Giải tích hàm nâng cao
31
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 7
Cho vlà một véctơ của không gian định chuẩn E.Chứng minh
rằng
*,|| || 1
|| || sup | ( )|
f X f
v f v
Hướng dẫn.Sử dụng bài tập 1.
32
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 8
Cho x, y là hai véctơ của không gian định chuẩn E.Chứng
minh rằng nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục fxác định
trên Eta đều có f(x)= f(y) thì x = y.
Hướng dẫn.Sử dụng bài tập 1.
34
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho họ véctơ độc lập tuyến tính của không
gian định chuẩn E, là những số thực. Chứng minh
rằng tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục Ftrên Esao cho
Bài tập 10
( 1,2,..., ) ( ) .
k k
k m F x c
1 2
m
M x x x
1 2
, ,...,
m
c c c
35
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Tương tự hoàn toàn, ta tìm được
1 2
( ) ,...,
m
L M x x

Xét
1 1
( , ( )) 0
d x L M
vì Mđộc lập tuyến tính nên
*
1 1 1 1 1
( ) ( ) 1; ( ) 0
f E f x f L
Theo hệ quả 3,
*
: ( ) 1; ( ) 0; 2,3,...,
k k k k k
f E f x f L k m
Khi đó phiếm hàm cần tìm là
1 1 2 2
...
m m
f c f c f c f
36
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
{ | ( ) }
H x E f x R
Một siêu phẳng là tập hợp có dạng
trong đó f là dạng tuyến tính.
Cho phiếm hàm tuyến tính fthỏa:
ví dụ
(1,1,1) 1; (1,0,1) 2; (1,1,0) 1
f f f
Khi đó các siêu phẳng là những
mặt phẳng.
3
{ | ( ) }
H x R f x R
37
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
( 0 1; , ) (1 ) .
x y C x y C
Một tập hợp Ctrong không gian tuyến tính Xđược gọi là lồi
nếu
Tập hợp các điểm có dạng:
(1 ) ; 0 1
a b
được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm avà b.
Một tập hợp được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối
hai điểm bất kỳ của nó.
38
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1) Trong R3, hình tứ diện, hình lập phương, hình cầu là những
tập hợp lồi.
ví dụ
2) Trong không gian tuyến tính định chuẩn mỗi hình cầu tâm a,
bán kính rlà một tập hợp lồi.
Hướng dẫn.
( , ( , )) || (1 ) ||
x y B a r x y a
|| ( ) (1 )( )|| || || (1 )|| ||
x a y a x a y a
(1 )
r r r
40
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho A và B là hai tập hợp con của không gian định chuẩn E.
Ta nói siêu phẳng tách A và B theo
Định nghĩa
{ | ( ) }
H x E f x R
nghĩa rộng,nếu
( ) ( ) ( ) ( )
x A f x x B f x
Ta nói siêu phẳng tách A và B theo
Định nghĩa
{ | ( ) }
H x E f x R
( ) ( ) ( ) ( )
x A f x x B f x
nghĩa chặt,nếu sao cho
0