32
CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
§5.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN-
CÁC CÁCH GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
5.1.1. Các phương trình cơ bản :
Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học
và vật lý của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm :
- Sáu thành phần ứng suất : x, y, z, Txy, Tyz, Tzx.
- Ba thành phần chuyển vị : u, v, w.
- Sáu thành phần biến dạng : x, y, z, xy, yz, zx.
Để xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sau :
1. Về mặt tĩnh học :
a. Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy: Hệ (2.1)
)1(
.)(0
;)(0
;)(0
2
2
2
2
2
2
t
w
fz
z
z
y
Tyz
x
Txz
t
v
fy
z
Tzy
y
y
x
Txy
t
u
fx
z
Tzx
y
Tyx
x
x
b. Các phương trình điều kiện biên theo ứng suất: Hệ (2.3)
2. Về mặt hình học :
a. Hệ phương trình biến dạng Cauchy-Navier : Hệ (3.1)
.
x
w
z
u
;
z
w
)2(;
z
v
y
w
;
y
v
;
y
u
x
v
;
x
u
zxz
yzy
xyx
b. Các phương trình liên tục của biến dạng : Hệ (3.12) và (3.13).
3.Về mặt vật lý :
33
a. Biểu thức biến dạng biểu diễn qua ứng suất :
)(
1zyx
E
x
; xy = Txy
E
Txy
G
)1(2
1
;
y =
)(
1zxy
E
; yz = Tyz
E
Tyz
G
)1(2
1
; (3a)
z=
)(
1yxz
E
; zx = Tzx
E
Tzx
G
)1(2
1
.
b. Biểu thức ứng suất biểu diễn qua biến dạng :
x =  + 2Gx ; Txy = Gxy ;
y =  + 2Gy ; Tyz = Gyz ;
z =  + 2Gz ; Tzx = Gzx.
5.1.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính :
* Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn
cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu
gọn chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính.
Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán.
Những ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính.
1. Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm
ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba
hàm chuyển vị u, v, w.
2. Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm ẩn
chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất.
3. Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán,
ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị
và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất.
§5.2. CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐH THEO CHUYỂN VỊ
Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản :
5.2.1.Về mặt vật lý:
Từ định luật Hooke tổng quát : x =  + 2Gx
Txy = Gxy (a)
Tzx = Gzx
5.2.2. Về mặt hình học:
Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy :
34
x = x
u
;
yx = y
u
x
v
; (b)
zx = z
u
x
w
;
Thay (b) vào (a) ta có : x =  + G x
u
+ G x
u
Tyx = G
y
u
x
v (c)
Tzx = G
z
u
x
w
3.Về mặt tĩnh học:
Từ phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy :
;)
t
u
(0fx
z
Tzx
y
Tyx
x
x
2
2
(d)
Thay (c) vào (d) ta có:
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
t
u
0fx
z
u
G
zx
w
G
y
u
G
yx
v
G
x
u
G
x
u
G
x
(*)
t
u
0fx
z
w
y
v
x
u
x
Gu
zyx
G
x2
2
2
2
2
2
2
2
Với 2 = 2
2
2
2
2
2
zyx
: Toán tử vi phân Laplace.
z
w
y
v
x
u
=x+y+z = : Biến dạng thể tích tương đối
(*) ( + G) x
+ G2u + fx = 0
2
2
t
u
;
Tương tự ( + G) y
+ G2v + fy = 0
2
2
t
v
; (5.1)
( + G) z
+ G2w + fz = 0
2
2
t
w
;
35
Hệ (5.1): Hệ phương trình LaMê :
Khi thiết lập (5.1) xuất phát từ điều kiện cân bằng và quan hệ giữa
ứng suất và biến dạng nên hệ (5.1) vẫn chứa các hằng số LaMê và G.
Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình học
và vật lý. Giải (5.1) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến dạng theo
phương trình quan hệ hình học Cauchy và xác định các ứng suất theo định
luật Hooke.
4.Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể tích là
hằng số ta có các hệ quả sau:
a. Hệ quả 1 : Đạo hàm các phương trình của hệ (5.1) lần lượt theo các
biến x, y, z ta có :
( + G) 2
2
x
+ G2x
u
= 0 ;
+ ( + G) 2
y
+ G2y
v
= 0 ;
( + G) 2
z
+ G2z
w
= 0 .
( + G). 2 + G2 = 0
2 = 0 (5.2)
Do tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta cũng có :
2S = 0 (5.3)
Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng
hướng, khi các lực thể tích là hệ số thì hàm biến dạng thể tích và hàm ứng
suất tổng là những hàm điều hòa.
b. Hệ quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.2) :
( + G) x
+ G2u +fx = 0 (a)
Lấy đạo hàm bậc 2 của (a) lần lượt theo các biến x, y, z ta có :
( + G) 3
3
x
+ G22
2
x
u
= 0 ;
+ ( + G) 2
3
yx
+ G22
2
y
u
= 0 ;
( + G) 2
3
z
x
+ G22
2
z
u
= 0 .
( + G). x
2 + G22u = 0 (b)
Theo hệ quả 1 ta có : 2 = 0 thay vào (b)
36
(b) 22u = 0
Tương tự 22v = 0 (5.4)
22w = 0
Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng
hướng, khi lực thể tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm trùng
điều hòa.
c. Ý nghĩa : Hệ quả này cho phép ta đoán nhận được sơ bộ dạng
nghiệm chuyển vị của bài toán đàn hồi. Tất nhiên đây mới chỉ là điều kiện
cần, điều kiện đủ là các chuyển vị phải thỏa mãn các phương trình cơ bản đã
nêu trên.
5.3. GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI THEO ỨNG SUẤT
Chọn các ứng suất x, y, z, Txy, Tyz, Tzx làm hàm ẩn chính.
I. Trường hợp các lực thể tích là hằng số:
1. Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke
y =
)(
1zxy
E
(*)
Có S = x + y + z
(*) y =
Sy
E
)1(
1
Tương tự z =
Sz
E
)1(
1 (a)
yz = G
1Tyz =
E
)1(2
Tyz
2. Về mặt hình học :Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng :
2
2
2
2
y
z
z
y
zy
yz
2
(b)
Thay (a) vào (b) ta có :
(1 + )2
2
z
y
- 2
2
z
S
+(1 + )2
2
y
y
- 2
2
y
S
= 2(1 + )zy
Tyz
2
(1 +)
2
2
2
2
2
2
2
2
z
S
y
S
y
z
z
y
= 2(1 + )zy
Tyz
2
(c)
3. Về mặt tĩnh học : Dựa vào hệ phương trình cân bằng tĩnh học
Navier- Cauchy.