Phần 1
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
Hê LUYỆN THI THPT QUỐC GIA PEN – C 2015 - 2016
MÔN TOÁN
NGUYỄN BÁ TUẤN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
& CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
(Phần 1: Biến đổi đại số và phép thế)
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 1
Tài liệu dành tặng học sinh
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
I. Phép rút - thế.
II. Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích.
1. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đơn giản.
2. Hệ phương trình có dấu hiệu chứa 1 phương trình dạng đẳng cấp.
3. Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2.
4. Hệ đồng bậc.
5. Phương pháp hệ số bất định (UTC).
6. Phương pháp liên hợp.
Khi gặp 1 bài hệ phương trình thì ta có thứ tự ưu tiên cho các hướng giải sau:
+ Phép rút - thế
Hệ có phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc y thì rút x theo y hoặc y theo x và thay
vào phương trình còn lại. Ngoài ra còn tùy thuộc vào từng đề bài cụ thể mà ta có thể thế cụm biểu thức hay thế hằng số.
+ Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích.
- Nếu 1 trong 2 phương trình của hệ có dạng là hàm bậc 2 của x (y) thì giải PT bậc 2 đó như
bình thường để tìm mối quan hệ giữa x và y.
- Phương pháp hệ số bất định (UCT): Với 1 vài hệ đơn giản ta quan sát nếu thấy 2 phương trình của hệ có form giống nhau thì thử cộng (trừ) 2 vế tương ứng của các phương trình trong hệ khi đó sẽ xuất hiện nhân tử chung. Đỉnh cao của việc kết hợp 2 phương trình để tìm ra mối liên hệ x, y đó là phương pháp hệ số bất định (UCT).
- Phương pháp liên hợp: biến đổi đưa 1 phương trình trong hệ về dạng nhân tử.
2
+ Sử dụng PP đặt ẩn phụ:
2 ) ,
2
k
k
xy x , y x , ( y x y x , ( y ) ..... . - Quan sát phương trình có chứa các biệt thức: thì đặt
2 y x ,
- x y xy x , , , , , y .... tổng – tích (P=x+y, S=xy). Sơ chế hệ bằng các phép nhân, chia để xuất hiện dấu hiệu đặt ẩn phụ.
- Với những bài có chứa căn thì thường đặt căn thức đó làm ẩn phụ.
+ Sử dụng PP hàm số
+ Sử dụng PP đánh giá
+ Sử dụng PP lượng giác
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 2
+ Kết hợp vận dụng nhiều phương pháp
Phần 1
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
Hê I. PHÉP RÚT - THẾ
4
2
x
3 x y
y
3 y x
2 x y
x 9 (1)
3
3
x
7
(2)
9
x y
Bài 1. Giải hệ phương trình:
y
Giải
Dựa vào PT(2) => x=y không phải là nghiệm=> x
2
3
4
3 x y
9
x
y
0
(1)
2
2
xy
y
2 x y
9
0
y
x x
2 x y
2
y
y
9
0
xy x x x x
x
2
y
9 0 (
do x
y
)
2
y
9 (3)
0
x
x x x x
3
3
3
3
(2)
x
y
x
y
7 x
7 x
Từ PT(1) nhận thấy các hệ số tương ứng của các hạng tử cùng bậc là như nhau, ta dễ dạng ghép cặp để tìm nhân tử chung:
2
3
3
x
9
7 x
x x
2
2
3
3
3
3
x 2 .
x
x
9 0
7 x
7 x
x x
2
3
3
3
3
3
x
2 x 2 .
x
x .
9 0
x
7 x
7 x
2
3
3
6
2
4
3
x 2 .
x
7
x
7
9 0 (4)
x
x x
3
6
2
4
3
f x ( )
x
2
3 x x
7
x
7
9,
x
0
Thay vào (3) ta được:
x x
2
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 3
Xét hàm số:
Phần 1
Hê
6
2
8
4
14
x
70
x
x
3
2
6
2
f
x
x
2
x
7
x
0,
0
x
'( ) 3
2
49 22
6
2
1 9 . 3
3
4
3
3
x
7
x
x 6
7
x x
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
f
(1)
0
f x đồng biến trên ( )
0; mà:
x
1
y
2
Suy ra
Suy ra: (4) có nghiệm duy nhất
x y ;
1; 2
2
2
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm:
2
2
2
2
xy x
y 3 Bài 2. Giải hệ phương trình: x xy y x x 1 4 1 8
2
2
2
x
y
2 x y
x
3
Giải
2
3
0
3
0
xy x
2
2
2
2
2
2
2 x y
2 x y
3
x
x
y
x
3
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2 x y
3 x y
4
8
x
y
x
y
2 x y
x
3
Bình phương 2 vế của phương trình (1):
3
0
xy x
x
0;
y
0
2
2
2 x y
x
0
1
x
1;
y
2
2
2
2
5 5
2
x
y
2 x y
x
3
2
2
2
x
y
2 x y
x
3
x 0 y 0 x 1
2
Hệ phương trình tương đương với: xy x
2
2
2
1
1 4 2
xy y x 2 2 Bài 3. Giải hệ phương trình: y 2 x x 2 x 2 x x 3
Giải
2
2
2
x
2
x
x
x
0
x
x
2
0
x
x
x
x
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 4
Nhận xét: từ phương trình (1) ta có thể rút y theo biến x và do
Phần 1
Hê 2
2
2
y
x
x
2
y
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i x
x
2
2
2
x
x
2
2
Nên ta có (1)
2
2
2
2
x
x
2
x
x
2
x
2
x
4
x
2
3
1
2
2
x x
2 2
x
x
x
2
x
0
1
3
1
2
2
x
2
x
x
2
(*)
x
1
1 1
1
2
y x x 2 Thế vào phương trình (2) ta có:
f x ( )
t
1
t
2
2
2
ta có: Xét hàm số
(*)
f
1
x
x
x
x
f x
1
1 2
x
x
1
y
1 2
. Vậy hệ đã cho có nghiệm là
1 2
1
y
3
4
y
x
(1)
f t '( ) 1 t 0, f t ( ) 2 t đồng biến trên t 2 t 2
2
2
y
x
(2)
y 5 1
16
3 x 1
Bài 4: Giải hệ phương trình:
Giải
2
2
“Thế hằng số”
PT (2) 5 x 4 (3) y
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 5
Thay vào (1) ta được:
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
3
2
2
3
3
2 x y
2
0 x y 5 x y y 16 x 5 16 x x 2 x 5 xy 16 0 0
2
x 4 0 y y 2
2
2
2
x x 5 xy 16 0 y 16 5 x
2
4
2
2
x x 5 124 x 132 x 256 0 x 1 4 16 5 x
y x 3
2
2
2 x y
3
xy
4
x
9
y
x 3 1 1 y
2
7
y
2
x
9
x
6
Bài 5. Giải hệ phương trình:
22 x
Giải
x 6 y (3) Ta có từ (2) suy ra: 9 7
2
2
2
2
x
2
x
2
x
x
6
x
2
6
6
x
2
3
x
9
x
2
9 7
x 7.4 7
9 7
2
2
2
2
x
9
x
x
3
x
28
x
9
4
3
2
6 2 x 31
24
x
99
x
4 x
9 7 54 0
1 2 2
2
x
x
x
18
x
54
0
2 4
1 2
9 3 33 4 9 3 33 4
x x x x
x
y
Thay (3) vào (1) ta được:
1 2
1 7
1 1 ; 2 7
x
2
y
2;
Với suy ra hệ phương trình có nghiệm
16 7
16 7
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 6
Với suy ra hệ phương trình có nghiệm
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
x
3
y
;3
9 3 33 4
9 3 33 4
x
3
y
;3
Với suy ra hệ phương trình có nghiệm
9 3 33 4
9 3 33 4
Với suy ra hệ phương trình có nghiệm
;x y là:
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm
2;
;3
;3
1 1 ; 2 7
16 7
9 3 33 4
9 3 33 4
2
, , ,
4
2
9 x 3 Bài 6. Giải hệ phương trình: y x 3 y 48 y 48 x 155 0 y 4 2
2
Giải
9 Ta có (1) y x 3
2
9
4
2
y
x
3
y
48
48
x
155 0
4 2
x 3
2
4
2
x
x
x
y
16
11 0
4 2
2
2
4
x
0
4
x
y
48 1
2
y
4
x
3 11 11 (3)
2
y
4
x
1 (4)
y y
2
x
9
3
2
Thay vào (2) ta có:
2
9
x
4
x
11 (*)
3
y
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 7
Từ (3) và (1) ta được
Phần 1
Hê
2
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i 3 2
4
2
4
2
0 (6) 3 2 x x (*) 18 x 36 x 18 x 18 x x x 3 2 x 3 2 0 (7) 2 1
3 2 x y 18 12 2 2 12 2 6 36 24 2 12 Ta có (6) 3 2 y 18 12 2 2 12 2 6 36 24 2 12
2
x
9
3
3 2 x x y 18 12 2 2 12 2 6 36 24 2 12 (7) 3 2 y 18 12 2 2 12 2 6 36 24 2 12 x
2
2
9
x
4
x
1 (**)
3
y
4
2
36
x
18
x
x
2
2
6
x
6
x
12
x
6
0
2
2
6 0 (
72 0 x
6
6
x
do x
12 0,
)
(**) x x
x
1 2 3
3
y
x 3
x
1 2 3
3
3
y
3
y
x
2
Thay (4) và (1) ta có:
2
2
x
y
4 1 3 1
y
3 x
Bài 7. Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
x
4
y
x
3
y
1 3 1
2
Giải
x
2,
y
0
2
Xét 4 x 0 x 2, y 0 hoặc (cả hai đều thỏa mãn HPT)
2x
0
y
x (thỏa mãn HPT)
Xét suy ra hoặc
x 2
0
y
Xét và
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 8
Ta có:
Phần 1
3
3
2
4
x
x
y
2
y
x
4
2
y y
(*)
2
2
2
2
4
x
3
y
4
x
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i Hê 2 x 3
y
2
y
3
xy
2 (1)
2
3
xy
y
2
2
x
xy
(2)
10 9
2
2
2
2
2
Suy ra . Vậy
2
1,
5 y x xy 6 5 y x 6 xy 5 6 1 0 0 Nhân (1) với 5 rồi + (2) ta được: y x y x
y x
y x
1 5
3
2
2
2 y x
2
x
y
y
1 7
y
đến đây các bạn tự làm tiếp.
2
2
y
2
xy
1 7
y
Bài 8. Giải hệ phương trình:
Giải
2
3
2
y
2
y
2
y
2
x
y
y
1 7
y
2
y
2
1 y
2
y
1 7
3
2
2
x
y
6
y
8
y
1
2
2
y
2
xy
1 7
y
2
3
2
6
y
8
y
1
x
y
2
3
2
2
y
6
y
8
y
1 7
y
1
3
2
2
x
y
6
y
8
y
1
y y
4
3
2
y
6
y
10
y
6
y
1 0
2
3
6
y
8
y
1
x
4
2 1
y
0
x y
y 1
2
Hệ phương trình đã cho tương đương:
x y ;
2;1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
2
2 x y
1 1 1 13
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 9
x y 7 y 1 1 Bài 9. Giải hệ phương trình: x y y x 12
Phần 1
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
Hê Giải
1
y
ĐK:
x
y
x y
1 1 0 (*)
2 13
1
7x
Phương trình thứ hai của hệ đã cho, tương đương:
Ta thấy không là nghiệm của hệ.
7x , phương trình thứ nhất hệ đã cho tương đương:
7
y
1 1
x
y
1
x
1
1 1 y
x
7
1
y
x 7
1 x
y
1
=>
x 7
1 x
2
Thế vào (*) ta được:
x x 1 x 7
4
x 13 1 0
x 7 3 x 5 x 33 x x 1 x 2 36 0
2
1
y
1
y
1 x x 3 x 5 x 12 3 x 0 x
1x , ta được
1 3
9 8
y
1 1
y
0
Với
3x , ta được
x y ;
Với
, 3;0
8 9
1;
3
3
2
3 x y
9
x
2
xy
y
4
xy
3
Vậy hệ đã choc có 2 nghiệm
2
2
2
2 x y
2
xy
y
3
4
16
Bài 10. Giải hệ phương trình:
0
y
Giải
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 10
Với không là nghiệm hệ.
Phần 1
0
y , ta chia phương trình thứ nhất cho
Hê ̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i 3y , phương trình thứ hai cho 2y ta được
3
x
2
x
x
(1)
9
3 2 y
1 4
2
4
x
2
x
(2)
1
3 2 y
16
3
2
x
x
x
4
x
2
x
1
x
x
1
9
3
Với
1 4
1
3
y
1
3 2 y
Thế (2) vào (1) ta được: 2 16
1;1 , 1; 1
Vậy nghiệm của hệ là:
6 3 x 3 y 2 y x y Bài 11. Giải hệ phương trình:
2 3 x 3 x y 6 x 3 y 4
y
3
2 3
x
0 (3)
y
3
y
2 3
x
y
y
3
x
y
0
Giải
3
x
0 (4)
y
y
Phương trình (1):
x
73
13
73
5
6
x
3
y
8
x
3
y
8
6
2
y
y
0
16 10
y
2 3
x
0
y
3
3
x
73
13
y
73
5
1 6 1 3 1 6 1 3
y
Thế phương trình (3) vào phương trình (2):
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 11
Thế phương trình (4) vào phương trình (2)
Phần 1
4
y
3
x
0
y
y
3
x
0
y
2
6
x
5
y
4
2
y
4 7
y
0
Hê ̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i x 4 y 1 x 4 1 y 2
x y ;
73
73
5
5
; 4; 4 ;
13
73 ;
13
73 ;
1 6
1 3
1 6
1 3
1 1 ; 4 2
;
2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
3
2 x y
xy 2 y 0 (1) Bài 12. Giải hệ phương trình: xy 3 2 y 1 4 (2) x 2 x x
y
21; x y
2
Giải
2
Điều kiện:
(1)
y
x
xy 2
3
Ta có:
2 x y
2
2
Ta có: (2) xy x xy 2 x y 2 1 2 y 1 2 4 0
2 x y
2
x x ( ) y x ( ) y x y 2 1 2 y 1 2 4 0
2 x y
2 ( x y
y
2
1
2
y
1
2 x y
2)
1)
x y 2
1
0
2 x y (
1
2
2 x y
x xy ( 2 ) y x x y 2 1 2 y 1 2 4 0
x y
1
2
2 y 1 1 0
2 x y (
2 x y
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 12
1) 1 1 1 y y 1)( 1) 2 y 1 x y 2 x y 1 0 2 x y ( 2 x y x
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
TH1: x 0 0 y không thỏa mãn
2
5
x y ( ; )
1 1 ;
5 1 1 TH2: y 1 0 y y x 2 5 2
5 2
2
2
Thử lại ta được: là nghiệm của hệ.
2
2
1 2 2 x y 2
1 2
1 1
y 6 Bài 13. Giải hệ phương trình: y 12 2 y x y x 4 2 x y
y
y 0;
1
Giải
2
2
2
Điều kiện :
y 6
x
y 2
2
;
x
3
2 x y y
1
4 y y
4 1
9 y y
1 1
2
2
2
2
2
. Khi đó : 1
4 2 x y
2 2 x y
y
y 6
y 2
y 12
1
2
3
y
1
y
0
x
x
2
x
1
2
1
4
y
y
y 1 9
1
1
y
2
2
2
y
x
0
y 4 9
1
y
1
y
1
y
1 3
y y
Thay vào (2) , ta có :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
LÀM XUẤT HIỆN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
4
4
x
y
1. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đơn giản: công trừ, nhân, chia các vế của hệ phương trình để tạo ra phương trình mới có dạng tích.
3
3
2
2
3
x
2
y
x
4
y
4
x
8
y
240
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 13
Bài 1. Giải hệ phương trình:
Phần 1
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
Hê Giải
Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được:
2
4
3
2
3
4
24
16
y
16
y
96
y
256
y
256
x
x
8
4
4
2
4
y
2
4
6
2
x
y
y
x
x
x
y
y
2 4
x
x
x 32
(tại sao lại có -8 các bạn tham khảo thêm về phương pháp hệ số bất đinh UTC ở bên dưới)
3
2
Thay vào phương trình đầu ta được:
3
2
y 8 24 y 32 y 16 240
1 y
2
y
2
5
y
y
14
0
y
x
4
2
3
2
24
y
216
y
864
y
1296 240
3
2
9
36
y
2
y
2
y
7
y
22
0
y
44 0
2 y y
x
4
2
3 y 4 y 28 0
x y ;
4; 2 , 4; 2
4
x
5
y
6 (1)
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
2
2 x y
5
x
6 (2)
Bài 2. Giải hệ phương trình:
Giải
4
2
5
0
x
2
2
2
y
5
x
y
0
x
x
2
y
x
y
5
x
y
0
x
2 x y
2
x
y
x
x
y
5
0
x
y x
y
x
x
y
5 0
x 2
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 14
Nếu x = y, thay vào (1) ta được:
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
4
3
x
2
x
x
y
5 0
y
x
2 2 x 5 x 6 x 3 x 2 x 0 1 1 x y 1 x y
5 2 x
4
6
3
2
x
5
6
x
5
x
6
x
25 0
5 2 x
2
5
x
2 x y
6
x
6
Nếu thay vào (1) ta được:
6 5
3
2
3
2
6
3
2
5
x
6
x
5.
25
x
5
x
6
x
6.
25 0
Từ (2) ta có:
6 5
6 5
432 25
Do đó:
Suy ra trường hợp này hệ vô nghiệm
x y ;
2; 2 , 1;1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:
2
2 y x
x x 1 1 (1) y Bài 3. Giải hệ phương trình: y 2 y x 0 (2) x
Giải
(1)
x
x
1 1
y
1 2
x
y
x
1 1
y
x
2
1
y
y
2
4
x
y
y
1
2
y
2
4
x
x
2 2
x
y
2
2
(2)
y
x
xy
y
x
y x
y
2 2
x
x
4
y
2 2
x
x
y
2 2
x
I ( )
2
y
2
2
y
2
y
2
y
2 0
y
y
x
y x
y y
y
1 4 1
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 15
0 ĐK: 1 0 y x x
Phần 1
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
Hê 2 3 (1)
y xy
2
2 x y
2 x Bài 4. Giải hệ phương trình: y 2 x 0 (2)
2
2 3 (1)
x
Giải
2
x
x 2 (2)
y xy y y
3
x
x
(3)
y
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
3 2
4 3 5 x
2 xy 2 x y
Suy ra:
3
3
x
x
2
x .
2
3
x
4 3 x 5
3
3
4 3
x
x
75
x
0
6
3
23 x 69
4 3 x 5 9 x
10. 4 3 24 0
2
3x
t 9
t 69
24 0
Thế (3) vào (1), ta được
t , ta được
8 1 3
t t
8t suy ra
2x
2
y
Đặt
2
3
3
3
x
y
y
2
0
Với dẫn đến
t
1 3
1 9
1 3
1 3
2
3
3
suy ra Với dẫn đến
2; 2
8. 0 Phương trình này vô nghiệm do 1 9 1 3
;x y duy nhất là
2
4
3
4
x
y
4
xy
1 (1)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
2
2
4
x
2
y
4
xy
2 (2)
Bài 5. Giải hệ phương trình:
Giải
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 16
Trừ vế theo vế được:
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
4
2
2
y
2
y
4
xy
y
1
1
2
2
2
4
2
2
y
xy
0
xy y 1 4
y y
1 1
1
2
2
2
2
2
y 1 1 y Với . Ta có 4 nghiệm (0; 1) và (1; 1) và (-1; -1) và (0; -1)
2 1 4
2
2
(3) y xy 4 x y 1 4 1 x y Với , thay vào (2), ta được
22
1 4
2
2
2
x 4 xy x 1 4 x 1 4 Lại thay (3) vào (1) ta có:
1 4
0
x
0
y
x
0
y
1
thì x 4 xy 1 x xy 0 1 4 Nếu không thỏa hệ. Vậy
Với
y thay vào hệ được
x Với x 1 5
y
x
4
; , ; Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x; y) là: (0; 1), (0; -1), (1; 1), (-1; -1), 1 5 1 5 1 5 1 5
(1) (2)
x
2
4 13 y x 3
y
x
Bài 6. Giải hệ phương trình:
Giải
x
3
x
2
y
y
y
3
x
2
x
y
3
x
y
2
x
y
2
2
4
x
1 3
x
2
xy
2 y x ,
4 x
1 2
2
y
4
x
1
x
4
x
13
x
4
Ta có:
2 1
5 16 1
x x
Thay vào (1) ta được:
y
x 1
x
5 16
1 2
3 16
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 17
Do . Suy ra . nên loại nghiệm này. Vậy
Phần 1
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
Hê Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:
3 5 ; 16 16
3
3
3
y
x
9
x
2
(1) (2)
2 x y
y
6
x
Bài 7. Giải hệ phương trình:
0x
0
y
Giải
0
Xét trường hợp dẫn đến
x y , ta viết lại hệ phương trình dưới dạng:
2
2
2
4
x
y
x
y
3 9 (1)
x
x
2
x
(2)
y
x 6 y
4
2
2 x y
(1)
2
x
3
2 x y
2
4
2 x y
2
2
x
y
9
2 x y
Xét trường hợp ,
y
2
2
y
2 x y
(3)
x
9 2
Lấy (2) thế vào (1), ta được:
2
2
2
(2)
y
(4)
x 2
x
36 y
3
Bình phương 2 vế phương trình (2), ta có:
y 8 y 2 Từ (3) và (4), ta có được phân tích sau:
2x
1x
2
y
và Với đem thế vào (2), ta được nghiệm
2
3
2
3
y
4
x
y
0
Vậy nên hệ phương trình đã cho có 2 bộ nghiệm (x, y) = (1; 2), (2; 2)
2
2
2
y
1 3
xy
x
y
2 x y xy x
xy
Bài 8. Giải hệ phương trình:
Giải
2
2
3
2 x y
xy
3
xy
3
y
4
x
y
0
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 18
+Phương trình thứ nhất tương đương:
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
2
3
y
xy
4
0
y
x
y
x
2
3
y
xy
4 0 (*)
x vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được:
Thế y
4
2
1 x
2 x x 1 0
x y ;
;
;
2 2 x
1;1 , 1; 1 ,
2 2
2 2
2 2
2 2
,
là bốn nghiệm của hệ đã cho. Suy ra
xy
1
2
2
xy
x
y
1
2
2
x
y
1 0 (**)
1 0
2
+ Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương:
1
xy vào (*), ta được:
y 1 . y 1 Thế
x y ;
1;1 , 1; 1
4
2
x
là hai nghiệm của hệ đã cho. Suy ra
0
y . Do đó (*)
23 y y
4
4
2
x
1 y Từ 2 x ta được
23 y y
x y ;
;
;
10 y 25 y 16 0 Thế vào (**), ta được: (vô nghiệm)
1;1 , 1; 1 ,
2 2
2 2
2 2
2 2
,
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm
x 2 y 6 y 2 x y Bài 9. Giải hệ phương trình:
x x 2 y 3 y 2 x
0
y
Giải
Điều kiện:
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 19
Phương trình thứ nhất tương đương:
Phần 1
2
2
x
3
2
y
y
x
2
y
y 2
y 25 4
2
2
x
y
y
Hê ̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
x
2
y
3
y
+ Với thay vào PT(2) ta được:
1
x 3 y 3 y 2 x 3 y x 3 y 2 x
x 3 y 2
3 y 4 x
x
2
y
y
0
y
2
y 3 y y 4 5 x 4 9 8 3
thay vào PT(2) ta được:
+ Với
x 2 y 3 y 2 x 2 y 2 y 5 y 2 x x
2
2 y
2 y 2 y 5 y y x 12 2 2 L 1 4 y
12; 2 .
8 4 ; 3 9
2
2
x
y
(1)
2
2
x 9 5
x
y
Vậy hệ đã cho có nghiệm: ,
(2)
x y
5 3 6 5
x x x y
Bài 10. Giải hệ phương trình:
0
2
2
Giải
y
0
x
2
2
x
x
y
0
y
(*) Điều kiện:
Ta biến đổi phương trình (2):
x (2) (**) x 6 xy 5 y xy 3 30 x x y 5 9 30 x 10 y 3 5 9
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 20
Trục căn thức ở (1) ta được:
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
2
2
2
2
x
x
y
2
1
(1)
2
y
x 9 5
x y
x y
x 9 5
2
2
2
2
2
6
1 3
0
1 1
1
x y
x y
x y
x 9 5
x y
x y
x y
x y
0
2
x y
1 3 0
x y
x y
0
x y
x
5 9
x 0
2
Với: (vô nghiệm)
2
1 3
x y
x y
3
2
2
1 9 6
x y
x y
x y
x y x y
5 3
1 3 0 Với: x y x y
5;3
5 Từ thay vào (**) ta được . Thử lại điều kiện (*) ta thấy thỏa. 3 x y 5 3 x y
x y ;
2
x 4 3
10
2
y 2
(1)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
y 6 4
11
3
x
(2)
x 2 y
Bài 11. Giải hệ phương trình:
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 21
Giải
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
x ; Điềukiện: 2 y 3 3 4
2
2
x
x 4 3
10
2
y
y 6 4
11
y 2
3
x
2
2
x (3
2
x 4 3
4)
2
x (
x 4
4)
y (4
3
y 6 4
9)
3
y (
y 6
9)
0
2
2
Cộng 2 vế của phương trình với nhau ta được:
x 3
2
2
( x
2 2)
y 4
3
3
( y
2 3)
0
2
3 x y
2
2
Thử lại ta được(2; 3) là nghiệm của hệ.
2
2
2 x 5 xy y 1 Bài 12. Giải hệ phương trình: xy 2 y 4 y xy 1 y
y
2
y
0
x
Giải
ĐK: 4
2
2
2
2
2
x
5
xy
y
y
xy
2
y
4
y
xy
0
2y ta có:
2
5
4
0
1
2
Trừ vế với vế ta được:
x y
x y
x y
x y
Chia hai vế cho
2; 4
2
t 2
t 5
t
4
1
t
2
4
t
0
t 6
t
t
2
2 t
0 2 1
t
3
t
2
3
0
2 t t
t
2 1
1
t
2
1 3 4
t
0
t
t
1 4
t
t 2 2 1 1
3 2 t
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 22
t t Đặt . Khi đó ta được x y
Phần 1
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
t
Hê 2; 4
3t suy ra
x
y 3
t 2 0 Ta thấy với t 1 4 t t 2 2 1 1
2
Vậy thế vào phương trình (1) của hệ ta được phương trình
2 y 1 y x 1 2 3 2
x y ; ; Kết luận: phương trình có nghiệm duy nhất 3 2 1 2
2
4
y x )(
4
y
y
y
0
) 3
2. Hệ phương trình có dấu hiệu chứa 1 phương trình dạng đẳng cấp (thường là đẳng cấp bậc 2, bậc 3)
2
2
x
2
y
y
1 0
y
1
( x
Bài 12. Giải hệ phương trình:
2
x
y
,
y
HD
2
2
a
y b ,
y
(1) :
0
b 3
x
xuất hiện => để quan sát PT dễ hơn ta đặt Từ phương trình (1) ta chỉ thấy có các cụm
đây là PT đẳng cấp bậc 2 => dễ dàng tìm được mối
a
0
a a b b 3
0,
a b
tạm
. Vậy ta có lời giải sau:
2
4
2
4
liên hệ giữa a và b đó là
2
2
2
2
y y 4 y ) PT
2
2
y 4 y x y 0 y y y y y 4 x 0
2
x y 0 3 y y y
1 x x x
2
( y x x y 3 y
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 23
x y y
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
2
2
2
2
) x 3 y y
2 :
2
2
PT 3 y 2 y y 1 0 y y 1
2
4
2
3
2
1 * y 1 2
y y y 1 y
4
3
y y y y 2 y 2 y 1
2
2 0
1
y 0 y y y y
y y 1 y 1 0, y
2
)
x
y
y
2
2
2
PT
y
2
y
y
1 0
y
y
1
2 :
2
2
y
y
y
1
1
y
2
4
2
3
2
L 1 5 5 1 , y 2 2 y
4
3
2
y y y y 1 2 y 2 y 2 y 1
0
L
1
y
1
13
2
1
13
2
y y y
1
13
S :
13;
4
Đ
2
1
13
13;
4
; ( 2; 1)
2
2
2
36
xy
x 5(2
y 3 ) 6
xy
0
(1)
2 y 2 y 3 y 0 y
2
y 18 2
(2)
y 3
30
8 x 2 x
Bài 13. Giải hệ phương trình:
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 24
Giải
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
xy 0 Điều kiện:
(1)
x 2(2
2 y 3 )
12
xy
x 5(2
y 3 ) 6
xy
0
a
2 x
y b 3 ,
xy
Ta có:
x (2
y 3
2 6
xy
x )(4
6 y
xy 6
)
0
(khi ta đặt: dễ thấy PT trên là ở dạng đẳng cấp bậc 2)
2 6 xy
xy 6 2 y 3 x 4 y 6 x
0
x 2
y 3
x 2
3 y
2 6
xy
2
2
12
xy
y 9
24
xy
2 x 3 y x 4
2
TH1:
2
3 x y 3 30 Thay vào(2) ta được: 3 y 9 2 2 y y 2 x
0
0
So sánh điều kiện ta được: (3;2) là nghiệm của hệ
x 4
6 y
xy 6
y 6 2
6 y 2
2
2
21
xy
48
xy
y 36
xy 6
y 18
0
VN
4 x 16 x
4 x 8 x
TH2:
3. Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2:
Lấy 1 biến có bậc cao nhất là bậc 2 làm ẩn, biến còn lại coi như là 1 tham số rồi tính delta như 1 phương trình bậc 2 nếu delta có dạng chính phương thì sử dụng công thức nghiệm của PT bậc 2 để tìm mối quan hệ giữa 2 biến.
2
2
2 x 2 (1) y x y 1 x Bài 1. Giải hệ phương trình:
y x 1 1 = 3 x 3 (2)
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 25
Giải
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
2
0 ĐK: 0 x y
2
(1) y x x 2 xy 2
2
2
x 2 2 x 0 (3) y y x x y
8 x x x 2 x 0 = x x 2
y y 2
2
2
x
x
x
1 1
3
x
3
x (3) x
2
2
Nếu y , thay vào (2) ta được:
x
x
1 1
3
x
3
0
y
x 2
Ta có: nên phương trình này vô nghiệm
2
2
3
x
x
2
x
Nếu
2
x
3
2
x
x
1 1 1 2
3
1
2 x
2
x
3
2 x
, thay vào (2) ta được:
x
3 2
2
f x ( )
x
1,
x
0;
và
(vì không thỏa phương trình)
f
x '( )
0;
0,
x
;
g x '( )
,
0;
x
x 2
2 3 2 x 3
x
1
0;
g x ( ) , x 0; Xét 2 hàm số: 2 x 3 x 2
0; và g(x) nghịch biến trên
Suy ra f(x) đồng biến trên
x
3
y
2 3
3 x Ta thấy là nghiệm của (4)
Suy ra (4) có nghiệm duy nhất
x y ;
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 26
3; 2 3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Phần 1
2
xy
x
y
x
Hê 22 y
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i (1)
x
2
y
y x
2
x
y 2 (2)
1
Bài 2. Giải hệ phương trình
2
2
2
y
0
x
y
x
1;
y
0
Giải
x y
1
Điều kiện: . Phương trình (1)
2
2
2
y
y
y
3
y
1
1
4 2
y
y
1
x x 2
x
1
y 2
Ta coi PT trên là pt bậc 2 với ẩn x và y là tham số khi đó ta có
Do có x + y > 0, nên tâ được:
Thay vào phương trình (2) ta được:
(2 y 1) 2 y y 2 y 2(2 y 1) 2 y
1)( 2
y
2) 0
y
2
( y
2 ( y y 2( y 1) 1)
( Do y 0)
Với y = 2 ta có x = 2y + 1 = 5
2
y
(5
x
4)(4
x
)
(1)
Hệ có nghiệm (x,y) = (5,2)
2
2
y
5
x
4
xy
16
x
8
y
(2)
16 0
Bài 3. Giải hệ phương trình:
Giải
2
2
y
(4
x
8)
y
5
x
16
x
16 0
y
4
'
2
9
x
y
5 x 4 x
Biến đổi phương trình (2) về dạng:
x y ,
; 0
x
4 5
4 5
x
0
x y ,
0 , 4
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 27
Với y = 5x + 4 thay vào phương trình (1) (5x + 4)2 = (5x+ 4)(4-x)
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
Với y = 4 - x thay vào (1) ta được:
2
4 0 (4 x ) (5 x 4)(4 ) 0 4 x y x x y
4 5
2
4
3
; 0). Hệ có 3 nghiệm (x,y) là: (0;4); (4;0); (-
3
x y 9 y x (9 y ) y Bài 4. Giải hệ phương trình: x 1 2 1 y
2
3
4
PT
x
(9
y
)
y
9
y
0
x
y
1
2
3
4
3
(9
y
y
36
y
y
9
y
) 4
y
x
3
3
9
y
y
9
y
y
3
y
x
9
3
3
9
y
y
9
y
y
y
2 2
x
HD
3 y thế vào PT (2) sử dụng hàm số => vô nghiệm
x 9 + Với
S :
11 6 3; 11 6 3
Đ
0;0 , 11 6 3; 11 6 3
+Với x=y thế vào PT(2) ta được đáp số:
2
Bài dưới đây là 1 sự nhạy bén trong việc sử dụng linh hoạt phương trình bậc 2 và vi-et để giải hệ.
(1)
2
2 x xy 1
4
2
(2)
2 1
2 1
9 x 3 xy Bài 5. Giải hệ phương trình: 1 x x
Giải
22 t
2
(3) 1 0 yt Xét phương trình bậc hai:
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 28
(1) yx 1 0 2 x
Phần 1
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
Hê Cho thấy t = x là một nghiệm của phương trình (3)
2
4
2
2 1
2 1
3
x
t
9 x x 3 (2) 2. y . 1 0 x x
x
2 1
2
x
Cho thấy là một nghiệm của phương trình (3)
x x
3 2 1
2
3
x
2
y
3
x
x .
Dễ thấy phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt mà nên áp dụng
1 2
x
3
2 1
2
x
2
y
1 2 1 2
3
3
x y ( ;
)
; 2
định lý Vi- et ta có:
1 2
1 2
; 2 ,
2
2
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
2
2
y x 2 y 2 y 3 xy (1) x Bài 6. Giải hệ phương trình y x 2 y 2 y (2) 1 x 1
1
y
Giải
2
2
y
x
2
y
2
y
3
xy
x
ĐK:
2
x
22 y
t
t
0
Xét 1 : 1
2
2
2
t
x
2
y
2
y
3
xy
0
x
Đặt
1
y t
2
2
2
2
y
4
x
2
y
2
y
3
xy
2
x
3
y
x
1
1
2
2
x
2
y
y
1
x
1
2
2
y y
x t t 2 x
x
2
y
2
y
x
2
x
22 y
1
x
y
thay vào (2) ta có:
Phương trình (1) trở thành:
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 29
Với
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
y
y
1 3
y
0
1
y
2
1 3 5
y
y
0
9
2
x
1
x
(vô nghiệm)
5
y
2
x
1
2
1 4
x
22 y
2
y
x
2
2
1
5
x
2
y
2
y
x
2
x y
5
x y ;
5 1 ;
Với , ta có hệ:
1 4
2
0
x
Vậy hệ phương trình có nghiệm
2
y
3 . 1
x
y
x 3
2 . 1.
2 x y . y 1
y x
Bài 7. Giải hệ phương trình
Giải
2
y Điều kiện : x 3 0 x 0 1; x y
x
y 2.
x y .
2
x
2
0
Ta có: (1)
2
x
8
2
4
y
x
x
2
0
x 2
4
y
y
x
y
2
x
2
x 2 4 y 2 2 Với: x 2 y loai 4 x 2
2
x
2
2
Với , thếvào (1) ta được :
x
1
x 1 x 2 1 1 x 2 2 x
x
1 .
x
2 1 1
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 30
(*) x 1.( x 1) 2
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
2
t
2
2
2
' f t ( )
t
1
0
1
f t ( )
2
t
1
f t ( ) t t 1 1 t t , có t 1 Xét hàm số
1
đồng biến.
f
(
x
1)
f x (
1)
1
x
x
x
3
x
2 1
x 1 x 1
x
3
VìPT (*)
y
1
y 3
(1)
5 Với y (thỏa mãn).
Bài 8. Giải hệ phương trình:
y
x 6
4
y 3
(2)
1 x 2
1 x 4 2 y
x 3 x
x
;
1
Giải
1 y 3
2
(2)
2
y
y
x 2
x 6
4
0;
x
3
Điều kiện:
y
0
1
x
;
1
1 Vậy ta có: 0 x y 0 2 y x 4
x vô nghiệm vì
1 y 3
, thay vào (1) ta có: x 2
0
4
4
y
y
Với:
x 3
x 2
4
1 1
x 3
x 2
3
1 x 2 3
x 4 2 1
3 x 2 2
x 3 2 3
*
x 3
1
x 2
. 4
12
3
y
x
*
Với: 2 x
Vậy hệ có nghiệm là: (4; l2)
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 31
4. Hệ đồng bậc
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
Nếu thấy hệ có dấu hiệu các hạng tử trong A, B, C, D cùng đồng bậc với nhau A B C D
2
2
2
x
3
y
x
3
xy
y
và bậc A +bậc D= bậc C+bậc B. Thì ta nhân chéo: AD=BC sẽ được 1 phương trình đồng bậc => sử dụng phép chia để đưa về PT bậc 2, 3.... Khi đó giải phương trình bậc 2, 3.. ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa x và y.
2
2
x
2
y
2
y
x
Bài 1. Giải hệ phương trình:
Giải
2
2
2
3
2
3
2
Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được:
2 x y
(2 x 3 )( y x 2 y ) ( x 2 )( y x 3 xy x y ) 4 y 3 xy 2 0
2
2
y
( x y x )( xy 4 y ) 0 1 17 y 2 x x
2
1
17
y
1
17
x
y
x 0 x 0 3 x 3 x Với y = x thay vào phương trình thứ hai suy ra x 1 x 1 y y
2
2
x
2 2 y
2
2
y
x
x
2
2
Với khi đó ta có hệ:
3
3
1 1 2
2 y x Bài 2. Giải hệ phương trình 2 x y 2 y x
Giải
3
3
2
2
3
2
3
2
2
2
x
y
2
y
x
2
y
x
x
2
2 x y
2
xy
5
y
0
x
y
x
3
xy
5
y
0
y
x 2
2
x
3
xy
5
y
0 3
2
Từ (1) và (2) ta được phương trình đồng bậc
y
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 32
y 1 . y 1 Với x thay vào (1) ta được
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
2
2
2
2
x
0
y
x
3
xy
5
y
x
y
y
0
3 2
11 4
Ta có . Rõ ràng không phải là nghiệm hệ phương
trình. Vậy (3) vô nghiệm.
1;1 ,
1; 1 .
3
2
3
x
4
xy
8
y
1
Vậy hệ đã cho có nghiệm là
4
4
2
x
8
y
2
x
y
Bài 3: Giải hệ phương trình
Giải
3
2
4
4
3
Từ hệ phương trình trên nhân chéo 2 vế ta được:
2
3
2 x y
x 4 xy 8 y x 8 y x y 2 2
3 x y 8
0(1)
y
0
x
1
12 xy
0
y
Với
3
2
Với
2
x
2
y
x
6
y
6
0
0
x
y
0
x y x y x y
x
y 2
(1) 8 12 0 x y x y x y
3
3
y
8
y
1
y
2
4 8
3
1
3 y 8
y
x
1
1 3 8
x
y 6
Với thay vào phương trình đầu ta được
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 33
Với thay vào phương trình đầu ta được
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
3
3
24
y
8
y
1
6
y
3
3 200
y
1
3
3
y
x
1 200
216 200
3
3
3
x y ;
;
1;0 , 0;0 , 1;
1 8
216 200
1 200
,
3
8
x
2
Kết luận: Vậy hệ phương trìn có 4 nghiệm
2
2
(1) (2)
x
3 3
y
y
y 1
3 x
Bài 4: Giải hệ phương trình:
Giải
3
3
2
2
x
y
x
3
y
4
x
y
I
2
2
x
3
y
6
3
2
2
2
xy
12
y
0
2 x y
12
xy
0
x x
2
2
2
x
3
y
6
x
3
y
6
3 x 2
x
0
x
3
y
4
y
x
2
2
x
3
y
6
x
0
x
3
y
x
4
y
2
2
2
2
2
2
x
3
y
6
x
3
y
6
x
3
y
6
x
78
x
78
x
0
4 13
VN (
)
2
x y
3 1
x y
3 1
3
y
6
y
78
y
78
4 13 1 13
1 13
3
3
2
x
y
xy
1
Thế (2) vào (1) ta có:
4
4
4
x
y
4
x
y
1 2
Bài 5. Giải hệ phương trình:
Giải
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 34
Thay (1) vào (2), ta có:
Phần 1
4
4
3
2
4
x
y
4
x
y
x
Hê 3 y
xy
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
2
2
xy
3
y
4
xy
x
0
y x
1 1
x y
y x
1 1
0 0
2
2
xy
3
4
y
x
0
x 0 y 0
y 3
y
x x
x
1
y
Với x=y thay vào (1), ta có:
3
3
x , y Với x=3y thay vào (1), ta có: 3 25 1 25
0;1 , 1;0 , 1;1 ,
3
3
2
3
3
5
xy
3
y
2
x
y
x
x y ; ; Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: 3 25 1 25
2
x
2
xy
1
Bài 6. Giải hệ phương trình
2
3
Giải
2
3 x
3
2
3
5 xy 3 y 2 x y (1) Hệ x 2 xy 1 (2)
2 x y
(3) x 7 xy 3 3 y 0 Nhân chéo 2 vế ta được
* Với y = 0 hệ đã cho vô nghiệm
0
y
3
2
ta có * Với
(3) ( ) 3( ) 7 3 0 (4) x y x y x y
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 35
t Đặt phương trình (4) trở thành x y
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
1
7 t3 + 3t2 – 7t + 3 = 0
7 t t 2 t 2
2
7
1
2
7
1
(
;
), (
;
)
), ( ) ; ; Với t = 1 ta có x = y hệ có nghiệm là ( 1 3 1 3 1 3 1 3
7
7
7 2 7
7 2 7
1
1
;
;
7 Với t = 2 hệ có nghiệm là
7 2 7
7 2 7
7 2 7
7 2 7
,
x x
y y
2(4
x
y
) (1)
Với t = - 2 + 7 hệ có nghiệm là
x
3
y
6 (2)
Bài 7. Giải hệ phương trình:
Giải
Phân tích: trong PT(1) có VT bậc 3/2, VP bậc 1/2
trong PT(2) có VT bậc 1, VP bậc 0
khi đó bậc VT(1) +bậc VP(2) = bậc VT(2) +bậc VP(1)= 3/2
Nên ta có lời giải
x x
y y
)
(
x
y 3 )(4
x
y
)
0 Điều kiện: 0 x y
2
(
x
y 3 )
1 3
x x (
xy
y 12 )
x
(
x
3
y
)(
x
4
y
)
0
0
x
3
y
0
x
0
x
x
9;
y
1
y 9
x
4
y
0
Thay từ (2) vào (1) ta được: 3(
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 36
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (9;1)
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
2
2
x
xy
y
3
5
5
3
3
x x
y y
31 7
Bài 8. Giải hệ phương trình
y
Giải
2
2
2
2
x
xy
y
3
x
xy
5
5
3
3
5
5
7
x
y
x
y
31
3
3
y
3 1 2
x x
y y
31 7
Điều kiện: x
5
5
2
2
3
5
2
4
4
Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc
21
x
y
31
xy
y
x
x
y
10
x
31
4 x y
31
3 x y
31
xy
10
y
0 3
3
.
ty
x
0
y
5
5
4
3
5
4
3
y
t 31
t 31
t 31
10
t 10
0
t 31
t 31
t 31
10 0
t 10
1 0
t
4
3
2
t 21
t 10
t 21
10
t
t 1 10
4
3
2
t 21
t 10
t 21
10 0
0 10 t
t
1 0
1
t hay
x
y
x
y
0
Rõ ràng không phải là nghiệm hệ phương trình. Đặt x thay vào (3) ta được:
4
3
2
t 10
t 21
t 10
t 21
0
Với (loại).
t không phải là nghiệm của phương trình (3) chia
10 0 3
2
. Vì Với
10
t
21
t
10
0
1 t
1 2 t
2
2
2
2
u
u
t
2; u
t
2
t
u
2
, hai vế phương trình cho 2t ta được:
. Khi đó (3) trở thành
1 t
1 2 t
1 2 t
(loại)
Đặt
2
u u 10 u 21 10 0
t
2
2
t
t 2
t 5
2 0
5 2 2 5 u
u
5 2
1 t
5 2
1 2
t
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 37
ta có Với
Phần 1
2
2
t ta có 2
x
2
y
Hê ̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i tương ứng y 3
2
2
3
x
3
1
1
x
y
2
x
1 1 y 3 y Với thế vào (1) ta có x . 2
tương ứng x
y . 2
1 t ta có 2
Với thế vào (1) ta có
1; 2 ,
1; 2 , 2; 1 ,
2;1 .
4
3 x y
y
7
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là
2
3
2 x y
2
xy
y
9
Bài 9. Giải hệ phương trình
3
3
4
y
7 1
3 x y
y
7
2
3
2
2 x y
2
xy
y
9
y
y x y x
9 2
x
0;
x
y, y
. 0
Giải
Từ hệ suy ra .y
Nhận xét: nếu để nguyên hệ dạng trên thì chưa có dạng đồng bậc nhưng khi ta lũy thừa 3 PT(1) và lũy thừa 4 PT(2) ta sẽ đưa đc về hệ có dạng đồng bậc.
Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn.
3
3
3
3
3
3
3
3
Lấy hai phương trình thu được chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc:
ty
3
8
8
4
4
4
t
1 1
y y . Đặt x ta được phương trình: . Từ phương trình này suy ra 7 9 7 9 t x y y
3
3
x 1t .
t
8
t
1 1
2
3
2
7
7
8
2
3
3
3
2
3
3
Xét f ; t 1. t
1
1
1
1
t
1 t
1
1 t
2
7
3
2
3
t 9 t t t t t t t 9 t 8 8 t 9 f' 8 8 8 1
1
t 1 8 1
t là nghiệm duy nhất.
t là nghiệm của (3). Vậy 4
t ta có 2
2 2x .
1t . Nhận thấy y
t 9 8 t t 0 t 1 t
2 1
x
0
y 2
y ) suy ra
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 38
1 (vì y Vậy f(t) đồng biến với mọi Với thế vào (1) ta được
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
2;1 .
x
x
y
2
y
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
x
5
y
1 3 2
Bài 10. Giải hệ phương trình
x
0
y
Giải
Điều kiện của phương trình
2
y
x
2
2
2
2
x
x
2
y
2x+2
x
y
4
y
x
y
2
y
x
y
y
2
2
2
x
y
2
y
x
0
x
y
2
y
x
2
2
y
4
xy
0
5
y 5
0 4
x
0
y
Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc
9x
0
y
thay vào (2) ta suy ra Với (loại)
y
0
x
1
1
y
x
x 4
4 5
thay vào (2) ta có Với 5 (thỏa mãn).
1;
4 5
. Vậy hệ phương trình có nghiệm là
2
2
5. Phương pháp hệ số bất định: Phương pháp này sẽ xử lý đẹp hầu hết các hệ phương trình hữu tỉ.
2
2
0 1 0 2
2
2
a x 1 b y 1 c xy d x 1 1 e y 1 f 1 5.1. Với hệ có dạng tổng quát: f a x 2 b y 2 c xy d x 2 e y 2
Khi gặp hệ có 1 phương trình là dạng bậc 2 thì đầu tiên ta sẽ xem xét phương trình bậc 2 đó có đưa về dạng tích của 2 thằng bậc 1 hay không bằng cách:
. + Nếu là số chính phương thì ta dùng công thức nghiệm của PT bậc 2 để tìm mối liên hệ giữa x và y. + Nếu không là số chính phương thì sẽ không đưa về dạng tích được phải chuyển sang hướng khác.
- Coi nó là 1 PT bậc 2 với ẩn là x hoặc y (biến còn lại là tham số), thực hiện hiện thao tác tính
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 39
- Dùng các kĩ năng về phân tích nhân tử bằng casio để kiểm nghiệm.
Phần 1
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
kPT
(2)
PT
(1)
Hê Như vậy trong trường hợp mà cả 2 phương trình (1) và (2) không đưa về dạng tích thì khi đó ta sẽ xử lý hệ như thế nào??. Một ý tưởng được đưa ra là ta sẽ kết hợp cả 2 phương trình lại với nhau để tạo ra là số chính phương. Xong việc khó khăn theo 1 hằng số k
0 *
tiếp theo ở đây là tìm k như thế nào để cho PT (*) có là số chính phương. Có 1 phương pháp chọn k được đề cập trong nhiều tài liệu như sau:
2
2
a , f kf Đặt a 1 ka b b , 1 kb c , 2 c 1 kc d , 2 d 1 kd e , 2 e 1 ke 2 f 1
2
2
2
Khi đó k sẽ là nghiệm của phương trình sau:
*
cde 4 abf ae bd fc
2
2
x
xy
y
3(1)
Như vậy đã có công thức để tính k, xong việc giải PT(*) để tìm k cũng là 1 công việc khá cồng kềnh, mất nhiều thời gian tính toán. Nên chỉ sử dụng PP này khi ta đã dùng các phương pháp khác (đặt ẩn phụ, thế...) mà vẫn chưa tìm được lời giải.
2
x
2
xy
7
x
5
y
9 0(2)
Bài 1. Giải hệ phương trình:
Giải
2
2
x
y
xy
3 0(1)
Dùng PP UCT
2
x
2
xy
7
x
5
y
9 0(2)
a
k b 1,
1,
c
1 2 ,
k d
7 ,
k e
5 ,
k f
3 9
k
1
2
2
2
HPT
2
2
2
abf ae bd fc 4
4 1
1
3 9 . 1 2
k 7 k k 5 k 3 9 k k 5 k 1. 7 k k k .
1 cde 1 2 k
Như vậy sử dụng PP UCT ta được k=1
Vậy ta có lời giải
x y 2 0 ( x 2)(2 x 3) 0 y y Cộng theo vế 2 phương trình ta được: 2 x y 3 0
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 40
Với x + y – 2 = 0 khi đó ta có hệ:
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
x
2 0
y
y
x
2
x
1
2
2
2
2
y
1
x
xy
y
3
x
x
(2
x
)
(2
x
)
3
1 1
2
x
3 0
y
y
3 2
x
2
2
2
2
x
xy
y
3
x
x
3
(3 2 ) x
(3 2 ) x
2
1
x y x y
1 1
2
x
3 0
y
y
3 2
x
Với 2x + y – 3 = 0 khi đó ta có hệ:
2
2
2
2
x
xy
y
3
x
x
3
(3 2 ) x
(3 2 ) x
2
1
x y x y
2
2
Vậy hệ có 2 nghiệm là (1;1), (2;-1).
x y (1)
2
Bài 2. Giải hệ phương trình:
4 x 3 x y (3 x 1)(2) 1 5 57 25
k
Giải
50 25
Sử dụng UCT ta được
2
3 x y
50(3 25(3 y x y x ) ) 119 0
3 x y 7 5 17 5 Lấy 25 lần phương trình (1) cộng theo vế với 50 lần phương trình (2) ta được:
2 1 ; 5 5
11 2 ; 25 25
,
2
2
x
2
xy
2
y
3
x
0(1)
Giải ra ta được nghiệm của hệ là
2
xy
y
3
y
1 0(2)
Bài 3. Giải hệ phương trình:
2
k
Giải
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 41
Sử dụng UCT ta được
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 2 lần phương trình (2) ta được:
2
2 y 1 ( x y 2 ) 3( x 2 ) 2 0 y 2 y 2 x x
2
1
5
y
3
x
5
2
y
y
1 0
3 2 2 1 x 2 y y 2 y 1 0 Với x + 2y = -1, thay vào (2) ta được: y 3 2 2 2 1 x
1
5
y
3
x
5
2 2
Với x + 2y = -2, thay vào (2) ta được:
2
y
xy
3
y
2
x
1
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm.
2
2
y
4
xy
3
y
3
x
2
x
1 2
Bài 4. Giải hệ phương trình sau:
2
y
xy
2
x
3
y
1 0 (1)
Giải
2
2
6
x
2
y
8
xy
4
x
6
y
1 0 (2)
2
2
Hệ đã cho
3
1
2
(*) y x y 2 x 2 x 0 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
x
2
x
1
y
Có
y
1 x
Do đó, (*) có hai nghiệm: y = x + 1; y = 2x
2
2
x
2
2
y
* Với thay vào (1) ta được: - 3= 0 (Vô nghiệm)
2
2
x
2
2
y
2 2
2
2
2
2
* Với y = 2x thay vào (1) ta được:
2;
2
2;
2
2
2
và Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 42
5.2. Bài toán đặt ra là với những hệ mà không có dạng
Phần 1
2
2
Hê c xy d x 1 1
2
2
a x 1 b y 1 e y 1 f 1
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i 0 1 0 2
2
2
f e y 2 a x 2 b y 2 c xy d x 2
3
3
x
y
35(1)
thì ta sẽ dùng UCT như thế nào để xử lý? 5.2a. Dạng hệ mà x, y độc lập với nhau
2
2
2
x
3
y
4
x
y 9 (2)
Bài 5. Giải hệ phương trình:
u v
Giải
3
3
3
. => ý tưởng kết hợp 2 PT đề đưa về dạng Phân tích: thấy pt (1) có bậc là 3, PT(2) có bậc 2 và bậc 1 và các biến x, y là độc lập với nhau=> ta liên tưởng tới hằng đẳng thức
x a
y b
3
3
.
x a
y b
3
2
3
2
. Hướng 1 dùng UCT: Do PT(2) có bậc nhỏ hơn nên ý tưởng ta sẽ nhân thêm 1 hằng số k vào PT(2) và kết hợp với PT(1) để đưa về dạng
3
3
0
x a
y b
PT (1) kPT (2) 2 kx 4 kx y ky 3 9 ky x 35 0 Vậy:
3
k
2
Ta cần tìm k để đưa PT trên về dạng
3
a b
Sử dụng đồng nhất thức hệ số ta được
3
3
=>Lời giải
( x 2) (3 y y x ) 5(3) Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta được:
2
2 3 y 5 y Thế (3) vào phương trình (2) của hệ ta được: 3 2 y x 6 0 y x
3
35
2
3 27 8 3
Vậy nghiệm của hệ là (3;-2), (2;-3).
3
3
2)
(
y
3)
Hướng 2 dựa vào hệ số tự do: Từ hệ số tự do là 35 ta sẽ phân tích 35 thành các số có dạng lập phương quen thuộc
3
3
x
(
3)
(
y
2)
( x
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 43
=>ta hi vọng sẽ đưa được về 1 trong các dạng sau
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
3
3
3
3
( x 2) ( y 3) Nếu là dạng => hệ số của 2x là: 6 => khi đó ta phải nhân 3 vào pt(2)
vào pt(2) (thằng
9 2
( x 3) ( y 2) Nếu là dạng => hệ số của 2x là: 9 => khi đó ta phải nhân
3
3
này nhân số khá lẻ => khả năng là không được) nên thử:
( x 2) (3 x y y ) 5(3) Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta được:
2
2 3 y 5 y Thế (3) vào phương trình (2) của hệ ta được: 3 2 y x 6 0 y x
3
3
x
y
91
Vậy nghiệm của hệ là (3;-2), (2;-3).
2
2
4
x
3
y
16
x
9
y
Bài 6. Giải hệ phương trình:
Giải
Phần tích:
3
k
4
Tương tự như bài trên
3
a b
3
91 64 27
4
3 3
+ Nếu dùng UCT ta được:
2
x
3
9
x
+ Nếu phân tích hệ số tự do: ta có
3
9 4
2
x
4
12
x
=> ta cần nhân PT(2) với
3
=> ta cần nhân PT(2) với 3 (ưu tiên hướng này) vậy:
Lời giải
3
(
x
4)
3
7
x
y
y
(3)
Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) theo vế ta được:
3
Thay (3) vào phương trình (2) của hệ ta được:
2
4 3 y 7 y 12 0 3 4 y x y x
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 44
Vậy nghiệm của hệ là (3;4), (4;3).
Phần 1
Hê
4
4
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i (1)
x
y
Bài 7: Giải hệ phương trình:
3
3
2
2
3
x
2
y
x
4
y
4
x
8
y
(2)
240
Giải:
Nhân (2) với 8 rồi lấy (1) trừ đi (2) ta được:
4
4
3
3
2
2
4
3
2
3
3
4
y
x y 8 x 16 y 4 y 32 x 8 y x 240 24
2
2
32 x 16 16 y 96 y 256 y 256 x 8
y 4 2 24
x
2
y
Với:
thế lại vào (1) ta có:
4
4
3
2
2 y x x x y x 6 x
2
y 2 y 240 y 4 3
2 5 y y y 14 0 28 0
x
y
6
Với
thế lại vào (1) ta có:
4
4
2
3
y y x 4 y 2
2
y 6 y 240 9 36 y
y 2 y 7 y 22 0 y 44 0
Vậy hệ đã cho có nghiệm
x y ;
2; 4 , 2; 4
y y x 4 2
3
2
x
3
xy
49(1)
5.2b. Dạng hệ mà x, y không độc lập với nhau:
2
2
x
8
xy
y
8
y
x 17 (2)
Bài 8. Giải hệ phương trình sau:
Giải
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 45
Vì bậc của x > bậc của y nên ta biến đổi các PT của hệ theo ẩn y
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
3
3
2 y x
0(1)
2
2
y
8
x
17
x
0(2)
x y x
49 1
PT
2
3
y
16
0
Vì PT(2) có chứa y mà PT(1) không chứa y => thử với x= - 1 để xem PT(1), (2) có dạng tương đương nhau không?
2
y
16
0
Ta có với x=-1 thì hệ :
Như vậy nếu ta nhân 3.PT(2)+PT(1) thì sẽ được nhân tử chung là (x+1)
=> lời giải
Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 3 lần phương trình (2) ta được:
2
2
1) (
1; y 4 x 1) 3( y 4) ( x 1; y 4 x 0 x
3
6
2 x y
2
y
25 0(1)
Vậy nghiệm của hệ là (-1;-4), (-1;4).
2
2
x
y
xy
5
x
13
y
0(2)
) 2
5(
Bài 9. Giải hệ phương trình:
Giải
3
6
2 x y
y
HPT
2
2
5
x
x
2
y
5
5
y
13
y
0(2)
2
35 0(1)
2
Vì bậc của x < bậc của y nên ta biến đổi các PT của hệ theo ẩn x
y
5 2
2
15 x 0 15 4 Tương tự như trên thử với vào hệ ta được:
x 0 5 4 5
Như vậy nếu ta nhân 3.PT(2)+PT(1) thì sẽ được nhân tử chung là (x+5/2)
2
3
2
Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 3 lần phương trình (2) ta được:
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 46
(6 y 15) x 3(2 y 5) x 2 y 15 y 39 y 35 0
Phần 1
2
2
y x
Hê ̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i 5 2 1 2
0 y x y (2 1 2 5 2 5) 3 x y 1 2 5 2
3
2
x
5
xy
35 0(1)
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm.
2
2
2
x
5
xy
5
y
10
y
x
35 0(2)
Bài 10. Giải hệ phương trình:
PT
2
PT
2
Hướng dẫn:
1
3
2
x
3
xy
6
xy
3
x
39 0(1)
Lấy ta sẽ được nhân tử chung là (x - 2)
2
2
x
8
xy
y
10
y
25
x
9 0(2)
Bài 11. Giải hệ phương trình:
PT
3
PT
2
Hướng dẫn:
1
Lấy ta sẽ được nhân tử chung là (x + 1)
2
2 x y
3
x
3
y
3 0(1)
Nhận xét: Như vậy với những hệ mà ta đoán được nghiệm (a; b) và khi thay x=a (hoặc y=b) vào hệ thì được PT(1) và PT(2) có dạng tương đương ta đã xử lý được. Vậy nếu khi thay vào hệ mà PT(1) và PT(2) không có dạng tương đương ta sẽ xử lý sao? + khi ta dùng các kĩ thuật casio để dự đoán mối quan hệ tuyến tính giữa x và y + từ đó thế ngược lại vào hệ như các bài trên để tìm ra hệ số k hoặc biểu thức (chứa x,y,xy...) làm cho tổ hợp của PT(1) và PT(2) xuất hiện nhân tử chung.
2
2 x y
4
xy
3
y
2
y
1 0(2)
x
Bài 12. Giải hệ phương trình:
1x
y
Hướng dẫn
2
2
2
2
y
y
3
y
0(1)
2
2
2
y
y
3
y
2
y
y
1 0(2)
y
y
0(2)
3 1 4 1
y y y
3 0(1) 1
y
y 1 1
1 1
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 47
Dùng casio dự đoán mối quan hệ giữa x và y là: thế ngược lại vào hệ ta được
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
2
2
x
2
y
xy
y 2 (1)
Như vậy nếu ta nhân (1-y).PT(2)+PT(1) thì sẽ được nhân tử chung là (x+y-1)
3
2
2
2
x
3
xy
2
y
3
2 x y
(2)
Bài 13. Giải hệ phương trình:
Giải
0
y , nhân vào 2 vế của (1) với –y sau đó cộng theo vế phương trình (2) ta được:
Với y = 0 => x = 0 là một nghiệm của hệ
3
2
2 x y
22 y
Với 3 2 x 2 y 4 4 xy 0 x y (3)
2 1 y x 1 y Thay (3) vào phương trình (1) ta được:
2
4
3
4
x
y
4
xy
1 (1)
Vậy nghiệm của hệ là (0;0), (1;1).
Bài 14: Giải hệ phương trình:
2
2
2
x
y
2
xy
1 (2)
Giải:
Nhân vế (2) với -2 rồi cộng cho (1) vế theo vế ta được:
3
4
2
xy
xy
y
y
2
4
2
2
2
4
0
4 xy y
2
2
2
y
1 4
xy
0
2
y y y
1
1 1 y
1
y
xy
0
1 0 1 1 4
2
Nếu
1y thay vào (1) ta được:
x x
2
0 4 x 1 4 x 0 1 x 1 1 x
1
Nếu
y thay vào (1) ta được:
x x
2
y
1
2
y
1 4
xy
0
x
Nếu
(vì y = 0 không thỏa mãn phương trình). Thay vào (1) ta
y
4
được:
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 48
4 x 1 4 x 0 1 0 x 1 1 x
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
2
2
2
y
1
y
1
3
4
2
4
y
1
y
6
y
1 0
y
4
4
5
4
y
4
y
x
0
y
x
y
x
5 5
5 5 5 5
y 0 1 y 1 x 5 5
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là:
x y ;
;
;
1;1 , 0;1 ,
1; 1 , 0; 1 ,
5 5
5 5
5 5
5 5
,
6. Phương pháp sử dụng liên hợp
2
2
x
y
x
y
x
y
Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:
3
3
2
2
+
x
y
x
y
x
xy
y
4
4
2
2
+
x
y
x
y
x
y
x
y
+
y
1
3
x
5
3
x y ,
PP này thường được áp dụng cho các hệ chứa căn thức và nhất là khi 1 trong 2 PT của hệ ta đoán được nghiệm cố định (hoặc dùng casio dự đoán mối quan hệ đơn giản giữa x và y) từ đó dùng các biến đổi liên hợp để ép PT trong hệ về dạng tích.
y
2
x
2
x
2
x
y
y
y
y 2
1
x
y
1
xy 1
Bài 1. Giải hệ phương trình:
Giải
0
y (*) Điều kiện: 5 10 1 x y 1 2
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 49
5 y 2 x y x y x 3
Phần 1
1
1
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i Hê x 2
1 1
y
2
x
(3)
y
1
1
1 1
2
x
y
1 y
1
0
y 2 x y 0 y y Ta có phương trình (2)
0
2
x
1
y
y
1 1
y
2
x
1 y
1
y
1
x 2
Do và 1 nên phương trình (3)
thế vào PT (1) ta được:
2
Với
4x )
2
x 4 2 x 5 x 1 2 x (điều kiện: 2
2 1
1
x 4 x 2 x 5 x 3 0
3
x
x
3 2 x 1 0 2 x 1 (4) x 1 4 1 2 1 1 x x 1 4 1 2 1 1 x x
g x ( )
g x ( )
(2)
5
x 2
g
với 1
2; 4
Xét và , ta có f x ( ) x 1 4 1 2 1 1 x
2
2
2 1
1
f x ( )
g x
( ),
2; 4
x
1 1 f x '( ) 0, x 2; 4 f x ( ) nghịch biến 2 x 2 x 2 4 x 4 x
f x ( ) (2) 1 f . Do đó hay phương trình (4) vô nghiệm. 1 2 1
x
x
x x
3
y
y
1
x
3
y
1
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3; 5)
2
2
x 4
xy
2
y
4
x
3
Bài 2. Giải hệ phương trình:
Giải
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 50
1 Điều kiện: 1 x y
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
1x , ta được:
2
y 1 4 y 4 1 y Với y 2 y 1 0 3
x y ;
1;1
là một nghiệm của hệ. Suy ra
1x , phương trình thứ nhất tương đương:
Với
x x
y
3
x
y
y
0
x x
x
y
1
x 1
y
x
0
3
x
x
y
1
1 1
y
x
x
x y 1 3 x y y 0 1
3
2
3
x
4
x
3
x
x
x
4
0
x
1
4 0 1 3
x
4 3
y
x
Thế y vào phương trình thứ hai ta được:
x , ta được
4 3
4 3
x y ;
Với
1;1 ,
4 4 ; 3 3
2
4
3
x x
y
y
x
x
x
DK x :
1,
y
0
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm
x
y
x
y x (
1)
1
9 2
Bài 3. Giải hệ phương trình:
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 51
HD
Phần 1
Hê
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i
2
2
x x
y
y
x x
x
x
2
2
x
x
x
x
y
y
x
1PT
x
y
x
2
2
x
x
x
x y y
x
y
1
0
x
2
2
x
x
x
y
y x
x
x
y 1,
thì 0
1
0
2
2
x
x
x
y
S :
Do với
Đ
25 25 ; 16 16
2
2
2
2
2
2
xy 3
y 7
4
xy 5
y 6
x 3
xy 2
y
(1)
Thế vào PT(2) ta được
x 4 2
2
10
xy
y 34
x 47
(2)
3 x
Bài 4. Giải hệ phương trình:
2
xy 2
2 y
0
Giải
2
2
xy 3
y 7
0
x 3 x 4
Điều kiện:
y
1
2
2
xy 5
y 6
0
4
x
2
2
2
2
t m / y t m / 6
x 4
xy 3
y 7
x 3
xy 2
y
x x
Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình 1 , ta được:
2
y Thay vào 2 , ta được:
x
6
2
47 82
x
6
y 82
47
1 y x 1 Với x 1 1 x 1 x y
y Thay vào 2 , ta được:
x
6
47 82
47 82 47 82
y y
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 52
Với
Phần 1
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i Hê 5 y 3
2
3 x 3 (1) y Bài 5. Giải hệ phương trình y 16( y x ) 2 xy (2) x x
2
x
3;
y
5;
x
y 16(
) x
0;
xy
0
Giải
2
Điều kiện:
Ta có: (2) x y 16( ) x xy xy y
2
y
x
16
y
0
2
xy
y
x
y 16(
) x
xy
x
x 16 y x ( y ) 0 xy x y 16( ) x xy y
y Thay vào(1) ta được:
4
3
2
x 2
3
x
3
x
5
x
x 9
x 9
324
0
6
y
x
6( /
t m
)
x
16
y
0
Với: x
2
xy
y
x
y 16(
) x
xy
Với:
x
3
x
3
3
y
5
y
y Ta có: y 5 0 xy y
5
y
3
y
x
5
3
3
x
3
2
0 (*)
5
Từ(1) ta có:
y làần, x là tham số.
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 53
Ta coi(*) là Phương trình bậc haivới
Phần 1
9
4
3
3
x
3
̣ phương trı̀nh & các phương phá p giả i 12
3)
3
x 4(
1
x
y
5
x
Hê 2
Ta có:
(*) cónghiệm
y
5
4( x 3) 0 12 x 3 1 0
x
16
6 x 3 x 16 2 10 4
0
2
x
y 16(
) x
xy
x
16
y
0
VN
2
xy
y
x
y 16(
) x
xy
6;6
Vậy hệ có nghiệm:
HẾT PHẦN 1
Các phần 2 và 3 sẽ được phát hành sớm, các em chú ý theo dõi thông tin trên facebook của thầy.
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan
Trang 54
Chi tiết cách làm, hướng dẫn cụ thể được thầy trình bày trong khóa học PEN-C 2016 http://hocmai.vn/khoa-hoc-truc-tuyen/307/luyen-thi-quoc-gia-pen-c-mon-toan-thay-phan-huy-khai- thay-tran-phuong-thay-nguyen-ba-tuan-2015.html
