Ch n đi m r i trong B t Đ ng Th c Cô-Si
ấ ẳ
ứ
ọ
ơ
ể
ế ứ ề ả b t đ ng th c ứ thì b t đ ng th c ấ ẳ ữ b tấ i bài t p đ dùng đ c ẳ ọ ơ ả ề ki n th c v m ng ấ ứ c b n nh t .Tuy nhiên trong khi gi ấ ẳ ả ậ ng pháp g i là ph ươ ộ ế ứ Cô-Si là m t trong nh ng ộ ượ b t đ ng th c ấ ẳ ng pháp ch n đi m r i trong ể ọ ứ này m t cách linh ộ ấ ẳ ơ ứ b t đ ng th c ể ươ ọ Trong khi h c Bàn v đ ng th c ho t h n thì ta ph i dùng đ n m t ph ả ạ ơ Cô-Si.
i đó d u = x y ra là đi u quan ự ề ấ ả ị ể ạ ộ ề ấ ng pháp c ụ ớ ạ b i m t đi u ki n nào đó thì khi áp d ng ệ ụ ệ ự ế ụ ở ố ươ ữ ế ế ọ tham số đ t côsi trong các bài toán tìm c c tr thì vi c l a ch n Khi áp d ng bđt ụ i h n ị gi tr ng và khó khăn nh t. Đôi lúc trong các bài toán khi các bi n b tr c ti p s d n đ n nhi u sai l m. Vì th trong chuyên m c nh này tôi mu n trình bày nh ng ph ỏ ầ th đ b n có th tìm đ c ề ượ tham số phù h p.ợ ọ ự ế ẽ ẫ ể ể ạ ể
Bài toán 1: Cho các s d ng x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá tr nh nh t: ố ươ ấ ỏ ị
a. b. c. d.
i: ả t nó. Tuy nhiên dùng bài này minh h a cho vi c l a ch n ắ ạ ề ả ơ ế ệ ự ọ tham số ọ Gi a.Bài này khá đ n gi n ch c b n nào cũng đ u bi theo mình là phù h p nh t. ấ ợ
c d u = x y ra t i x=y=z=1/3. Nên ta có nh sau: Vì vai trò các bi n x,y,z là nh nhau nên ta có th d đoán đ ư ể ự ế ượ ấ ả ạ ư
) (d u = x y ra khi ả ấ
Nh v y ta áp d ng nh sau: ư ậ ụ ư
i r i suy ra. c ng d n l ộ ồ ạ ồ
ng là thêm vào các bi t s ph nh ng pháp thêm ư ưở ệ ố ụ ư ch ng h n. Và ph ẳ ạ ươ b. Nh bài trên mình đã nói lên m t ý t ộ này nói chung r t hi u qu và tri t đ cho các bài toán d ng này. ệ ể ấ ệ ạ ả
c d u = x y ra x=y. Ta c n ch n các bi t s ph sao: Ta th y vai trò c a x,y là nh nhau nên ta có th d đoán đ ư ể ự ủ ấ ượ ấ ả ầ ọ ệ ố ụ
) (d u = x y ra khi ả ấ
) (d u = x y ra khi ả ấ
) (d u = x y ra khi ả ấ
Và m c đích c a các bi t s ph sao cho khi ta c ng d n l i ch xu t hi n x+y+z. Nên ta có ụ ủ ệ ố ụ ồ ạ ộ ệ ấ ỉ
suy ra: (*)
c các bi t s ph nh ý mu n. Đ ng th i v i các đi u ki n d u b ng và (*) các b n s tìm đ ấ ạ ẽ ờ ớ ề ệ ằ ồ ượ ệ ố ụ ư ố
c.Đ th y thêm s hi u qu thì câu c đi u ki n các t s ph sao cho: ự ệ ể ấ ề ệ ả tham số đó kô ràng bu c. Ta ch n các bi ộ ọ ệ ố ụ
(d u = x y ra t i ) ấ ả ạ
(d u = x y ra t i ) ấ ả ạ
(d u = x y ra t ) ạ ấ Và m c đích c a các bi i t s ph khi ta c ng d n l i ch xu t hi n x+y+z ả ệ ố ụ ồ ạ ụ ủ ộ ệ ấ ỉ
V y ta suy ra d dàng: (*) ễ ậ
Đ ng th i v i d u = x y ra và đk (*) b n có th tìm đ c bi ờ ớ ấ ể ả ạ ồ ượ t s . ệ ố
ộ ạ ướ ủ ậ ụ ấ ờ ộ ệ t pp trên mà thôi. i mà làm theo các b d.Sang câu d đây là m t d ng t ng quát c a bài toán này. Tuy nhiên khi gi c trên thì th t là khó ch i và m t th i gian nhi u. Nay mình xin nói thêm đây là m t cách r t hay ch c n 1 hay 2 dòng là ra các bi ỉ ầ s ph li n. Tuy nhiên các b n ph i hi u rõ các cách trên vì đây ch là m t cách suy ra t ố ụ ề ổ ề ạ ả ấ ộ ừ ể ả ỉ
c đi m r i. nh v y b n ch c n rút x,y,z theo ỉ ầ ư ậ ạ r i th vào đi u ki n là có th ra đ ồ ế ề ệ ể ượ ể ơ
m c đ nh đó đâu mà nó còn nâng lên b c cao m,n,k c a x,y,z b t kì ỉ gi ở ứ ộ ậ ỏ
ấ i v n không m y thay đ i (tuy nhiên . Mà cách gi i h n ớ ạ ơ ể ổ ủ ổ ả ẫ ấ Ngoài ra v i bài toán trên nó kô ch ớ c ng v i đi u ki n có th t ng quát h n: ệ ớ ộ ề ) s nguyên đ u là ố ề
ng thõa xy+yz+zx=1. Tìm giá tr l n nh t: ố ươ ị ớ ấ
Bài toán 2: Cho x,y,z là các s d a. b. c. d.
Gi i:ả
ữ ộ ươ Nh ng bài này chúng ta cũng s và có chung m t h ả ẽ a.1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các s s tìm đ ng đi gi ố ẽ i quy t đó: ế c) ượ
Ta có:
d u = x y ra khi: ả ấ
Suy ra:
Và m c đích c a các bi t s này là có th đ a v d ng xy+yz+zx. Nên khi đó: ụ ủ ệ ố ể ư ề ạ
Nh v y ta đ c ng trình sau: ư ậ ượ h ph ệ ươ
abd=cef a+b=1
c+d=1 e+f=2
ph ng trình t ươ i đ ể ả ượ ươ ứ ẩ ố ề ạ ơ c có đi u h i dài. Tuy nhiên trong ơ ng h p bài toán a,b,c chúng ta th y r ng các bi n x,y có tính đ i x ng nay nên vi c phân tích s đ n gi n h n ng ng v i 6 n s các b n hoàn toàn có th gi ế ố ứ ẽ ơ ệ ả H trên 6 tr ợ th này a=c, b=d, e=f. Nh v y thì đ n gi n h n đúng không? ớ ấ ằ ả ơ ệ ườ ế ư ậ ơ
ng h p i nó s khó khăn đôi chút. Nh ng có m t ph ườ ợ ở bài cu i cùng khá t ng quát thì vi c gi ổ ệ ố ả ư ẽ ộ ươ ấ ng pháp r t Còn tr hay và m i:ớ
Xét bi u th c: ể ứ
V i ớ
là nghi m d ng nh nh t. T đây b n có th tính ư ậ ượ h ph ậ ươ ừ ể ạ ấ ỏ Nh v y ta đ ra suy ra giá tr nh nh t c a bi u th c mà kô c n ph i gi ệ i a,b,c,d,e,f. ệ ươ ỏ b c 3 theo ng trình ứ ể ấ ủ ầ ả trong đó ả c ị
Bài toán 3: Cho x,y,z là các s d ng, thõa: x+y+z=1. Tìm giá tr l n nh t c a: ố ươ ấ ủ ị ớ
ng pháp cũng t ng t nhau nên dành cho các b n v y! Xem nh đây là m t bài ớ ạ ươ ươ ự ư ạ ậ ộ V i các d ng bài này thì ph luy n t p ệ ậ
c đó là đi m r i trong ấ ượ ị ủ ự ể ả ơ côsi mà ư ồ ứ ạ t này mong các b n s hi u rõ h n v ấ Cô-Si.Qua bài vi Ngoài ra đôi lúc trong vi c tìm c c tr c a bài toán không ph i là ta nhìn đã th y đ nó còn k t h p v i ph ớ ế ợ ph n hay và đ p c a đi m r i trong ẹ ủ ệ ng pháp khác nh đ ng nh t th c, đ o hàm, v.v... Và chính đi u này nó làm tăng thêm ươ ể ề b t đ ng th c ạ ẽ ể ấ ẳ ứ Cô-Si. ề ơ ế ầ ơ
