CCẤẤU TRÚC RU TRÚC RỜỜI RI RẠẠC IIC II
CHƯƠNG 2:: CHƯƠNG 2:: ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ VÀ ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ VÀ
BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤTBÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT
{N HTIN H Q B@ YAH O O.CO M.VN }
3.1. ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ
Tình huống thường gặp:để đi từ địa điểm Ađến địa điểm
B trong thành phố, có nhiều đường đi, nhiều cách đi; có lúc
ta chọn đường đi ngắn nhất (theo nghĩa cự ly), có lúc lại
cần chọn đường đi nhanh nhất (theo nghĩa thời gian) và có
lúc phải cân nhắc để chọn đường đi rẻ tiền nhất (theo nghĩa
chi phí), v.v...
Có thể coi sơ đồ của đường đi từ Ađến B trong thành phố
là một đồ thị, với đỉnh là các giao lộ, cạnh là đoạn đường
nối hai giao lộ. Trên mỗi cạnh của đồ thị này, ta gán một số
dương, ứng với chiều dài của đoạn đường, thời gian đi
đoạn đường hoặc cước phí vận chuyển trên đoạn đường đó,
…
3.1. ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ
Đồ thị có trọng số là đồ thị G=(V,E) mà mỗi cạnh (hoặc
cung) eEđược gán bởi một số thực m(e), gọi là trọng số
của cạnh (hoặc cung) e.
Mỗi đường đi từ đỉnh uđến đỉnh v, có chiều dài là m(u,v),
bằng tổng chiều dài các cạnh mà nó đi qua. Khoảng cách
d(u,v) giữa hai đỉnh u và v là chiều dài đường đi ngắn nhất
(theo nghĩa m(u,v) nhỏ nhất) trong các đường đi từ uđến v.
Ví dụ: …
3.2. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT.
Cho đơn đồ thị liên thông, có trọng số G=(V,E).
Tìm khoảng cách d(u0,v) từ một đỉnh u0cho trước
đến một đỉnh vbất kỳ của G và tìm đường đi ngắn
nhất từ u0đến v.
Có một số thuật toán tìm đường đi ngắn nhất; tiêu
biểu là thuật toán do E. Dijkstra, nhà toán học
người Hà Lan, đề xuất năm 1959.
Giả sử đồ thị là vô hướng, các trọng số là dương.
Đối với bài toán tìm đường đi ngắn nhất trong đồ
thị có hướng thì giải thuật có vài thay đổi nhỏ
3.2. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT.
Phương pháp của thuật toán Dijkstra: xác định tuần
tự đỉnh có khoảng cách đến u0từ nhỏ đến lớn:
Đỉnh có khoảng cách đến a nhỏ nhất chính là a, với
d(u0,u0)=0. Trong các đỉnh v u0, tìm đỉnh có khoảng
cách k1đến u0là nhỏ nhất. Đỉnh này phải là một trong
các đỉnh kề với u0. Giả sử đó là u1. Ta có: d(u0,u1) = k1.
Trong các đỉnh v u0và v u1, tìm đỉnh có khoảng
cách k2đến u0là nhỏ nhất. Đỉnh này phải là một trong
các đỉnh kề với u0hoặc với u1. Giả sử đó là u2. Ta có:
d(u0,u2) = k2.
Tiếp tục như trên, cho đến bao giờ tìm được khoảng
cách từ u0đến mọi đỉnh v của G.
Nếu V = {u0, u1, ..., un} thì: 0 = d(u0,u0) < d(u0,u1) <
d(u0,u2) < ... < d(u0,un).