BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006 Môn: TOÁN, khối A (Đáp án - Thang điểm gồm 05 trang)
Nội dung
2
3
+
Câu Ý 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
− 12x 4.
− 9x .(cid:92)
2
Điểm 2,00 0,25
)
y = 2x • TXĐ: • Sự biến thiên:
( = y ' 6 x
− = ⇔ = = + 3x 2 , y ' 0 x 1, x 2.
+∞
-∞
_
x y'
2 0
+
1 0
+
+∞
1
y
0
-∞
=
=
1, y
( ) y 2
0.
Bảng biến thiên:
CT
0,50
y
1
O
x
1
2
( ) = yCĐ = y 1 • Đồ thị:
0,25
−4
Tìm m để phương trình có 6 nghiệm phân biệt (1,00 điểm)
2
3
2
3
2
=
=
−
+
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y
12 x
2 x
9 x
4
− − với đường thẳng y m 4.
− + − = Phương trình đã cho tương đương với: 2 x 9 x 12 x 4 m 4 − .
0,25
3
2
=
−
+
Hàm số
2 x
9 x
12 x
− là hàm chẵn, nên đồ thị nhận Oy làm trục
4
I
0,25
y đối xứng.
1/5
3
2
+
−
=
y
2 x
12 x
Từ đồ thị của hàm số đã cho suy ra đồ thị hàm số: − 4
1 y = m − 4
O 1 −1 −2 2 x
0,25
0,25
9x y Từ đồ thị suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: − < ⇔ <
<
0 m 4 1
< 4 m 5.
−4
II
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
( ) 1 .
Điều kiện:
≠ sin x
6
6
2 2 Phương trình đã cho tương đương với:
)
( + 2 sin x cos x
2 sin 2x
2
⇔ ⇔
(
) ∈ (cid:93) .
− = ⇔ − = − sin x cos x 0 sin 2x 0 3 4 1 2 ⎛ 2 1 ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
+ − = 3sin 2x sin 2x 4 0 = sin 2x 1 π ⇔ = + π 4
x k k
(
) ∈ (cid:93) .
+ π = x 2m m Do điều kiện (1) nên:
2,00 0,50 0,25 0,25
π 5 4
( xy t
) 0 .
= ≥ Điều kiện: x ≥ Đặt 1, y t Từ phương trình thứ
0,25
2 Giải hệ phương trình (1,00 điểm) ≥ − ≥ − 1, xy 0. + = + nhất của hệ suy ra: x y 3 t. Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được:
( ) 2
+ + + = + + + x y 2 2 xy x y 1 16 .
2 t , x y 3 t
2
2
= Thay xy 0,25 + + = + = + vào (2) ta được: + + + = ⇔ 3 t 1 16 2 t t 4 11 t −
2
2
)2
)
⎧ ⎨ 3t ⎩
⎧ ⎪⇔ ⎨ ⎪⎩
=
⇔ ⇔ = t 3 0,25 + + = = ≤ ≤ 0 t 11 − + + + + 3 t 2 2 t ≤ ≤ 0 t 11 ( 4 t t 4 26t 105 0
(3;3).
( − 11 t = Suy ra, nghiệm của hệ là (x; y) + = 3= ta có x y 6, xy 9.
2/5
0,25 Với t
III
1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A 'C và MN (1,00 điểm) )P là mặt phẳng chứa A 'C và song song với MN . Khi đó: Gọi (
2,00 0,25
(
)
(
) ) ( = d A 'C, MN d M, P .
)
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) =
⎛ ⎜ ⎝ −
Ta có: 1 2
(
)
⎞ ⎟ ⎠
−
−
1
1
=
( (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) A 'C, MN
;
1 1 1 1 ;
( ) 1;0;1 .
⎡ ⎣
⎤ = ⎦
1
⎞ ⎟ ⎠
= 1 ( C 1;1;0 , M ;0;0 , N ;1;0 2 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ) A 'C 1;1; 1 , MN 0; 1; 0
0 0 1 )
(cid:71) n
0 ( −
+
)
)
= có
⎛ ⎜ 0 ⎝ )P đi qua điểm ( + − 1. x 0
A ' 0;0;1 , có vectơ pháp tuyến ) ( ( 1. z 1 0. y 0
( ) 1;0;1 , − = ⇔ + − = x z 1 0.
0
+ −
0 1
=
=
=
)
(
)
( ) ( d A 'C, MN d M, P
.
Mặt phẳng ( phương trình là:
2
+
+
1 2 2
1 2 2 1
0
2 1
2
2
2
Vậy 0,25 0,25 0,25
2 Viết phương trình mặt phẳng (1,00 điểm)
)
+ + + = + > + Gọi mặt phẳng cần tìm là ( Q : ax by cz d b c
) 0 .
a
(
)
(
)Q đi qua
A ' 0;0;1 và
) C 1;1;0 nên:
⇔ = − = + Vì ( a b. d c 0
0,25
+
−
=
(
)
+ a b
0.
.
+ =
( 0 + = c d 0 ⎧ ⎨ + + = a b d ⎩ ) ( + a b z )
+ ax by (cid:71) ( n
)Q có dạng: )Q có vectơ pháp tuyến
a; b;a b , mặt phẳng Oxy có Do đó, phương trình của ( Mặt phẳng (
(
(cid:71) k
= .
α = =
)
) 0;0;1 )Q và Oxy là α mà
(cid:71) (cid:71) ( cos n, k
2
2
2
vectơ pháp tuyến Vì góc giữa ( cos nên 0,25 1 6 1 6
=
+
+
)
)
( ⇔ + 6 a b
( 2 a
b
ab
2
2
)2 = −
= −
)
= ⇔ 1 6 + + + a b ( + a b
= −
−
)
2a
− + − = 1Q : 2x y z 1 0. − + = 2Q : x 2y z 1 0.
hoặc b 1, Với a a b ⇔ = − 2b a , chọn b 2b 0,25 0,25 Với b , chọn a 2a. = − được mặt phẳng ( 1,= được mặt phẳng (
Tính tích phân (1,00 điểm)
IV
π
π
2
2
=
=
1
I
dx
dx.
2
2
∫
∫
sin 2x +
1 3sin x
Ta có:
2,00 0,25
2
= +
0 t 1 3sin x
0 3sin 2xdx.
Đặt
sin 2x + 2 cos x 4sin x ⇒ = dt
π
=
thì t
Với x
0= thì t 1= , với x
4.=
0,25
2
I
Suy ra:
0,25
1
4 1 dt = ∫ 3 t 4
=
=
t
.
0,25
2 3
2 3
1
3/5
Tìm giá trị lớn nhất của A (1,00 điểm)
+
=
+
−
.
Từ giả thiết suy ra:
2
1 x
1 y
1 2 x
1 2 y
1 xy
2
2
=
+ =
+
−
Đặt
a,
b
a b
a
ab
( ) 1
1 y
3
3
2
2
+
=
+
+
−
=
+
0,25
(
(
b )
1 x = A a
b
b
ab
)2 a b .
+ =
−
= ta có: )( a b a (
)2
a b
+ a b
3ab.
Từ (1) suy ra:
2
2
2
−
+ ≥
)
(
(
)
ab
nên
Vì
a b
+ a b
+ a b
0,50
2
−
+⎛ a b ≤ ⎜ 2 ⎝ )
)
a b
0
( ⇒ +
3 4 ≤ ⇒ ≤ + ≤ 4 0 a b
+
=
≤
⎞ ⎟ ⎠ ( + 4 a b )2
( A a b
16.
Suy ra:
=
x
= = thì A 16.
y
Với
Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.
0,25
1 2
=
V.a
1
2,00
)
)
( 2d M, d
(1,00 điểm)
Tìm điểm
( d M, d 1
2
0,25
3M d∈ sao cho ) ( M 2y; y .
Vì
3M d∈ nên
+ + 2y y 3
+ 3y 3
− y 4
=
=
=
=
)
)
( , d M, d
.
Ta có: ( d M, d 1
2
0,25
2
2
2
+
2 1
2 1
− − 2y y 4 ( ) + − 1
2 1
+ 3y 3
− y 4
=
=
)
)
2
⇔ = − y
( 2d M, d
⇔
= 11, y 1.
0,25
( d M, d 1
2
2
−
(
= − được điểm
0,25
2 ) − 1M 22; 11 . ) ( 2M 2; 1 .
20
2
26x trong khai triển nhị thức Niutơn (1,00 điểm) + ⋅⋅⋅ +
=
+
C
C
2
( ) 1 .
0 + 2n 1
1 C + 2n 1
n + 2n 1
≤ ≤
C
C
∀ , k, 0 k
Vì
Với y 11 Với y 1= được điểm Tìm hệ số của • Từ giả thiết suy ra: + − = 2n 1 k + 2n 1
k + 2n 1
0,25
+
+ ⋅⋅⋅ +
=
+
+ ⋅⋅⋅ +
)
C
C
C
C
( ) 2 .
0 + 2n 1
1 C + 2n 1
n + 2n 1
0 + 2n 1
1 C + 2n 1
+ 2n 1 + 2n 1
+ nên: 2n 1 ( 1 2
suy ra: + 2n 1
+ 2n 1
Từ khai triển nhị thức Niutơn của ( +
+ ⋅⋅⋅ +
=
C
+ )2n 1 + 1 1 ( ) = + 1 1
2
( ) 3 .
1 C + 2n 1
0,25
=
2
hay n 10.
+ 2n 1 0 C + + 2n 1 2n 1 2= Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2n 20
10
10
− 10 k
k
7
− 4
7
− 11k 40
+
=
=
)
(
)
• Ta có:
x
x
.
0,25
( k C x 10
k C x 10
∑
∑
1 4 x
= k 0
= k 0
⎛ ⎜ ⎝
10 ⎞ ⎟ ⎠
k
−
= ⇔ =
26
k
6.
26x là
Hệ số của
0,25
6
=
10C với k thỏa mãn: 11k 40
210.
Vậy hệ số của
26x là:
10C
4/5
2,00
2x
3x
x
1 Giải phương trình mũ (1,00 điểm)
( ) 1 .
Phương trình đã cho tương đương với:
3
2
+
+ − − = 0,25 4 2 0 3 2 3 2 3 2 3 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
(
)
3t
4t
− − = t 2 0
x2 ⎞ ⎟ 3 ⎠ ) ( 2
( ⇔ +
)
0> ).
= > 0,25 Đặt t t 0 , phương trình (1) trở thành: ⎛ ⎜ ⎝
t 1 − 3t 2 = ⇔ = (vì t t 0 0,25 2 3
x2 ⎞ = ⎟ 3 ⎠
Với t hay x 1.= 0,25 2 = thì 3 2 3 ⎛ ⎜ ⎝
V.b
2
H
D
O'
A'
B
A
O
⊥
⊥
(
) AOO ' A ' .
BH
Tính thể tích của khối tứ diện (1,00 điểm) Kẻ đường sinh AA '. Gọi D là điểm đối xứng với A ' qua O ' và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A ' D.
Do BH A 'D⊥ và BH AA ' nên
0,25
=
AOO '
2
2
2
=
=
.BH.S . 0,25 Suy ra: OO 'AB V 1 3
− AB A 'A
− 2 A 'D A 'B
= a
⇒ = BD
0,25
BO ' D
Ta có: A 'B 3a
.
⇒ Δ
⇒ = BH
a 3 2
=
Vì AOO ' là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên:
S
2 a .
AOO '
1 2
2
3
=
=
0,25
V
.
.
Vậy thể tích khối tứ diện OO ' AB là:
1 3
3a a . 2 2
3a 12
NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng
phÇn nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh.
đều
----------------Hết----------------
5/5
