Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN

aõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0001 (Noäp laïi ñeà naøy)

ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M

PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)

(Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)

2

2

a

0

ba,

 b

 và

, xét biểu diễn hình học của các số phức (trên cùng một mặt

Caâu 1 Với điều kiện

i

i

i

π 2

π 2 2

3 π 2

eib )

z

(

a

eib )

ib

(

(

a

eib )

,

,

.

,

zo

2

z  1

z 3

z

,

,

phẳng phức): a  a  Khẳng định nào sau đây đúng? A)

có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình vuông.

2

3

,

,

z

B)

có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình chữ nhật.

zz , 1 zz , 1

3

2

,

z

,

.

C)

có biểu diễn hình học là ba đỉnh một tam giác đều và

zo 

3z

,

3 z

,

D)

zo zo zo zo

zz , 2 1 zz , 1

2

3

2+3i

2017

z

i 

Caâu 2 Cho soá phöùc z =

+ e

. Khi ñoù, phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa

laø:

2e 2e

Re Re

3cos 2e

Im z z Im

2e

thẳng hàng. 5 2  z  z 

2 z z 2 

3sin 2 

C) D)

A) B)

, 3cos ,

x

y 

Re Re z z Im Im i 2e 2e 2  2  3cos , 3cos , 3sin 3sin 3sin

Câu 3 Ảnh của đường thẳng

qua phép biến hình w = = u +iv là

A) Đường tròn u2 + v2 =1. B) Nửa đường thẳng u = -v với u > 0.

C) Đường thẳng u = v. D) Đường thẳng v = -u .

3 z

Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai?

Im:

z

A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên nöûa maët phaúng mở

 zD 

0

)(zf

= u(x,y) + iv(x,y) khả vi trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . )(zf thì hàm B) Hàm phức

)(zf = u(x,y)+ iv(x,y) không giải tích thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D. ,( ) ), yxvyxu ,( không điều hòa trên miền D thì haøm

yxvyxu ), ,( ,( ) )(zf điều hòa trên miền D thì haøm = u(x,y)+ iv(x,y) giải tích trên mieàn D.

C) Nếu caùc hàm trên mieàn D. D) Nếu caùc hàm

2

2

7

16

5

v

x

xy

, y

. Khẳng định

C) u điều hòa, v không điều hòa. D) v điều hòa, u không điều hòa

,( yxu y 8 x 3 8)   

)(zf

Câu 5 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số nào sau đây đúng? A) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) Haøm phöùc

v(x,y) bò chaën treân mieàn D.

= u(x,y)+ iv(x,y)bò chaën (veà mudun) treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y),

B) Neáu haøm phöùc

= u(x,y) +i v(x,y) khoâng lieân tuïc treân mieàn D thì u(x,y) vaø v(x,y) khoâng lieân tuïc

)(zf

treân D. C) Haøm phöùc

= u(x,y) +i v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) lieân

tuïc treân mieàn D.

- 1 -

)(zf

D) Cho haøm bieán phöùc

)z(f

= u(x,y) +iv(x,y), z0 = x0 +iy0 vaø giaû söû caùc giôùi haïn ñeàu toàn taïi. )y

Khi ñoù:

+i

.

0

lim  z

z

lim ,x(u  x x o  y y

lim )y,x(v  x x o  y y

o

o

m

)(zf

(

)

)( zf

A

az 



)(zf

,

vaø

Caâu 7 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm

lim a z 

lim zf )( z a 

)(zf

 A0



) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm

.

(vôùi

3

z

i

e

i

)( zf

z 

B)

laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm

z

(

z  2) i 

z

z

3

3

i

i

3 ie (iπ 3 2

C)

=

D)

= 0

e e dz )1 dz

z  2) i 

z  2) i 

z

2

i

4

z

4

i

2

( ( z z

)( uy cos( ) duut 

Caâu 8 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2e-3t+2

ta laøm nhö sau:

 Phöông trình töông ñöông vôùi : y(t) = 2e-3t +2y(t)*cost  Ñaët Y = Y(p) = L y(t) bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc

+2Y

Y =

+ 2L y(t) L cost  Y =

t  0

2

 Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =

)3

(

(2 

+

+

(vôùi A, B, C = const)

 Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y =

p )1  2 ()1 p  B 1p

p A 2)1 ( p

3 3 2 p 2 p p 12 p

t

3

t

 Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.

C 3p t Ate Ce  

Be C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.

Câu 9 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?

T

pt f

t dt ( )

A) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =

Tp e

0

1

1   e

2π

tpt (

sin

t

)

dt

B) Neáu

vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =

t khi sin f t )( 

e

pπ

2

0

-1

t

2

khi π  0 t π 0  π t 2  t   

1 p 2

3 et

C) L

D) L

4

1  e  16   64  

ch t 89 sh t 82  8[ 6 t ]5cos      9 p    8 p ( p )2 p !3  p 6 2 25 

Caâu 10 Khẳng định nào sau đây sai?

1 ize 

1 ize 

là

quanh điểm bất thường cô lập

=

i

A) Khai trieån Laurent của

zo 

ni )

0

n

1 zn (! 

1 3) izei 

quanh điểm bất thường cô lập

3

z

)

(

i

)(zf

=

=

3

)( zf ( z i   zo  là

zn (!

ni )

ni )

B) Khai trieån Laurent của hàm 1 

1 zn (! 

n

0

n

0

i

)( zf

(

z

1 3) izei 

3) ei

1 iz dz 

iπ 2

D)

.

=

C)

zo  là ñieåm baát thöôøng boû ñöôïc của hàm

1 !4

iπ 12

z

2

i

z ( 8 

- 2 -

PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)

)0('

0

0

y

y

y

y

y 6'7''  

3 

)0( 

Caâu 11 ( 1,5ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân t 2cos

vôùi ñieàu kieän

vaø

Caâu 12 (1,5 ñieåm) Cho maïch ñieän RL nhö hình veõ thoûa phöông trình vi phaân

L

3cos t

)(ti

+ R

=

, i(0) = 0

Eo

)( tdi dt

,

vôùi

laø caùc haèng soá döông.

, LREo

)(ti

a) Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân ñeå tìm

.

t

, biểu diễn ,

LR,

b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian

. Xác định biên độ dao động này theo

.

)(ti Eo

Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân

, ñieàu kieän x(0)= y(0) = 0

x x

2 y

0

y 3'   y 4' 

  

);( tytxM

b) Tính

,

. Xaùc toïa ñoä gaàn ñuùng trong maët phaúng Oxy cuûa ñieåm

sau

)(

lim tx )( t  lim ty )( t 

khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn. Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.

CHUAÅN ÑAÀU RA

Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10

Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3

Caâu 11, Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân, heä phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.

Ngaøy 7 thaùng 8 naêm 2017 Thoâng qua Boä moân Toaùn

- 3 -

- 4 -

- 5 -

TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0001

Giaùm thò 1

Giaùm thò 2

Giaùo vieân chaám thi 1&2

Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: …. Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.

ÑIEÅM

BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM

Caâu hoûi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Traû lôøi

BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN

- 6 -

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN

aõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0010 (Noäp laïi ñeà naøy)

ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M

PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)

m

(

)

)( zf

A

az 

vaø

,

)(zf 

Caâu 1 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm

lim a z 

lim zf )( z a 

 A0



) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm

.

(vôùi

3

z

i

e

)(zf

z  i

B)

laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm

z

z  2) i 

z

z

3

3

i

i

e

e

dz

dz

)1

3 ie (iπ 3 2

=

D)

= 0

C)

)( zf (

z

z

(

(

z  2) i 

z  2) i 

z

i

z

2

i

4

4

2

)( uy cos( ) duut 

Caâu 2 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2e-3t+2

ta laøm nhö sau:

 Phöông trình töông ñöông vôùi : y(t) = 2e-3t +2y(t)*cost  Ñaët Y = Y(p) = L y(t) bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc

Y =

+2Y

+ 2L y(t) L cost  Y =

t  0

2

 Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =

)3

(

(2 

+

+

(vôùi A, B, C = const)

 Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y =

p )1  2 ()1 p  B 1p

p A 2)1 ( p

3 3 2 p 2 p p 12 p

t

3

t

 Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.

C 3p t Ate Ce  

Be C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.

Câu 3 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?

T

pt f

t dt ( )

A) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =

Tp e

0

1

1   e

2π

B) Neáu

vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =

t khi sin 0  f t )(  tpt ( sin t ) dt 

e

0

-1

t

2

khi π t π  π t 2  pπ 2 t    0 

3 et

C) L

D) L

4

ch t 89 sh t 82  1 p 2 8[ 6 t ]5cos      9 p 1  e  16   64      8 p ( p )2 p !3  p 6 2 25 

Caâu 4 Khẳng định nào sau đây sai?

1 ize 

1 ize 

là

quanh điểm bất thường cô lập

=

i

A) Khai trieån Laurent của

zo 

ni )

1 zn (! 

n

0

)( zf

(

z

i

1 3) izei 

quanh điểm bất thường cô lập

là

B) Khai trieån Laurent của hàm

zo 

- 1 -

3

(

z

i

)

)(zf

=

=

3

ni )

zn (!

ni )

1 zn (! 

1 

n

0

n

0

3) ei

1 iz dz 

1 3) izei 

=

D)

.

i )( zf ( z 2 iπ    

C)

zo  là ñieåm baát thöôøng boû ñöôïc của hàm

z

2

i

2

2

ba,

a

0

 b

 và

, xét biểu diễn hình học của các số phức (trên cùng một mặt

1 !4 iπ 12 z ( 8 

Caâu 5 Với điều kiện

i

i

i

π 2

2 π 2

π 3 2

,

,

.

,

2

3

eib ) z ( a eib ) ib ( z ( a eib )   z  1 zo

phẳng phức): a  a  Khẳng định nào sau đây đúng? A)

có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình vuông.

2

3

z , ,

B)

có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình chữ nhật.

3

2

, , z zz , 1 zz , 1

.

C)

có biểu diễn hình học là ba đỉnh một tam giác đều và

3z

, z , zo 

3 z

D)

2

3

2+3i

2017

z

i

, , zo zo zo zo zz , 2 1 zz , 1

Caâu 6 Cho soá phöùc z =

+ e

. Khi ñoù, phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa

laø:

Re Re

z z

Im Im

2e 2e

i 2e 2e

Re Re

3cos 2e

Im z z Im

2e

2  2 

thẳng hàng. 5 2  z  z 

2 z z 2 

3sin 2 

C) D)

A) B)

3cos , 3cos ,

3sin 3sin

, 3cos ,

3sin

x

y 

Câu 7 Ảnh của đường thẳng

qua phép biến hình w = = u +iv là

3 z

C) Đường thẳng u = v. D) Đường thẳng v = -u .

A) Đường tròn u2 + v2 =1. B) Nửa đường thẳng u = -v với u > 0. Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai?

Im:

z

A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên nöûa maët phaúng mở

 zD 

0

)(zf

= u(x,y) + iv(x,y) khả vi trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và

= u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . )(zf

thì hàm B) Hàm phức

)(zf

= u(x,y)+ iv(x,y) không giải tích

thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D. ,(

), yxvyxu

)

,(

không điều hòa trên miền D thì haøm

), yxvyxu

,(

,(

)

)(zf

điều hòa trên miền D thì haøm

= u(x,y)+ iv(x,y) giải tích trên mieàn D.

C) Nếu caùc hàm trên mieàn D. D) Nếu caùc hàm

2

2

y

x

v

x

xy

,( yxu

8

3

7

16

5

8) 

, y

. Khẳng định

C) u điều hòa, v không điều hòa. D) v điều hòa, u không điều hòa

)(zf

Câu 9 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số nào sau đây đúng? A) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. Caâu 10 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) Haøm phöùc

= u(x,y)+ iv(x,y)bò chaën (veà mudun) treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y),

v(x,y) bò chaën treân mieàn D.

)(zf

B) Neáu haøm phöùc

= u(x,y) +i v(x,y) khoâng lieân tuïc treân mieàn D thì u(x,y) vaø v(x,y) khoâng lieân tuïc

)(zf

= u(x,y) +i v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) lieân

treân D. C) Haøm phöùc

tuïc treân mieàn D.

)(zf

D) Cho haøm bieán phöùc

)z(f

= u(x,y) +iv(x,y), z0 = x0 +iy0 vaø giaû söû caùc giôùi haïn ñeàu toàn taïi. )y

Khi ñoù:

+i

.

lim ,x(u  x x o

lim )y,x(v  x x o

0

lim  z

z

y

y

y

y

o

o

- 2 -

PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)

)0('

0

0

y

y

y

y

6'7'' y  

3 

)0( 

Caâu 11 ( 1,5ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân 2cos t

vôùi ñieàu kieän

vaø

Caâu 12 (1,5 ñieåm) Cho maïch ñieän RL nhö hình veõ thoûa phöông trình vi phaân

L

3cos t

)(ti

+ R

=

, i(0) = 0

Eo

)( tdi dt

,

vôùi

laø caùc haèng soá döông.

, LREo

)(ti

a) Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân ñeå tìm

.

t

, biểu diễn ,

LR,

b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian

. Xác định biên độ dao động này theo

.

)(ti Eo

Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân

, ñieàu kieän x(0)= y(0) = 0

x x

2 y

0

3' y   4' y 

  

tytxM (

);

b) Tính

,

. Xaùc toïa ñoä gaàn ñuùng trong maët phaúng Oxy cuûa ñieåm

sau

)(

lim tx )( t 

lim ty )( t 

khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn. Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.

CHUAÅN ÑAÀU RA

Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10

Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3

Caâu 11, Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân, heä phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.

Ngaøy 7 thaùng 8 naêm 2017 Thoâng qua Boä moân Toaùn

- 3 -

- 4 -

- 5 -

TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0010

Giaùm thò 1

Giaùm thò 2

Giaùo vieân chaám thi 1&2

Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: …. Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.

ÑIEÅM

BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM

Caâu hoûi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Traû lôøi

BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN

- 6 -

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN

aõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0011 (Noäp laïi ñeà naøy)

ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M

PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)

(Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)

2

2

,( yxu

y

8

x

3

8) 

, y

. Khẳng định

C) u điều hòa, v không điều hòa. D) v điều hòa, u không điều hòa

v 7 x 16 xy 5

)(zf

Câu 1 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số nào sau đây đúng? A) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. Caâu 2 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) Haøm phöùc

v(x,y) bò chaën treân mieàn D.

= u(x,y)+ iv(x,y)bò chaën (veà mudun) treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y),

B) Neáu haøm phöùc

= u(x,y) +i v(x,y) khoâng lieân tuïc treân mieàn D thì u(x,y) vaø v(x,y) khoâng lieân tuïc

)(zf

= u(x,y) +i v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) lieân

treân D. C) Haøm phöùc

tuïc treân mieàn D.

)(zf

D) Cho haøm bieán phöùc

)z(f

= u(x,y) +iv(x,y), z0 = x0 +iy0 vaø giaû söû caùc giôùi haïn ñeàu toàn taïi. )y

Khi ñoù:

+i

.

lim ,x(u  x x o

lim )y,x(v  x x o

0

lim  z

z

y

y

y

y

o

o

2

2

)(zf

 và

, xét biểu diễn hình học của các số phức (trên cùng một mặt

a 0 ba,  b 

Caâu 3 Với điều kiện

i

i

i

π 3 2

π 2

2 π 2

,

,

.

,

2

3

z ( a eib ) eib ) z ( a eib ) ( ib     z  1 zo

phẳng phức): a  a  Khẳng định nào sau đây đúng? A)

có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình vuông.

2

3

z , , zz , 1

B)

có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình chữ nhật.

3

2

, , z

.

C)

có biểu diễn hình học là ba đỉnh một tam giác đều và

3z

3

2

, , z zo  zz , 1 zz , 1

D)

2

3

2+3i

2017

z

, , z zo zo zo zo zz , 1

i 

Caâu 4 Cho soá phöùc z =

+ e

. Khi ñoù, phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa

laø:

Re Re

Re Re

z z

2e 2e

3cos 2e

Im z z Im

2e

2  2 

thẳng hàng. 5 2  z  Im z  Im

2 z z 2 

3sin 2 

C) D)

A) B)

3cos , 3cos ,

3sin 3sin

, 3cos ,

x

y 

i 2e 2e 3sin

Câu 5 Ảnh của đường thẳng

qua phép biến hình w = = u +iv là

A) Đường tròn u2 + v2 =1. B) Nửa đường thẳng u = -v với u > 0.

C) Đường thẳng u = v. D) Đường thẳng v = -u .

3 z

Câu 6 Khẳng định nào sau đây sai?

Im:

z

A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên nöûa maët phaúng mở

 zD 

0

)(zf

= u(x,y) + iv(x,y) khả vi trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . )(zf thì hàm B) Hàm phức

- 1 -

thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D.

)

,(

,(

yxvyxu ),

)(zf

yxvyxu ),

,(

,(

)

= u(x,y)+ iv(x,y) không giải tích không điều hòa trên miền D thì haøm

điều hòa trên miền D thì haøm = u(x,y)+ iv(x,y) giải tích trên mieàn D.

C) Nếu caùc hàm trên mieàn D. D) Nếu caùc hàm )(zf Câu 7 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?

T

A) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =

0

2π

tpt (

sin

t

)

dt

B) Neáu

vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =

pt f ( ) t dt Tp e 1 1   e t khi sin 0 f t )( 

e

pπ

2

0

-1

2

t

khi π  0 t π  π t 2  t   

1 p 2

3 et

C) L

D) L

4

1  e  16   64  

ch t 89 sh t 82  8[ 6 t ]5cos      9 p    8 p ( p )2 p !3  p 6 2 25 

Caâu 8 Khẳng định nào sau đây sai?

1 ize 

1 ize 

là

quanh điểm bất thường cô lập

=

i

A) Khai trieån Laurent của

zo 

ni )

1 zn (! 

n

0

)( zf

(

z

1 3) izei 

i

quanh điểm bất thường cô lập

zo  là

3

)(zf

=

=

3

z i ) ( 

ni )

ni )

B) Khai trieån Laurent của hàm 1 

n

0

n

0

1 iz dz 

3) ei

i

)( zf

(

z

1 3) izei 

iπ 2

=

D)

.

zn (! 1 zn (! 

C)

zo  là ñieåm baát thöôøng boû ñöôïc của hàm

1 !4

iπ 12

z

2

i

( z 8 

m

)(zf

(

)

)( zf

A

az 



vaø

,

Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm

lim a z 

lim zf )( z a 

)(zf

 A0



) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm

.

(vôùi

3

z

i

e

zf )(

z  i

B)

laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm

(

z

z  2) i 

z

z

3

3

i

i

=

D)

= 0

C)

e e dz (2 iπ )1 dz 3 3 ie

z  2) i 

z  2) i 

z

2

i

4

z

4

i

2

( ( z z

)( uy cos( ) duut 

Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2e-3t+2

ta laøm nhö sau:

 Phöông trình töông ñöông vôùi : y(t) = 2e-3t +2y(t)*cost  Ñaët Y = Y(p) = L y(t) bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc

Y =

+2Y

+ 2L y(t) L cost  Y =

t  0

2

 Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =

)3

(

(2 

(vôùi A, B, C = const)

+

+

 Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y =

p )1  2 ()1 p  B 1p

p A 2)1 ( p

t

3 3 2 p 2 p p 12 p

3

t

 Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.

C 3p t Ate Ce  

- 2 -

Be C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.

PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)

)0('

0

0

y

y

y

y

6'7'' y  

3 

)0( 

Caâu 11 ( 1,5ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân 2cos t

vôùi ñieàu kieän

vaø

Caâu 12 (1,5 ñieåm) Cho maïch ñieän RL nhö hình veõ thoûa phöông trình vi phaân

)(ti

+ R

=

, i(0) = 0

3cos t L Eo )( tdi dt

vôùi

laø caùc haèng soá döông.

, , LREo

a) Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân ñeå tìm

.

)(ti

, biểu diễn ,

b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian

. Xác định biên độ dao động này theo

.

)(ti Eo

t LR,

Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân

, ñieàu kieän x(0)= y(0) = 0

tytxM (

);

b) Tính

,

. Xaùc toïa ñoä gaàn ñuùng trong maët phaúng Oxy cuûa ñieåm

sau

)(

x x 2 y 0 y 3'   4' y     

lim tx )( t  lim ty )( t 

khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn. Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.

CHUAÅN ÑAÀU RA

Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10

Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3

Caâu 11, Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân, heä phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.

Ngaøy 7 thaùng 8 naêm 2017 Thoâng qua Boä moân Toaùn

- 3 -

- 4 -

- 5 -

TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0011

Giaùm thò 1

Giaùm thò 2

Giaùo vieân chaám thi 1&2

Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: …. Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.

ÑIEÅM

BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM

Caâu hoûi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Traû lôøi

BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN

- 6 -

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN

aõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0100 (Noäp laïi ñeà naøy)

ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M

PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)

Câu 1 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?

T

pt f

t dt ( )

A) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =

Tp e

0

1

1   e

2π

sin

t

khi

π

0

tpt (

sin

t

)

dt

f

)( t

B) Neáu

vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =

e

 0

khi

π

t  2 t π 

pπ

2

0

t   

-1

t

2

ch t 89

sh t 82

1 p 2

3 et

8[

6

t ]5cos

C) L

D) L

4

9 p

1  e  16   64  

  

8 p

(

p

)2

p

!3 

p 6 2 25 

Caâu 2 Khẳng định nào sau đây sai?

1 ize 

1 ize 

là

quanh điểm bất thường cô lập

=

i

A) Khai trieån Laurent của

zo 

ni )

n

0

1 zn (! 

1 3) izei 

quanh điểm bất thường cô lập

là

B) Khai trieån Laurent của hàm 

3

(

z

i

)

)(zf

=

=

3

)( zf ( z i   zo 

ni )

zn (!

ni )

1 zn (! 

1 

n

0

n

0

3) ei

1 iz dz 

1 3) izei 

=

D)

.

i )( zf ( z 2 iπ    

C)

zo  là ñieåm baát thöôøng boû ñöôïc của hàm

z

2

i

m

1 !4 iπ 12 z ( 8 

(

)

)( zf

A

az 

)(zf 

Caâu 3 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm

,

lim a z 

vaø lim zf )( z a 

 A0



(vôùi

) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm

.

3

z

i

)(zf

z  i

B)

laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm

z  2) i 

z

z

3

3

i

i

e

e

dz

)1

dz

3 ie (iπ 3 2

=

D)

= 0

C)

e zf )(  ( z

z

z

(

(

z  2) i 

z  2) i 

z

2

i

4

z

4

i

2

)( uy cos( ) duut 

Caâu 4 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2e-3t+2

ta laøm nhö sau:

 Phöông trình töông ñöông vôùi : y(t) = 2e-3t +2y(t)*cost  Ñaët Y = Y(p) = L y(t) bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc

+2Y

Y =

+ 2L y(t) L cost  Y =

t  0

2

 Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =

)3

(

(2 

+

+

(vôùi A, B, C = const)

 Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y =

3 3 2 p 2 p p 12 p

p )1  2 ()1 p  B 1p

p A 2)1 ( p

- 1 -

C 3p

t

t

3

t

 Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.

Ate Ce  

2

2

Be C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.

, y

. Khẳng định

,( yxu y 8 x 3 v 7 x 16 xy 5 8)   

Câu 5 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số nào sau đây đúng? A) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp.

C) u điều hòa, v không điều hòa. D) v điều hòa, u không điều hòa

)(zf = u(x,y)+ iv(x,y)bò chaën (veà mudun) treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y),

Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) Haøm phöùc

v(x,y) bò chaën treân mieàn D.

= u(x,y) +i v(x,y) khoâng lieân tuïc treân mieàn D thì u(x,y) vaø v(x,y) khoâng lieân tuïc

B) Neáu haøm phöùc

)(zf

treân D. C) Haøm phöùc

= u(x,y) +i v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) lieân

tuïc treân mieàn D.

)(zf

D) Cho haøm bieán phöùc

)z(f

= u(x,y) +iv(x,y), z0 = x0 +iy0 vaø giaû söû caùc giôùi haïn ñeàu toàn taïi. )y

Khi ñoù:

+i

.

0

lim  z

z

lim ,x(u  x x o  y y

lim )y,x(v  x x o  y y

o

o

2

2

ba,

)(zf

 và

, xét biểu diễn hình học của các số phức (trên cùng một mặt

a 0  b 

Caâu 7 Với điều kiện

i

i

i

π 3 2

π 2

π 2 2

,

,

.

,

2

3

eib ) z ( a eib ) ( z ( a eib ) ib     z  1 zo

phẳng phức): a  a  Khẳng định nào sau đây đúng? A)

có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình vuông.

2

3

z , ,

B)

có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình chữ nhật.

3

2

, , z zz , 1 zz , 1

.

C)

có biểu diễn hình học là ba đỉnh một tam giác đều và

3z

, z , zo 

3 z

D)

2

3

2+3i

2017

z

, , zo zo zo zo zz , 2 1 zz , 1

i 

Caâu 8 Cho soá phöùc z =

+ e

. Khi ñoù, phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa

laø:

Re Re

z z

2e 2e

Re Re

3cos 2e

Im z z Im

2e

2  2 

thẳng hàng. 5 2  z  Im z  Im

z 2 2 z 

3sin 2 

C) D)

A) B)

3cos , 3cos ,

3sin 3sin

, 3cos ,

x

y 

i 2e 2e 3sin

Câu 9 Ảnh của đường thẳng

qua phép biến hình w = = u +iv là

A) Đường tròn u2 + v2 =1. B) Nửa đường thẳng u = -v với u > 0.

C) Đường thẳng u = v. D) Đường thẳng v = -u .

3 z

Câu 10 Khẳng định nào sau đây sai?

Im:

z

A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên nöûa maët phaúng mở

 zD 

0

)(zf

= u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . )(zf = u(x,y) + iv(x,y) khả vi trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và thì hàm B) Hàm phức

,(

)

yxvyxu ),

)(zf

,(

,(

)

yxvyxu ),

)(zf

thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D. ,( = u(x,y)+ iv(x,y) không giải tích không điều hòa trên miền D thì haøm

C) Nếu caùc hàm trên mieàn D. D) Nếu caùc hàm

- 2 -

điều hòa trên miền D thì haøm = u(x,y)+ iv(x,y) giải tích trên mieàn D.

PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)

)0('

0

0

y

y

y

y

y 6'7''  

3 

)0( 

Caâu 11 ( 1,5ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân t 2cos

vôùi ñieàu kieän

vaø

Caâu 12 (1,5 ñieåm) Cho maïch ñieän RL nhö hình veõ thoûa phöông trình vi phaân

)(ti

+ R

=

, i(0) = 0

3cos t L Eo )( tdi dt

vôùi

laø caùc haèng soá döông.

, , LREo

a) Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân ñeå tìm

.

)(ti

, biểu diễn ,

b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian

. Xác định biên độ dao động này theo

.

)(ti Eo

t LR,

Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân

, ñieàu kieän x(0)= y(0) = 0

tytxM (

);

b) Tính

,

. Xaùc toïa ñoä gaàn ñuùng trong maët phaúng Oxy cuûa ñieåm

sau

)(

x x 2 y 0 y 3'   4' y     

lim tx )( t  lim ty )( t 

khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn. Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.

CHUAÅN ÑAÀU RA

Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10

Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3

Caâu 11, Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân, heä phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.

Ngaøy 7 thaùng 8 naêm 2017 Thoâng qua Boä moân Toaùn

- 3 -

- 4 -

- 5 -

TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0100

Giaùm thò 1

Giaùm thò 2

Giaùo vieân chaám thi 1&2

Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: …. Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.

ÑIEÅM

BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM

Caâu hoûi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Traû lôøi

BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN

- 6 -

ÑAÙP AÙN MOÂN HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE (Ngaøy thi: 8/8/2016)

PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM

Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0001

Caâu hoûi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Traû lôøi

A

B

C

D

A

B

C

D

B

D

Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0010

Caâu hoûi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Traû lôøi

C

D

B

D

A

B

C

D

A

B

Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0011

Caâu hoûi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Traû lôøi

A

B

A

B

C

D

B

D

C

D

Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0100

Caâu hoûi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Traû lôøi

B

D

C

D

A

B

A

B

C

D

BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN

Ñieåm

Noäi dung

Caâu hoûi Caâu 11 1,5 ñieåm

AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân 0

vôùi ñieàu kieän

vaø

)0(' cos 2 t 0 y y y y 6'7'' y  3  )0(   

Ñaët

=

. Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát

  )t(y

L

tuyeán tính vaø tính chaát ñaïo haøm haøm goác ta ñöôïc:

cos

2 Yp

py

)0(

y

pY

y

)0(

6 Y

7)0(' 

=

t2

 3 L

0,25ñ 0,25ñ

- 1 -

( pY ) Y 

2

pY (

7

p

)6

3 p

p

4

p 2 

2

 Y

2

p 4 )(1 p

12 )(6

p

)4

pp (

 

Phân tích thành phân thức đơn giản

2

(*) 

Y 

2

p 4 )(1 p

12 )(6

pp (

p

)4

A p

p

1

p

6

Dp 2 p

 

B 

C 

E 2  4 

Bieái ñoåi Laplace ngöôïc hai veá vaø aùp duïng tính chaát tuyeán tính ta ñöôïc

)(ty

]

B

C

D

E

=

][1 YL

1  [ AL

2

2

1

6

4

4

1 p

p

p

p

p

1 

1 

p 

2 

t

6

t

A

Be

Ce

D

2cos

2sin

)(ty

Et 

t

0,5ñ 0,5ñ

, EDCBA

,

,

,

Tìm

döïa vaøo ñaúng thöùc:

2

(*) 

2

p 4 )(1 p

12 )(6

pp (

p

)4

 

2

2

A

B

C



,

,

)4

1 2

)4

16 25

)4

13 100

04 12  2 0)(60)(10( 

2 14  2 1)(61(1 

12 

64 12   2 6)(16(6  

Từ đẳng thức (*)

   1 6 A p p p Dp 2 p 2 E  4  B  C 

E 2 p :2       28 64 A 2

p :3       48 234 A 3 D  2 2 D 3 )3( E 4 2  4  2  2  B 12  B 13  C 62  C 63   Cho   Cho   

ED,

A , B , C   

ta được

vào hệ trên rồi giải tìm

Thay

D

,

E



7 100

1 100

R

)(ti

a)

+)(' tLi

Đặt I = I(p) =

= pI-i(0) = pI

= 

1 2 16 25 13 100

L

 

= = Eocos3t , i(0) = 0 di  )t('iL   )t(i  dt

Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc

 I =

LIp +RI =

2

Lp

R

p

pEo 2 )(3

(

)

pEo 2 2 3p

L

Caâu 12 1,5ñ 0.5ñ

- 2 -

C

p

 I =

 I =

R

R

2

3 B 2 3

Eo L

Ap 2 p

Eo L

 

p

p

p

(

2 )(3

)

L

L

    

    

    

    

R  t L

A

Ce

3cos

3sin t

Bt 

(*)

Bieán ñoåi ngöôïc hai veá ta ñöôïc : i(t) =

Eo L

  

  

(**)

Tìm A, B, C baèng caùch xeùt :

R

R

2

2 )(3

L

L

p

ta ñöôïc:

 Nhaân hai veá cuûa (**) vôùi

vaø cho p 

R L

R L

  

C =

=

2

2 3

p 

   RL 2 2 9L R 

p

lim  p R L

 Nhaân hai veá cuûa (**) vôùi p vaø cho p   ta ñöôïc :

0 = A + C  A = -C =

2

2 9L

p C   Ap 2 p B 3 2 3   p p p ( )   

R RL 

 Töø (**) cho p = 0 ta ñöôïc : 0

+C

 B =

2

2 L

L R

R tL

C   R L3 R 3 L 9 

e

i(t) =

cos3t +

sin3t

2 9L

2 L

2 9L

t

R L

 R R R B 3 Thay A, B, C vaøo (*) ta ñöôïc keát quaû: 3 Eo 2 9  REo 2  REo 2 

neân sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn

b) Vì

i(t)

cos3t +

sin3t =

cos3t +

sin3t

0 e  lim t 

2 9L

RE o 2 2 R L 9  u

E 3 o 2 2 R L 9   v

R R 3E o 2 2 9L  RE o 2 

0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ

u

t

v

3sin t

3cos 

=

2

2

=

2

2

2

2

2

v ( t )3sin 3cos t u v u 2 u v u v

=

2

2

u v (sin α t 3cos cos α t )3sin

=

2

2

u v ) αt 3 sin( 

laø dao ñoäng ñieàu hoøa có

Vaäy sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn i(t)

2

v

u v ) αt 3 sin( 

2 u 

với

và

biên độ

.

2 9L

2 L

X

v u R RE o 2  R E 3 o 2 9 

Caâu13 2ñ Ñaët

  Y,x

 y

L

L

; bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:

- 3 -

pX

Y 3

 L   x 

 L   y

  0

  x 3 L    y L

  y 4 L

  2  L

  L 

X

(

p

)4

Y

0

2 p 

   

X )3 pp ( 1 3 )4 p 

     

Y p (2  )(1  2  )(1 )3 1 3 ( pp p A p D p p p B p  E  C p  F 

1  [

]

Bieán ñoåi ngöôïc hai veá ta ñöôïc:

 1 x L X [ 1 Y  y L  ][

  

A B C ] x L p p 1 3

1  [

     

t

t

3 

Be

Ce

t

3

t

Ee

Fe

Ax  Dy 

  

CBA ,

,

 Tìm

dựa vào

D E F ] L y 1 p 1 p p p 1 3 1  1  1  1 

A

B

pp ( )3 A p p 1 p 3 p (2  )(1  )4 p  B  C 

C

,

,

FED ,

,

 Tìm

dựa vào

3  8 3 2 6 1 3 )40(2  )30)(10(   )41(2  )31)(1(   6 2  )43(2  )13)(3(  

2  )(1 pp ( p )3 D p p 1 p 3 E  F 

D



E

C



,

,

t

t

t

t

3 

3 

)( tx

A

Be

Ce

]

A

)( ty

D

Ee

Fe

]

D

b) lim t 

lim [ t 

lim; t 

lim [ t 

1 2  )30)(10( 2 3 1 3 2  )31)(1(   2  )13)(3(  

Sau khoảng thời gian t đủ lớn, tọa độ gần đúng điểm

là

.

M ) ; 2 3 8 ( M 3

0.5ñ 0.5ñ 0.5ñ 0.5ñ

*** HEÁT***

- 4 -