng tử Khi nói về tán xạ trong Cơ học lượng tử, có thể hình dung ra các tán xạ sau đây. Kiểu thứ nhất là tán xạ (hay va chạm) giữa các hạt đồng nhất: hai hạt với với xung lượng và năng lượng xác định dược “bắn” lại gần nhau, tương tác với nhau và sau đó tiếp t ục chuy ển động theo một kiểu nào đó. Trong chương này ta không xét kiểu tán xạ đó.
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Kiểu thứ hai là tán xạ của một hạt hoặc một chùm hạt giống nhau “bắn” từ xa tới gần một tâm tán xạ, sau đó dổi hướng (hoặc không còn hướng xác định) và có thể mất một ph ần hoặc có thể nhận thêm năng lượng. Tâm tán xạ này là trường lực được hình dung theo kiểu cổ điển , mà điển hình là trường xuyên tâm (tâm đó có thể là một nguyên tử). Ở đây, chủ yếu ta sẽ xét sự tán xạ của một chùm (hay m ột dòng) ổn định trong một thời gian đủ dài. Vấn đề đặt ra là tìm phân bố số hạt bị tán xạ theo h ướng khác nhau. Dưới đây là hình vẽ minh họa bức tranh tán xạ
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bức tranh tán xạ trong Cơ học cổ điển θ p + dp 2πpdp θ + dθ Chùm hạt tới p (sóng tới) 0 a A Tâm tán xạ
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bức tranh tán xạ trong Cơ học lượng tử dS r dΩ θ Chùm ϕ hạt tới (sóng tới) z Tâm tán xạ Sóng bị tán xạ Chú ý rằng hình vẽ “lượng tử” chỉ mang tính ước lệ, không được để nó tạo ra một sự ngộ nhận và sự cắt nghĩa thô thiển.
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Đơn giản nhất và quan trọng nhất là tán xạ đàn hồi, khi các hạt không mất cũng không nhận thêm năng lượng.
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Hàm sóng tán xạ Trong số các giáo trình Cơ học lượng tử, thay cho thu ật ng ữ “ hàm trạng thái” mà ta dung ở đây, người ta thường nói là “ hàm sóng”. Từ đầu tới giờ, ta đã tránh dung thuật ngữ “ hàm sóng” để khỏi gây ấn tượng về “hạt chuyển động trên sóng”. Ngoaì ra trên thực tế sự biến thiên của hàm trạng thái theo th ời gian và không gian nói chung cũng không mang “tính sóng” theo nghĩa tính tuần hoàn. Tuy nhiên, trong bài toán về tán xạ của chùm h ạt ổn đ ịnh có s ự tương tự đặc biệt với bài toán tương ứng trong quang học sóng.
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  Vì vậy, ta sẽ nói đến hàm sóng: đó là hàm ψ = ψ (r )  2  mà ψ (r ) là mật độ hạt tại điểm r Ta coi rằng tâm tán xạ nằm ở gốc tọa độ, còn chùm hạt tới (sóng tới) thì chuyển đọng dọc theo trục Oz theo chiều dương; (trục này được đặt nằm ngang). giả sử mỗi hạt trướ tương tác với tâm tán xạ đều có xung c lượng xác định là p = (0,0, p ) Khi đó, hàm trạng thái của mỗi hạt, cũng như hàm sóng c ủa toàn bộ chùm hạt tới, có dạng: i  i pr pz C.e  = C.e  (31. 1)
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Điều này hoàn toàn giống như trong trong quang học sóng và điện động lực học: hàm (1) mô tả sóng phẳng với vector sóng  p k=  Tiếp theo, khi gặp tâm tán xạ, sóng tới sẽ làm sinh ra m ột sóng thứ cấp mà ở một khoảng cách đủ lớn (so với tâm) nó sẽ giống như sóng xuất phát từ chính tâm tán xạ và lan truyền theo mọi hướng. i pr Sóng thứ cấp này có dạng: e  A. (31. 2) r (trong đó r có mặt ở mẫu số để bảo đảm cho cường độ của sóng, hay mật độ xác suất, tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách tính từ tâm tán xạ).
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chú ý rằng theo các hướng khác nhau thì cường độ của sóng nói chung cũng khác nhau, tức là hệ số A phải phụ thuộc vào hướng.  Tuy nhiên, tất cả các hướng với các vector r tạo với Oz cùng một góc θ rõ ràng là bình đẳng với nhau nên A không thể phụ thuộc tọa độ cầu thứ 3 là góc ϕ (giữa Ox và hình chiếu của lên mặt phẳng Oxy). Do đó, ta có A=A(θ). Sóng trong vùng không gian chung quanh tâm tán x ạ ph ải là s ự chồng chất của sóng tới và sóng phản xạ, tức là mô tả bởi hàm:
Ho ng Duc Unive rs ity i  i 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam pr pz C.e  = C.e  ψ = ψ 0 +ψ 1 (31.3) i trong đó ψ 0 cã d¹ng (31.1) pr e  ψ1 cã d¹ng (31.2) A. r Bây giờ giả sử U(r) là hàm thế năng của một hạt. p2 Khi đó, do mỗi hạt đều có năng lượng E = 2µ (với µ là khối lượng của hạt) nên hàm trạng thái của hạt ph ải thỏa mãn phương trình: 2 2 − ∇ ψ + U (r )ψ = Eψ (31.4) 2µ
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vì dòng hạt là sự chồng chập của các hạt giống nhau nên hàm sóng của dòng cũng phải thỏa mãn phương trình (31.4)  1   2k 2 Đặt k = p ta có E =  2µ 2µ Do đó, với V (r ) = U (r ) thì (31.4) có thể viết thành:  ∇ 2ψ + k 2ψ = Vψ (31.5) Thế ψ = ψ 0 + ψ 1 vào (31.5), ta được: ∇ ψ 0 + ∇ ψ 1 + k ψ 0 + k ψ 1 = Vψ 0 + Vψ 1 2 2 2 2 (31.6)
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam i pr e  Xét trường hợp V(r) giảm nhanh hơn 1/r (khi r →∞) A. r Khi đó, do ψ1 có dạng tiệm cận (31.2) tức là cũng giảm theo 1/r, nên trong (31.6) có thể bỏ qua Vψ 1. ∇ 2ψ 0 + ∇ 2ψ 1 + k 2ψ 0 + k 2ψ 1 = Vψ 0 + Vψ 1 Mặt khác, ∇ 2ψ 0 + k 2ψ 0 = 0 nên từ (31.6) ta có ∇ 2ψ 1 + k 2ψ 1 = Vψ 0 (31.7) Trong lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng, ta cũng bi ết rằng phương trình dạng:  ∇ u + k u = ρ (r ) 2 2 (31.8)
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam có nghiệm là: , ik r, − r  1 ρ ( r )e 4π ∫ u (r ) = − ,  dv , r −r trong đó tích phân lấy theo toàn bộ không gian, dv’=dx’dy’dz’,  r ' = ( x' , y ' , z ' ) Thay u bởi ψ1 và ρ bởi V ψ 0, ta có nghiệm của (31.7) là :   ik r'− r  1 V (r ' )ψ 0 (r ' )e ψ 1 (r ) = − 4π ∫   r '− r dv' (31.10) Bây giờ ta chứng tỏ ψ 1 đúng là có dạng tiệm cận (31.2) khi r→+∞.
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Muốn vậy, trước hết ta nhận xét rằng do hàm dưới dấu tích phân giảm nhanh hơn 1 r '3 nên có thể thay tích phân theo toàn b ộ không gian b ằng tích phân theo một hình cầu tâm O có bán kính nh ất định (không quá nhỏ nhưng cũng không quá lớn). Khi đó, với r đủ lớn, có thể coi r’
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta thay biểu thức gần đúng này vào phần mũ ở tử số trong (31.10)   còn r '− r ở mẫu số thì đơn giản thay bằng r. Khi đó (31.10) trở thành:   ikr −iknr'   1 V (r ' )ψ 0 (r ' )e e e ikr   −iknr' ψ 1 (r ) = − 4π ∫ r dv' = − 4πr ∫ V (r ' )ψ 0 (r ' )e dv' (31.12) i − pz Vì ψ 0 = C.e = C.e −ikz nên (31.12) lại có thể viết thành:  − ikz  C.e   −ikz ' −iknr'  ψ 1 (r ) = − 4πr ∫ V (r ' )ψ 0 (r ' )e e dv' (31.13)
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  Ký hiệu vector đơn vị của Oz là n0  Khi đó z ' = n0 r ' nên:  C.e − ikr  −ik ( n0 − n ) r'   ψ 1 (r ) = − 4πr ∫ V ( r ' )e dv' (31.14) C  − ik ( n0 − n ) r' Cµ   ∫ e U (r ' )dv'   Đặt: dv' = − ∫ V ( r ' )e ik r ' A=− 4π 2π 2     với k = k ( n0 − n ) Khi đó, A chỉ phụ thuộc n  tức là phụ thuộc hướng của r Cũng dễ dàng thấy A không phụ thuộc ϕ nên A=A(θ),đồng thời:  e − ikr ψ 1 (r ) ≈ A r
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nên đúng là có dạng tiệm cận (31.2). Chú ý rằng hằng số C được chọn tùy theo mật độ dòng hạt tới. 3. Tính số hạt tán xạ theo một hướng Nói chính xác hơn, ta phải tính mật độ số hạt tán x ạ trong m ột góc khối đỉnh O (tức là một hình nó đỉnh O) trong một đơn vị thời gian. Giả sử dS là diện tích một mặt nhỏ đặt tại điểm ứng với bán  kính vector r  vàvuông góc với r