1
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HÀM BIẾN PHỨC
Contents
Dạng 1. Giải phương trình, tính 𝑤,√𝑤
,𝑣ớ𝑖 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖. ....................................................... 2
Dạng 2. Sự khả vi, tính đạo hàm. ............................................................................................... 2
Dạng 3. Tìm hàm giải tích khi biết trước 𝑢(𝑥,𝑦) 𝑜𝑟 𝑣(𝑥,𝑦). .................................................... 3
Dạng 4. Tích phân tham số hoá. ................................................................................................. 5
Dạng 5. Tích phân sử dụng CT Cauchy. .................................................................................... 5
Dạng 6. Tìm bán kính hội tụ, hình tròn hội tụ chuỗi luỹ thừa. .................................................. 7
Dạng 7. Khai triển Taylor, Maclaurin, Laurent. ........................................................................ 8
Dạng 8. Tính thặng dư, ứng dụng thặng dư tính tích phân dạng 1. ........................................... 9
Dạng 9. Biến đổi Laplace. ........................................................................................................ 10
Dạng 10. Ứng dụng biến đổi laplace giải phương trình vi phân. ............................................. 13
2
Dạng 1. Giải phương trình, tính √𝑤
,𝑤,𝑣ớ𝑖 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖.
Kiến thức:
𝑟 = |𝑤|=𝑥+𝑦, 𝑡𝑎𝑛𝜑 =
,
𝑤= 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝑛𝜑+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑛𝜑), √𝑤
=√𝑟
󰇡cos
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛 
󰇢, 𝑘 = 0,1,…,𝑛−1.
Ví dụ: Cho 𝑧 = −1, tính căn bậc 4 của z.
Giải
Bài tập 1.6 trang 48
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng 2. Sự khả vi, tính đạo hàm.
Kiến thức:
3
Ví dụ 1.20 trang 34, Bài tập 1.18 trang 51
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng 3. Tìm hàm giải tích khi biết trước 𝑢(𝑥,𝑦) 𝑜𝑟 𝑣(𝑥,𝑦).
Kiến thức: Nếu đề cho 𝒖(𝒙,𝒚):
. Nếu Δ𝑢 = 0 thì 𝑢(𝑥,𝑦) là hàm điều hoà (chuyển bước 2) Bước 1:
Ngược lại thì kết luận ko tồn tại hàm f thoả đề.
Bước 2:
Bước 3: Kết luận hàm f cần tìm:
Lưu ý: Nếu đề cho 𝑣 thì ta hoán đổi u,v ở 3 bước trên
4
Bài tập 1.24 trang 52,53
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5
Dạng 4. Tích phân tham số hoá.
Xem thêm ví dụ 2.4 trang 60, Bài tập 2.1-2.3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng 5. Tích phân sử dụng CT Cauchy.
Suy ra:
Lưu ý: CT trên là đạo hàm cấp n của hàm f, khi n = 0 vẫn đúng với f ko đạo hàm.