Tr ng THPT Nguy n Trung Tr c – Đ c ng ôn t p HKII l p 11 - Giáo viên: Nguy n Hoàng ườ ễ ự ề ươ ậ ớ ễ
Di u ệ
Đ C NG ÔN T P H C K II, MÔN TOÁN L P 11Ề ƯƠ Ậ Ọ Ỳ Ớ
NĂM H C 2010 - 2011Ọ
A. ĐI S & GI I TÍCHẠ Ố Ả
I. CÁC D NG BÀI T P TH NG G PẠ Ậ ƯỜ Ặ
CH NG IV : GI I H NƯƠ Ớ Ạ
1/ Ch ng minh dãy s (uứ ố n) có gi i h n 0ớ ạ .
Ph ng pháp:ươ - V n d ng đnh lí: N u |ậ ụ ị ế un| ≤ vn, n và lim vn = 0 thì limun = 0
-S d ng m t s dãy s có gi i h n 0:ử ụ ộ ố ố ớ ạ
lim 0
1
n=
,
lim 0
1
n=
,
3
lim 0
1
n=
,
lim 0
n
q=
v i |q| < 1ớ
2/ Tìm gi i h n c a dãy sớ ạ ủ , c a hàm s .ố ủ ố
Ph ng pháp: ươ V n d ng các đnh lí v gi i h n h u h n và các quy t c tìm gi i h n vô c cậ ụ ị ề ớ ạ ữ ạ ắ ớ ạ ự
- Các quy t c tìm gi i h n vô c c c a dãy s :ắ ớ ạ ự ủ ố
+) N u limuến = + thì
lim 0
1
n
u=
- Các quy t c tìm gi i h n vô c c c a hàm s :ắ ớ ạ ự ủ ố
+) N u ế
( )
0
lim
x x
f x
= +
thì
( )
0
lim 0
1
x x
f x
=
limunlimvn = L lim(unvn)
+
L >0
+
+
L < 0
−
−
L >0
−
−
L < 0
+
limun=L limvn D u c aấ ủ
vn
lim
n
n
u
v
L >0
0
+
+
L > 0 -
−
L < 0 +
−
L < 0 -
+
)(lim
0
xg
xx
)().(lim
0
xgxf
xx
+ ∞L > 0 + ∞
- ∞- ∞
+ ∞L < 0 - ∞
- ∞+ ∞
)(lim
0
xg
xx
D uấ
c a g(x)ủ
)(
)(
lim
0xg
xf
xx
L > 0
0
+ + ∞
- - ∞
L < 0 + - ∞
- + ∞
1
Tr ng THPT Nguy n Trung Tr c – Đ c ng ôn t p HKII l p 11 - Giáo viên: Nguy n Hoàng ườ ễ ự ề ươ ậ ớ ễ
Di u ệ
-Chú ý khi g p các d ng vô đnh: ặ ạ ị
0
; ; ;0.
0
−
ta ph i kh các d ng vô đnh đó b ng cách: ả ử ạ ị ằ chia
t và m u cho n ho c x mũ l n nh t; phân tích t ho c m u thành nhân t đ đn gi n, nhân c tử ẫ ặ ớ ấ ử ặ ẫ ử ể ơ ả ả ử
và m u v i m t l ng liên h p;…ẫ ớ ộ ượ ợ
3/ Tính t ng c a c p s nhân lùi vô h nổ ủ ấ ố ạ
Cho CSN (un) lùi vô h n (v i ạ ớ
1q
), ta có :
1
1 1 1
1
n
u
S u u q u q q
+
= + + + = −
L L
4/ Xét tính liên t c c a hàm sụ ủ ố
Ph ng pháp:ươ Xét tính liên t c c a hs f(x) t i xụ ủ ố ạ 0:
+) Tính f(x0)
+) Tìm
( )
0
lim
x x
f x
(n u có)ế
- N u ế
( )
0
lim
x x
f x
không t n t iồ ạ
f(x) gián đo n t i xạ ạ 0.
- N u ế
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x L f x
=
f(x) gián đo n t i xạ ạ 0
- N u ế
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x L f x
= =
f(x) liên t c t i xụ ạ 0.
5/ Ch ng minh s t n t i nghi m c a m t ph ng trình.ứ ự ồ ạ ệ ủ ộ ươ
Ph ng pháp: ươ V n d ng h qu c a đnh lí v giá tr trung gian: N u hàm s y = f(x) liên t c trênậ ụ ệ ả ủ ị ề ị ế ố ụ
đo n [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì ph ng trình f(x) = 0 có ít nh t 1 nghi m n m trong (a ; b).ạ ươ ấ ệ ằ
CH NG V: ĐO HÀMƯƠ Ạ
1/ Tìm đo hàm c a hàm sạ ủ ố
Ph ng pháp: ươ Áp d ng các công th c tính đo hàmụ ứ ạ
+) Các quy t c tính đo hàm:ắ ạ
'
2
'
2
( ) ' ' '
( . ) ' '. '.
( . ) ' . '
'. '.
1 '
u v u v
u v u v v u
k u k u
u u v v u
v v
v
v v
=
= +
=
−
� �
=
� �
� �
��
= −
��
��
( )
( )
( )
1
'
2
' 0 ; ' 1
' .
1 1
1
'2
n n
c x
x n x
x x
xx
−
= =
=
� �
= −
� �
� �
=
( )
( )
1
'
2
' . . '
1 '
'
'2
n n
u n u u
u
u u
u
uu
−
=
� �
= −
� �
� �
=
+) Đo hàm c a hàm h p: N u ạ ủ ợ ế
[ ( )]y f u x
=
thì
' ' '
.
x u x
y f u
=
+) Đo hàm c a các hàm s l ng giác: ạ ủ ố ượ
2
Tr ng THPT Nguy n Trung Tr c – Đ c ng ôn t p HKII l p 11 - Giáo viên: Nguy n Hoàng ườ ễ ự ề ươ ậ ớ ễ
Di u ệ
( )
( )
( )
2
2
sin ' cos
cos ' sin
1
tan ' cos
1
(cot )' sin
x x
x x
xx
xx
=
= −
=
= −
( )
( )
( )
2
2
sin ' '.cos
cos ' '.sin
'
tan ' cos
'
(cot ) ' sin
u u u
u u u
u
uu
u
uu
=
= −
=
= −
2/ Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s .ế ươ ế ế ủ ồ ị ố
Ph ng pháp:ươ pt ti p tuy n c a đ th hàm s y = f(x) t i đi m Mế ế ủ ồ ị ố ạ ể 0 có hoành đ xộ0 có d ng:ạ
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
3/ Vi phân
- Vi phân c a hàm sủ ố t i n t đi m:ạ ộ ể
0 0
( ) '( ).df x f x x= ∆
- ng d ng vi phân vào tính g n đúng:Ứ ụ ầ
0 0 0
( ) ( ) '( )f x x f x f x x+ ∆ + ∆
- Vi phân c a hàm s : ủ ố
( ) '( )df x f x dx=
hay
'dy y dx=
4/ Đo hàm c p cao:ạ ấ
-Đo hàm c p hai c a hàm s : f’’= (f’)’.ạ ấ ủ ố
-Đo hàm c p n c a hàm s : fạ ấ ủ ố (n) = [f(n-1)]’.
II. BÀI T PẬ
CH NG IV: GI I H NƯƠ Ớ Ạ
Bài 1: Ch ng minh các dãy s sau có gi i h n 0:ứ ố ớ ạ
( )
2
1
) 2 1
n
n
a u n
−
=+
sin 2
) 1
n
n
b u n
=+
2
cos3
) n
n n
c u n n
+
=+
cos
) 1
n
n
d u n n
=+
( )
1
1
) 3
n
nn
e u +
−
=
2
) 3 1
n
nn
f u =+
( )
1 1
11
) 3 5
n
nn n
g u + +
−
= +
) 1
n
h u n n= + −
Bài 2: Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
3
3 2
2 3 1
) lim n n
an n
− +
+
3
2
3 2
) lim 2 1
n n
bn
+ −
+
3
3 2
) lim 2 1
n
cn n
− +
+ −
5
3 2
1 2 3
) lim ( 2) (5 1)
n n
dn n
+ −
− −
2
4 1
) lim 1 2
n n
en
+ +
−
3 2.5
) lim 3.5 4
n n
n n
f−
−
3 4 1
) lim 2.4 2
n n
n n
g− +
+
2 2
4 1 9 2
) lim 2
n n
hn
+ − +
−
) lim n
i u
v i ớ
( )
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 1
n
un n
= + + + + +
ĐS: a) -3 b) + c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1
Bài 3 : Tính các gi i h n sau:ớ ạ
2
) lim(3 1)a n n+ −
4 2
) lim( 2 3)b n n n− + − +
( )
2
) lim 3 sin 2c n n n+
2
) lim 3 1d n n+ −
( )
) lim 2.3 5.4
n n
e−
2
) lim 3 1 2f n n+ −
2
) lim 1g n n+ −
()
− +
2
)limh n n n
3
Tr ng THPT Nguy n Trung Tr c – Đ c ng ôn t p HKII l p 11 - Giáo viên: Nguy n Hoàng ườ ễ ự ề ươ ậ ớ ễ
Di u ệ
()
2
) lim 3 6 1 7i n n n− + −
( )
) lim 1k n n n− −
()
2
) lim 3l n n n− −
()
3 3 2
) limm n n n+ −
ĐS: a) + b) - c) + d) + e) - f) - g) 0 h) + i) - k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3
Bài 4: Tính t ng c a c p s nhân lùi vô h n sau:ổ ủ ấ ố ạ
a)
1
1 1 1 1
1, , , ,..., ,...
2 4 8 2
n−
� �
− − −
� �
� �
b)
1
1 1 1 1
1, , , ,..., ,...
3 9 27 3
n−
� �
� �
� �
ĐS: a) 2/3 b) 3/2
Bài 5: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (D ng ớ ạ ủ ố ạ
):
a)
3
3 2
5 1
lim 2 3 1
x
x x
x x
+
− + −
+ +
b)
3
3 2
lim 2 1
x
x
x
−
− +
+
c)
3 2
2
5 1
lim 3
x
x x
x x
−
− +
+
d)
5 3
2 3
2 4
lim 1 3 2
x
x x x
x x
+
+ −
− −
2
3 2
5 1
) lim 2 3 1
x
x
ex x
+
−
+ +
f)
2 2
2 4 1
lim 2 5
x
x x x
x
−
+ − +
−
ĐS: a) -1/2 b) - c) - d) - e) 0 f) -1/5
Bài 6: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (D ng: a.ớ ạ ủ ố ạ ):
a)
3 2
lim ( 2 3 1)
xx x x
− − + − +
b)
4 3
lim ( 5 3)
xx x x
+ − + + −
c)
2
lim 4 2
xx x
+ + +
d)
2
lim 3 2
xx x
− − +
e)
()
2
lim 3 2
xx x x
+ + −
f)
()
2
lim 2
xx x x
− + +
ĐS: a) + b) - c) + d) + e) - f) +
Bài 7: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (Gi i h n m t bên):ớ ạ ủ ố ớ ạ ộ
a)
3
1
lim 3
x
x
x
−
+
−
b)
( )
2
4
1
lim
4
x
x
x
−
−
c)
3
2 1
lim 3
x
x
x
+
−
−
d)
2
2 1
lim 2
x
x
x
+
−
− +
+
e)
2
0
2
lim
x
x x
x x
−
+
−
f)
1
3 1
lim 1
x
x
x
−
−
−
+
ĐS: a) - b) - c) +
d) +
e) 1 f) +
Bài 8: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (D ng ớ ạ ủ ố ạ
0
0
):
a/
2
3
9
lim 3
x
x
x
−
−
b/
2
1
3 2
lim 1
x
x x
x
− +
−
c)
2
3
3
lim 2 3
x
x
x x
−
+
+ −
d)
3
2
1
1
lim 1
x
x
x
−
−
e)
2
2
1
2 3
lim 2 1
x
x x
x x
+ −
− −
f)
2
2
lim 7 3
x
x
x
−
+ −
g)
2
3
9
lim 1 2
x
x
x
−
+ −
h)
4
2 1 3
lim 2
x
x
x
+ −
−
i)
1
2 1
lim 5 2
x
x
x
−
+ −
+ −
k)
2
2
3 2
lim 2
x
x x
x
−
− +
−
ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0
Bài 9: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (D ng 0. ớ ạ ủ ố ạ ):
a)
0
1 1
lim 1
1
xx x
−
� �
−
� �
+
� �
b)
( )
2
1
2 3
lim 1 1
x
x
xx
+
+
−−
c)
2
3
2 1
lim 9. 3
x
x
xx
+
+
−−
d/
( )
3
2
2
lim 8 2
x
x
xx
−
−−
ĐS: a) -1 b) 0 c) + d) 0
Bài 10: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (D ng ớ ạ ủ ố ạ - ):
a)
()
2
lim 1
xx x
+ + −
b)
()
2 2
lim 2 1
xx x x
+ + − +
c)
()
2
lim 4 2
xx x x
− − +
d)
()
2 2
lim 1
xx x x
− − − −
ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2
Bài 11: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (Áp d ng ớ ạ ủ ố ụ
0
sin
lim 1
x
x
x
=
)
4
Tr ng THPT Nguy n Trung Tr c – Đ c ng ôn t p HKII l p 11 - Giáo viên: Nguy n Hoàng ườ ễ ự ề ươ ậ ớ ễ
Di u ệ
a)
0
sin 3
lim
x
x
x
b)
2
0
sin sin 2
lim 3
x
x x
x
c)
2
0
1 cos
lim sin
x
x
x x
−
d)
0
sin .sin 2 ....sin
lim n
x
x x nx
x
ĐS: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n!
Bài 12: Xét tính liên t c c a các hàm s sau:ụ ủ ố
a)
2
4 -2
( ) 2
4 -2
xkhi x
f x x
khi x
−
=+
− =
t i xạ0 = -2 b)
24 3 khi x<3
( ) 3
5 khi 3
x x
f x x
x
− +
=−
t i xạ0 = 3
c)
2
2 3 5 1
( ) 1
7 1
x x khi x
f x x
khi x
+ − >
=−
t i xạ0 = 1 d)
2 1 3
( ) 3
3 3
xkhi x
f x x
khi x
− +
=−
=
t i xạ0 = 3
e/
22 2
( ) 2
2 2 2
xkhi x
f x x
khi x
−
=−
=
t i xạ0 =
2
f)
2 2
( ) 1 1
3 4 2
xkhi x
f x x
x khi x
−
>
=− −
−
t i xạ0 = 2
ĐS: a) liên t c ; b) không liên t c ; c) liên t c ; d) không liên t cụ ụ ụ ụ ; e) liên t c ; f) liên t cụ ụ
Bài 13: Xét tính liên t c c a các hàm s sau trên TXĐ c a chúng:ụ ủ ố ủ
a)
23 2 2
( ) 2
1 2
x x khi x
f x x
khi x
− +
=−
=
b)
( )
2
1 2
2
( )
3 2
xkhi x
x
f x
khi x
−
−
==
c)
( )
2
2x 2
2
5 x 2
x x khi
f x x
x khi
− − >
=−
−
d)
( )
2
2
0
0 1
2 1 1
x khi x
f x x khi x
x x khi x
<
= <
− − +
ĐS: a) hsliên t c trên R ; ụb) hs liên t c trên m i kho ng (-ụ ỗ ả ; 2), (2; +) và b gián đan t i x = 2.ị ọ ạ
c) hsliên t c trên R ; ụd) hs liên t c trên m i kho ng (-ụ ỗ ả ; 1), (1; +) và b gián đan t i x = 1.ị ọ ạ
Bài 14: Tìm đi u ki n c a s th c a sao cho các hàm s sau liên t c t i xề ệ ủ ố ự ố ụ ạ 0.
a)
( )
2
21
1
1
x x khi x
f x x
a khi x
− − −
=+
= −
v i xớ0 = -1 b)
2
1
( ) 2 3 1
x khi x
f x ax khi x
<
=−
v i xớ0 = 1
c)
7 3 2
( ) 2
1 2
xkhi x
f x x
a khi x
+ −
=−
− =
v i xớ0 = 2 d)
2
3 1 1
( ) 2 1 1
x khi x
f x a khi x
− <
=+
v i xớ0 = 1
ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 15: Ch ng minh r ng ph ng trình:ứ ằ ươ
a)
45 2 0x x− + =
có ít nh t m t nghi m.ấ ộ ệ
b)
53 7 0x x− − =
có ít nh t m t nghi m.ấ ộ ệ
c)
3 2
2 3 5 0x x− + =
có ít nh t m t nghi mấ ộ ệ
d)
3
2 10 7 0x x− − =
có ít nh t 2 nghi m.ấ ệ
e) cosx = x có ít nh t m t nghi m thu c kho ng (0; ấ ộ ệ ộ ả /3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nh t 2 nghi m.ấ ệ
5