Giải tích hàm nâng cao
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x E p x
) (
inf{
}
)
Bổ đề 1 (dung lượng của tập hợp lồi)
1 x C 0,
Giả sử C là tập hợp lồi, mở, chứa véctơ không của không gian định chuẩn E. (
1) ( ) p x ( ), 0 Khi đó hàm p thỏa p x
M
3) toàn taïi
sao cho:
a
x E
||
)
||
) ( b C )
) 0 ( x E p x :
(
{
p x M x ) 1}
41
p x y 2) ( ) p x ( ) p y ( )
Chứng minh bổ đề 1 p x (
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Neáu
y 0 vaø
, ta coù
x
C
C
p y (
)
inf{
0 :
}
inf{
0 :
}
y
x
C
C
inf{
0 :
}
0 :
}
'
' inf{
1) ( ) ), 0 p x
y '
y '
vaäy (
)
p x (
)
p x
42
( )p x
y
p x ( )
p y (
)
2) (
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- p x )
p
(
p x (
) 1
x p x ( )
1 p x ) (
)
C
vaø
C
(
y p y )
(
x p x )
C
Suy ra, (
[0,1])
t
tx p x ( )
t y (1- ) p y ( )
C
t choïn
ta coù
p x (
y p y (
p x ( )
p x ( ) p y ( )
) 2
x
) 2
, , 0. Töø (1) vaø (3b), ta coù x y E
y y p x ( ) p x ( ) p y ( p x ( ) p x ( ) ) ) 2 p y ( 44
Chứng minh bổ đề 2 1) Giaû söû 0 C
Xeùt G Rx
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0
g G R g tx
t
, (
:
)
0
g x
Kieåm tra (
)
p x (
)
E
g
f Theo ñònh lyù Hahn-Banach, toàn taïi
treân
, khuyeách cuûa
p C Xeùt dung löôïng cuûa .
f
lieân tuïc do boå ñeà 1, 3a)
vaø (
) 1.
f x 0
x C f x
Töø boå ñeà1, 3b) suy ra (
) (
) 1
46
x E f x sao cho ( ) ( ) p x ( ),
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ nhất)
47
Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của không gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng.
Chứng minh Đặt C = A\B.
1) Kiểm tra C lồi 2) Kiểm tra C mở
3) Kiểm tra 0 C
Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
z C f z
) ( ) 0
(
f x
)
f y (
)
Cố định
, với
R
inf y B
sup ( x A
tách A và B theo
{
(
f x ) }
Khi đó siêu phẳng của phương trình nghĩa rộng.
48
) ( , ) f y ( ) ( x A y B f x
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ hai)
49
Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của không gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng.
Chứng minh Vôùi
0, ñaët
A B
(0, )
B B
(0, )
A B
1) Kiểm tra
lồi.
2) Kiểm tra
mở, không trống.
A A
B vaø B vaø
3) Kiểm tra
rời nhau.
A
tách A và
{
(
f x ) }
B vaø Khi đó tồn tại siêu phẳng của phương trình B theo nghĩa rộng.
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f
f
f x ( )
||
f y (
)
||
||
||
Vậy
tách A và B theo nghĩa hẹp.
50
{
f x (
)
0
f } ;
f x z , , (0,1)) ( f y ( ) ( x A y B z B ) z
3. Định lý Banach - Steihauss. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho X là không gian mêtrix đủ, không trống.
x
Bổ đề Baire
X
X
Giả sử là dãy các tập hợp đóng sao cho
n
n 1
Khi đó tồn tại
sao cho
int
0.
1 n n 0n
nX
0
51
3. Định lý Banach - Steihauss. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho E, F là hai không gian Banach.
Định lý Banach - Steihauss
là họ các toán tử
i T i I
) ||
.
T x ( i
sup || I i
T
.
Khi đó
i
|| L E F
(
,
)
sup || I i
52
tuyến tính liên tục từ E vào F sao cho
