Giáo trình Đại số và hình học giải tích 1, 2 - Tạ Lê Lợi

Chia sẻ: Bui Ngoc Ngu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:156

Thêm vào BST

Báo xấu

326
lượt xem 68
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số và hình học giải tích 1 - 2 là cuốn giáo trình đại cương dành cho chuyên ngành toán tin học. Nội dung của cuốn giáo trình bao gồm 2 phần trong đó phần 1 bao gồm 5 chương, phần 2 gồm 4 chương. Cùng tham khảo để nắm các nội dung chính của cuốn giáo trình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Đại số và hình học giải tích 1, 2 - Tạ Lê Lợi

ÑAÏI SOÁ VAØ HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH 1-2 Giaùo trình Ñaïi hoïc Ñaïi cöông Ngaønh Toaùn-Tin hoïc Taï Leâ Lôïi - Ñaïi Hoïc Ñaølaït - - 2005 -
Ñaïi soá vaø Hình hoïc giaûi tích 1-2 Taï Leâ Lôïi Muïc luïc Phaàn I: Chöông 0. Kieán thöùc chuaàn bò 1. Caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Tröôøng soá phöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Ña thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chöông I. Khoâng gian vector hình hoïc 1. Vector hình hoïc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Cô sôû Descartes - Toïa ñoä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. Coâng thöùc ñaïi soá cuûa caùc pheùp toaùn treân vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chöông II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss 1. Ma traän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. Caùc pheùp toaùn treân ma traän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3. Phöông phaùp khöû Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chöông III. Khoâng gian vector 1. Khoâng gian vector - Khoâng gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. Cô sôû - Soá chieàu - Toïa ñoä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3. Toång - Tích - Thöông khoâng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Chöông IV. AÙnh xaï tuyeán tính 1. AÙnh xaï tuyeán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2. AÙnh xaï tuyeán tính vaø ma traän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3. Khoâng gian ñoái ngaãu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Chöông V. Ñònh thöùc 1. Ñònh thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2. Tính chaát cuûa ñònh thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3. Tính ñònh thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4. Moät soá öùng duïng cuûa ñònh thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Phaàn II: Chöông VI. Cheùo hoùa 1. Chuyeån cô sôû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2. Vector rieâng - Gía trò rieâng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3. Daïng ñöôøng cheùo - Cheùo hoùa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Chöông VII. Khoâng gian vector Euclid 1. Khoâng gian vector Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2. Moät soá öùng duïng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3. Toaùn töû tröïc giao - Ma traän tröïc giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4. Toaùn töû ñoái xöùng - Cheùo hoùa tröïc giao ma traän ñoái xöùng . . . . . . . . . . . . . . . 109 Chöông VIII. Daïng song tuyeán tính - Daïng toaøn phöông 1. Daïng song tuyeán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2. Daïng toaøn phöông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3. Daïng chính taéc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Chöông IX. AÙp duïng vaøo hình hoïc 1. Caáu truùc affin chính taéc cuûa moät khoâng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2. Moät soá aùnh xaï affin thoâng duïng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3. Ñöôøng, maët baäc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Baøi taäp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
0. Kieán thöùc chuaån bò Chöông naøy neâu ñònh nghóa veà caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn laø nhoùm, vaønh vaø tröôøng. Phaàn tieáp theo laø moät soá kieán thöùc toái thieåu veà soá phöùc vaø ña thöùc. 1. Caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn 1.1 Ñònh nghóa. Cho A laø moât taäp hôïp. Moät pheùp toaùn hai ngoâi treân A laø moät aùnh xaï: :A×A→A Khi ñoù aûnh cuûa caëp (x, y) ∈ A × A bôûi aùnh xaï seõ ñöôïc kyù hieäu laø x y • Pheùp toaùn goïi laø coù tính keát hôïp neáuu1 (x y) z = x (y z), ∀x, y, z ∈ A • Pheùp toaùn goïi laø coù tính giao hoaùn neáuu x y = y x, ∀x, y ∈ A • Phaàn töû e ∈ A, goïi laø phaàn töû ñôn vò , neáuu x e = e x = x, ∀x ∈ A Khi vieát theo loái coäng + thì phaàn töû ñôn vò goïi laø phaàn töû khoâng vaø kyù hieäu laø 0. Khi vieát theo loái nhaân · thì phaàn töû ø kyù hieäu laø 1. • Giaû söû pheùp toaùn coù phaàn töû ñôn vò e. Khi ñoù x ∈ A goïi laø khaû nghòch neáuu toàn taïi x ∈ A sao cho: x x = x x = e. Khi ñoù x phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x. Khi vieát theo loái coäng, thì phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x goïi laø phaàn töû ñoái vaø kyù hieäu 1 laø −x. Khi vieát theo loái nhaân, thì phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x kyù hieäu laø x−1 hay . x Nhaän xeùt. Phaàn töû ñôn vò neáu coù laø duy nhaát: Neáu e1 , e2 laø hai phaàn töû ñôn vò, thì e1 = e1 e2 = e2 . Nhaän xeùt. Neáu coù tính keát hôïp, thì phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x neáu coù laø duy nhaát: Neáu x , x laø hai phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x, thì x = x e = x (x x ) = (x x) x = e x =x . Baøi taäp: Haõy xeùt caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân treân A := N, Z, Q, R coù tính chaát gì? Coù phaàn töû ñôn vò? Coù phaàn töû nghòch ñaûo? 1.2. Nhoùm. Moät nhoùm laø moät caëp (G, ), trong ñoù G laø moät taäp hôïp khoâng roãng, coøn laø moät pheùp toaùn hai ngoâi treân G, thoaû caùc ñieàu kieän sau: (G1) coù tính keát hôïp. (G2) coù phaàn töû ñôn vò. (G3) Moïi phaàn töû cuûa G ñeàu coù phaàn töû nghòch ñaûo. Nhoùm G ñöôïc goïi laø nhoùm giao hoaùn hay nhoùm Abel neáu: (G4) coù tính giao hoaùn. Ngöôøi ta thöôøng noùi nhoùm G thay vì (G, ) khi ñaõ ngaàm hieåu pheùp toaùn naøo. Qui öôùc naøy cuõng duøng cho khaùi nieäm vaønh, tröôøng tieáp sau. 1 Trong giaùo trình naøy: neáuu = neáu vaø chæ neáu.
2 Ví duï. a) Taäp N vôùi pheùp coäng khoâng laø nhoùm vì khoâng chöùa phaàn töû ñoái. Taäp Z, Q, R laø nhoùm giao hoaùn vôùi pheùp coäng, nhöng khoâng laø nhoùm vôùi pheùp nhaân vì 0 khoâng coù phaàn töû nghòch ñaûo. b) Taäp caùc song aùnh töø moät taäp X leân chính X laø moät nhoùm vôùi pheùp hôïp aùnh xaï. Noùi chung nhoùm naøy khoâng giao hoaùn. 1.3 Vaønh. Moät vaønh laø moät boä ba (R, +, ·), trong ñoù R laø moät taäp khoâng roãng, coøn + vaø · laø caùc pheùp toaùn treân R, thoaû caùc ñieàu kieän sau: (R1) (R, +) laø moät nhoùm giao hoaùn. (R2) Pheùp nhaân · coù tính keát hôïp. (R3) Pheùp nhaân coù tính phaân phoái veà hai phía ñoái vôùi pheùp coäng: x(y + z) = xy + xz vaø (y + z)x = yx + zx ∀x, y, z ∈ R Neáu pheùp nhaân coù tính giao hoaùn thì R goïi laø vaønh giao hoaùn. Ví duï. a) Z, Q, R vôùi pheùp coäng vaø nhaân laø caùc vaønh giao hoaùn. b) Zp caùc lôùp caùc soá nguyeân ñoàng dö theo moät soá p laø vaønh giao hoaùn vôùi pheùp coäng vaø nhaân ñöôïc ñònh nghóa: [m] + [n] = [m + n], [m][n] = [mn] 1.3 Tröôøng. Moät tröôøng laø moät vaønh giao hoaùn coù ñôn vò 1 = 0 vaø moïi phaàn töû khaùc khoâng cuûa K ñeàu coù phaàn töû nghòch ñaûo. Moät caùch ñaày ñuû, moät tröôøng laø boä ba (K, +, ·), trong ñoù K laø taäp khoâng roãng, + vaø · laø caùc pheùp toaùn treân K thoaû 9 ñieàu kieän sau vôùi moïi x, y, z ∈ K : (F1) (x + y) + z = x + (y + z) (F2) ∃0 ∈ K , x + 0 = 0 + x = x (F3) ∃ − x ∈ K , x + (−x) = −x + x = 0 (F4) x + y = y + x (F5) (xy)z = x(yz) (F6) ∃1 ∈ K, 1 = 0, x1 = 1x = x (F7) Khi x = 0, ∃x−1 ∈ K , xx−1 = x−1 x = 1 (F8) xy = yx (F9) x(y + z) = xy + xz Ví duï. a) Vaønh (Z, +, ·) khoâng laø tröôøng. (Q, +, ·), (R, +·) laø caùc tröôøng. b) Neáu p laø soá nguyeân toá, thì Zp laø moät tröôøng. Hôn nöõa, Zp laø taäp höõu haïn vaø vôùi moïi [n] ∈ Zp , [n] + · · · + [n] = [0]. p laàn Ñaëc soá cuûa moät tröôøng K, kyù hieäu char(K), laø soá töï nhieân döông beù nhaát sao
Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 3 cho 1 + · · · + 1 = 0. Neáu khoâng coù soá töï nhieân nhö vaäy, thì K goïi laø coù ñaëc soá 0. n laàn Ví duï. Q, R coù ñaëc soá 0, coøn Zp coù ñaëc soá p. Ta coù 1+1=0 trong Z2 ! 2. Tröôøng soá phöùc Treân tröôøng soá thöïc, khi xeùt phöông trình baäc hai ax 2 + bx + c = 0 tröôøng hôïp b2 − 4ac < 0 phöông trình voâ nghieäm vì ta khoâng theå laáy caên baäc hai soá aâm. Ñeå caùc phöông trình nhö vaäy coù nghieäm, ta caàn theâm vaøo taäp caùc soá thöïc caùc caên baäc hai cuûa soá aâm. Phaàn naøy ta seõ xaây döïng taäp caùc soá phöùc C laø môû roäng taäp soá thöïc R, treân ñoù ñònh nghóa caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân ñeå C laø moät tröôøng. Hôn nöõa, moïi phöông trình baäc hai, chaúng haïn x2 + 1 = 0, ñeàu coù nghieäm trong C. 2.1 Ñònh nghóa. Ta duøng kyù hieäu i, goïi laø cô soá aûo , ñeå chæ nghieäm phöông trình x2 + 1 = 0, i.e. i2 = −1. Taäp soá phöùc laø taäp daïng: C = {z : z = a + ib, vôùi a, b ∈ R} z = a + ib goïi laø soá phöùc, a = Rez goïi laø phaàn thöïc, b = Imz goïi laø phaàn aûo. z1 = z2 neáuu Rez1 = Rez2 , Imz1 = Imz2 . Ta xem R laø taäp con cuûa C khi ñoàng nhaát R = {z ∈ C : Imz = 0} Töø “soá aûo” sinh ra töø vieäc ngöôøi ta khoâng hieåu chuùng khi môùi phaùt hieän ra soá phöùc. Thöïc ra soá phöùc raát “thöïc” nhö soá thöïc vaäy. Ví duï. √ √ a) Soá phöùc z = −6 + i 2 coù phaàn thöïc Rez = −6, phaàn aûo Imz = 2. b) Ñeå giaûi phöông trình z 2 + 2z + 4 = 0, ta bieán ñoåi z 2 + 2z + 4 = (z + 1)√ + 3. 2 Vaäy phöông trình töông ñöông (z + 1)2 = −3. Suy ra nghieäm z = −1 ± i 3. Sau ñaây laø ñònh nghóa caùc pheùp toaùn vöøa thöïc hieän. 2.2 Caùc pheùp toaùn. Treân C coù hai pheùp toaùn ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: Pheùp coäng. (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) Pheùp nhaân. (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) Nhaän xeùt. Pheùp nhaân ñöôïc tính nhö nhaân caùc soá thoâng thöôøng vôùi chuù yù laø i 2 = −1. Meänh ñeà. Vôùi caùc pheùp toaùn treân C laø tröôøng soá. Meänh ñeà treân deã suy töø ñònh nghóa vôùi chuù yù laø: Pheùp coäng coù phaàn töû khoâng laø 0 = 0 + i0, phaàn töû ñoái cuûa z = a + ib laø −z = −a − ib. Pheùp nhaân coù phaàn töû ñôn vò laø 1 = 1 + i0, nghòch ñaûo cuûa z = a + ib = 0 laø 1 a b z −1 = = 2 2 −i 2 z a +b a + b2 a + ib Söï toàn taïi vaø vieäc tìm nghòch ñaûo ñöôïc thöïc hieän bôûi pheùp chia (c + id = 0) c + id
4 khi giaûi phöông trình a + ib = (c + id)(x + iy). Ñoàng nhaát phaàn thöïc, phaàn aûo ta coù cx − dy = a dx + cy = b a + ib ac + bd bc − ad Vaäy = 2 2 +i 2 c + id c +d c + d2 Pheùp lieân hôïp. z = a − ib goïi laø soá phöùc lieân hôïp cuûa z = a + ib. Tính chaát. z = z , z 1 + z2 = z1 + z2 , z 1 z2 = z1 z2 . ¯ ¯ ¯¯ Nhaän xeùt. Neáu z = a + ib, thì z z = a2 + b2 . Töø ñoù coù theå chia 2 soá phöùc baèng ¯ caùch nhaân soá lieân hieäp cuûa maãu, chaúng haïn 2 − 5i (2 − 5i)(3 − 4i) 6 − 23i + 20i2 −14 − 23i = = 2 − 42 i 2 = 3 + 4i (3 + 4i)(3 − 4i) 3 25 2.3 Bieåu dieãn soá phöùc. Sau ñaây laø moät soá bieåu dieãn khaùc nhau cuûa soá phöùc y T b z B ¨ ¨¨ r ¨¨ i ¨¨ T ¨¨ ¨¨¨ ϕ E x O a Daïng ñaïi soá. z = a + ib, a, b ∈ R, i2 = −1. Daïng hình hoïc. z = (a, b), a, b ∈ R. Trong maët phaúng ñöa vaøo heä toïa truïc Descartes vôùi 1 = (1, 0), i = (0, 1) laø 2 vector cô sôû. Khi ñoù moãi soá phöùc z = a + ib ñöôïc bieåu dieãn bôûi vector (a, b), coøn C ñöôïc ñoàng nhaát vôùi R2 . Trong pheùp bieåu dieãn naøy pheùp coäng soá phöùc ñöôïc bieåu thò bôûi pheùp coäng vector hình hoïc. Daïng löôïng giaùc. z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Bieåu dieãn soá phöùc z = (a, b) trong toïa ñoä cöïc (r, ϕ), trong ñoù r laø ñoä daøi cuûa z , ϕ laø goùc ñònh höôùng taïo bôûi 1 = (1, 0) vaø z trong maët phaúng phöùc. Ta coù: √ a = r cos ϕ r = |z| = a2 + b2 , goïi laø modul cuûa z b = r sin ϕ vaø ϕ = Arg z, goïi laø argument cuûa z a b Vaäy neáu z = 0, thì cos ϕ = √ 2 2 , sin ϕ = √ 2 2 . a +b a +b Ta thaáy ϕ coù voâ soá giaù trò sai khaùc nhau k2π, k ∈ Z, trong ñoù coù moät giaù trò ϕ ∈ (−π, π]
Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 5 goïi laø giaù trò chính vaø kyù hieäu laø argz . Vaäy coù theå vieát Argz = argz + k2π, k ∈ Z. √ √ Ví duï. z = 3 − i coù modul |z| = ( √3)2 + (−1)2 = 2, vaø argument argz = − π 3 (suy töø tan ϕ = √3 vaø Rez > 0). Vaäy 3 − i = 2(cos(− π ) + i sin(− π )). −1 3 3 Moãi caùch bieåu dieãn soá phöùc coù thuaän tieän rieâng. Sau ñaây laø moät soá öùng duïng. 2.4 Meänh ñeà. |z1 z2 | = |z1 ||z2 | vaø Arg(z1 z2 ) = Argz1 + Argz2 Suy ra coâng thöùc de Moivre (r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn (cos nϕ + i sin nϕ), n ∈ N Chöùng minh: Neáu z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ), thì z1 z2 = r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2 ) = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) Suy ra |z1 z2 | = r1 r2 = |z1 ||z2 |, vaø Arg(z1 z2 ) = ϕ1 + ϕ2 + 2kπ = Argz1 + Argz2 . Nhaän xeùt. Veà maët hình hoïc pheùp nhaân soá phöùc r(cos ϕ + i sin ϕ) vôùi soá phöùc z laø pheùp co daõn vector z tæ soá r vaø quay goùc ϕ. (xem hình veõ) 2.5 Caên baäc n cuûa soá phöùc. Cho z ∈ C vaø n ∈ N. Moät caên baäc n cuûa z laø moät soá phöùc w thoaû phöông trình w n = z . Ñeå giaûi phöông trình treân, bieåu dieãn z = r(cos ϕ + i sin ϕ) vaø w = ρ(cos θ + i sin θ). Töø coâng thöùc de Moivre ρn (cos(nθ) + i sin(nθ)) = r(cos ϕ + i sin ϕ). Suy ra √ ρ = nr (caên baäc n theo nghóa thöïc) nθ = ϕ + 2kπ, k ∈ Z Vaäy khi z = 0, phöông trình coù ñuùng n nghieäm phaân bieät: √ ϕ 2π ϕ 2π wk = n r(cos( + k ) + i sin( + k )), k = 0, · · · , n − 1. n n n n √ √ Khi z = 0, kyù hieäu n z laø taäp n caên baäc n cuûa z . 0 = 0. Veà maët hình hoïc√chuùng laø caùc ñænh cuûa moät ña giaùc ñeàu n caïnh, noäi tieáp ñöôøng troøn taâm 0 baùn kính n r.
6 T r(cos ϕ + i sin ϕ)z w2 s s ¢ w3 s sw1 ¢ ¢ ¢ s s w0 ¢ ¢ ϕ ¨ sz B ¢ ¨¨ ¢ ¨ s s ¨¨ ¢ E s O Nhaân r(cos ϕ + i sin ϕ) vôùi z w n = 1, vôùi n = 8 Ví duï. a) Caên baäc n cuûa 1 laø n soá phöùc: 1, ωn , · · · , ωn , vôùi √ n = cos 2π + i sin 2π √ n−1 ω n n b) Ñeå tìm caùc gía trò cuûa 1 + i, ta bieåu dieãn 1 + i = 2(cos π + i sin π ). 3 4 4 √ Suy ra 3 1 + i = 2 6 (cos( 12 + 2kπ ) + i sin( 12 + 2kπ )), k ∈ Z. 1 π π 3 3 Vaäy coù 3 giaù trò phaân bieät laø: 1 π π k = 0, w0 = 2 6 (cos( 12 ) + i sin( 12 )) 1 k = 1, w1 = 2 6 (cos( 3π ) + i sin( 3π )) = ω3 w0 4 4 1 k = 2, w2 = 2 6 (cos( 17π ) + i sin( 17π )) = ω3 w0 12 12 3. Ña thöùc 3.1 Ñònh nghóa. Cho K laø moät tröôøng. Moät ña thöùc treân K laø bieåu thöùc daïng P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n , trong ñoù n ∈ N, vaø ak ∈ K, k = 0, · · · , n, goïi laø heä soá baäc k cuûa P (X). Hai ña thöùc goïi laø baèng nhau neáuu moïi heä soá cuøng baäc cuûa chuùng baèng nhau. Neáu an = 0, thì n goïi laø baäc cuûa P (X) vaø kyù hieäu n = deg P (X), an = lcP (X). Neáu ak = 0 vôùi moïi k, thì P (X) goïi laø ña thöùc khoâng vaø qui öôùc deg(0) = −∞. n Ta thöôøng vieát döôùi daïng toång: P (X) = ak X k hay P = ak X k laø toång voâ haïn k=0 k nhöng chæ coù höõu haïn ak = 0. Kyù hieäu K[X] laø taäp moïi ña thöùc treân K . 3.2 Caùc pheùp toaùn treân ña thöùc. Treân K[X] coù hai pheùp toaùn coäng vaø nhaân ñònh nghóa nhö sau: Pheùp coäng: ak X k + bk X k = (ak + bk )X k k k k Pheùp nhaân: ( i ai X )( j bj X ) = ck X k vôùi ck = a0 bk + · · · + ak b0 = ai bj . i j k i+j=k Meänh ñeà. K[X] laø vôùi hai pheùp toaùn treân laø moät vaønh giao hoaùn. Baøi taäp: Chöùng minh meänh ñeà treân.
Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 7 Nhaän xeùt. deg P (X)Q(X) = deg P (X) + deg Q(X), vôùi moïi P (X), Q(X) ∈ K[X]. 3.3 Pheùp chia Euclid. Cho hai ña thöùc P0(X), P1(X) ∈ K[X], P1 (X) = 0. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát caùc ña thöùc Q(X), R(X) ∈ K[X], sao cho P0 (X) = Q(X)P1 (X) + R(X), deg R(X) < deg P1 (X) Ta goïi Q(X) laø thöông , R(X) laø phaàn dö cuûa pheùp chia P0 (X) cho P1 (X), vaø ñöôïc xaây döïng cuï theå theo thuaät toaùn sau: Thuaät toaùn chia Euclid. Input: P0 , P1 ∈ K[X], P1 = 0 Output: Q, R ∈ K[X], thoaû P0 = QP1 + R, deg R < deg P1 . Tröôùc heát cho R0 = P0 , Q0 = 0. Giaû söû ôû voøng laëp thöù k ta coù Qk , Rk ∈ K[X], thoaû P0 = Qk P1 + Rk Neáu nk = deg Rk − deg P1 < 0, thì ñaõ chia xong Q = Qk , R = Rk Neáu nk = deg Rk − deg P1 > 0, thì khöû heä soá baäc cao nhaát cuûa Rk baèng caùch: lc(Rk ) nk Rk+1 = Rk − X P1 lc(P1 ) lc(Rk ) nk Qk+1 = Qk + X lc(P1 ) Ta coù P0 = Qk+1 P1 + Rk+1 Do deg Rk+1 < deg Rk , neân ñeán voøng laëp thöù m ≤ deg P0 , ta coù deg Rm < deg P1 . Khi ñoù Q = Qm , R = Rm . Ví duï. Thuaät toaùn chia Euclid X 4 − 2X 3 − 6X 2 + 12X + 15 cho X 3 + X 2 − 4X − 4 coù theå thöïc hieän theo sô ñoà R0 = X 4 − 2X 3 − 6X 2 + 12X + 15 | X 3 + X 2 − 4X − 4 R1 = − 3X 3 − 2X 2 + 16X + 15 X −3 R2 = X 2 + 4X + 3 Vaäy X 4 − 2X 3 − 6X 2 + 12X + 15 = (X 3 + X 2 − 4X − 4)(X − 3) + X 2 + 4X + 3 Baøi taäp: Thöïc hieän pheùp chia P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n cho X − c. 3.4 Öôùc chung lôùn nhaát. Ña thöùc P (X) ∈ K[X] goïi laø chia heát cho ña thöùc D(X) ∈ K[X] neáuu toàn taïi ña thöùc A(X) ∈ K[X], sao cho P (X) = A(X)D(X). Khi ñoù D(X) goïi laø moät öôùc cuûa P (X) vaø kyù hieäu D(X)|P (X). Öôùc chung lôùn nhaát cuûa caùc ña thöùc P0 (X), P1(X) ∈ K[X], laø moät ña thöùc D(X) ∈ K[X], thoaû ñieàu kieän: D(X)|P0 (X), D(X)|P1 (X) vaø neáu C(X)|P0 (X), C(X)|P1 (X) thì C(X)|D(X) Khi ñoù kyù hieäu D(X) = GCD(P0 (X), P1 (X)) Nhaän xeùt. Öôùc chung lôùn nhaát ñöôïc xaùc ñònh sai khaùc moät haèng soá tæ leä. Nhaän xeùt. Neáu P0 = QP1 + R, thì GCD(P0 , P1 ) = GCD(P1 , R), vì öôùc chung cuûa
8 P0 , P1 laø öôùc chung cuûa P1 , R. Ngoaøi ra GCD(R, 0) = R, neân öôùc chung lôùn nhaát ñöôïc xaây döïng töø daõy phaàn dö cuûa thuaät chia Euclid, nhö sau: Thuaät toaùn tìm GCD. Input : P0 , P1 ∈ K[X], P0 , P1 = 0 Output : GCD(P0 , P1 ) vaø U, V ∈ K[X], thoaû U P0 + V P1 = GCD(P0 , P1 ) Xaây döïng daõy ña thöùc khaùc khoâng (P0 , P1 , P2 , · · · , Pm ), vôùi Pk laø phaàn dö cuûa pheùp chia Pk−2 cho Pk−1 : Pk−2 = Qk−1 Pk−1 + Pk (k = 2, · · · , m − 1) Pm−2 = Qm−1 Pm−1 + Pm Pm−1 = Qm Pm Theo nhaän xeùt treân ta coù GCD(P0 , P1 ) = GCD(Pm , 0) = Pm Thuaät toaùn coøn cho caùc daõy ña thöùc (U0 , · · · , Um ) vaø (V0 , · · · , Vm ), thoaû Pk = Uk P0 + Vk P1 , (k = 0, · · · , m) (∗) Tröôùc heát, khi k = 0, 1, ta phaûi coù U0 = 1, V0 = 0 vaø U1 = 0, V1 = 1. Sau ñoù ñeä qui Uk = Uk−2 − Qk−1 Uk−1 vaø Vk = Vk−2 − Qk−1 Vk−1 (k = 2, · · · m) Ta kieåm tra daõy thoaû (∗) baèng qui naïp. Giaû söû (∗) ñuùng ñeán k − 1. Khi ñoù Pk = Pk−2 − Qk−1 Pk−1 = (Uk−2 P0 + Vk−2 P1 ) − Qk−1 (Uk−1 P0 + Vk−1 P1 ) = (Uk−2 − Qk−1 )P0 + (Vk−2 − Qk−1 Vk−1 )P1 = Uk P0 + Vk P1 Khi U = Um , V = Vm ta coù U P0 + V P1 = Pm = GCD(P0 , P1 ). Vaäy ta coù: Ñaúng thöùc Beùzout. Cho P0(X), P1(X) ∈ K[X]. Khi ñoù toàn taïi U (X), V (X) ∈ K[X] sao cho GCD(P0 (X), P1 (X)) = U (X)P0 (X) + V (X)P2 (X) Ví duï. Vôùi P0 (X) = X 4 − 2X 3 − 6X 2 + 12X + 15 vaø P1 (X) = X 3 + X 2 − 4X − 4, caùc böôùc cuûa thuaät toaùn treân ñöôïc theå hieän qua baûng sau k Pk−2 Pk−1 Qk−1 Pk 2 X4 − 2X 3− 6X 2 + 12X + 15 X3 + X 2 − 4X − 4 X −3 X2 + 4X + 3 3 X 3 + X 2 − 4X − 4 X 2 + 4X + 3 X −3 5X + 5 1 3 4 X 2 + 4X + 3 5X + 5 5X + 5 0 5 5X + 5 0 U0 = 1, U1 = 0, U2 = 1, U3 = −X + 3, U4 = 1 X 2 − 4 , U5 = −X + 3 5 5 1 3 3 V0 = 0, V1 = 1, V2 = −X+3, V3 = X 2 −6X+10, V4 = − X 3 + X 2 + X−3, V5 = X 2 −6X+10 5 5 5
Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 9 Vaäy GCD(P0 , P1 ) = 5X + 5 vaø (−X + 3)P + 0 + (X 2 − 6X + 10)P1 = 5X + 5. 3.5 Nghieäm - Boäi. Cho ña thöùc P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X]. Giaù trò cuûa P (X) taïi c ∈ K ñònh nghóa laø P (c) = a0 + a1 c + · · · + an cn . Nhaän xeùt. Ñeå duøng ít pheùp toaùn khi tính P (c), ta coù qui taéc Horner sau P (c) = (· · · ((an c + an−1 )c + an−1 )c + · · · + a1 )c + a0 Neáu P (c) = 0, thì c goïi laø moät nghieäm cuûa P (X). Ñònh lyù Beùzout. c ∈ K laø nghieäm cuûa ña thöùc P (X) khi vaø chæ khi toàn taïi ña thöùc Q(X) ∈ K[X], sao cho P (X) = (X − c)Q(X) Chöùng minh: Theo pheùp chia Euclid P (X) = (X − c)Q(X) + r, vôùi r ∈ K . Suy ra P (c) = r. Vaäy P (c) = 0 khi vaø chæ khi r = 0 hay P (X) = (X − c)Q(X). Nhaän xeùt. Theo ñònh lyù treân, soá nghieäm cuûa moät ña thöùc baäc n laø khoâng quaù n. Phaàn töû c ∈ K goïi laø nghieäm boäi m cuûa P (X) neáuu P (X) = (X − c)mP1 (X), vôùi P1 (X) ∈ K[X] vaø P1 (c) = 0, i.e. P (X) chia heát cho (X − c)m, nhöng khoâng chia heát cho (X − c)m+1 3.6 Ña thöùc treân tröôøng phöùc. Ta coâng nhaän ñònh lyù sau Ñònh lyù cô baûn cuûa ñaïi soá. Moïi ña thöùc baäc > 0 treân tröôøng phöùc ñeàu coù nghieäm phöùc. Meänh ñeà. Moïi ña thöùc phöùc P (X) ∈ C[X], baäc n ñeàu coù n nghieäm phöùc keå caû boäi, i.e. toàn taïi caùc soá phöùc c1 , · · · , cs ∈ C, khaùc nhau, sao cho P (X) = an (X − c1 )m1 · · · (X − cs )ms trong ñoù an laø heä soá baäc n cuûa P (X), m1 + · · · + ms = n Chöùng minh: Theo ñònh lyù treân, neáu n > 0, P (X) coù nghieäm c 1 ∈ C. Theo ñònh lyù Beùzout P (X) = (X − c1 )P1 (X). Neáu deg P1 = n − 1 > 0, thì laëp lyù luaän treân cho P := P1 . Khi ñeán baäc 0, ta coù P (X) = (X − c1 ) · · · (X − cn )A, vôùi A laø soá. Ñoàng nhaát heä soá baäc cao nhaát cuûa ña thöùc 2 veá, ta coù an = A. 3.7 Ña thöùc treân tröôøng thöïc. Meänh ñeà. Cho ña thöùc thöïc P (X) ∈ R[X]. Khi ñoù (i) Neáu c ∈ C laø nghieäm cuûa P (X), thì soá phöùc lieân hôïp c cuõng laø nghieäm cuûa P (X). ¯ (ii) Neáu n = deg P (X), thì P (X) coù phaân tích thaønh thöøa soá baäc 1 hay baäc 2 nhö sau P (X) = an (X − c1 )m1 · · · (X − cr )mr (X 2 + p1 X + q1 )n1 · · · (X 2 + ps X + qs )ns trong ñoù an laø heä soá baäc n cuûa P (X), cj (j = 1, · · · r) laø caùc nghieäm thöïc cuûa P (X), X 2 + pk X + qk (k = 1, · · · , s) laø caùc tam thöùc baäc hai khoâng coù nghieäm thöïc.
10 (iii) Neáu n = deg P (X) laø leû, thì P (X) coù nghieäm thöïc. Chöùng minh: (i) Giaû söû P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ R[X]. Khi ñoù vôùi moïi c ∈ C , ta coù P (c) = a0 + a1 c + · · · + an cn = a0 + a1 c + · · · + an cn = P (¯) ¯ ¯ c (ñeå yù laø ak ∈ R neân ak = ak , vaø lieân hôïp cuûa toång (tích) laø toång (tích) lieân hôïp) Vaäy P (c) = 0 khi vaø chæ khi P (¯) = 0. Suy ra (i). c (ii) Cho c = a + ib ∈ C. Khi ñoù (X − c)(X − c) = X 2 − (c + c)X + c¯ = X 2 − 2aX + (a2 + b2 ) ¯ ¯ c laø ña thöùc coù heä soá thöïc daïng (X − a)2 + b2 , neân voâ nghieäm khi b = 0, i.e. khi c ∈ R. Vôùi nhaän xeùt treân vaø ñònh lyù phaân tích ña thöùc treân tröôøng phöùc ta coù (ii). (iii) Theo (ii) neáu deg P (X) = n leû, thì P (X) phaûi coù moät thöøa soá (X − c), vôùi c ∈ R, i.e. coù nghieäm thöïc c. 3.8 Tìm nghieäm ña thöùc baèng pheùp khai caên. Phaàn naøy ñeà caäp ñeán vieäc giaûi tìm nghieäm ña thöùc phöùc. Phöông trình baäc 2: ax 2 + bx + c = 0 (a = 0) b c Chia cho a: x2 + x + = 0 a a b b2 − 4ac Tònh tieán ñeå khöû soá haïng baäc 1: X = x+ , phöông trình coù daïng X 2 − =0 2a (2a)2 r −b ± r Tìm r laø moät caên baäc 2 cuûa b2 − 4ac. Suy ra X = ± . Vaäy x = 2a 2a Phöông trình baäc 3: ax 3 + bx2 + cx + d = 0 (a = 0) b 2 c d Chia cho a: x3 + x + x + = 0 a a a b Tònh tieán ñeå khöû soá haïng baäc 2: X = x + , phöông trình coù daïng X 2 + pX + q = 0 3a Vieäc giaûi phöông trình X 2 + pX + q = 0, nhö sau: Ñaët X = u + v, phöông trình coù daïng u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0. Ta caàn tìm u, v thoûa heä phöông trình: u3 + v 3 = −q p uv = − 3 p3 Ñaët U = u3 , V = v3. Ta coù U + V = −q, U V = . 27 p3 Vaäy U, V laø nghieäm phöông trình X 2 + qX − = 0. Giaûi tìm nghieäm U0 , V0 . 27 2π 2π Giaûi u3 = U0 , ta coù 3 nghieäm u0 , ju0 , j 2 u0 , vôùi j = cos( ) + i sin( ). 3 3 Giaûi v 3 = V , tìm nghieäm v thoaû phöông trình thöù hai cuûa heä u v = − p . 0 0 0 0 3 Vaäy coù 3 nghieäm cuûa heä laø (u0 , v0 ), (ju0 , j 0 2 v ), (j 2 u , jv ) 0 0
Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 11 Vaäy 3 nghieäm caàn tìm: X1 = u0 + v0 , X2 = ju0 + j 2 v0 , X3 = j 2 u0 + jv0 Caùc tính toaùn treân ñöôïc toång keát baèng coâng thöùc Cardano: b 3 q q2 p3 3 q q2 p3 x=− + − + + + − − + 3a 2 4 27 2 4 27 Nhaän xeùt. Trong thöïc haønh coâng thöùc treân laø voâ duïng. Chaúng haïn, coâng thöùc treân ñoái vôùi x3 − 21x + 20 = 0 (coù caùc nghieäm laø 1, 4, −5): 3 √ 3 √ x= −10 + i 243 + −10 − i 243 =??? Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình; x3 − 15x − 4 = 0, −2x3 + 18x2 − 42x + 10 = 0. Phöông trình baäc 4: ax 4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a = 0) b Chia cho a, roài tònh tieán ñeå khöû soá haïng baäc 3, ñaët X = x + , ñöa veà giaûi phöông 4a trình: X 4 + pX 2 + qX + r = 0 Phaân tích: X 4 + pX 2 + qX + r = (X 2 + αX + β)(X 2 − αX + γ) Ñoàng nhaát heä soá, ta coù α, β, γ laø nghieäm cuûa heä:   β+γ   = p + α2 βγ = r   γ−β = q  α Töø ñoù α2 laø nghieäm phöông trình baäc 3: α2 (p + α2 )2 − 4rα2 − q = 0 Giaûi ta coù α, β, γ . Thay vaøo phöông trình tích, roài giaûi phöông trình baäc 2 ta coù caùc nghieäm X1 , X2 , X3 , X4 Baøi taäp: Giaûi phöông trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 6x + 9 = 0 Phöông trình baäc ≥ 5. Abel (1802-1829) ñaõ chöùng minh khoâng theå giaûi moät phöông trình ña thöùc baäc ≥ 5 toång quaùt, theo nghóa khoâng theå bieåu dieãn nghieäm nhö laø bieåu thöùc goàm caùc pheùp toaùn ñaïi soá (coäng, tröø, nhaân, chia) vaø caên soá (baäc 2, 3, · · · ) cuûa caùc heä soá cuûa ña thöùc. Sau ñoù Galois (1811-1832) duøng lyù thuyeát nhoùm ñaõ tìm ñöôïc tieâu chuaån ñeå moät phöông trình baäc ≥ 5 cuï theå coù giaûi ñöôïc baèng caên thöùc khoâng. Ví duï phöông trình x5 − x − 1 = 0 khoâng giaûi ñöôïc baèng caên thöùc Tìm nghieäm höõu tæ cuûa phöông trình heä soá nguyeân. Cho moät ña thöùc coù heä soá nguyeân P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ak ∈ Z, k = 0, · · · , n, an = 0 p Khi ñoù neáu moät soá höõu tæ , vôùi gcd(p, q) = 1, laø nghieäm cuûa P (X), thì p laø öôùc soá q cuûa a0 vaø q laø öôùc soá cuûa an .
12 p p Chöùng minh: Neáu laø nghieäm cuûa P (X), thì töø P ( ) = 0, ta coù q q a0 q n + a1 q n−1 p + · · · + an−1 qpn−1 + an pn = 0 Do gcd(p, q) = 1, töø ñaúng thöùc treân deã suy ta p laø öôùc soá cuûa a 0 , q laø öôùc cuûa an . Baøi taäp: Tìm caùc nghieäm höõu tæ cuûa phöông trình: 3x4 + 5x3 + x2 + 5x − 2 = 0 3.9 Phaân thöùc. Moät phaân thöùc treân K laø moät bieåu thöùc daïng P (X) , trong ñoù P (X), Q(X) ∈ K[X], Q(X) = 0 Q(X) P (X) P1 (X) Hai phaân thöùc baèng nhau: = ⇔ P (X)Q1 (X) = P1 (X)Q(X). Q(X) Q1 (X) Ñònh lyù. Cho P (X), Q(X) ∈ K[X]. Giaû söû Q(X) = Q1 (X)k1 · · · Qs (X)ks , vôùi Q1 (X), · · · , Qs (X) ∈ K[X] thoaû ñieàu kieän GCD(Qi (X), Qj (X)) = 1, neáu i = j . Khi ñoù toàn taïi duy nhaát caùc ña thöùc A(X), Pij (X) ∈ K[X], i = 1, · · · , s, j = 1, · · · , ki , sao cho deg Pij (X) < deg Qi (X) vaø   s i k P (X)  Pij (X)  = A(X) + Q(X) Q (X)j i=1 j=1 i Chöùng minh: Söï toàn taïi: Neáu deg P < deg Q vaø Q = D1 D2 , vôùi GCD(D1 , D2 ) = 1, thì theo ñaúng thöùc Beùzout ta coù 1 = U1 D1 + U2 D2 , U1 , U2 ∈ K[X] Suy ra P = P U1 D1 + P U2 D2 . Chia Euclid, ta coù P U1 = AD2 + V2 , deg V2 < deg D2 . Vaäy P = V2 D1 + V1 D2 , vôùi V1 = AD1 + P U2 . Do deg P < deg Q, deg V2 < deg D2 , ta coù deg V1 < deg D1 . Suy ra ta coù bieåu dieãn P V1 V2 = + , vôùi deg V1 < deg D1 , deg V2 < deg D2 Q D1 D2 Tröôøng hôïp toång quaùt, tröôùc heát chia Euclid P cho Q ta coù thöông laø A. Sau ñoù aùp duïng bieåu dieãn treân cho D1 = Qk1 , D2 = Qk2 · · · Qks . Tieáp tuïc aùp duïng bieåu dieãn 1 2 s treân cho Q = Qk2 · · · Qks . Sau höõu haïn böôùc ta coù phaân tích 2 s   s i k P Pij  =A+  j , vôùi deg Pij < deg Qi Q i=1 j=1 Qi Tính duy nhaát: Giaû söû coù caùc ña thöùc khaùc A , Pij ∈ K[X], sao cho   s i k P Pij =A +  , vôùi deg Pij < deg Qi Q i=1 j=1 Qji
Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 13 Suy ra A=A do tính duy nhaát cuûa pheùp chia Euclid.   s ki Pij − Pij Tröø hai bieåu dieãn ta coù  =0 (∗). i=1 j=1 Qji Giaû söû phaûn chöùng laø P1k1 − P1,k1 = 0. Nhaân (∗) vôùi Q, suy ra (P1k1 − P1,k1 )Qk2 · · · Qks + Q1 U = 0, 2 s vôùi U ∈ K[X] Do GCD(Q1 , Qk2 · · · Qks ) = 1, neân Q1 |(P1k1 −P1,k1 ). Vaäy deg(P1k1 −P1,k1 ) ≥ deg Q1 . 2 s Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi deg(P1k1 − P1,k1 ) ≤ max(deg P1k1 , deg P1k1 ) ≤ deg Q1 . Vaäy phaûi coù P1k1 − P1,k1 = 0. Töông töï laäp luaän treân, ta coù Pij = Pij , ∀ij . Heä quaû 1. Moïi phaân thöùc treân tröôøng phöùc ñeàu coù phaân tích duy nhaát döôùi daïng s i m P (X) aij = A(X) + Q(X) i=1 j=1 (X − ci )j trong ñoù A(X) ∈ C[X], aij ∈ C, c1 , · · · , cs ∈ C laø caùc nghieäm cuûa Q(X) vôùi boäi m1 , · · · , ms töông öùng. Heä quaû 2. Moïi phaân thöùc treân tröôøng thöïc ñeàu coù phaân tích duy nhaát döôùi daïng r i m s i n P (X) aij bij X + cij = A(X) + + Q(X) i=1 j=1 (X − ci )j i=1 j=1 (X 2 + pi X + qi )j trong ñoù Q(X) = an (X −c1 )m1 · · · (X −cr )ms (X 2 +p1 X +q1 )n1 · · · (X 2 +ps X +qs )ns , X 2 + pi X + qi (i = 1, · · · , s) khoâng coù nghieäm thöïc., A(X) ∈ R[X], aij , bij , cij ∈ R. 1 Ví duï. Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn treân tröôøng thöïc: X5 − X2 Ta coù X 5 − X 2 = X 2 (X − 1)(X 2 + X + 1). 1 A B C DX + E Vaäy phaân tích coù daïng 5 = + 2+ + . X − X2 X X X − 1 X2 + X + 1 Ñeå tính caùc heä soá A, B, C, D, E döïa vaøo 1 = AX(X−1)(X 2 +X+1)+B(X−1)(X 2 +X+1)+CX 2 (X 2 +X+1)+(DX+E)X 2 (X−1) Ñoàng nhaát heä soá ña thöùc 2 veá (goïi laø phöông phaùp heä soá baát ñònh), roài giaûi heä phöông trình tuyeán tính, ta coù 1 0 1 1 X −1 = − 2+ − X5 −X 2 X X 3(X − 1) 3(X 2 + X + 1)
I. Khoâng gian vector hình hoïc Chöông naøy vector ñöôïc trình baøy döïa vaøo tröïc quan, vôùi muïc ñích taïo moâ hình hình hoïc giuùp cho vieäc tö duy tröøu töôïng vaø khaùi quaùt hoùa ôû caùc chöông sau. Ñeå coù theå laøm vieäc cuï theå hôn treân caùc vector, nguôøi ta ñaïi soá hoaù khoâng gian hình hoïc baèng caùch ñöa vaøo heä côû sôû Descartes1 . Khi ñoù caùc pheùp toaùn treân vector seõ coù coâng thöùc tính thuaän lôïi, coøn caùc ñoái töôïng hình hoïc nhö ñöôøng, maët cong seõ ñöôïc moâ taû bôûi caùc phöông trình giuùp cho vieäc nghieân cöùu hình hoïc deã daøng vaø cuï theå hôn. 1. Vector hình hoïc Trong nhieàu vaán ñeà toaùn hoïc cuõng nhö vaät lyù ngoaøi caùc ñaïi löôïng voâ höôùng, coøn coù nhieàu ñaïi löôïng coù höôùng chuùng ñöôïc ñaëc tröng bôûi ñoä lôùn vaø höôùng, chaúng haïn löïc, vaän toác,... . Caùc ñaïi löôïng naøy ñöôïc moâ hình hoaù thaønh caùc vector. 1.1 Ñònh nghóa. Trong khoâng gian Euclid E3 moät vector ñöôïc moâ taû nhö laø moät ñoaïn thaúng ñöôïc ñònh höôùng AB . −→ Kyù hieäu: AB= v, hay ñôn giaûn chæ laø v. A goïi ñieåm goác, B goïi laø ñieåm ngoïn. Ñöôøng thaúng AB goïi laø phöông, höôùng töø A ñeán B . −→ Ñoä daøi ñoaïn AB , kyù hieäu laø AB . B phöông −→ v Q A −→ v Q −→ −→ −→ −→ Hai vector AB , CD goïi laø baèng nhau, kyù hieäu AB=CD, neáuu chuùng cuøng ñoä daøi vaø höôùng, i.e. ABDC laø hình bình haønh. → Vector khoâng, kyù hieäu laø O hay O, laø vector coù goác truøng vôùi ngoïn. −→ −→ −→ Vector ñoái cuûa AB ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa − AB=BA. Nhaän xeùt. Phaân bieät ñònh nghóa treân vôùi khaùi nieäm vector buoäc khi ta xem hai vector coù goác khaùc nhau laø khaùc nhau. 1 Reneù Descartes (1596-1650) vaø Pierre Fermat (1601-1665) ñöôïc xem laø caùc cha ñeû cuûa Hình hoïc giaûi tích
16 → → → → 1.2 Coäng vector: u + v, cuûa hai vector u, v , laø vector xaùc ñònh bôûi qui taéc hình bình haønh hay qui taéc hình tam giaùc sau: −→ + −→ −→ + −→ Q u v −→ $$$ v$ X $ Q u v $$$ −→ u 0 −→ u 0 v −→ X $ $$$$ $ $ $ Tính chaát. Vôùi moïi vector → →, →, ta coù u, v w → → → → u+ v = v +u → → → → → → ( u + v )+ w = u +( v + w) → → → v +O = v → → → v +(− v ) = O Heä thöùc Chasles. Trong khoâng gian cho caùc ñieåm A0 , A1 , · · · An . Khi ñoù −→ −→ −→ −→ A0 A1 + A1 A2 + · · · + An−1 An = A0 An 1.3 Nhaân vector vôùi soá: → αv , cuûa vector → vaø soá α, laø vector: v Coù ñoä daøi laø |α| v . → Cuøng höôùng vôùi → neáu α > 0, ngöôïc höôùng vôùi v → v neáu α < 0, vaø 0 →=O. v Q −→ v Q α v −→ (α > 0) t t −→ α v (α < 0) C Tính chaát. Vôùi moïi vector → → vaø caùc soá α, β , ta coù u, v → → α(β v ) = (αβ) v → → → (α + β) v = α v +β v → → → → α( u + v ) = α u +α v → → 1 v = v
Chöông I. Khoâng gian vector hình hoïc 17 2. Cô sôû Descartes - Toïa ñoä Ñeå coù theå laøm vieäc cuï theå hôn treân caùc vector, ngöôøi ta ñaïi soá hoùa nhö sau 2.1 Heä cô sôû Descartes. Descartes ñaõ ñaïi soá hoaù maët phaúng E2 hay khoâng gian Euclid E3 baèng caùch ñöa vaøo heä toïa → c, maø chuùng ta ñaõ quen bieát vôùi caùi teân goïi → truï → heä cô sôû Descartes , laø boä boán (O; e1 , e2 , e3 ): Ñieåm O goïi laø goác cuûa heä. → → → Caùc vector e1 , e2 , e3 , goïi laø caùc vector cô sôû, thoaû caùc tính chaát sau: → → → (i) e1 , e2 , e3 vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi. → → → (ii) e1 = e2 = e3 = 1. → → → (iii) Boä ba (e1 , e2 , e3 ) taïo thaønh tam dieän thuaän (?). z T M t −→ e3 y T −→ e2 O t E −→ e1 E x Caùc ñöôøng thaúng coù vector chæ phöông e1 , e2 , e3 thöôøng ñöôïc goïi teân laø caùc truïc Ox, Oy, Oz töông öùng. Heä côû sôû trong maët phaúng E 2 ñöôïc ñònh nghóa töông töï nhö trong E3 . Hôn nöõa, ta seõ ñoàng nhaát E2 vôùi maët phaúng Oxy trong E3 , neân tieáp sau ñaây caùc khaùi nieäm seõ chæ ñöôïc trình baøy trong khoâng gian. 2.2 Toïa ñoä. Khi coá ñònh moät heä cô sôû Descartes (O; e1, e2 , e3 ), ta coù: → → → • Moãi ñieåm M ∈ E3 töông öùng duy nhaát moät boä ba soá (x, y, z), goïi laø toïa ñoä ñieåm M, xaùc ñònh qua caùc vector cô sôû nhôø pheùp chieáu vuoâng goùc: −→ → → → OM = x e1 +y e2 +z e3 . → • Moãi vector v , sau khi ñöa goác veà O seõ coù ngoïn laø A ∈ E 3 , töông töï nhö treân → −→ → → → v =OA= v1 e1 +v2 e2 +v3 e3 . Ta coù theå moâ taû ñaïi soá vector → nhö boä ba (v1 , v2 .v3 ) v goïi laø toïa ñoä vector →. Ta vieát: →= (v1 , v2 , v3 ). v v Vieäc vieát cuøng kyù hieäu toïa ñoä cho vector vaø ñieåm seõ ñöôïc chæ ñònh roõ khi caàn. Nhaän xeùt. Nhö vaäy khi ñöa vaøo heä cô sôû ta ñaõ ñoàng nhaát E3 vôùi R3 , i.e. ta ñaõ ñaïi soá hoaù khoâng gian E3 . Coù thuaän tieän gì ? Haõy xem ... 2.3 Moâ taû ñoái töôïng hình hoïc baèng phöông trình hay phöông trình tham soá. Xeùt caùc ñoái töôïng hình hoïc (ñöôøng, maët, khoái,· · · ) trong maët phaúng E2 hay khoâng
18 gian E3 : X = {M : M thoaû ñieàu kieän (P )} Coá ñònh moät cô sôû Descartes. Khi ñoù caùc ñieåm M thay ñoåi vaø thoaû ñieàu kieän (P ), thì töông öùng caùc toïa ñoä (x, y, z) cuûa M cuõng thay ñoåi vaø thoûa ñieàu kieän (F ) naøo ñoù. Cuï theå hôn, ta thöôøng gaëp caùc tröôøng hôïp sau: • Ñieàu kieän hình hoïc coù theå moâ taû bôûi phöông trình: M thoaû (P ) ⇔ (x, y, z) thoûa phöông trình F (x, y, z) = 0 trong ñoù F : D → R, laø moät haøm soá xaùc ñònh treân D ⊂ R 3 . Khi ñoù ta noùi X ñöôïc cho bôûi phöông trình F (x, y, z) = 0. Ví duï. a) Trong maët phaúng, ñöôøng troøn taâm A = (a, b) baùn kính R > 0 laø taäp ñònh nghóa C = {M ∈ E2 : khoaûng caùc töø M ñeán A baèng R} C ñöôïc cho bôûi phöông trình: F (x, y) = (x − a)2 + (y − b)2 − R2 = 0. b) Töông töï,ï trong khoâng gian maët caàu taâm A = (a, b, c), baùn kính R > 0 ñöôïc cho bôûi phöông trình F (x, y, z) = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 − R2 = 0 Toång quaùt hôn, khi caùc ñieàu kieän (P1 ), · · · , (Pk ) coù theå moâ taû bôûi caùc phöông trình töông öùng F1 = 0, · · · , Fk = 0, thì k X = {M : M thoaû ñieàu kieän (P1 ) vaø · · · vaø (Pk )} = {M : M thoaû ñieàu kieän (Pi )} i=1 Khi ñoù ta noùi X ñöôïc cho bôûi heä phöông trình: F1 (x, y, z) = 0, · · · , Fk (x, y, z) = 0 Ví duï. Heä phöông trình: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 , z = 0, moâ taû giao cuûa maët caàu vaø maët phaúng, vaäy laø ñöôøng troøn treân maët phaúng Oxy • Ñieàu kieän hình hoïc coù theå moâ taû bôûi phöông trình tham soá: Khi taäp ñang xeùt laø ñöôøng cong C (chaúng haïn quõy ñaïo cuûa moät ñieåm), noù thöôøng coøn ñöôïc moâ taû bôûi M ∈ C ⇔ (x = f (t), y = g(t), z = h(t)), t ∈ I trong ñoù f, g, h : I → R laø caùc haøm xaùc ñònh treân I ⊂ R. Khi ñoù ta noùi ñöôøng cong C ñöôïc cho bôûi phöông trình tham soá   x = f (t)   y = g(t) , vôùi tham soá t ∈ I  z = h(t)