Khảo sát hàm số: Tổng hợp câu hỏi phụ và bài tập chủ đề 1

ủ ề Ch đ I

Ẽ Ồ Ị Ự Ế Ơ Ồ Ố Ả A/S Đ CHUNG KH O SÁT S BI N THIÊNVÀ V Đ TH HÀM S :

I / Hàm s : ố

\{ . }

ế (cid:0)

(cid:0)

ả ế ) . trên các kho ng (….) và (…..)

ự ị ệ ậ i h n :

ệ

ậ ứ

ả ậ ị 1) T p xác đ nh : +/ D = R ự ế 2) S bi n thiên : ề +/ Chi u bi n thiên : y’ = . y’ > 0 ( y’ < 0 ) , D ị ế ( Ngh ch bi n ố ồ +/ Hàm s đ ng bi n ố ự ị +/ C c tr : Hàm s không có c c tr . ớ ạ + / Ti m c n và Gi ậ và => ti m c n ngang : y = . ệ ? và ? => ti m c n đ ng : x = . ế +/ B ng bi n thiên :

∞ + ∞ x

? ? y’

? ? y

ể

ồ ị ườ ủ ậ 3) Đ thồ ị : * Giao đi m đ th v i tr c Oy : x = 0 => y = . ồ ị ớ ụ ồ ị ớ ụ *Giao đi m đ th v i tr c Ox : y = 0 => x = , ệ ể ậ *Đ th nh n giao đi m I( ;) c a hai đ ố ứ ng ti m c n làm tâm đ i x ng

4 + bx2 + c ( a ≠ 0) .

ố II / Hàm s y = ax

ế ậ ị 1) T p xác đ nh : +/ D = R ự ế 2) S bi n thiên : ề +/ Chi u bi n thiên :

(cid:0) y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b ) .

1

(cid:0)

ả

y’ = 0 <=> (cid:0) Xét d u y’: ấ +/ trên các kho ng (….) ả ố ồ ị ố Trên kho ng (….) : ế . và (…..) : y’ > 0 , : Hàm s đ ng bi n ế . y’ < 0 , : Hàm s Ngh ch bi n

ị ậ ự ị

ế +/ C c tr : K t lu n v c c tr hàm s . ố ạ ự ể ạ Hàm s đ t c c ti u t ố ạ ự ạ ạ Hàm s đ t c c đ i t ề ự i x = …., y i x = …., y ố CT = …. CĐ = ….

ự ớ ạ ở i h n

+ / Gi Vô c c : ? ; ? . ế ả +/ B ng bi n thiên : ∞ ? ? ? + ∞ x

? ? ? y’

? ? ? y

3) Đ th :

ụ ố ứ ố ẵ ồ ị ụ ậ

ồ ị ớ ụ ố ể ể ồ ị (cid:0) Hàm s đã cho là hàm s ch n, do đó đ th nh n tr c 0y làm tr c đ i x ng. (cid:0) Giao đi m đ th v i tr c Ox : y = 0 => x = ? . Các đi m khác …

ồ ị Đ th :

3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) .

ố III / Hàm s y = ax

ậ . ị 1) T p xác đ nh : +/ D = R

ự ế 2) S bi n thiên :

2

ề +/ Chi u bi n thiên :

(cid:0)

(cid:0) ế y’ = 3ax2 + 2bx + c . y’ = 0 <=> xi = ? ; f(xi) = ? .

ấ

(cid:0) Xét d u y’:

và (…..) : y’ > 0 , : Hàm s đ ng bi n

ố ồ ố ị ả ả ế . ế . y’ < 0 , : Hàm s Ngh ch bi n

ự ậ ị ị

+/ trên các kho ng (….) Trên kho ng (….) : ề ự i x = …., y i x = …., y ế +/ C c tr : K t lu n v c c tr hàm s . ố ạ ự ể ạ Hàm s đ t c c ti u t ạ ạ ố ạ ự Hàm s đ t c c Đ i t ố CT = …. CĐ = ….

ự ớ ạ ở i h n

+ / Gi Vô c c : ? ; ? .

ế ả +/ B ng bi n thiên : ∞ ? ? ? + ∞ x

? ? ? y’

? ? ? y

3) Đ thồ ị :

ồ ị ớ ụ ồ ị ớ ụ ể ể ể + ) Giao đi m đ th v i tr c Oy : x = 0 => y = d . +) Giao đi m đ th v i tr c Ox : y = 0 => x = ? ., Các đi m khác : …

ồ ị +) Đ th :

3

̀ ́ ạ ậ ự ẽ ả ố ị Kh o sát s biên thiên và v đô th hàm s : ẫ Bài t p m u d ng 1:

d)y =

c).

b)y =

\{ ….. }

ế (cid:0)

(cid:0)

ả ế trên các kho ng (….) và (…..)

ị và (…..)

ự ị ệ ậ i h n :

ệ

ậ ứ ệ

ả a) i: ả a) Cách gi ậ ị 1) T p xác đ nh : +/ D = R ự ế 2) S bi n thiên : ề +/ Chi u bi n thiên : y’ = y’ … 0 , D ố ồ +/ Hàm s đ ng bi n ế trên các kho ng (….) ả ố +/ Hàm s ngh ch bi n ự ị ố +/ C c tr : Hàm s không có c c tr . ớ ạ + / Ti m c n và Gi ậ và => ti m c n ngang : y =… và => ti m c n đ ng : x =…. . ế +/ B ng bi n thiên :

∞ + ∞ x

…..

….. ….. y’

….. ….. y

ể ồ ị ớ ụ

3) Đ thồ ị : * Giao đi m đ th v i tr c Oy : x = 0 => y = …. . ồ ị ớ ụ ể

ồ ị ể ậ ệ ậ ố ng ti m c n làm tâm đ i ủ ;…..) c a hai đ

*Giao đi m đ th v i tr c Ox : y = 0 => x =….. ườ *Đ th nh n giao đi m I(….. x ngứ

4

ẽ ồ ị ủ ự ế ả ố ạ Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s

b) y = –x4 + 2x² + 3

ế ẫ ậ Bài t p m u d ng 2: a) i: ả a) Cách gi ị ậ 1) T p xác đ nh : +/ D = … ự ế 2) S bi n thiên : ề +/ Chi u bi n thiên :

(cid:0)

ả

y’ = … x3 + … x = 2x(….. x2 + … ) . y’ = 0 <=> (cid:0) Xét d u y’: ấ +/ trên các kho ng (….) ả ố ồ ị ố

Trên kho ng (….) : ị ự ị ậ

ế . và (…..) : y’ > 0 , : Hàm s đ ng bi n ế . y’ < 0 , : Hàm s Ngh ch bi n ề ự i x = …., y i x = …., y ố CT = …. CĐ = ….

ả ế +/ C c tr : K t lu n v c c tr hàm s . ố ạ ự ể ạ Hàm s đ t c c ti u t ố ạ ự ạ ạ Hàm s đ t c c đ i t ự ớ ạ ở + / Gi i h n Vô c c : … ; … . ế +/ B ng bi n thiên :

∞ … … … + ∞ x

… … … … … … … y’

… … … y

3) Đ th :

ụ ố ứ ố ẵ ồ ị ụ ậ

ồ ị ớ ụ ố ể ể ồ ị (cid:0) Hàm s đã cho là hàm s ch n, do đó đ th nh n tr c 0y làm tr c đ i x ng. (cid:0) Giao đi m đ th v i tr c Ox : y = 0 => x = … . Các đi m khác …

ồ ị Đ th :

5

ẽ ồ ị ủ ậ ạ ự ế ố Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s

i: ả a) y = f(x) = –x³ + 3x + 1

ế ả ẫ Bài t p m u d ng 3: a) y = f(x) = –x³ + 3x + 1.b)y = x³ – 2x² + x – 2 c) Cách gi ị ậ 1) T p xác đ nh : +/ D = … ự ế 2) S bi n thiên : ề +/ Chi u bi n thiên :

(cid:0)

(cid:0) y’ = … x2 + … x + … . y’ = 0 <=> xi = … ; f(xi) = … .

ấ

(cid:0) Xét d u y’:

và (…..) : y’ > 0 , : Hàm s đ ng bi n

ố ồ ố ị ả ả ế . ế . y’ < 0 , : Hàm s Ngh ch bi n

ị ậ ự ị

+/ trên các kho ng (….) Trên kho ng (….) : ề ự i x = …., y i x = …., y ố CT = …. CĐ = ….

ế +/ C c tr : K t lu n v c c tr hàm s . ố ạ ự ể ạ Hàm s đ t c c ti u t ạ ạ ố ạ ự Hàm s đ t c c Đ i t ự ớ ạ ở + / Gi i h n Vô c c : …. ; .... . ế +/ B ng bi n thiên :

ả ∞ … … + ∞ x

… … … … … y’

… … y

3) Đ thồ ị :

ồ ị ớ ụ ồ ị ớ ụ ể ể ể + ) Giao đi m đ th v i tr c Oy : x = 0 => y = .. . +) Giao đi m đ th v i tr c Ox : y = 0 => x = .. ., Các đi m khác : …

ồ ị +) Đ th :

6

Ả

C GI I BÀI TOÁN LIÊN QUAN Ẽ Ồ Ị ƯỚ Ả Ố Đ N KH O SÁT VÀ V Đ TH HÀM S

B/ CÁC B Ế 1/ y = ax3 + bx2 + cx + d ( C ) 2/ y = ax4 + bx2 + c ( C )

3/ ( C ) ế ế ủ ồ ị

ng trình ti p tuy n c a đ th ( C ) : 0 (x0 ; y0 )

ế

0 (x0 ; y0 ) có d ng :

ớ ườ c ( song song v i đ ng th ng y = kx + p ). (cid:0) ươ ế ủ ồ ị ạ ươ ế t ph Bài 1 : Vi ể ạ 1/ T i đi m M ị Xác đ nh: ươ t ph Vi ệ ố 2/ Có h s góc cho tr Ph ẳ ể i đi m M

0 .

ừ ng trình tìm x c vào ( C ) tìm y (cid:0) ươ ế ầ ng trình ti p tuy n c n tìm.

0 (x0 ; y0 ) có d ng :

ươ 0 , y0 vào ( * ) ta có ph ẳ (cid:0) ươ ạ ng trình: y= + ướ ạ ế ng trình ti p tuy n c a đ th ( C ) t y = k(x – x0 ) + y0 ( * ) ượ 0 ; th xế 0 v a tìm đ ả i ph k = f’(x0 ) gi ế ế Th k , x 3/ Vuông góc v i đ Ph ể i đi m M

ớ ườ ng th ng y = k’x + p ạ ế ủ ồ ị ế ng trình ti p tuy n c a đ th ( C ) t y = k(x – x0 ) + y0 ( * ) (cid:0) Trong đó k.k’ = 1 k = .

0 .

0 ; th xế 0 v a tìm đ

ế ươ ừ ượ th k = f’(x ng trình tìm x (cid:0) ươ i ph 0 , y0 vào ( * ) ta có ph

1 ; y1 ) € ( C ) :

c vào ( C ) tìm y ế ầ ạ ế ế ố t xế 0 ho c yặ 0 tìm các y u t ng trình ti p tuy n c n tìm. còn l i suy ra có (*) cho bi

0 (x0 ; y0 ) có d ng :

(cid:0) ể ươ ạ ế ủ ồ ị ả 0 ) gi ế Th k , x ạ 4/ Các d ng khác : 5/ Đi qua đi m M1 (x Ph ể i đi m M

1 , y1 vào ( * ) ta có ph

ế ầ ạ ế ng trình ti p tuy n c a đ th ( C ) t y = k(x – x1 ) + y1 ( * ) k = f’(x1) ; th k , x

ế ậ ệ ố ệ ng trình ti p tuy n c n tìm ươ ươ Bài 2 : Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ế ng trình:

ủ a’x3 + b’x2 + c’x + n = 0 (2). (cid:0)

(cid:0) ệ ủ ồ ị ể ằ ố ớ ng trình (2) b ng s giao đi m c a đ th ( C) v i

ẽ (2) ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; ( ax4 + bx2 + c = k.m ) ươ ố S nghi m ph ẳ ng th ng d: y = k.m (v d)

ủ ậ ớ

ắ ồ ị ố ể ể ườ đ (cid:0) Nh n xét s giao đi m d: v i ( C ) , theo y ể CT và yCĐ c a ( C ). ệ ạ i t đ m phân bi Bài 3 : Tìm m đ y = f(x ; m ) c t đ th ( C ) t t ?

7

ố ủ ể ệ ằ ố ớ ươ ẫ : S giao đi m c a f(x) = f(x;m ) v i ( C ) , b ng s nghi m ph ng

ừ ề ầ ướ H ng d n trình : f( x ) = f ( x ; m ) . T đó ta tìm ra đi u ki n c a m c n tìm .

ệ ủ

ậ ạ

ố ế ủ ồ ị ươ ế ế

ạ ng trình ti p tuy n c a đ th (C): ể ể ạ ộ ộ T i đi m có tung đ y =5.

ể ạ ẫ Bài t p m u d ng 1: Bài 1: Cho hàm s (C). Vi t ph ể ạ a) T i đi m A (1; 7). b)T i đi m có hoành đ x = 2. c) i: ả Cách gi a/ Ta có : y’(x)=… T i đi m … (… ; …. )

ế

ủ

ủ ủ ớ ụ ớ ụ

ỏ

0) = 0. ủ

ị Xác đ nh: ươ t ph Vi ồ ị ươ ươ ươ ươ ớ ạ ớ ạ ạ ớ ớ ồ ị ế ế ế ế ể ớ ườ ng trình: y= +… ố Bài 2: Cho đ th (C) c a hàm s . ế ng trình ti p tuy n v i (C) t ế ng trình ti p tuy n v i (C) t ế ng trình ti p tuy n v i (C) t ế ng trình ti p tuy n v i đ th (C): t ể i giao đi m c a (C) v i tr c hoành. ể i giao đi m c a (C) v i tr c tung. ể 0 th a mãn y”(x i đi m x ạ i các giao đi m c a (C) v i đ ng

ẳ ế a) Vi t ph ế b) Vi t ph ế c) Vi t ph ế Bài 3: Vi t ph th ng (d): .

8

ế ậ ạ ế ố ế ế t ph t ti p

ươ ế ủ ồ ị ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s (C). Bi ẳ ng th ng y = 9x + 6.

0 (x0 ; y0 ) có d ng :

ế Cách gi (cid:0) ươ ế ủ ồ ị ạ ẫ Vi Bài t p m u d ng 2: ớ ườ tuy n đó song song v i đ i: ả Ph ể i đi m M

ạ ế ng trình ti p tuy n c a đ th ( C ) t y = k(x – x0 ) + y0 ( * ) k = y’(x0 )

ớ ườ ẳ ng th ng y = 9x + 6 => k = …

ớ

ươ ng trình …………………………………………….. ế ế Vì ti p tuy n đó song song v i đ V i y’= … ả i ph

gi => x0 = ……; ừ th xế 0 v a tìm đ (cid:0) ươ ế ầ ế ng trình ti p tuy n c n tìm. c vào ( C ) => y 0 =... 0 , y0 vào ( * ) ta có ph

ế ươ ế ủ ồ ị ế ế t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) bi t

ố Cho hàm s (C). Vi ế ượ ế Th k , x y =……. ạ ẫ ậ Bài t p m u d ng 2: ủ ế ệ ố h s góc c a ti p tuy n k = 3

ế ủ ươ ạ ế ế ế ế ậ t ph ng trình ti p tuy n c a (C) bi t ti p

ố Cho hàm s (C). Vi ẳ ớ ườ ng th ng .

0 (x0 ; y0 ) có d ng :

ế Cách gi (cid:0) ạ ươ ế ủ ồ ị ể i đi m M ẫ Bài t p m u d ng 3: tuy n đó vuông góc v i đ i: ả Ph

ớ ườ ế ẳ ng th ng => k’=…

ạ ế ng trình ti p tuy n c a đ th ( C ) t y = k(x – x0 ) + y0 ( * ) ế Vì ti p tuy n đó vuông góc v i đ => k . … = 1 k =…

ớ

ươ V i y’= … ả i ph ng trình ……………………………………………..

gi => x0 = ……; ừ th xế 0 v a tìm đ (cid:0) ươ ế ầ ế ng trình ti p tuy n c n tìm. c vào ( C ) => y 0 =... 0 , y0 vào ( * ) ta có ph

ượ ế Th k , x y =…….

9

ậ ạ ủ ế ế ố ế ế L p ph ớ ồ ị ng trình ti p tuy n v i đ th (C) c a hàm s : , bi t ti p

ế ẫ Bài t p m u d ng 3: tuy n vuông góc v i đ ươ ậ ẳ ớ ườ ng th ng (d): .

ủ ố ệ ươ ậ ạ ậ ệ Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình

ả

ệ ng trình sau có 4 nghi m: .

ệ ủ (2) …x4 … x2 + …=… ẫ Bài t p m u d ng ồ ị ố Cho hàm s : có đ th (C). ủ ố ẽ ồ ị a. Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s . ể ươ b. Tìm đi u ki n c a m đ ph Cách gi

ề ả i: b) ệ ố ớ ằ ể ủ ồ ị ng trình (2) b ng s giao đi m c a đ th ( C) v i

ệ ệ ệ ươ ẳ ng th ng d: y = ……. ệ ươ ng trình vô nghi m khi : ……… ươ ng trình có 2 nghi m khi : ……… ươ ng trình có 3 nghi m khi : ……… ươ ng trình có 4 nghi m khi : ………

ắ ồ ị ể ể ạ ạ ệ Tìm m đ y = f(x ; m ) c t đ th ( C ) t i t đ m phân bi t ?

ủ

ể ườ ể ệ ạ ắ i hai đi m phân bi t.

ả

ớ ườ ươ ủ ẳ ằ ố ố ố S nghi m ph ườ đ TH1: ph TH2: ph TH3: ph TH4: ph ẫ ậ Bài t p m u d ng Cho hàm s ố ẽ ồ ị ố ả a. Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s . ẳ b. Tìm m đ đ ng th ng d: y = –x + m c t (C) t i: b) Cách gi ể S giao đi m c a v i đ ng th ng d: y = –x + m , b ng s nghi m ph ng trình :

ệ ủ ừ ề ệ = –x + m . <=> = –x + m <=>……………….= (x+m)(………) <=>…………………………=0 <=>………………………. T đó đi u ki n c a m là:……………………….. .

ể

ạ ự ể ạ x (cid:0) ể ố i. (cid:0) 2. ố : Tìm m đ hàm s : đ t c c ti u t i Bài 1 ố ạ ự ạ ạ Bài 2:Cho hàm s . Tìm đ hàm s đ t c c đ i t

10

ỏ ấ ủ ị ớ ấ ố Bài 4. Tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s

ủ ạ ộ ố ?

ươ Bài toán 1: Tìm GTLN,GTNN c a hàm s trên m t đo n Ph ng pháp:

(cid:0) Tính

(cid:0) Gi

ả ươ ể ệ i ph ng trình , đ tìm các nghi m

(cid:0) và

(cid:0) GTLN là s l n nh t trong các giá tr v a tìm (cid:0) GTNN là s bé nh t trong các giá tr v a tìm.

Tính các giá tr ị ố ớ ố ấ ấ

ị ừ ị ừ ấ ủ ị ớ ề ấ ả ộ ỏ ố ị

ươ Bài toán 2: Tìm giá tr l n nh t , nh nh t c a hàm s trên mi n các đ nh hay m t kho ng. Ph (cid:0) ị ng pháp: ậ Tìm t p xác đ nh

(cid:0) Tính

ươ ả ể ớ ạ ị ạ ể ớ ạ ng trình i các đi m t i h n .

(cid:0) Gi ậ

(cid:0) i ph ả ế (các đi m t ứ ả i h n ) và tính giá tr t ế L p b ng bi n thiên , căn c b ng bi n thiên

GTLN,GTNN.

ạ ậ ị ớ ấ ấ ủ ỏ Tìm giá tr l n nh t , giá t rị nh nh t c a hàm s : ố trên ẫ Bài t p m u d ng 1

đo nạ Cách giải :

(cid:0)

(cid:0) , ,

ậ Ta có ế (cid:0) K t lu n:

ậ ươ ự ạ ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài t p t d ng 1 ng t

ủ

ố Bài 1: Tìm GTLN,GTNN c a hàm s

trên đo n ạ

.

b)

trên đo n ạ

.

a)

trên đo n ạ

.

c)

11

ủ

ố Bài 2: Tìm GTLN,GTNN c a hàm s

trên đo n ạ

.

trên đo n ạ

.

b)

a)

d)

trên đo n ạ

.

c)

ậ ấ ấ ủ ỏ ị ớ Tìm giá tr l n nh t , giá t rị nh nh t c a hàm s :ố

ướ ả ẩ ẫ Bài t p m u d ng 2 H ng d n gi (cid:0) ạ i: ị T pậ xác đ nh : D=[0;2]

(cid:0)

(cid:0) B ng bi n thiên:

ả

ế … … … x

… … … y’

… … … y

ậ ế (cid:0) K t lu n:

ậ ươ ự ạ ng t

d ng 2 ủ --------------------------------------------------------------------------------- Bài t p t ố Bài 3: Tìm GTLN,GTNN c a hàm s

b)

a)

c)

12

́ ̀ ̀ ố ể ệ ạ ̀ Bài toán 3: Tim đi u ki n đ ham s y = f(x,m) co GTLN (GTNN) trên đo n [a; b] la

ộ ố

ươ ề ć ươ m t s cho tr ả i: ng pháp gi Ph

ả ử ị ủ ể ầ Gi s bài toán yêu c u: Tìm giá tr c a tham s ố ố đ hàm s ấ ị ớ có giá tr l n nh t

ạ ỏ ị ể ế ộ ấ (giá tr nh nh t ) trên đo n là (là m), ta có th ti n hành theo m t tring các cách sau.

ụ liên t c trên

Chú ý: Hàm s ố Cách 1:

(cid:0) ạ Tính đ o hàm

ươ ệ ả (cid:0) G i ph ng trình ể đ tìm các nghi m

(cid:0) Tính các giá tr ị và

(cid:0) ủ ừ ế ả ố ị ả ử T các k t qu trên, xác đ nh GTLN (GTNN) c a hàm s , gi s là

ả ươ ệ

(cid:0) Gi (cid:0) Nêu k t lu n cho bài toán đ hoàn t

ng trình ậ ể đ tìm nghi m ấ ể i ph ế t bài toán.

Cách 2:

ị

́ ́ ể ấ ̀ ể ị ủ ề ả ươ ệ ề (cid:0) Xác đ nh đi u ki n đ b t ph ng trình : ̀ ́ ị ệ ư (cid:0) Gi i đi u ki n v a tim đ xac đ nh cac gia tr c a ỏ ượ c th a mãn đ ề ỏ th a đi u ki n ̀ư ệ v a nêu

́ ị ệ

́ ́ ́ ả ề ̀ ng trinh: ́ ị ị ủ co nghi m ỏ ệ ề ể ươ ệ (cid:0) Xac đ nh đi u ki n đ ph ̀ ̀ ể ệ ư (cid:0) Gi i đi u ki n v a tim đ xac đ nh cac gia tr c a ề th a đi u ki n