Giáo trình Lý thuyết Thống kê ĐH Bách Khoa Đà Nẵng [Tài liệu đầy đủ]

LI NÓI ðU

Lý thuyt xác sut là b môn toán hc nghiên cu tính qui lut ca các hin

tưng ngu nhiên.

Các khái nim ñu tiên ca xác sut do các nhà toán hc tên tui Pierre Fermat

(1601-1665) và Blaise Pascal (1623-1662) xây dng vào gia th k 17, da trên vic

nghiên cu các qui lut trong các trò chơi may ri. Do s hn ch ca trình ñ toán hc

ñương thi, nên sut mt thi gian dài các trò chơi may ri vn là cơ s duy nht cho

các khái nim và phương pháp ca lí thuyt xác sut vi công c ch yu là phép tính

t hp và s hc sơ cp. Hin nay, tuy lí thuyt xác sut ñã có nn tng toán hc ñ s,

nhưng các phương pháp "ngây thơ" ban ñu ñó vn còn tác dng, ñc bit ñi vi các

ngành khoa hc thc nghim.

Vic gii quyt các bài toán ny sinh trong lí thuyt sai s và ño lưng ñã ñem

li bưc phát tri n mi cho lí thuyt xác sut. Các nhà toán hc Jacob Bernoulli (1654-

1705), A.Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson

(1781-1840) ñã có công lao xng ñáng phát tri n lí thuyt xác sut b!ng phương pháp

gii tích.

T" gia th k# 19 ñn ñu th k# 20, s phát tri n ca lí thuyt xác sut g$n lin

vi tên tui các nhà toán hc Nga như Bunhiacpxki (1804-1889), Trebưsep (1821-

1894), Markov (1856-1922) và Liapunov (1857-1918).

Trong quá trình phát tri n mnh m% ca ca lí thuyt xác sut, vn ñ xây dng

mt cơ s toán hc cht ch% tr thành cp thit. S ra ñi ca lí thuyt tp hp và ñ

ño ñã cung cp công c toán hc gii quyt vn ñ này, và vinh quang xây dng lí

thuyt xác sut tiên ñ thuc v nhà toán hc Nga Kolmogorov (1929).

S ra ñi ca thng kê toán hc b$t ngun t" các vn ñ thc ti&n và da trên

nhng thành tu ca lí thuyt xác sut. Các thí nghim trong các ngành khoa hc khác

nhau như vt lý, hóa hc, sinh hc, y hc, ... ph thuc vào nhiu yu t ngu nhiên

như con ngưi, môi trưng,... Do ñó kt qu thc nghim thưng là các ñi lưng ngu

nhiên.

Có th ñ'nh nghĩa thng kê toán hc là ngành khoa hc v các phương pháp

tng quát x) lý các kt qu thc nghim. Cùng vi s phát tri n ca lí thuyt xác sut,

thng kê toán hc ñã có bưc tin nhanh, vi s ñóng góp ca các nhà toán hc như

Gantơn (1822-1911), Picxơn (1857-1936), Cramer, Fisher, Von Neuman, ... Thng kê

toán hc ñã có các ng dng hiu qu trong nhiu lĩnh vc khoa hc, công ngh, kinh

t và xã hi khác nhau như vt lí, hóa hc, cơ hc, sinh vt, y hc, d báo, khí tưng,

thy văn, vô tuyn, ñin t), ngôn ng hc, xã hi hc, ...

Có th nói lí thuyt xác sut và thng kê toán hc ñã tr thành kin thc cơ s

không th thiu ca m+i k, sư tương lai.

Giáo trình ñưc biên son ln ñu nên ch$c ch$n còn nhiu khim khuyt. Tác

gi chân thành cm ơn nhng ý kin ñóng góp quý báu ca ñc gi ñ giáo trình ngày

mt hoàn thin.

Xin chúc các bn thành công!

ðà n-ng 1/2005

Tác gi.

CHƯƠNG 0

GII TÍCH KT HP

I. TP HP

1. CÁC KHÁI NIM CƠ BN

• ðnh nghĩa: Khái nim tp hp là khái nim nn tng cho toán hc cũng như ng

dng ca nó. Tp hp là khái nim nguyên thu không ñnh nghĩa chính xác da

trên các khái nim khác. Tp hp ñưc coi là kt hp các ñi tưng có cùng bn

cht (thuc tính, du hiu ) chung nào ñó.

Tp hp thưng ñưc ký hiu bng các ch cái A, B, C , ... Các phn t ca

tp hp ký hiu bng các ch thưng a, b, c,...

ð ch x là phn t ca tp hp X ta vit :

∈

X (ñc : x thuc X )

ð ch x không phi là phn t ca X ta vit :

x ∉ X (ñc : x không thuc X )

Tp không có phn t gi là tp rng và ký hiu ∅.

• Biu din tp hp:

Có hai cách biu din tp hp như sau

(i) Lit kê các phn t :

+ Ví d

A = { a, b, c }

X = { x

, x

, ... , x

}

(ii) Biu din tp hp bng cách mô t tính cht :

+ Ví d

C = { n | n là s chn }

Y = { x | x là nghim phương trình x

+ 2x - 5 = 0 }

• Lc lưng tp hp:

S phn t ca tp A, ký hiu là |A|, gi là lc lưng ca tp A.

Nu |A| < ∞

∞∞

∞ , ta nói A là tp hu h!n, nu |A| = ∞

∞∞

∞ , ta nói A là tp vô h!n.

Trong chương trình này ta gi thit các tp hp là hu h!n.

• Quan h bao hàm: Cho hai tp A, B.

Nu mi phn t thuc A cũng thuc B ta nói A là tp con ca B và ký hiu

A ⊂ B

Nu A không phi tp con ca B ta ký hiu

A ⊄ B

Nu A ⊂ B và B ⊂ A ta nói A bng B và ký hiu

A = B

Nu A ⊂ B , A ≠ ∅ và B ≠ A, thì ta nói A là tp con thc s ca B.

+ Ví d

(i) Tp rng ∅ có lc lưng bng 0, |∅| = 0. V#i mi tp A, ∅ ⊂ A.

(ii) Cho ña thc P(x). Ký hiu S = {x | P(x) = 0}. S là tp hu h!n.

(iii) Ký hiu

N là tp s t nhiên, N = {0, 1, 2, … };

Q là tp s hu t; R là tp só thc.

Ta có N ⊂

⊂⊂

⊂ Q ⊂

⊂⊂

⊂ R.

Bây gi ta xét tp hu h!n A. Ký hiu tp tt c tp con ca A là

(A)

• ðnh lý 1. Nu |A| = n , thì |

(A)| = 2

Chng minh. Quy n!p theo n.

2. CÁC PHÉP TOÁN TP HP

Cho các tp A, B, X

, X

, ... , X

( n ∈ N ) là các tp con ca tp “vũ tr” U

nào ñó. Ta ñnh nghĩa các phép toán sau.

+ Phép hiu: Hiu ca A và B, ký hiu A \ B là tp:

A \ B = { x  x ∈ A & x ∉ B }

+ Phn bù: Phn bù ca A (trong U ) là tp

= U \ A

+ Phép hp: Hp ca A và B, ký hiu A

∪

B là tp

A ∪ B = { x | x ∈ A ho$c x ∈ B }

Tương t, hp ca X

, X

, ... , X

là tp

}Xxn,kk,1| {x

∈≤≤∃=

∪

+ Phép giao: Giao ca A và B, ký hiu A

∩

B là tp

A ∩ B = { x  x ∈ A & x ∈ B }

Tương t, giao ca X

, X

, ... , X

là tp

}Xxn,kk,1| {x

∈≤≤∀=

∩

+ Tích ð-các

- Tích ð-các ca hai tp A, B là tp

A x B = { (a,b) a ∈ A & b ∈ B }

- Tích ð-các ca các tp X

, X

, ... , X

là tp

x X

x ... x X

= { (x

, x

, ... , x

)  x

∈ X

& x

∈ X

& ... & x

∈ X

}

+ Phân hoch:

- Nu A ∩ B = ∅, ta nói A và B ri nhau.

- Nu các tp X

, X

, ... , X

tho

A = X

∪ X

∪ ... ∪ X

và chúng ri nhau t%ng ñôi mt, ta nói { X

, X

, ... , X

} là mt phân hoch ca tp

hp A.

• ðnh lý 1. Gi s { X

, X

, ... , X

} là mt phân ho!ch ca tp S. Khi ñó

S= X

+ X

+ ... + X



Chng minh. Hin nhiên.

• ðnh lý 2. Cho các tp A, B, C trong tp vũ tr U, khi ñó ta có :

(i) Lut kt hp :

( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )

( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

(ii) Lut giao hoán :

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

(iii) Lut phân b :

A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

(iv) Lut ñi ngu De Morgan:

∩

∪

∩

∩∪

11 ==

= &

∪∩

11 ==

Chng minh. (bài tp).

• ðnh lý 3 (v lc lưng tp hp).

(i) Lc lưng tp con:

A ⊂ B ⇒ |A| ≤ |B|

(ii) Lc lưng ca hp

A ∪ B

= A+ B − A ∩ B



(iii) Nguyên lý bù tr% Poincaré:

( )

∑ ∑

= ≤≤≤≤≤

−











∩∩∩−=

m niii

iii

AAAA

1 ...1

...1

∪

(iv) Lc lưng tích ð-các

X

x X

x ... x X

= X

. X

. ... . X



(v) Lc lưng tương ñương:

|A| = |B| ⇔ T&n t!i song ánh t% A vào B.

Chng minh. (bài tp).

GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT THỐNG KÊ - ĐH Bách Khoa Đà Nẵng

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi