Giải tích hàm nâng cao
12
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các bước chứng minh
Trong tập hợp Gtất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định
trên không gian con của Xtađặt một quan hệ <như sau:
1 2 1 2
( , )
g g G g g
1
1 2
2. ( ) ( ) ( )
g
x D g x g x
2
3. ( ) ( ) ( )
g
x D g x x
1 2
1.
g g
D D
Kiểm tra S là tập được sắp một phần.
{ | }
S g G g f
11
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý Hahn-Banach
là một phiếm hàm tuyến tính trên M.
f
Cho X là không gian tuyến tính thực, M - không gian con của X.
Nếu tồn tại một hàm dưới tuyến tính , sao cho
:
X R
: ( ) ( )
x M f x x
thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính , sao cho
:
F X R
1. ( ) ( ) ( )
x M F x f x
2. ( ) ( ) ( )
x X F x x
13
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử Plà một tập con được sắp toàn phần của Sthì cận trên
của nó là phiếm hàm có miền xác định bằng hợp các miền xác
định của tất cả các phiếm hàm thuộc Pvà có giá trị bằng với
giá trị của từng phiếm hàm gtrên miền xác định của g.
Theo bổ đề Zorn, Scó phần tử tối đại F.
Flà hàm cần tìm.
15
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
cần chọn sao cho
0 0
| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |
sup
inf
F
F
x D
y D
F y y x x x F x
vì Flà hàm tuyến tính nên có thể chọn được
( ) ( ) ( ) ( )
F x y F x F y x y
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
F x F y x x y x
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
F y y x x x F x
Vậy htrội hơn F, mâu thuẫn với Flà phần tử tối đại ■.
16
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho Evà Flà hai không gian định chuẩn.
L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ Evào F.
( ( , )) || || inf{ : ( ) , }
f L E F f k f x kx x F
0 || || 1 || || 1
|| ( ) ||
2. || || || ( )|| || ( )||
sup sup sup
|| ||
x x x
f x
f f x f x
x
1. Hàm là một chuẩn trong L(E,F).
|| ||
f f
Định lý
17
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ quả 1
Với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian
f
con Mcủa không gian định chuẩn Eđều tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục Ftrên Esao cho
1. | ;
M
F f
2. || || || ||
F f
18
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Để sử dụng định lý Hahn-Banach, ta xây dựng sơ chuẩn
( ) ( ) || || || ||
x E x f x
1. Cần kiểm tra là một sơ chuẩn
2. ( ) | ( ) | || || || || ( )
x M f x f x x
Tồn tại phiếm hàm tuyến tính , sao cho và
:
F E R
|
M
F f
( ) | ( ) | ( ) || ||.|| ||
x E F x x f x
Suy ra F(x) liên tục và
0 0
|| ( )|| || ||.|| ||
|| || sup || || || ||
sup sup
|| || || ||
x x
F x f x
F f f
x x
Mặt khác
( ) ( ) ( ) || || || ||
x M F x f x F f
Vậy ||F|| = ||f||
19
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ quả 2
Giả sử Mlà không gian con của không gian định chuẩn Evà
Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục Ftrên E,
sao cho
\ : ( , ) inf || || 0
x M
v E M d v M v x
1. ( ) ( ) 0
x M F x
2. ( )
F v
3. || || 1
F
20
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Đặt
,
G M v
:
g G R
( )
g x v

0 ( ) 0
g x
0: || || | |.|| ( )|| | |.
x
x v v
| ( )| | | || ||
g x v x v
lieân tuïc t
su
re
y ra .
ân
g G