Đề tài " Giản đồ FEYNMAN "

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

251
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Richard Feynman (1918-1988) là nhà Vật lý học người mỹ gốc do thái đã nhận giải thưởng nobel về vật lý năm 1965.Cụ thể thì Vật lý khoa học nghiên cứu về các quy luật vận động của tự nhiên, từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) cho đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà và vũ trụ). Trong tiếng Anh, từ vật lý (physics) bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp φύσις (phusis) có nghĩa là tự nhiên và φυσικός (phusikos) là thuộc về tự nhiên. Đối tượng nghiên cứu chính của vật lý...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài " Giản đồ FEYNMAN "

GI N Đ FEYNMAN * FEYNMAN LÀ AI? * CÁC GI N Đ VÀ QUI T C FEYNMAN 1
1.1. Vài nét v Feynman Richard Feynman (1918-1988) là nhà V t Lý ngư i M g c Do Thái đ nh n gi i thư ng Nobel v V t Lý năm 1965. 2
1.2. Các gi n đ Feynman và qui t c Feynman Đ d theo dõi, ta xét m t trư ng h p c th đó là tán x c a boson có spin b ng 0 lên electron t do Ta có bi u th c c a toán t S như sau: t t (−i)n ˆ ˆ ˆ ( n) S (t, t0 ) = dt1 dt2 T HI (t1 )HI (t2 )...HI (tn ) 2 t0 t0 . Gi s xung lư ng, năng lư ng c a boson ban đ u và cu i là q, εq và q , εq ; xung lư ng, năng lư ng, hình chi u spin c a Fermion ban đ u và cu i là p, Ep , λ và p , Ep , λ . Véctơ tr ng thái đ u và cu i đư c cho b i bi u th c sau: |i = a+ c+ |0 , (1.1) q pλ |f = a+ c+λ , (1.2) qp V n đ trung tâm là tính y u t ma tr n f |S |i các b c th p nh t c a lý thuy t nhi u lo n, tương ng v i Hamiltonian tương tác ˆ ˆ ψ + (r, t)ψ (r, t) ϕ+ (r, t) + ϕ(r, t) dr, Hint = g ˆ ˆ (1.3) s h ng b c n trong khai tri n ma tr n tán x có d ng: (−i)n n ˆ ˆ ( n) dtn drn T {ψ + (r1 , t1 )ψ (r1 , t1 )[ϕ+ (r1 , t1 ) S = g dt1 dr1 ... ˆ n! (1.4) ˆ+ ˆ + + ϕ(r1 , t1 )]...ψ (rn , tn )ψ (rn , tn )[ϕ (rn , tn ) + ϕ(rn , tn )]} ˆ ˆ ˆ Chú ý r ng, toán t h y tác d ng ph i lên |0 > ho c là toán t sinh tác d ng trái lên < 0| s cho k t qu b ng không, ví d như: ϕ(rn , tn )|0 = 0, 0|ϕ+ (rn , tn ) = 0 ˆ ˆ 3
ˆ ˆ ψ (rn , tn )|0 = 0, 0|ψ + (rn , tn ) = 0 Do đó, đ tính f |S (n) |i ta hãy d ch chuy n d n toán t h y sang ph i và toán t sinh sang trái cho đ n khi nó tác d ng tương ng lên|0 và 0|. Mu n v y ta hãy chú ý đ n các h th c giao hoán và ph n giao hoán sau đây cho trư ng vô hư ng và trư ng spinor ϕ(r, t), a+ ) = e−iεq t ϕq (r ) ˆ ˆq ⇒ ϕ(r, t)ˆ+ = a+ ϕ(r, t) + e−iεq t ϕq (r ) ˆ aq ˆq ˆ (1.5) ˆ ψ (r, t), c+ ) −iEp t ˆqλ =e ψp (r ) ˆc ˆpλ ˆ ⇒ ψ (r )ˆ+ = −c+ ψ (r) + e−iEp t ψp (r ) pλ L y liên h p hermite c a bi u th c trên ta đư c: ˆ q ϕ+ (r, t) = ϕ+ (r, t)ˆq + eiεq t ϕ∗ (r) aˆ ˆ a (1.6) ˆˆ ˆ+ + iEp t ∗ cpλ ψ (r ) = −ψ (r )ˆpλ + e c ψp (r ) Bây gi ta tính y u t ma tr n b c nh t f |S (1) |i = −ig dt1 dr1 0|aq cp λ (1.7) ˆ ˆ T {ψ + (r1 , t1 )ψ (r1 , t1 )[ϕ+ (r1 , t1 ) + ϕ(r1 , t1 )]}a+ c+ |0 ˆ ˆ q pλ ˆ ˆ Đ d quan sát, ta ký hi u ψ (ri , ti ) ≡ ψ (i) Vì toán t c a hai lo i trư ng khác nhau thì giao hoán v i nhau nên ta có: ˆ ˆ ˆ ˆ T {ψ + (1)ψ (1)[ϕ+ (1) + ϕ(1)]} = T {ψ + (1)ψ(1)}[ϕ+ (1) + ϕ(1)] ˆ ˆ ˆ ˆ (1.8) ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ = ψ + (1)ψ (1)ϕ+ (1) + ψ + (1)ψ (1)ϕ(1) Do đó: ˆ ˆ T {ψ + (1)ψ (1)[ϕ+ (1) + ϕ(1)]}a+ c+ ˆ ˆ q pλ (1.9) ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ = ψ + (1)ψ (1)ϕ+ (1)a+c+ + ψ + (1)ψ (1)ϕ(1)a+c+ . q pλ q pλ 4
Thay (1.9) vào (1.7) ta đư c f |S (1) |i = −ig dt1 dr1 ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 0|aq cp λ {ψ + (1)ψ (1)ϕ+ (1)a+ c+ + ψ + (1)ψ (1)ϕ(1)a+ c+ }|0 q pλ q pλ (1.10) f |S (1) |i = −ig dt1 dr1     ˆ+ (1)ψ (1)ϕ+ (1)a+ c+ |0 + 0|aq cp λ ψ + (1)ψ (1)ϕ(1)a+ c+ }|0 ˆˆ ˆ ˆˆ 0|aq cp λ ψ q pλ q pλ   SH 1 SH 2 (1.11) * Đ nh tính: Véctơ tr ng thái f | = 0|aq cp λ ch có hai toán t h y mà trong khi ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ đó hai s h ng ψ + (1)ψ (1)ϕ+ (1)a+ c+ | và ψ + (1)ψ (1)ϕ(1)a+ c+ } có 4 và 3 q pλ q pλ toán t sinh nên khi d ch chuy n các toán t này sang trái thì m i s h ng s đư c phân tích thành t ng các s h ng con trong đó có ít nh t 1 toán t sinh tác d ng lên 0| và cho k t qu b ng không. * Đ nh lư ng: 5
Ta tính SH1 (1.11) ˆ ˆˆ SH 1 = 0|aq cp λ ψ + (1) ψ (1)ϕ+ (1)a+c+ q pλ ˆ ˆˆ −ψ + (1)cp λ + eiEp t ψp (r) ψ (1)ϕ+ (1)a+ c+ ∗ = 0|aq q pλ ˆ ˆˆ ˆˆ = − 0|aq ψ + (1)cp λ ψ (1)ϕ+ (1)a+ c+ + 0|aq eiEp t ψp (r )ψ (1)ϕ+ (1)a+ c+ ∗ q pλ q pλ ˆ ˆˆ ˆˆ = − 0|ψ + (1)aq cp λ ψ (1)ϕ+ (1)a+ c+ + 0|aq eiEp t ψp (r )ψ (1)ϕ+ (1)a+ c+ ∗ q pλ q pλ ˆˆ = 0 + 0|aq eiEp t ψp (r)ψ (1)ϕ+ (1)a+ c+ ∗ q pλ ˆ = 0| aq ϕ+ (1) eiEp t ψp (r )ψ(1)a+ c+ ∗ ˆ q pλ ˆ = 0| ϕ+ (r, t)ˆq + eiεq t ϕ∗ (r ) eiEp t ψp (r )ψ (1)a+c+ ∗ ˆ a q pλ ˆ ˆ = 0|ϕ+ (r, t)ˆq eiEp t ψp (r )ψ (1)a+ c+ + 0|eiεq t ϕ∗ (r )eiEp t ψp (r)ψ (1)a+ c+ ∗ ∗ ˆ a q pλ q pλ ˆ = 0 + 0|eiεq t ϕ∗ (r )eiEp t ψp (r )ψ (1)a+ c+ ∗ q pλ ˆ = 0|eiεq t ϕ∗ (r )eiEp t ψp (r )a+ψ (1)c+ ∗ q pλ ˆ = 0|a+ eiεq t ϕ∗ (r )eiEp t ψp (r )ψ (1)c+ ∗ q pλ =0 (1.12) Tính tương t đ i v i SH2 và ta thu đư c SH2 = 0 * K t lu n: V y f |S (1) |i = 0 6
Ti p theo, ta tính y u t ma tr n b c hai −g 2 (2) f |S |i = dt1 dr1 dt2 dr2 0|aq cp λ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ T {ψ + (1)ψ (1)[ϕ+ (1) + ϕ(1)]ψ + (2)ψ (2)[ϕ+ (2) + ϕ(2)}a+ c+ |0 ˆ ˆ ˆ ˆ q pλ −g 2 ˆ ˆˆ ˆ dt2 dr2 0|aq cp λ T {ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2)} = dt1 dr1 2 T {[ϕ(1)ϕ(2) + ϕ+ (1)ϕ(2) + ϕ(1)ϕ+ (2) + ϕ+ (1)ϕ+ (2)}a+ c+ |0 . ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ q pλ (1.13) S h ng th nh t c a (1.13) ch a tích hai toán t h y boson là ϕ(1)ϕ(2) ˆˆ trong khi |i ch ch a 1 toán t sinh boson là a+ nên khi d ch các toán q t ϕ(1)ϕ(2) sang ph i thì nó s đư c phân tích thành t ng các s h ng ˆˆ con, trong đó có ít nh t m t toán t trong hai toán t h y boson tác d ng lên |0 . V y s h ng th nh t c a (1.13) b ng không. Tương t , s h ng th tư ch a ϕ+ (1)ϕ+ (2)cũng b ng không. Th c hi n phép bi n đ i bi n s ˆ ˆ r 1 ↔ r 2 , t1 ↔ t2 s h ng th ba c a (1.13). Và chú ý r ng, T-tích không đ i d u đ i v i chuy n v m t s ch n l n toán t trư ng spinor hay m t s b t kỳ l n toán t trư ng boson. T đó ta th y r ng s h ng th ba tr thành s h ng th hai. Vì v y, ta có: f |S (2) |i = −g 2 dt1 dr1 dt2 dr2 ˆ ˆˆ ˆ 0|aq cp λ T ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) T ϕ+ (1)ϕ(2) a+ c+ |0 . ˆ ˆ q pλ (1.14) 7
Áp d ng đ nh lý Wick ta có ˆ ˆˆ ˆ T ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) | | ˆ+ ˆ ˆ+ ˆ ˆ+ ˆ ˆ ˆ =: ψ (1)ψ (1)ψ (2)ψ (2) : + :ψ (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) : | | | | ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ + : ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) : + :ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) : (1.15) | | | | ˆ+ ˆ ˆ+ ˆ ˆ+ ˆ ˆ+ ˆ + :ψ (1)ψ (1)ψ (2)ψ (2) : + : ψ (1) ψ (1)ψ (2)ψ (2) : | | | | | | ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + : ψ + (1)ψ (1) ψ + (2)ψ (2) : + :ψ + (1)ψ (1) ψ + (2)ψ (2) : | | | | | | | | ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ + :ψ + (1) ψ (1)ψ + (2)ψ (2): + : ψ + (1) ψ (1)ψ + (2)ψ (2): Lưu ý: | | ˆ+ ˆ ψ (1)ψ (1) = 0 | | ˆ ˆ ψ + (1)ψ + (2) = 0 | | ˆˆ ψ (1)ψ (2) = 0 | | ˆ ˆ ψ + (2)ψ (2) = 0 | | | | ˆ+ ˆ ˆ+ ˆ ψ (1)ψ (1) ψ (2)ψ (2) = 0 | | | | ˆ ˆˆ ˆ ψ + (1) ψ (1)ψ + (2)ψ (2) = 0 | | AB = T (AB )− : AB : đây t1 > t2 Trong v trái c a công th c (1.15) thì các s h ng 2, 3, 6, 7, 8, 9 đ u 8
b ng 0. Do đó, (1.15) có th vi t l i ˆ ˆˆ ˆ T ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) | | ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ =: ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) : + :ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) : (1.16) | | | | | | ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ + :ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) : + : ψ + (1) ψ (1)ψ + (2)ψ (2): Và | | T ϕ+ (1)ϕ(2) =: ϕ+ (1)ϕ(2) : + ϕ+ (1)ϕ(2)= 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1.17) L p lu n tương t như trên ta suy ra trong 4 s h ng v ph i c a (1.16) ch có s h ng th 2 và th 3 là tương ng v i y u t ma tr n khác không, trong hai s h ng v ph i c a (1.16) ch có s h ng th nh t là tương ng v i y u t ma tr n khác không. K t qu ta thu đư c f |S (2) |i = −g 2 dt1 dr1 dt2 dr2 | | | | ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ :ψ + (1)ψ(1)ψ + (2)ψ (2) : + :ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) : ϕ+ (1)ϕ(2)a+ c+ |0 0|aq cp λ ˆ ˆ q pλ | | ˆ ˆˆ ˆ 2 :ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) : ϕ+ (1)ϕ(2)a+ c+ |0 = −g dt1 dr1 dt2 dr2 0|aq cp λ ˆ ˆ q pλ + | | ˆ ˆˆ ˆ 2 :ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) : ϕ+ (1)ϕ(2)a+ c+ |0 −g dt1 dr1 dt2 dr2 0|aq cp λ ˆ ˆ q pλ = −g 2 dt1 dr1 dt2 dr2 (SH 1 + SH 2) (1.18) 9
* Bây gi ta tính SH1 | | ˆ ˆˆ ˆ :ψ + (1)ψ (1)ψ + (2)ψ (2) : ϕ+ (1)ϕ(2)a+c+ |0 SH 1 = 0|aq cp λ ˆ ˆ q pλ ˆ ˆˆ = 0|aq cp λ ψ + (1)ψ (2)ϕ+ (1)ϕ(2)a+ c+ |0 ∆c(r1 − r2 , t1 − t2 ) (1.19) ˆ q pλ ˆ ˆ = 0| aq ϕ+ (1)ϕ(2)a+ cp λ ψ + (1)ψ (2)c+ |0 ∆c (r1 − r2 , t1 − t2 ) ˆ ˆ q pλ S H 11 S H 12 Ta có các h th c ϕ(r, t), a+ ) = e−iεq t ϕq (r ) ˆ ˆq ⇒ ϕ(r, t)ˆ+ = a+ ϕ(r, t) + e−iεq t ϕq (r ) ˆ aq ˆq ˆ (1.20) ˆ ψ (r, t), c+ ) −iEp t ˆqλ =e ψp (r ) ˆc ˆpλ ˆ ⇒ ψ (r )ˆ+ = −c+ ψ (r) + e−iEp t ψp (r ) pλ Và ˆ q ϕ+ (r, t) = ϕ+ (r, t)ˆq + eiεq t ϕ∗ (r) aˆ ˆ a (1.21) ˆˆ ˆ cpλ ψ (r )+ = −ψ + (r )ˆpλ + eiEp t ψp (r ) ∗ c Thay vào (1.19) ta đư c SH 11 = ϕ+ (1)aq + eiεq t1 ϕ∗ (1) a+ ϕ(2) + e−iεq t2 ϕ(2) ˆ qˆ q = [ϕ+ (1)aq a+ ϕ(2) + ϕ+ (1)aq e−iεq t2 ϕ(2) (1.22) ˆ qˆ ˆ + eiεq t1 ϕ∗ (1)a+ϕ(2) + eiεq t1 ϕ∗ (1)e−iεq t2 ϕ(2)] qˆ q q ˆ ˆpλ ˆ SH 12 = − ψ + (1)ˆp λ + eiEp t1 ψp (1) ∗ − c+ ψ (2) + e−iEp t2 ψp (2)] c ˆ c ˆpλ ˆ ˆ = ψ + (1)ˆp λ c+ ψ (2) − ψ + (1)ˆp λ e−iEp t2 ψp (2) (1.23) c cpλ ˆ − eiEp t1 ψp (1)ˆ+ ψ (2) + eiEp t1 ψp (1)e−iEp t2 ψp (2) ∗ ∗ 10
Nh n xét: Ba s h ng đ u trong SH11 c a (1.22) khi tác d ng lên vacum bên trái đ u b ng 0 Ba s h ng đ u trong SH12 c a (1.23) khi tác d ng lên vacum bên ph i đ u b ng 0 Thay SH11 và SH12 vào SH1 ta đư c SH 1 = eiεq t1 ϕ∗ (1)e−iεq t2 ϕ(2).eiEp t1 ψp (1)e−iEp t2 ψp (2) ∗ q = ei[Ep +εq )t1−(Ep +εq )t2] ψp λ (1)ψpλ (2)ϕ∗ (1)ϕq (2)∆c(r1 − r2 , t1 − t2 ) ∗ q (1.24) Tính tương t ta đư c SH 2 = ei[Ep −εq )t2 −(Ep −εq )t1] ψp λ (2)ψpλ (1)ϕ∗ (1)ϕq (2)∆c(r2 − r1 , t2 − t1 ) ∗ q (1.25) Thay (1.25) và (1.24) vào (1.18) ta đư c f |S (2) |i = −g 2 dt2 dr2 ei[Ep +εq )t1 −(Ep +εq )t2 ] ψp λ (1)ψpλ (2)ϕ∗ (1)ϕq (2) ∗ dt1 dr1 q ∆c (r1 − r2 , t1 − t2 ) + ei[Ep −εq )t2 −(Ep −εq )t1 ] ψp λ (2)ψpλ (1)ϕ∗ (1)ϕq (2)∆c (r2 − r1 , t2 − t1 ) ∗ q (1.26) Đ i bi n r1 ↔ r2 , t1 ↔ t2 s h ng th hai c a (1.26) ta đư c f |S (2) |i = −g 2 dt2 dr2 {ei[Ep +εq )t1−(Ep +εq )t2] ϕ∗ (1)ϕq (2) dt1 dr1 q (1.27) + ei[Ep −εq )t2 −(Ep −εq )t1] ϕ∗ (2)ϕq (1)}ψp λ (1)ψpλ (2)∆c(r1 − r2 , t1 − t2 ) ∗ q 11
Nh n xét Như có th th y t công th c (1.27), y u t ma tr n f |S (2) |i đư c c u trúc t m t s ít y u t sau đây: ˆ + •eiEp t1 ψp λ (r1 ) sinh ra t các toán t Fermion ψ + (r1 , t1 ) ˆ • e−iEp t2 ψpλ (r2 ) sinh ra t các toán t Fermion ψ (r2 , t2 ) •eiεq t1 ϕ∗ (r1 ) sinh ra t các toán t boson ϕ+ (r1 , t1 ) ˆ q • e−iεq t2 ϕ∗ (r2 ) sinh ra t các toán t bosonϕ(r2 , t2 ) ˆ q | | ˆ ˆ •Hàm ∆ (r1 − r2 , t1 − t2 ) đ i di n cho liên k t ψ (r1 , t1 )ψ + (r2 , t2 ) trong c công th c (1.16) Đ vi t y u t ma tr n đư c thu n ti n, ngư i ta đ t tương ng các s h ng (1.27) v i các gi n đ g m nh ng đư ng và đ nh đư c g i là gi n đ Feynman. Các qui t c Feynman: (Trong trư ng h p tán x c a Boson có spin=0 lên đi n t ) •Đư ng liên t c nét đ m, theo chi u đi ra kh i đi m (r, t)là + tương ng v i th a s e−iEp t ψpλ (r) và đi vào đi m (r, t) là 12
tương ng v i th a s e−iEp t ψpλ (r) •Đư ng liên t c , theo chi u đi ra kh i đi m (r, t)là tương ng v i th a s eiεq t ϕ∗ (r ) q •Đư ng liên t c , theo chi u đi vào đi m (r, t)là tương ng v i th a s e−iεq t ϕq (r) • Đư ng liên t c nét đ m, theo chi u đi t đi m (r2 , t2 ) đ n (r1 , t1 ) là tương ng v i th a s ∆c(r1 − r2 , t1 − 12 ). • M i đ nh (giao c a 3 đư ng) tương ng v i th a s ig ( g là h ng s tương tác ). 13
(??) tương ng v i các gi n đ S h ng th nh t và th hai hình a và hình b Trong đó các đư ng tương ng v i các s h ng như sau: ∗ (1), (6) tương ng v i ∆c (r1 − r2 , t1 − 12 ). ∗(2) tương ng v i e−iεq t2 ϕq (r2 ) ∗(3) tương ng v i e−iEp t2 ψp,λ(r2 ) ∗(4) tương ng v i eiεq t1 ϕ∗ (r1 ) q ∗(5) tương ng v i eiEp t1 ψp ,λ (r1 ) ∗ ∗(7) tương ng v i eiεq t2 ϕ∗ (r2 ) q ∗(8) tương ng v i e−iEp t2 ψp,λ(r2 ) ∗(9) tương ng v i e−iεq t1 ϕq (r1 ) ∗(10) tương ng v i eiEp t1 ψp ,λ (r1 ) Ý nghĩa: Hình a: T i đi m không-th i gian (r2 , t2 ), electron có xung lư ng p h p th m t boson (có spin=0) có xung lư ng q chuy n thành electron o. 14
Khi đó, m t nhi u lo n nh đư c t o ra trong h . Dư i tác d ng c a hàm truy n, nhi u lo n này đư c truy n đ n đi m không-th i gian (r1 , t1 ). T i đó electron b c x boson tán x có xung lư ng q và chuy n thành electron sau tán x có xung lư ng p . Hình b: T i đi m không-th i gian (r2 , t2 ), electron có xung lư ng p b c x m t boson có xung lư ng q và chuy n thành electron o. Khi đó, m t nhi u lo n nh đư c t o ra trong h . Dư i tác d ng c a hàm truy n, nhi u lo n này đư c truy n đ n đi m không-th i gian (r1 , t1 ). T i đó electron h p th boson có xung lư ng q và chuy n thành electron sau tán x có xung lư ng p . Tên g i các đư ng trong gi n đ Feynman: • Các đư ng n i gi a hai đ nh g i là các đư ng trong. • Các đư ng ch xu t phát hay t n cùng m t đi m, nghĩa là ch n i li n v i m t đ nh g i là các đư ng ngoài. • ng v i m i h t trong tr ng thái đ u nh t thi t ph i có m t đư ng ngoài t n cùng m t đ nh, g i là đư ng vào. • ng v i m i h t trong tr ng thái cu i nh t thi t ph i có m t đư ng ngoài xu t phát t đ nh, g i là đư ng ra. Ta có th t ng quát hóa s liên quan gi a các y u t hình h c và các đ i lư ng tương ng trong S-ma tr n qua b ng sau đây: 15
. H t và tr ng Y u t hình Nhân t trong thái c a nó h c c a gi n đ S-ma tr n e− e−iEi t ψi (r) ho c tr ng thái đ u (2π )−3/2 ei(pr−Ep t) χλ + e− eiEi t ψi (r ) ho c tr ng thái cu i (2π )−3/2 e−i(pr−Ep t) χ+ λ e−iεi t ϕi (r) ho c Boson có s=0, đ u (2π )−3/2 ei(qr−εq )t eiεi t ϕ∗ (r ) ho c Boson có s=0, cu i i (2π )−3/2 e−i(qr−εq )t (2π )−3/2 (2ω )−1/2 ei(kr−ωt) εkλ Photon tr ng thái đ u (2π )−3/2 (2ω )−1/2 e−i(kr−ωt) ε∗ Photon tr ng thái cu i kλ δαβ ∆c (r1 , r2 ; t1 − t2 ) Chuy n đ ng c a đi n M t t (r2 , t2 ) đ n (r1 , t1 ) ∆c (r1 , r2 ; t1 − t2 ) CĐ c a boson có spin=0 m t (r2 , t2 ) đ n (r1 , t1 ) D c(r1 − r2 ; t1 − t2 ) CĐ c a photon t (r2 , t2 ) đ n (r1 , t1 ) Đ nh mà t i đó electron ig đi vào ho c đi ra Đ nh t i đó boson (có s=0, ig photon) đi vào ho c đi ra δαβ ∆c (r1 − r2 ; t1 − t2 ) H đi n t -l tr ng eh 16
Trong gi n đ Feynman, c u trúc c a m i đ nh xác đ nh b i m t Hamiltonian tương tác. S đư ng vào và s đư ng ra hoàn toàn xác đ nh b i s h t trong tr ng thái đ u và tr ng thái cu i. Cho trư c s đ nh m i lo i, bi t c u trúc c a m i đ nh và bi t s đư ng ngoài, ta có th tìm đư c ngay s đư ng trong. Ta bi t r ng m i y u t (đư ng, đ nh v.v...) c a gi n đ Feynman đ u di n t m t bi u th c nào đó trong y u t ma tr n. Bi t s tương ng gi a các y u t c a gi n đ và bi u th c trong y u t ma tr n, nhìn đ th ta có th vi t ngay y u t ma tr n mà không c n l p l i quá trình tính toán chi ti t như trình bày trên. Quy t c Feynman đ vi t yêu t ma tr n khi bi t gi n đ • Vi t các s h ng tương ng v i các y u t hình h c (m t đư ng tương ng v i m t s h ng). • Xác đ nh th a s ig d a vào s nút c a gi n đ (m i nút ng v i m t ig). • Nhân các k t qu thu đư c, r i l y tích phân theo t a đ không gian và th i gian các đ nh. K t qu cu i cùng chính là Hamiltonian tương tác c n vi t. Ví d (Dùng đ tham kh o, không có k t qu đ đ i chi u). Xét quá trình tán x c a photon lên electron: γ + e− → γ + e− Gi s trư c quá trình tán x electron có xung lư ng p, hình chi u spin l còn photon có xung lư ng k , phân c c λ 17
Sau quá trình tán x , electron có xung lư ng p , hình chi u spin l còn photon có xung lư ng k , phân c c λ . Quá trình tán x đư c cho b i gi n đ : Các s h ng tương ng v i các đư ng trong gi n đ hình a: (1) → δαβ ∆c (r1 , r2 ; t1 − t2 ). M (2) → (2π )−3/2 (2ω )−1/2 ei(kr2 −ωt2 ) εkλ . (3) → e−iEp t2 ψpl (r2 ). (4) → (2π )−3/2 (2ω )−1/2 e−i(k r1 −ωt1 ) ε∗ λ . k + (5)→ eiEp t1 ψp l (r1 ). Có hai đ nh nên có hai th a s (ig). 18
T đó ta có y u t ma tr n (c p hai) là: SH 1 = (−ig )2 dt2 dr2 (2π )−3/2 (2ω )−1/2 ei(kr2−ωt2 ) εkλ e−iEp t2 ψpl (r2 ) dt1 dr1 (2π )−3/2 (2ω )−1/2 e−i(k r1 −ωt1 ) ε∗ λ eiEp t1 ψp l (r1 )δαβ ∆c (r1 , r2 ; t1 − t2 ) + M k = −g 2 (2π )−3 (2ω )−1 dt2 dr2 ei[kr2 −k r1−(ω+Ep )t2 +(ω+Ep )t1 ] dt1 dr1 ε∗ ,λ εk,λ ψp l (r1 )ψpl (r2 )δαβ ∆c (r1 , r2 ; t1 − t2 ) + M k (1.28) Các s h ng tương ng v i các đư ng trong gi n đ hình b: (6) → δαβ ∆c (r1 , r2 ; t1 − t2 ). M (7)→ (2π )−3/2(2ω )−1/2 e−i(k r2−ωt2 ) ε∗ λ . k (8) → e−iEp t2 ψpl (r2 ). (9) → (2π )−3/2 (2ω )−1/2 ei(kr1 −ωt1 ) εkλ . + (10)→ eiEp t1 ψp l (r1 ). Có hai đ nh nên có hai th a s (ig). T đó ta có y u t ma tr n (c p hai) là: SH 2 = (−ig )2 dt2 dr2 (2π )−3/2 (2ω )−1/2 e−i(k r2 −ωt2 ) ε∗ λ e−iEp t2 ψpl (r2 ) dt1 dr1 k (2π )−3/2 (2ω )−1/2 ei(kr1 −ωt1 ) εkλ eiEp t1 ψp l (r1 )δαβ ∆c (r1 , r2 ; t1 − t2 ) + M = g 2 (2π )−3 (2ω )−1 dt2 dr2 ei[kr1−k r2+(Ep −ω)t1 −(Ep −ω)t2 ] dt1 dr1 ε∗ λ εkλ ψp l (r1 )ψpl (r2 )δαβ ∆c (r1 , r2 ; t1 − t2) + M k L y SH1+SH2 ta đư c y u t ma tr n c n tìm c a quá trình tán x photon lên electron. 19