188
Chương VI
Hàm điều hòa và hàm
điều hòa dưới
§1 Hàm điều hòa
Khái niệm hàm điều hòa
1.1 Định nghĩa. Hàm thực u(x, y)xác định trên miền Dvà có đạo hàm
riêng cấp hai liên tục và thỏa điều kiện u′′
xx(x, y) + u′′
yy(x, y) = 0 với mọi
(x, y)∈Dđược gọi là hàm điều hòa.
1.2 Thí dụ. Hàm u(x, y) = x2+xy −y2là hàm điều hòa trên R2. Thật
vậy u′
x(x, y) = 2x+y,u′′
xx(x, y) = 2 và u′
y(x, y) = x−2y,u′′
yy(x, y) = −2,
suy ra u′′
xx(x, y) + u′′
yy(x, y) = 0.
1.3 Cho hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y)giải tích trên D. Theo Hệ quả 5.13
ta có các hàm u(x, y)và v(x, y)có các đạo hàm riêng mọi cấp liên tục.
Hơn nữa, theo Định lý Cauchy-Riemann 1.10 trang 80 ta có mối liên hệ
giữa hai hàm u(x, y)và v(x, y)trên Dnhư sau
∂u
∂x(x, y) = ∂v
∂y (x, y)∂u
∂y (x, y) = −∂v
∂x(x, y).
suy ra
c
Hồ Công Xuân Vũ Ý
§1 Hàm điều hòa 189
u′′
xx(x, y) = v′′
yx(x, y), u′′
yy(x, y) = −v′′
xy(x, y);
v′′
xx(x, y) = −u′′
yx(x, y), v′′
yy(x, y) = u′′
xy(x, y).
Từ đó ta nhận thấy cả hai hàm u(x, y)và v(x, y)đều là hàm điều hòa. Do
hai hàm uvà vcó liên hệ với nhau nên ta có khái niệm sau.
1.4 Định nghĩa. Cho hai hàm điều hòa uvà vtrên D. Ta nói vlà hàm
liên hợp điều hòa của unếu thỏa điều kiện
∂u
∂x(x, y) = ∂v
∂y (x, y)∂u
∂y (x, y) = −∂v
∂x(x, y)∀(x, y)∈D.(1.5)
1.6 Thí dụ. Theo thí dụ trên ta biết rằng u(x, y) = x2+xy −y2là hàm
điều hòa trên R2. Bây giờ ta tìm hàm liên hợp điều hòa v(x, y)của u(x, y).
Theo điều kiện (1.5) ta có
v′
y(x, y) = 2x+y v′
x(x, y) = 2y−x.
Từ phương trình thứ nhất ta suy ra được v(x, y) = 2xy +y2
2+g(x), cho
nên v′
x(x, y) = 2y+g′(x). Vậy g′(x) = −xhay g(x) = −x2
2+C. Suy ra
v(x, y) = 2xy +y2
2−x2
2+C.
1.7 Nhận xét. Theo kết quả trên ta có nếu hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
giải tích trên Dthì v(x, y)là hàm điều hòa liên hợp của hàm u(x, y). Hơn
nữa, chiều ngược lại cũng đúng, cho nên ta có kết quả ở định lý sau.
1.8 Định lý. Hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y)giải tích trên miền Dkhi và
chỉ khi v(x, y)là hàm liên hợp điều hòa của u(x, y)trên D.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng mình chiều ngược của định lý. Giả sử
v(x, y)là hàm liên hợp điều hòa của u(x, y)trên D. Khi đó, cả hai hàm
u(x, y)và v(x, y)là các hàm điều hòa nên chúng có đạo hàm riêng cấp hai
liên tục trên D, cho nên chúng có đạo hàm riêng cấp một liên tục trên
D. Vì v(x, y)là hàm liên hợp điều hòa của u(x, y)trên Dnên chúng thỏa
điều kiện Cauchy-Riemann. Do đó, theo định lý Cauchy-Riemann, trang
80, hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y)khả vi trên D. Do Dlà miền nên fgiải
tích trên D.
c
Hồ Công Xuân Vũ Ý
190 VI Hàm điều hòa và hàm điều hòa dưới
Đặc trưng hàm điều hòa
1.9 Định lý. Giả sử ulà hàm điều hòa trên miền đơn liên D. Khi đó, u
là phần thực của một hàm giải tích trên D.
Chứng minh. Với ký hiệu z=x+iy = (x, y)và từ giả thiết cùng với
định lý Cauchy-Riemann ta dễ dàng nhận thấy hàm
f(z) = u′
x(x, y)−iu′
y(x, y)
giải tích trên D. Từ đó theo Hệ quả 4.5 tồn tại nguyên hàm Fcủa ftrên
Dvà
dF (z) = f(z)dz = [u′
x(, xy)−iu′
y(x, y)](dx +idy)
=u′
x(x, y)dx +u′
y(x, y)dy +i(u′
x(x, y)dy −u′
y(x, y)dx)
Đặt F(z) = U(x, y) + iV (x, y). Khi đó, ta có U′
x(x, y) = u′
x(x, y)và
V′
x(x, y) = −u′
y(x, y). Theo ký hiệu vi phân của hàm phức ta có
d¯
F(z) = dU(x, y)−idV (x, y)
=U′
x(x, y)dx +U′
y(x, y)dy −i(V′
x(x, y)dx +V′
y(x, y)dy)
=u′
x(x, y)dx +u′
y(x, y)dy −i(−u′
y(x, y)dx +u′
x(x, y)dy)
Từ đó ta suy ra được
d(F(z) + ¯
F(z)) = 2[u′
x(x, y)dx +u′
y(x, y)dy] = 2du(x, y)
hay d(Re F(z)) = du(x, y). Do đó, ta có u(x, y) = Re F(z) + Ctrong đó C
là hằng số thực. Rõ ràng F(z) + Clà hàm giải tích trên D.
1.10 Nhận xét. Trong định lý trên giả thiết Dlà miền đơn liên là thiết
yếu. Chẳng hạn, ta có thể kiểm tra được rằng hàm u(x, y) = 1
2ln(x2+y2)
là một hàm điều hòa trên D=C\ {0}. Trong khi đó, hàm
f(z) = u′
x(x, y)−iu′
y(x, y) = x
x2+y2−iy
x2+y2=z
|z|2=1
z
không có nguyên hàm trên D. Do đó, không có hàm giải tích trên Dnhận
u(x, y)làm phần thực.
c
Hồ Công Xuân Vũ Ý
§1 Hàm điều hòa 191
1.11 Định lý. (Giá trị trung bình) Giả sử ulà hàm điều hòa trong
miền Dvà z0∈D. Khi đó,
u(x0, y0) = 1
2πZ2π
0
u(x0+rcos ϕ, y0+rsin ϕ)dϕ
với mọi 0< r < d(z0, ∂D).
Chứng minh. Lấy 0< r < d(z0, ∂D)tùy ý. Theo Định lý 1.9 tồn tại hàm
giải tích fnhận u(x, y)làm hàm phần thực trên miền đơn liên B(z0, R)
với r < R < d(z0, ∂D). Ta áp dụng Định lý 7.1 trang 177 thu được
f(z0) = 1
2πZ2π
0
f(z0+reiϕ)dϕ.
Do đó, ta có
u(x0, y0) = Re f(z0) = 1
2πZ2π
0
Re f(z0+reiϕ)dϕ
=1
2πZ2π
0
u(x0+rcos ϕ, y0+rsin ϕ)dϕ.
1.12 Định lý. Giả sử ulà hàm điều hòa trong miền Dvà uđạt giá trị
lớn nhất trong Dthì ulà hàm hằng.
Chứng minh. Giả sử hàm uđạt giá trị lớn nhất tại z0= (x0, y0)∈D.
Tồn tại r > 0sao cho B(z0, r)⊂D. Vậy ucũng đạt giá trị lớn nhất trên
B(z0, r)tại z0. Theo Định lý 1.9 tồn tại hàm giải tích ftrên B(z0, r)nhận
u(x, y)làm hàm phần thực. Khi đó, hàm ef(z)giải tích trên B(z0, r)và
|ef(z)|=eu(x,y). Vậy |ef(z)|đạt giá trị lớn nhất trên B(z0, r)tại z0. Do
đó, theo Định lý 7.3 trang 177 hàm ef(z)phải là hàm hằng trên B(z0, r);
từ đó suy ra eu(x,y)và u(x, y)là hàm hằng trên B(z0, r). Phần còn lại của
phép chứng minh lập luận hoàn toàn tương tự như chứng minh định lý
nguyên lý modulus cực đại trang 179.
1.13 Nhận xét. Định lý trên vẫn đúng khi ta thay giả thiết hàm uđạt
giá trị lớn nhất trong Dbởi giả thiết hàm uđạt giá trị nhỏ nhất trong D
bởi vì nếu hàm ulà hàm điều hòa thì hàm −ucũng là hàm điều hòa.
c
Hồ Công Xuân Vũ Ý
192 VI Hàm điều hòa và hàm điều hòa dưới
Bài tập
1 ) Chứng minh rằng u(x, y) = 3x+ylà hàm điều hòa. Tìm hàm điều
hòa v(x, y)liên hợp với u(x, y).
2 ) Chứng minh rằng u(x, y) = x2−y2là hàm điều hòa. Tìm hàm điều
hòa v(x, y)liên hợp với u(x, y).
3 ) Chứng minh rằng u(x, y) = 2xy −xlà hàm điều hòa. Tìm hàm giải
tích f(z)nhận u(x, y)làm hàm phần thực.
4 ) Chứng minh rằng u(x, y) = x2−y2+ 5x+y−y
x2+y2là hàm điều
hòa. Tìm hàm giải tích f(z)có phần thực là hàm u(x, y).
5 ) Chứng minh rằng v(x, y) = x2−y2+xy là hàm điều hòa. Tìm hàm
giải tích f(z)có phần ảo là hàm v(x, y).
6 ) Chứng minh rằng v(x, y) = ln(x2+y2) + x−2ylà hàm điều hòa. Tìm
hàm giải tích f(z)có phần ảo là hàm v(x, y).
7 ) Chứng minh rằng nếu vlà hàm liên hợp điều hòa của utrên miền D
và ulà hàm liên hợp điều hòa của vtrên D, thì u(x, y)và v(x, y)phải là
hàm hằng trên D.
8 ) Giả sử flà hàm giải tích trên Cvà hàm điều hòa u(x, y) = Re[f(z)]
là hàm bị chặn trên. Chứng minh rằng u(x, y)phải là hàm hằng trên R2.
9 ) Cho hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y)giải tích trên miền D. Giải thích
tại sao các hàm U(x, y) = eu(x,y)cos v(x, y)và V(x, y) = eu(x,y)sin v(x, y)
điều hòa trên Dvà V(x, y)thật sự là một hàm liên hợp điều hòa của
U(x, y).
10 ) Cho hàm f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ)giải tích trên miền Dmà nó không
chứa gốc tọa độ. Dùng hệ phương trình Cauchy-Riemann ở dạng tọa độ
cực và giả sử các đạo hàm riêng liên tục, chứng minh rằng hàm u(r, θ)
thỏa, trên miền D, phương trình đạo hàm riêng
r2u′′
rr(r, θ) + ru′
r(r, θ) + u′′
θθ(r, θ) = 0,
nó là phương trình Laplace dạng cực. Chứng minh rằng điều đó vẫn đúng
cho hàm v(r, θ).
c
Hồ Công Xuân Vũ Ý