Giáo trình Lý thuyết đàn hồi

CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học

- Sáu thành phần ứng suất : x, y, z, Txy, Tyz, Tzx. - Ba thành phần chuyển vị : u, v, w. - Sáu thành phần biến dạng : x, y, z, xy, yz, zx. Để xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sau :







;)

§5.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN- CÁC CÁCH GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.1.1. Các phương trình cơ bản : và vật lý của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm : 1. Về mặt tĩnh học : Hệ (2.1)

 x   x

  ( t  2





)1(

 (

;)

v 2

Tyx  y  y   y

Txy   x

 t  2





 (

w 2

Txz   x

Tzy   z  z   z

Tyz   y

 t 

        

a. Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy: Tzx u  2  z

b. Các phương trình điều kiện biên theo ứng suất: Hệ (2.3)



;





;

)2(



;







;





u   x v  y  w   z

v  x  w   y u   z

u   y  v  z w   x

        

2. Về mặt hình học : a. Hệ phương trình biến dạng Cauchy-Navier : Hệ (3.1)

b. Các phương trình liên tục của biến dạng : Hệ (3.12) và (3.13).

3.Về mặt vật lý :

1(2

Txy









a. Biểu thức biến dạng biểu diễn qua ứng suất :

)

   ( z

 x

1(2

Tyz





; ; xy =

)

    z (

1(2

Tzx





; (3a) y = ; yz =

)

1 E 1 E 1     y ( E

1 G 1 G 1 G

)  E )  E )  E

; . z= zx =

b. Biểu thức ứng suất biểu diễn qua biến dạng : Txy = Gxy ; Tyz = Gyz ; Tzx = Gzx. x =  + 2Gx ; y =  + 2Gy ; z =  + 2Gz ;

2. Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm ẩn

5.1.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính : * Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính. Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán. Những ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính. 1. Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàm chuyển vị u, v, w. chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất. 3. Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán, ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất. §5.2. CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐH THEO CHUYỂN VỊ

Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản :

(a)

x =  + 2Gx Txy = Gxy Tzx = Gzx

5.2.1.Về mặt vật lý: Từ định luật Hooke tổng quát : 5.2.2. Về mặt hình học: Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy :

;

x =



;

(b)



;

zx =

u  x  v  yx = x  w  x 

+ G Thay (b) vào (a) ta có : x =  + G



u  y  u  z  u  x  v  x  w   x

u   y u   z

     

u  x       

Tzx = G



 (0

;)



 Tzx  z

 

 x x 







 Tyx  y Thay (c) vào (d) ta có: 2 2 u u   x  x 

 x 

v   yx

w   zx

 

u z

 

u y

 

 0   

  









(*)

 x 

 x 

 y 

 z 

 x 

 u  x

 v y 

 w  z

 u  t

  

  

  

  

  

3.Về mặt tĩnh học: Từ phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy : u (d)



  Gu   z 



  x  v  y

 y   w =x+y+z = : Biến dạng thể tích tương đối  z

 u  x





Với 2 = : Toán tử vi phân Laplace.

u 2

 x

t  2





(*) ( + G) + G2u + fx = 0 ;

v 2

 y

t  2





Tương tự ( + G) + G2v + fy = 0 ; (5.1)

w 2

 z



           

           

( + G) + G2w + fz = 0 ;

Hệ (5.1): Hệ phương trình LaMê :

Khi thiết lập (5.1) xuất phát từ điều kiện cân bằng và quan hệ giữa

a. Hệ quả 1 : Đạo hàm các phương trình của hệ (5.1) lần lượt theo các

ứng suất và biến dạng nên hệ (5.1) vẫn chứa các hằng số LaMê  và G. Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình học và vật lý. Giải (5.1) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến dạng theo phương trình quan hệ hình học Cauchy và xác định các ứng suất theo định luật Hooke. 4.Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể tích là hằng số ta có các hệ quả sau: biến x, y, z ta có :

2   2

( + G) + G2 = 0 ;

u  x  v  y 

+ ( + G) + G2 = 0 ;

w  z 

x  2y  2z

( + G) + G2 = 0 .

( + G). 2 + G2 = 0  2 = 0 (5.2)

2S = 0 (5.3)

Do  tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta cũng có : Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi các lực thể tích là hệ số thì hàm biến dạng thể tích và hàm ứng suất tổng là những hàm điều hòa. b. Hệ quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.2) :

 x

( + G) + G2u +fx = 0 (a)



u 2

Lấy đạo hàm bậc 2 của (a) lần lượt theo các biến x, y, z ta có :

3   3



x 

2 u 2

( + G) + G2 = 0 ;

x 3   2

y  2



u 2

+ ( + G) + G2 = 0 ;

yx 3   2

z 

( + G) + G2 = 0 .

zx  x

( + G). 2 + G22u = 0 (b)

Theo hệ quả 1 ta có : 2 = 0 thay vào (b)

(5.4)

22u = 0 (b)  Tương tự 22v = 0 22w = 0 Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi lực thể tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm trùng điều hòa. c. Ý nghĩa : Hệ quả này cho phép ta đoán nhận được sơ bộ dạng nghiệm chuyển vị của bài toán đàn hồi. Tất nhiên đây mới chỉ là điều kiện cần, điều kiện đủ là các chuyển vị phải thỏa mãn các phương trình cơ bản đã nêu trên.

5.3. GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI THEO ỨNG SUẤT

Chọn các ứng suất x, y, z, Txy, Tyz, Tzx làm hàm ẩn chính.



I. Trường hợp các lực thể tích là hằng số:

)

1 E Có S = x + y + z

(*) y = 1. Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke     z (

 1(

  S y  )

(*)  y =

 1(

  S z  )

1(2  )

Tương tự (a) z =

1 E 1 E 1 G

yz = Tyz = Tyz





2. Về mặt hình học :Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng :

 2 yz  zy

y  z   2 z y  

Tyz

(b)

 2 zy 

 S 2  y

  y y 

Tyz



(1 + ) -  +(1 + ) -  = 2(1 + ) Thay (a) vào (b) ta có :  S 2  z

 2 zy 

  y z   z     z y 

S  2 z 

   

  

  

  

 (1 +) = 2(1 + ) (c)

S  2 y  3. Về mặt tĩnh học : Dựa vào hệ phương trình cân bằng tĩnh học

Navier- Cauchy.

Tyx





0







 (1)





0





; 



0





;  (2)

y   x y   Txy  y    x y   Tyz  Txz  x y 



Tzx  z  Tzy z   z  z 

Tyx  y  Tzy  z  Tyz  y 

Tzx  z   y  y   z  z 

x  x  Txy  x  Txz  x 

;  (3)







Tzy  yz 

Txy  yx 

Tyz







zy 



Lấy đạo hàm bậc nhất (2) và (3) lần lượt theo y và z ta có :



Tzy  yz 

 x 

Txy  y

Tx z  z

 y y   2 z Txz  zx  z   2    z     y z  

  

  

  

 (4)

Tyz





Thay (1) vào (4) ta có : 2

zy 

 x 

  

  







(4) 

Tyz zy

 



        

   

   z x      x  y z     y z x y  Thay (d) vào (c) ta có : 2





 (d)

S 2

 

 z  z  x z

S 2 y

 

  

  

  

(1 + )





x 2

 y 

 z 

      

  

  

     x  x    2  x y   



 (1 + )

S 2

    

 

  

  





= 0 (**) - 

x 

y 

z  S = x + y + z.













Trong đó : 2 =

 x

S 2



z 

y 

z 

   





(**)  (1 + )

S 2

    2 S  2 y 

      z 

    2 S  2 z 

S  2 y 

y 

z 

   

  

   

  

+  - (1 + )2x +







S 2

z 

x 

y 

x  2





+ = 0.  - (1 + )2x +

S 2

x  Theo Hệ quả (1) ta có 2S = 0



= 0  (1 + )2x +

S 2

x  2 

 = 0 (1 + )2x +

S 2

y  2



= 0 (5.5) (1 + )2y +

S 2

= 0 (1 + )2z +

= 0

= 0 (5.6) (1 + )2Tyz +

z   2 S (1 + )2Txy + yx   2 S zy   2 S zx 

= 0 (1 + )2Tzx +

fx 



Hệ (5.5) và (5.6) gọi là hệ phương trình Beltrmi





S 2

) 

1 

  1  

x 

y 



x  x 

x  2

fx 



fz 

y 







Hệ phương trình (5.5) và (5.6) là phương trình để giải bài toán đàn hồi theo ứng suất, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường. Giải (5.5) và (5.6) có được các ứng suất sau đó tìm các biến dạng theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy. II. Khi lực thể tích không phải là hằng số: ta cũng nhận được các phương trình tương tự nhưng có vế phải khác 0 : fy   ; 2x +

S 2

) 

1 

  1  

x 



z 

y 

y  2

fx 

fy 

fz 







; (5.7) 2y +

S 2

1 

  1  

z  z 

) 

y 

x 

z 

           

           

; 2z +

z  (5.7) : Phương trình Beltrami-Michell. * Hệ quả 3 : Trường hợp fx, fy, fz = const.

Từ phương trình (5.5) Beltrmi, ta cũng suy ra được 1 hệ quả về tính



chất của các n0 ứng suất

x 

= 0 (1) (1 + ) 2x + Xét phương trình (1) của hệ phương trình (5.5) : 2 S 2



Lấy đạo hàm bậc 2 phương trình (1) lần lượt theo x,y,z ta có :

S 4

(1 + )2 + = 0

x   2 yx   4

+ (1 + )2 + = 0

 2

  x x    2 x y    2 x z 

z 

(1 + )2 + = 0

x  2 S  2

x 

2S = 0 Theo hệ quả 1 2S = 0 (1 + ) 22x +

ij gồm có (x, y, z, Txy, Tyz, Tzx).

Ta có : 22x = 0. Tương tự ta có : 4ij = 0.  Ứng suất là những hàm điều hòa kép (trùng điều hòa, bi điều hòa). Vì ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng cũng là những hàm điều hoà kép.  Phát biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng của bài toán đàn hồi tuyến tính khi lực thể tích là hằng số đều là những hàm điều hòa kép: (5.8) 4ij = 0 ; 4ui = 0 ; 4ij = 0.

5.4. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân các phương trình Lamê (5.1) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.5) và (5.6) hay Beltrami Michell (5.7) khi giải theo ứng suất với các điều kiện biên xác định . Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học nhưng phức tạp khi thực hiện. 2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện biên (2.3) tìm các ngoại lực tương ứng với các chuyển vị hay ứng suất cho

Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại

F : Diện tích mặt cắt ngang.

trước. Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được. 3. Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp này ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu tố còn lại từ các điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân bằng. Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang tính toán học của phương pháp thuận và sự cồng kềnh của phương pháp ngược. 4. Nguyên lý Saint-Venant : Nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh, tấm, vỏ. Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là nguyên lý về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này, nếu trên 1 phần nhỏ nào đó của vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng thì ứng suất phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực. chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng. Dựa vào qui luật đối với vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục bộ có thể phát biểu theo cách khác nhau: “Tại những điểm của vật rắn cách xa điểm đặt lực thì trạng thái ứng suất, biến dạng của vật phụ thuộc rất ít vào cách tác dụng của lực”. Ví dụ :

5.5. ĐỊNH LÝ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Một vấn đề đặt ra là nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng suất có duy nhất không. Có nghĩa ứng với tải trọng hay chuyển vị đã cho ta chỉ nhận được một hệ ứng suất hay chuyển duy nhất hay ta nhận được vài hệ nghiệm khác nhau với cùng điều kiện đã cho.

* Nếu nhận được một vài hệ nghiệm thì nghiệm của bài toán lý thuyết

 zf

 yf

, , Thực vậy xét bài toán cơ bản thứ nhất của lý thuyết đàn hồi. Dưới tác . Lực thể tích fx, fy, fz đã cho. Giả thiết ta

T 

0



yx y  T 

* x

x, y, z, Txy, Tyz, Tzx x, y, z, Txy, Tyz, Tzx Cả hai hệ ứng suất này đều phải thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh học







* x

* yx y 

(a)  đàn hồi đã cho là đa trị. * Định lý duy nhất về nghiệm : Nếu thừa nhận về trạng thái tự nhiên của vật và đinh luật độc lập tác dụng của lực thì nghiệm bài toán lý thuyết đàn hồi là duy nhất.  dụng của lực bề mặt xf nhận được 2 hệ nghiệm ứng suất khác nhau. của Cauchy và điều kiện biên tĩnh học. T  zx  z * T  zx  z

  x  x    x ...  xf  xf ... Tương tự viết cho các phương trình còn lại. Trừ các phương trình tương ứng cho nhau, ta nhận được hệ phương trình và điều kiện mới. Ví dụ viết cho phương trình thứ nhất ta có :

)





(b) = x.l + Tyx.m + Tzx.n = x.l + Tyx.m + Tzx.n

 (Tzx - Tzx)= 0 z

(  x x  x 

 y 

(Txy – Tyx) +

x - x = 0 ; y - y = 0 ; Tyx - Tyx = 0; ...

Hay x = x ; y = y ; Tyx = Tyx Có nghĩa 2 hệ ứng suất này trùng nhau. Đó là điều cần chứng minh!

(x - x).l + (Tyx - Tyx).m + (Tzx - Tzx).n = 0 (c) Theo nguyên lý cộng tác dụng ta có thể xem các ứng suất trong hệ phương trìnhh (c) là một hệ ứng suất mới khi không có lực thể tích và lực bề mặt. Theo giả thiết về trạng thái tự nhiên của vật liệu, các ứng suất này phải bằng 0. Do đó :

CHƯƠNG 6 : BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.1. HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG

Bài toán phẳng chia ra 2 loại : 1. Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt

2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt

Hai bài toán này khác nhau về mặt vật lý song rất giống nhau về mặt

Giải bài toán phẳng về mặt toán học được đơn giản rất nhiều so với

Xét những mặt phẳng, ví dụ tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố

Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng

(a) z = Txz = Tyz = 0

(b) z  0

Các ứng suất : x, y, Txy. Các biến dạng : x, y, xy, z  0.

I. Khái niệm : Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy). Các bài toán này được gọi là các bài toán phẳng. phẳng xoy. phẳng xoy. toán học. bài toán không gian. II. Bài toán ứng suất phẳng : đều trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ. theo bề dày. Do đó điều kiện của bài toán sẽ là : Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên : Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng. Ân số của bài toán gồm có: Theo định luật Hooke, từ (a) ta có :

1 E

; xz =yz = 0 y = (y - x)

1 E

 E

1(2  )

; (c) z =- (x + y) x =

xy = Txy (x - y) Txy = G

Như thế, bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm

(d) (e) z = xz = yz = 0 z  0

và Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng.



Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là x, y, Txy với E,  là 2 hằng số đàn hồi của vật liệu. III. Bài toán biến dạng phẳng : Khi tính những vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng không đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm... ta thường xét 1 đoạn vật thể có chiều dài bằng 1 đơn vị. phẳng như biểu diễn trên hình vẽ sau : z Nhận xét tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến dạng dài theo phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực pháp tuyến theo phương z. Do đó, điều kiện của bài toán đối với tấm trong trường hợp đang xét sẽ là : Ẩn số của bài toán gồm có:

)

1 E

= 0 z = Các ứng suất : x, y, Txy, z0 Các biến dạng : x, y, xy. Theo định luật Hooke, từ (d) ta có : - Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = 0 - Còn ứng suất pháp z sẽ được tìm từ biểu thức z = 0     y (

Vậy y = (x + y).

Quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng còn sẽ là :



)

    z (

    y (

1 E

)



= x =

2   E

 

 y 

  x  

  

)



x =

2   E

 

 x 

  

Tương tự (*) y =

  y   1(2  ) E E

xy = Txy

 1



; (g) Đặt E1 = 1 =

(*) x = (x - 1y) ;

1(2

1 )

(f) y = (y - 1x) ;

2 1  1 E 1 1 E 1 1(2  ) E

 E 1

xy = Txy = Txy

1. Trong cả 2 bài toán phẳng, các ẩn số chính về ứng suất và về biến

 Những ứng suất hay biến dạng còn lại đều có thể biểu diễn qua

2. Quan hệ giữa các ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) là hoàn

3. Do sự giống nhau về mặt toán học như vậy nên phép giải của 2 bài

Tyx 



IV. So sánh và kết luận chung : dạng là như nhau : x, y, Txy, x, y, xy. các ẩn số chính. toàn tương tự như nhau, sự khác nhau chỉ thể hiện ở chỗ : - Trong bài toán ứng suất phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E,  còn trong bài toán biến dạng phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E1, 1 theo cách đặt (g). toán hoàn toàn như nhau. 6.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG BÀI TOÁN PHẲNG 1. Về mặt tĩnh học : Phương trình cân bằng Cauchy :

 x x  Txy 



+ fx = 0



y   y  y 

(6.1) + fy = 0

2. Về mặt hình học : Phương trình biến dạng Cauchy :

; x =

; (6.2) y =

u  x  v  y  u  x 

v  . y 

+ xy =

Các biến dạng phải thỏa mãn điều kiện liên tục của biến dạng, trong







 xy y x 2 2 yx  y x   3. Về mặt vật lý : Phương trình định luật Hooke. a. Biểu thức biến dạng qua ứng suất :

bài toán phẳng điều kiện này chỉ còn 1 phương trình :  (6.3)

x = (x - y)

(6.4) y = (y - x)

1 E 1 E 1(2  ) E

xy = Txy

b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng :

2 1  E

x = (x+ y)

(6.5) y = (y+ x)

2 1  E 1(2  )

Txy = xy

Nếu giải bài toán biến dạng phẳng, chỉ cần thay E,  bằng E1, 1. Hệ tám phương trình độc lập trên, chứa 8 ẩn số là ba ứng suất, ba biến dạng và hai chuyển vị là một hệ khép kín, cho phép ta giải được bài toán. 4. Các điều kiện biên : a. Điều kiện biên tĩnh học :

 xf  yf

(6.6) xl + Tyxm = Txyl + ym =

Tyx 



b. Điều kiện biên động học : Trên bề mặt S của vật thể cho trước các chuyển vị uo , vo hay các đạo hàm của các chuyển vị theo các biến số tọa độ. Nghiệm chuyển vị của bài toán phải thỏa mãn điều kiện : us = uo ; vs= vo . 6.3. PHÉP GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT - HÀM ỨNG SUẤT AIRY I. Phép giải theo ứng suất : - Chọn ẩn số chính là các ứng suất : x, y, Txy. Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1) .

 x x 

y 

= - fx

Txy 





 y  y 

= - fy

Nghiệm của (6.1) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình

Tyx 



thuần nhất (6.8)

 x x  Txy 



= 0



y   y  y 

= 0 (6.8)



 x x  Txy 



và nghiệm riêng của phương trình (6.9) Tyx  = - fx



y   y  y 

(6.9) = - fy

- Nghiệm riêng của phương trình (6.8) tìm được không khó khăn, nó

phụ thuộc vào dạng cụ thể của các lực thể tích. Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là : * x = 0 ; y = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số.

2ax 2

* x = + bx ; y = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0

2axy 2

; Txy = khi fx = axy , fy = 0. * x = 0 ; y = -a

3y 6 II. Hàm ứng suất Airy :





)8.6(





 x   x Txy   x

Tyx   y  y   y

Để giải hệ (6.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất Airy. Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất (6.8):

p 



y 



Tyx 



Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì q  giữa p và q phải có quan hệ : .

 x x 



- Phương trình thứ (1) của hệ (6.8) 

Tức (x.dy - Txy.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó.

A  ; Tyx = - y 



(a) Nên ta có quan hệ x =

Txy  x



A  x   y y   (y.dx - Txy.dy) là vi phân toàn phần của1 hàm B(x,y) nào đó :

Tương tự, phương trình thứ 2 :

B  y 

(b)  Ta có quan hệ : y = ; Txy = -

B  x  A  x 

B  y   (A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm (x,y) nào đó :

So sánh (a) và (b) ta có : (c) =

 x

 y

 Ta có quan hệ : A = ; B = (d)

Thay (d) vào (a) và (b) ta có:

2   2

 2 yx

x

y

(6.10) x = ; y = ; Txy = -

Hàm (x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng



theo ứng suất. III. Phương trình hàm ứng suất Airy : - Trong chương 5 ta có hệ phương trình (5.5) Beltrmi là hệ phương trình giải bài toán đàn hồi theo ứng suất đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học, và vật lý của môi trường. Sử dụng (5.5) để tính cho biểu thức ứng suất phẳng.

S 2

x  2 

= 0 (1 + )2x +

S 2

y  2



+ = 0 (1 + )2y +

S 2

z 

= 0 (1 + )2z +

(1+)2S +2S = 0  2S = 0 Với S = x+ y+ z.

S= x + y + z = x + y +(x + y) =(1+)(x + y).

(6.11) 2S = 2(x + y) = 0



 x 

 y 

  

     

2       2 2  y  x 

Vì trong bài toán ứng suất phẳng z=0 nên S= x + y Trong bài toán biến dạng phẳng : Nên trong bài toán đàn hồi phẳng ta đều có : (6.11) : Phương trình LêVy. Thay các ứng suất bởi hàm  thay (6.10) vào (6.11) ta có : 2





 x 

 yx 

 y   2(2) = 4 = 0

 (6.12)

(6.13)

Phương trình (6.13) : phương trình trùng điều hòa. Hàm  = (x,y) : là hàm trùng điều hòa . Kết luận : - Bài toán đàn hồi phẳng giải theo ứng suất dẫn đến việc giải phương

+ Nếu fx, fy  0  Cộng thêm các nghiệm riêng. - Theo (6.10) : Việc thêm hay bớt hàm  một lượng A+ Bx+Cy thì



l .



 xfm .

2  2

2   yx 

y 



l .



trình (6.12) sau đó tìm các ứng suất theo (6.10). các ứng suất không thay đổi. - Các hệ số tích phân được xác định theo điều kiện biên tĩnh học :

 yfm .

2  2

2   yx 

x 

(6.14)

Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất rút lại thành việc giải phường



Nghiệm của phương trình này là hàm ứng suất  phải thỏa mãn điều

l.x









 Txyl

  



l .



 f x

Txym  f Xét trường hợp fx = fy = 0 Thay (6.10) vào (6.11) ta có 2  2

2   yx 

y 



l .



Nếu (6.13) đủ để xác định các hằng số tích phân thì các ứng suất theo (6.10); (6.12) & (6.14) hoàn toàn không liên quan đến các hệ số đàn hồi của vật liệu. Những bài toán như thế là bài toán có liên kết bên ngoài tĩnh định.  Định lý LeVy-Michell : Trong biểu thức đàn hồi phẳng tĩnh định, chịu các ngoại lực tác động trên biên thì sự phân bố ứng suất không phụ thuộc vào các hằng số đàn hồi và như nhau đối với tổng cả các vật liệu. + Âënh lyï âæåüc sæí duûng laìm cå såí cho 1 phæång phaïp thæûc nghiãûm coï tãn laì phæång phaïp âaìn häöi. 6.4. ĐIỀU KIỆN BIÊN CỦA HÀM ỨNG SUẤT AIRY. trình trùng điều hòa (6.12). kiện biên.  (6.15)

 f y

2  2

2   yx 

x 

(6.16)

dy ds

Theo (H.6.3) ta có : l = cos(n, x) = cos(900 + ) = - sin = -

dx ds



m = cos(n, y) = cos =

 f x

2  .2

dx ds

2   yx 

y 

       .  y y    

       .  x y    

(6.15)  - = - -

 d     ds y   2

    dy

= - . (6.17)

 f y

2   .2

dx ds

 yx 

  



d     ds x  ds  Lấy điểm so bất kỳ trên chu tuyến làm gốc : S



S

A 

Xds 

+ = .

 x





S

B 

Yds 

(6.17) 

 y



  y    x 

(6.18)

Trong đó : A&B : Các hệ số tùy ý, biểu diễn giá trị của đạo hàm

  y 

  x 

S 0

của chu vi .

X(S) , Y(S) : Ký hiệu mang ý nghĩa tĩnh học sẽ nói đến dưới đây.

Để rõ ràng ta đưa ra sự tương tự

Tại đó ta đặt các lực : A // S0x B // S0y Và ngẫu lực C như hình vẽ Như vậy : X(S) & Y(S) : Chính là tổng hình chiếu của các ngoại lực



như sau : Thay chu vi vật thể khảo sát bằng thanh có cùng dạng và cắt tại điểm S0 (H.6.4). tác dụng lên đoạn S0S chiếu lên trục x & y. + Nếu chúng ta lấy trục t  trục tiếp tuyến ngoài tại điểm S n  pháp tuyến ngoại tại điểm S.

N(S) Thì : (6.19)

= Q(S) (6.20)   n      t s  

được xem là dương  nếu là lực kéo.

N(S) : Lực dọc cũng tại điểm S của thanh, Q(S) : Lực cắt tại điểm s của thanh. So sánh quan hệ giữa nội lực là moment uốn và lực cắt trong sức

bằng vật liệu:



Q(s)

dM ds d (6.21) ds M(s) : Moment của lực đặt trên đoạn S0S của thanh đối với điểm s. Vậy tại điểm trên chu tuyến của vật thể ta có thể xác định giá trị của hàm

  = M Q(s)

 n

ứng suất (x,y) và các đạo hàm theo phương pháp tuyến tại các điểm ở

trên chu vi theo trọng đã cho dựa vào công thức (6.21) và (6.19) , quá trình ///đó giống như tìm moment uốn S lực dọc gây ra bởi tải trọng cho trước trên chu vi nếu tưởng tượng chu vi đó là ////mà cắt ra tại 1 tải diện bất kỳ.  có dạng bất kỳ : Chuỗ Taylor, Furiê, hàm phức,... chuổi đặc biệt.   có dạng đa thức.

Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm một hàm ứng suất 

- Phương trình trùng điều hòa - Điều kiện biên





t 2 t 2

+ Tính ứng suất trên tấm công chịu lực tập trung đặt tại đầu tự do

6.5. HÀM ỨNG SUẤT DƯỚI DẠNG ĐA THỨC thỏa mãn 2 yêu cầu : như hình vẽ 1. Dạng hàm 

  là hàm đa thức bậc 4 đối với x, y

+ Theo kết quả ở sức bền vật liệu: x =

M Z . y J Z 2   2

y

theo hàm  : x =

(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx3 + cx2y + fxy2 + gy3 + hx4 + ix3y +

ix2y2 + kxy3 + ly4. (a)  phải thỏa mãn phương trình trùng điều hòa :

4   4

4   2 yx  

y

+ + = 0

x 4   4

4   4

y

4   2 yx  x   h + 2j + l = 0

= h ; = j ; = l.

(1)

x = = 2c + 2fx + 6gy + 6kxy.  h = j =l = 0 2   2

x 2   2

x

y = = 2c + 6dx + 6ey + 6ixy. (b)

 2 yx

;

x 

Txy = - =-(b + 2ex+ 2fy + 3ix2 + 3ky2

 ,0

t 2

* Biên trên (y = Txy = 0 , : (c) 2. Các điều kiện : Xét điều kiện biên theo ứng suất : L

;

x 

y = 0 (d)

 ,0

L

t 2

Txy = 0 , (e) * Biên dưới (y =- :

y = 0 (f)

Từ (c) & (e) ta có :

t 2

2a +6dx +2e( )+6ix( ) = 0

t 2

t 2 t 2

2a + 6dx - 2e - 6ix = 0  e = i = 0 e = i=f=0

 b + 3

2kt 4





t 2

 k 3  

  

 b  

  

f 

 b = - 3

kt (4)









t 2

  k 3  

  

 b  

  

     0   





(2) Từ (d) & (f) ta có : a=d=0 (3)

t 2

 

 

t 2 (g)

* Biên trái (x = 0, y ) ta có :



t 2 Txy

dF .



x= 0





t 2

(h)

Từ (g)  c = g = 0

3 4

t 2



t 2

t 2 TxydF

2 ykt

(

)











 Txy = - (- kt2 - 3ky2 (5) 3 kt2 + 3ky2) = 4



3 4

3 3

  

 



t 2



t 2





3 4

t 2

3 4

t 2

2   

 k  

 .  

  

 k  

  

   

   

    3











3 4

kt 2

kt 8

3 4

kt 2

kt 8

3 4

kt 4

   

    

   





          kt 2

= (6)

p 2  k = 3 t 

2 3

kt 

3 4



 Txy =

p 3

t 6

t  12

y .

x = 6. .y x = 6kxy y = 0 Px ( ) 3

Mz Jz

 x = (6.22) J3 =

3t 12 M3 = Px

z : Trục trung hòa

Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực  và vectơ bán

1. Các phương trình vi phân cân bằng : Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,,z), ta

d 



 

    

 r





 r 

f

  dr   



 r 

  r  r     r dr r 

d

R

- 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr. - 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc d. - 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị





r

r 

CHƯƠNG 7 : BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Khi giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi, trong một số trường hợp dùng tọa độ độc cực sẽ tiện lợi hơn tọa độ Descartes, ví dụ khi nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những miền cạnh lỗ tròn của tấm… kính r. 7.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt.

y Hình 7.1

+ Ký hiệu: r là trục theo hướng bán kính,  là trục đi qua điểm đang xét



d 





A(r,,z) và vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau: - Các mặt nhận r làm pháp tuyến: + Trên mặt đi qua điểm A(r,,z) có các thành phần ứng suất: r, Tr. + Trên mặt đi qua điểm A(r, + d,z), khai triển theo Taylor có các thành

Tr 

 r

  r  

  dr  

phần ứng suấ: ,

- fr, f : Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp

Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 7.1 : tuyến.

 0

 (1.

dr ..



)(



ddr ).

dr .

sin.1.





 ). d

sin.1.



 r

  

 ( 

 d 2

    

 d 2

  r  r

dr .

.1.

cos



 ) d

.1.

cos



 dr .



  r

 (  r

drf .. r

 d 2

   r  

 d 2

sin

cos



 d d  2 2 d 2





Vì biến dạng bé nên

  r  r

T    

1 r

r 





(7.1) Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.d ta được:   r  r

f 

    

1 r

(7.2) Tương tự chiếu các lực lên phương  ta được T   r

(7.3)



+ Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : Tr = Tr 2. Các phương trình hình học : Chuyển vị của điểm A(r,) theo phương r,  là u,v Chuyển vị của điểm B(r+dr, ) theo 2 phương r,  là :

 u  r

 v  r

và



d 



d 

Chuyển vị của điểm C(r,+d) theo 2 phương r,  là :

 u  

 v  

và

Biến dạng tương đối theo phương r,  là r, 

Hình 7.2

*Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc . Sau biến dạng ABCD  A’B’C’D’ :

+ Các biến dạng dài :

(

)







BA ' '  AB

u  r  dr

u  r 



r = ;

 u  r

d 



và

 u  

và

2. Các phương trình hình học: Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ là u, v. Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương là:  v  r Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2 phương là:  v  Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: εr, εθ * Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến



d 

 u   D C'

1



 u  r

A' U

dạng ABCD trở thành A’B’C’D’:

Hình 7.3



u)dr





 u  r

+Các biến dạng dài tương đối:





 u  r

;



 

 AB'B'A AB  AC'C'A AB

dr  rd 

u r

;

 d)ur( rd



u)d 



EAC



u   rd



1 r

u  

+Biến dạng góc: (a)

* Xét biến dạng do chuyển vị v gây ra khi giữ nguyên dr. Sau biến dạng

ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’:

D''

2

C''



B'' N M

 v r 

A'' A

(Hình 5.4)

(



)  d



d  

'' CA

v   



+ Biến dạng dài:





1 r

u   

''  AB + Biến dạng góc:

(



)



(b) γ2 = (B’’A’’M – NA’’M)

 v r  dr

v  r

 v r 

v r

v trong γ2 là do sự quay toàn phân tố ABCD đối r

Có số hạng (NA”M) =

với điểm 0.

Cộng (a) và (b) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong



tọa độ cực:







 u  r u r







1 r 1 r

 v  u  

 v  r

v r

(7.4)

3. Các phương trình vật lý: Trong tọa độ cực, có thể có được các phương trình của định luật Hooke

trong tọa độ Descartes bằng cách thay x, y bằng r, θ:

εr =

(7.5a) εθ=

1(2  ) E

γrθ = Trθ a. Biểu thức biến dạng qua ứng xuất: 1 (σr – μσθ) E 1 (σθ – μσr) E 1 Trθ = G

2 1 

b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng: E (εr – μεθ) σr =

E (εθ – μεr)

2 1  Trθ = G.γrθ



(7.5b) σθ =

 1

E 1



E 2 1 

; Ở bài toán biến dạng phẳng thay E, μ bằng E1, μ1 theo cách đặt:  

$7.2. GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT: - Phương trình LeVy  2(σx + σy) = 0 là phương trình giải bài toán phằng

 2(σx + σy) = 0 σx + σy = σr + σθ = S  2(σr + σθ) = 0

theo ứng suất trong hệ tọa độ Descartes.

Ta hãy biểu diễn phương trình đó trong hệ tọa độ cực:  * Liên hệ giữa các thành phần tọa độ Descartes và tọa độ cực:



)

r2 = x2 + y2 (a) y (b) tgθ = x

)



(a)  = 2r

x = cosθ r y = sinθ r

 = 2x  r  x  r  y

 = r  x  r  y

(

)



x 2



= 2y  = = 2r

y 2

( 2 r x  ( 2 r y  y x  x

  x

= - x

1 2 cos

 x

(b)  = .

y  r 2x y = - 1 . r r

sin r



(

)

x 2

= - (c)

1  r

1 = x

1 . r

x = r

cos r

y x y



 y

1 2 cos

= .  = =

 .cosθ - f  r  .sinθ - f  r

sin r cos r

 + r x   r  y

cos





= = +



f 2

 = f  x  f  y  r

 

sin r

 . f  r  . f  r f   r

f .  f .  f   r

f .  f .  f   

f   

sin r

 

  

 

  

cosθ - = . * Như vậy, đối với hàm f(x,y) bất kỳ, trong tọa độ cực: = r  y sin r

sin.





sin.





 r

 

cos r

f   r

f   

cos r

f   r

f   

cos r

 = f 2 y 

 

  

 

  



+

sinθ - .

f 2



+

. = cos2θ -

f 2

f  f 

 f  r  f  r

2sin + r 2sin + r

2 sin r 2 cos r

f2   r f2  r 

2sin 2 r 2sin 2 r

2  f + 2  2  f + 2 

sin r cos 2 r

  r 2   r

 2f =

sin2θ - .

1 r

 

2  f 2 

 = f 2 y  2

1  + 2 f r  r 2



 2 =

+ + Sau biến đổi ta nhận được:  x  2  = f 2 y  Lấy tổng hai biể thức ta được: 2 f f 2 2

1 r

 r   + r

1 r

 2 



)



+ (7.7)

 ( 

 r Thay (7.7) vào (7.6) 2 1 r

 r 

1 r

 r 

 2  

   

   

(7.8)

Cũng tương tự như trong hệ tọa độ Descartes trong trường hợp lực thể



 r

1 r

  r 

1 2 r

2   2  





tích bằng 0, lấy các ứng suất thỏa mãn phương trình cân bằng (7.1), (7.2):



2  2  



Tr 

  r 

1 r

 r 

2  

1 2 r



(7.9)

1 r

 r 

  r 

1 2 r

  

  

1 r

2   2  

= 0

(7.10)

Trong đó: φ(r, θ): Là hàm ứng suất trong tọa độ cực Thay (7.9) vào (7.8) ta có: 2    1      2 2 2 r  r r      2(  2φ) = 0  (7.10): Phương trình trùng điều hòa của bài toán phẳng trong tọa độ cực.

$7.3. TÍNH TÁC DỤNG CỦA MỘT LỰC TẬP TRUNG VÀO BIÊN CỦA MỘT TẤM BÁN VÔ HẠN ĐÀN HỒI (Bài toán PhơLamăng)

Giả sử có một môi trường đàn hồi được giới hạn bằng một mặt phẳng gọi là không gian bán vô hạn đàn hồi. Trên mặt phẳng chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều theo một đường thẳng. Để giải bài toán ta cắt ra một phân tố giới hạn bởi hai mặt phẳng song song và vuông góc với đường tải trọng và cách nhau một đơn vị. (H7.4)

Hình 7.4

Trong trường hợp không gian bán vô hạn giới hạn bởi 2 mặt phẳng song

(7.11)

C là hằng số phải xác định sao cho hàm φ(r, θ) thỏa mãn Chọn φ(r, θ) = C.r.θsinθ





cos



 r

C r

1 2 r

2   2  



Như vậy ta đã đưa bài toán không gian thành bài toán phẳng. song gần nhau thì được xem là bản vô hạn đàn hồi. Nếu bản mỏng ta coi bài toán này như bài toán trạng thái ứng suất phẳng. Xét bản mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng ở biên. Do tính đối xứng qua trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) là 1 hàm chẵn đối với θ nên σr, σθ là hàm chẵn đối với θ. phương trình trùng điều hòa và điều kiện biên:



1 r  

(7.12)

Theo (7.9) ta có:    r 2  2 r Trθ = 0

σθ = Trθ = 0. Mặt vuông góc với này cũng không có ứng suất. Xác định hằng số C bằng cách tính tổng hình chiếu lên trục các lực pháp

P 

cos





Qua (7.12) cho thấy trên mặt phẳng vuông góc với bán kính r chỉ có ứng suất pháp σr. tuyến tác dụng lên nửa vòng tròn tâm 0.

 2 rdF (    2

Σx = 0 với dF = r.dθ.1 (1 là bề

P 

cos

 2  rdr .    2

dày của tấm)



cos



r ..

cos

d . 

C 2 r

 2    2



 2



C 2

d 



C 2

d 

cos 2

 2 cos    2

 2    2

 2





2sin

C



2C 2

1 2

   

   



 2

C 

P  Thay (7.13) vào (7.12) ta có:



cos



 r

P 2  r

(7.13)

(7.14)

σθ = 0 Trθ = 0

Ở đây ta không xét khu vực đó mà chỉ áp dụng nghiệm đã rút ra ở ngoài

Từ (7.14) cho thấy: Tại điểm đặt lực P: r = 0 thì σr = ∞. Thực tế khi chịu lực tập trung ở điểm đặt lực có ứng suất cục bộ rất lớn làm cho khu vực tại những điểm xung quanh điểm đặt lực bị chảy dẻo. khu vực nói trên. + Tính chất nghiệm của σr: d.cosθ = r

1  d

cos r



cos





(a)

 r

2 P  d





Từ (7.14) 

 r

2 P  r 2 P  d

(7.15)

Công thức (7.15) cho thấy ứng suất σr của tất cả các điểm cùng một vòng

tròn đều như nhau. Vòng tròn đó gọi là đường đẳng suất.

Hình 7.15 Ví dụ: cấu kiện chịu nén đúng tâm

Tính bản trong hệ tọa độ Descartes:

* = σx.l + Tyx.m = σx.l f x Nhân 2 vế của phương trình cho l * = Tyx.l + σy.m = σr.m Nhân 2 vế của phương trình cho m f y  σx.l2 – σy.m2 = σr.l2 – σr.m2 Ta có:

Ta có: * = σr.cos(n, x) = σr.l f x * = σr.m f y Mà:

y

r

yx



f*y

r

yx



r

x



r

xy

f*x

xy

x

σx + σy = σr + σθ l2 + m2 = 1

   

σθ = 0  σy = σr - σx. σx.l2 – (σr - σx)m2 = σr.l2 – σr.m2 σx.l2 – σr.m2 – σx.m2= σr.l2 – σr.m2 σx(l2 + m2) = σr.l2 σx = σr.l2 σy = σr.(1 - l2) = σrm2 Txy = σr.l.m.

x = r



Mà l = cosθ =





m = cosβ = sinθ =

x  2

σx = σrcos2θ = σr.

y 

(7.16) σy = σrsin2θ = σr.

xy 

Txy = σrsinθcosθ = σr.

x 2 cosθ từ (7.14) vào (7.16) ta có: P r 

Thay σr = -

22 2 xy

σx = -



22

(7.17) σy = -

2 cos3θ = - P P2 .  r   x  2 sin2θcosθ = - P P2 .   r  x P2 . 2 sinθcos2θ = - P  r 



22

 x Tính chất nghiệm của (7.17):







max  x

2 P  x



  

Txy = -

 i





x

2 

* Trong trường hợp có nhiều lực tập trung như hình vẽ, để tính ứng suất

n  1  i

22 )

i 

(

cos r i

x i

sin





tại 1 điểm ta có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính. 2 

y

2 

n  1  i

22 )

(

yx i 2 

 cos i r i

sin

cos

 i



xyT



2 

n  1  i

1 

i y 2 yx i 2 

i y

(

22 )

 i r i

1

x

n

2

xy

yx

y

max

(7.18)

TẤM MỎNG CHỊU UỐN

CHƯƠNG 8 : $8.1. KHÁI NIỆM CHUNG Tấm là vật thể dạng hình trụ hay lăng trụ có chiều cao nhỏ hơn nhiều so

o

d y

với các kích thước ở đáy (h << a, h << b). (Hình 8.1)

z Hình 8.1

Tùy theo dạng của đáy mà người ta phân ra: tấm tròn, elip, vuông, đa

Mặt phẳng chia đôi chiều cao của tấm được gọi là mặt trung gian. Giao tuyến của mặt xung quanh với mặt trung gian gọi là chu tuyến của



- Các tấm được dùng trong các kết cấu xây dựng là tấm mỏng. Tấm mỏng

1 5

1 100

h b

1 5

Hoặc giác, tam giác, chữ nhật… tấm. Khi nghiên cứu tấm ta chọn mặt tọa độ Oxy trùng với mặt trung gian trục z hướng xuống. Khi đó chuyển vị w theo phương trục z sẽ là độ võng của tấm. Việc chọn gốc tọa độ tùy theo trường hợp cụ thể của dạng chu tuyến và đặc tính liên kết biên. (Hiện nay, người ta đã sử dụng nhiều các tấm trong xây dựng: Tấm lát, tấm panen, các tấm bê tông và bê tông cốt thép để làm mái các nhà công nghiệp, làm móng các nhà lớn…) là tấm có tỷ số chiều dày h và kích thước nhỏ nhất ở đáy là: wmax  h



- Trường hợp

h > b h b

1 : Được tính theo lý thuyết tấm dày 5 1 được gọi là màng 100

w max > h

1 5

- Các tấm có

Tấm mỏng được tính theo lý thuyết gần đúng, còn gọi là lý thuyết kỹ

tríc biÕn d¹ng

thuật, dựa trên những giả thiết của (Kirchhoff).

a mÆt trung gian

x sau biÕn d¹ng

1. Giả thiết pháp tuyến thẳng:

Hình 8.2

Điều kiện pháp tuyến thẳng và vuông góc cho ta biết góc vuông giữa pháp

(8.1) γyz = γxz = 0

(8.2) εz = 0

(8.3)

Điều kiện chiều dài của phân tố không đổi: 2. Giả thiết về các lớp của tấm không chèn ép lên nhau: Có nghĩa: σz = 0 3. Giả thiết về sự không co giãn của mặt trung gian: Tức mặt trung gian chỉ có chuyển vị theo phương vuông góc với nó,



Một phân tố thẳng vuông góc với mặt phẳng trung gian của tấm vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung gian sau biến dạng, chiều dài của phân tố đó không thay đổi. tuyến và các trục x,y vẫn vuông góc. Do đó: chuyển vị theo các phương khác nhau rất nhỏ nên có thể bỏ qua:

0w 

  

(8.4)

Các kết quả tính toán dựa trên các giả thiết trên cho thấy chúng khá phù





 yz



Từ giả thuyết 1: εz = 0 hay εz = hợp với thực nghiệm. $8.2 CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG TRONG TẤM CHỊU UỐN Giả sử tấm chịu tải trọng tác dụng vuông góc với mặt trung gian. Khi đó trong tấm phát sinh các chuyển vị. Ta sử dụng các giả thuyết để xác định chúng.  = 0  Chuyển vị w là hàm không w z 







 zx

(8.5)

v   z u   z

    0  

     

w  w   y  y  w  u  x  z Lấy tích phân (8.5) theo z ta có:

phụ thuộc z  w = w(x,y). Nghĩa là với mọi điểm nằm trên 1 đường vuông góc với mặt trung gian có chuyển vị như nhau. Vì vậy chỉ cần xác định độ võng của mặt trung gian là đủ. Từ (8.1) ta có: v   z w   x

u = -z

 +f1(x,y) w x   w  y

v = -z +f2(x,y)

; v(0) = f2(x,y).

Trong đó f1, f2 là các hàm của 2 biến (x,y). Để xác định f1(x,y), f2(x,y) Tại z = 0 ta có: u(0) = f1(x,y) Theo giả thiết 3 ta có u(0) = f1(x,y) = 0 ; v(0) = f2(x,y) = 0

z- =u



z- = v

w   x w   y

     

(8.6)

Thay (8.6) vào phương trình biến dạng Cauchy ta có:

εx =

 =-z u x   u  y

=-z (8.7) εy =

 w 2  x 2  w 2 y   =-2z u x 

 2 w yx 

 u  y

+ γxy =

Từ (8.6) và (8.7) cho thấy các thành phần chuyển vị và biến dạng trong

d y

h -

x

yz

2x h

xz

y

xy

tấm chỉ biểu diễn qua một hàm độ võng của mặt trung gian của tấm.

yx z Hình 8.3

$8.3 CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC TRONG TẤM CHỊU UỐN Xét một phân tố được tách ra từ 2 mặt phẳng vuông góc với trục x cách nhau 1 đoạn dx và 2 mặt phẳng vuông góc với trục y cách nhau 1 đoạn dy. Chiều cao của phân tố bằng bề dày của tấm.

+ Khi đã biết biến dạng theo (8.7), dựa vào địng luật Hooke ta nhận được

+ Tại điểm có tọa độ z: - Trên mặt vuông góc với trục x có các ứng suất: σx, Txy, Txz. - Trên mặt vuông góc với trục y có các ứng suất: σy, Tyx, Tyz. Theo giả thiết 1 => Txz = Tyz = 0 Trong thực tể các ứng suất này khác 0 vì nếu không có nó, sẽ không thõa mãn điều kiện cân bằng của phân tố được tách ra để khảo sát. Nhưng các ứng suất này nhỏ so với các ứng suất σx, σy, Txy nên có thể bỏ qua. các ứng suất theo chuyển vị w:





E (εx + μεy) =

w  2 x 

w  2 y 

2 1 

zE  . 2 1 



; σx =

E (εy + μεx) =

w  2 y 

 w  2 x 

2 1 

     

     

; (8.8) σy =

E 1(2  )

Ez   1

zE  . 2 1   2 w yx 

. Txy = γxy=

d y

2 /

h -

Vì w không phụ thuộc vào z nên từ (8.8) ta thấy các ứng suất σx, σy, Txy là hàm bậc nhất của z. Tức là ứng suất phân bố tỉ lệ bậc nhất với khoảng cách tính từ mặt trung gian.(Góc tọa độ 0 nằm trên mặt trung gian)

Hình 8.4

* Gọi Mx, My là các moment uốn tác dụng trên 1 đoạn mặt cắt ngang dài

* Mxy và Myx là moment xoắn tác dụng trên 1 đoạn mặt cắt ngang dài bằng

Mx, My > 0 : Khi căng thớ ở phía (+) của trục z Mxy, Myx > 0 : Khi ta nhìn theo chiều mặt cắt nó quay thuận chiều

Mxy

Myx

- Đối với ứng suất qui luật phân bố này tương tự như dầm phẳng. - Đối với ứng suất tiếp qui luật phân bố này tương tự như thanh bị xoắn có mặt cắt hình chữ nhật. Những ứng suất này hợp thành những moment uốn và những moment xoắn trên mặt cắt của bản. bằng 1 đơn vị và vuông góc với trục x, trục y. 1 đơn vị và vuông góc với trục x, trục y. Qui ước dấu: kim đồng hồ.

Hình 8.5

* Để xét sự cân bằng của phân tố ta phải tính các nội lực của phân tố:

h 2

Moment uốn, moment xoắn và các lực cắt tác dụng lên phân tố. 1. Tính moment uốn: a. Tính Mx: (Hình 8.3)

dz ) 2

h  2

(σx.dy.dz)(z + (*) Mx.dy = 

h 2

Bỏ qua thành phần VCB bậc cao σx.dy.dz.dz/2:

h  2





z.σx.dz (*)  Mx = 

w  2 x 

w  2 y 

zE  . 2 1 

  

  

h 2





từ (8.8): thay σx =



w  2 x 

w  2 y 

zE  . 2 1 

  

  

h  2





Ta có z2dz. Mx =

w  2 x 

w  2 y 

 hE . 2 

1(12

)

  

  

= .

hE . 2 

1(12

) D: Độ cứng của bản khi chịu uốn





Đặt: D = (8.9)

w  2 x 

w  2 y 

  

  

(8.10) Thay (8.9) vào Mx,ta có: Mx = -D

h 2

b. Tính My: (Hình 8.3)

dz ) 2

h  2



(σy.dx.dz)(z + My.dx = 

w  2 y 

 w  2 x 

  

  

(8.11) Tương tự ta có: My = -D

h 2

2. Tính moment xoắn: a. Tính Mxy:

dz ), bỏ qua cô cùng bé bậc cao 2

dz , ta có: 2

h  2

h 2

(Txy.dy.dz)(z + Mxy.dy = 

 Mxy = 

h  2

z.Txy.dz

 2 w yx 

Ez   1

h 2

từ (8.8) ta có: . Thay Txy =



 2 w yx 

Ez   1

 hE . 1(12

 1( 2  

 ) )

. z2dz = . Mxy =

h  2  2 w yx 

(8.12) Mxy = -D(1-μ)

h 2

b. Tính Myx:

dz ) 2

h  2

(Txy.dy.dz)(z + Myx.dx = 

Tương tự ta có:

 2 w yx 

(8.13) Myx = + D(1-μ)

(8.14)

Từ (8.12) và (8.13) ta thấy: Mxy = - Myx Kết quả (8.14): Định luật đối ứng của moment xoắn trong tấm mỏng chịu

h 2

dyQx .



dy . dz .





Txz h 2

uốn. 3. Tính lực cắt:

h 2

dxQy .



dx . dz .





Tyz h 2

         





(8.15)

w  2 x 

zE  . 2 1 

  

  

(a) σx = Quan hệ giữa moment uốn và ứng suất: w  2 y 



(8.8) 

w  2 y 

w   2 x 

zE  . 2 1 

  

  





(b) σy =

w  2 x 

w  2 y 

 hE . 2 

1(12

)



Từ (c) (8.10)  Mx =

w  2 y 

 w  2 x 

 hE . 2 

1(12

)

     

     

(d) (8.11)  My =

Mx .z 12 3.1 h

σx =

Theo sức bền vật liệu ta có: Mx .z = Mx .z = 3h Jx . b 12

Từ (a) và (c) ta có:



w  2 x 

 w  2 y 

 E .z 2 1 

  

  

Mx .z = 3h 12



σx =

w  2 y 

w   2 x 

 E .z 2 1 

  

  

σy =

Từ (b) và (d) ta có: My .z = 3h 12

Các ứng suất đạt cực trị tại mặt có z =

h = 2

Mx (Wx = h

h  2 .1 2h 6

) Max |σx| =

My | My

Mx . | 3h 12 My = |6 | h

Max |σy| =

Xét một phân tố có cạnh là dx, dy của mặt trung gian, chịu tác động của

Qy My

- Nội lực của phân tố được biễu diễn trên hình (Hình 8.6)

d y

Myx

o

 M



 M  x

 y

Mxy



 Q x  x

 Q

C dy



 M

y  y

 M



xy  x

yx  y

$8.4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA MẶT TRUNG GIAN KHI UỐN TẤM ngoại lực phân bố q(x,y) vuông góc với mặt tấm.

z Hình 8.6

- Nội lực trên các cạnh bao gồm: Các cạnh vuông góc với Ox: Cạnh OB: Qx, Mx, Mxy.

 Qx  x

 Mx  x

 Mxy  x

Cạnh AC: Qx + .dx, Mx + .dx, Mxy + .dx

Các cạnh vuông góc với Oy: Cạnh OA: Qy, My, Myx.

 Qy  y

 My  y

 Myx  y

Cạnh BC: Qy + .dy, My + .dy, Myx + .dy

* Phân tố ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực và nội lực. Từ điều kiện cân bằng có tổng hình chiếu của các lực lên trục z:

 Qx  x

 Qy  y



Σz = 0  - Qx.dy +(Qx + .dx).dy – Qy.dx + (Qy + .dy).dx + qdxdy = 0

 + Qx x 

 Qy  y

+ q = 0 (8.16)

 Mx  x

.dx)].dy + [Myx - (Myx + ΣMy = 0  [- Mx +( Mx + .dy)].dx Viết phương trình moment của các lực đối với trục y:  Myx  y

dx + Qy.dx. 2

dx - (Qx + 2

 Qx  x

dx =0 2

 Qy  y

– (Qy + .dy).dx. .dx).dydx - qdxdy

Bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao và chia cho dxdy ta có:

 Mx  x



(8.17) - - Qx = 0

 Q x

Myx  y

 Myx  y  Mx  x





 x

 2 w yx 

 y

w  2 x 

  







Qx = - D - D(1-μ) Thay Mx từ (8.10) và Myx từ (8.13) vào Qx ta có: 2 w  2 y 

 x

w  2 x 

  

w 2 y

 

w 2 y

w  2 y 

  

  



= - D

 Qx = - D

          x

w  2 x 

 

w 2 y

  

  

(8.18)



Tương tự:

 y

w  2 x 

  

  



(8.19) Qy = - D

w  2 x 

w 2 y

 

 - D 2 x

 - D 2 y

w  2 y  Thay Qx và Qy từ (8.18) và (8.19) vào (8.16) ta có:   

  

  



q D

 y 

 x 

 y 

  w 









q D

      4 2 w  2 2  y x

 

          x  

w 4 y Hay viết dưới dạng toán tử vi phần Laplace:

= -q



)w(



q D

(8.20)

Phương trình (8.20) là phương trình vi phân của mặt trung gian của tấm

khi chịu uốn được gọi là phương trình Sophie-Germain.

Khi tích phân (8.20) sẽ xuất hiện các hằng số tích phân, chúng được xác

định từ các điều kiện biên. $8.5. CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN

y = b



by 

1. Biên ngàm:



by 

w   y

    

Tại ngàm độ võng và góc xoay bằng 0: (8.21)

y = b

2. Biên gối khớp:



Tại khớp độ võng và moment uốn My = 0. w by  = 0

by  = 0  - D

by  = 0

w  2 y 

w  2 x 

  

  

 w 2  x

by  = 0

 w  2  x



by 

 Điều kiện gối khớp:

Theo phương trục x biên đều thẳng vì vậy độ cong = 0



by 

w  2 y 

    

(8.22)

y = b

2. Biên tự do:



by 



Tại biên moment, lực cắt, moment xoắn đều bằng 0.



by 

Myx



by 

     

(8.23)

$8.6 TÍNH BẢN MỎNG HÌNH E-LIP NGÀM CHU TUYẾN CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU





Xét bản mỏng hình ellip ngàm chu tuyến chị tải trọng phân bố đều q.

x a

y b

Phương trình Ellip:





x a

y b

  

 1 

A '

Tìm hàm độ võng của bản dưới dạng: 2 w(x,y) = C (8.24)

Trong đó C là hằng số cần xác định sao cho (8.25) thõa mãn phương trình

) w 

2 ( 







Sophia-Germain

q D

 w 2 x  y

 w 4  y







w   x

x a

y b

  

  











 w yx 

Cy8 ba

w  2 x 

C 4 2 a

y b

x a

Cx 8 4 a

  





Cx 16 4 a

 w yx 

C8 ba



   Cx 8 4 a 24 C 4 a

w  3 x  4 w  4 x 

 w 4  x Tính các đạo hàm:  2 Cx 4  2 a           





(*)

q D

24 C 4 a

8 C 2 ba

24 C 4 b

 w 4  y

C 24 4 b

 C =

Tương tự: (*) 



q 16 2 ba

24 4 b

24 4 a

  

  

(8.25)





Phương trình độ võng w(x,y) phải thõa mãn các điều kiện biên sau:

x a

y b

Khi x, y thõa mãn phương trình chu tuyến



0

(1)

w   x







Các góc xoay (2) Thì độ võng w = 0 w   y

x a

Cx 4 2 a

y b







khi x, y thỏa mãn phương trình chu tuyến.

Cy 4 2 b

y b

x a

     

w   y Vậy các điều kiện biên (1) & (2) đều được thỏa mãn.

khi x, y thỏa mãn phương trình chu tuyến. Kiểm tra điều kiện biên: Từ (8.25) cho thấy khi x,y thỏa mãn phương trình chu tuyến thì w = 0 Điều kiện 2: ta có:  w    x    





Phương trình độ võng:

y b

x a

  

  



24 4 b

24 4 a

  

  