Giải tích hàm nâng cao
41
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử Clà tập hợp lồi, mở, chứa véctơ không của không gian
định chuẩn E.
Bổ đề 1 (dung lượng của tập hợp lồi)
1
( ) ( ) inf{ 0, }
x E p x x C
Khi đó hàm pthỏa
2) ( ) ( ) ( )
p x y p x p y
1) ( ) ( ), 0
p x p x
3) toàn taïi sao cho:
M
) ( ) 0 ( ) || ||
) { : ( ) 1}
a x E p x M x
b C x E p x
42
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh bổ đề 1
1) ( ) ( ), 0
p x p x
Neáu 0 vaø , ta coù
y x
( ) inf{ 0: }
y
p y C
inf{ 0: }
x
C
''
inf{ 0: }
y
C
''
inf{ 0: }
y
C
( )
p x
vaäy ( ) ( )
p x p x
44
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
, , 0. Töø (1) vaø (3b), ta coù
x y E
2) ( ) ( ) ( )
p x y p x p y
(1- )
Suy ra, ( t [0,1]) ( ) ( )
tx t y
C
p x p y
1
( ) ( ) 1
( ) ( )
x
p p x
p x p x
( )
x
C
p x
vaø ( )
y
C
p y
( )
choïn
( ) ( ) 2
p x
tp x p y
ta coù ( ) ( ) 2
x y
C
p x p y
( ) ( ) ( ) 2
p x y p x p y
( ) ( ) ( )
p x y p x p y
46
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh bổ đề 2
Xeùt dung löôïng cuûa .
p C
1) Giaû söû 0
C
0
: , ( )
g G R g tx t
Kieåm tra ( ) ( )
g x p x
0
Xeùt
G Rx
Theo ñònh lyù Hahn-Banach, toàn taïi tr
eân , khuyeách cuûa
f E g
sao cho ( ) ( ) ( ),
x E f x p x
lieân tuïc do boå ñeà 1, 3a)
f
0
vaø ( ) 1.
f x
Töø boå ñeà1, 3b) suy ra ( ) ( ) 1
x C f x
47
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho Avà Blà hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của
không gian định chuẩn E, Alà tập mở. Khi đó tồn tại siêu
phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng.
Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ nhất)
48
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh Đặt C = A\B.
1) Kiểm tra Clồi 2) Kiểm tra Cmở 3) Kiểm tra
0
C
Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Esao cho
( ) ( ) 0
z C f z
( , ) ( ) ( )
x A y B f x f y
Cố định ,với
R
sup ( ) inf ( )
y B
x A
f x f y
Khi đó siêu phẳng của phương trình tách Avà Btheo
nghĩa rộng.
{ ( ) }
f x
49
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho Avà Blà hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của
không gian định chuẩn E, Alà tập mở. Khi đó tồn tại siêu
phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng.
Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ hai)
50
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(0, )
B B B
Chứng minh
Vôùi 0, ñaët (0, )
A A B
1) Kiểm tra lồi.
vaø
A B
2) Kiểm tra mở, không trống.
vaø
A B
3) Kiểm tra rời nhau.
vaø
A B
Khi đó tồn tại siêu phẳng của phương trình tách Avà
Btheo nghĩa rộng.
{ ( ) }
f x
( , , (0,1)) ( ) ( )
x A y B z B f x z f y z
( ) || || ( ) || ||
f x f f y f
Vậy tách Avà Btheo nghĩa hẹp.
{ ( ) }; 0
f x f
51
3. Định lý Banach - Steihauss.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho Xlà không gian mêtrix đủ, không trống.
Bổ đề Baire
Giả sử là dãy các tập hợp đóng sao cho
1
n
n
x
1
n
n
X X
Khi đó tồn tại sao cho
0
n
0
int 0.
n
X
52
3. Định lý Banach - Steihauss.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho E, F là hai không gian Banach. là họ các toán tử
Định lý Banach - Steihauss
tuyến tính liên tục từ Evào Fsao cho
i
i I
T
Khi đó
sup|| ( ) || .
i
i I
T x
( , )
sup|| || .
i L E F
i I
T