Giáo trình Lý thuyết đàn hồi - Phần 2

Chia sẻ: Lê Thị Hạnh Tuyết | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

299
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp phần 1 giáo trình Lý thuyết đàn hồi phần 2 trình bày nội dung về phương pháp cơ bản giải bài toán lý thuyết đàn hồi tuyến tính, cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo ứng suất, bài toán phẳng, phương trình vi phân cân bằng,... Tham khảo tài liệu này để nắm bắt chi tiết môn học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Lý thuyết đàn hồi - Phần 2

CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH §5.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN- CÁC CÁCH GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.1.1. Các phương trình cơ bản : Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm : - Sáu thành phần ứng suất : x, y, z, Txy, Tyz, Tzx. - Ba thành phần chuyển vị : u, v, w. - Sáu thành phần biến dạng : x, y, z, xy, yz, zx. Để xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sau : 1. Về mặt tĩnh học : a. Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy: Hệ (2.1)  x Tyx Tzx 2  u  x  y  z  fx  0 (  t 2 ) ;   Txy y Tzy  2v     fy  0 (  2 ) ; (1)  x y z t  Txz Tyz z 2w     fz  0 (  2 ) .  x y z t b. Các phương trình điều kiện biên theo ứng suất: Hệ (2.3) 2. Về mặt hình học : a. Hệ phương trình biến dạng Cauchy-Navier : Hệ (3.1)  u v u  x  ;  xy   ; x x y   v w v  y  ;  yz   ; (2)  y y z  w u w  z  ;  zx   .  z z x b. Các phương trình liên tục của biến dạng : Hệ (3.12) và (3.13). 3.Về mặt vật lý : 32
a. Biểu thức biến dạng biểu diễn qua ứng suất : 1 1 2(1   ) x  E     x   ( y  z ) ; xy = G Txy  E Txy ; 1 1 2(1   ) E    y =  y   ( x  z) ; yz = Tyz  G E Tyz ; (3a) 1 1 2(1   ) E    z=  z   ( x  y ) ; zx = Tzx  G E Tzx . b. Biểu thức ứng suất biểu diễn qua biến dạng : x =  + 2Gx ; Txy = Gxy ; y =  + 2Gy ; Tyz = Gyz ; z =  + 2Gz ; Tzx = Gzx. 5.1.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính : * Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính. Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán. Những ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính. 1. Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàm chuyển vị u, v, w. 2. Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất. 3. Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán, ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất. §5.2. CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐH THEO CHUYỂN VỊ Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản : 5.2.1.Về mặt vật lý: Từ định luật Hooke tổng quát : x =  + 2Gx Txy = Gxy (a) Tzx = Gzx 5.2.2. Về mặt hình học: Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy : 33
u x = ; x yx = v  u ; (b) x y zx = w  u ; x z u u Thay (b) vào (a) ta có : x =  + G +G x x  v u  Tyx = G     (c)  x y    w u  Tzx = G     x z  3.Về mặt tĩnh học: Từ phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy : x Tyx Tzx 2u    fx  0 ( 2 ) ; (d) x y z t Thay (c) vào (d) ta có:  2u 2u 2v 2u 2w 2u 2   u   G 2 G 2 G G 2 G  G 2  fx  0  2  x x x xy y xz z  t    2 2 2    u v w  2   u    G 2  2  2 u  G     x y z   fx  0   2  (*) x   x  x y z    t  2 2 2    Với 2 =  2  2 : Toán tử vi phân Laplace. x 2 y z u v w   =x+y+z = : Biến dạng thể tích tương đối x y z 2    u (*) ( + G) + G2u + fx = 0    ; t  2 x   2    v Tương tự ( + G) + G2v + fy = 0    ; (5.1) t  2 y   2    w ( + G) + G2w + fz = 0    ; t  2 z   34
Hệ (5.1): Hệ phương trình LaMê : Khi thiết lập (5.1) xuất phát từ điều kiện cân bằng và quan hệ giữa ứng suất và biến dạng nên hệ (5.1) vẫn chứa các hằng số LaMê  và G. Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình học và vật lý. Giải (5.1) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến dạng theo phương trình quan hệ hình học Cauchy và xác định các ứng suất theo định luật Hooke. 4.Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể tích là hằng số ta có các hệ quả sau: a. Hệ quả 1 : Đạo hàm các phương trình của hệ (5.1) lần lượt theo các biến x, y, z ta có : 2 u   2 ( + G) 2 + G x = 0 ; x v  + ( + G) 2 + G2 y = 0 ; y w  ( + G) 2 + G2 z = 0 . z ( + G). 2 + G2 = 0  2 = 0 (5.2) Do  tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta cũng có : 2S = 0 (5.3) Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi các lực thể tích là hệ số thì hàm biến dạng thể tích và hàm ứng suất tổng là những hàm điều hòa. b. Hệ quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.2) :  ( + G) + G2u +fx = 0 (a) x Lấy đạo hàm bậc 2 của (a) lần lượt theo các biến x, y, z ta có : 2 3  u   2 ( + G) 3 + G x 2 =0; x 2 3 u   2 + ( + G) + G y 2 = 0 ; 2 xy 2 3  u   2 ( + G) 2 + G z = 0 . 2 xz  2 ( + G).   + G22u = 0 (b) x Theo hệ quả 1 ta có : 2 = 0 thay vào (b) 35
(b)  22u = 0 Tương tự 22v = 0 (5.4) 2 2 w=0 Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi lực thể tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm trùng điều hòa. c. Ý nghĩa : Hệ quả này cho phép ta đoán nhận được sơ bộ dạng nghiệm chuyển vị của bài toán đàn hồi. Tất nhiên đây mới chỉ là điều kiện cần, điều kiện đủ là các chuyển vị phải thỏa mãn các phương trình cơ bản đã nêu trên. 5.3. GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI THEO ỨNG SUẤT Chọn các ứng suất x, y, z, Txy, Tyz, Tzx làm hàm ẩn chính. I. Trường hợp các lực thể tích là hằng số: 1. Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke 1 y = E   y  ( x   z) (*) Có S = x + y + z 1 (*)  y = (1  )y  S  E 1 Tương tự z = (1   )z  S  (a) E 1 2(1   ) yz = Tyz = Tyz G E 2. Về mặt hình học :Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng :  y   z   yz 2 2 2 (b) 2 2 z y yz Thay (a) vào (b) ta có : (1 + )  y -   S 2 2 +(1 + )  y -   S 2 2 = 2(1 + ) 2  Tyz 2 2 z z 2 y y 2 yz   2y  2z  2 2S 2S   Tyz  (1 +)  2  2     2  2  = 2(1 + ) (c)  z y   y z  yz 3. Về mặt tĩnh học : Dựa vào hệ phương trình cân bằng tĩnh học Navier- Cauchy. 36
  y  Tyx Tzx  fx  0 ;   Tyx Tzx    x   fx (1) x y z y z x    Txy  y Tzy  fy  0 ;  Tzy     y Txy  fy (2) x y z z y x Txz Tyz  z     fz  0 ;  Tyz     z Txz  fz (3) x y z y z x Lấy đạo hàm bậc nhất (2) và (3) lần lượt theo y và z ta có : 2  Tzy   y  Txy   2 2 2 zy y xy + 2  Tyz   z   2 2 Txz 2 yz z xz  Tzy 2   2y  2z     2Txy  2Txz   2   y 2  z 2   x  y  z     (4) zy     Thay (1) vào (4) ta có : (4)  2 2  Tyz  2 y 2 z    x         fx    yz  y 2 2  z  x  x    2 2  Tyz    2 x   2 y   2  z  (d)   y z  x  2 y 2 2  z  Thay (d) vào (c) ta có :   2 x  2 y  2 z  2 y  2 z    2S  2S  (1 + )          2  2 0  x 2 y 2 z 2 z 2 y 2    y  z      x  x  x    x  x  x    x  x  2x  2 2 2 2 2 2 2 2  (1 + )    2  2  2    2  2  2   2  2  2     x y z   y   y y   z   z z     2S  2S  -   z 2  y 2  =0  (**)   2 2 2    Trong đó : 2 = 2  2  2 x y z S = x + y + z. 2 2   S  S   2 S  2 S 2  (**)  (1 + )    x  2  2     2  2   0   y z    z  y   2 2 2 2 2 2  S  S  S  S   S  S   - (1 + )2x + 2  2 +  2  2    2  2  0 y z  y z   z y  37
2 2 2 2  S  S  S  S  - (1 + )2x + 2  2 + 2  2 = 0. x y z x 2 2  S 2  (1 + ) x + 2  S = 0 x Theo Hệ quả (1) ta có 2S = 0 2  S  (1 + )2x + 2 =0 x 2  S (1 + )2y + 2 =0 (5.5) y 2 2  S (1 + ) z + 2 =0 z 2 2  S (1 + ) Txy + =0 xy 2  S (1 + )2Tyz + =0 (5.6) yz 2 2  S (1 + ) Tzx + =0 xz Hệ phương trình (5.5) và (5.6) là phương trình để giải bài toán đàn hồi theo ứng suất, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường. Giải (5.5) và (5.6) có được các ứng suất sau đó tìm các biến dạng theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy. Hệ (5.5) và (5.6) gọi là hệ phương trình Beltrmi II. Khi lực thể tích không phải là hằng số: ta cũng nhận được các phương trình tương tự nhưng có vế phải khác 0 : 2 1  S   fx fy fz  x 2x + 2      x y z  2 ; (1   ) x 1    x 2 2 1  S    fx fy fz  y  y + 2   x  y  z   2 y ;   (5.7) (1   ) y 1    2 1  S    fx fy fz  z 2z + 2   x  y  z   2 z ;   (1   ) z 1    (5.7) : Phương trình Beltrami-Michell. * Hệ quả 3 : Trường hợp fx, fy, fz = const. 38
Từ phương trình (5.5) Beltrmi, ta cũng suy ra được 1 hệ quả về tính chất của các n0 ứng suất Xét phương trình (1) của hệ phương trình (5.5) : 2  S (1 + ) 2x + 2 = 0 (1) x Lấy đạo hàm bậc 2 phương trình (1) lần lượt theo x,y,z ta có : 2  x 4  S (1 + )2 x 2 + 4 =0 x 2  x  S 4 + (1 + )2 y 2 + 2 2 = 0 x y 2 2  x  S 4 (1 + ) z 2 + 2 2 = 0 x z 2 2 2  S (1 + )   x + 2 2S = 0 Theo hệ quả 1 2S = 0 x 2 2 Ta có :   x = 0. Tương tự ta có : 4ij = 0. ij gồm có (x, y, z, Txy, Tyz, Tzx).  Ứng suất là những hàm điều hòa kép (trùng điều hòa, bi điều hòa). Vì ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng cũng là những hàm điều hoà kép.  Phát biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng của bài toán đàn hồi tuyến tính khi lực thể tích là hằng số đều là những hàm điều hòa kép: 4ij = 0 ; 4ui = 0 ; 4ij = 0. (5.8) 5.4. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân các phương trình Lamê (5.1) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.5) và (5.6) hay Beltrami Michell (5.7) khi giải theo ứng suất với các điều kiện biên xác định . Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học nhưng phức tạp khi thực hiện. 2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện biên (2.3) tìm các ngoại lực tương ứng với các chuyển vị hay ứng suất cho 39
trước. Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được. 3. Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp này ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu tố còn lại từ các điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân bằng. Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang tính toán học của phương pháp thuận và sự cồng kềnh của phương pháp ngược. 4. Nguyên lý Saint-Venant : Nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh, tấm, vỏ. Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là nguyên lý về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này, nếu trên 1 phần nhỏ nào đó của vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng thì ứng suất phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực. Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng. Dựa vào qui luật đối với vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục bộ có thể phát biểu theo cách khác nhau: “Tại những điểm của vật rắn cách xa điểm đặt lực thì trạng thái ứng suất, biến dạng của vật phụ thuộc rất ít vào cách tác dụng của lực”. Ví dụ : F : Diện tích mặt cắt ngang. 5.5. ĐỊNH LÝ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Một vấn đề đặt ra là nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng suất có duy nhất không. Có nghĩa ứng với tải trọng hay chuyển vị đã cho ta chỉ nhận được một hệ ứng suất hay chuyển duy nhất hay ta nhận được vài hệ nghiệm khác nhau với cùng điều kiện đã cho. 40
 * Nếu nhận được một vài hệ nghiệm thì nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi đã cho là đa trị. * Định lý duy nhất về nghiệm : Nếu thừa nhận về trạng thái tự nhiên của vật và đinh luật độc lập tác dụng của lực thì nghiệm bài toán lý thuyết đàn hồi là duy nhất. Thực vậy xét bài toán cơ bản thứ nhất của lý thuyết đàn hồi. Dưới tác    dụng của lực bề mặt f x , f y , f z . Lực thể tích fx, fy, fz đã cho. Giả thiết ta nhận được 2 hệ nghiệm ứng suất khác nhau. x, y, z, Txy, Tyz, Tzx x, y, z, Txy, Tyz, Tzx Cả hai hệ ứng suất này đều phải thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh học của Cauchy và điều kiện biên tĩnh học.  x Tyx Tzx    fx  0 x y z  x* Tyx Tzx * *    f x*  0 (a) x y z ...  f x = x.l + Tyx.m + Tzx.n  f x = x.l + Tyx.m + Tzx.n (b) ... Tương tự viết cho các phương trình còn lại. Trừ các phương trình tương ứng cho nhau, ta nhận được hệ phương trình và điều kiện mới. Ví dụ viết cho phương trình thứ nhất ta có :   ( x  x )    (Txy – Tyx) + (Tzx - Tzx)= 0 x y z (x - x).l + (Tyx - Tyx).m + (Tzx - Tzx).n = 0 (c) Theo nguyên lý cộng tác dụng ta có thể xem các ứng suất trong hệ phương trìnhh (c) là một hệ ứng suất mới khi không có lực thể tích và lực bề mặt. Theo giả thiết về trạng thái tự nhiên của vật liệu, các ứng suất này phải bằng 0. Do đó : x - x = 0 ; y - y = 0 ; Tyx - Tyx = 0; ... Hay x = x ; y = y ; Tyx = Tyx Có nghĩa 2 hệ ứng suất này trùng nhau. Đó là điều cần chứng minh! 41
CHƯƠNG 6 : BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.1. HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG I. Khái niệm : Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy). Các bài toán này được gọi là các bài toán phẳng. Bài toán phẳng chia ra 2 loại : 1. Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt phẳng xoy. 2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt phẳng xoy. Hai bài toán này khác nhau về mặt vật lý song rất giống nhau về mặt toán học. Giải bài toán phẳng về mặt toán học được đơn giản rất nhiều so với bài toán không gian. II. Bài toán ứng suất phẳng : Xét những mặt phẳng, ví dụ tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố đều trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ. y y z x z Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng theo bề dày. Do đó điều kiện của bài toán sẽ là : z = Txz = Tyz = 0 (a) Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên : z  0 (b) Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng. Ân số của bài toán gồm có: Các ứng suất : x, y, Txy. Các biến dạng : x, y, xy, z  0. Theo định luật Hooke, từ (a) ta có : 42
1 xz =yz = 0 ; y = (y - x) E 1  x = (x - y) ; z =- (x + y) (c) E E Txy 2(1   ) xy = = Txy G E Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là x, y, Txy với E,  là 2 hằng số đàn hồi của vật liệu. III. Bài toán biến dạng phẳng : Khi tính những vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng không đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm... ta thường xét 1 đoạn vật thể có chiều dài bằng 1 đơn vị. Như thế, bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm phẳng như biểu diễn trên hình vẽ sau : y 1 1 x z z Nhận xét tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến dạng dài theo phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực pháp tuyến theo phương z. Do đó, điều kiện của bài toán đối với tấm trong trường hợp đang xét sẽ là : z = xz = yz = 0 (d) và z  0 (e) Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng. Ẩn số của bài toán gồm có: Các ứng suất : x, y, Txy, z0 Các biến dạng : x, y, xy. Theo định luật Hooke, từ (d) ta có : - Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = 0 - Còn ứng suất pháp z sẽ được tìm từ biểu thức z = 0 1 z = E   x  ( x   y ) = 0 Vậy y = (x + y). Quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng còn sẽ là : 43
1 x =  x   ( y  z) = 1  y   ( x       y ) E E 2 1     x = E     x  1   y )  2 1    Tương tự y = E    y  1  x )   (*)  2(1   ) xy = Txy E E  Đặt E1 = 2 ; 1 = (g) 1  1  1 (*) x = (x - 1y) ; E1 1 y = (y - 1x) ; (f) E1 2(1   ) 2(1   1 ) xy = Txy = Txy E E1 IV. So sánh và kết luận chung : 1. Trong cả 2 bài toán phẳng, các ẩn số chính về ứng suất và về biến dạng là như nhau : x, y, Txy, x, y, xy.  Những ứng suất hay biến dạng còn lại đều có thể biểu diễn qua các ẩn số chính. 2. Quan hệ giữa các ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) là hoàn toàn tương tự như nhau, sự khác nhau chỉ thể hiện ở chỗ : - Trong bài toán ứng suất phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E,  còn trong bài toán biến dạng phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E1, 1 theo cách đặt (g). 3. Do sự giống nhau về mặt toán học như vậy nên phép giải của 2 bài toán hoàn toàn như nhau. 6.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG BÀI TOÁN PHẲNG 1. Về mặt tĩnh học : Phương trình cân bằng Cauchy :   x Tyx  + fx = 0 x y Txy  y   + fy = 0 (6.1) x y 2. Về mặt hình học : Phương trình biến dạng Cauchy : u x = ; x v y = ; (6.2) y u v xy = + . x y 44
Các biến dạng phải thỏa mãn điều kiện liên tục của biến dạng, trong bài toán phẳng điều kiện này chỉ còn 1 phương trình :  x   y   xy 2 2 2 (6.3) 2 2 y x xy 3. Về mặt vật lý : Phương trình định luật Hooke. a. Biểu thức biến dạng qua ứng suất : 1 x = (x - y) E 1 y = (y - x) (6.4) E 2(1   ) xy = Txy E b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng : E x = 2 (x+ y) 1  E y = 2 (y+ x) (6.5) 1  E Txy = xy 2(1   ) Nếu giải bài toán biến dạng phẳng, chỉ cần thay E,  bằng E1, 1. Hệ tám phương trình độc lập trên, chứa 8 ẩn số là ba ứng suất, ba biến dạng và hai chuyển vị là một hệ khép kín, cho phép ta giải được bài toán. 4. Các điều kiện biên : a. Điều kiện biên tĩnh học :  xl + Tyx m = f x  Txyl + ym = f y (6.6) b. Điều kiện biên động học : Trên bề mặt S của vật thể cho trước các chuyển vị uo , vo hay các đạo hàm của các chuyển vị theo các biến số tọa độ. Nghiệm chuyển vị của bài toán phải thỏa mãn điều kiện : us = uo ; vs= vo . 6.3. PHÉP GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT - HÀM ỨNG SUẤT AIRY I. Phép giải theo ứng suất : - Chọn ẩn số chính là các ứng suất : x, y, Txy. Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1) .   x Tyx  = - fx x y 45
Txy    y = - fy x y Nghiệm của (6.1) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất (6.8)   x Tyx  =0 x y Txy  y  =0  (6.8) x y và nghiệm riêng của phương trình (6.9)   x Tyx  = - fx x y Txy  y   = - fy (6.9) x y - Nghiệm riêng của phương trình (6.8) tìm được không khó khăn, nó phụ thuộc vào dạng cụ thể của các lực thể tích. Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là : * x = 0 ; y = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số. 2 ax * x = + bx ; y = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0 2 3 2 y axy * x = 0 ; y = -a ; Txy = khi fx = axy , fy = 0. 6 2 II. Hàm ứng suất Airy : Để giải hệ (6.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất Airy. Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất (6.8): x Tyx  0 (6.8) x y Txy y  0 x y Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì p q giữa p và q phải có quan hệ :  . y x - Phương trình thứ (1) của hệ (6.8)    x  Tyx x y Tức (x.dy - Txy.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó. A A Nên ta có quan hệ x = ; Tyx = - (a) y x Tương tự, phương trình thứ 2 :  y  Txy  y x  (y.dx - Txy.dy) là vi phân toàn phần của1 hàm B(x,y) nào đó : 46
B B  Ta có quan hệ : y = ; Txy = - (b) x y A B So sánh (a) và (b) ta có : = (c) x y  (A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm (x,y) nào đó :    Ta có quan hệ : A = ; B= (d) y x Thay (d) vào (a) và (b) ta có: 2 2 2       x = 2 ; y = 2 ; Txy = - (6.10) y x xy Hàm (x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng theo ứng suất. III. Phương trình hàm ứng suất Airy : - Trong chương 5 ta có hệ phương trình (5.5) Beltrmi là hệ phương trình giải bài toán đàn hồi theo ứng suất đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học, và vật lý của môi trường. Sử dụng (5.5) để tính cho biểu thức ứng suất phẳng. 2  S (1 + )2x + 2 =0 x 2  S + (1 + )2y + 2 =0 y 2 2  S (1 + ) z + 2 =0 z (1+)2S +2S = 0  2S = 0 Với S = x+ y+ z. Vì trong bài toán ứng suất phẳng z=0 nên S= x + y Trong bài toán biến dạng phẳng : S= x + y + z = x + y +(x + y) =(1+)(x + y). Nên trong bài toán đàn hồi phẳng ta đều có : 2S = 2(x + y) = 0 (6.11) (6.11) : Phương trình LêVy. Thay các ứng suất bởi hàm  thay (6.10) vào (6.11) ta có :  2  2   2  2   2  2  2  2   0  x  y  y  x  4 4 4     (6.12) 2 4  0 2 2 4 x x y y  2(2) = 4 = 0 (6.13) 47
Phương trình (6.13) : phương trình trùng điều hòa. Hàm  = (x,y) : là hàm trùng điều hòa . Kết luận : - Bài toán đàn hồi phẳng giải theo ứng suất dẫn đến việc giải phương trình (6.12) sau đó tìm các ứng suất theo (6.10). + Nếu fx, fy  0  Cộng thêm các nghiệm riêng. - Theo (6.10) : Việc thêm hay bớt hàm  một lượng A+ Bx+Cy thì các ứng suất không thay đổi. - Các hệ số tích phân được xác định theo điều kiện biên tĩnh học : 2 2      2 .l  .m  f x y xy 2 2       .l  2 .m  f y (6.14) xy x Nếu (6.13) đủ để xác định các hằng số tích phân thì các ứng suất theo (6.10); (6.12) & (6.14) hoàn toàn không liên quan đến các hệ số đàn hồi của vật liệu. Những bài toán như thế là bài toán có liên kết bên ngoài tĩnh định.  Định lý LeVy-Michell : Trong biểu thức đàn hồi phẳng tĩnh định, chịu các ngoại lực tác động trên biên thì sự phân bố ứng suất không phụ thuộc vào các hằng số đàn hồi và như nhau đối với tổng cả các vật liệu. + Âënh lyï âæåüc sæí duûng laìm cå såí cho 1 phæång phaïp thæûc nghiãûm coï tãn laì phæång phaïp âaìn häöi. 6.4. ĐIỀU KIỆN BIÊN CỦA HÀM ỨNG SUẤT AIRY. Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất rút lại thành việc giải phường trình trùng điều hòa (6.12). Nghiệm của phương trình này là hàm ứng suất  phải thỏa mãn điều kiện biên. f  x.l  Txym  x   (6.15) f  Txyl  ym  y  Xét trường hợp fx = fy = 0 Thay (6.10) vào (6.11) ta có 2 2      f  2 .l  x m y xy 2 2     f y .l  2 m (6.16) xy x Theo (H.6.3) ta có : dy l = cos(n, x) = cos(900 + ) = - sin = - ds 48
dx m = cos(n, y) = cos = ds 2 2    dy   dx     dy     dx (6.15)  f x   2 . - . =-  . -  . y ds xy ds y  y  ds x  y  ds     d    = -  . (6.17) ds  y    2 2  dy   dx d   fy   . + 2 . =  .   xy ds x ds ds  x  Lấy điểm so bất kỳ trên chu tuyến làm gốc :  S  S (6.17)   A   f x ds X y 0  S  S  B   f y ds Y (6.18) x 0 Trong đó : A&B : Các hệ số tùy ý, biểu diễn giá trị của đạo hàm   , của chu vi . y S0 x S0 (S) (S) X , Y : Ký hiệu mang ý nghĩa tĩnh học sẽ nói đến dưới đây. Để rõ ràng ta đưa ra sự tương tự như sau : Thay chu vi vật thể khảo sát bằng thanh có cùng dạng và cắt tại điểm S0 (H.6.4). Tại đó ta đặt các lực : A // S0x B // S0y Và ngẫu lực C như hình vẽ Như vậy : X(S) & Y(S) : Chính là tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên đoạn S0S chiếu lên trục x & y. + Nếu chúng ta lấy trục t  trục tiếp tuyến ngoài tại điểm S n  pháp tuyến ngoại tại điểm S.  (S) Thì : N (6.19) n    = Q(S) (6.20) t s N(S) : Lực dọc cũng tại điểm S của thanh, được xem là dương  nếu là lực kéo. (S) Q : Lực cắt tại điểm s của thanh. So sánh quan hệ giữa nội lực là moment uốn và lực cắt trong sức bằng vật liệu: 49
dM (s) Q ds d (s)  Q =M (6.21) ds M(s) : Moment của lực đặt trên đoạn S0S của thanh đối với điểm s. Vậy tại điểm trên chu tuyến của vật thể ta có thể xác định giá trị của hàm  ứng suất (x,y) và các đạo hàm theo phương pháp tuyến tại các điểm ở n trên chu vi theo trọng đã cho dựa vào công thức (6.21) và (6.19) , quá trình ///đó giống như tìm moment uốn S lực dọc gây ra bởi tải trọng cho trước trên chu vi nếu tưởng tượng chu vi đó là ////mà cắt ra tại 1 tải diện bất kỳ.  có dạng bất kỳ : Chuỗ Taylor, Furiê, hàm phức,... chuổi đặc biệt.   có dạng đa thức. 6.5. HÀM ỨNG SUẤT DƯỚI DẠNG ĐA THỨC Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm một hàm ứng suất  thỏa mãn 2 yêu cầu : - Phương trình trùng điều hòa - Điều kiện biên + Tính ứng suất trên tấm công chịu lực tập trung đặt tại đầu tự do như hình vẽ y y x t P  2 t z o x  2 L 1. Dạng hàm  MZ + Theo kết quả ở sức bền vật liệu: x = .y JZ   là hàm đa thức   2 bậc 4 đối với x, y theo hàm  : x = 2 y (x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx3 + cx2y + fxy2 + gy3 + hx4 + ix3y + ix2y2 + kxy3 + ly4. (a)  phải thỏa mãn phương trình trùng điều hòa : 4 4 4       4 + 2 2 + 4 =0 x x y y 4 4 4       4 =h ; 2 2 =j; 4 = l. x x y y  h + 2j + l = 0 50
 h = j =l = 0 (1) 2   x = 2 = 2c + 2fx + 6gy + 6kxy. x 2   y = 2 = 2c + 6dx + 6ey + 6ixy. (b) x 2   Txy = - =-(b + 2ex+ 2fy + 3ix2 + 3ky2 xy 2. Các điều kiện : Xét điều kiện biên theo ứng suất : t * Biên trên (y = ; x 0, L : Txy = 0 , (c) 2 y = 0 (d) t * Biên dưới (y =- ; x 0, L : Txy = 0 , (e) 2 y = 0 (f) Từ (c) & (e) ta có : t t 2a +6dx +2e( )+6ix( ) = 0 2 2 t t 2a + 6dx - 2e - 6ix = 0 e=i=0 e = i=f=0 2 2 (2) Từ (d) & (f) ta có : a=d=0 (3) 2 kt 2   b + 3 =0  t 2 t  4  b  2ex 2 f  3ix  3k    0   2  2    b = -   f 0 3 2  2  kt (4) t t   b  2ex 2 f  3ix  3k     0 2    2  2    t t * Biên trái (x = 0, y   ,   ) ta có :    2 2 x= 0 (g) t  2  Txy.dF  p (h) t  2 Từ (g)  c = g = 0 (5) 3 3  Txy = - (- kt2 + 3ky2) = kt2 - 3ky2 4 4 t t t 2  2 2 3 2 2 3 2 3 3   TxydF    ( 4 kt  3ky )dy    kt y  ky  t t 4 3    t 2 2  2 51