Vuihoc24h.vn
Bài toán 1: Cho a,b,c dương và abc=1. CMR:
1 1 1
1 1 1 1
a b c
b c a
 
+ − + − + − ≤
 
 
GIẢI
Ta thay ; ;
x y z
abc
y z x
= = =
thì BĐT cần chứng minh trở thành:
()( )( )1
()( )( )
x y z y z x x z y
xyz
x y z y z x x z y xyz
+ − + − + − ≤
⇔ + − + − + − ≤
Đến đây công việc còn lại xin nhường cho bạn đọc.
NX: Do
1
=
nên luôn tồn tại các số x,y,z thoả mãn phép thế trên , trong đó điều kiện x,y,z phụ thuộc
vào điều kiện của a,b,c.Không những vậy từ bài toán trên ta có thể thấy được lợi ích của việc sử dụng
phép thế: nó giúp ta giải quyết bài toán nhanh chóng mà nhiều khi nó còn giúp ta phát hiện ra nguồn gốc
của bài toán ban đầu. Chẳng hạn với 2 bài toán sau:
Bài toán 2:
1. Cho a,b,c dương và abc=1. CMR:
1 1 1 3
(1) (1) (1) 2
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
2. Cho x,y,z,t dương và xyzt=1. CMR:
2 2 2 2
1 1 1 1 4
( ) ( ) ( ) ( ) 3
xyz zt ty yxz zt tx zxy xt ty txy yz xz
+ + + ≥
+ + + + + + + +
GIẢI:
1. Đặt ; ;
x y z
abc
y z x
= = =
khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau:
1 1 1
2
1 1 1
3
2
x y y z z x
y z z x x y
yz xy xz
xy xz xz yz xy yz
+ + ≥
+ + +
+ + ≥
+ + +
BĐT trở lại dạng Nesbit, bạn đọc tự chứng minh.
2. Với bài toán này bạn đọc tự giải.Gợi ý nguồn gốc bài toán:
3
a b c d
b c d a c d a b d a b c
+ + + ≥
+ + + + + + + +
BL1: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:
1 1 1 3
(1) (1) (1) 2
a a b b c c
+ + ≥
+ + +
BL2: Cho a,b,c dương. CMR:
1
2 2 2
b c a
a b b c c a
+ + ≤
+ + +
BL3: Cho a,b,c dương và abc=1. CMR:
3 3 3
1
8c 1 8 1 8 1
a b c
a b
+ + ≥
+ + +
V.Kĩ thuật hệ số bất định – phương pháp chọn phần tử lớn nhất, nhỏ nhất:
ｷｷｷＮｶｵｩｨｯ｣ＲＴｨＮｶｮ＠Ｍ＠ｋ￪ｮｨ＠ｨ󰹮｣＠ｴ󰹎ｰ＠ｏｮｬｩｮ･
www.vuihoc24h.vn - Kênh học tập Online
Vuihoc24h.vn
1. Kĩ thuật hệ số bất định
Kĩ t h u ật này thườn g được sử dụn g đối v ới b ất đẳn g t h ức không đối x ứng. Sau đây là một số ví dụ:
Lớp bài toán thứ nhất:
Bài toán 1: Cho x,y,z là các số dương.CMR:
1. 2 2 2
x y z xy yz x z
+ + ≥ + +
2. 2 2 2
6 3 5 4 8 2
x y z xy xz yz
+ + ≥ + +
GIẢI:
1. Bài toán này chắc hẳn là quá quen thuộc với các bạn, nó cũn g đã có khá nhiều trong các cuốn sách về
BĐT. Sau đây là lời g i ải c ủa bài toán này:
2 2
2 2
2 2
2
x y xy
y z yz
x z xz
+ ≥
+ ≥
+ ≥
2 2 2
2( ) 2( )
x y z x y yz x z
⇒ + + ≥ + + ⇒
đpcm
2. Ta giải bài toán trên như sau:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 3 5 2( ) 4( )
A x y z x y x z y z
= + + = + + + + +
Đến đây ta áp dụn g B ĐT Cauchy ta có:
2 2
2 2
2 2
2( ) 4
4( ) 8
2
x y xy
x z xz
y z y z
+ ≥
+ ≥
+ ≥
4 8 2
Axy xz yz
⇒ ≥ + +
LB: Chắc hẳn các bạn sẽ thắc mắc cách giải của câu 2, không hiểu vì sao lại tách ra được như vậy. Sau
đây là bí mật của cách giải:
Ta đưa các tham số m,n,p vào biểu thức như sau:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m x y n x z p y z m n x m p y n p z
+ + + + + = + + + + +
Ta đồng nhất các hệ số với biểu thức ban đầu:
5
m n
m p
n p
+=
2 , 4 , 1
m n p
⇒ = = =
. Khi đó tức là ta sẽ tách biểu thức ban đầu như sau:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 3 5 2( ) 4( )
A x y z x y x z y z
= + + = + + + + +
Nội dung của kĩ thuật hệ số bất định:
Giả sử ta cần chứng minh BĐT:
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
aA x y z bB x y z cC x y z dD x y z eE x y z fF x y z
+ + ≥ + +
trong đó x,y,z là các ẩn. Ta đưa vào các tham số m,n,p; nghĩa là ta có:
[
]
[
]
[
]
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
m A x y z B x y z n B x y z C x y z p A x y z C x y z
+ + + + +
( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , )
m p A x y z m n B x y z n p C x y z
= + + + + +
Ta đồng nhất thức, khi đó ta có hệ:
m p a
n p c
+=
; ;
2 2 2
a b c b c a a c b
m n p
+ − + − + −
⇒ = = =
Sau đó ta tìm cách chứng minh:
Vuihoc24h.vn
[ ]
[ ]
[ ]
( , , ) ( , , ) ( , , )
2
( , , ) ( , , ) ( , , )
2
( , , ) ( , , ) ( , , )
2
a b c
A x y z B x y z dD x y z
b c a
B x y z C x y z eE x y z
a c b
A x y z C x y z fF x y z
+−
+ ≥
+ − + ≥
+ − + ≥
Lưu ý biểu thức vế trái của BĐT cần c h ứng minh có thể là một số. Sau đây là một áp dụn g c ủa kĩ t h u ật
này trong bài toán lượng giác:
Bài toán 2: Cho tam giác ABC. CMR:
1.
sin sin 2cos
2
C
A B+≤
2.
sin sin sin c o s cos cos
222
ABC
A B C+ + ≤ + +
3.
7sin 5sin 8sin 4cos 6cos 10cos
2 2 2
C A B
A B C+ + = + +
Xác định hình dạn g c ủa tam giác ABC.
GIẢI
1. Ta có:
sin sin 2cos sin 2sin 2cos
2 2 2 2
A B A B A B C
A B
− + +
+ = ≤ = (1)
Do
(
]
( )
sin 0 ; c o s 1 , , 0 ;
2 2
A B A B A B C
π
+ −
> ≤ ∀ ∈
2. Tươn g t ự ta có các BĐT sau:
sin sin 2cos
2
A
B C+ ≤ (2)
sin sin 2cos
2
B
A C+ ≤ (3)
Cộng (1); (2) và (3) ta có:
sin sin sin c o s cos cos
2 2 2
ABC
A B C+ + ≤ + +
Đẳn g t h ức xảy r a
3
A B C
π
⇔ = = = ⇔∆đều.
3. Đến câu 3 ta không thể sử dụn g t r ực tiế p như câu 2 mà phải s ử dụn g k ĩ t h u ật hệ số bất định như sau:
(sin sin )( s i n sin )(sin sin )
()sin ()sin ()sin
m A B n B C p A C
m p A m n B n p C
+ + + + +
= + + + + +
Đồng nhất hệ số ta có:
8
m p
m n
n p
+=
2 ; 3 ; 5
m n p
⇒ = = =
K h i đó ta có:
2(sin sin )3 ( s i n sin )5 ( s i n sin )
A B B C A C
+ + + + +
Sử dụng các BĐT (1);(2) và (3) ta suy ra đpcm.
Đẳn g t h ức xảy ra khi tam giác ABC đều.
BL1:Cho x,y,z là các số dương.CMR:
1. 2 2 2
15 11
12 14 10
2 2
x y z xy yz xz
+ + ≥ + +
2. 3 3 3
13 7 10 10 4 16
a b c ab ab bc bc ca ca
+ + ≥ + +
Vuihoc24h.vn
BL2: Xác định hình dạn g c ủa tam giác ABC:
1.
8cos 7cos 9cos 6sin 8sin 10sin
2 2 2
C A B
A B C+ + = + +
2. 38 23 4
tan 19 tan tan 24cot 14cot cot
3 3 2 2 3 2
C A B
A B C+ + = + +
3. 523 9 8
cot cot c o t tan 2tan 3tan
2 10 5 5 2 2 2
A B C
A B C+ + = + +
Lớp bài toán thứ hai:
Bài toán 1: Cho a,b,c không âm và
3
a b c
+ + =
. Tìm GTLN của
4 8 6
A ab bc ca
= + +
GIẢI
Đưa tham số m,n,p sử dụn g k ĩ t h u ật hệ số bất định ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ma b c nb c a pc a b m n ab n p bc m p ca
+ + + + + = + + + + +
Đồng nhất hệ số ta có:
6
mn
n p
mp
+=
1 ; 3 ; 5
m n p
⇒ = = =
K h i đó biểu thức A trở thành:
( ) 3 ( ) 5 ( ) (3 ) 3 ( 3 ) 5 (3 )
A a b c b c a c a b a a b b c c
= + + + + + = − + − + −
2 2 2
81 3 3 3
3 5
4 2 2 2
a b c
= − − + − + −
Đặt
3 3 3
; ;
2 2 2
x a y b z c
= − = − = −
9 3
2 2
x y z a b c
⇒ + + ≥+ + −=
Bài toán qui về việc tìm GTLN của
( )
2 2 2
81
3 5
4
A x y z
= − + + với
2
x y z
+ + ≥
. Nghĩ a là ta phải tìm
GTNN của
2 2 2
3 5
x y z
+ + với
2
x y z
+ + ≥
Đến đây ta sử dụn g k ĩ t h u ật cân bằn g h ệ số để giải quyế t.
Đ/Án: max A
23
=
12 27 30
; ;
23 23 23
x y z⇔ = = =
Bài toán 2: Cho a,b,c dương . CMR:
15 5 5 3 5 3
4 6 2 10 4 20 2
c a b a b c a b c
a b a c b c
− − + + + −
+ + ≥
+ + +
GIẢI
Ta đưa vào biểu thức các tham số m,n,p như sau:
15 5 5 3 5
4 6 2 10 4 20
(4 1 ) (6 1 ) 15 (2 1 ) 5(5 10 ) 3 ( 1 4 ) (20 5 )
4 6 2 10 4 20
c a b a b c a b c
m n p
a b a c b c
a m b m c a n b c n a p b c p
a b a c b c
− − + + + −
+ + + + +
+ + +
− + − + + + + + + + + −
= + +
+ + +
Ta cần tìm m,n,p sao cho :
4 1 2 1 3
6 1 5 1 4
15 5 10 20 5
m n
m p
n p
− = + =
− = = +
= + = −
1 , 1 , 1
m n p
⇒ = = =
Vuihoc24h.vn
( ) ( ) ( )
3 5 15 3 5 15 3 5 15 3
4 6 2 10 4 20
1 1 1 9 3
3 5 15 3 3 5 15 3
4 6 2 10 4 20 2 3 5 15 2
a b c a b c a b c
a b a c b c
a b c a b c
a b a c b c a b c
+ + + + + +
+ + −
+ + +
⇔ + + + + − ≥ + + − =
+ + + + +
LB: Qua lời giải của các bài toán trên ta có thể thấy được lợi ích của việc dùng kĩ thuật hệ số bất định
trong các bài toán bất đẳng thức không đối xứng. Nó giúp chúng ta giải thích được những lời giải thiếu
tự nhiên.
BL1: Cho a,b,c không âm và
1
a b
c+ + =
. Tìm GTLN của
3 5 4
A ab bc ac
= + +
BL2: Cho a,b,c không âm và
2
a b c
+ + =
. Tìm GTLN của
5 7 8
A ab bc ac
= + +
BL3: Cho a,b,c là các số dương. CMR:
3 5 3 2 2
1
4 3 2 2 4
c b b c a a b c
a b a c b c
− + − + +
+ + ≥
+ + +
BL4: Cho a,b,c là các số dương.CMR:
4 3 3
5
c a b b c
a b b c a c
+ −
+ + ≥
+ + +
2. Phương pháp chọn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
Đối v ới p h ương pháp này ta cần chú ý một số nhận xét sau:
- Với B ĐT đối x ứng ( hoán vị b ất kì ) của các biế n
(
)
1 ,
i
a i n
=, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
1 2 ＮＮＮＮ
n
a a a
≥≥≥
- Với B ĐT hoán vị vòng quanh của các biế n
(
)
1 ,
i
a i n
=, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
(
)
1 1 2
m i n ,,...
n
a a a a
= hoặc
(
)
1 2
m a x ,,...
n
a a a a
=
Bài toán 1: Cho a,b,c là các số dương. CMR:
( ) ( ) ( )
ab bc ca abc
c c a a a b b b c c a a b b c
+ + ≥ + +
+ + + + + +
GIẢI
Do BĐT có tính hoán vị vòng quanh nên ta giả sử:
max( , , )
a
abc=. Ta đưa BĐT cần c h ứng minh về
dạng sau:
( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
c c a a a b b b c
− − −
+ + ≥
+ + +
Ta chia ra thành 2 trườn g h ợp sau:
TH1:
0
abc
≥ ≥ >
. Khi đó ta có:
( ) 0 ; ( ) ( )
( ) 0 ; ( ) ( )
a b c c c a a a b
c a b b b c a a b
− ≥ + ≤ +
− ≥ + ≤ +
Suy ra:
( ) ( )
( ) ( )
a b c a b c
c c a a a b
− −
≥
+ +
v à
( ) ( )
( ) ( )
c a b c a b
b b c a a b
− −
≥
+ +
. Do đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
c c a a a b b b c a a b
− − − − + − + −
+ + ≥ =
+ + + +
TH2:
0
a c b
≥ ≥ >
. Khi đó ta có:
( ) 0 ; ( ) ( )
( ) 0 ; ( ) ( )
a b c c c a b b c
c a b a a b b b c
− ≤ + ≥ +
− ≤ + ≥ +
Suy ra:
( ) ( )
( ) ( )
a b c a b c
c c a b b c
− −
≥
+ +
v à
( ) ( )
( ) ( )
b c a b c a
a a b b b c
− −
≥
+ +
.Do đó: