Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật: Đánh giá và mô phỏng mô đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

——————————–

VŨ LÂM ĐÔNG

ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2016

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

...............***...............

VŨ LÂM ĐÔNG

ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 62 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TSKH PHẠM ĐỨC CHÍNH

Hà Nội - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi, mọi số liệu và kết

quả trong luận án là trung thực và cũng chưa có tác giả khác công bố ở bất cứ công

trình nghiên cứu nào từ trước tới nay.

Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình này.

Nghiên cứu sinh

VŨ LÂM ĐÔNG

LỜI CÁM ƠN

Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cám ơn PGS.TSKH Phạm Đức

Chính – người thầy đã tận tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ và tạo mọi điều kiện

cho tôi hoàn thành luận án này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy, Cô đã dạy tôi trong thời gian

học chuyên đề trong khuôn khổ chương trình đào tạo Tiến sỹ, các anh chị trong bộ

phận đào tạo sau đại học thuộc Viện Cơ học, các bạn đồng nghiệp trong Viện Cơ

học, nhóm Seminar khoa học định kỳ đã giúp đỡ hỗ trợ tôi tài liệu, kinh nghiệm

để hoàn thiện luận án.

Các nghiên cứu trong luận án cũng được hỗ trợ bởi Quỹ phát triển Khoa học và

Công nghệ quốc gia (NAFOSTED).

Cuối cùng xin gửi lời cám ơn đến gia đình nhỏ của tôi, những người luôn gần

gũi và là động lực sống cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực

hiện luận án này.

iii

Mục lục

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

LỜI CÁM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii . .

Những công thức và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. TỔNG QUAN 5

1.1. Đồng nhất hóa vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần . . . . . . . 5

1.2. Các xấp xỉ và đánh giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô . . . . . . . . 7

1.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Chương 2. XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI

THỂ TÍCH VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN 19

2.1. Xây dựng biên trên mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu đẳng

hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu . 20

2.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu đẳng

hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng bù cực tiểu 26

2.3. Lớp vật liệu đẳng hướng ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1. Mô hình quả cầu lồng nhau hai pha . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2. Mô hình quả cầu ngẫu nhiên (không chồng lấn và chồng

lấn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.3. Vật liệu 2 pha tuần hoàn dạng hình vuông và lục giác đều

(trong không gian 2 chiều) . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.4. Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.5. Mô hình vật liệu tựa đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Chương 3. XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI

TRƯỢT VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN 47

3.1. Xây dựng biên trên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu đẳng

hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu . 47

3.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu đẳng

hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng bù cực tiểu 63

3.3. Trường hợp đánh giá dưới mô đun đàn hồi trượt diện tích . . . . . 74

3.4. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể . . . . . . . . . . . . 75

3.4.1. Mô hình vật liệu tựa đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4.2. Mô hình quả cầu ngẫu nhiên (không chồng lấn và chồng

lấn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.4.3. Vật liệu 2 pha tuần hoàn theo dạng hình lục giác đều . . . 82

3.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Chương 4. PHƯƠNG PHÁP PTHH ÁP DỤNG CHO VẬT LIỆU TUẦN

HOÀN NHIỀU THÀNH PHẦN 85

4.1. Đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2. Giới thiệu về chương trình CAST3M . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3. Tính toán cho mô hình vật liệu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

KẾT LUẬN CHUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Các công trình đã công bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Danh sách hình vẽ

0.1 Tổ chức vi mô của thép hợp kim sau khi khắc màu: cốt liệu than

chì dạng cầu (đen), hợp kim FTF (vùng tối) và ôxít sắt từ LTF

(vùng sẫm màu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Phần tử đặc trưng (RVE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Vật liệu cốt sợi dọc trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp dạng quả cầu lồng

nhau hai pha và hỗn hợp dạng cầu đối xứng . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Biên của mô đun đàn hồi diện tích vật liệu tổ hợp dạng mặt cắt

ngang hình tròn lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng mặt cắt tròn

đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Đánh giá của Voigt, Reuss, các đánh giá của HS và đường biên

DXC 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu

cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn(KCL 3D) . . . 36

2.6 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu

cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn(CL 3D) . . . . . . . . 36

2.7 Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu với mặt cắt

ngang hình tròn cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng

lấn (KCL 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.8 Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu với mặt cắt

ngang hình tròn cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn (CL

2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.9 Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu tuần

hoàn hình vuông (HV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.10 Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu tuần

hoàn hình lục giác đều (LGD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.11 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu quả cầu lồng nhau

ba pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.12 Biên của mô đun đàn hồi diện tích vĩ mô vật liệu hình tròn lồng

nhau ba pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.13 Biên Hashin-Shtrikman (HS) và biên mô đun đàn hồi thể tích của

vật liệu ba pha tựa đối xứng (TDX 3D) . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.14 Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu ba pha tựa

đối xứng (TDX 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1 Biên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô của vật liệu đẳng hướng ba thành

phần (TDX 3D), so sánh với vật liệu tổ hợp đối xứng dạng cầu

(DXC 3D) và biên HS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2 Biên mô đun đàn hồi trượt ngang của vật liệu đẳng hướng ba thành

phần (TDX 2D), so sánh với biên HS . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3 Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cầu cùng cỡ

không chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (KCL 3D) . . . . . . . . . . 80

3.4 Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cầu cùng cỡ

chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (CL 3D) . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5 Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cốt tròn cùng cỡ

không chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (KCL 2D) . . . . . . . . . . 81

3.6 Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cốt tròn cùng cỡ

dạng chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (CL 2D) . . . . . . . . . . . . 82

3.7 Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu quả của

vật liệu tuần hoàn hình lục giác đều (LGD) . . . . . . . . . . . . . 83

4.1 Cấu trúc cơ sở của vật liệu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2 Sơ đồ khối chương trình tính toán theo phương pháp PTHH . . . . 88

4.3 Mô hình vật liệu và nhân tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4 Rời rạc hóa lưới với nhân tuần hoàn dạng lục giác trong mặt cắt

ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.5 Mối quan hệ Kef f − vi 4.6 Mối quan hệ µef f − vi 4.7 Mối quan hệ νef f − vi 4.8 Mối quan hệ Eef f − vi 4.9 Mối quan hệ µef f − vi

vii

Danh sách bảng

Bảng 1.1 Quan hệ giữa hệ số mô đun đàn hồi và các cặp hệ số khác

Bảng 2.1 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu dạng cầu không chồng lấn phân bố ngẫu nhiên và dạng chồng lấn phân bố ngẫu nhiên trong pha 1 (không

gian 3 chiều) (Torquato, 2002)

Bảng 2.2 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu dạng mặt cắt tròn phân bố ngẫu nhiên (không gian 2 chiều)

Bảng 2.3 Thông tin hình học bậc ba ζ2 đối với vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn sắp xếp tuần hoàn hình vuông và lục giác đều

tương ứng khi đạt tới giá trị Max và Min Bảng 2.4 Biên HS và biên cho tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (d = 3); f max và f min 1

HS, µL

DXC, µL T DX, µL

DXC (với f1 = g1 = 0) và biên cho và f min T DX) ; f max tương ứng khi 1

tương ứng khi đạt tới giá trị Max và Min Bảng 2.5 Biên HS và biên cho tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (d = 2); f max và f min 1

Bảng 3.1 Biên HS (µU SH), biên µU tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (µU đạt tới giá trị Max và Min

HS, µL

SH) và biên vật liệu ba pha tựa đối xứng (µU

T DX, µL

T DX)

Bảng 3.2 Biên HS (µU

Bảng 3.3 Thông tin hình học bậc ba η2 cho vật liệu dạng cầu không chồng lấn phân bố ngẫu nhiên và dạng chồng lấn phân bố ngẫu nhiên

Bảng 3.4 Thông tin hình học bậc ba η2 cho vật liệu dạng mặt cắt tròn phân bố ngẫu nhiên

Bảng 3.5 Thông tin hình học bậc ba η2 đối với vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn sắp xếp tuần hoàn hình lục giác đều

viii

Công thức và kí hiệu

α , Bβγ α

các thông tin hình học bậc ba của vật liệu

hệ số đàn hồi vĩ mô

số chiều không gian

toán tử Kronecker

trường biến dạng

Aβγ Cef f d δij " E trường biến dạng đồng nhất

hàm Green

Γ(r) I α hàm chỉ số hình học pha α

mô đun đàn hồi thể tích, diện tích vĩ mô

mô đun trượt vĩ mô

hệ số nở hông

hàm thế điều hòa

hàm thế song điều hòa

trung bình thể tích trên miền V

trường ứng suất

tỉ lệ thể tích pha α

kef f , K ef f µef f ν φα ψα ⟨.⟩ (cid:27) vα CL chồng lấn

cs cộng sự

DXC đối xứng cầu

KCL không chồng lấn

HS Hashin-Shtrikman

HV hình vuông

LGD lục giác đều

PTHH phần tử hữu hạn

RVE phần tử đặc trưng

TDX tựa đối xứng

MỞ ĐẦU

Lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu đã có những bước phát triển trong nhiều năm

qua. Việc xây dựng các mô hình vật liệu đã được thực hiện từ rất sớm và từ những

mô hình căn bản. Các tính chất vĩ mô của vật liệu phụ thuộc vào nhiều yếu tố như

tính chất của vật liệu thành phần, tỷ lệ thể tích các thành phần, liên kết giữa các

thành phần, đặc trưng hình học, . . . qua đó nói lên khó khăn trong nghiên cứu các

tính chất vĩ mô của vật liệu. Hiểu và nắm bắt được các vấn đề này đòi hỏi các

nhà khoa học phải hiểu biết được sự tương tác qua lại của các vật liệu thành phần,

các giả thiết, điều kiện cơ học sát thực với mô hình nhằm có những khám phá, có

những kết quả tốt phục vụ cho thực tiễn. Chính vì vậy luận án được thực hiện với

mục đích xây dựng những đánh giá và tính toán mô đun đàn hồi vĩ mô vật liệu

nhiều thành phần đẳng hướng - một bước phát triển nối tiếp từ các kết quả đã công

bố trước đây.

Tính thời sự và ý nghĩa của luận án

Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (còn gọi là vật liệu Composite) đang được ứng

dụng nhiều trong cuộc sống hiện nay từ những ngành công nghiệp đòi hỏi chính

xác cao như điện tử, hàng không vũ trụ . . . cho đến lĩnh vực gần gũi với cuộc sống

như sản xuất vật liệu xây dựng, đồ gia dụng sinh hoạt hàng ngày. Có thể thấy vật

liệu tổ hợp nhiều thành phần sẽ là loại vật liệu chủ đạo trong tương lai vì tính năng

làm việc hiệu quả cũng như giá thành chi phí sản xuất chế tạo hợp lý.

Những thành phần vi mô khác nhau với những thông số đặc trưng riêng biệt

cấu thành nên vật liệu tổng thể, tuy nhiên việc xác định các đại lượng vĩ mô của

vật liệu không hề đơn giản bởi chúng ta thường chỉ có những thông tin hạn chế về

cấu trúc hình học, tính chất các vật liệu cấu thành . . .

Một ví dụ hình ảnh: Fernandino D.O [21] khi nghiên cứu tính chất đàn hồi

của vật liệu gang đúc với sự cấu thành của 3 thành phần vật liệu: Hợp kim đông

đặc (first to freeze zones-FTF), cốt liệu than chì dạng cầu (spheroidal graphite

nodules) và thành phần ôxít sắt từ (last to freeze zones-LTF) đã sử dụng công

nghệ chụp cắt lớp quang học quan sát được tổ chức cấu tạo vi mô của các thành

phần vật liệu trong mẫu nghiên cứu, qua đó xác định được dạng hình học các thành

phần vật liệu tham gia nhằm đưa vào bước tính toán tiếp theo. Hình 0.1 như một

Hình 0.1: Tổ chức vi mô của thép hợp kim sau khi khắc màu: cốt liệu than chì dạng cầu (đen), hợp kim FTF (vùng tối) và ôxít sắt từ LTF (vùng sẫm màu)

ví dụ minh họa, mô đun đàn hồi E của 3 thành phần là: Ethanchi = 15 ± 0.15 GPa; EF T F = 230 ± 8.22 GPa; ELT F = 255 ± 7.77 GPa;

Sau khi thực hiện đồng nhất hóa thông qua các tính toán, Fernandino đã tính

được tính chất đàn hồi vật liệu vĩ mô tương đương: Eef f = 171 ± 7 GPa.

Trở lại với luận án, hướng nghiên cứu tập trung vào việc xây dựng lời giải hệ số

đàn hồi vĩ mô thông qua bài toán năng lượng với phương pháp biến phân nhằm cho

ra đánh giá tốt hơn so với các đánh giá đã công bố, kết hợp với tính toán trực tiếp

một số mô hình bài toán cụ thể thông qua phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)

để có kết quả so sánh. Luận án đã xây dựng được các tính toán đưa về dạng đơn

giản để bất cứ một nhà kỹ thuật nào nếu cần thiết kế một loại vật liệu tổ hợp mới

có thể tính toán nhanh kết quả mô đun đàn hồi hiệu quả vĩ mô của vật liệu đó, giúp

thiết kế vật liệu với các tính chất vĩ mô theo yêu cầu đặt ra.

Mục tiêu của luận án

Xây dựng các đánh giá (biên trên và biên dưới), mô phỏng tính chất vĩ mô vật

liệu tổ hợp nhiều thành phần trong đó có sử dụng cả các thông tin bậc ba về hình

học pha của vật liệu vi mô và áp dụng phương pháp PTHH để tính toán cho các

mô hình cụ thể so sánh với các đánh giá.

Đối tượng của luận án

Các mô đun đàn hồi thể tích và mô đun đàn hồi trượt vĩ mô (hiệu quả hay hiệu

dụng, trong luận án này tác giả sử dụng cụm từ vĩ mô - macroscopic) của vật liệu

nhiều thành phần đẳng hướng.

Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp số.

• Phương pháp giải tích - biến phân thông qua các phiếm hàm năng lượng xây

dựng biên trên và biên dưới đối với các mô đun đàn hồi vĩ mô.

• Phương pháp số sử dụng chương trình MATLAB để thiết lập các công thức, ma trận...tối ưu các tham số hình học của vật liệu trong các đánh giá. Chương

trình CAST3M (thiết lập theo phương pháp phần tử hữu hạn) áp dụng tính

cho một số mô hình vật liệu tuần hoàn nhằm so sánh kết quả với các đánh giá.

Những đóng góp của luận án

• Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi thể tích vật liệu nhiều thành

phần và áp dụng cho một số mô hình hỗn độn và tuần hoàn cụ thể.

• Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi trượt vật liệu nhiều thành phần

và áp dụng cho một số mô hình hỗn độn và tuần hoàn cụ thể.

• Áp dụng phương pháp PTHH cho bài toán đồng nhất hóa và tính toán số cho một số dạng hình học tuần hoàn nhiều thành phần, có so sánh với các đánh

giá.

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí quốc tế (01 bài

SCI), tạp chí quốc gia (02 bài trên Vietnam Journal of Mechanics) và tuyển tập

các báo cáo hội nghị trong nước (03 báo cáo hội nghị).

Cấu trúc của luận án

Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chung và bốn chương, cụ

thể:

Chương 1: Tổng quan

Trình bày về lịch sử, các kết quả nổi bật của các tác giả nghiên cứu trong nước

và ngoài nước trước đây trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu liên quan tới vấn đề

được nghiên cứu. Cách tiếp cận bài toán đồng nhất hóa vật liệu thông qua đường

lối giải trực tiếp các phương trình của bài toán đàn hồi và đường lối biến phân

thông qua các hàm năng lượng.

Chương 2: Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi thể tích vật liệu

tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần

Đưa ra trường khả dĩ mới tổng quát hơn trường phân cực Hashin-Shtrikman

được sử dụng trước đây. Đi sâu vào nghiên cứu chi tiết việc thiết lập các phương

trình để diễn giải và xây dựng biên trên và biên dưới cho mô đun đàn hồi thể tích kef f thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu. Áp dụng để đánh giá cho một số mô hình vật liệu cụ thể.

Chương 3: Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi trượt vật liệu tổ

hợp đẳng hướng nhiều thành phần

Xây dựng trên và biên dưới cho mô đun đàn hồi trượt µef f thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu. Áp dụng để đánh giá

cho một số mô hình vật liệu cụ thể.

Chương 4: Phương pháp PTHH áp dụng cho bài toán đồng nhất hóa vật

liệu

Xây dựng chương trình tính toán PTHH cho một số bài toán đồng nhất hóa cụ

thể cho vật liệu tổ hợp có điều kiện biên tuần hoàn, có so sánh với các đánh giá ở

hai chương trước.

Kết luận chung

Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án và các vấn đề cần nghiên

cứu tiếp.

Chương 1 TỔNG QUAN

1.1. Đồng nhất hóa vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần

Xét phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element) của vật liệu

tổ hợp (Buryachenko [11]; Hill [30]), phần tử đặc trưng phải đủ lớn so với các cấu

trúc vi mô để đại diện cho các tính chất của vật liệu thành phần và đồng thời phải

đủ nhỏ so với kích thước của vật thể để việc xác định các tính chất vĩ mô có ý

Hình 1.1: Phần tử đặc trưng (RVE)

nghĩa.

Phần tử đặc trưng V được cấu thành bởi N thành phần chiếm các không gian Vα ⊂ V và có các hệ số đàn hồi kα, µα; α = 1, . . . , N . Phần tử đặc trưng V (thể tích V được coi là bằng 1) được gắn với hệ tọa độ Descartes {x1, x2, x3}.

Khi chịu tác dụng của lực, trường ứng suất (cid:27)(x) (là một ten xơ bậc 2) trong vật

thể phải thỏa mãn phương trình cân bằng (liên kết lý tưởng dẫn tới cân bằng của

lực tại biên ngăn cách giữa các pha, điều kiện liên tục của chuyển vị):

∇ · (cid:27)(x) = 0 , x ⊂ V ; (1.1)

Trường ứng suất này quan hệ với trường biến dạng "(x) thông qua định luật

Hook:

(cid:27)(x) = C(x) : "(x) , (1.2)

trong đó dấu ":" biểu thị tích vô hướng giữa hai ten xơ hạng cao (σij = Cijklεkl). Hệ số đàn hồi thành phần (trong trường hợp các vật liệu thành phần là đẳng hướng) C(x) = T(kα, µα) nếu x ∈ Vα ⊂ V, α = 1, . . . , N ; trong đó T là ten xơ đàn hồi bậc 4 đẳng hướng:

(1.3) δijδkl) , Tijkl(kα, µα) = kαδijδkl + µα(δikδjl + δilδjk − 2 d

δij là toán tử Kronecker, d là số chiều không gian: d = 2 hoặc 3; trường biến dạng "(x) được biểu diễn qua trường chuyển dịch u(x) :

] "(x) = [ ∇u + (∇u)T ; x ∈ V . (1.4) 1 2

Điều kiện biên trên biên ∂V của phần tử đặc trưng V thường được lấy là điều

kiện biên động học đồng nhất (homogeneous):

ijxj ,

(1.5) ui = ε0 ε0 ij là biến dạng cho trước ;

hoặc điều kiện biên tĩnh học đồng nhất:

ijnj ,

(1.6) σijnj = σ0 σ0 ij là ứng suất cho trước ;

với nj là thành phần véc tơ pháp tuyến đơn vị trên biên ∂V . Đối với vật liệu tuần hoàn - điều kiện biên tuần hoàn cần được sử dụng (sẽ đề cập cụ thể trong chương

4).

Giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng có dạng như sau:

∫ ∫

⟨(cid:27)⟩ = σdx , ⟨"⟩ = εdx . (1.7) 1 V 1 V

Quan hệ giữa các giá trị trung bình ứng suất và biến dạng trên miền V được

biểu diễn qua ten xơ đàn hồi vĩ mô (hiệu quả) Cef f :

⟨(cid:27)⟩ = Cef f : ⟨"⟩ , Cef f = T(kef f , µef f ) . (1.8)

Một khi tìm được các giá trị trung bình này thì sẽ tìm được tính chất vĩ mô của

vật liệu tổ hợp đây được gọi là đường lối giải trực tiếp các phương trình của bài

toán đàn hồi.

Ngoài ra một cách tiếp cận khác để xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô bằng cách

tìm cực trị của phiếm hàm năng lượng trên miền V (trường khả dĩ " cần là trường

tương thích):

∫

⟨"⟩="0

"0 : Cef f : "0 = inf " : C : "dx , (1.9)

hoặc thông qua nguyên lý biến phân đối ngẫu (trường khả dĩ (cid:27) cần là trường cân

bằng):

∫

⟨(cid:27)⟩=(cid:27)0

(cid:27)0 : (Cef f )−1 : (cid:27)0 = inf (cid:27) : (C)−1 : (cid:27)dx . (1.10)

Điều thú vị là cực trị của (1.9) dẫn đến điều kiện biên lực (tĩnh học) đồng nhất

còn cực trị (1.10) lại dẫn đến điều kiên biên động học đồng nhất.

Điểm nổi bật của phương pháp là trường khả dĩ lựa chọn chỉ cần thỏa mãn một

số phương trình cơ học nhất định, nếu như phiếm hàm đạt cực trị thì các phương

trình cơ học còn lại sẽ thỏa mãn hoàn toàn.

Đường lối biến phân trên nếu không cho được kết quả chính xác (với một số vật

liệu có mô hình hình học pha đơn giản) sẽ cho được biên trên và biên dưới của tính

chất vĩ mô, một kết quả khả dĩ khi áp dụng cho những vật liệu cụ thể mà chúng ta

không có được đầy đủ mọi thông tin về hình học của vật liệu.

Với những cách tiếp cận như trên đã trình bày, các nhà nghiên cứu đã xây dựng

những hướng nghiên cứu riêng cho vấn đề đồng nhất hóa vật liệu và sau đây là

một số nét chính theo thời gian những công trình nghiên cứu của các nhà khoa học

đi trước, có nhiều đóng góp cho lĩnh vực.

1.2. Các xấp xỉ và đánh giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô

Từ cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 việc nghiên cứu tính chất các môi trường liên

tục của vật liệu nhiều pha đã được các nhà khoa học hàng đầu trên thế giới thời

đó thực hiện. Các nghiên cứu này là cơ sở xuất phát để lĩnh vực khoa học vật liệu

có những bước tiến dài cho tới nay. Năm 1892, Maxwell [36] và Rayleigh [68] đã

nhận được lời giải tiệm cận cho hệ số dẫn của hỗn hợp với pha nền là chủ đạo (vM ≃ 1: tỷ lệ thể tích pha nền) và tỷ lệ nhỏ các hạt cốt liệu cầu (vI ≪ 1: tỷ lệ thể tích pha cốt liệu). Tiếp theo năm 1905 Einstein [19] đã xây dựng công thức tiệm

cận đối với hệ số nhớt hiệu quả của chất lỏng không nén được có chứa tỷ lệ nhỏ

các hạt cầu cứng bởi công thức (công thức đúng cho cả mô đun trượt của vật thể

đàn hồi không nén được):

2) ,

(1.11) = 1 + 2.5v2 + O(v2 µ∗ µ1

trong đó µ1 là hệ số nhớt của chất lỏng không nén được, µ∗ là hệ số nhớt của chất lỏng không nén được có chứa tỷ lệ nhỏ các hạt cầu cứng, v2 tỷ lệ thể tích của các hạt cầu cứng, O(v2 2) là giá trị nhỏ bậc v2 2.

Các tác giả Paul [48], Reuss [71] và Voigt [79] đã đưa ra các công thức trung

bình cộng số học và trung bình cộng điều hòa để tính xấp xỉ các hệ số dẫn và mô

đun đàn hồi của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần:

∑ ∑

(1.12) kef f ≃ kV = vαkα , µef f ≃ µV = vαµα ,

hoặc: ( ( )−1 )−1 ∑ ∑

. (1.13) kef f ≃ kR = , µef f ≃ µR = vα kα vα µα

Tuy nhiên các kết quả này chỉ tương đối tốt khi tương quan tính chất giữa các

pha là gần nhau, khi tính chất giữa các pha khác xa nhau thì kết quả nhận được sẽ

trở nên rất xa nhau. Sau này với các xây dựng đánh giá theo đường lối biến phân

Hill [30] và Paul [48] đã chứng minh rằng (1.12) và (1.13) chính là các đánh giá

trên và đánh giá dưới đối với tính chất hiệu quả của vật liệu tổ hợp đẳng hướng

nhiều thành phần bất kể hình học pha cụ thể có thế nào đi chăng nữa.

Trong trường hợp mô hình vật liệu là hai pha với các hạt cốt liệu có dạng đẹp

như hình cầu, bầu dục (ellipsoid) phân bố xa nhau trong pha nền liên tục (tỷ lệ pha

cốt liệu là nhỏ), Eshelby [20] đã tách một hạt cốt liệu trong miền vô hạn của pha

nền, tính được chính xác trường ứng suất và biến dạng (bỏ qua sự tương tác qua

12 là các biến

, , (1.14) = vI = vI ⟨ε⟩ I ε0 lại giữa các cốt liệu). Trên cơ sở đó ông tìm được hệ số đàn hồi vĩ mô trong một vùng tỷ lệ thể tích vI nhỏ (các hạt cốt liệu xa nhau): µef f − µM µI − µM kef f − kM kI − kM ⟨ε12⟩ I ε0 12

với kI, µI, kM , µM là các hệ số đàn hồi của hạt cốt liệu và nền; ε0, ε0 dạng tại miền xa vô cùng.

Biểu thức tiệm cận của kef f và µef f có thể được cho như sau:

, (1.15) kef f = kM + vI(kI − kM )K (kI, kM , µI, µM ) + O(v2 I ) µef f = µM + vI(µI − µM )M (kI, kM , µI, µM ) + O(v2 I )

trong đó K, M biểu diễn qua tenxơ Eshelby, O(v2 I ) là vô cùng nhỏ bậc 2, tương tác giữa hai hạt cốt liệu gần nhau được tính đến để chính xác hóa các biểu thức

tiệm cận trong các trường hợp cụ thể [3],[12],[15],[23] và [27]. Ở một thái cực

khác khi tỷ lệ thể tích của cốt liệu tiến tới sát giá trị giới hạn, trong một số trường

hợp cụ thể người ta cũng xây dựng được các biểu thức tiệm cận xấp xỉ các tính

chất hiệu quả (xem [24] và [38]).

Đối với mô hình vật liệu thực có các thành phần phân bố hỗn độn và tỷ lệ thể

tích không nhỏ - hình học pha không hoàn toàn xác định gây khó khăn cho cách

giải phương trình trực tiếp, một số phương pháp mô hình được đề xuất mà tiêu

biểu là phương pháp sơ đồ vi phân (differentials scheme) trong các nghiên cứu

của các tác giả (xem [37],[46],[69-70]) với nội dung tính dần ứng suất và biến

dạng với pha nền chứa tỷ lệ nhỏ cốt liệu cầu hay hình bầu dục (dựa theo kết quả

Eshelby) và tính mô đun vĩ mô của hỗn hợp. Bước sau lấy hỗn hợp đó làm pha

nền và thêm vào tỷ lệ nhỏ pha cốt liệu rồi lại tính mô đun vĩ mô của hỗn hợp thứ

hai... và cứ như thế tính cho tới bước thứ N khi ta nhận được tỷ lệ thể tích phải có

của pha cốt liệu, công thức mô tả các bước được thể hiện như sau, qua hệ phương

N∑

trình vi phân:

= vIα(kIα − k)Kα (kIα, k, µIα, µ)

α=1 N∑

, (1.16)

α=1

N∑

= vIα(µIα − µ)Mα (kIα, k, µIα, µ) dk dt dµ dt 1 1 − vIt 1 1 − vIt

α=1

với điều kiện ban đầu k(0) = kM , µ(0) = µM , vI = , Kα và Mα xác định từ

(1.15). Lời giải của phương trình sẽ cho kef f = k(1), µef f = µ(1).

N∑

−→ ∞ , bởi vậy: Trong trường hợp không có pha nền tức là vI = 1 nên 1 1 − t

vIα(kIα − k)Kα (kIα, k, µIα, µ) = 0

α=1 N∑

, (1.17)

α=1

vIα(µIα − µ)Mα (kIα, k, µIα, µ) = 0

gọi là phương pháp tự tương hợp (self-consistent) theo các tác giả (xem [9-10],[16],

[29],[32],[33] và [82]). Đây cũng có thể được coi là trường hợp riêng của phương

pháp sơ đồ vi phân. Nội dung ban đầu của phương pháp này là tính trường biến

dạng và ứng suất của 1 pha nào đó thì xem xét đại diện của pha đó như hạt cốt liệu

cầu hay bầu dục nằm trong một nền đồng nhất vô hạn với tính chất trùng với tính

chất hiệu quả mà ta chưa biết, sử dụng kết quả của Eshelby, từ đó dẫn đến phương

trình xác định mô đun đàn hồi vĩ mô. Điểm thuận lợi nhận thấy ở sơ đồ này bao

gồm một quan niệm đơn giản và tương ứng với mô hình có trật tự chính xác nhất

định (xem Noris [46]). Cách làm này có vẻ gọn tuy nhiên có phần áp đặt, các tính

toán cũng như phân tích về sau cho thấy kết quả này (sơ đồ vi phân luôn tuân thủ

đánh giá của Hashin-Shtrikman) có khi vô lý mà một trong số tác giả của phương

pháp [10] đã chỉ ra chẳng hạn với vật liệu có chứa các lỗ rỗng - hệ số trượt hiệu

quả sẽ bằng 0 khi tỷ lệ thể tích của các lỗ rỗng tiến gần tới giá trị 1/2 khi các hạt

là cốt liệu tròn (lỗ rỗng là pha thứ 2 có mô đun đàn hồi bằng 0).

Một phương pháp khá nổi tiếng là Mori-Tanaka [44] được áp dụng cho kỹ thuật

và kim loại học khi xem xét vật liệu nhiều pha dạng nền-cốt liệu. Nội dung của

phương pháp là để tính trường ứng suất và biến dạng của các pha, tác giả xem xét

riêng một hạt cốt liệu hình bầu dục trong pha nền xa vô cùng với các điều kiện

biên ở vô cùng được lấy từ các trung bình của ứng suất và biến dạng trong pha nền

(chưa biết) và sử dụng kết quả của Eshelby.

Từ những nhược điểm đã nêu ở trên, các phương pháp mô hình đều có những

hạn chế không cho trước được sai số có thể, chỉ áp dụng cho một số lớp vật liệu

nhất định.

Thay cho việc nhận được lời giải giải tích thông qua việc giải phương trình (mà

điều này rất khó khăn khi cấu hình hỗn hợp phức tạp) thì có một cách đi khác

cũng hướng tới việc tìm được các tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp đó là đường

lối biến phân, đây là phương pháp tìm cực trị các phiếm hàm năng lượng. Mặc dù

không tìm được các trường ứng suất, biến dạng chính xác tương ứng với các điểm

cực trị thì với cách xây dựng khéo léo các trường khả dĩ ta cũng nhận được tương

ứng các đánh giá đối với giá trị cực trị của các phiếm hàm năng lượng và các tính

chất vĩ mô của vật liệu tương đối gần với giá trị thực có thể. Điều khó khăn là ta

phải giải bài toán biến phân trên miền V với cấu trúc phức tạp mà chúng ta thường

không có đầy đủ thông tin về nó.

Theo hướng nghiên cứu này từ rất sớm một số nhà khoa học như Hill [30] lần

đầu tiên nghiên cứu về tính chất vĩ mô của đa tinh thể đã chọn trường khả dĩ là bất

biến, Paul [48] đã chứng minh được rằng các tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp

đẳng hướng dù cho hình học pha có thế nào thì cũng luôn luôn nằm trong phạm vi

α ∑

trung bình cộng điều hòa và trung bình cộng số học: ( )−1 ∑ ∑ ≤ kef f ≤ vαkα ( . (1.18) )−1

≤ µef f ≤ vαµα vα kα vα µα

Một bước tiến nữa trong nghiên cứu mà được coi là đã để lại dấu ấn khi Hashin

Shtrikman [28] đã xây dựng nguyên lý biến phân riêng và đưa vào trường khả dĩ

phân cực (polarization fields) với các giá trị trung bình khác nhau trên các pha

khác nhau. Kết quả của Hashin và Shtrikman (HS) cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng

là tốt hơn hẳn kết quả của Hill-Paul khi nó nằm trong đánh giá này. Biên của HS

cho đánh giá mô đun đàn hồi thể tích và mô đun trượt vĩ mô trong trường hợp tổng

quát không gian d chiều được biểu diễn như sau:

( ) ( )

(1.19) µmin ≤ kef f ≤ Pk µmax Pk 2(d − 1) d

, µ∗(k, µ) = µ Pµ(µ∗min) ≤ µef f ≤ Pµ(µ∗max) 2(d − 1) d d2k + 2(d + 1)(d − 2)µ 2dk + 4dµ (1.20) ( ( )−1 )−1 ∑ ∑ − k∗ − µ∗ Pk(k∗) = , Pµ(µ∗) = vα µα + µ∗

vα kα + k∗ α kmax = max {k1, . . . , kN } , kmin = min {k1, . . . , kN } , µmin = min {µ1, . . . , µN } , µmax = max {µ1, . . . , µN } .

Có thể thấy rằng chỉ với các tính chất thành phần của vật liệu cho trước κα, µα và tỷ lệ thể tích pha vα ta cũng nhận được biểu thức đánh giá. Ý nghĩa của phương pháp là xây dựng toán học khéo léo một trường khả dĩ trên miền V , trong khi

miền V không hoàn toàn xác định, để nhận được các biểu thức đánh giá có thể

tính được.

Để có được (1.19) và (1.20) thì HS đã giả thiết kmin, µmin (kmax, µmax ) thuộc về cùng một pha và sau này Walpole [80] đã chứng minh được rằng các kết quả

của HS đúng trong cả trường hợp tổng quát. Với những mô hình hình học cụ thể

hai pha thì đánh giá HS cho những kết quả chặt nhất có thể, khi đặc trưng pha nền

là lớn hơn pha cốt liệu dạng hạt thì đặc trưng vĩ mô hướng tới biên trên còn khi

ảnh hưởng của nó ít hơn pha cốt liệu thì nó tiến tới tiệm cận biên dưới. Riêng với

mô hình quả cầu lồng nhau hai pha thì đánh giá HS trên (hoặc dưới) cho mô đun

thể tích là đạt tới được.

Một vấn đề đặt ra là liệu có tìm được đánh giá tốt hơn đánh giá HS hay không,

đây cũng là vấn đề được các nhà khoa học quan tâm và rất nhiều công trình nghiên

cứu sau này được công bố và chứng minh tính đúng đắn cũng như tìm ra kết quả

tốt hơn cho một số vật liệu cụ thể. Milton & Phan-Thien [42] đã xây dựng được đánh giá tốt hơn HS cho µef f vật liệu 2 pha khi kmin và µmin không thuộc cùng 1 pha. Pham [49] nhận được kết quả tương ứng trong trường hợp nhiều pha. Trường

hợp vật liệu có nhiều hơn 2 pha vẫn chưa tìm được đánh giá tối ưu.

Một loại vật liệu tổ hợp ngẫu nhiên là sự kết hợp của các vật liệu thành phần

phân bố ngẫu nhiên (hỗn độn) trong không gian với hình học pha tựa như nhau

(loại vật liệu được gọi là vật liệu đối xứng theo Miller [40] hay vật liệu có thể đổi

chỗ cho nhau Bruno [8]). Đánh giá trên và dưới các đặc trưng vĩ mô của vật liệu

nhiều thành phần phân bố ngẫu nhiên tựa đối xứng đầu tiên cho vật liệu hai pha

đưa ra bởi Miller [40]. Trong bài báo này Miller đã giới thiệu các lớp tổ hợp xác

định đặc tính vi hình học bao gồm vật liệu các dạng khác nhau từ cầu tới đĩa mà

được tạo bởi toàn bộ các phần tử đồng nhất có dạng cầu tới đĩa và kích cỡ đa dạng.

Ông đã tìm được được đánh giá trên và dưới một cách đặc biệt cho hệ số dẫn và

mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu 2 pha tựa đối xứng phụ thuộc 1 tham số hình

học. Lớp bài toán này sau này được phát triển bởi bởi Silnutzer [72] cho mô đun

đàn hồi trượt; Milton [41],[43].

Ở trong nước các nghiên cứu của Phạm Đức Chính [49-58] đã xét đến bài toán

cho vật liệu nhiều pha khi xem xét đến sự khác biệt của tỷ lệ thể tích pha, hình học

vi mô của các thành phần cấu thành được đặc trưng bởi các tham số hình học bậc

ba, kết quả là tìm được biên tường minh cho các đặc trưng vĩ mô của các loại vật

liệu, trong một số trường hợp tìm được đánh giá tối ưu (đạt được bởi một số mô

hình hình học cụ thể).

Để có những đánh giá tốt hơn so với đánh giá HS sau này các tác giả đã nghiên

cứu và xây dựng các bất đẳng thức biến phân có chứa các hàm ngẫu nhiên mô tả

thông tin bổ xung về hình học pha của các vật liệu cụ thể. Các hàm ngẫu nhiên bậc

n (n-point correlation functions) phụ thuộc vào xác suất của n điểm bất kỳ được

lấy tình cờ (với khoảng cách nhất định giữa chúng) rơi vào cùng một pha. Việc đo

đạc thực nghiệm và tính toán các hàm ngẫu nhiên là phức tạp đặc biệt với các hàm

bậc cao. Hàm ngẫu nhiên bậc nhất chính là tỷ lệ thể tích của các thành phần tham

gia trong vật liệu tổ hợp. Hàm bậc hai ảnh hưởng đến tích chất vĩ mô của vật liệu

dị hướng nhưng không ảnh hưởng tới vật liệu đẳng hướng. Hiện nay với những

phương tiện kỹ thuật hiện đại người ta cũng mới chỉ tính được các tham số hàm

ngẫu nhiên bậc hai và bậc ba cho những trường hợp cụ thể (với một số mô hình

vật liệu hai thành phần ngẫu nhiên hoặc tuần hoàn các tham số đã được tính toán

và lập bảng, xem [77]). Trường hợp vật liệu hai thành phần hàm ngẫu nhiên bậc ba được thiết lập với 2 thông số hình học vật liệu ζ1 (hoặc ζ2) và η1 (hoặc η2) đưa ra bởi Milton & Phan-Thien [42], Torquato [77]. Với hàm ngẫu nhiên bậc cao thì

thực sự khó khăn trong việc xác định chúng và gần như không thể xác định được tất cả các hàm ngẫu nhiên tới bậc ∞, xem Phan-Thien & Milton [66]; Phan-Thien & Pham [67].

Không xuất phát từ nguyên lý HS, nhưng từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu

và xây dựng trường khả dĩ phân cực tương tự trường HS, Pham [49-62] đã tìm

được đánh giá hẹp hơn HS nhờ thành phần nhiễu chứa thông tin bậc ba về hình

học pha của vật liệu. Thay vì tìm trực tiếp phiếm hàm (1.9) hay (1.10), Pham [49]

đã tách phiếm hàm ra 2 phần là phần chính và phần nhiễu và chỉ tìm cực trị phần

chính, rồi lấy nó làm trường khả dĩ cho toàn phiếm hàm. Quá trình xây dựng đã

dẫn dắt tác giả tới trường phân cực dạng HS (xem Phạm Đức Chính [1]). Cho đánh

N∑

giá trên từ (1.9) trường khả dĩ có dạng (Pham [49]):

ij +

klψα pα

,ijkl

miφα

,jm + pα

mjφα

,im) , (1.21)

(pα εij = ε0 3k0 + µ0 µ0(3k0 + 4µ0) − 1 2µ0

trong đó k0 và µ0 là các hệ số đàn hồi của vật liệu so sánh theo phương pháp Hashin-Shtrikman; p là trường phân cực:

−1

N∑

−1

−1 :

β=1

        pα = I − (Cα + C∗) (C0 + C∗) : "0 , vβ(Cβ + C∗)  

, ) , I = T( (1.22) C0 = T(k0, µ0), 1 3 1 2

C∗ = T(k∗, µ∗), k∗ = ; µ0, µ∗ = µ0 4 3 9k0 + 8µ0 6k0 + 12µ0

còn φα và ψα là các hàm thế điều hòa và song điều hòa có dạng: ∫

V(cid:11)  

φα(x) = (1.23) Γφ(x − y)dy ; ∇2φα(x) = δαβ , x ∈ Vβ ;

− 1

r ) , d = 2 d = 3

2π ln( 1 4πr ,

Γφ(r) = , ∇2Γφ = δ(r) ;  − 1

∫

V(cid:11)  

ψα(x) = (1.24) Γψ(x − y)dy ; ∇4ψα(x) = δαβ , x ∈ Vβ ;

r ) , d = 2 d = 3

8π r2ln( 1 − 1 8π r ,

, ∇4Γψ = δ(r) . Γψ(r) = 

(∇2φα(x) = ∇4ψα(x) = δαβ , x ∈ Vβ);

Với trường khả dĩ này, Pham [49] nhận được đánh giá trên như sau:

(1.25) kc ≤ Pk(k∗) + k∗∗ µc ≤ Pµ(µ∗) + µ∗∗ ,

trong đó: ( )−1 ∑

α ∑

− k∗ , Pk(k∗) = vα kα + k∗ ( )−1

− µ∗ , Pµ(µ∗) =

vα µα + µ∗ ∑

α Y βY γ ,

α 2 (3k0 + 4µ0)2

α,β,γ

k∗∗ = (µα − µ0)Aβγ

∑

α Z βZ γ ,

α,β,γ

µ∗∗ = (kα − k0)Aβγ 9 10(3k0 + 4µ0)2 ] ∑

α + Aβγ α

α,β,γ

[ Bβγ Z βZ γ , + (1.26) (µα − µ0) 5µ2 (3k0 + µ0)2 0(3k0 + 4µ0)2  ( − 27k2 24µ2 0 0 4(3k0 + µ0)2  )−1 ∑

Y β = (k∗ + k0) vα kα + k∗ 1 − (kβ + k∗)−1   ,  ( )−1 ∑

 ; Z β = (µ∗ + µ0) 1 − (µβ + µ∗)−1 vα µα + µ∗

α , Bβγ α là các thông tin hình học bậc ba của vật liệu: ∫

trong đó Aβγ ∫

α =

ij φγα φβα

ij dx , φβα

ij = φβ

,ij

V(cid:11)

,ijdx , ∫

V(cid:11) ∫

Aβγ φβ (1.27) − 1 vα

α =

,ijkl

ijkl = ψβ

ijkldx , ψβα

,ijkldx .

ijklψγα ψβα

V(cid:11)

ψβ Bβγ (1.28) − 1 vα

Đối với đánh giá dưới mô đun đàn hồi, trường phân cực có dạng:

N∑

(cid:27)(x) = (cid:27)0 − C0 : ["′(x) + q(x)] , (1.29)

klψα ˜qα

,ijkl

miφα

,jm + ˜qα

mjφα

α=1

,im) , 

−1

N∑

β=1

(˜qα 3k0 + µ0 µ0(3k0 + 4µ0) ˜qα = C0 : qα , N∑ − 1 2µ0    ε′ ij(x) =   ] [   qα = I − (Cα)−1 + (C∗)−1)−1 : vβ[(Cβ)−1 + (C∗)−1]−1  

[ ] : (C0)−1 + (C∗)−1 : (cid:27)0 .

∗∗

Pham [49] nhận được đánh giá dưới như sau:

∗∗

]−1 ]−1 , (1.30) kc ≥ µc ≥ [ P −1 k (k∗) + k−1 [ µ (µ∗) + µ−1 P −1

Một hướng nghiên cứu rất được quan tâm trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu

đó là phương pháp số mà kỹ thuật số cổ điển đã xây dựng xấp xỉ từ các trường

khả dĩ động học. Tuy nhiên cũng có các trở ngại chính: rất khó để tìm được trường

khả dĩ đơn giản trên toàn bộ vùng khảo sát hoặc nếu có tìm được thì dẫn tới hệ

phương trình lớn và phức tạp. Những vấn đề này đã được khắc phục bởi thực tế

là các xấp xỉ cục bộ, trên một phần nhỏ của vùng khảo sát có lời giải thích hợp

và đồng thời dẫn đến hệ phương trình gọn gàng và phạm vi tính toán phù hợp với

khả năng của hệ thống máy tính tốc độ cao. Kỹ thuật xấp xỉ phần tử thông minh

(element-wise) đã được công nhận ít nhất 60 năm trước đây bởi Courant [17]. Đã

có nhiều phương pháp xấp xỉ như vậy để giải phương trình đàn hồi, phổ biến nhất

là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH). Ý nghĩa của phương pháp này là phân

vùng vật thể thành một tập hợp các miền con rời rạc gọi là phần tử. Quá trình này

được thiết kế để giữ cho kết quả đại số cũng như quản lý tính toán bộ nhớ hiệu quả

nhất có thể. Việc thực hiện, lý thuyết và ứng dụng của PTHH là một chủ đề rất

rộng. Tài liệu tham khảo chung về chủ đề này có thể xem [4],[5],[31],[73] và [83].

Phương pháp phần tử hữu hạn yêu cầu rời rạc hóa miền không gian vật thể chính

vì vậy bước đầu tiên cần xây dựng chia lưới phần tử. Về cơ bản có hai cách chia

lưới cấu trúc vi mô theo phương pháp phần tử hữu hạn. Đó là xấp xỉ cấu trúc vi

mô không đồng dạng và xấp xỉ cấu trúc vi mô đồng dạng. Điều này dẫn đến gián

đoạn vật liệu trong phần tử hữu hạn. Với cách chia xấp xỉ không đồng dạng không

yêu cầu biên của phần tử phải trùng với bề mặt phân cách của vật liệu khi chia lưới

bên trong vật thể, điều này sẽ dẫn đến vật liệu sẽ không liên tục trong các phần tử

hữu hạn. Còn với cách xấp xỉ đồng dạng thì yêu cầu biên của biên của phần tử phải

trùng khít với bề mặt phân cách của vật liệu và lúc đó các phần tử không có vật

liệu đứt đoạn giữa chúng, mỗi một cách đều có ưu và nhược điểm. Đối với cách

chia lưới không đồng dạng có lợi thế là nhanh chóng tạo ra lưới bên trong cấu trúc

và đồng thời không có phần tử bị méo xuất hiện trong cấu trúc vi mô, điều này là

rất quan trọng để thực hiện tính toán nếu phép giải lặp được sử dụng. Cách chia

lưới đồng dạng sẽ đòi hỏi ít phần tử hơn cách chia lưới không đồng dạng khi trên

cùng điểm chia chính xác, tuy nhiên cũng có điểm bất lợi (và cực kỳ khó khăn) là

khi tạo lưới cho cấu trúc vi mô không đều trong không gian ba chiều. Thậm chí

ngay cả khi cấu trúc vi mô được chia một cách phù hợp, sự biến dạng của phần tử

hữu hạn dẫn đến điều kiện ma trận độ cứng yếu và có thể phần tử không ổn định

(phần tử không lồi). Với các nghiên cứu so sánh số các phương pháp chia lưới xem

Zohdi [85], các bước tiến hành như sau:

- Xây dựng lưới phần tử vùng khảo sát.

- Lựa chọn các hàm đa thức xấp xỉ sao cho nó đơn giản với tính toán nhưng phải

thỏa mãn các tiêu chuẩn hội tụ.

- Xây dựng phương trình phần tử hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử [K]e và véc tơ tải phần tử [P ]e thông qua phương pháp trực tiếp hoặc sử dụng nguyên lý biến phân.

- Ghép nối các mô hình trên cơ sở mô hình tương thích mà kết quả là hệ thống

phương trình: ] { } [ K {a} = P , (1.31)

trong đó:

} ] [ K : là ma trận độ cứng tổng thể. {a}: véc tơ chuyển vị nút tổng thể. { P : Véc tơ lực tổng thể.

Sử dụng điều kiện biên để nhận được phương trình tương ứng:

] { } } [ K ∗ a∗ = { P ∗ . (1.32)

- Cuối cùng giải hệ phương trình đại số (1.32) này.

Một điểm mạnh của phương pháp phần tử hữu hạn là tất cả những tính toán

trong phần tử đều liên quan đến hạng của phần tử. Nếu bậc của đa thức hàm dạng

cùng hạng với phần tử nó được coi là ánh xạ đẳng tham số, còn nếu thấp hơn thì

được coi là ánh xạ tham số thấp và ngược lại là ánh xạ tham số cao. Các nghiên cứu

theo hướng này bao gồm [2],[7],[22],[25],[26],[32],[34],[35],[39],[47],[65],[78]

và [85].

Chi tiết cụ thể hơn khi áp dụng phương pháp PTHH trong bài toán đồng nhất

hóa sẽ được đề cập tới trong chương 4. Khó khăn chính ở đây là miền phân lưới

có hình học pha phức tạp.

Ở Việt Nam cũng đã có các tác giả quan tâm tới nghiên cứu cơ tính vật liệu tổ

hợp như nhóm tác giả thuộc đại học Bách Khoa Hà Nội, đại học Tự nhiên - Đại

học Quốc Gia Hà Nội, học viện Kỹ thuật Quân Sự... Hiện nay các nghiên cứu đồng

nhất hóa công bố quốc tế đang được thực hiện bởi Trần Anh Bình (đại học Xây

Dựng Hà Nội) [74-75] - sử dụng phương pháp PTHH, Nguyễn Trung Kiên (đại

học Giao thông Vận tải) [45] - sử dụng phương pháp biến đổi nhanh Fourier (fast

Fourier transform) và Trần Bảo Việt (đại học Giao thông Vận tải) [76] - sử dụng

các phương pháp xấp xỉ giải tích.

Những hướng đi khác nhau trong việc nghiên cứu đồng nhất hóa vật liệu của

các nhà khoa học là nền tảng xây dựng nguồn thông tin khoa học giúp ích cho

những ai muốn đi theo hướng nghiên cứu này có thể tham khảo và phát triển tốt

hơn nữa.

Các nghiên cứu trong luận án này tập trung vào các mô đun thể tích k và mô

đun trượt µ. Trong kỹ thuật các kỹ sư hay các nhà thiết kế thường sử dụng các mô

đun E và hệ số nở hông ν. Trong không gian 3 chiều (d = 3) chúng có các liên hệ

theo bảng 1.1.

Bảng 1.1 Quan hệ giữa hệ số mô đun đàn hồi và các cặp hệ số khác

λ, µ Hệ số

λ λ µ k, µ k − 2 3 E, µ µ(E − 2µ) 3µ − E µ, ν 2µν 1 − 2ν

µ µ µ µ µ

k λ + µ k 2 3 Eµ 3(3µ − E) E, ν νE (1 + ν)(1 − 2ν) E 2(1 + ν) E 3(1 − 2ν) 2µ(1 + ν) 3(1 − 2ν)

E E E 2µ(1 + ν)

ν − 1 ν ν (3λ + 2µ)µ λ + µ λ 2(λ + µ) 9kµ 3k + µ 3k − 2µ 6k + 2µ E 2µ

Mô đun đàn hồi thể tích k [σ11 + σ22 + σ33 = 3k(ε11 + ε22 + ε33) trong không gian 3 chiều] liên hệ với mô đun đàn hồi diện tích K [σ11 + σ22 = 2K(ε11 + ε22) trong không gian 2 chiều] như sau:

  : trường hợp bài toán ứng suất phẳng . k = (1.33)  : trường hợp bài toán biến dạng suất phẳng 1 K − 1/(4µ)−1 K − µ 3

1.3. Kết luận

Đồng nhất hóa vật liệu là một lĩnh vực rộng lớn mà trong giới hạn phạm vi tổng

quan này tác giả cũng chỉ đề cập đến những vấn đề liên quan đến luận án, cụ thể

là những nghiên cứu về các mô đun đàn hồi (đặc trưng vĩ mô) của vật liệu đồng

nhất đẳng hướng, các phương pháp đánh giá (trọng tâm) xấp xỉ và mô phỏng số.

Qua phần tổng quan này tác giả cũng đã định hình được rằng để xác định các

hệ số đàn hồi của vật liệu có thể tính trực tiếp hoặc bằng cách đánh giá thông qua

các phiếm hàm năng lượng và nội dung nghiên cứu chính của luận án là xây dựng

các đánh giá cho mô đun đàn hồi thể tích và trượt của vật liệu đàn hồi đẳng hướng

nhiều thành phần. Với cách đi vào từng vấn đề cụ thể diễn tiến theo thời gian xuyên

suốt những bước phát triển và kết quả đạt được của hướng nghiên cứu, tổng quan

cũng giúp cho tác giả nắm vững kiến thức cơ sở để có thể tiếp tục nghiên cứu phát

triển lên mức tiếp theo.

Các đánh giá cho được tính chất đàn hồi vật liệu thay đổi trong phạm vi nào với

những giới hạn hình học cụ thể ? Khi đánh giá hẹp - nó cũng cho được xấp xỉ tốt

tính chất vật liệu. Các nghiên cứu hình học cũng cho ta biết khi nào tính chất đạt

cực đại, cực tiểu.

Chương 2 XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI THỂ TÍCH VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN

Các tính chất vĩ mô của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần có các tính chất đàn hồi vi mô kα, µα, có thể được xác định bằng phương pháp giải tích, bán giải tích hay phương pháp số. Việc giải trực tiếp các phương trình cơ học bằng phương

pháp số đưa ra được kết quả xấp xỉ tuy nhiên việc thiếu những thông tin về hình

học của vật liệu hay vật liệu sắp xếp ngẫu nhiên cũng gây khó khăn cho việc tính

toán. Cách tiếp cận theo đường hướng năng lượng giúp chúng ta xác định được

biên trên và biên dưới các hệ số vĩ mô là phù hợp trong những điều kiện này.

Thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu đã được xây dựng và sử dụng

bởi nhiều tác giả trong đánh giá và xấp xỉ hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu tổ hợp

(xem [6],[40],[41-43] và [77]). Nội dung chương này đi vào nghiên cứu chi tiết

việc thiết lập các phương trình để diễn giải cách xây dựng đánh giá trên và đánh giá dưới cho mô đun đàn hồi thể tích kef f thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu. Với trường khả dĩ mới tổng quát hơn

trường phân cực Hashin-Shtrikman ta sẽ có được các đánh giá tính chất vật liệu

sát hơn so với những đánh giá trước có sử dụng các tham số thông tin bậc ba về hình học của vật liệu Aβγ α (xem Phạm Đức Chính [1]) mô tả cấu trúc vi mô của vật liệu tổ hợp.

Từ những kết quả nhận được tác giả áp dụng tính toán cho các mô hình vật liệu

đẳng hướng nhiều thành phần như mô hình quả cầu lồng nhau, mô hình quả cầu

phân bố ngẫu nhiên (chồng lấn và tách rời), mô hình vật liệu tựa đối xứng...và so

sánh với các kết quả đã được công bố trước đây.

Trước khi đi vào nội dung nghiên cứu, chúng ta cần đưa ra các giả thiết nhằm

giới hạn bài toán xem xét:

• Vật thể đàn hồi là một môi trường liên tục (vật thể rắn), liên kết giữa các pha

là lý tưởng.

• Quan hệ giữa các thành phần biến dạng với hình chiếu của các chuyển vị và đạo hàm bậc nhất của chúng trên các trục tọa độ là tuyến tính (biến dạng nhỏ).

• Các quan hệ ứng suất – biến dạng là tuyến tính (tuân theo định luật Hook).

• Các thành phần là vật liệu đẳng hướng. Vật liệu cấu thành là đẳng hướng vĩ

mô trong không gian d chiều (d = 2 hoặc d = 3).

2.1. Xây dựng biên trên mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật

liệu đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý

năng lượng cực tiểu

Để xây dựng đánh giá trên cho mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô kef f , ta xuất phát từ nguyên lý năng lượng cực tiểu như đã nêu trong chương 1. Nhằm tiện theo dõi

xin nhắc lại một số công thức đã nêu ra trước đây.

Hệ số đàn hồi vĩ mô Cef f = T(kef f , µef f ) được tính qua phiếm hàm năng

lượng cực tiểu:

∫

⟨"⟩="0

"0 : Cef f : "0 = inf " : C : "dx , (2.1)

với hệ số đàn hồi thành phần C(x) = T(kα, µα) nếu x ∈ Vα ⊂ V, α = 1, . . . , N ; trong đó T là ten xơ đàn hồi bậc 4 đẳng hướng:

(2.2) δijδkl) , Tijkl(kα, µα) = kαδijδkl + µα(δikδjl + δilδjk − 2 d

δij là toán tử Kronecker, d là số chiều không gian (d = 2 hoặc 3); trường biến dạng " được biểu diễn qua trường chuyển dịch u(x) : ] ; x ∈ V , "(x) = (2.3) 1 2 [ ∇u + (∇u)T ( ) ∫ ⟨"⟩ = "(x)dx ký hiệu ⟨.⟩ là trung bình thể tích trên miền V , "0 là biến dạng

cho trước.

Để xây dựng biên trên cho mô đun đàn hồi vĩ mô kef f từ (2.1), tác giả lựa chọn

N∑

trường khả dĩ có dạng [là dạng tổng quát hơn (1.21) trong chương 1]: ( )

α=1

+ ε0 ; i, j = 1, . . . , d , (2.4) εij = aαφα ,ij δij d

ij =

δij d

ε0 là biến dạng thể tích cho trước, φα là hàm thế điều hòa, aα trong đó ε0 là các hệ số tự do cần tìm chịu ràng buộc [trường khả dĩ chịu ràng buộc ⟨"⟩ = "0 trong (2.1)], chỉ số Latin sau dấu phảy biểu diễn đạo hàm theo hệ tọa độ Descartes

tương ứng.

Để đưa ra trường khả dĩ này tác giả cũng tham khảo cách xây dựng trường khả

dĩ trong Hashin-Shtrikman [28] và Pham [49], trường khả dĩ được xây dựng thông

qua hàm Green (là một công cụ toán học khi giải quyết các bài toán cơ học) với hàm thế điều hòa φα đã được định nghĩa trong (1.23).

N∑

Rõ ràng trường khả dĩ (2.4) thỏa mãn (2.3) khi trường u có dạng:

,jε0 +

α=1

ui = aαφα δijxj .

N∑

⟩ ε0 d ⟨

,ijε0

α=1 ∫

Từ điều kiện trung bình: ⟨"⟩ = ⟨"0⟩ suy ra = 0 hay: aαφα

N∑

∫

,ijε0dx =

,ijdx = 0

α=1

V(cid:11)

N∑

φα aαφα aαε0

α=1

β=1

N∑

⇐⇒ δαβδij = 0 aαε0 vβ d

α=1

δij vαaα = 0 =⇒ ε0 d

N∑

Suy ra:

α=1

(2.5) vαaα = 0 ,

với vα là tỉ lệ thể tích pha α. Đó chính là ràng buộc các aα phải thỏa mãn.

Trong các tính toán ở đây, giả thiết đẳng hướng sau đây được sử dụng ([1],[16],[49]

và [80]):

∫

,ijdx =

V(cid:11) ∫

φβ δijδαβ , vα d

,ijφγ φβ

,kldx =

V(cid:11)

δijδkl + vαδαβδαγ d2

( )

,ijφγ φβ

,ijdx = Aβγ α ,

V(cid:11) ∫

,iiφγ φβ

,kkdx = vαδαβδαγ .

V(cid:11)

+ , (2.6) δijδkl Aβγ α d2 + d − 2 δikδjl + δilδjk − 2 d ∫

Đặt (2.4) vào (2.1) ta có: ] ∫ ∫

dx δijδkl) εij · Cijkl · εkldx = εij · εkl · [ kαδijδkl + µα(δikδjl + δilδjk − 2 d

( )] ( ) ] ∫ ∫

ii + µα

= dx = dx [ kαε2 µα + µα(2εijεij) ε2 ii [ ε2 ii 2εijεij − 2 d kα − 2 d

N∑

V  δii d

β=1

V(cid:11)

   ) ( ∫     = +  ε0 µα aβφα ,ii kα − 2 d 

N∑

 

α=1  δij d

β=1

+ +  ε0  ε0 +2µα aβφβ ,ii aβφβ ,ii    dx  δij d

N∑

  ( ) ∫  

,ii +

,iiφγ

,kk

α=1

β=1

β,γ=1

V(cid:11)

 (ε0)2 1 + 2 = aβφβ aβaγφβ µα  kα − 2 d

N∑



,ij +

,ijφγ

,ij

β=1

β,γ=1

+  (ε0)2 (2.7) δij +2µα aβφβ aβaγφβ    dx  1 d 2 d

α theo (1.27) trong đó:

Mặt khác ta có biểu thức Aβγ ∫

ij = φβ φβα

,ij

,ijdx = φβ φβ

,ij

V(cid:11)

(a) δαβδij , − 1 d − 1 vα

∫

ij = φγ φγα

,ij

,ijdx = φγ φγ

,ij

V(cid:11)

(b) δαγδij . − 1 d − 1 vα

( ) ( ) Thay (a), (b) vào (2.7) ta được: ∫

α =

Aβγ dx δαβδij δαγδij φβ ,ij φγ ,ij − 1 d − 1 d

V(cid:11) ∫

) (

,ijφγ φβ

,ij

,ij +

V(cid:11)

dx = δαβδijφγ δαβδαγ δαγδijφβ ,ij − 1 d − 1 d 1 d

δαβδij δαγδij + δαβδαγ δαγδij = Aβγ α δαβδij − 1 d vα d vα d

vα d δαβδαγ = Aβγ α − 1 d − vα d

α = Aβγ

α +

⇐⇒ Aβγ (2.8) δαβδαγ . vα d

N∑

Vậy đưa (1.27),(2.8) vào (2.7) và tiến hành rút gọn ta được:   ∫

α) +

α 2µαaβaγ

α=1

α,β,γ=1

" : C(x) : "dx = Aβγ  (ε0)2 kV + vαkα(2aα + a2 W" =

(2.9)

N∑

trong đó kV là giá trị trung bình số học Voigt. Có dạng:

α=1

N∑

n∑

(2.10) kV = vαkα .

α) +

α 2µαaβaγ .

α=1

α,β,γ=1

Aβγ Đặt F0 = kV + vαkα(2aα + a2

Để tìm cực trị phiếm hàm năng lượng (ở đây tìm cực tiểu) ta dùng phương pháp

nhân tử Lagrange, một phương pháp tối ưu hàm số có ràng buộc (λ là nhân tử

N∑

Lagrange):

α=1

(2.11) aαvα , L(aα, λ) = F0 − λ

N∑

lấy đạo hàm riêng (2.11) theo aα và λ:

γ µγaβ − λvα = 0, α = 1, ..., N ,

β,γ=1

N∑

Aαβ (2.12) = vαkα + vαkαaα + 2 ∂L ∂aγ

α=1

= (2.13) aαvα = 0 . ∂L ∂λ

α rồi lấy tổng theo α từ 1 → N kết hợp với điều kiện ràng

Từ (2.12) nhân với k−1

N∑

buộc (2.5):

γ µγaβ − λk−1 Aαβ

R = 0

β,γ=1 

1 + 2

N∑



γ µγaβ

β,γ=1

1 + 2 Aαβ  , (2.14) ⇐⇒ λ = kR

N∑

} thay λ trở lại (2.12) ta được: {

γ kRvα

β,γ=1

δ=1

− vα(kα−kR)+2 µγaβ +kαvαaα = 0, α = 1, ..., N . Aαβ γ k−1 δ Aδβ

(2.15)

Ký hiệu véc tơ a, vk và ma trận Ak:

N∑

{ } α, β = 1, · · · , N ; , (2.17) a = {a1, · · · , aN }T vk = {v1(k1 − kR), · · · , vN (kN − kR)}T , (2.16) Ak = Ak αβ ) (

αβ = vαkαδαβ +

γ=1

δ=1

Ak − vαkR 2µγ ; Aαβ γ k−1 δ Aδβ

Khi đó phương trình (2.15) được viết lại theo dạng tuyệt đối:

(2.18) vk + Ak · a = 0 ,

mà có lời giải hình thức là:

(2.19) · vk . a = −A−1 k

Với (2.12) và (2.19), từ (2.9) nhận được:

N∑

α=1

] [ ∫ ] (ε0)2 = (ε0)2, " : C : "dx = vαkαaα · vk Wε = kV + [ kV − v′ k · A−1 k

(2.20)

trong đó:

(2.21) v′ k = {v1k1, · · · , vN kN }T .

Từ phương trình (2.1) và (2.20), ta nhận được biên trên cho mô đun đàn hồi thể

tích vĩ mô kef f của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần:

−1 · vk .

A ({kα, µα, vα}, {Aβγ α

kef f ≤ K U (2.22) · Ak }) = kV − v′ k

Nhận xét: Trong trường hợp 2 pha đánh giá cho kết quả trùng với kết quả trong Pham [49], nhưng phải cho kết quả tốt hơn khi N ≥ 3 (vì có nhiều tham số tự do hơn trong biểu thức của trường khả dĩ). Để thấy rõ điều này sau đây tác giả

sẽ chứng minh bằng toán học trường khả dĩ đã lựa chọn là tổng quát hơn so với

trường khả dĩ mà Pham [49] đã đưa ra theo (1.22).

N∑

ε0I, Trong (1.22) nếu lấy "0 = I = {δij} , 1 3 [ ]−1

β=1

ta có pα = ε0 (k0 + k∗)   1 −    I,

N∑

1 kα + k∗ [ vβ kβ + k∗ ]−1

β=1

,ijkk = ε0pαφα ,ij

,ijkl = δijε0pαψα ,jm = δmiε0pαφα

,ijkl = ε0pαψα ,jm = ε0pαφα ,ij

đặt pα = (k0 + k∗)    ,   1 − 1 kα + k∗ vβ kβ + k∗

mjφα

,im = ε0pαφα ,ij.

=⇒ pα ij = δijε0pα =⇒ pα ijψα và pα miφα tương tự pα

N∑

Vậy (1.21) được viết lại có dạng:

α=1

N∑

ε0 δij + εij = pαφα ,ij pαφα ,ij ε0 3 3k0 + µ0 µ0(3k0 + 4µ0) − ε0 µ0

α=1

N∑

= δij − ε0 pαφα ,ij ε0 3 3 3k0 + 4µ0

α=1

−1

N∑

= δij − ε0 pαφα ,ij ε0 3 1 k0 + k∗    

,ij.

β=1

  =  1 −   φα δij − ε0 ε0 3 1 k0 + k∗ vβ kβ + k∗

N∑

( )−1

. So sánh với (2.4) ta thấy aα = 1 − vβ kβ + k∗

1 k0 + k∗ Như vậy (1.21) đối với đánh giá cho kef f chỉ là một trường hợp riêng của (2.4),

với một tham số duy nhất k∗ [trong khi (2.4) có N − 1 biến tự do aα].

Các trường hợp sau này cũng chứng minh tương tự như trên.

2.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật

liệu đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý

năng lượng bù cực tiểu

Tương tự như cách xây dựng đánh giá biên trên của mô đun đàn hồi thể tích vĩ

mô, để xây dựng đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô tác giả dựa vào

nguyên lý năng lượng bù cực tiểu: ∫

⟨(cid:27)⟩=(cid:27)0

(cid:27)0 : (Cef f )−1 : (cid:27)0 = inf (cid:27) : (C)−1 : (cid:27)dx , (2.23)

trong đó (cid:27)0 là ứng suất cho trước và trường ứng suất (cid:27) phải thỏa mãn phương trình cân bằng:

∇ · (cid:27)(x) = 0 , x ∈ V . (2.24)

Để tìm được đánh giá dưới kef f trong (2.23) ta lựa chọn trường khả dĩ (tổng

N∑

quát hơn trường (1.29) trong chương 1: [ ]

α=1

ij = δijσ0 là áp lực thủy tĩnh cho trước, I α là hàm chỉ số hình học pha

σ0 ; i, j = 1, · · · , d , (2.25) σij = δij + − δijI α) aα(φα ,ij

trong đó σ0 α:   1 , x ∈ Vα I α(x) = (2.26)  0 , x /∈ Vα

,ii =

Nhớ rằng:   1 , x ∈ Vα △φα = φα  0 , x /∈ Vα

có thể kiểm tra trường khả dĩ σij từ (2.25) thỏa mãn phương trình cân bằng (2.24).

N∑

ij =

α=1

V(cid:11)

Tiếp theo cần kiểm tra điều kiện trung bình: [ ∫ ∫ ] ) σ0dx σijdx = σ0 δij + − δijI α aα ( φα ,ij

ij = σ0δij suy ra:

mà σ0

N∑

α=1

V(cid:11)

∫ ) σ0dx = 0 aα − δijI α ( φα ,ij

N∑

,ijdx − φα

α=1

β=1

V(cid:11)

V(cid:12)

  ∫ ∫ ∫ )     =⇒ dx = aασ0 − δijI α aασ0 δijI αdx ( φα ,ij

V(cid:11) 

N∑

 ( )

α=1

β=1

 =⇒  = = 0 aασ0 δαβδij − vαδij aασ0 vαδij 1 − d d vβ d

N∑

điều kiện bắt buộc:

α=1

aαvα = 0

ta lại nhận được điều kiện (2.5).

Bắt đầu tính biểu thức trong (2.23): ( )

− 1 (cid:27) : C−1 : (cid:27) = σiiσkk + σijσij = σiiσkk + σijσij 1 d2kα 1 2µα 1 d2kα 2dµα 1 2µα

σkkδij trong đó : σij = σij − 1 d

N∑

( Biểu thức trong vế phải của (2.23) với (2.25) được đặt vào có dạng: ∫ ) ∫ ∫

α=1

V(cid:11)

− 1 (cid:27) : (C)−1 : (cid:27)dx = σiiσkkdx + σijσijdx 1 d2kα 2dµα 1 2µα

N∑

 ) ( ∫ ) (

α=1

β=1

V(cid:11) N∑

− 1 d2 + 2d = aβ − δiiI β φβ ,ii 1 d2kα 2dµα  ( ) ( )  + aβaγ − δiiI β − δkkI γ φβ ,ii φγ ,kk

β,γ=1 ∫

N∑

 ) (

α=1

+ δijδij + 2 aβ − δijI β δij φβ ,ij 1 2µα

V(cid:11) N∑

β=1 ) (

(

β,γ=1

 )  dx + − δijI γ aβaγ − δijI β φγ ,ij φβ ,ij

N∑

α=1

β=1

V(cid:11)

( ∫ ( ) ) N∑ − − 1 = + 2d dx aβ − δiiI β φβ ,ii d2vα 2dµα 1 d2kα 2dµα

α=1 ∫

N∑

d2vα d2kα ( ) ) (

,iiφγ φβ

,kk

α,β,γ=1

V(cid:11)

− 1 dx + I γ + δiiδkkI βI γ aβaγ I β − δkkφβ ,ii − δiiφγ ,kk 1 d2kα 2dµα

N∑

∫ ) (

α=1

V(cid:11)

α,β=1 ∫ (

= + − δijI β δijdx+ φβ ,ij dvα 2µα aβ µα

N∑

)

,ijφγ φβ

,ij

α,β,γ=1

V(cid:11)

+ dx I β + δijδijI βI γ − δijφβ ,ij I γ − δijφγ ,ij aβaγ 2µα

N∑

α=1

β=1

( ) N∑ − 1 + 2d = aβ (vαδαβ − dvαδαβ) + vα kα

α=1 N∑

1 d2kα ) ( 2dµα (

α,β,γ=1

− 1 + aβaγ vαδαβδαγ − d δαβdδαγ − d δαβdδαγ vα d vα d 1 d2kα 2dµα

N∑

α,β=1

( ) ) + + δij + d2vαδαβδαγ δαβδij − δijδijvαδαβ vα d aβ µα

N∑

( )

α,β,γ=1

N∑

+ − δij δαβδijδαγ − δij δαβδijδαγ + dvαδαβδαγ Aβγ α vα d vα d aβaγ 2µα

α=1

N∑

+ − (1 − d) + = 1 − 2d + d2 d2 aαvα kα aαvα µα a2 αvα kα

α=1 a2 αvα µα

α=1

α,β,γ=1

α=1 N∑

+ (1 − d) + Aβγ α 2d(1 − d) vα d2 kα − 1 − 2d + d2 2d 1 2 aαvα µα aβaγ µα

α=1

N∑

+ 1 − 2d + d2 2d a2 αvα µα

α=1

α,β,γ=1

= + + + Aβγ α . 2(1 − d) d 1 − 2d + d2 d2 1 2 vα kα aαvα kα a2 αvα kα aβaγ µα

(2.27)

α +

α = Aβγ (Lưu ý Aβγ Đưa (2.27) vào (2.23) ta được:

δαβδαγ.) vα d

N∑

[ ∫

α=1

α=1 

N∑

(cid:27) : (C)−1 : (cid:27)dx = + W(cid:27) = k−1 R + 2(1 − d) d 1 − 2d + d2 d2 a2 αvα kα aαvα kα

α,β,γ=1

+  (σ0)2 , (2.28) Aβγ α 1 2 aβaγ µα

R là giá trị trung bình cộng điều hòa Reuss:

N∑

trong đó k−1

α=1

N∑

. (2.29) k−1 R = vα kα

R +

α=1

α,β,γ=1

+ + Đặt F0 = k−1 Aβγ α . 1 − 2d + d2 d2 2(1 − d) d a2 αvα kα aβaγ µα

N∑

1 aαvα 2 kα Dùng phương pháp nhân tử Lagrange với các biến aα cần tìm:

α=1

N∑

L(aα, λ) = F0 − λ aαvα

β,γ=1

= + + −λvα = 0, α = 1, ..., N , Aβα γ 2(1 − d) d 2(1 − 2d + d2) d2 aβ µγ ∂L ∂aγ vα kα aαvα kα

N∑

(2.30)

α=1

= aαvα = 0 . ∂L ∂λ

(2.31) Từ (2.30) nhân với kα rồi lấy tổng theo α từ 1 → N kết hợp với điều kiện ràng

N∑

buộc (2.31):

α=1

2 + − λ (2.32) vαkα = 0 Aβα γ 1 − d d aβkα µγ

α,β,γ=1 

N∑



α,β,γ=1

 . + 2 (2.33) Aβα γ ⇐⇒ λ = k−1 V 1 − d d aβkα µγ

N∑

Đặt (2.33) vào (2.30) ta được: { }

γ vαk−1

V )vα+

β,γ=1

δ=1

− −k−1 + = 0 . kδAδβ (k−1 α Aβα γ 1 − d d (d − 1)2 d2 aαvα kα aβ 2µγ

(2.34)

Ký hiệu véc tơ a, ¯vk và ma trận ¯Ak:

{ }T

V ), · · · ,

N∑

− k−1 , ¯vk = vN (k−1 N − k−1 V ) 1 − d d v1(k−1 1 } { , (2.35) ¯Ak = ( )

αβ =

α δαβ +

γ=1

δ=1

¯Ak vαk−1 (2µγ)−1 . kδAδβ γ Aαβ γ a = {a1, · · · , aN }T , 1 − d d ¯Ak αβ (1 − d)2 d2 − vα kV

Khi đó (2.34) có thể được viết dưới dạng tuyệt đối:

Ak · a + vk = 0

⇐⇒ a = −A−1 (2.36) · vk .

Với (2.30) và (2.36), từ (2.28) ta nhận được:

N∑

[ ] ] [

α=1

(σ0)2 . (σ0)2 = (2.37) · ¯vk W(cid:27) = · A−1 k − ¯v′ k k−1 R k−1 R − d − 1 d aαvα kα

trong đó: { }T

1 , · · · ,

. (2.38) v1k−1 ¯v′ k = vN k−1 N 1 − d d 1 − d d

Từ đó ta nhận được đánh giá dưới cho mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô kef f của

vật liệu tổ hợp đàn hồi đẳng hướng theo công thức (2.23):

A({kα, µα, vα}, {Aβγ α

kef f ≥ K L (2.39) · ¯vk)−1 . · A−1 k − ¯v′ k }) = (k−1 R

Nhận xét: Trong trường hợp 2 pha đánh giá cho kết quả trùng với kết quả trong

Pham [49], nhưng cho kết quả tốt hơn khi N ≥ 3.

Các đánh giá này đã được công bố trong các công trình khoa học 1., 2. cho

không gian ba chiều và 4. cho không gian hai chiều.

2.3. Lớp vật liệu đẳng hướng ngang

Lớp vật liệu đẳng hướng ngang là loại vật liệu cốt sợi dọc trục (hình 2.1), đẳng

hướng theo mặt cắt ngang các cốt sợi, mặt ngăn cách giữa các pha song song với

một phương. Đây cũng là lớp vật liệu đặc biệt, đối tượng cụ thể trong những nghiên

Hình 2.1: Vật liệu cốt sợi dọc trục

cứu đồng nhất hóa.

Đối với lớp vật liệu này có 5 hệ số đàn hồi: Đánh giá cho mô đun diện tích ngang K ef f được tính theo mô hình 2 chiều như

đã trình bày ở trên.

Đánh giá cho mô đun trượt ngang µef f sẽ được trình bày trong chương 3 (trong

trường hợp 2 chiều).

Đánh giá cho mô đun trượt dọc µef f là hệ số trong bài toán đàn hồi phản phẳng (biến dạng trượt theo phương dọc trục gây ra bởi chuyển vị vuông góc với mặt

phẳng đẳng hướng ngang), được xác định theo cách tính hệ số dẫn 2 chiều (xem

[45]).

Mô đun đàn hồi dọc trục Eef f và hệ số nở hông νef f đối với vật liệu 2 pha được

] ( xác định qua mối liên hệ Hill [30] thông qua giá trị K ef f , cụ thể: )2 [( ν1 − ν2 − v1E1 − v2E2 , )−1 − v1K −1 − K −1 2 − v2K −2 2 ] Eef f = −4 [( K −1 1 ν1 − ν2 νef f = K ef f (2.40) + v1ν1 + v2ν2 , K ef f )−1 − v1K −1 − v2K −2 2 − K −1 2 K −1 1

với (2.40) khi đã có được các đánh giá cho K ef f ta sẽ nhận được các đánh giá tương tự cho Eef f và νef f .

Các so sánh đánh giá và tính toán sẽ được đề cập trong chương 4.

2.4. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể

Sau khi đã xây dựng được các công thức đánh giá như đã trình bày ở trên, tiếp

theo tác giả áp dụng cho một số mô hình vật liệu nhiều thành phần có hình dạng

cấu trúc cụ thể. Từ các công thức thiết lập được ở trên, sử dụng chương trình tính

toán MATLAB với các hàm tối ưu về hình học của vật liệu tác giả đã nhận được

kết quả và so sánh với các đánh giá trước đây.

2.4.1. Mô hình quả cầu lồng nhau hai pha

Trong trường hợp vật liệu hai pha, thông tin hình học bậc ba của vật liệu Aβγ α

được biểu diễn phụ thuộc vào một thông số ζα (Pham [64]):

α = A22

α = −A12

α =

A11 v1v2ζα , α = 1, 2 d − 1 d (2.41)

ζ1 + ζ2 = 1 , 0 ≤ ζ1, ζ2 ≤ 1

Đối với mô hình quả cầu lồng nhau hai thành phần Hashin-Shtrikman với các

kích thước khác nhau được điền đầy khoảng trống không gian vật liệu nhưng tỷ lệ

thể tích giữa các thành phần trong các quả cầu là như nhau (hình 2.2a), các thông số ζα được xác định chính xác (Pham [52],[64]). Đặc biệt ζ2 = 1 nếu pha 2 là pha nền và ζ2 = 0 nếu pha 2 là pha cốt liệu. Ở đây biên trên (2.22) và biên dưới (2.39) của mô đun đàn hồi thể tích cùng hội tụ về một giá trị duy nhất, và giá trị này trùng

với biên trên (hoặc dưới) của biên Hashin- Shtrikman nếu pha 2 là pha nền (hoặc pha cốt liệu) với thông số µ2 > µ1. Hình 2.2c biểu diễn giá trị chính xác của mô đun vĩ mô vật liệu quả cầu lồng nhau hai thành phần, so sánh với biên trên hoặc dưới theo đánh giá Hashin-Shtrikman trong phạm vi khảo sát v2 = 0.1 → 0.9, với k1 = 1, µ1 = 0.3, k2 = 20, µ2 = 10 (chuẩn hóa theo k1).

Đối với vật liệu hai thành phần dạng hỗn hợp cầu tựa đối xứng (hình 2.2b) không phân biệt rõ ràng giữa pha cốt liệu và pha nền, ta có ζα = vα (Pham [64], Torquato [77]). Biên trên và biên dưới cho nhóm vật liệu này được biểu diễn trên

hình 2.2c. Mặc dù nghiệm không hội tụ về một giá trị nhưng nó vẫn nằm trong

biên của HS.

Trong trường hợp hai chiều ứng với dạng vật liệu trụ tròn (ống) kéo dài theo

1 phương, vật liệu trụ tròn (ống) lồng nhau có mặt cắt theo phương ngang như

hình 2.3a, vật liệu trụ (ống) sắp đặt điền đầy tựa đối xứng, hình 2.3b. Mô đun K

theo hướng mặt cắt ngang được coi là mô đun đàn hồi diện tích. Hình 2.3c biểu

(a)

(b)

(c)

Hình 2.2: Biên của mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp dạng quả cầu lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng cầu đối xứng. (a) Quả cầu lồng nhau; (b) Hỗn hợp dạng cầu đối xứng; (c) HS - Biên trên và biên dưới Hashin-Shtrikman tương ứng với giá trị mô đun đàn hồi thể tích chính xác của vật liệu quả cầu lồng nhau (cid:16)2 = 1 và (cid:16)1 = 0, DXC 3D - Biên trên và biên dưới cho vật liệu tổ hợp đối xứng dạng cầu

diễn giá trị chính xác của mô đun vĩ mô vật liệu hình tròn lồng nhau hai thành

phần, so sánh với biên trên hoặc dưới theo đánh giá HS trong phạm vi khảo sát v2 = 0.1 → 0.9, với K1 = 1, µ1 = 0.3, K2 = 5, µ2 = 2.5.

K2, µ1 = 2 5 2 5 Để khảo sát ảnh hưởng của tính chất vật liệu tới các đánh giá, tác giả đã thực hiện khảo sát giá trị K2/K1 trong khoảng từ 1 → 10 tại v2 = 0.5, các hệ số khác µ2 = K1, cho kết quả như hình 2.4. Các kết quả so sánh gồm đánh giá của Voigt, Reuss, các đường biên của HS và đường biên DXC 2D.

Nhận xét: Qua hình 2.4 ta thấy các đánh giá càng có xu thế tách xa nhau khi K2 ≫ K1 và đều hội tụ tới giá trị K1 khi K2 → K1. Đánh giá càng hẹp (nhất là đánh giá bậc ba của luận án) thì hội tụ càng nhanh - sai khác chỉ còn rất nhỏ khi K2/K1 ≈ 3.

(a)

(b)

(c)

Hình 2.3: Biên của mô đun đàn hồi diện tích vật liệu tổ hợp dạng mặt cắt ngang hình tròn lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng mặt cắt tròn đối xứng. (a) Hình tròn lồng nhau; (b) Dạng mặt cắt tròn đối xứng; (c) HS - Biên trên và biên dưới Hashin-Shtrikman, DXC 2D - Biên trên và biên dưới cho vật liệu tổ hợp đối xứng dạng hình tròn

Hình 2.4: Đánh giá của Voigt, Reuss, các đánh giá của HS và đường biên DXC 2D

2.4.2. Mô hình quả cầu ngẫu nhiên (không chồng lấn và chồng lấn )

Xem xét vật liệu dạng quả cầu không chồng lấn (tách rời) có kích cỡ bằng nhau

phân bố ngẫu nhiên hai thành phần (hình 2.5a) và quả cầu chồng lấn ngẫu nhiên

(hình 2.6a) nằm trong pha nền 1. Biên (2.22),(2.39) cho mô hình này khảo sát trong khoảng v2 = 0 → 0.99, với k1 = 1, µ1 = 0.3, k2 = 20, µ2 = 10, so sánh với biên Hashin-Shtrikman biểu diễn trong hình 2.5b, 2.6b. Thông tin hình học bậc ba ζ2 được tính toán và sắp xếp trong Torquato [77], đưa ra trong bảng 2.1.

Bảng 2.1 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu dạng cầu không chồng lấn phân bố ngẫu nhiên và dạng chồng lấn phân bố ngẫu nhiên (không gian 3 chiều)

v2 Thông tin bậc ba ζ2 Cầu dạng không chồng lấn Cầu dạng chồng lấn

0.00 0.000 0.000

0.10 0.020 0.056

0.20 0.041 0.114

0.30 0.060 0.171

0.40 0.077 0.230

0.50 0.094 0.290

0.55 0.110 0.320

0.60 0.134 0.351

0.70 - 0.415

0.80 - 0.483

0.90 - 0.558

0.95 - 0.604

0.99 - 0.658

Nhận xét: Trên hình 2.5b, 2.7b cho thấy biên dưới (2.39) có xu hướng tiệm cận

với biên HS còn biên trên (2.22) khá cách xa nhau bởi vì mô đun k thành phần khá

chênh lệch giữa cốt (quả cầu) và nền. Hình 2.6b, 2.8b tuy vẫn có xu hướng tiệm

cận với biên dưới của HS nhưng biên (2.22) cũng gần với biên trên HS tại đầu mút v2 = 0.99.

(a)

(b)

Hình 2.5: Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn(KCL 3D). (a) Mẫu vật liệu dạng cầu cùng kích cỡ không chồng lấn phân bố ngẫu nhiên ; (b) Các đường biên so sánh , k1 = 1; (cid:22)1 = 0:3; k2 = 20; (cid:22)2 = 10; v2 = 0:1 → 0:6

(a)

(b)

Hình 2.6: Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn(CL 3D). (a) Mẫu vật liệu dạng cầu cùng kích cỡ chồng lấn phân bố ngẫu nhiên ; (b) Các đường biên so sánh , k1 = 1; (cid:22)1 = 0:3; k2 = 20; (cid:22)2 = 10; v2 = 0:1 → 0:99

Với mô hình hai chiều (d = 2) tương ứng với các loại vật liệu trụ tròn cùng

(a)

(b)

Hình 2.7: Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn (KCL 2D). (a) Mẫu vật liệu không chồng lấn phân bố ngẫu nhiên ; (b) Các đường biên so sánh , K1 = 1; (cid:22)1 = 0:3; K2 = 5; (cid:22)2 = 2:5; v2 = 0:1 → 0:7

(a)

(b)

Hình 2.8: Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn (CL 2D). (a) Mẫu vật liệu chồng lấn phân bố ngẫu nhiên ; (b) Các đường biên so sánh , K1 = 1; (cid:22)1 = 0:3; K2 = 5; (cid:22)2 = 2:5; v2 = 0:1 → 0:99

đường kính không chồng lấn (hình 2.7a) và chồng lấn (hình 2.8a), biên (2.22), (2.39) cho mô đun đàn hồi diện tích khảo sát trong khoảng v2 = 0 → 0.99, với K1 = 1, µ1 = 0.3, K2 = 5, µ2 = 2.5, so sánh với biên HS biểu diễn trong các hình 2.7b và 2.8b. Thông tin bậc ba ζ2 được đưa ra trong bảng 2.2 (Torquato [77]).

Bảng 2.2 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu dạng mặt cắt tròn phân bố

ngẫu nhiên (không gian 2 chiều)

v2 Thông tin bậc ba ζ2 Mặt cắt tròn dạng không chồng lấn Mặt cắt tròn dạng chồng lấn

0.00 0.000 0.000

0.10 0.033 0.062

0.20 0.064 0.123

0.30 0.095 0.186

0.40 0.124 0.249

0.50 0.152 0.312

0.60 0.179 0.377

0.70 0.205 0.444

0.80 - 0.514

0.90 - 0.590

0.95 - 0.635

0.99 - 0.687

2.4.3. Vật liệu 2 pha tuần hoàn dạng hình vuông và lục giác đều (trong

không gian 2 chiều)

Xem xét vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn có cùng kích cỡ sắp xếp tuần hoàn

theo dạng hình vuông (HV) và lục giác đều (LGD) (hình 2.9a, 2.10a). Đường biên đánh giá của mô hình được tính trong khoảng v2 = 0.1 ÷ 0.905 với K1 = 1, µ1 = 0.5, K2 = 10, µ2 = 5 so sánh với đường biên HS trong hình 2.9b, 2.10b.

Thông tin hình học bậc ba ζ2 của mô hình được tính toán trong Torquato [77]

và được trình bày trong bảng 2.3.

Bảng 2.3 Thông tin hình học bậc ba ζ2 đối với vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn

sắp xếp tuần hoàn hình vuông và lục giác đều

v2 Thông tin bậc ba ζ2 Sắp xếp dạng hình vuông Sắp xếp dạng hình lục giác đều

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70 0.000 3.389 x 10−5 6.117 x 10−4 3.540 x 10−3 1.306 x 10−2 3.833 x 10−2 9.965 x 10−2 0.2473

0.76 0.4314

0.78 0.5229

0.80 -

0.89 - 0.000 8.380 x 10−8 6.034 x 10−6 7.855 x 10−5 5.149 x 10−4 2.357 x 10−3 8.798 x 10−3 2.958 x 10−2 6.057 x 10−2 7.722 x 10−2 9.888 x 10−2 0.3409

0.90 - 0.4010

0.95 - 0.4364

Nhận xét: Trên hình 2.9b, 2.10b ta cũng nhận được kết quả biên dưới (2.39) có xu

hướng tiệm cận với biên dưới HS còn biên trên (2.22) cách xa nhau trong miền khảo sát. Trong cả hai trường hợp khi v2 chiếm tỷ trọng nhỏ (v2 = 0.1 ÷ 0.4), có thể thấy 2 biên (2.22),(2.39) trùng nhau nói lên ảnh hưởng của sự sắp đặt vị trí các hạt cốt tròn, khi v2 chiếm tỷ trọng lớn có sự tách biệt giữa 2 biên.

(a)

(b)

Hình 2.9: Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu tuần hoàn hình vuông (HV). (a) Cấu trúc của vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng hình vuông. (b) Đồ thị đường biên

(a)

(b)

Hình 2.10: Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu tuần hoàn hình lục giác đều (LGD). (a) Cấu trúc của vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng hình lục giác đều. (b) Đồ thị đường biên

2.4.4. Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha

Tiếp theo ta đến với mô hình quả cầu lồng nhau ba thành phần (hình 2.11a).

Đây là dạng vật liệu các quả cầu lồng nhau với các kích thước khác nhau nhưng

có cùng tỷ lệ thể tích các pha và điền đầy vùng không gian vật liệu khảo sát - đây

cũng được coi là trường hợp mở rộng của mô hình quả cầu lồng nhau hai pha HS.

α được xác định (Pham [52],[64]):

Thông tin hình học bậc ba của vật liệu Aβγ

1 = A12

1 = A13 = A31

1 = A22 1 = A33

A11

1 = A21 1 = A32 2 = −A21

2 =

2 = A22

2 = A32 d − 1 d

2 = A33 2 = 0, v2 1v3 (v1 + v2)

, A11

3 = A21

3 =

1 = A23 1 = 2 = A31 1 = A13 2 = A23 d − 1 v1v2 , A11 3 = (v1 + v2) d 3 = −d − 1

A12 , A13 (2.42) v1v3, d v1v2v3 (v1 + v2)

3 =

3 = A31 3 = −d − 1

3 = A32

3 =

2 = −A12 d − 1 d v2 2v3 (v1 + v2)

A22 , A23 v2v3, A33 v3(v1 + v2). d − 1 d d d − 1 d

Biên (2.22),(2.39) của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô cũng hội tụ tới giá trị chính

xác (hình 2.10b). Trong hình này biên Hashin - Shtrikman [28]; biên cũ Phạm Đức Chính [1] cũng được đưa ra để so sánh, trong khoảng v1 = 0.1 → 0.9, v2 = v3 = 1 (1 − v1) với k1 = 12, µ1 = 8, k2 = 1, µ2 = 0.3, k3 = 30, µ3 = 15 (quả cầu trong 2 cùng thuộc pha 3 và ngoài cùng là pha 1).

Ví dụ tiếp theo là trường hợp không gian 2 chiều (d = 2): mô hình vật liệu có

dạng hình tròn lồng nhau với 3 pha (hình tròn nhỏ của pha 3 bị bao phủ bởi vỏ

tròn từ pha 2 và tất cả được bao bởi pha 1) (hình 2.12a) với các kích thước khác

nhau được điền đầy khoảng trống nhưng tỷ lệ thể tích giữa các pha là như nhau.

Các kết quả tương ứng được so sánh và tính toán trong vùng khảo sát được đưa ra K1 = 6, µ1 = 4, K2 = 1, µ2 = 0.5, K3 = 15, µ3 = 12, v1 = 0.1 → 0.9.

Nhận xét: Hình 2.11b, 2.12b thể hiện kết quả tính chính xác với mô hình quả

cầu lồng nhau 3 pha. Tuy trong trường hợp quả cầu lồng nhau 2 pha thì biên PDC

1996 hội tụ nhưng trong trường hợp 3 pha thì không thể mặc dù biên của PDC

1996 cũng có xét đến thông tin hình học bậc ba của vật liệu. Ở đây ta có kết quả

trùng nhau giữa biên trên và biên dưới, một đóng góp mới của luận án khi so sánh

kết quả với những công bố trước đó.

(a)

(b)

1 2

Hình 2.11: Biên của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu quả cầu lồng nhau ba pha, k1 = 12; (cid:22)1 = 8; k2 = 1; (cid:22)2 = 0:3; k3 = 30; (cid:22)3 = 15; v1 = 0:1 → 0:9; v2 = v3 = (1 − v1). (a) Mẫu vật liệu quả cầu lồng nhau ba pha ; (b) So sánh giữa biên HS, biên cũ (PDC 1996), và biên mới (NCX 3D) hội tụ với giá trị chính xác của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô

(a)

(b)

1 2

Hình 2.12: Biên của mô đun đàn hồi diện tích vĩ mô vật liệu hình tròn lồng nhau ba pha, K1 = 6; (cid:22)1 = 4; K2 = (1 − v1). (a) Mẫu vật liệu hình tròn lồng nhau ba 1; (cid:22)2 = 0:5; K3 = 15; (cid:22)3 = 12; v1 = 0:1 → 0:9; v2 = v3 = pha ; (b) So sánh giữa biên HS, biên cũ (PDC 1996), và biên mới (NCX 2D) hội tụ với giá trị chính xác của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô

2.4.5. Mô hình vật liệu tựa đối xứng

Cuối cùng tác giả xem xét đến vật liệu dạng tựa đối xứng (TDX) trong không

gian 3 chiều (hình 2.13a) và không gian 2 chiều (hình 2.14a) đây là loại vật liệu

không có sự phân biệt rõ ràng giữa pha nền và pha cốt liệu (Pham [50], Torquato [77]). Đối với dạng vật liệu loại này chúng ta có: (α ̸= β ̸= γ ̸= α).

α = vαvβvγ(f1 − f3) , Aαα α = vαvβ[(vα − 1)f1 − vαf3] , Aββ

α = vα(1 − vα)[(1 − vα)f1 + vαf3] , α = vαvβ[(1 − vβ)f3 + vβf1]

Aβγ , Aαβ

(2.43)

, . (2.44) f1 + f3 = mà phụ thuộc vào hai thông số hình học f1, f3 có ràng buộc: 0 ≤ f1, f3 ≤ d − 1 d d − 1 d

Biên mô đun đàn hồi của vật liệu này được biểu diễn:

T DX ({kα}n

α, {µα}n

α, {vα}n

α) ≥ kef f ≥ K L

T DX ({kα}n

α, {µα}n

α, {vα}n

α) , (2.45)

K U

(

α, {µα}n

α, {vα}n

α, {Aβγ α

α, {µα}n

α, {vα}n

α, {Aβγ α

T DX = max 0≤f1≤ 2 3 T DX = min 0≤f1≤ 2 3

) ∈ (2.43), (2.44) K U trong đó   {kα}n K U A }n αβγ ( ) .  K L ∈ (2.43), (2.44) {kα}n K L A }n αβγ

(a)

(b)

1 2

Hình 2.13: Biên Hashin-Shtrikman (HS) và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu ba pha tựa đối xứng (TDX (1 − v1). (a) Mẫu vật 3D), k1 = 1; (cid:22)1 = 0:3; k2 = 12; (cid:22)2 = 8; k3 = 30; (cid:22)3 = 15; v1 = 0:1 → 0:9; v2 = v3 = liệu đối xứng; (b) Các đường biên so sánh

(2.46)

0.9, v2 = v3 = 1 2 Kết quả tính toán số cho biên này (trường hợp d = 3) trong khoảng v1 = 0.1 → (1−v1) với k1 = 1, µ1 = 0.3, k2 = 12, µ2 = 8, k3 = 30, µ3 = 15, được đưa ra trong hình 2.13b, nó nằm trong biên Hashin-Shtrikman và đại diện

cho các loại vật liệu tổ hợp đẳng hướng tựa đối xứng. Kết quả được tính toán và đưa ra trong bảng 2.4, với giá trị của f1 tương ứng khi (2.46) đạt tới giá trị Max và Min.

Bảng 2.4 Biên HS và biên cho tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (d = 3);

tương ứng khi (2.46) đạt tới giá trị Max và Min f max 1 và f min 1

T DX3D kL kU

kU SH

T DX3D 8.1666

v1 0.1 15.9397 15.2146 kL SH 7.7618 f max 1 0 f min 1 2/3

0.2 13.3069 12.1270 5.2193 4.9114 2/3 0

0.3 11.0335 9.4753 3.8304 3.5366 2/3 0

9.0507 7.2301 3.0183 2.7272 0.6391 0.4 0

0.5 7.3060 5.6505 2.4590 2.1938 0 2/3

0.6 5.7590 4.6712 1.9429 1.8159 0 2/3

0.7 4.3779 3.7264 1.5894 1.5341 0 2/3

0.8 3.1373 2.8038 1.3355 1.3159 0 2/3

0.9 2.0169 1.8965 1.1459 1.1419 0 2/3

1 2

Tương tự tác giả khảo sát mô đun đàn hồi diện tích vật liệu tựa đối xứng (d = 2) (1 − v1) với K1 = 1, µ1 = với các thông số vật liệu v1 = 0.1 → 0.9, v2 = v3 = 0.5, K2 = 6, µ2 = 4, K3 = 15, µ3 = 12, được đưa ra trong hình 2.14b. Kết quả cũng được tính toán và đưa ra trong bảng 2.5, với giá trị của f1 tương ứng khi (2.46) đạt tới giá trị Max và Min.

Nhận xét: Trong trường hợp này tuy đánh giá không cho được giá trị chính xác

nhưng các đường biên trên và biên dưới vẫn nằm trong đánh giá HS. Khoảng hở

giữa 2 biên trên, dưới thể hiện sự khác biệt rõ rệt tính chất vật liệu giữa pha 1 và

pha 3.

(a)

(b)

1 2

Hình 2.14: Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu ba pha tựa đối xứng (TDX 2D), K1 = 1; (cid:22)1 = (1 − v1). (a) Mẫu vật liệu đối xứng; (b) 0:5; K2 = 6; (cid:22)2 = 4; K3 = 15; (cid:22)3 = 12; v1 = 0:1 → 0:9; v2 = v3 = Các đường biên so sánh

Bảng 2.5 Biên HS và biên cho tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (d = 2);

SH K U

tương ứng khi đạt tới giá trị Max và Min. f max 1 và f min 1

T DX2D K L 7.8311

T DX2D K L SH 5.5632 5.8869

v1 K U 0.1 8.2597 f max 1 0 f min 1 1/2

0.2 7.0761 6.4414 4.3022 4.0315 1/2 0

0.3 6.0231 5.2271 3.3811 3.1176 1/2 0

0.4 5.0803 4.1931 2.7696 2.5105 0.1343 0.4367

0.5 4.2312 3.4866 2.2840 2.0778 0 1/2

0.6 3.4626 2.9452 1.8601 1.7539 0 1/2

0.7 2.7634 2.4340 1.5511 1.5023 0 1/2

0.8 2.1247 1.9430 1.3193 1.3013 0 1/2

0.9 1.5391 1.4663 1.1407 1.1369 0 1/2

2.5. Kết luận

Trên đây với đường lối biến phân tác giả đã trình bày cách xây dựng đánh giá trên và đánh giá dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô kef f của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý

năng lượng bù cực tiểu. Để thực hiện, việc đầu tiên ta đưa ra trường khả dĩ biến dạng εij và trường khả dĩ ứng suất σij thỏa mãn một số điều kiện ràng buộc (chứa đựng N − 1 tham số tự do để tối ưu) như phương trình tương thích, phương trình cân bằng...

Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để tối ưu hóa các phiếm hàm có

các biến tự do ràng buộc.

Có thể dễ dàng thấy rằng các trường khả dĩ mà được lựa chọn [công thức (2.4) và (2.25)] (chứa N − 1 tham số tự do) tổng quát hơn so với trường khả dĩ trong [1] [công thức (1.21) và (1.29)] mà đối với đánh giá cho kef f chỉ chứa 1 tham số tự do µ0 bởi vậy đánh giá mới là tốt hơn khi N ≥ 3, như đã được so sánh cụ thể trong trường hợp quả cầu lồng nhau 3 pha.

Mô hình bài toán được xây dựng trong trường hợp không gian d chiều cho nên

kết quả được sử dụng trong các trường hợp mô hình không gian khác nhau, các đánh giá chứa đựng ngoài thông tin về tính chất (kα, µα), tỷ lệ thể tích (vα) của các thành phần, còn chứa các thông tin bậc 3 về hình học pha của vật liệu Aβγ α . Thông tin hình học bậc ba của vật liệu được đưa ra nhằm tính đến ảnh hưởng bởi

hình học cụ thể của vật liệu giúp cho kết quả đánh giá tốt hơn.

Các kết quả đã áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể như mô hình quả

cầu lồng nhau nhiều thành phần, quả cầu phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn và

chồng lấn, quả cầu phân bố dạng tuần hoàn và vật liệu tựa đối xứng nhiều thành

phần trong không gian 2 chiều và 3 chiều. Các tính toán tương tự hầu như chưa

được thực hiện trong luận án Tiến sỹ của Phạm Đức Chính [1] khi chưa có được

các bảng giá trị các tham số hình học bậc 3 của các vật liệu cụ thể trừ một số

trường hợp đơn giản nhất như quả cầu lồng nhau 2 pha.

Để cho rõ ràng, trong tính toán so sánh, tác giả chọn tính chất các vật liệu khác

nhau nhiều. Khi khác biệt nhỏ đi các đánh giá tiến sát tới nhau cho được giá trị

gần đúng tính chất vĩ mô của vật liệu.

Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được tác giả công bố trong các công

trình khoa học 1., 2., 4. và 5.

Chương 3 XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI TRƯỢT VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN

Vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần bao gồm các thành phần là vật liệu đẳng hướng có các hệ số đàn hồi kα, µα. Đối với hệ số đàn hồi thể tích vĩ mô kef f tác giả đã xây dựng các đánh giá một cách chi tiết trong chương 2 của luận án.

Trong chương này tác giả nghiên cứu chi tiết việc thiết lập các phương trình để

diễn giải và xây dựng đánh giá trên và đánh giá dưới cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô µef f phức tạp hơn. Cách thực hiện cũng giống như trong chương 2 là tiếp cận theo đường hướng năng lượng giúp chúng ta xác định được biên trên và biên

dưới của mô đun đàn hồi trượt vĩ mô. Pham [1],[49] mở rộng bất đẳng thức của

Hashin-Shtrikman [28] nhằm hợp nhất một số hệ số phụ thuộc vào trường biến

thiên giúp cho các đánh giá tính chất vật liệu sát hơn. Đó là các tham số thông tin

hình học bậc ba của vật liệu mô tả cấu trúc vi mô của vật liệu tổ hợp ([6],[40],[41-

43],[49],[64] và [77]). Các kết quả ở đây là phát triển tiếp theo của các nghiên cứu

trong (Phạm Đức Chính [1], Pham [49]).

3.1. Xây dựng biên trên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu

đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng

lượng cực tiểu

Ta xuất phát từ nguyên lý năng lượng cực tiểu, với hệ số đàn hồi hiệu quả Cef f = T(kef f , µef f ) được xác định qua phiếm hàm năng lượng cực tiểu có dạng như (2.1).

Để xây dựng đánh giá trên cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô µef f từ (2.1), ta lựa

chọn trường khả dĩ có dạng:

N∑

[ ]

ij +

,ik ˜ε0

kj + φα

,jk ˜ε0

ki) + bαψα

,ijkl ˜ε0 kl

α=1

(φα , i, j = 1, ..., d ; (3.1) aα εij = ˜ε0 1 2

ij (˜ε0

ij = ˜ε0

ii = 0) là biến dạng lệch cho trước, φα là hàm thế điều hòa, trong đó ε0 ψα là hàm thế song điều hòa được định nghĩa trong (1.23), (1.24), aα, bα là các hệ số tự do cần tìm chịu ràng buộc [trường khả dĩ chịu ràng buộc ⟨"⟩ = "0 trong (2.1)].

N∑

Rõ ràng trường khả dĩ (3.1) thỏa mãn (2.3) khi trường u có dạng:

ikxk +

,k ˜ε0

ki + bαψα

,ikl ˜ε0 kl

α=1 Từ điều kiện tương thích:

] , i, j = 1, ..., d ; (3.2) ui = ˜ε0 [ aαφα

N∑

,jk ˜ε0

ki + bαψα

,ijkl ˜ε0 kl

ij+

{ [ ] ] + = + ˜ε0 εij = ˜ε0 ij + 1 2 1 2 ∂uj ∂xi

,ik ˜ε0

kj + bαψα

,ijkl ˜ε0 kl

α=1

∂ui ∂xj N∑ [ aα(φα α=1 } ] + [ aα(φα

N∑

] [

,ik ˜ε0

kj + φα

,jk ˜ε0

ki) + bαψα

,ijkl ˜ε0 kl

ij +

α=1

(φα , =˜ε0 aα 1 2

N∑

và điều kiện trung bình: ⟨"⟩ = ⟨"0⟩ suy ra : ⟨ ]⟩ [

ij +

,ik ˜ε0

kj + φα

,jk ˜ε0

ki) + bαψα

,ijkl ˜ε0 kl

α=1

(φα , ⟨εij⟩ = ˜ε0 aα 1 2

N∑

vậy dẫn đến: ⟨ ]⟩ [

,ik ˜ε0

kj + φα

,jk ˜ε0

ki) + bαψα

,ijkl ˜ε0 kl

α=1

(φα = 0 aα 1 2

N∑

∫ ∫ ∫

,ikdx +

,jkdx +

,ijkldx = 0

α=1

φα φα ψα aα aα bα ˜ε0 kl ˜ε0 kj ˜ε0 ki ⇐⇒1 2 1 2

α=1 N∑

N∑

V N∑

N∑

∫ ∫

,ikdx +

,jkdx

α=1

β=1

V(cid:11)

φβ φβ aα aα ˜ε0 kj ˜ε0 ki ⇐⇒1 2 1 2

N∑

∫

,ijkldx = 0

α=1

β=1

V(cid:11)

N∑

+ ψβ bα ˜ε0 kl

α=1

β=1

δαβδik + δαβδjk+ aα ˜ε0 kj aα ˜ε0 ki ⇐⇒ 1 2 vα d 1 2 vα d

N∑

klvα

α,β=1

+ bα ˜ε0 (δijδkl + δikδjl + δilδjk) = 0 δαβ d(d + 2)

N∑

( )

α=1

+ = 0 ⇐⇒ ˜ε0 ij vαaα d 2vαbα d(d + 2)

kk = 0).

(cần lưu ý điều kiện ˜ε0

N∑

Từ đó ta có: ) (

α=1

+ = 0 . vαaα d 2vαbα d(d + 2)

N∑

Từ đây ta chọn các ràng buộc:

α=1 N∑

vαaα = 0 ,

α=1

(3.3) vαbα = 0 ,

với vα là tỉ lệ thể tích pha α. Đó chính là các ràng buộc mà aα, bα phải thỏa mãn. Trong các tính toán ở đây, giả thiết đẳng hướng sau đây sẽ được sử dụng bên

cạnh các biểu thức trong (2.6) ([1],[16],[49] và [80]): ∫

,ijkldx =

V(cid:11) ∫

ψβ (δijδkl + δilδjk + δikδjl) , vαδαβ d(d + 2)

,ijmnψγ ψβ

,klpqdx =

V(cid:11)

[ 8Bβγ α − 8(d + 3)Aβγ α ] ∆ijmn∆klpq vαδαβδαγ d2(d + 2)2 + d(d2 − 1)(d + 2)(d + 4)(d + 6)

α /(d + 4)

klpq +

α (d3 + 3d + 6) − 2Bβγ Aβγ α (d + 2) d(d2 − 1)(d + 2)(d + 4)(d + 6)

− 6Aβγ , + ∆ijmn ¯∆ijmn klpq

klp

klq + δiq∆jmn kpq + δip∆jmn lq + δjq∆mn , lp

klpq + δmn ˆ∆ij

klpq + δim ˆ∆jn

klpq ,

klpq + δjm ˆ∆in

klpq + δin ˆ∆jm

lpq + δil∆jmn klpq = δik∆jmn pq + δjp∆mn lpq = δjl∆mn pq = δmpδnq + δmqδnp , klpq = δij ˆ∆mn klpq = ∆mnk

lpq + δmk∆nl

klpq + δjn ˆ∆im pq + δnkδmlδpq .

pq + δmkδnlδpq + δnk∆ml

Bβγ α d(d2 − 1)(d + 6) ∆ijmn = δijδmn + δimδjn + δinδjm , ∆ijmn ∆jmn ∆mn ¯∆ijmn ˆ∆mn (3.4)

Bắt đầu khai triển biểu thức (3.1):

N∑

] ∫ ∫

α=1

V(cid:11) (

" : C : "dx = dx Wε = εijεkl δijδkl) [ kαδijδkl + µα(δikδjl + δilδjk − 2 d

V N∑

[ )] ∫

α=1

= dx εiiεkkkα + µα εiiεkk εilεil + εjlεjl − 2 d

V(cid:11) ∫

N∑

[ ) ]

α=1

V(cid:11)

= dx . (3.5) εiiεkk µα + 2µαεijεij ( kα − 2 d

Biến đổi:

N∑

[ ]

ii +

,ik ˜ε0

ki + φα

,ik ˜ε0

ki) + bαψα

,iikl ˜ε0 kl

α=1

N∑

(φα εii = ˜ε0 aα 1 2

,ik ˜ε0

ki + bαφα

,kl ˜ε0 kl

,ik ˜ε0

ki .

α=1

) = εii = ( aαφα (aα + bα) φα

Lưu ý tính chất:

∇4ψα(x) = ∇2φα(x) = δαβ , x ∈ Vβ .

Khi đó (3.5) có dạng:

N∑

∫ ) N∑

kldx+

,ij ˜ε0 ij

,kl ˜ε0

γ=1

α=1

β=1

V(cid:11)

µα (aβ + bβ)φβ (aγ + bγ)φγ ( kα − 2 d

N∑

[ ∫

kj + φβ

ki) + bβψβ

ij +

,ik ˜ε0

,jk ˜ε0

,ijkl ˜ε0

β=1

V(cid:11)

α=1 {

(φβ +2 µα aβ  ]   .   ˜ε0 1 2

N∑

]} [

ki) + bγψγ

kj + φγ

,ijkl ˜ε0

,jk ˜ε0

,ik ˜ε0

γ=1

dx . (φγ . aγ ˜ε0 ij + 1 2

Lưu ý trong chương 2 khi xây dựng mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp đẳng hướng đã đưa ra định nghĩa về tham số thông tin hình học bậc ba của vật liệu Aβγ α và trong chương này ta cần thêm tham số Bβγ α mà mức độ phức tạp hơn hẳn khi nó liên quan đến hàm thế song điều hòa (Phạm Đức Chính [1]):

∫ ∫

α =

ijklψγα ψβα

ijkldx , ψβα

ijkl = ψβ

,ijkl

,ijkldx ;

V(cid:11)

Bβγ ψβ (3.6) − 1 vα

Tách các thành phần ra để tính:

N∑

kldx

,ij ˜ε0 ij

,kl ˜ε0

α=1

γ=1

β=1

V(cid:11)

( ∫ ) N∑ • µα (aβ+bβ)φβ (aγ+bγ)φγ kα − 2 d

N∑

( ) [

ij ˜ε0 kl

α,β,γ=1

= µα (aβ + bβ) (aγ + bγ) ˜ε0 δijδkl + kα − 2 d vαδαβδαγ d2 ]

N∑

+ δijδkl) Aβγ α d2 + d − 2 (δikδjl + δilδjk − 2 d )

ij ˜ε0 ˜ε0

ij ,

α,β,γ=1

= 2 µα (aβ + bβ) (aγ + bγ) ( kα − 2 d Aβγ α d2 + d − 2

N∑

[ ∫

ij +

kj + φβ

ki) + bβψβ

,ik ˜ε0

,jk ˜ε0

,ijkl ˜ε0

α=1

β=1

V(cid:11)

• 2 (φβ µα aβ   ˜ε0  ]   . 1 2

N∑

{ ]} [

mj + φγ

mi) + bγψγ

,im ˜ε0

,jm ˜ε0

,ijmn ˜ε0

γ=1

(φγ dx . aγ ˜ε0 ij + 1 2

N∑

∫ ∫

ij ˜ε0

ijdx + 2

kl ˜ε0

mndx+

,ijmn ˜ε0

,ijklψγ

α=1

α,β,γ=1

V(cid:11)

= 2 µα ˜ε0 µαbβbγψβ

N∑

V(cid:11) N∑

] [ ∫

mj + φγ

mi) + bγψγ

,im ˜ε0

,jm ˜ε0

,ijmn ˜ε0

γ=1

α=1

(φγ dx+ + 4 aγ µα ˜ε0 ij 1 2

V(cid:11) N∑

mj + φγ

kj + φβ

,jm ˜ε0 mi

,jk ˜ε0

α,β,γ=1

V(cid:11) ∫

∫ ( ) ) ( dx+ + 2 µαaβaγ φγ ,im ˜ε0 φβ ,ik ˜ε0 1 4

N∑

) (

kj + φβ

mndx

,jk ˜ε0

α,β,γ=1

V(cid:11)

+ 2 µαaβbγ ψγ ,ijmn ˜ε0 φβ ,ik ˜ε0

Tiếp tục tính riêng các số hạng này:

N∑

∫

ij ˜ε0

ijdx = 2

ij ˜ε0

ij = 2µV ˜ε0

ij ˜ε0 ij

α=1

V(cid:11)

• • 2 µα ˜ε0 vαµα ˜ε0

N∑

trong đó:

α=1

(3.7) µV = vαµα ,

là trung bình công số học Voigt.

N∑

[ ] ∫

mj + φγ

mi) + bγψγ

,im ˜ε0

,jm ˜ε0

,ijmn ˜ε0

α=1

γ=1

V(cid:11)

• • 4 (φγ dx aγ µα ˜ε0 ij 1 2

N∑

∫ ∫

mj ˜ε0

ijdx + 2

mi ˜ε0

ijdx

α,γ=1

V(cid:11)

= 2 µαaγ µαaγ φγ ,im ˜ε0 φγ ,jm ˜ε0

N∑

∫

ij ˜ε0

mndx

α,γ=1

V(cid:11)

N∑

+ 4 µαbγ ψγ ,ijmn ˜ε0

ij ˜ε0 ij

ij ˜ε0

ij + 4

α,γ=1

α,γ=1 N∑

N∑

=4 (δijδmn + δimδjn + δinδjm) ˜ε0 δαβ ˜ε0 µαbγ µαaγ vα d vαδαβ d(d + 2)

ij ˜ε0

ij +

ij ˜ε0

ij .

α=1

= aαµαvα ˜ε0 bαµαvα ˜ε0 4 d 8 d(d + 2)

N∑

kj + φβ

mj + φγ

,jm ˜ε0 mi

,jk ˜ε0

α,β,γ=1 V(cid:11) ∫

N∑

∫ ( ) ( ) dx µαaβaγ φγ ,im ˜ε0 φβ ,ik ˜ε0 • • 1 2

mi +

kj ˜ε0

mj + φβ

kj ˜ε0

mi + φβ

,jm ˜ε0

,im ˜ε0

,jm ˜ε0

,jkφγ

,ikφγ

α,β,γ=1

V(cid:11)

ki ˜ε0 ]

= µαaβaγ [ ,ikφγ φβ 1 2

ki ˜ε0 mj

,im ˜ε0

,jkφγ

+φβ dx

N∑

[ ∫

kj ˜ε0

midx =

,jm ˜ε0

,ikφγ

α,β,γ=1

V(cid:11)

µαaβaγφβ µαaβaγ δikδjm+ • • • 1 2 1 2

vαδαβδαγ d2 )] (

kj ˜ε0 ˜ε0 mi

N∑

+ δikδjm Aβγ α d2 + d − 2 δijδkm + δimδkj − 2 d  

ij ˜ε0

ij .

α=1

α,β,γ=1

 =  ˜ε0 µαaαaα µαaβaγ Aβγ α 1 2 vα d2 + d − 2 d(d2 + d − 2)

N∑

[ ∫

kj ˜ε0

mjdx =

,im ˜ε0

,ikφγ

α,β,γ=1

V(cid:11)

µαaβaγφβ µαaβaγ δikδim+ • • • 1 2 1 2

vαδαβδαγ d2 )] (

kj ˜ε0 ˜ε0 mj

N∑

+ δikδim Aβγ α d2 + d − 2  δiiδkm + δimδki − 2 d 

ij ˜ε0

ij .

α=1

α,β,γ=1

 =  ˜ε0 µαaαaα µαaβaγ 1 2 vα d2 + Aβγ α d

N∑

[ ∫

ki ˜ε0

midx =

,jm ˜ε0

,jkφγ

α,β,γ=1

V(cid:11)

µαaβaγφβ µαaβaγ δjkδjm+ • • • 1 2 1 2

vαδαβδαγ d2 )] (

ki ˜ε0 ˜ε0 mi

N∑

+ δjkδjm Aβγ α d2 + d − 2  δjjδkm + δjmδkj − 2 d 

ij ˜ε0

ij .

α=1

α,β,γ=1

 =  ˜ε0 µαaαaα µαaβaγ 1 2 vα d2 + Aβγ α d

N∑

[ ∫

ki ˜ε0

mjdx =

,im ˜ε0

,jkφγ

α,β,γ=1

V(cid:11)

µαaβaγφβ µαaβaγ δjkδim+ • • • 1 2 1 2

vαδαβδαγ d2 )] (

ki ˜ε0 ˜ε0 mj

N∑

+ δjkδim Aβγ α d2 + d − 2 δjiδkm + δjmδki − 2 d  

ij ˜ε0

ij .

α=1

α,β,γ=1

  ˜ε0 = µαaαaα µαaβaγ Aβγ α 1 2 vα d2 + d − 2 d(d2 + d − 2)

N∑

kj + φβ

,jk ˜ε0

α,β,γ=1

V(cid:11)

vậy biểu thức: ∫ ( ) ( ) dx µαaβaγ φγ ,im ˜ε0 φβ ,ik ˜ε0

mj + φγ ,jm ˜ε0 mi 

N∑

• • 1 2 

ij ˜ε0

ij .

α=1

α,β,γ=1

2 =  ˜ε0 µαaαaα µαaβaγ Aβγ α vα d2 + d2 + 2d − 4 d(d2 + d − 2)

N∑

∫ ) (

kj + φβ

mndx

,jk ˜ε0

α,β,γ=1 V(cid:11) ∫

N∑

• • 2 µαaβbγ ψγ ,ijmn ˜ε0 φβ ,ik ˜ε0

kj ˜ε0

mndx .

,ijmnφβ

,ik ˜ε0

α,β,γ=1

V(cid:11)

= 4 µαaβbγψγ

Lưu ý chỉ số chạy lặp lại trong các số hạng giống nhau nên 2 số hạng này có giá

trị như nhau.

N∑

] {[

α,β,γ=1

− = 4 µαaβbγ δik∆ijmn+ Aβγ α vαδαβδαγ d2(d + 2) 4 (d + 4)(d + 2)(d − 1)d }

α (δii∆jmnk + δji∆imnk + δmi∆ijnk + δni∆ijmk)

kj ˜ε0 ˜ε0

mn ,

+ Aβγ 1 (d + 4)(d + 2)(d − 1)

kj ˜ε0

jn ˜ε0

kk ˜ε0

mm + ˜ε0

jn = 2˜ε0

mn . mn .

vì sự phức tạp của các số hạng nên ta có thể tách riêng ra để tính:

kj ˜ε0 jm ˜ε0 kj ˜ε0 kj ˜ε0 kj ˜ε0 kj ˜ε0

mn = (δijδmn + δimδjn + δinδjm) δik ˜ε0 jm + ˜ε0 ij ˜ε0 ij . mn = 2d˜ε0 kj ˜ε0 mn = d (δjmδnk + δjnδmk + δikδmn) ˜ε0 kj ˜ε0 mn = δij (δimδnk + δinδmk + δikδmn) ˜ε0 mn = 2˜ε0 mn = 2˜ε0 kj ˜ε0 mn = δmi (δijδnk + δinδjk + δikδjn) ˜ε0 mn = 2˜ε0 kj ˜ε0 mn = δni (δijδmk + δimδjk + δikδjm) ˜ε0

mn ˜ε0 mn ˜ε0 mn ˜ε0 mn ˜ε0

mn . mn .

• • • δik∆ijmn ˜ε0 = ˜ε0 • • • δii∆jmnk ˜ε0 • • • δij∆imnk ˜ε0 • • • δmi∆ijnk ˜ε0 • • • δni∆ijmk ˜ε0

N∑

Vậy biểu thức: ∫

kj ˜ε0

mndx

,ijmnφβ

,ik ˜ε0

α,β,γ=1

4 µαaβbγψγ

V(cid:11) N∑

] {[

α,β,γ=1

− 2 + = 4 µαaβbγ Aβγ α vαδαβδαγ d2(d + 2) 4 (d + 4)(d + 2)(d − 1)d }

ij ˜ε0 ˜ε0 ij

N∑

+ Aβγ α 2(d + 3) (d + 4)(d + 2)(d − 1)  

ij ˜ε0 ij

α=1

α,β,γ=1

N∑

 +  ˜ε0 = 8 µαaαbα µαaβbγAβγ α vα d2(d + 2) d2 + 3d − 4 (d + 4)(d + 2)(d − 1)d  

ij ˜ε0

ij .

α=1

α,β,γ=1

 = 8 +  ˜ε0 µαaβbγ µαaαbα vα d2(d + 2) Aβγ α d(d + 2)

N∑

∫

kl ˜ε0

mndx

,ijmn ˜ε0

,ijklψγ

α,β,γ=1

V(cid:11)

• • 2 µαbβbγψβ

N∑

α,β,γ=1

α /(d + 4)

kl ˜ε0 ˜ε0

mn .

ijmn +

{[ ] 8Bβγ α − 8(d + 3)Aβγ α = 2 µαbβbγ ∆ijkl∆ijmn+ (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6) } − 6Aβγ + ∆ijkl ¯∆ijkl ijmn Bβγ α (d2 − 1)d(d + 6) vαδαβδαγ d2(d + 2)2 + α (d3 + 3d + 6) − 2Bβγ Aβγ α (d + 2) (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6)

Tiếp tục tính từng số hạng như trên ta có:

kl ˜ε0

mn = (δijδkl + δikδjl + δilδjk) (δijδmn + δimδjn + δinδjm) ˜ε0

kl ˜ε0

• • • ∆ijkl∆ijmn ˜ε0

kl ˜ε0

= (δiiδklδmn + δklδmn + δklδmn + δklδmn + δmkδnl + δknδlm + δklδmn + +δnkδml + δlnδkm) ˜ε0

mn ˜ε0

mn .

= 4˜ε0

( )

jmn + δij∆jkl

imn + δim∆jkl δij∆kl

ijn + δin∆jkl mn + δjm∆kl

jn + δjn∆kl jm )

ijmn ˜ε0 ( δjj∆kl ( δij∆kl

• • • ∆ijkl δii∆jkl ) ( = [ δii

kl ˜ε0 mn = mn + δjm∆kl jn + δjj∆kl

in + δjn∆kl ij

kl ˜ε0 ˜ε0 mn ijm ) in + δjn∆kl + im )] kl ˜ε0 ˜ε0

jm + δjj∆kl

im + δjm∆kl ij

+ δim + δij ( δij∆kl + δin

= {δii [δjj (δkmδln + δknδlm) + δjm (δjkδln + δknδjl) + δjn (δjkδlm + δkmδjl)] +

kl ˜ε0

+ δij [δij (δkmδln + δknδlm) + δjm (δikδln + δinδkl) + δjn (δikδlm + δimδkl)]

mn ˜ε0

mn .

+ δim [δij (δjkδln + δjlδkn) + δjj (δikδln + δilδkn) + δjn (δikδjl + δilδjk)] + δin [δij (δjkδml + δjlδkm) + δjj (δikδml + δilδkm) + δjm (δikδjl + δilδjk)]} ˜ε0 = (2d + 4)(d + 3)˜ε0

(

kl ˜ε0

mn =

ijmn + δik ˆ∆jl

ijmn

ijmn ˜ε0

ijmn + δil ˆ∆jk

ijmn + δjk ˆ∆il

ijmn + δjl ˆ∆ik )

• • • ¯∆ijkl δij ˆ∆kl

kl ˜ε0 ˜ε0

mn .

ijmn

+δkl ˆ∆ij

ijmn ˜ε0

kl ˜ε0

mn = δij

jmn + δki∆lj

mn + δkiδljδmn + δli∆kj

mn + +δliδkjδmn) ˜ε0

kl ˜ε0

( ∆kli • • • • δij ˆ∆kl

mn + δkm∆li

jn + δkn∆li

jm + δki∆lj

mn + δkiδljδmn + δli∆kj

mn + +δliδkjδmn) ˜ε0

kl ˜ε0

( δkj∆li = δij

(

mn . kl ˜ε0

mn + δijδljδmn + δli∆jj

mn = δik

mn +

mn ˜ε0 ijmn ˜ε0

jmn + δij∆lj

∆jli = δij [δkj (δmlδni + δmiδnl) + δkm (δjlδni + δijδln) + δkn (δjlδmi + δijδml) +δki (δmlδnj + δmjδln) + δkiδljδmn + δli (δmkδnj + δmjδkn) + δliδkjδmn] ˜ε0 = (2d + 8)˜ε0 • • • • δik ˆ∆jl

kl ˜ε0

+δliδjjδmn) ˜ε0

mn + δjm∆li

jn + δjn∆li

jm + δij∆lj

mn + δijδljδmn + δli∆jj

mn + +δliδjjδmn) ˜ε0

kl ˜ε0

mn = δik ˆ∆jl

ijmn ˜ε0

kl ˜ε0

mn = δjl ˆ∆ik

ijmn ˜ε0

kl ˜ε0

mn = δjk ˆ∆il

ijmn ˜ε0

( δjj∆li = δik

mn . kl ˜ε0 mn . kl ˜ε0

mn = 0 .

mn ˜ε0 ijmn ˜ε0 mn ˜ε0 ijmn ˜ε0

= δik [δjj (δmlδni + δmiδnl) + δjm (δjlδni + δijδln) + δjn (δjlδmi + δijδml) +δij (δmlδnj + δmjδln) + δijδljδmn + δli (δmjδnj + δmjδnj) + δliδjjδmn] ˜ε0 = (2d + 6)˜ε0 • • • • δil ˆ∆jk = (2d + 6)˜ε0 • • • • δkl ˆ∆ij

Vậy giá trị:

kl ˜ε0

mn = [(2d + 8) + 4 (2d + 6)] ˜ε0

mn ˜ε0

mn = (10d + 32) ˜ε0

mn ˜ε0

mn .

ijmn ˜ε0

••• ¯∆ijkl

∫ Biểu thức: N∑

kl ˜ε0

mndx

,ijmn ˜ε0

,ijklψγ

α,β,γ=1

2 µαbβbγψβ

V(cid:11) N∑

α,β,γ=1

{[ ] 8Bβγ α − 8(d + 3)Aβγ α = 2 4+ µαbβbγ vαδαβδαγ d2(d + 2)2 + (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6)

α /(d + 4)

− 6Aβγ (2d + 4)(d + 3) + + Bβγ α (d2 − 1)d(d + 6) }

kl ˜ε0 ˜ε0

mn .

α (d3 + 3d + 6) − 2Bβγ Aβγ α (d + 2) (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6)

+ (10d + 32)

Biểu thức năng lượng được viết lại:

N∑

( ) ∫ ∫ ∫

α=1

V(cid:11)

α=1 )

V N∑

" : C : "dx = Wε = µα εiiεkkdx + 2 µαεijεijdx kα − 2 d

ij ˜ε0 ˜ε0

ij + 2µV ˜ε0

ij ˜ε0

ij+

α,β,γ=1 N∑

N∑

= 2 µα (aβ + bβ) (aγ + bγ) ( kα − 2 d Aβγ α d2 + d − 2 [

ij ˜ε0

ij +

α=1

α=1 N∑

N∑

+ 2 aαµαvα ˜ε0 bαµαvα ˜ε0 µαaαaα 4 d vα d2 + 8 d(d + 2)  α=1

ij ˜ε0

ij + 2

α=1

α,β,γ=1 

N∑

+  ˜ε0 µαbαbα µαaβaγ Aβγ α vα d2(d + 2)2 + d2 + 2d − 4 d(d2 + d − 2) 

ij ˜ε0

ij+

α,β,γ=1

 + 8 +  ˜ε0 µαaαbα µαaβbγ Aβγ α d(d + 2)

α=1 N∑

vα d2(d + 2) [

8Bβγ α − 8(d + 3)Aβγ α + 2 + 4 µαbβbγ (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6)

α /(d + 4)

− 6Aβγ + (2d + 4)(d + 3)+

]

ij ˜ε0 ˜ε0

ij .

α,β,γ=1 Bβγ α (d2 − 1)d(d + 6) α (d3 + 3d + 6) − 2Bβγ Aβγ α (d + 2) (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6)

+ (10d + 32) (3.8)

Để thuận lợi cho việc tính toán về sau ta tách biểu thức năng lượng dưới dạng:

N∑

[

α = µV +

α=1 (

α + (III)Bβγ ] [

= (I) + (II)Aβγ + µαvα aα + 2˜ε0 2 d 4bα d(d + 2)

N∑

α,β,γ=1

) Wε ij ˜ε0 ij ( )2 − + + + 4 aα + 1 d2 2bα d + 2 µαaβaγ 2d µαaβbγ d(d + 2) Aβγ α ) ( d2 + 2d − 4 d2 + d − 2 

N∑

µα (aβ + bβ) (aγ + bγ) kα − 2 d − 2 +    + d2 + d − 2 µαbβbγ d(d + 2)(d − 1)

α,β,γ=1

+ 2 . (3.9) Bβγ α µαbβbγ (d + 2)(d − 1)

Để tìm cực trị phiếm hàm năng lượng (ở đây là tìm cực tiểu) ta dùng phương

pháp nhân tử Lagrange là một phương pháp tối ưu hàm số có ràng buộc:

N∑

α=1

− λ (3.10) L(aα, bα, λ, κ) = aαvα − κ bαvα , 1 2 2˜ε0 Wε ij ˜ε0 ij

với λ, κ là các nhân tử Lagrange đưa vào để tìm cực trị.

N∑

[ { ] ( )2

α=1

+ + L(aα, bα, λ, κ) = µV + µαvα aα + aα + 1 2 4bα d(d + 2) 1 d2 2bα d + 2

N∑

2 d ) [ (

α,β,γ=1 (

+ + 4 − 2 + Aβγ α µαaβaγ 2d µαaβbγ d(d + 2) µαbβbγ d(d + 2)(d − 1) ) d2 + 2d − 4 d2 + d − 2 

N∑

α,β,γ=1

N∑

µα (aβ + bβ) (aγ + bγ) kα − 2 d − + Bβγ α    + 2 d2 + d − 2 µαbβbγ (d + 2)(d − 1)   

α=1

− λ vαaα − κ vαbα .

Để tìm cực trị, đạo hàm riêng theo các biến aα, bα, λ, κ các bước tiến hành như

α = 1, . . . , N (3.11) = fα(a, b) − vαλ = 0; ∂L ∂aα

N∑

α = 1, . . . , N (3.12) = gα(a, b) − vακ = 0; ∂L ∂bα

α=1

N∑

α = 1, . . . , N = (3.13) vαaα = 0; ∂L ∂λ

α=1 Từ (3.11) nhân với µ−1 α rồi lấy tổng theo α từ 1 → N kết hợp với điều kiện ràng

α = 1, . . . , N = (3.14) vαbα = 0; ∂L ∂κ

buộc (3.13):

R λ = 0 =⇒ λ = µRF (a, b) , α rồi lấy tổng theo α từ 1 → N kết hợp với điều

F (a, b) − µ−1 (3.15)

tương tự từ (3.12) nhân với µ−1 kiện ràng buộc (3.14):

R κ = 0 =⇒ κ = µRG(a, b) ,

G(a, b) − µ−1 (3.16)

N∑

trong đó µR là giá trị trung bình cộng điều hòa Reuss. Có dạng: ( )−1

α=1

. (3.17) µR = vα µα

N∑

)] Đi vào các bước tính cụ thể: [ ( [ ( )

+ + + = µδvδ aδ + Aδγ α 1 d 1 d2 2bδ d + 2 µαaγ 2d ∂L ∂aδ ) d2 + 2d − 4 d2 + d − 2 

µα (aγ + bγ)

α,γ=1 ( kα − 2 d d2 + d − 2

+    − λvδ = 0 2µαbγ d(d + 2)

N∑

( )] [ [(

α,γ=1

+ + aδ + µδvδ Aδγ α 1 d 1 d2 2bδ d + 2 1 kα + (d + 2)(d − 1) )

+ µα aγ+ 1 2d (d − 2)(d + 4) (d + 2)(d − 1) ) ] (

+ (3.18) kα + 2µα bγ − λvδ = 0 1 (d + 2)(d − 1) d − 2 d(d + 2)(d − 1)

[ ( )]

+ + =µδvδ aδ + 2 d2(d + 2) 2bδ d + 2 ∂L ∂bδ ( ) 2 d(d + 2)  

N∑

α,γ=1

N∑

µα (aγ + bγ) − + Aδγ α       + 2µαaγ d(d + 2) 2µαbγ d(d + 2)(d − 1) kα − 2 d d2 + d − 2

α,γ=1

+ − κvδ = 0 Bδγ α 2µαbγ (d + 2)(d − 1)

] [

+ + aδ + 2µδvδ 1 d(d + 2) 2 d2(d + 2)2 bδ ) [( 1 d2(d + 2) N∑

α,γ=1 (

+ kα + µα aγ Aδγ α 1 d(d + 2)(d − 1) 2(d − 2) d(d + 2)(d − 1) ) ]

+ kα + µα bγ 4 d(d + 2)(d − 1)

1 d(d + 2)(d − 1) N∑

α,γ=1

+ 2 (3.19) − κvδ = 0 . Bδγ α µαbγ (d + 2)(d − 1)

rồi lấy tổng theo δ từ 1 → N ta được: Từ (3.18) và (3.19) nhân với µ−1 δ

N∑

{[ ]

α,δγ=1

+ kα + µα Aδγ α aγµ−1 δ 1 d 1 (d + 2)(d − 1) (d − 2)(d + 4) 2d(d + 2)(d − 1)

N∑

[ ] }

R = 0

δ=1

+ + kα + bδvδ − λµ−1 bγµ−1 δ 1 (d + 2)(d − 1) 2(d − 2) d(d + 2)(d − 1) 2 d2(d + 2)

N∑

[(  

δ=1

α,δγ=1

+ λ = µR bδvδ + kα + Aδγ α  1 d 1 (d + 2)(d − 1) 2 d2(d + 2) ) ( ) ]}

δ +

+ µα kα + µα aγµ−1 bγµ−1 δ (d − 2)(d + 4) 2d(d + 2)(d − 1) 1 (d + 2)(d − 1) 2(d − 2) d(d + 2)(d − 1)

(3.20)

N∑

( )] [ [

δ=1

α,δ,γ=1

+ + aδvδ + bδvδ µαaγ Aδγ α 2vδ d(d + 2) 2 d2(d + 2) 2 d + 2 2 d(d + 2) ]

N∑

− µαbγ + µ−1 δ + 2 d(d + 2)(d − 1) (dkα − 2µα)(aγ + bγ) d(d + 2)(d − 1)

R = 0

α,γ=1

− κµ−1 + 2 Bδγ α µαbγµ−1 δ (d + 2)(d − 1)

N∑

) [(  

δ +

kα + µα κ = µR aγµ−1 Aδγ α  1 (d + 2)(d − 1) ( 2(d − 2) d(d + 2)(d − 1) ) ]

N∑

α,δ,γ=1 1 (d + 2)(d − 1) N∑

+ + kα − µα bγµ−1 δ 4) d(d + 2)(d − 1) }

α,γ=1

δ=1

+ + . +2 (3.21) aδvδ Bδγ α µαbγµ−1 δ (d + 2)(d − 1) 2 d(d + 2) 2 d2(d + 2)

Thay thế λ and κ từ các phương trình (3.20),(3.21) vào (3.18) và (3.19), ta được:

N∑

  ( )

β=1

N∑

 + + (µδ − µR) + bβvβµR aδ + 2vδ d2(d + 2) vδµδ d2 2bδ d + 2 vδ d  µδbδ −  {[ ]

β=1

α,γ=1 [

 − Aδγ kα + µα aγ Aβγ α 1 (d + 2)(d − 1) (d − 2)(d + 4) 2d(d + 2)(d − 1) vδµR µβ ] }

= 0 . + (3.22) kα + µα bγ 1 (d + 2)(d − 1) 2(d − 2) 2d(d + 2)(d − 1)

N∑

 

β=1

N∑

 + µδaδ − aβvβµR (µδ − µR) + 4vδµδbδ d2(d + 2)2 + 2vδ d(d + 2) 2vδ d2(d + 2)   {[ ]

β=1

α,γ=1 [

 − Aδγ kα + µα aγ Aβγ α 2(d − 2)) d(d + 2)(d − 1) vδµR µβ 1 (d + 2)(d − 1) } ]

N∑

α,γ=1

β=1

+ kα − µα bγ  4 d(d + 2)(d − 1)  1 (d + 2)(d − 1) N∑ −  = 0 . +2 Bδγ (3.23) Bβγ α µαbγ (d + 2)(d − 1) vδµR µβ

Viết dưới dạng tổng quát:

, (3.24) vµ + Aµ · a = 0

với các véc tơ vµ, a và ma trận Aµ nằm trong miền không gian 2N chiều:

(3.25) {

a = {a1, · · · , aN , b1, · · · , bN }T , vµ = (µ1 − µR), · · · , (µN − µR) , vN d v1 d }T

, , · · · , , (3.26) 2vN (µN − µR) d(d + 2) } {

2v1(µ1 − µR) d(d + 2) α, β = 1, · · · , 2N ; , (3.27) Aµ = Aµ αβ

N∑

trong đó (các hệ số α, β = 1, ..., N ; bα = N + α; bβ = N + β) ( ) [

αβ =

γ=1

δ=1

Aµ + − vαµR Aαβ γ µ−1 δ Aδβ kγ (d + 2)(d − 1) vα d2 µαδαβ + ]

N∑

+ , µγ(d − 2)(d + 4) 2d(d + 2)(d − 1) ) [(

γ=1

δ=1

4vα . = Aαβ γ µ−1 δ Aδβ Aµ bα bβ

− vαµR )

. + d2(d + 2)2 µαδαβ + ( kγ (d + 2)(d − 1) ] − ( ) 4µγ d(d + 2)(d − 1) N∑

δ=1

+ , (3.28) − vαµR Bαβ γ µ−1 δ Bδβ 2µγ (d + 2)(d − 1)

α bβ = Abαβ = ( N∑

N∑

A (µαδαβ − µRvβ) + 2vα d2(d + 2) ] ) [

γ=1

δ=1

+ . + − vαµR Aαβ γ µ−1 δ Aδβ kγ (d + 2)(d − 1) µγ2(d − 2) d(d + 2)(d − 1)

Từ phương trình (3.24), tìm được lời giải cho aα, bα:

(3.29) · vµ . a = −A−1 µ

Biểu thức năng lượng (3.9) có thể viết dưới dạng tổng quát:

(3.30) cW = µV + G · a + a · G · a .

Đạo hàm theo a:

G . (3.31) G + 2G · a = 0 =⇒ G · a = −1 2

Vậy

G · a , (3.32) cW = µV + 1 2

N∑

hay [ ]

α=1

+ (3.33) = µV + 2˜ε0 aα d 2bα d(d + 2) Wε ij ˜ε0 ij

Biểu thức năng lượng (2.1) kết hợp với (3.24) và (3.33) được viết gọn lại như

N∑

sau: [ ( )] ∫

ij ˜ε0 ij

" : C : "dx = 2˜ε0 Wε = µV + vαµα aα +

µ · a) 2˜ε0

µ · A−1

ij ˜ε0

ij =

ij ˜ε0

ij ,

2bα d + 2 ) 2˜ε0 (3.34) 1 d α=1 ( µV − v′ = (µV + v′ · vµ

trong đó: { }T

µ =

v′ , · · · , , , · · · , . (3.35) v1µ1 d vN µN d 2v1µ1 d(d + 2) 2vN µN d(d + 2)

Từ phương trình (2.1),(3.34) cuối cùng tác giả xây dựng được biên trên mô đun

đàn hồi trượt vĩ mô cho vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần:

AB({kα, µα, vα}, {Aβγ

α , Bβγ α

µef f ≤ M U (3.36) · vµ . }) = µV − v′ µ · A−1 µ

3.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu

đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng

lượng bù cực tiểu

N∑

Để xây dựng giá biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần dựa vào nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (2.23), với (cid:27)0 là ứng suất cho trước và trường ứng suất (cid:27) phải thỏa mãn phương trình cân bằng (2.24). Để tìm được đánh giá dưới tốt nhất µef f trong (2.23) ta lựa chọn trường khả dĩ:

ij +

kj + φα

,jk ˜σ0 ki

) − σij = ˜σ0 [ aα ( ,ik ˜σ0 φα

α=1 −(aα + bα)δijφα

,kl˜σ0

kl + bαψα

,ijkl˜σ0 kl

− I α˜σ0 ij ] , i, j = 1, ..., d ; (3.37)

ii = 0) là ứng suất lệch cho trước; aα, bα các hệ số tự do

ij = ˜σ0 ij

(˜σ0

trong đó σ0 chịu sự ràng buộc ⟨(cid:27)⟩ = (cid:27)0, I α là hàm chỉ số hình học pha α:

  1 , x ∈ Vα I α(x) = . (3.38)  0 , x /∈ Vα

N∑

Trước tiên kiểm tra trường khả dĩ thỏa mãn điều kiện cân bằng:

) ( ]

,ijk ˜σ0 φα

kj + φα

,jjk ˜σ0 ki

,jkl˜σ0

kl + bαψα

,ijjkl˜σ0 kl

α=1 N∑

− (aα + bα)δijφα [ aα σij,j =

,ijk ˜σ0 kj

,ikl˜σ0

kl + bαφα

,ikl˜σ0 kl

α=1

] = 0 = − (aα + bα)φα [ aαφα

(Lưu ý tính chất: ∇4ψα(x) = ∇2φα(x) = δαβ , x ∈ Vβ ). Kiểm tra điều kiện trung bình: ⟨σ⟩ = σ0

N∑

kj + φα

,jk ˜σ0 ki

kl + bαψα

,ijkl˜σ0 kl

α=1

,kl˜σ0 

∫ ) ] dx − (aα + bα)δijφα [ aα − I α˜σ0 ij ( ,ik ˜σ0 φα

N∑

 ∫ ∫ ∫

,jkdx − ˜σ0 φα ij

,ikdx + ˜σ0 φα ki

α,β=1

V(cid:12)

  I αdx = aα  ˜σ0 kj

V(cid:12) ∫

N∑

∫

,kldx +

,ijkldx = 0

α,β=1

V(cid:12)

− φα ψα (aα + bα) δij ˜σ0 kl bα˜σ0 kl

N∑

( )

ijvβδαβ

α,β=1

N∑

− =⇒ aα δαβδjk − ˜σ0 ˜σ0 kj δαβδik + ˜σ0 ki vβ d vβ d

α,β=1

α,β=1 )

δαβδkl + (δijδkl + δikδjl + δilδjk) = 0 (aα + bα) δij ˜σ0 kl bα˜σ0 kl vβ d vαδαβ d(d + 2)

N∑

] [(

α=1

⇐⇒ − 1 vαaα + ˜σ0 ij = 0 . 2 d 2vαbα d(d + 2)

N∑

Ta lại nhận được điều kiện ràng buộc (3.3).

α=1 N∑

vαaα = 0 ,

α=1

vαbα = 0 .

N∑

Bắt đầu triển khai biểu thức (2.23): ∫ ]−1

α=1

dx δijδkl) Wσ = σijσkl [ kαδijδkl + µα(δikδjl + δilδjk − 2 d

V(cid:11) ∫

N∑

)] [

α=1

dx = σiiσkkkα + µα σiiσkk ( σilσil + σjlσjl − 2 d

V(cid:11) ∫

N∑

( [ ) ]

α=1

V(cid:11)

= dx . σiiσkk µα + 2µασijσij kα − 2 d

( )

− 1 σijσij = σiiσkk+ Wσ = (cid:27) : C−1 : (cid:27) = σiiσkk+ σijσij 1 d2kα 1 2µα 1 d2kα 2dµα 1 2µα

N∑

σkkδij trong đó : σij = σij − 1 d ( ) ∫ ∫

α=1

V(cid:11)

− 1 = (3.39) σiiσkkdx + σijσijdx , 1 d2kα 2dµα 1 2µα

N∑

tính các số hạng:

) ]

ki + φα

,ik ˜σ0 ki

,kl˜σ0

kl + bαψα

,iikl˜σ0 kl

α=1 N∑

σii = [ aα − (aα + bα)δiiφα − I α˜σ0 ii ( ,ik ˜σ0 φα

ki + φα

,ik ˜σ0 ki

,kl˜σ0

kl + bαφα

,kl˜σ0 kl

α=1 N∑

) ] = [ aα − d(aα + bα)φα ( ,ik ˜σ0 φα

ij ˜σ0

ij .

α=1

= [(2 − d)aα + (1 − d)bα] ˜σ0

N∑

ij ˜σ0 ˜σ0

klφβ

,ijφγ

,kl [(2 − d)aβ + (1 − d)bβ] [(2 − d)aγ +

α=1

V(cid:11)

( ∫   Công thức (3.39) được viết lại: ) N∑ − 1  1 d2kα 2dµα

N∑

[ ( )

ij +

kj + φβ

,jk ˜σ0

β,γ=1   ˜σ0

α=1

β=1 {

− aβ +(1 − d)bγ]} dx + − I β ˜σ0 ij φβ ,ik ˜σ0 1 2µα

N∑

kl + bβψβ

mj + φγ

,jm˜σ0 mi

,kl˜σ0

,ijkl˜σ0

γ=1

]} ( − . −(aβ + bβ)δijφβ [ aγ ˜σ0 ij + φγ ,im˜σ0

,mn˜σ0

mn + bγψβ

,ijmn˜σ0 mn

]} ) dx − (aγ + bγ)δijφγ − I γ ˜σ0 ij

Để đơn giản ta tính riêng từng biểu thức:

N∑

ij ˜σ0 ˜σ0

klφβ

,ijφγ

,kl [(2 − d)aβ + (1 − d)bβ] .

α=1

β,γ=1

V(cid:11)

( ∫   ) N∑ • − 1  1 d2kα 2dµα

N∑

. [(2 − d)aγ + (1 − d)bγ]} dx ) (

α,β,γ=1

− 1 = 2dµα [(2 − d)aβ + (1 − d)bβ] [(2 − d)aγ + (1 − d)bγ] . )] ( 1 d2kα [

ij ˜σ0 ˜σ0 kl

N∑

. δijδkl Aβγ α d2 + d − 2 δikδjl + δilδjk − 2 d δijδkl + ) (

α ˜σ0

ij ˜σ0

ij .

vαδαβδαγ d2 − 1 Aβγ = 2 [(2 − d)aβ + (1 − d)bβ] [(2 − d)aγ + (1 − d)bγ] d2 + d − 2 2dµα

N∑

α,β,γ=1 N∑

1 d2kα ∫

ij ˜σ0 ˜σ0

ijdx =

ij ˜σ0 ˜σ0

ij .

α=1

V(cid:11)

• 1 2µα vα 2µα

N∑

∫ ( )

kj + φβ

kl +

,jk ˜σ0

α=1

β=1

V(cid:11)

,kl˜σ0 ]

• [ aβ − (aβ + bβ)δijφβ ˜σ0 ij − I β ˜σ0 ij φβ ,ik ˜σ0 1 2µα

,ijkl˜σ0

dx + bβψβ

N∑

∫ [ ( ) ]

ij ˜σ0 ˜σ0

kjφβ

ij ˜σ0

kiφβ

ij ˜σ0 ij

ij ˜σ0 kl

,ik + ˜σ0

,jk

,ijkl˜σ0

α,β=1

V(cid:11)

I β − ˜σ0 dx = aβ + bβψβ 1 2µα

N∑

) [ (

ij ˜σ0

kj +

ij ˜σ0 ki

ij ˜σ0 ij

α,β=1

ij ˜σ0 kl

+ = δαβδik ˜σ0 δαβδjk ˜σ0 − vαδαβ ˜σ0 aβ vα d vα d 1 2µα ]

N∑

+ (δijδkl + δikδjl + δilδjk) vαbβδαβ ˜σ0 d(d + 2) [ ]

ij ˜σ0 ˜σ0

ij .

α=1

= + (2 − d)aα 2d bα d(d + 2) vα µα

N∑

∫   [ ( )

kj + φβ

kl +

,jk ˜σ0

,kl˜σ0

α=1

V(cid:11)

β=1 {

• aβ − (aβ + bβ)δijφβ − I β ˜σ0 ij φβ ,ik ˜σ0  1 2µα

N∑

mj + φγ

,jm˜σ0 mi

,ijkl˜σ0

γ=1

]} ) − . + bβψβ [ aγ − I γ ˜σ0 ij ( φγ ,im˜σ0

,mn˜σ0

mn + bγψγ

,ijmn˜σ0 mn

]} dx −(aγ + bγ)δijφγ

N∑

kj + φβ

mj + φγ

,jm˜σ0 mi

,jk ˜σ0

α=1

β,γ=1

V(cid:11)

∫ ( ) ( ) •• dx aβaγ − I β ˜σ0 ij − I γ ˜σ0 ij φγ ,im˜σ0 φβ ,ik ˜σ0 1 2µα

N∑

∫ (

kj ˜σ0

mj + φβ

kj ˜σ0 mi

kj ˜σ0

ij +

,im˜σ0

,jm˜σ0

,ikφγ φβ

,ikφγ

α=1

β,γ=1

= I γ ˜σ0 aβaγ − φβ ,ik 1 2µα

mj + φβ

ki˜σ0 mi

V(cid:11) ki˜σ0 ,im˜σ0

,jm˜σ0

,jkφγ

ki˜σ0 ij − φγ

ij ˜σ0 ij

,jm

− + φβ I γ ˜σ0 − φβ ,jk ) dx − φγ ,im I β ˜σ0 ij ˜σ0 I β ˜σ0 ij ˜σ0 mj mi + I βI γ ˜σ0

N∑

{[

α,β,γ=1

= δikδim + (δiiδkm + δimδki− vαδαβδαγ d2 Aβγ α d2 + d − 2 aβaγ 2µα )] [

ik ˜σ0 im

kj ˜σ0

ij + )]

δikδim δαβδαγδik ˜σ0 δjkδim + −2 d vαδαβδαγ d2 2˜σ0 ( }

ik ˜σ0

mj + vαδαβδαγ ˜σ0

ij ˜σ0 ij

+ 2˜σ0 δjkδim Aβγ α d2 + d − 2 − 4vα d δjkδim + δjmδki − 2 d

N∑

( )

ij ˜σ0 ˜σ0 ij

ij ˜σ0 ˜σ0

ij +

α=1

− = 2 Aβγ α aβaγ µα(d2 + d − 2) a2 αvα d2µα

N∑

α,β,γ=1 N∑

d + 1 − 2 d ) (

ij ˜σ0 ˜σ0

ij+

ij ˜σ0 ˜σ0

ij +

α,β,γ=1

α=1 N∑

ij ˜σ0 ˜σ0 ij

− 2 Aβγ α 1 − 2 d aβaγ µα(d2 + d − 2) a2 αvα dµα

α=1

N∑

1 2  +  a2 αvα µα ( ) ( )

ij ˜σ0 ij.

α=1

α,β,γ=1

 + +  ˜σ0 = Aβγ α 2 d2 − 2 d 1 2 d + 2 − 4 d a2 αvα µα aβaγ µα(d2 + d − 2)

N∑

∫ ) ] (

kj + φβ

,mn˜σ0 mn

,jk ˜σ0

α=1

V(cid:11)

β,γ=1 [

N∑

dx • • − 2 (aγ + bγ)δijφγ [ aβ − I β ˜σ0 ij φβ ,ik ˜σ0 1 2µα

α,β,γ=1

= − 2 δikδmn + (δimδkn + δinδkm − vαδαβδαγ d2 Aβγ α d2 + d − 2 aβ(aγ + bγ) µα )]

kj ˜σ0 mn

N∑

δikδmn δij ˜σ0 − 2 d

ij ˜σ0 ˜σ0

ij .

α,β,γ=1

= − 4 Aβγ α aβ(aγ + bγ) µα(d2 + d − 2)

N∑

∫

klφγ

,mn˜σ0

mndx

,kl˜σ0

α=1

β,γ=1

V(cid:11)

• • (aβ + bβ)(aγ + bγ)dφβ 1 2µα

N∑

[

α,β,γ=1

= δklδmn + (δkmδln + δknδlm − vαδαβδαγ d2 Aβγ α d2 + d − 2 (aβ + bβ)(aγ + bγ)d 2µα )]

kl˜σ0 ˜σ0 mn

δklδmn

− 2 d N∑

ij ˜σ0 ˜σ0

ij .

α,β,γ=1

= Aβγ α (aβ + bβ)(aγ + bγ)d µα(d2 + d − 2)

N∑

∫ ( )

kj + φβ

mndx

,ijmn˜σ0

,jk ˜σ0

α=1

β,γ=1

• • 2 aβ bγψγ − I β ˜σ0 ij φβ ,ik ˜σ0 1 2µα

V(cid:11) {[

N∑

]

α,β,γ=1

− =2 δik∆ijmn Aβγ α vαδαβδαγ d2(d + 2) 4 (d + 4)(d + 2)(d − 1)d aβbγ µα

α (δii∆jmnk + δij∆imnk + δim∆ijnk +

N∑

Aβγ + 1 (d + 4)(d + 2)(d − 1)

kj ˜σ0 mn

α,β,γ=1

N∑

− (δijδkl + δikδjl + δilδjk) aβbγ µα + δin∆ijmk)} ˜σ0  vαδαβδαγ d(d + 2) 

ij ˜σ0 ij

ij ˜σ0 ˜σ0 ij

α=1

α,β,γ=1 )

N∑

 − = +  ˜σ0 Aβγ α 2vαaαbα µαd2(d + 2) 2aβbγ µαd(d + 2) vαaαbα µαd(d + 2)   (

ij ˜σ0

ij .

α=1

α,β,γ=1

 − 1 +  ˜σ0 = Aβγ α 2 d vαaαbα µαd(d + 2) 2aβbγ µαd(d + 2)

N∑

∫

klbγψγ

mndx

,ijmn˜σ0

,kl˜σ0

α=1

V(cid:11)

• • − 2 (aβ + bβ)δijφβ 1 2µα

β,γ=1 {[

N∑

]

α,β,γ=1

− = − δkl∆ijmn+ Aβγ α vαδαβδαγ d2(d + 2) 4 (d + 4)(d + 2)(d − 1)d (aβ + bβ)bγ µα

α (δik∆jmnl + δjk∆imnl + δmk∆ijnl +

Aβγ + 1 (d + 4)(d + 2)(d − 1)

kl˜σ0 mn

N∑

+ δnk∆ijml)} δij ˜σ0

α,β,γ=1

= − . Aβγ α 2(aβ + bβ)bγ µα(d + 2)(d − 1)

N∑

∫

klbγψγ

mndx

,ijmn˜σ0

,ijkl˜σ0

α=1

β,γ=1

• • bβψβ 1 2µα

V(cid:11) {[

N∑

]

α,β,γ=1

8Bβγ α − 8(d + 3)Aβγ α = ∆ijkl∆ijmn+ (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6) bβbγ 2µα

ijmn+

− ∆ijkl vαδαβδαγ d2(d + 2)2 + 6Aβγ α (d + 4)(d2 − 1)d(d + 6) }

kl˜σ0 ˜σ0

mn .

+ ¯∆ijkl ijmn + Bβγ α α (d3 + 3d + 6) − 2Bβγ Aβγ α (d + 2) (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6)

Tách riêng các thành phần để tính:

kl˜σ0

mn = (δijδkl + δikδjl + δilδjk) (δijδmn + δimδjn + δinδjm)

• • • ∆ijkl∆ijmn˜σ0

ij ˜σ0 ij . • • • ∆ijkl

= 4˜σ0 ) (

kl˜σ0

kl˜σ0 ˜σ0 mn

ijmn˜σ0

jmn + δij∆jkl

imn + δim∆jkl

ijn + δin∆jkl

ijm

δii∆jkl

mn = ij ˜σ0 ij . (

= (2d2 + 10d + 12)˜σ0

kl˜σ0

mn =

ijmn + δik ˆ∆jl

ijmn + δjl ˆ∆ik

ijmn

ijmn + δil ˆ∆jk

ijmn + δjk ˆ∆il

δij ˆ∆kl • • • ¯∆ijkl ijmn˜σ0 )

kl˜σ0 ˜σ0

mn = (10d + 32)˜σ0

ij ˜σ0

ij .

ijmn

+δkl ˆ∆ij

Vậy:

N∑

{ [ ∫

klbγψγ

mndx =

,ijkl˜σ0

α=1

β,γ=1

α,β,γ=1

V(cid:11)

,ijmn˜σ0 (

• • 4 bβψβ vαδαβδαγ d2(d + 2)2 + 1 2µα 1 2µα )

] (2d2 + 10d + 12) Bβγ α − Aβγ α 6 d + 4 8Bβγ α − (d + 3)Aβγ α + + d(d2 − 1)(d + 6) + }

ij ˜σ0 ˜σ0

ij .

+ d(d + 2)(d2 − 1)(d + 4)(d + 6) α (d2 + 3d + 6) − 2Bβγ Aβγ α (d + 2) d(d + 2)(d2 − 1)(d + 4)(d + 6)

Sau khi đã tính toán xong các thành phần, biểu thức năng lượng được viết lại:

N∑

( ) ∫ ∫ ∫

α=1

V(cid:11)

− 1 (cid:27) : C−1 : (cid:27)dx = Wσ = σiiσkkdx+ σijσijdx 1 d2kα 2dµα 1 2µα

N∑

[

α=1

= + + + (2 − d)aα d 2bα d(d + 2) 1 2 (2 − d)aαbα d2(d + 2) vα µα + ) (

N∑

] +   aβaγ

ij ˜σ0 ˜σ0 ij

α,β,γ=1

+ + Aβγ α 2b2 α d2(d + 2) (2 − d)2a2 α 2d2 d + 2 − 4 d µα(d2 + d − 2) − 4aβ(aγ + bγ) µα(d2 + d − 2) 

− − + + 4aβbγ µαd(d + 2)

− − + d(aβ + bβ)(aγ + bγ) µα(d2 + d − 2) bβbγ6(d2 + 5d + 6) µαd(d + 4)(d2 − 1)(d + 6) bβbγ16(d + 3) µαd(d + 2)(d2 − 1)(d + 4)(d + 6) 2 µ(d + 2)(d − 1)

+ + bβbγ(10d + 32)(d2 + 3d + 6) µα2d(d + 2)(d2 − 1)(d + 4)(d + 6) ) ( }

ij ˜σ0 ˜σ0 ij

− 1 + 2 [(2 − d)aβ + (1 − d)bβ] [(2 − d)aγ + (1 − d)bγ] d2 + d − 2 2dµα { 1 d2kα N∑

α bβbγ

α,β,γ=1

+ Bβγ + 16 µαd(d + 2)(d2 − 1)(d + 4)(d + 6) d2 + 5d + 6 µαd(d2 − 1)d + 6) }

ij ˜σ0 ˜σ0 ij

− 10d + 32 µαd(d2 − 1)(d + 4)(d + 6)

N∑

[

α=1

N∑

= + + + + + 2bα d(d + 2) (2 − d)aαbα d2(d + 2) vα µα (2 − d)aα d ] 1 2 { (2 − d)2a2 α 2d2 [

ij ˜σ0 ˜σ0

α,β,γ=1

ij + ]

+ + aβaγ 2b2 α d2(d + 2) Aβγ α [ ]

+ + + + aβbγ 4(d − 2) kαd2(d + 2) 2(2 − d)2 kαd2(d − 1)(d + 2) 4(d − 2) µαd(d − 1)(d + 2) [ ]}

ij ˜σ0 ˜σ0

ij+

N∑

− +bβbγ d2 + 2d − 8 µαd(d − 1)(d + 2) 2(1 − d)2 kαd2(d + 2)(d − 1) 2 µαd(d − 1)(d + 2)

ij ˜σ0 ˜σ0

ij ,

α,β,γ=1

+ Bβγ α bβbγ µα(d + 2)(d − 1)

hay:

ij ˜σ0 ij

≤ Wσ ˜σ0 1 2µef f ˜σ0

⇐⇒ ( µef f )−1 ≤ 2Wσ = a · Aa · a + b · Ab · b + a · Aab · b + Ba · a + Bb · b + C

N∑

[ ]

αβ =

γ=1

Aa + , δαβ + Aαβ γ vα(2 − d)2 µαd2 2(d − 2)(d + 4) d(d + 2)(d − 1)µγ

N∑

αβ =

γ=1

N∑

4(2 − d)2 d2(d + 2)(d − 1)kγ [ ] 4vα − Ab Aαβ γ µαd2(d + 2)2 δαβ + 4(1 − d)2 d2(d + 2)(d − 1)kγ 4 d(d + 2)(d − 1)µγ

γ=1

+ , Bαβ γ 2 (d + 2)(d − 1)µγ

N∑

[ ]

αβ =

γ=1

Aab , + δαβ + Aαβ γ 4(2 − d)2 d2(d + 2)(d − 1)kγ 2(d − 2)(d + 4) d(d + 2)(d − 1)µγ

α = 2

Ba ,

α =

Bb , 4vα(2 − d) µαd2(d + 2) 2 − d d 4 d(d + 2)

vα µα vα µα N∑

α=1

C = = µ−1 R , vα µα

các hệ số α, β = 1, ..., N .

Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm hàm tối ưu có điều kiện ràng

buộc như ở phần trước.

= 2Aa · a + Aab · b + Ba − λv = 0 ; (3.40) ∂L ∂a

N∑

= 2Ab · b + Aab · a + Bb − κv = 0 ; (3.41) ∂L ∂b

α=1

N∑

= α = 1, . . . , N (3.42) vαaα = 0 ; ∂L ∂λ

α=1

= α = 1, . . . , N (3.43) vαbα = 0 ; ∂L ∂κ

Từ (3.40) và (3.41) nhân với µα rồi lấy tổng theo α từ 1 → N kết hợp với điều

kiện ràng buộc (3.42) và (3.43) ta được:

(3.44) 2a · Aa · (cid:22) + b · Aab · (cid:22) + Ba(cid:22) − λv · (cid:22) = 0 =⇒ λ = (µV )−1F ;

(3.45) 2b · Ab · (cid:22) + a · Aab · (cid:22) + Bb · (cid:22) − κv · (cid:22) = 0 =⇒ κ = (µV )−1G ;

Thay λ, κ vào (3.40) và (3.41) ta được:

( ) 2a · Aa · (cid:22) + b · Aab · (cid:22) + Ba(cid:22) = 0 ; (3.46) 2Aa · a + Aab · b + Ba − (µV )−1 ·

) ( 2b · Ab · (cid:22) + a · Aab · (cid:22) + Bb · (cid:22) = 0 ; (3.47) 2Ab ·b+Aab ·a+Bb −(µV )−1 ·

biến đổi công thức:

( ) )

· Aa · Aab 2a · + b · · Ba = 0 ; (3.48) Aa − (cid:22) µV + Ba − (cid:22) µV ( Aab − (cid:22) µV

( ) )

· Ab · Aab 2b · + a · · Bb = 0 ; (3.49) ( Aab − (cid:22) µV Ab − (cid:22) µV + Bb − (cid:22) µV

Từ đây viết biểu thức dưới dạng tổng quát:

(3.50) vµ + Aµ · ba = 0 .

Trong (3.50) đưa ra các véc tơ vµ, ba và ma trận Aµ trong không gian 2N chiều.

{

V ),

V ), · · · ,

2v1(µ−1 1 − µ−1 V ) − µ−1 , − µ−1 vµ = (µ−1 1 d(d + 2) (2 − d)v1 d (µ−1 N }T (2 − d)vN d − µ−1 V ) , · · · , 2vN (µ−1 N d(d + 2)

}

, b1, · · · , bN }T , α, β = 1, · · · , 2N ; (3.51) ba = {a1, · · · , aN ; { Aµ Aµ = αβ

N∑

[trong (3.51) α, β = 1, · · · , N ; bα = N + α; bβ = N + β] ( ) [

αβ =

γ=1

δ=1

α δαβ + ]

Aµ vαµ−1 µδAδβ γ Aαβ γ 4(2 − d)2k−1 γ d2(d + 2)(d − 1) (d − 2)2 d2 − vα µV

+ ,

N∑

) ( µ−1 γ [(

bα bβ =

δ=1

γ=1 )

N∑

Aµ µδAδβ γ Aαβ γ 4(d − 1)k−1 γ d2(d + 2) − vα µV ) ] (

δ=1 )

− + ,(3.52) µδBδβ γ Bαβ γ 2µ−1 γ (d + 2)(d − 1) 2(d − 2)(d + 4) d(d + 2)(d − 1) 4vαµ−1 α δαβ d2(d + 2)2 + 4µ−1 γ d(d + 2)(d − 1) − vα µV

V vβ

bαβ = (

Aµ

α bβ = ¯Aµ N∑

N∑

] ( α δαβ − µ−1 µ−1 ) [

γ=1

δ=1

+ + . Aαβ γ µδAδβ γ 4(d − 2)k−1 γ d2(d + 2) 4(d − 2)µ−1 γ d(d + 2)(d − 1) (2 − d)2vα d2(d + 2) − vα µV

Từ biểu thức tổng quát:

ba = −A−1 (3.53) · vµ .

Quay lại biểu thức năng lượng:

R + R · ba + ba · S · ba ,

cW = µ−1 (3.54)

đạo hàm theo ba:

R , (3.55) R + 2S · ba = 0 ⇐⇒ S · ba = −1 2

lắp vào biểu thức năng lượng

µ · A−1

R +

cW = µ−1 − v′ (3.56) · vµ , R · ba = µ−1 R 1 2

trong đó: { }

, · · · , , , · · · , . (3.57) v′ µ = (2 − d)v1µ−1 1 d (2 − d)vN µ−1 N d 2v1µ−1 1 d(d + 2) 2vN µ−1 N d(d + 2)

Từ biểu thức năng lượng gốc:

ij ˜σ0

ij =

ij ˜σ0 ij

cW ˜σ0 Wσ = (cid:27)0 : (Cef f )−1 : (cid:27)0 = 1 2 1 2µef f ˜σ0

⇐⇒ cW = 1 µef f ,

kết hợp với (3.56):

µ · A−1

− v′ · vµ , ≤ µ−1 R 1 µef f

cuối cùng có được kết quả đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô cho vật

liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần:

α , Bβγ α

) } (3.58) ( {kα, µα, vα}, {Aβγ · vµ)−1 . µef f ≥ M L AB − v′ µ · A−1 µ = (µ−1 R

Các kết quả trên được công bố trong các bài báo khoa học 1. và 3.

3.3. Trường hợp đánh giá dưới mô đun đàn hồi trượt diện

tích

Trong trường hợp xây dựng đánh giá dưới mô đun đàn hồi trượt diện tích

(d = 2), một số công thức đã xây dựng ở trên được thu gọn lại do một số thành

N∑

phần của biểu thức đã tự triệt tiêu. Cụ thể trường khả dĩ tĩnh học (3.37) có dạng:

,ijkl˜σ0 kl

,kl˜σ0 kl

ij +

α=1

] [ , i, j = 1, 2 ; (3.59) bαψα − bαδijφα σij = ˜σ0

Trong (3.51), (3.52) các véc tơ vµ, ba và ma trận Aµ trong không gian N chiều (thay vì 2N ): { }T

· · · , , vµ = v1(µ−1 − µ−1 V ) 1 4 vN (µ−1 − µ−1 V ) N 4

{ }

N∑

, (3.60) ba = {b1, · · · , bN }T , Aµ Aµ = αβ ) α, β = 1, · · · , N ; ) ( [(

αβ =

γ=1

δ=1

N∑

Aµ + δαβ + µδAδβ γ vα 16µα 1 4kγ − 1 2µγ − vα µV Aαβ γ ( )]

δ=1

+ . Bαβ γ µδBδβ γ 1 2µγ − vα µV

Trong quá trình tác giả lập trình cho bài toán trong trường hợp tổng quát với

không gian d chiều (d = 2 hoặc d = 3), có một vấn đề xuất hiện là khi nghịch đảo ma trận Aµ (kích thước N xN ) sẽ trở nên suy biến vì định thức bằng 0. Tuy nhiên việc sử dụng hàm pinv với khái niệm "ma trận nghịch đảo" trong MATLAB đã

giúp cho tác giả giải quyết được vấn đề này và xây dựng được chương trình tính

toán có tính tổng quát trong các trường hợp cụ thể.

Kết quả này đã được công bố trong báo cáo khoa học 5.

3.4. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể

Với những công thức xác định biên trên và biên dưới mô đun đàn hồi trượt đã

xây dựng ở trên, ta có thể áp dụng cho các mô hình vật liệu cụ thể có so sánh với

những kết quả đã công bố trước đây.

3.4.1. Mô hình vật liệu tựa đối xứng

α , Bβγ

Trong trường hợp vật liệu tổ hợp đối xứng không có sự khác biệt giữa pha nền

và pha cốt liệu (xem Pham [50]) trong không gian 3 chiều (hình 3.1a) và không gian 2 chiều (hình 3.2a), thông tin hình học bậc ba của vật liệu Aβγ α có dạng đặc biệt (Pham [50-51]). (α ̸= β ̸= γ ̸= α)

α = vα(1 − vα)[(1 − vα)f1 + vαf3] , α = vαvβ[(1 − vβ)f3 + vβf1] , α = vα(1 − vα)[(1 − vα)g1 + vαg3] ,

Aαβ

α = vαvβvγ(f1 − f3) , Aαα Aβγ α = vαvβ[(vα − 1)f1 − vαf3] , Aββ α = vαvβvγ(g1 − g3) , Bαα Bβγ α = vαvβ[(vα − 1)g1 − vαg3] , Bββ

α = vαvβ[(1 − vβ)g3 + vβg1], (3.61)

Bαβ

phụ thuộc 4 thông số hình học f1, f3, g1, g3 có ràng buộc:

f1 + f1 6 d + 4

, f1 + f3 = d2 − 1 (d + 2)(d + 4) d − 1 d ≥ g1 ≥ 6 d + 4 0 ≤ f1, f3 ≤ d − 1 d

(a)

(b)

v2 = v3 =

1 2

Hình 3.1: Biên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô của vật liệu đẳng hướng ba thành phần (TDX 3D), so sánh với vật liệu k3 = 30 ; (cid:22)3 = 15, k2 = 12 ; (cid:22)2 = 8 ; tổ hợp đối xứng dạng cầu (DXC 3D) và biên HS; k1 = 1 ; (cid:22)1 = 0:3 ; (1 − v1). (a) Mẫu vật liệu đối xứng ba thành phần; (b) Các đường at the ranges v1 = 0:1 → 0:9 ; biên so sánh

. , (3.62) g1 + g3 = 0 ≤ g1, g3 ≤ (d − 1)(d + 3) , (d − 1)(d + 3) d(d + 2) d(d + 2)

Các hệ số thông tin bậc ba trong biên (3.36),(3.58) được xác định cho đánh giá:

f g ,

≥ µef f ≥ M L (3.63) M U f g

trong đó

M U

α , Bβγ α α , Bβγ α

AB({kα, µα, vα}, {Aβγ AB({kα, µα, vα}, {Aβγ

f g({kα, µα, vα}, f1, g1) = M U f g({kα, µα, vα}, f1, g1) = M L

M L } ∈ (3.61)) , } ∈ (3.61)) ;

(3.64)

Biên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô của vật liệu 3 pha đối xứng có hình dạng bất kỳ:

T DX

T DX ,

M U ≥ µef f ≥ M L (3.65)

trong đó

M U M U

T DX({kα, µα, vα}) = max T DX({kα, µα, vα}) =

f g({kα, µα, vα}, f1, g1), f g({kα, µα, vα}, f1, g1).

f1,g1∈(3.62) min f1,g1∈((3.62))

DXC, µL

M L M L (3.66)

Kết quả tính toán số cho biên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô của vật liệu ba thành phần đối xứng có hình dạng bất kỳ trong khoảng v1 = 0.1 → 0.9, v2 = v3 = 1 (1 − v1) với k1 = 1, µ1 = 0.3, k2 = 12, µ2 = 8, k3 = 30, µ3 = 15, được giới 2 thiệu trong hình 3.1b, nằm trong biên HS đối với lớp vật liệu tổ hợp đẳng hướng. Biên µU DXC (với f1 = g1 = 0) cho lớp vật liệu tổ hợp dạng cầu cũng được giới thiệu, nó cũng nằm trong các biên đã đưa ra trước đây. Kết quả được tính toán và đưa ra trong bảng 3.1, với giá trị của f1, g1 tương ứng khi (3.66) đạt tới giá trị Max và Min.

HS, µL

SH), biên µU cho tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (µU

DXC, µL T DX, µL

DXC (với f1 = g1 = 0) và biên T DX) trong khoảng v1 = 0.1 → (1 − v1) với k1 = 1, µ1 = 0.3, k2 = 12, µ2 = 8, k3 = 30, µ3 =

Bảng 3.1 Biên HS (µU

tương ứng khi (3.66) đạt tới giá trị Max và Min. 0.9, v2 = v3 = , gmax 15; f max 1 1 1 2 và f min 1 , gmin 1

T DX

µU µL

T DX µU µU 9.068

DXC µL 9.068

DXC µL 7.243

SH 4.092 3.889

v1 SH 0.1 9.330 f max 1 0 gmax 1 0.278 f min 1 2/3 gmin 1 0.800

0.2 7.832 7.3314 7.331 4.215 2.508 2.285 0.278 2/3 0.800 0

0.3 6.509 5.776 5.777 2.545 1.802 1.560 0 2/3 0.800 0

0.4 5.330 4.407 4.408 1.644 1.401 1.148 0 2/3 0.800 0

0.5 4.274 3.329 3.227 1.129 1.129 0.881 0.604 0.746 0 0.278

0.6 3.322 2.704 2.239 0.813 0.813 0.695 0.800 0 0 2/3

0.7 2.460 2.093 1.447 0.609 0.609 0.558 0.800 0 0 2/3

0.8 1.675 1.489 0.856 0.470 0.470 0.452 0.800 0 0.278 2/3

0.9 0.958 0.893 0.472 0.372 0.372 0.368 0.800 0 0 2/3

DXC và biên µU

Nhận xét: Các đánh giá xây dựng trong luận án đều nằm trong biên đánh giá

trước đây (biên HS), đối với trường hợp không gian 3 chiều trong khoảng khảo sát v1 = 0.1 → 0.4, đánh giá trên của biên µU T DX là trùng nhau. Theo chiều hướng ngược lại trong khoảng khảo sát v1 = 0.5 → 0.9 biên µL DXC và biên µL T DX cũng trùng nhau.

Trường hợp không gian 2 chiều (d = 2), kết quả số cho biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu quả của vật liệu 3 pha đối xứng với v1 = 0.1 → 0.9, v2 = v3 = 1 (1 − v1) với K1 = 1, µ1 = 0.5, K2 = 6, µ2 = 4, K3 = 15, µ3 = 12, được biểu 2 diễn trên hình 3.2, có so sánh với biên HS. Kết quả cũng được lập trong bảng 3.2 với giá trị của f1, g1 tương ứng với các giá trị Max và Min.

HS, µL

SH) và biên vật liệu ba pha tựa đối xứng (µU

T DX, µL

T DX)

Bảng 3.2 Biên HS (µU

T DX µL µU

T DX

µU µL f min 1 gmin 1

SH 3.559 3.374

v1 SH 0.1 5.499 5.105 f max 1 0 gmax 1 0 0.500 0.625

0.2 4.509 3.952 2.446 2.292 0 0.500 0.625 0

0.3 3.695 3.041 1.858 1.707 0 0.500 0.625 0

0.4 3.014 2.323 1.492 1.341 0.003 0.422 0.547 0

0.5 2.436 1.872 1.212 1.091 0.500 0.625 0 0

0.6 1.940 1.561 0.969 0.908 0.500 0.625 0 0

0.7 1.509 1.275 0.797 0.769 0.500 0.625 0 0

0.8 1.131 1.006 0.671 0.660 0.500 0.625 0 0

(a)

(b)

Hình 3.2: Biên mô đun đàn hồi trượt ngang của vật liệu đẳng hướng ba thành phần (TDX 2D), so sánh với biên HS; (a) Mẫu vật liệu đối xứng ba thành phần; (b) Các đường biên so sánh

0.9 0.797 0.748 0.575 0.573 0.500 0.625 0 0

Nhận xét: trường hợp không gian 2 chiều các đánh giá đã xây dựng nằm trong

biên HS. Khoảng cách lớn giữa 2 biên trên và biên dưới nói lên tính chất vật liệu

của các thành phần khá xa nhau.

3.4.2. Mô hình quả cầu ngẫu nhiên (không chồng lấn và chồng lấn)

α , Bβγ

Ví dụ tiếp theo đưa ra kết quả tính toán cho mô hình vật liệu hai thành phần

dạng cốt cầu cùng cỡ không chồng lấn (hình 3.3a) và chồng lẫn (hình 3.4a) sắp xếp ngẫu nhiên. Thông tin hình học bậc ba của vật liệu Aβγ α được biểu diễn qua hai tham số ζ1 (hoặc ζ2) và η1 (hoặc η2) được giới thiệu bởi các tác giả [41],[49- 50],[59] và [77]:

α = A22

α = −A12

A11 α = 1, 2 ; v1v2ζα , d − 1 d

α = B22

α = −B12

α =

α = d(d − 1) 4(d + 2)

B11 (3.67) v1v2ηα + v1v2ζα . (6 − d)(d − 1) 4d

Tham số ζ2 đã được đưa ra trong bảng 2.1, tham số η2 được xác định trong bảng

3.3.

Bảng 3.3 Thông tin hình học bậc ba η2 cho vật liệu dạng cầu không chồng lấn phân bố ngẫu nhiên và dạng chồng lấn phân bố ngẫu nhiên (không gian 3 chiều)

(Torquato [77])

v2 Thông tin bậc ba η2 Cầu dạng không chồng lấn Cầu dạng chồng lấn

0.00 0.000 0.000

0.10 0.048 0.075

0.20 0.097 0.149

0.30 0.145 0.224

0.40 0.193 0.295

0.50 0.241 0.367

0.60 0.290 0.439

0.70 - 0.512

0.80 - 0.583

0.90 - 0.658

0.95 - 0.710

0.99 - 0.742

Biên (3.36),(3.58) đối với mô hình này khảo sát theo v2, với k1 = 1, µ1 = 0.3, k2 = 20, µ2 = 10, so sánh với biên HS biểu thị trên hình 3.3b, 3.4b.

(a)

(b)

Hình 3.3: Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cầu cùng cỡ không chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (KCL 3D). (a) Mẫu vật liệu dạng cầu cùng cỡ không chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên ; (b) Các đường biên so sánh, k1 = 1; (cid:22)1 = 0:3; k2 = 20; (cid:22)2 = 10; v2 = 0:1 → 0:6

Trong trường hợp 2 chiều (d = 2) giá trị ζ2 đã được đưa ra trong bảng 2.2, giá trị η2 được đưa ra trong bảng 3.4, các kết quả cho 2 mô hình vật liệu này được thể hiện trên hình 3.5 và 3.6.

Bảng 3.4 Tham số η2 cho vật liệu dạng mặt cắt tròn phân bố ngẫu nhiên (d = 2)

v2 Thông tin bậc ba η2 Mặt cắt tròn dạng không chồng lấn Mặt cắt tròn dạng chồng lấn

0.00 0.000 0.000

0.10 0.070 0.084

0.20 0.140 0.167

0.30 0.211 0.250

0.40 0.283 0.331

0.50 0.356 0.411

0.60 0.430 0.490

0.70 0.568 0.505

0.80 - 0.644

0.90 - 0.720

0.95 - 0.760

0.99 - 0.801

(a)

(b)

Hình 3.4: Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cầu cùng cỡ chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (CL 3D). (a) Mẫu vật liệu cốt tròn cùng cỡ dạng chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên ; (b) Các đường biên so sánh, k1 = 1; (cid:22)1 = 0:3; k2 = 20; (cid:22)2 = 10; v2 = 0:1 → 0:99

(a)

(b)

Hình 3.5: Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cốt tròn cùng cỡ không chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (KCL 2D). (a) Mẫu vật liệu cốt tròn cùng cỡ sắp xếp ngẫu nhiên; (b) Các đường biên so sánh, K1 = 1; (cid:22)1 = 0:3; K2 = 20; (cid:22)2 = 10; v2 = 0:1 → 0:6

(a)

(b)

Hình 3.6: Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cốt tròn cùng cỡ dạng chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (CL 2D). (a) Mẫu vật liệu cốt tròn cùng cỡ dạng chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên; (b) Các đường biên so sánh

Nhận xét: Với mô hình quả cầu không chồng lẫn ngẫu nhiên trong cả 2 trường

hợp d = 2 và d = 3 biên dưới KCL tiệm cận với biên dưới HS khi cốt liệu chiếm ưu thế (tỷ lệ thể tích tăng) và khoảng hở giữa 2 biên tăng lên khi v2 → 0.6 là do sự chênh lệch về tính chất giữa các pha.

Với mô hình quả cầu chồng lấn ngẫu nhiên các đánh giá cho biên CL cũng

nằm trong biên HS, biên dưới CL vẫn có xu hướng tiệm cận với biên dưới của HS

nhưng không rõ rệt như trong trường hợp KCL.

3.4.3. Vật liệu 2 pha tuần hoàn theo dạng hình lục giác đều

Ví dụ cuối khi xem xét vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn có cùng kích cỡ sắp xếp tuần hoàn theo dạng hình lục giác đều (LGD) (hình 3.7a) trong khoảng v2 = 0.1 → 0.7 với K1 = 1, µ1 = 0.5, K2 = 10, µ2 = 5. Hai tham số ζ1 (hoặc ζ2) và η1 (hoặc η2) cho loại vật liệu này được đưa ra trong [77].

Tham số ζ2 cho loại vật liệu này đã được đưa ra trong bảng 2.3 thuộc chương 2,

còn tham số η2 được trình bày trong bảng 3.5 dưới đây.

Bảng 3.5 Thông tin hình học bậc ba η2 đối với vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn

sắp xếp tuần hoàn hình lục giác đều

v2 0.00 η2 0.000

0.10 0.0005

0.20 0.02

0.30 0.045

0.40 0.125

0.50 0.24

0.60 0.37

0.70 0.44

(a)

(b)

Hình 3.7: Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu quả của vật liệu tuần hoàn hình lục giác đều (LGD). (a) Cấu trúc vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng hình lục giác đều. (b) Đồ thị đường biên HS và LGD

0.80 0.47

Kết quả cho thấy đường biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu quả của vật liệu

tuần hoàn (LGD) nằm trong kết quả tính theo HS.

Các kết quả trong mục này đã được công bố trong các công trình khoa học 1.,

3. và 5.

3.5. Kết luận

Trên đây là kết quả xây dựng biên trên và biên dưới cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô µef f của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu.

Trường khả dĩ mở rộng mà tác giả đưa ra tổng quát hơn so với trường khả dĩ

phân cực Hashin-Shtrikman được sử dụng trong Phạm Đức Chính [1], Pham [49]

giúp cho kết quả tốt hơn những đánh giá trước đây. Việc đưa hàm thế điều hòa

và thế song điều hòa nhằm mô tả thông tin của vật liệu một cách tường minh tuy

nhiên việc giải bài toán cũng phức tạp hơn hẳn (so với việc xây dựng đánh giá mô đun đàn hồi thể tích kef f hoặc diện tích K ef f ).

Trường khả dĩ chứa 2N − 2 tham số tự do so với 2 biến tự do là k0, µ0 của [1],[49] giúp cho đánh giá tốt hơn khi N ≥ 3. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để tối ưu phiếm hàm có ràng buộc.

Bài toán được xây dựng trong trường hợp không gian d chiều có tính tổng quát

xác định được kết quả trong bất cứ trường hợp nào, các kết quả ngắn gọn giúp cho

công việc lập chương trình tính toán khá đơn giản. Tác giả cũng đã áp dụng cho

một số mô hình cụ thể: vật liệu tựa đối xứng, quả cầu ngẫu nhiên lồng nhau...

Trong chương này những điểm mới của nội dung nghiên cứu đã được thể hiện

thông qua các công trình khoa học đã công bố 1., 3. và 5.

Chương 4 PHƯƠNG PHÁP PTHH ÁP DỤNG CHO VẬT LIỆU TUẦN HOÀN NHIỀU THÀNH PHẦN

Như đã trình bày ở các chương trước, nghiệm bài toán tìm được thông qua

phương pháp biến phân là nghiệm giải tích và bán giải tích. Phương pháp mô

phỏng số hiện nay đang được các nhà khoa học sử dụng thường xuyên do cấu hình

phần cứng máy tính càng trở nên mạnh mẽ hơn, phù hợp khi tìm trực tiếp các hệ

số mô đun đàn hồi trong cả trường hợp vật liệu có dạng hình học phức tạp.

Chương này mô tả lý thuyết đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn, các giả thiết

đưa ra để áp dụng tính toán phương pháp PTHH chạy trên nền mã nguồn mở của

chương trình CAST3M (Pháp). Kết quả tính toán các hệ số đàn hồi cho một mô

hình vật liệu tuần hoàn cụ thể được tác giả so sánh với các đánh giá đã xây dựng

trong chương 2 và chương 3.

4.1. Đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn

Ý tưởng của lý thuyết vật liệu tuần hoàn là các thông tin cơ bản liên quan tới

các tính chất vật lý của các thành phần và hình thái của các vi cấu trúc có thể được

lưu giữ trong một cấu trúc cơ sở (nhân tuần hoàn - periodic cell). Sau đó, một mô

hình tuần hoàn cho các vật liệu thực tế có thể đạt được bằng cách làm đầy toàn bộ

không gian với cấu trúc cơ sở này một cách tuần hoàn.

Dựa theo lý thuyết đồng nhất hóa, các tính toán được quy về trên phần tử đặc

trưng. Để giải quyết bài toán ta coi rằng phần tử đặc trưng của vật liệu nghiên cứu ký hiệu Ω chịu tác động bởi một trường biến dạng đồng nhất E. Trường biến dạng này được tạo ra bởi một trường ứng suất trung bình trên toàn miền Σ.

Trong trường hợp đàn hồi tuyến tính, tenxơ đàn hồi hiệu quả của vật liệu được

xác định dựa theo định luật Hook:

Σ = Cef f : E (4.1)

Như vậy vấn đề lớn nhất của bài toán là cần xác định giá trị ứng suất trung bình

Σ. Cũng cần nhắc lại rằng giá trị ứng suất Σ cân bằng với trung bình trên toàn

Hình 4.1: Cấu trúc cơ sở của vật liệu tuần hoàn

miền Ω của trường ứng suất vi mô (cid:27)(x) với x ∈ Ω :

Ω .

Σ = ⟨(cid:27)(x)⟩ (4.2)

Do vật liệu có cấu trúc tuần hoàn được tạo thành từ các phần tử cơ sở (nhân tuần

hoàn) ký hiệu là U , giả sử có dạng hình hộp với chiều dài 3 cạnh theo 3 phương lần lượt là a1, a2, a3. Trường ứng suất vi mô (cid:27)(x) có đặc điểm (Dormieux [18]):

(4.3) (cid:27)(x) = (cid:27) (x + n1a1e1 + n2a2e2 + n3a3e3) , n1, n2, n3 ∈ N ,

và do đó:

Ω = ⟨(cid:27)(x)⟩

U .

Σ = ⟨(cid:27)(x)⟩ (4.4)

Trường chuyển vị tương ứng ký hiệu là u(x) với:

u(x) = E.x + u′(x) , (4.5)

trong đó u′(x) là trường chuyển vị rối loạn (nhiễu), được hình thành do sự xuất hiện các pha cốt trên vật liệu nền, do đó trường biến dạng tương ứng:

"(x) = E + "′(x) . (4.6)

Trường u′(x) là trường chuyển vị tuần hoàn, vì vậy:

U = 0 =⇒ ⟨"(x)⟩

U = E .

⟨"′(x)⟩ (4.7)

Từ các đặc điểm tuần hòan của trường ứng suất và biến dạng, ta nhận thấy rằng

bài toán trên miền Ω (phương trình 4.1 và 4.2) có thể được giải quyết trên phần tử

cơ sở U .

Phương trình bài toán có dạng (Dormieux [18]):



, (4.8)

tuần hoàn   ∈ U ∈ U ∈ U ∈ ∂U ∈ ∂U div(cid:27)(x) = 0 (cid:27)(x) = C(x) : (E + "′(x)) u(x) = E.x + u′(x) u′(x) : (cid:27)(x) · n : phản tuần hoàn

với n là véc tơ pháp tuyến trên biên ∈ ∂U .

Cũng cần nói thêm rằng, khác với miền Ω được coi là vô hạn, kích thước phần

tử U là đủ nhỏ để có thể xây dựng mô hình phần tử và giải quyết được bài toán

bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

4.2. Giới thiệu về chương trình CAST3M

Chương trình CAST3M được hỗ trợ bởi tổ chức nghiên cứu công nghệ thuộc

chính phủ Pháp đã có lịch sử 20 năm. Bộ chương trình này chứa các yếu tố cần

thiết để mô phỏng tính toán đối tượng theo phương pháp PTHH. Phạm vi ứng

dụng chủ yếu là về các vấn đề cơ học bao gồm ứng xử của vật liệu đàn hồi, đàn -

nhớt - dẻo và phân tích thích nghi cho cân bằng, ổn định, dao động hay các vấn đề

về động lực học. Các ứng dụng khác như phân tích nhiệt học, thủy lực và điện từ

trường cũng được xem xét. Mỗi mô đun của nó cho phép xây dựng ứng dụng mới

một cách dễ dàng và linh hoạt, làm cho các công cụ thích nghi với bài toán cần

giải quyết nhiều vấn đề đặt ra.

Cast3M được thực thi dựa vào họ của đối tượng (objects), liên quan đến cấu

trúc dữ liệu và thuật toán, tức là hoạt động cơ bản tác động lên các đối tượng nhất

định. Chúng cùng nhau tạo ngôn ngữ lập trình cụ thể được gọi là gibiane. Các mã

này được viết bằng mã nguồn mở Fortran gọi là ESOPE mà cho phép xử lý trực

tiếp của các cấu trúc dữ liệu cụ thể.

Trang web http://www-cast3m.cea.fr/ giới thiệu tổng quan về mã này, ví dụ

về tập tin, tài liệu trực tuyến, cho phép tải về và hướng dẫn cài đặt. Phiên bản

download cho Linux và Windows của mã máy tính có sẵn cho phép sử dụng phi

thương mại chương trình này. Đây là một điểm rất hay khi mà chúng ta trong

trường hợp chưa có khả năng đầu tư những chương trình thương mại tương tự,

tránh trường hợp vi phạm bản quyền.

Cũng như cấu trúc của một chương trình tính toán theo phương pháp PTTH

thông thường, chương trình tính toán cho bài toán đồng nhất hóa vật liệu theo

phương pháp PTHH cũng bao gồm các bước sau:

• Thiết lập lưới phần tử hữu hạn.

• Gán thông số về vật liệu và mô hình cơ học.

• Thiết lập các điều kiện biên tuần hoàn.

• Đặt tải trọng trung bình.

• Tính toán các hệ số đàn hồi hiệu quả.

Sơ đồ khối tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn được biểu diễn trên hình

Hình 4.2: Sơ đồ khối chương trình tính toán theo phương pháp PTHH

4.2

4.3. Tính toán cho mô hình vật liệu cụ thể

Trong trường hợp vật liệu cốt sợi dọc trục đẳng hướng ngang được xem xét ở

đây, phần tử đặc trưng có dạng hình học thể hiện như trong hình 4.3 (xem thêm

Hình 4.3: Mô hình vật liệu và nhân tuần hoàn

mục 2.3 của chương 2).

Pha cốt sợi có dạng hình trụ tròn chạy theo phương dọc trục, trên mặt cắt ngang

được bố trí theo dạng hình lục giác đều. Năm hệ số đàn hồi hiệu quả đặc trưng cho

dạng vật liệu này được xác định cụ thể như sau:

- Mô đun diện tích theo phương ngang (e1, e2) K ef f , đặt tải trọng trung bình

P = e1 ⊗ e1:

K ef f = . (4.9) (σ11 + σ22) 2(ε11 + ε22)

- Mô đun trượt theo phương ngang (e1, e2) µef f , đặt tải trọng trung bình P = e1 ⊗ e2:

µef f = . (4.10) σ12 2ε12

- Hệ số nở hông dọc theo phương (e1, e3) hoặc (e2, e3) νef f , đặt tải trọng trung bình P = e1 ⊗ e1 với điều kiện biến dạng trung bình theo phương 3 bằng không:

νef f = . (4.11) σ33 ε11 + ε22

- Mô đun đàn hồi dọc trục Eef f , ta đặt tải trọng trung bình P = e3 ⊗ e3:

Eef f = . (4.12) σ33 − νef f (σ11 + σ22) ε33

- Mô đun trượt dọc trục theo phương (e1, e3) hoặc (e2, e3) µef f , đặt tải trọng trung bình P = e1 ⊗ e3:

µef f = . (4.13) σ13 2ε13

Lưu ý rằng các giá trị ứng suất và biến dạng từ công thức (4.9) tới (4.13) đều là

các giá trị trung bình trên miền U .

Bước tiếp theo tiến hành mô hình hóa phần tử và rời rác hóa bằng cách chia lưới

phần tử. Tiến hành tăng dần kích thước các hạt cốt liệu trong khi vẫn giữ nguyên

khoảng cách giữa chúng. Trong ví dụ này mô hình phần tử hữu hạn sử dụng bao

gồm 3 loại phần tử: phần tử đường 2 nút ký hiệu seg2 , phần tử tam giác 3 nút ký

hiệu tri3 tạo mặt và phần tử khối tam diện 4 nút ký hiệu tet4 . Tùy theo tỷ lệ thể

tích cốt liệu khác nhau sẽ cho số lượng nút và số lượng phần tử khác nhau, ví dụ

với tỷ lệ thể tích cốt liệu bằng 50% thì số nút tương ứng là 9698 nút và số phần tử

tri3 là 48796 phần tử, số phần tử tet4 là 13038 phần tử. Đối với mỗi kích thước

của hạt cốt liệu tác giả sẽ tính được các hệ số mô đun đàn hồi diện tích và mô đun

đàn hồi trượt vĩ mô tương ứng của vật liệu tính toán (hình 4.4).

Trường hợp với phần tử dạng khối, kích thước của phần tử theo phương dọc trục

Hình 4.4: Rời rạc hóa lưới với nhân tuần hoàn dạng lục giác trong mặt cắt ngang

được chia đều và điều kiện biên cũng là tuần hoàn.

Vật liệu tính toán có dạng cốt sợi dọc trục với pha nền ta ký hiệu là chữ m và

vật liệu cốt sợi ta ký hiệu bởi chữ i. Pha nền và pha cốt đều là dạng vật liệu đàn hồi

tuyến tính và đẳng hướng được đặc trưng bởi mô đun đàn hồi E và hệ số nở hông ν . Giá trị lần lượt của 5 hệ số đàn hồi hiệu quả K ef f , µef f , νef f , Eef f và µef f phụ thuộc vào phần trăm thể tích pha cốt liệu vi sẽ được trình bày từ hình 4.5 tới hình 4.9. Các hình .(a) tương ứng với số liệu: Em = 1, νm = 0.25, Ei = 10, νi = 0.35 và ngược lại các hình .(b) tương ứng với số liệu: Em = 10, νm = 0.35, Ei = 1, νi = 0.25. Kết quả phương pháp PTHH biểu thị bằng đường đậm nét đứt cùng với hai đường nét liền là đánh giá trên và dưới.

Các đánh giá cho K ef f và µef f sử dụng các kết quả chương 2 và chương 3 cho bài toán 2 chiều. Các đánh giá cho Eef f và νef f dựa vào quan hệ Hill cho vật liệu cốt sợi dọc trục 2 pha theo (2.40). Các đánh giá cho µef f tương tự với đánh giá cho hệ số dẫn vật liệu 2 pha sử dụng kết quả của Nguyen Trung Kien [45].

(a)

(b)

Hình 4.5: Mối quan hệ Kef f − vi

(a)

(b)

Hình 4.6: Mối quan hệ (cid:22)ef f − vi

Nhận xét: Từ hình 4.5 đến 4.9 các kết quả tính toán số (đường đậm nét đứt) đều nằm trong kết quả đánh giá (các đường nét liền) đặc biệt đối với Eef f và νef f có thể coi là trùng nhau (hình 4.7, 4.8).

Các kết quả của Eef f và νef f được xác định sau khi tìm được đánh giá K ef f tuy nhiên không phải đánh giá trên của K ef f sẽ luôn luôn cho đánh giá trên của Eef f và νef f mà có thể là đánh giá dưới (hàm liên hệ là đơn điệu!).

(a)

(b)

Hình 4.7: Mối quan hệ (cid:23)ef f − vi

(a)

(b)

Hình 4.8: Mối quan hệ Eef f − vi

(a)

(b)

Hình 4.9: Mối quan hệ (cid:22)ef f − vi

4.4. Kết luận

Chương này tác giả đã trình bày lý thuyết đồng nhất hóa cho vật liệu tuần hoàn

trong khuôn khổ luận án, nó sẽ là cơ sở để tác giả nghiên cứu cho các lớp bài toán

phức tạp hơn. Tác giả cũng đã áp dụng tính toán các hệ số đàn hồi bằng phương

pháp PTHH cho mô hình vật liệu tuần hoàn, cụ thể là mô hình vật liệu cốt sợi

dọc trục - đây là mô hình vật liệu thường thấy trong kỹ thuật. Có thể nói về mặt

nguyên tắc các tính toán PTHH cho bài toán đàn hồi đều theo các bước chung, tuy

nhiên đối với bài toán đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn các điều kiện biên về lực

và chuyển vị có khác biệt. Ở đây vì vật liệu là tuần hoàn nên bài toán dược đưa về

cho nhân tuần hoàn với điều kiện biên về chuyển vị là tuần hoàn nhưng điều kiên

biên về lực lại là phản tuần hoàn theo công thức (4.8).

Các kết quả tính toán đã được thực hiện và hiển thị theo dạng đồ thị, so sánh với

các kết quả tính bởi các công thức đánh giá đã xây dựng trong các chương trước.

Các kết quả số PTHH đều nằm trong các đánh giá (có trường hợp gần như trùng

nhau) - khảng định sự tin cậy của các phương pháp áp dụng.

Mặt hạn chế của phương pháp tính số trực tiếp là chủ yếu tính được cho vật liệu

tuần hoàn, đối với vật liệu có hình thái sắp xếp ngẫu nhiên ví dụ như các quả cầu

hỗn độn đã trình bày ở những chương trước thì sẽ khó khăn hơn nhiều, vì phải tính

cho RVE có kích thước lớn chứ không phải nhân tuần hoàn.

Kết quả nghiên cứu đã được công bố ở các báo cáo hội nghị khoa học 5. và 6.

KẾT LUẬN CHUNG

Luận án đã xây dựng các đánh giá cho các hệ số đàn hồi vật liệu đẳng hướng

nhiều thành phần có bao hàm các thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu.

Phương pháp PTHH cũng được áp dụng cho một mô hình vật liệu tuần hoàn có so

sánh với các đánh giá.

Những đóng góp mới của luận án:

1. Xây dựng đánh giá mới cận trên và cận dưới các hệ số đàn hồi vật liệu đẳng

hướng N thành phần trong không gian d chiều tổng quát.

Luận án đã sử dụng trường phân cực tổng quát chứa nhiều biến tự do hơn

trường phân cực trước đây trong Phạm Đức Chính [1], nhờ vậy nhận được các đánh giá đơn giản và tốt hơn khi N ≥ 3. Phương pháp nhân tử Lagrange được áp dụng khi tìm cực trị các phiếm hàm năng lượng chứa đựng các biến tự do

chịu ràng buộc. Các đánh giá mới chứa đựng các thông tin về tính chất, tỷ lệ

thể tích các thành phần cấu tạo vật liệu, và thông tin bậc ba về hình học pha

của vật liệu đó.

2. Áp dụng các đánh giá mới cho một số mô hình vật liệu có các thông tin bậc

ba đã biết về hình học pha vật liệu: vật liệu tựa đối xứng, mô hình quả cầu

lồng nhau nhiều pha (một phát hiện mới khá thú vị khi áp dụng tính toán cho

bài toán vật liệu dạng quả cầu lồng nhau ba pha thì các đánh giá cho biên trên

và biên dưới trùng nhau tức là tìm được nghiệm chính xác), mô hình quả cầu

hỗn độn tách rời, mô hình quả cầu hỗn độn chồng lấn, các mô hình tuần hoàn

trong không gian 2 chiều và 3 chiều.

3. Sử dụng chương trình tính toán số với ngôn ngữ lập trình MATLAB để thiết

lập các véc tơ, ma trận trong tính toán các đánh giá mới, tối ưu các tham số

hình học của vật liệu cụ thể. Chương trình CAST3M được sử dụng để tính

cho mô hình vật liệu cốt sợi dọc trục đẳng hướng ngang cho kết quả so sánh

phù hợp với các đánh giá. Xây dựng được bộ chương trình tính các đánh giá

với cách sử dụng rất đơn giản có thể giúp cho các nhà kỹ thuật áp dụng tính

toán thiết kế, dự đoán các mẫu vật liệu mới theo mong muốn.

Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu

1. Xây dựng các trường khả dĩ sao cho các đánh giá tốt hơn nữa (biên trên và

biên dưới càng hẹp hơn).

2. Từ các kết quả mà tác giả xây dựng có thể phát triển tiếp các đánh giá cho một

số loại vật liệu phức tạp hơn như đối với lớp bài toán đa tinh thể hỗn độn.

3. Kết hợp các đánh giá với mô phỏng số PTHH và các phương pháp xấp xỉ để

nghiên cứu các mô hình hình học pha phức tạp.

Các công trình đã công bố

Các kết quả của luận án đã được công bố trên tạp chí quốc tế (01 bài SCI), tạp

chí quốc gia (02 bài trên Vietnam Journal of Mechanics) và tuyển tập các báo cáo

hội nghị trong nước (03 báo cáo hội nghị). Cụ thể:

1. Pham, D.C., Vu, L.D., Nguyen, V.L. (2013), Bounds on the ranges of the con-

ductive and elastic properties of randomly inhomogeneous materials. Philo-

sophical Magazine 93, pp.2229-2249.

2. Pham Duc Chinh and Vu Lam Dong (2012), Three-point correlation bounds

on the effective bulk modulus of isotropic multicomponent materials. Vietnam

Journal of Mechanics 34, pp.67-77.

3. Vu Lam Dong and Pham Duc Chinh (2013), Construction of bounds on the ef-

fective shear modulus of isotropic multicomponent materials. Vietnam Jour-

nal of Mechanics 35, pp.275-283.

4. Vũ Lâm Đông, Phạm Đức Chính (2012). Đánh giá bậc 3 mô đun đàn hồi diện

tích của vật liệu đẳng hướng hai chiều nhiều thành phần. Hội nghị Cơ học

toàn quốc lần thứ IX Hà Nội, 8-9/12/2012, tập 2 (phần 1), tr.303-312.

5. Vũ Lâm Đông, Phạm Đức Chính và Trần Bảo Việt (2013).Đánh giá biến phân

và tính toán số PTHH cho các hệ số đàn hồi vật liệu tổ hợp đẳng hướng ngang.

Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI Thành phố

Hồ Chí Minh, 7-9/11/2013, tập 1, tr.418-427.

6. Trần Bảo Việt, Vũ Lâm Đông và Phạm Đức Chính (2014). Mô phỏng số

PTHH và đánh giá các hệ số đàn hồi vật liệu cốt sợi dọc trục đẳng hướng

ngang. Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học Kỹ thuật toàn quốc Kỷ niệm 35

năm thành lập Viện Cơ học, 10/4/1979-10/4/2014, tập 2, tr.443-448.

Tài liệu tham khảo

[1] Phạm Đức Chính (1996), Đánh giá các tính chất cơ lý của vật liệu tổ hợp

đẳng hướng và đa tinh thể. Luận án tiến sỹ toán lý, Hà Nội.

[2] Babúska, I., Miller, A.D. (1987), "A feedback finite element method with

a-posteriori error estimation", Part I. Computer Methods in Applied Me-

chanics and Engineering 61, pp.1–40.

[3] Batchelor, G.K. and Green, J.T. (1972), "The hydrodynamic interaction of

two small freely-moving spheres in a linear flow field", J. Fluid Mech.56,

375.

[4] Bathe, K.J. (1996), Finite element procedures, Prentice-Hall.

[5] Becker, E.B., Carey, G.F. and Oden, J.T. (1980), Finite elements: an intro-

duction, Prentice- Hall.

[6] Beran, M.J. (1968), Statistical continuum theories, Wiley, New York.

[7] Bonet, J., Wood, R.D. (1997), Nonlinear continuum mechanics for finite

element analysis, Cambridge University Press.

[8] Bruno, O.P. (1991), "Taylor expansions and bounds for the effective con-

ductivity and the effective elastic moduli of multicomponent composites

and polycrystals" A symptotic Analysis 4, pp.339-365.

[9] Budiansky, B. (1965), "On the elastic moduli of some heterogeneous mate-

rials", J. Mech. Phys. Solids, 13, pp.223-227.

[10] Budiansky, B. (1970), "Thermal and thermoelastic properties of isotropic

composites", J. Comp. Mater., 4, pp.286.

[11] Buryachenko, V. (2007), Micromechanics of Heterogeneous Materials, Sp-

inger Press.

[12] Carne, T.G. (1976), "Load absorption and interaction of two adjacent fila-

ments in a fiber-reinfoced materials" J. Elasticity 6, pp.1.

[13] Chateau X, BV Tran (2009), "Influence of the Temperature on the Behav-

ior of Unsaturated Porous Media: A Micromechanical Approach", 4th Biot

Conference on Poromechanics, Columbia Univ, New York.

[14] Chen, H.S. and Acrivos, A. (1978), "The solution of the equations of linear

elasticity for an infinite region containing two spherical inclusions" Int. J.

Solids Structures, 14, pp.331.

[15] Chen, H.S. and Acrivos, A. (1978), "The effective elastic moduli of compos-

ite materials containing spherical inclusions at non-dilute concentrations"

Int. J. Solids Structures, 14, pp.349.

[16] Christensen, R.M. and Lo, K.H. (1979), "Solutions for effective shear prop-

erties in three phase and cylinder models", J. Mech. Phys. Solids, 27.

[17] Courant, R. (1943), "Variational methods for the solution of problems of

equilibrium and vibration", Bulletin of the American Mathematical Society,

49, pp.1–23.

[18] Dormieux, L., Kondo, D. and Ulm, F. J. (2006), Microporomechanics. John

Wiley, England.

[19] Einstein, A. (1905), "Eine neue bestimmung der Molekuldimensionen",

Ann. Physik, 19, pp.289-306.

[20] Eshelby, J.D. (1957), "The determination of the elastic field of an ellipsoidal

inclusion, and related problems", Proc. R. Soc. Lond., A 41, pp.376-396.

[21] Fernandino, D.O., Cisilino, A.P., Boeri, R.E. (2015), "Determination of ef-

fective elastic properties of ferritic ductile cast iron by computational ho-

mogenization, micrographs and microindentation tests", Mechanics of Ma-

terials, 83, pp.110–121.

[22] Fish, J. and Wagiman, A. (1993), "Multiscale finite element method for

a locally nonperiodic heterogeneous medium", Computational Machanics,

12, pp.164–180.

[23] Francfort, G.A. and Murat, F. (1986), "Homogenization and optimal bounds

in linear elasticity", Arch. Rational Mech. Anal., 94, pp.307-334.

[24] Frankel, N.A. and Acrivos , A. (1967), "On the viscosity of a concentrated

suspension of solid sphere", Chem. Engng. Sci., 22, pp.847.

[25] Ghosh, S. and Moorthy, S. (1995), "Elastic-plastic analysis of arbitrary

heterogeneous materials with the Voronoi Cell finite element method",

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 121, pp.1–4,

373–409.

[26] Guedes, J.M., Kikuchi, N. (1990), "Preprocessing and postprocessing for

materials based on the homogenization method with adaptive finite element

methods" Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 83,

pp.143–198.

[27] Hale, D.K. (1976), "The physical properties of composite materials" J.

Mater. Sci., 11, pp.2105-2141.

[28] Hashin, Z. and Shtrikman, S. (1963), "A variational approach to the theory

of the elastic behaviour of multiphase materials", J. Mech. Phys. Solids, 11,

pp.127-140.

[29] Hershey, A.V. (1954), "The elasticity of an isotropic aggregate of

anisotropic cubic crystals", J. Appl. Mech. , 21, pp.236.

[30] Hill, R. (1952), "The elastic behaviour of a crystalline aggregate", Pro.

Phys. Soc, A65, pp.349–354.

[31] Hughes, T.J.R. (1989),The finite element method, Prentice Hall.

[32] Kelly, D.W., Gago, J.R., Zienkiewicz, O.C., Babúska, I. (1983), "A poste-

riori error analysis and adaptive processes in the finite element method",

Part I-error analysis. The International Journal for Numerical Methods in

Engineering 19, pp.1593–1619.

[33] Kroner, E. (1958), "Berechnung der elastichen Konstanten des Vielkristalss

aus den Konstanten des Einkristalls", Z. Phys. , bf 151, pp.504.

[34] Ladeveze, P., Leguillon, D. (1983), "Error estimate procedure in the finite

element method and applications", SIAM Journal of Numerical Analysis,

20, pp.485–509.

100

[35] Lewis, R.W., Schrefler, B.A. (1998), The finite element method in the static

and dynamic deformation and consolidation of porous media, 2nd edition,

Wiley press.

[36] Maxwell, J.C. (1892), A treatise on electricity and magnetism. V.1 Claven-

don Press, Oxford, p.440.

[37] McLaughlin, R (1977)., "A study of the differential scheme for composite

materials", Int. J. Engng. Sci, 15, pp.237-244.

[38] McPhedran, R.C., Poladian, L., Milton, G.W. (1988), "Asymptotic studies

of closely spaced highly conducting cylinders", Proc.R. Soc. Lond. A, 415,

pp.185-196.

[39] Michel, J.C., Moulinec, H., Suquet, P. (1999), "Effective properties of

composite materials with periodic microstructure: a computational ap-

proach", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 172,

pp.109–143.

[40] Miller, M.N. (1969), "Bounds for the effective elastic bulk modulus of het-

erogeneous materials", J. Math. Phys., 10, pp.2005-2013.

[41] Milton, G.W. (1982), "Bounds on the elastic and transport properties of

two-component composites", J. Mech. Phys. Solids, 30, pp.177-191.

[42] Milton, G.W. and Phan-Thien, N. (1982), "Bounds on the effective elastic

moduli of two-component materials", Proc. R. Soc. London, Ser. A, 380,

pp.305-331.

[43] Milton, G.W. (2004), The Theory of Composites, Cambridge University

Press.

[44] Mori, T. and Tanaka, K. (1973), "Average stress in matrix and average elas-

tic energy of materials with misfitting inclusions", Acta Metall., 21, pp.571-

574.

[45] Nguyen Trung Kien, Nguyen Van Luat, Pham Duc Chinh (2013), "Estimat-

ing effective conductivity of the unidirectional transverse isotropic compos-

ites", Vietnam Journal of Mechanics 35, pp.203-213.

[46] Norris, A. N. (1985), "A differential scheme for the effective moduli of

composites", Mech. Mat., 4, pp.1–16.

101

[47] Oden, J.T., Zohdi, T.I. (1997), "Analysis and adaptive modeling of highly

heterogeneous elastic structures", ComputerMethods in Applied Mechanics

and Engineering, 148, pp.367–391.

[48] Paul, B. (1960), "Prediction of elastic constants of multiphase materials",

Trans ASME, 218, pp.36.

[49] Pham, D.C. (1993), "Bounds on the effective shear modulus of multiphase

materials", International Journal of Engineering Science, 31, pp.11-17.

[50] Pham, D.C. (1994), "Bounds for the effective conductivity and elastic mod-

uli of fully-disordered multicomponent materials", Archive for Rational Me-

chanics and Analysis, 127, pp.191-198.

[51] Pham, D.C. (1996), "On macroscopic conductivity and elastic properties

of perfectly-random cell composites", International Journal of Solids and

Structures 33, pp.1745-1755.

[52] Pham, D.C. (1997a), "Estimations for the overall properties of some

isotropic locally-ordered composites", Acta Mechanica, 121, pp.177-190.

[53] Pham, D.C. (1997b), "Overall properties of planar quasisymmetric ran-

domly inhomogeneous media: estimates and cell models", Physical Review

E, 56, pp.652-660.

[54] Pham, D.C. (1998), "Bounds on the effective properties of some multiphase

matrix mixtures of coated-sphere geometry", Mechanics of Materials, 27,

pp.249-260.

[55] Pham, D.C. (1999), "On the elastic constants of transversely isotropic,

quasisymmetric composites", ASME Journal of Applied Mechanics, 66,

pp.262-264.

[56] Pham, D.C. (2000a), "Weighted self-consistent approximations for elastic

completely random mixtures", Mechanics of Materials, 32, pp.463-470.

[57] Pham, D.C. (2000b), "Differential nonhomogeneous models for elastic ran-

domly cracked solids", International Journal of Solids and Structures, 37,

pp.7759-7768.

102

[58] Pham, D.C. (2001), "Effective medium models for conductivity of randomly

cracked locally nonhomogeneous materials", Acta Materialia, 49, pp.3333-

3336.

[59] Pham, D.C.(2007), "Three-point interpolation approximation for the macro-

scopic properties of isotropic two-component materials", Philosophical

Magazine, 87, pp.3531-3544.

[60] Pham, D.C. (2008), "Weighted effective medium approximations for con-

ductivity of random composites", International Journal of Heat and Mass

Transfer, 51, pp.3355-3361.

[61] Pham, D.C. (2009), "On the macroscopic elastic moduli of inhomogeneous

materials and random orthorhombic polycrystals", Acta Mechanica, 206,

pp.59-68.

[62] Pham, D.C. (2012), "Bounds on the elastic moduli of statistically isotropic

multicomponent materials and random cell polycrystals", International

Journal of Solids and Structures, 49, pp.2646-2659.

[63] Pham, D.C., Phan-Thien, N. (1998), "Bounds and extremal elastic moduli of

isotropic quasi-symmetric multicomponent materials", International Jour-

nal of Engineering Science, 36, pp.273-281.

[64] Pham, D.C., Torquato, S. (2003), Strong-contrast expansions and approxi-

mations for the effective conductivity of isotropic multiphase composites.

Journal of Applied Physics 94, 6591-6602.

[65] Pham, D.C., Tran, A.B., Do, Q.H. (2013a), "On the effective medium ap-

proximations for the properties of isotropic multicomponent matrix-based

composites", International Journal of Engineering Science 68, pp.75-85.

[66] Phan-Thien, N., Milton, G.W. (1983), New third-order bounds on the effec-

tive moduli of N-phase composites. Q. Appl. Math. 41, 59-74.

[67] Phan-Thien, N., Pham, D.C. (1997), Differential multiphase models

for polydispersed suspensions and particulate solids. Journal of Non-

Newtonian Fluid Mechanics 72, 305-318.

[68] Rayleigh, L. (1892), "On the influence of obstacles arranged in rectangular

order upon the properties of a medium", Philos. Mag., 34, pp.481.

103

[69] Roscoe, R. (1952), Brit. J. Appl. Phys., 3, pp.267.

[70] Roscoe, R. (1973), Rheol. Acta., 12, pp.404.

[71] Reuss, A. (1929), "Berechnung der Fliessgrenze von Mischkristallen auf

Grund der Plastizitatsbedingung fur Einkristalle", ZAMM 9, pp.49–58.

[72] Silnutzer, N. (1972), Ph.D. Thesis, University of Pensynvania, Philaden-

phia.

[73] Szabo, B. and Babúska, I. (1991), Finite element analysis, Wiley Inter-

science.

[74] A.B. Tran, J. Yvonnet, Q. C. He, C. Toulemonde, J. Sanahuja (2013), "A

four-scale homogenization analysis of creep of a nuclear containment struc-

ture", Nuclear Engineering and Design, 265, pp.712–726.

[75] AB Tran and DC Pham, (2015) "Polarization approximations for the macro-

scopic elastic constants of transversely isotropic multicomponent unidirec-

tional fiber composites", Compos. Mater.

[76] B. V. Tran, D.C. Pham and T.H.G. Nguyen (2015), "Equivalent-inclusion

approach and effective medium approximations for elastic moduli of com-

pound inclusion composites", Archive of Applied Mechanics(accepted).

[77] Torquato, S. (2002), Random Heterogeneous Materials, Springer.

[78] Vemaganti, K.S., Oden, J.T. (2001), "Estimation of local modeling er-

ror and goaloriented adaptive modeling of heterogeneous materials",

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190, 46–47,

pp.6089–6124.

[79] Voigt, W. (1928), Lehrbuch der Krystallphysik., Teuber, Leipzig.

[80] Walpole, L.J. (1966), "On bounds for the overall elastic moduli of inhomo-

geneous systems", J. Mech. Phys. Solids, 14, pp.151–162.

[81] Wiener, O.(1912). Abhandl, Math.-Phys. KL. Konigl. Sachsischen Ges, 32,

pp.509.

[82] Willis, J.R. (1977), "Bounds and self-consistent estimates for the overall

moduli of anisotropic composites", J. Mech. Phys. Solids, 25, pp.185.

104

[83] Wriggers, P. (2001), Nichtlineare Finite-Element-Methoden, Springer-

Verlag.

[84] Zohdi, T.I., Feucht, M., Gross, D. and Wriggers, P. (1998), "A description

of macroscopic damage via microstructural relaxation", The International

Journal of Numerical Methods in Engineering, 43, pp.493–507.

[85] Zohdi, T. I., Wriggers, P. (2008), An Introduction to Computational Mi-

cromechanics, Springer-Verlag.

105

Phụ lục

% Mô hình vật liệu quả cầu lồng nhau (lập trình trên MATLAB)

clear;

d=3;

Ku =zeros(1,9);

Kl =zeros(1,9);

Kup =zeros(1,9);

Klp =zeros(1,9);

Kuhs =zeros(1,9);

Klhs =zeros(1,9);

for vi=1:9

v1 = 0.1*vi;

v2 =0.5*(1-v1);

v3 =0.5*(1-v1);

v =[v1 v2 v3];

k1 = 1;

k2 = 10;

k3 = 50;

m1 =0.5;

m2 =3;

m3 =20;

km =[k1 k2 k3];

m =[m1 m2 m3];

A = cell(1,3);

A1 =zeros(3,3);

A2 =zeros(3,3);

A2(1,1) =(d-1)/d*v1*v2/(v1+v2);

A2(2,2) =A2(1,1);

106

A2(1,2) =-A2(1,1);

A2(2,1) =-A2(1,1);

A3 =zeros(3,3);

A3(1,1) = (d-1)/d*v1*v1*v3/(v1+v2);

A3(2,2) = (d-1)/d*v2*v2*v3/(v1+v2);

A3(3,3) = (d-1)/d*v3*(v1+v2);

A3(1,2) = (d-1)/d*v1*v2*v3/(v1+v2);

A3(2,1) = A3(1,2);

A3(1,3) = -(d-1)/d*v1*v3;

A3(3,1) = A3(1,3);

A3(2,3) = -(d-1)/d*v2*v3;

A3(3,2) = A3(2,3);

Akk = zeros(3,3);

Aktb = zeros(3,3);

for i=1:3

for j=1:3

for gama=1:3

Akk(i,j)= Akk(i,j)+ Agama(i,j)*2*m(gama);

Aktb(i,j)= Aktb(i,j)+ Agama(i,j)/2/m(gama);

end

if i==j

Akk(i,j)= Akk(i,j)+ v(i)*km(i);

Aktb(i,j)=Aktb(i,j)+ (1-d)*(1-d)* v(i)/km(i)/d2;

end

vk =v.*km;

vktb =v./km;

Ku(vi) =(v*inv(Akk)*vk’)/(v*inv(Akk)*v’);

Kl(vi) =(v*inv(Aktb)*v’)/(v*inv(Aktb)*vktb’);

mmin = min(m);

mmax = max(m);

[m0u m0l]= findm(mmin,mmax,m, km, v, A);

for i=1:3

107

Kup(vi)=Kup(vi)+v(i)/(km(i)+2*(d-1)/d*m0u);

Klp(vi)=Klp(vi)+v(i)/(km(i)+2*(d-1)/d*m0l);

Kuhs(vi)=Kuhs(vi)+v(i)/(km(i)+2*(d-1)/d*mmax);

Klhs(vi)=Klhs(vi)+v(i)/(km(i)+2*(d-1)/d*mmin);

end

Kup(vi)=1/Kup(vi)-2*(d-1)/d*m0u;

Klp(vi)=1/Klp(vi)-2*(d-1)/d*m0l;

Kuhs(vi)=1/Kuhs(vi)-2*(d-1)/d*mmax;

Klhs(vi)=1/Klhs(vi)-2*(d-1)/d*mmin;

end

Kuhs

Kup

Klp

Klhs

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)(cid:0)

function [kq, kqtb]= eqyb(m0, m, k, v, A)

d=3;

kq =0.0;

kqtb =0.0;

y=zeros(1,3);

ytb=zeros(1,3);

for b=1:3

for i=1:3

y(b)=y(b)+v(i)/(k(i)+2*(d-1)/d*m0);

end

ytb(b)=y(b);

y(b) = 1/(k(b)+2*(d-1)/d*m0)/y(b);

ytb(b) = k(b)/(k(b)+2*(d-1)/d*m0)/(1/ytb(b)-2*(d-1)/d*m0);

end

for alpha =1:3

abu =0.0;

abl =0.0;

108

for a=1:3

for b=1:3

abu=abu+Aalpha(a,b)*y(a)*y(b);

abl=abl+Aalpha(a,b)*ytb(a)*ytb(b);

end

kq=kq+(m(alpha)-m0)*abu;

kqtb=kqtb+(1/m(alpha)-1/m0)*abl;

end

function [m0u m0l]= findm(minm,maxm,m, km, v, A)

[kqmin, kqtbmin]= eqyb(minm, m, km, v, A);

[kqmax, kqtbmax]= eqyb(maxm, m, km, v, A);

tolerance =1e-8;

maxm

minm

mmax=maxm;

mmin=minm;

while(1)

mmid =(mmax+mmin)/2.0;

[kqmid, kqtbmid]= eqyb(mmid, m, km, v, A);

if (kqmin*kqmid < 0)

mmax = mmid;

kqmax = kqmid;

else

mmin =mmid;

kqmin =kqmid;

end

if (abs(kqmid)

break;

end

m0u =mmid

mmax=maxm;

109

mmin=minm;

while(1)

mmid =(mmax+mmin)/2.0;

[kqmid, kqtbmid]= eqyb(mmid, m, km, v, A);

if (kqtbmin*kqtbmid <0)

mmax = mmid;

kqtbmax = kqtbmid;

else

mmin =mmid;

kqtbmin =kqtbmid;

end

if (abs(kqtbmid)

break;

end

m0l =mmid

kqtbmid

end

110

% Mô hình vật liệu tựa đối xứng (lập trình trên MATLAB)

clear;

d=3;

lb=0.0;

lu = (d-1)/d;

vi=0.1

[fmin kmin]=fmincon(@objkl,1,[],[],[],[],lb,lu,[],[],vi);

[fmax kmax]=fmincon(@objku,1,[],[],[],[],lb,lu,[],[],vi);

fmin

kmin

fmax

kmax

function [Ku]= objku(f, vi)

d=3;

Ku =0;

f1=f;

f2=(d-1)/d-f1;

v1 = vi;

v2 =0.5*(1-v1);

v3 =0.5*(1-v1);

v =[v1 v2 v3];

k1 = 1;

k2 = 10;

k3 = 50;

m1 =0.5;

m2 =3;

m3 =20;

km =[k1 k2 k3];

m =[m1 m2 m3];

A = cell(1,3);

A1 =zeros(3,3);

A2 =zeros(3,3);

A3=zeros(3,3);

111

for alpha=1:3

for beta=1:3

for gamma=1:3

if (alpha ==beta)&&(alpha ==gamma)

Aalpha(beta,gamma)=v(alpha)*(1-v(alpha))*((1-v(alpha))*f1+v(alpha)*f2);

elseif (alpha == beta)

Aalpha(gamma,beta)=v(alpha)*v(gamma)*((v(alpha)-1)*f1-v(alpha)*f2);

elseif (alpha == gamma)

Aalpha(gamma,beta)=v(alpha)*v(beta)*((v(alpha)-1)*f1-v(alpha)*f2);

elseif beta==gamma

Aalpha(beta,gamma)=v(alpha)*v(beta)*((1-v(beta))*f2+v(beta)*f1);

Aalpha(beta,gamma)=v(alpha)*v(beta)*v(gamma)*(f1-f2);

else

end

Akk = zeros(3,3);

Aktb = zeros(3,3);

for i=1:3

for j=1:3

for gama=1:3

Akk(i,j)= Akk(i,j)+ Agama(i,j)*2*m(gama);

Aktb(i,j)= Aktb(i,j)+ Agama(i,j)/2/m(gama);

end

if i==j

Akk(i,j)= Akk(i,j)+ v(i)*km(i);

Aktb(i,j)=Aktb(i,j)+ (1-d)*(1-d)* v(i)/km(i)/d2;

end

vk =v.*km;

vktb =v./km;

Ku =-(v*inv(Akk)*vk’)/(v*inv(Akk)*v’);

end

112

function [Kl]= objkl(f, vi)

d=3;

Ku =0;

f1=f;

f2=(d-1)/d-f1;

v1 = vi;

v2 =0.5*(1-v1);

v3 =0.5*(1-v1);

v =[v1 v2 v3];

k1 = 1;

k2 = 10;

k3 = 50;

m1 =0.5;

m2 =3;

m3 =20;

km =[k1 k2 k3];

m =[m1 m2 m3];

A = cell(1,3);

A1 =zeros(3,3);

A2 =zeros(3,3);

A3=zeros(3,3);

for alpha=1:3

for beta=1:3

for gamma=1:3

if (alpha ==beta)&&(alpha ==gamma)

Aalpha(beta,gamma)=v(alpha)*(1-v(alpha))*((1-v(alpha))*f1+v(alpha)*f2);

elseif (alpha == beta)

Aalpha(gamma,beta)=v(alpha)*v(gamma)*((v(alpha)-1)*f1-v(alpha)*f2);

elseif (alpha == gamma)

Aalpha(gamma,beta)=v(alpha)*v(beta)*((v(alpha)-1)*f1-v(alpha)*f2);

elseif beta==gamma

Aalpha(beta,gamma)=v(alpha)*v(beta)*((1-v(beta))*f2+v(beta)*f1);

else

113

Aalpha(beta,gamma)=v(alpha)*v(beta)*v(gamma)*(f1-f2);

end

Akk = zeros(3,3);

Aktb = zeros(3,3);

for i=1:3

for j=1:3

for alpha=1:3

Akk(i,j)= Akk(i,j)+ Aalpha(i,j)*2*m(alpha);

Aktb(i,j)= Aktb(i,j)+ Aalpha(i,j)/m(alpha)/2.0;

end

if i==j

Akk(i,j)= Akk(i,j)+ v(i)*km(i);

Aktb(i,j)=Aktb(i,j)+ (1-d)*(1-d)* v(i)/km(i)/d2;

end

vk =v.*km;

vktb =v./km;

Kl =(v*inv(Aktb)*v’)/(v*inv(Aktb)*vktb’);

end

function [Ku, Kl]= objmaterial(f, vi)

d=3;

Ku =0;

Kl =0;

f1=0.2;

f2=(d-1)/d-f1;

v1 = 0.1;

v2 =0.5*(1-v1);

v3 =0.5*(1-v1);

v =[v1 v2 v3];

114

k1 = 1;

k2 = 10;

k3 = 50;

m1 =0.5;

m2 =3;

m3 =20;

km =[k1 k2 k3];

m =[m1 m2 m3];

A = cell(1,3);

A1 =zeros(3,3);

A2 =zeros(3,3);

A3=zeros(3,3);

for alpha=1:3

for beta=1:3

for gamma=1:3

if (alpha ==beta)&&(alpha ==gamma)

Aalpha(beta,gamma)=v(alpha)*(1-v(alpha))*(((1-v(alpha))*f1+v(alpha))*f2);

elseif alpha == beta

Aalpha(beta,gamma)=v(alpha)*v(gamma)*((v(alpha)-1)*f1-v(alpha)*f2);

elseif beta==gamma

Aalpha(beta,gamma)=v(alpha)*v(beta)*((1-v(beta))*f2+v(beta)*f1);

else

Aalpha(beta,gamma)=v(alpha)*v(beta)*v(gamma)*(f1-f2);

end

Akk = zeros(3,3);

Aktb = zeros(3,3);

for i=1:3

for j=1:3

for gama=1:3

Akk(i,j)= Akk(i,j)+ Agama(i,j)*2*m(gama);

Aktb(i,j)= Aktb(i,j)+ Agama(i,j)/2/m(gama);

end

115

if i==j

Akk(i,j)= Akk(i,j)+ v(i)*km(i);

Aktb(i,j)=Aktb(i,j)+ (1-d)*(1-d)* v(i)/km(i)/d2;

end

vk =v.*km;

vktb =v./km;

Ku =(v*inv(Akk)*vk’)/(v*inv(Akk)*v’);

Kl =(v*inv(Aktb)*v’)/(v*inv(Aktb)*vktb’);

end

% Mô hình vật liệu quả cầu chồng lấn - không chồng lấn (lập trình trên MATLAB)

clear;

d=3;

Ku =0;

Kl =0;

Kuhs =0;

Klhs =0;

vi=1;

v2 = 0.7

v1 = 1-v2;

v = [v1 v2];

k1 = 1;

k2 = 5;

km =[k1 k2];

m1 =0.3;

m2 =2.5;

m = [m1 m2];

S2 = 0.205

S1 = 1-S2;

A = cell(1,2);

A1 =zeros(2,2);

A1(1,1) = (d-1)/d*v1*v2*S1;

116

A1(2,2) = A1(1,1);

A1(1,2) =-A1(1,1);

A1(2,1) =-A1(1,1);

A2 =zeros(2,2);

A2(1,1) = (d-1)/d*v1*v2*S2;

A2(2,2) = A2(1,1);

A2(1,2) =-A2(1,1);

A2(2,1) =-A2(1,1);

Akk = zeros(2,2);

Aktb = zeros(2,2);

for i=1:2

for j=1:2

for gama=1:2

Akk(i,j)= Akk(i,j)+ Agama(i,j)*2*m(gama);

Aktb(i,j)= Aktb(i,j)+ Agama(i,j)/2/m(gama);

end

if i==j

Akk(i,j)= Akk(i,j)+ v(i)*km(i);

Aktb(i,j)=Aktb(i,j)+ (1-d)*(1-d)*v(i)/km(i)/d2;

end

vk =v.*km;

vktb =v./km;

Ku =(v*pinv(Akk)*vk’)/(v*pinv(Akk)*v’);

Kl =(v*pinv(Aktb)*v’)/(v*pinv(Aktb)*vktb’);

mmin = min(m);

mmax = max(m);

[m0u m0l]= findm(mmin,mmax,m, km, v, A);

for i=1:d

Kuhs(vi)=Kuhs(vi)+v(i)/(km(i)+2*(d-1)*mmax/d);

Klhs(vi)=Klhs(vi)+v(i)/(km(i)+2*(d-1)*mmin/d);

end

Kuhs(vi)=1/Kuhs(vi)-2*(d-1)*mmax/d;

117

Klhs(vi)=1/Klhs(vi)-2*(d-1)*mmin/d;

Kuhs

Klhs

% Mô hình vật liệu cốt sợi đẳng hướng ngang (lập trình trên CAST3M)

opti echo 1;

opti dime 3;

* Material (deformation plaine)

em=1;ea=20;pm=0.2;pa=0.4;

em2=em/(1-(pm*pm));pm2=pm/(1-pm);

ea2=ea/(1-(pa*pa));pa2=pa/(1-pa);

km2=em2/(2*(1-(pm2)));

mum2=em2/(2*(1+pm2));

ka2=ea2/(2*(1-(pa2))); mua2=ea2/(2*(1+pa2));

c11m=(em*(1.-pm))/((1.+pm)*(1.-(2.*pm)));

c12m=(em*pm)/((1+pm)*(1.-(2.*pm)));

c66m=em/(2.*(1.+pm));

c11a=(ea*(1.-pa))/((1.+pa)*(1.-(2.*pa)));

c12a=(ea*pa)/((1+pa)*(1.-(2.*pa)));

c66a=ea/(2.*(1.+pa));

*Geometrie

m=1.;mm=(-1.)*m;

l=(3.)**(1./2.)*m;

ll=(-1)*l;

p=0.5;

pp=(-1)*p;

dens = 0.1;

graph = 0;

*listEt=prog em;

*listPt=prog pm;

listKt=prog km2;

listMt=prog mum2;

118

listE3t=prog em;

listP3t=prog pm;

listM3t=prog mum2;

listP=prog 0;

n=18;

*n=1;

j=0;

repere b1 n;

j=j+1;

phi=0.05*j;

*phi=0.9;

a=((m*2.*l*phi/3.14)**(1./2.));

aa=(-1)*a;

vt=8*l*m*p;

va=2*3.14*(a**2)*(2.*p);

vm=vt-va;

phia=va/vt;

phim=vm/vt;

* geometrie de la cellule

*Truoc

p0 = 0 0 p;

p1 = ll mm p;

p2 = l mm p;

p3 = l m p;

p4 = ll m p;

p5 = a 0. p;

p6 = 0. aa p;

p7 = aa 0. p;

p8 = 0. a p;

p1h=(ll+a) mm p;

p1v=ll (mm+a) p;

p2h=(l+aa) mm p;

p2v=l (mm+a) p;

p3h=(l+aa) m p;

119

p3v=l (m+aa) p;

p4h=(ll+a) m p;

p4v=ll (m+aa) p;

*Sau

p0s = 0 0 pp;

p1s = ll mm pp;

p2s = l mm pp;

p3s = l m pp;

p4s = ll m pp;

p5s = a 0. pp;

p6s = 0. aa pp;

p7s = aa 0. pp;

p8s = 0. a pp;

p1hs=(ll+a) mm pp;

p1vs=ll (mm+a) pp;

p2hs=(l+aa) mm pp;

p2vs=l (mm+a) pp;

p3hs=(l+aa) m pp;

p3vs=l (m+aa) pp;

p4hs=(ll+a) m pp;

p4vs=ll (m+aa) pp;

option elem seg2;

*Truoc

l11h = d p1 p1h dini dens dfin dens;

l11v = d p1 p1v dini dens dfin dens;

l2h2 = d p2h p2 dini dens dfin dens;

l22v = d p2 p2v dini dens dfin dens;

l3h3 = d p3h p3 dini dens dfin dens;

l3v3 = d p3v p3 dini dens dfin dens;

l44h = d p4 p4h dini dens dfin dens;

l4v4 = d p4v p4 dini dens dfin dens;

l1h2h = d p1h p2h dini dens dfin dens;

l2v3v = d p2v p3v dini dens dfin dens;

l4h3h = d p4h p3h dini dens dfin dens;

120

l1v4v = d p1v p4v dini dens dfin dens;

l1 = cerc p1v p1 p1h dini dens dfin dens;

l2 = cerc p2v p2 p2h dini dens dfin dens;

l3 = cerc p3v p3 p3h dini dens dfin dens;

l4 = cerc p4v p4 p4h dini dens dfin dens;

l5 = cer3 p5 p6 p7 dini dens dfin dens;

l6 = cer3 p5 p8 p7 dini dens dfin dens;

l14=l11v et l1v4v et l4v4;

l23=l22v et l2v3v et l3v3;

l12=l11h et l1h2h et l2h2;

l43=l44h et l4h3h et l3h3;

lll=l1v4v et l2v3v;

da1=l11h et l11v et l1;

da2=l2h2 et l22v et l2;

da3=l3h3 et l3v3 et l3;

da4=l44h et l4v4 et l4;

da5=l5 et l6;

da=da1 et da2 et da3 et da4 et da5;

*Sau

l11hs = d p1s p1hs dini dens dfin dens;

l11vs = d p1s p1vs dini dens dfin dens;

l2h2s = d p2hs p2s dini dens dfin dens;

l22vs = d p2s p2vs dini dens dfin dens;

l3h3s = d p3hs p3s dini dens dfin dens;

l3v3s = d p3vs p3s dini dens dfin dens;

l44hs = d p4s p4hs dini dens dfin dens;

l4v4s = d p4vs p4s dini dens dfin dens;

l1h2hs = d p1hs p2hs dini dens dfin dens;

l2v3vs = d p2vs p3vs dini dens dfin dens;

l4h3hs = d p4hs p3hs dini dens dfin dens;

l1v4vs = d p1vs p4vs dini dens dfin dens;

l1s = cerc p1vs p1s p1hs dini dens dfin dens;

l2s = cerc p2vs p2s p2hs dini dens dfin dens;

l3s = cerc p3vs p3s p3hs dini dens dfin dens;

121

l4s = cerc p4vs p4s p4hs dini dens dfin dens;

l5s = cer3 p5s p6s p7s dini dens dfin dens;

l6s = cer3 p5s p8s p7s dini dens dfin dens;

l14s=l11vs et l1v4vs et l4v4s;

l23s=l22vs et l2v3vs et l3v3s;

l12s=l11hs et l1h2hs et l2h2s;

l43s=l44hs et l4h3hs et l3h3s;

llls=l1v4vs et l2v3vs;

da1s=l11hs et l11vs et l1s;

da2s=l2h2s et l22vs et l2s;

da3s=l3h3s et l3v3s et l3s;

da4s=l44hs et l4v4s et l4s;

da5s=l5s et l6s;

das=da1s et da2s et da3s et da4s et da5s;

*Than

lb1 = d p1 p1s dini dens dfin dens;

lb1v = d p1v p1vs dini dens dfin dens;

lb1h = d p1h p1hs dini dens dfin dens;

lb2 = d p2 p2s dini dens dfin dens;

lb2v = d p2v p2vs dini dens dfin dens;

lb2h = d p2h p2hs dini dens dfin dens;

lb3 = d p3 p3s dini dens dfin dens;

lb3v = d p3v p3vs dini dens dfin dens;

lb3h = d p3h p3hs dini dens dfin dens;

lb4 = d p4 p4s dini dens dfin dens;

lb4v = d p4v p4vs dini dens dfin dens;

lb4h = d p4h p4hs dini dens dfin dens;

lb5 = d p5 p5s dini dens dfin dens;

lb6 = d p6 p6s dini dens dfin dens;

lb7 = d p7 p7s dini dens dfin dens;

lb8 = d p8 p8s dini dens dfin dens;

d11h = l11h et lb1h et l11hs et lb1;

d11v = l11v et lb1v et l11vs et lb1;

db1 = l1 et lb1h et l1s et lb1v;

122

d2h2 = l2h2 et lb2 et l2h2s et lb2h;

d22v = l22v et lb2v et l22vs et lb2;

db2 = l2 et lb2h et l2s et lb2v;

d3h3 = l3h3 et lb3 et l3h3s et lb3h;

d3v3 = l3v3 et lb3 et l3v3s et lb3v;

db3 = l3 et lb3h et l3s et lb3v;

d44h = l44h et lb4h et l44hs et lb4;

d4v4 = l4v4 et lb4 et l4v4s et lb4v;

db4 = l4 et lb4h et l4s et lb4v;

db14 = l1v4v et lb4v et l1v4vs et lb1v;

db23 = l2v3v et lb3v et l2v3vs et lb2v;

db12 = l1h2h et lb2h et l1h2hs et lb1h;

db43 = l4h3h et lb3h et l4h3hs et lb4h;

db5 = l5 et lb7 et l5s et lb5;

db6 = l6 et lb7 et l6s et lb5;

option elem tri3;

*Truoc

sa1=surf da1 plane;

sa2=surf da2 plane;

sa3=surf da3 plane;

sa4=surf da4 plane;

sa5=surf da5 plane;

sa=sa1 et sa2 et sa3 et sa4 et sa5;

dm=l1h2h et l2 et l2v3v et l3 et l4h3h et l4 et l1v4v et l1 et l5 et l6;

sm=surf dm plane;

domega=da et dm;

omega=sa et sm;

*sau

sa1s=surf da1s plane;

sa2s=surf da2s plane;

sa3s=surf da3s plane;

sa4s=surf da4s plane;

sa5s=surf da5s plane;

sas=sa1s et sa2s et sa3s et sa4s et sa5s;

123

dms=l1h2hs et l2s et l2v3vs et l3s et l4h3hs et l4s et l1v4vs;

dms = dms et l1s et l5s et l6s;

sms=surf dms plane;

domegas=das et dms;

omegas=sas et sms;

*trac (omega et omegas);

*Than

s11h = surf d11h plane;

s11v = surf d11v plane ;

sb1 = surf db1 CYLINDRIQUE p1 p1s;

s2h2 = surf d2h2 plane;

s22v = surf d22v plane ;

sb2 = surf db2 CYLINDRIQUE p2 p2s;

s3h3 = surf d3h3 plane; s3v3 = surf d3v3 plane ; sb3 = surf db3 CYLINDRIQUE

p3 p3s;

s44h = surf d44h plane;

s4v4 = surf d4v4 plane ;

sb4 = surf db4 CYLINDRIQUE p4 p4s;

sb14 = surf db14 plane;

sb23 = surf db23 plane;

sb12 = surf db12 plane;

sb43 = surf db43 plane;

sb5 = surf db5 CYLINDRIQUE p0 p0s;

sb6 = surf db6 CYLINDRIQUE p0 p0s;

*********************** *definition des volumes ***********************

opti elem tet4;

oeil= (-30 0 10);

t1a = s11h et s11v et sb1 et sa1 et sa1s;

t2a = s2h2 et s22v et sb2 et sa2 et sa2s;

t3a = s3h3 et s3v3 et sb3 et sa3 et sa3s;

t4a = s44h et s4v4 et sb4 et sa4 et sa4s;

t5a = sa5 et sa5s et sb5 et sb6;

v1a = t1a volu;

v2a = t2a volu;

124

v3a = t3a volu;

v4a = t4a volu;

v5a = t5a volu;

voa = v1a et v2a et v3a et v4a et v5a;

tm1 = sm et sms et sb5 et sb6;

tm2 = sb14 et sb23 et sb12 et sb43 et sb1 et sb2 et sb3 et sb4;

tm = tm1 et tm2;

vom = tm volu;

*trac cach oeil (voa et vom);

* blocage pour les periodicites

s11h = chan poi1 s11h;

s11v = chan poi1 s11v;

s2h2 = chan poi1 s2h2;

s22v = chan poi1 s22v;

s3h3 = chan poi1 s3h3;

s3v3 = chan poi1 s3v3;

s44h = chan poi1 s44h;

s4v4 = chan poi1 s4v4;

sb14 = chan poi1 sb14;

sb23 = chan poi1 sb23;

sb12 = chan poi1 sb12;

sb43 = chan poi1 sb43;

sa1 = chan poi1 sa1;

sa2 = chan poi1 sa2;

sa3 = chan poi1 sa3;

sa4 = chan poi1 sa4;

sa5 = chan poi1 sa5;

sm = chan poi1 sm;

sa1s = chan poi1 sa1s;

sa2s = chan poi1 sa2s;

sa3s = chan poi1 sa3s;

sa4s = chan poi1 sa4s;

sa5s = chan poi1 sa5s;

sms = chan poi1 sms;

125

*Phuong 1:

n11v = nbno s11v;

i = 1;

ptx pty ptz = coor (point 1 s11v);

psx psy psz = coor (point 1 s22v);

k11vx = rela ux (point 1 s11v) - ux (point 1 s22v);

k11vy = rela uy (point 1 s11v) - uy (point 1 s22v);

k11vz = rela uz (point 1 s11v) - uz (point 1 s22v);

q11v1 = depi k11vx (ptx - psx);

q11v4 = (depi k11vx (pty - psy)) et (depi k11vy (ptx - psx));

q11v5 = (depi k11vx (ptz - psz)) et (depi k11vz (ptx - psx));

repeter b11v (n11v-1);

i = i + 1;

ptx pty ptz = coor (point i s11v);

psx psy psz = coor (point i s22v);

tx = (rela ux (point i s11v) - ux (point i s22v));

ty = (rela uy (point i s11v) - uy (point i s22v));

tz = (rela uz (point i s11v) - uz (point i s22v));

qt1 = depi tx (ptx - psx);

qt4 = (depi tx (pty - psy)) et (depi ty (ptx - psx));

qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));

k11vx = k11vx et tx;

k11vy = k11vy et ty;

k11vz = k11vz et tz;

q11v1 = q11v1 et qt1;

q11v4 = q11v4 et qt4;

q11v5 = q11v5 et qt5;

fin b11v;

k11v=k11vx et k11vy et k11vz;

nb14 = nbno sb14;

i = 1;

ptx pty ptz = coor (point 1 sb14);

psx psy psz = coor (point 1 sb23);

kb14x = rela ux (point 1 sb14) - ux (point 1 sb23);

126

kb14y = rela uy (point 1 sb14) - uy (point 1 sb23);

kb14z = rela uz (point 1 sb14) - uz (point 1 sb23);

qb141 = depi kb14x (ptx - psx);

qb144 = (depi kb14x (pty - psy)) et (depi kb14y (ptx - psx));

qb145 = (depi kb14x (ptz - psz)) et (depi kb14z (ptx - psx));

repeter bb14 (nb14-1);

i = i + 1;

ptx pty ptz = coor (point i sb14);

psx psy psz = coor (point i sb23);

tx = (rela ux (point i sb14) - ux (point i sb23));

ty = (rela uy (point i sb14) - uy (point i sb23));

tz = (rela uz (point i sb14) - uz (point i sb23));

qt1 = depi tx (ptx - psx);

qt4 = (depi tx (pty - psy)) et (depi ty (ptx - psx));

qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));

kb14x = kb14x et tx;

kb14y = kb14y et ty;

kb14z = kb14z et tz;

qb141 = qb141 et qt1;

qb144 = qb144 et qt4;

qb145 = qb145 et qt5;

fin bb14;

kb14=kb14x et kb14y et kb14z;

n4v4 = nbno s4v4;

i = 1;

ptx pty ptz = coor (point 1 s4v4);

psx psy psz = coor (point 1 s3v3);

k4v4x = rela ux (point 1 s4v4) - ux (point 1 s3v3);

k4v4y = rela uy (point 1 s4v4) - uy (point 1 s3v3);

k4v4z = rela uz (point 1 s4v4) - uz (point 1 s3v3);

q4v41 = depi k4v4x (ptx - psx);

q4v44 = (depi k4v4x (pty - psy)) et (depi k4v4y (ptx - psx));

q4v45 = (depi k4v4x (ptz - psz)) et (depi k4v4z (ptx - psx));

repeter b4v4 (n4v4-1);

127

i = i + 1;

ptx pty ptz = coor (point i s4v4);

psx psy psz = coor (point i s3v3);

tx = (rela ux (point i s4v4) - ux (point i s3v3));

ty = (rela uy (point i s4v4) - uy (point i s3v3));

tz = (rela uz (point i s4v4) - uz (point i s3v3));

qt1 = depi tx (ptx - psx);

qt4 = (depi tx (pty - psy)) et (depi ty (ptx - psx));

qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));

k4v4x = k4v4x et tx;

k4v4y = k4v4y et ty;

k4v4z = k4v4z et tz;

q4v41 = q4v41 et qt1;

q4v44 = q4v44 et qt4;

q4v45 = q4v45 et qt5;

fin b4v4;

k4v4=k4v4x et k4v4y et k4v4z;

* Phuong 2

n11h = nbno s11h;

i = 1;

ptx pty ptz = coor (point 1 s11h);

psx psy psz = coor (point 1 s44h);

k11hx = rela ux (point 1 s11h) - ux (point 1 s44h);

k11hy = rela uy (point 1 s11h) - uy (point 1 s44h);

k11hz = rela uz (point 1 s11h) - uz (point 1 s44h);

q11h2 = depi k11hy (pty - psy);

q11h4 = (depi k11hx (pty - psy)) et (depi k11hy (ptx - psx));

q11h6 = (depi k11hy (ptz - psz)) et (depi k11hz (pty - psy));

repeter b11h (n11h-1);

i = i + 1;

ptx pty ptz = coor (point i s11h);

psx psy psz = coor (point i s44h);

tx = (rela ux (point i s11h) - ux (point i s44h));

ty = (rela uy (point i s11h) - uy (point i s44h));

128

tz = (rela uz (point i s11h) - uz (point i s44h));

qt2 = depi ty (pty - psy);

qt4 = (depi tx (pty - psy)) et (depi ty (ptx - psx));

qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));

k11hx = k11hx et tx;

k11hy = k11hy et ty;

k11hz = k11hz et tz;

q11h2 = q11h2 et qt2;

q11h4 = q11h4 et qt4;

q11h6 = q11h6 et qt6;

fin b11h;

k11h=k11hx et k11hy et k11hz;

nb12 = nbno sb12;

i = 1;

ptx pty ptz = coor (point 1 sb12);

psx psy psz = coor (point 1 sb43);

kb12x = rela ux (point 1 sb12) - ux (point 1 sb43);

kb12y = rela uy (point 1 sb12) - uy (point 1 sb43);

kb12z = rela uz (point 1 sb12) - uz (point 1 sb43);

qb122 = depi kb12y (pty - psy);

qb124 = (depi kb12x (pty - psy)) et (depi kb12y (ptx - psx));

qb126 = (depi kb12y (ptz - psz)) et (depi kb12z (pty - psy));

repeter bb12 (nb12-1);

i = i + 1;

ptx pty ptz = coor (point i sb12);

psx psy psz = coor (point i sb43);

tx = (rela ux (point i sb12) - ux (point i sb43));

ty = (rela uy (point i sb12) - uy (point i sb43));

tz = (rela uz (point i sb12) - uz (point i sb43));

qt2 = depi ty (pty - psy);

qt4 = (depi tx (pty - psy)) et (depi ty (ptx - psx));

qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));

kb12x = kb12x et tx;

kb12y = kb12y et ty;

129

kb12z = kb12z et tz;

qb122 = qb122 et qt2;

qb124 = qb124 et qt4;

qb126 = qb126 et qt6;

fin bb12;

kb12=kb12x et kb12y et kb12z;

n2h2 = nbno s2h2;

i = 1;

ptx pty ptz = coor (point 1 s2h2);

psx psy psz = coor (point 1 s3h3);

k2h2x = rela ux (point 1 s2h2) - ux (point 1 s3h3);

k2h2y = rela uy (point 1 s2h2) - uy (point 1 s3h3);

k2h2z = rela uz (point 1 s2h2) - uz (point 1 s3h3);

q2h22 = depi k2h2y (pty - psy);

q2h24 = (depi k2h2x (pty - psy)) et (depi k2h2y (ptx - psx));

q2h26 = (depi k2h2y (ptz - psz)) et (depi k2h2z (pty - psy));

repeter b2h2 (n2h2-1);

i = i + 1;

ptx pty ptz = coor (point i s2h2);

psx psy psz = coor (point i s3h3);

tx = (rela ux (point i s2h2) - ux (point i s3h3));

ty = (rela uy (point i s2h2) - uy (point i s3h3));

tz = (rela uz (point i s2h2) - uz (point i s3h3));

qt2 = depi ty (pty - psy);

qt4 = (depi tx (pty - psy)) et (depi ty (ptx - psx));

qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));

k2h2x = k2h2x et tx;

k2h2y = k2h2y et ty;

k2h2z = k2h2z et tz;

q2h22 = q2h22 et qt2;

q2h24 = q2h24 et qt4;

q2h26 = q2h26 et qt6;

fin b2h2;

k2h2=k2h2x et k2h2y et k2h2z;

130

* Phuong 3

na1 = nbno sa1;

i = 1;

ptx pty ptz = coor (point 1 sa1);

psx psy psz = coor (point 1 sa1s);

ka1x = rela ux (point 1 sa1) - ux (point 1 sa1s);

ka1y = rela uy (point 1 sa1) - uy (point 1 sa1s);

ka1z = rela uz (point 1 sa1) - uz (point 1 sa1s);

qa13 = depi ka1z (ptz - psz);

qa15 = (depi ka1x (ptz - psz)) et (depi ka1z (ptx - psx));

qa16 = (depi ka1y (ptz - psz)) et (depi ka1z (pty - psy));

repeter ba1 (na1-1);

i = i + 1;

ptx pty ptz = coor (point i sa1);

psx psy psz = coor (point i sa1s);

tx = (rela ux (point i sa1) - ux (point i sa1s));

ty = (rela uy (point i sa1) - uy (point i sa1s));

tz = (rela uz (point i sa1) - uz (point i sa1s));

qt3 = depi tz (ptz - psz);

qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));

qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));

ka1x = ka1x et tx;

ka1y = ka1y et ty;

ka1z = ka1z et tz;

qa13 = qa13 et qt3;

qa15 = qa15 et qt5;

qa16 = qa16 et qt6;

fin ba1;

ka1=ka1x et ka1y et ka1z;

na2 = nbno sa2;

i = 1;

ptx pty ptz = coor (point 1 sa2);

psx psy psz = coor (point 1 sa2s);

ka2x = rela ux (point 1 sa2) - ux (point 1 sa2s);

131

ka2y = rela uy (point 1 sa2) - uy (point 1 sa2s);

ka2z = rela uz (point 1 sa2) - uz (point 1 sa2s);

qa23 = depi ka2z (ptz - psz);

qa25 = (depi ka2x (ptz - psz)) et (depi ka2z (ptx - psx));

qa26 = (depi ka2y (ptz - psz)) et (depi ka2z (pty - psy));

repeter ba2 (na2-1);

i = i + 1;

ptx pty ptz = coor (point i sa2);

psx psy psz = coor (point i sa2s);

tx = (rela ux (point i sa2) - ux (point i sa2s));

ty = (rela uy (point i sa2) - uy (point i sa2s));

tz = (rela uz (point i sa2) - uz (point i sa2s));

qt3 = depi tz (ptz - psz);

qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));

qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));

ka2x = ka2x et tx;

ka2y = ka2y et ty;

ka2z = ka2z et tz;

qa23 = qa23 et qt3;

qa25 = qa25 et qt5;

qa26 = qa26 et qt6;

fin ba2;

ka2=ka2x et ka2y et ka2z;

na3 = nbno sa3;

i = 1;

ptx pty ptz = coor (point 1 sa3);

psx psy psz = coor (point 1 sa3s);

ka3x = rela ux (point 1 sa3) - ux (point 1 sa3s);

ka3y = rela uy (point 1 sa3) - uy (point 1 sa3s);

ka3z = rela uz (point 1 sa3) - uz (point 1 sa3s);

qa33 = depi ka3z (ptz - psz);

qa35 = (depi ka3x (ptz - psz)) et (depi ka3z (ptx - psx));

qa36 = (depi ka3y (ptz - psz)) et (depi ka3z (pty - psy));

repeter ba3 (na3-1);

132

i = i + 1;

ptx pty ptz = coor (point i sa3);

psx psy psz = coor (point i sa3s);

tx = (rela ux (point i sa3) - ux (point i sa3s));

ty = (rela uy (point i sa3) - uy (point i sa3s));

tz = (rela uz (point i sa3) - uz (point i sa3s));

qt3 = depi tz (ptz - psz);

qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));

qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));

ka3x = ka3x et tx;

ka3y = ka3y et ty;

ka3z = ka3z et tz;

qa33 = qa33 et qt3;

qa35 = qa35 et qt5;

qa36 = qa36 et qt6;

fin ba3;

ka3=ka3x et ka3y et ka3z;

na4 = nbno sa4;

i = 1;

ptx pty ptz = coor (point 1 sa4);

psx psy psz = coor (point 1 sa4s);

ka4x = rela ux (point 1 sa4) - ux (point 1 sa4s);

ka4y = rela uy (point 1 sa4) - uy (point 1 sa4s);

ka4z = rela uz (point 1 sa4) - uz (point 1 sa4s);

qa43 = depi ka4z (ptz - psz);

qa45 = (depi ka4x (ptz - psz)) et (depi ka4z (ptx - psx));

qa46 = (depi ka4y (ptz - psz)) et (depi ka4z (pty - psy));

repeter ba4 (na4-1);

i = i + 1;

ptx pty ptz = coor (point i sa4);

psx psy psz = coor (point i sa4s);

tx = (rela ux (point i sa4) - ux (point i sa4s));

ty = (rela uy (point i sa4) - uy (point i sa4s));

tz = (rela uz (point i sa4) - uz (point i sa4s));

133

qt3 = depi tz (ptz - psz); qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx -

psx));

qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));

ka4x = ka4x et tx;

ka4y = ka4y et ty;

ka4z = ka4z et tz;

qa43 = qa43 et qt3;

qa45 = qa45 et qt5;

qa46 = qa46 et qt6;

fin ba4;

ka4=ka4x et ka4y et ka4z;

na5 = nbno sa5;

i = 1;

ptx pty ptz = coor (point 1 sa5);

psx psy psz = coor (point 1 sa5s);

ka5x = rela ux (point 1 sa5) - ux (point 1 sa5s);

ka5y = rela uy (point 1 sa5) - uy (point 1 sa5s);

ka5z = rela uz (point 1 sa5) - uz (point 1 sa5s);

qa53 = depi ka5z (ptz - psz);

qa55 = (depi ka5x (ptz - psz)) et (depi ka5z (ptx - psx));

qa56 = (depi ka5y (ptz - psz)) et (depi ka5z (pty - psy));

repeter ba5 (na5-1);

i = i + 1;

ptx pty ptz = coor (point i sa5);

psx psy psz = coor (point i sa5s);

tx = (rela ux (point i sa5) - ux (point i sa5s));

ty = (rela uy (point i sa5) - uy (point i sa5s));

tz = (rela uz (point i sa5) - uz (point i sa5s));

qt3 = depi tz (ptz - psz);

qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));

qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));

ka5x = ka5x et tx;

ka5y = ka5y et ty;

ka5z = ka5z et tz;

134

qa53 = qa53 et qt3;

qa55 = qa55 et qt5;

qa56 = qa56 et qt6;

fin ba5;

ka5=ka5x et ka5y et ka5z;

nm = nbno sm;

i = 1;

ptx pty ptz = coor (point 1 sm);

psx psy psz = coor (point 1 sms);

kmx = rela ux (point 1 sm) - ux (point 1 sms);

kmy = rela uy (point 1 sm) - uy (point 1 sms);

kmz = rela uz (point 1 sm) - uz (point 1 sms);

qm3 = depi kmz (ptz - psz);

qm5 = (depi kmx (ptz - psz)) et (depi kmz (ptx - psx));

qm6 = (depi kmy (ptz - psz)) et (depi kmz (pty - psy));

repeter bm (nm-1);

i = i + 1;

ptx pty ptz = coor (point i sm);

psx psy psz = coor (point i sms);

tx = (rela ux (point i sm) - ux (point i sms));

ty = (rela uy (point i sm) - uy (point i sms));

tz = (rela uz (point i sm) - uz (point i sms));

qt3 = depi tz (ptz - psz);

qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));

qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));

kmx = kmx et tx;

kmy = kmy et ty;

kmz = kmz et tz;

qm3 = qm3 et qt3;

qm5 = qm5 et qt5;

qm6 = qm6 et qt6;

fin bm;

kmm=kmx et kmy et kmz;

* modele

135

moda=modl voa mecanique elastique isotrope;

mata=matr moda young ea nu pa;

modm=modl vom mecanique elastique isotrope;

matm=matr modm young em nu pm;

kia=rigi moda mata;

kim=rigi modm matm;

k=kia et kim;

* blocage des mouvements de translation;

kclp = bloq depl p1;

* * assemblage de la matrice de rigidite * k1 = k11v et kb14 et k4v4;

k2 = k11h et kb12 et k2h2;

k3 = ka1 et ka2 et ka3 et ka4 et ka5 et kmm;

kcon = k et kclp et k1 et k2 et k3;

* * Chargement *

q1 = q11v1 et qb141 et q4v41;

q2 = q11h2 et qb122 et q2h22;

q3 = qa13 et qa23 et qa33 et qa43 et qa53 et qm3;

q4 = q11v4 et qb144 et q4v44 et q11h4 et qb124 et q2h24;

q51 = q11v5 et qb145 et q4v45;

q52 = qa15 et qa25 et qa35 et qa45 et qa55 et qm5;

q5 = q51 et q52;

q61 = q11h6 et qb126 et q2h26;

q62 = qa16 et qa26 et qa36 et qa46 et qa56 et qm6;

q6 = q61 et q62;

* * resolution *

u1 = reso kcon (q1);

u2 = reso kcon (q2);

u3 = reso kcon (q3);

u4 = reso kcon (q4);

u5 = reso kcon (q5);

u6 = reso kcon (q6);

* * Calcul champs de contrainte effective *

*Mode1: E=1.e1

ga1=grad moda u1;

136

gm1=grad modm u1;

da1x=(intg moda ga1 ux,x)/va;

dm1x=(intg modm gm1 ux,x)/vm;

d1x=(phia*da1x)+(phim*dm1x);

da1y=(intg moda ga1 uy,y)/va;

dm1y=(intg modm gm1 uy,y)/vm;

d1y=(phia*da1y)+(phim*dm1y);

da1z=(intg moda ga1 uz,z)/va;

dm1z=(intg modm gm1 uz,z)/vm;

d1z=(phia*da1z)+(phim*dm1z);

sa1x = (c11a*da1x)+(c12a*da1y)+(c12a*da1z);

sm1x = (c11m*dm1x)+(c12m*dm1y)+(c12m*dm1z);

s1x = (phia*sa1x) + (phim*sm1x);

sa1y = (c12a*da1x)+(c11a*da1y)+(c12a*da1z);

sm1y = (c12m*dm1x)+(c11m*dm1y)+(c12m*dm1z);

s1y = (phia*sa1y) + (phim*sm1y);

sa1z = (c12a*da1x)+(c12a*da1y)+(c11a*da1z);

sm1z = (c12m*dm1x)+(c12m*dm1y)+(c11m*dm1z);

s1z = (phia*sa1z) + (phim*sm1z);

*Mode2: E=1.e2

ga2=grad moda u2;

gm2=grad modm u2;

da2x=(intg moda ga2 ux,x)/va;

dm2x=(intg modm gm2 ux,x)/vm;

d2x=(phia*da2x)+(phim*dm2x);

da2y=(intg moda ga2 uy,y)/va;

dm2y=(intg modm gm2 uy,y)/vm;

d2y=(phia*da2y)+(phim*dm2y);

da2z=(intg moda ga2 uz,z)/va;

dm2z=(intg modm gm2 uz,z)/vm;

d2z=(phia*da2z)+(phim*dm2z);

sa2x = (c11a*da2x)+(c12a*da2y)+(c12a*da2z);

sm2x = (c11m*dm2x)+(c12m*dm2y)+(c12m*dm2z);

s2x = (phia*sa2x) + (phim*sm2x);

137

sa2y = (c12a*da2x)+(c11a*da2y)+(c12a*da2z);

sm2y = (c12m*dm2x)+(c11m*dm2y)+(c12m*dm2z);

s2y = (phia*sa2y) + (phim*sm2y);

sa2z = (c12a*da2x)+(c12a*da2y)+(c11a*da2z);

sm2z = (c12m*dm2x)+(c12m*dm2y)+(c11m*dm2z);

s2z = (phia*sa2z) + (phim*sm2z);

*Mode3: E=1.e3

ga3=grad moda u3;

gm3=grad modm u3;

da3x=(intg moda ga3 ux,x)/va;

dm3x=(intg modm gm3 ux,x)/vm;

d3x=(phia*da3x)+(phim*dm3x);

da3y=(intg moda ga3 uy,y)/va;

dm3y=(intg modm gm3 uy,y)/vm;

d3y=(phia*da3y)+(phim*dm3y);

da3z=(intg moda ga3 uz,z)/va;

dm3z=(intg modm gm3 uz,z)/vm;

d3z=(phia*da3z)+(phim*dm3z);

sa3x = (c11a*da3x)+(c12a*da3y)+(c12a*da3z);

sm3x = (c11m*dm3x)+(c12m*dm3y)+(c12m*dm3z);

s3x = (phia*sa3x) + (phim*sm3x);

sa3y = (c12a*da3x)+(c11a*da3y)+(c12a*da3z);

sm3y = (c12m*dm3x)+(c11m*dm3y)+(c12m*dm3z);

s3y = (phia*sa3y) + (phim*sm3y);

sa3z = (c12a*da3x)+(c12a*da3y)+(c11a*da3z);

sm3z = (c12m*dm3x)+(c12m*dm3y)+(c11m*dm3z);

s3z = (phia*sa3z) + (phim*sm3z);

*mode 4 E=1*e1*e2

ga4=grad moda u4;

gm4=grad modm u4;

da4xy=(1./2.)*((intg moda ga4 ux,y)+(intg moda ga4 uy,x))/va;

dm4xy=(1./2.)*((intg modm gm4 ux,y)+(intg modm gm4 uy,x))/vm;

d4xy =(phia*da4xy)+(phim*dm4xy);

sa4xy=2*(c66a*da4xy);

138

sm4xy=2*(c66m*dm4xy);

s4xy = (phia*sa4xy) + (phim*sm4xy);

*mode 5 E=1*e1*e3

ga5=grad moda u5;

gm5=grad modm u5;

da5xz=(1./2.)*((intg moda ga5 ux,z)+(intg moda ga5 uz,x))/va;

dm5xz=(1./2.)*((intg modm gm5 ux,z)+(intg modm gm5 uz,x))/vm;

d5xz =(phia*da5xz)+(phim*dm5xz);

sa5xz=2*(c66a*da5xz);

sm5xz=2*(c66m*dm5xz);

s5xz = (phia*sa5xz) + (phim*sm5xz);

haha= (intg moda ga5 ux,z);

*mode 6 E=1*e2*e3

ga6=grad moda u6;

gm6=grad modm u6;

da6zy=(1./2.)*((intg moda ga6 uz,y)+(intg moda ga6 uy,z))/va;

dm6zy=(1./2.)*((intg modm gm6 uz,y)+(intg modm gm6 uy,z))/vm;

d6zy =(phia*da6zy)+(phim*dm6zy);

sa6zy=2*(c66a*da6zy);

sm6zy=2*(c66m*dm6zy);

s6zy = (phia*sa6zy) + (phim*sm6zy); * * Calcul des coefficients effectives

mut=s4xy/2;

kt = (1./2.)*(s1x+s1y)/(d1x+d1y);

mu3t=s6zy/2;

p3t=s1z/(s1x+s1y);

e3t=s3z-(p3t*(s3x+s3y));

mess mut kt e3t p3t mu3t;

*kiem tra: de tinh cho truong hop phang

*haha=2*mut*(1+(s1z*(p3t/e3t)));

*pt=(s1x-haha)/(s1y+haha);

*eet=2.*mut*(1+pt);

*pt2=pt/(1-pt);

*eet2=eet/(1-(pt*pt));

139

*kt2=eet2/(2.*(1.-(pt2)));

*mess (kt-kt2);

*listEt = listKt ’ET’ (’PROG’ eet);

*listPt = listMt ’ET’ (’PROG’ pt);

listKt = listKt ’ET’ (’PROG’ kt);

listMt = listMt ’ET’ (’PROG’ mut);

listE3t = listE3t ’ET’ (’PROG’ e3t);

listP3t = listP3t ’ET’ (’PROG’ p3t);

listM3t = listM3t ’ET’ (’PROG’ mu3t);

listP = listP ’ET’ (’PROG’ phi);

fin b1; *evoe = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listEt;

*evop = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listPt;

evok = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listKt;

evom = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listMt;

evoe3 = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listE3t;

evop3 = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listP3t;

evom3 = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listM3t;

*list evoe;

*list evop;

list evok;

list evom;

list evoe3;

list evop3;

list evom3;

*dess evok;

*dess evom;

-fin;

Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật: Đánh giá và mô phỏng mô đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

VŨ LÂM ĐÔNG

ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

VŨ LÂM ĐÔNG

ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

PGS.TSKH PHẠM ĐỨC CHÍNH

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CÁM ƠN

Mục lục

Danh sách hình vẽ

Danh sách bảng

Công thức và kí hiệu

MỞ ĐẦU

Tính thời sự và ý nghĩa của luận án

Mục tiêu của luận án

Đối tượng của luận án

Phương pháp nghiên cứu

Những đóng góp của luận án

Cấu trúc của luận án

Chương 1 TỔNG QUAN

1.1. Đồng nhất hóa vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần

1.2. Các xấp xỉ và đánh giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô

1.3. Kết luận

Chương 2 XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI THỂ TÍCH VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN

2.1. Xây dựng biên trên mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật

liệu đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý

năng lượng cực tiểu

2.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật

liệu đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý

năng lượng bù cực tiểu

2.3. Lớp vật liệu đẳng hướng ngang

2.4. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể

2.5. Kết luận

Chương 3 XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI TRƯỢT VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN

3.1. Xây dựng biên trên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu

đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng

lượng cực tiểu

3.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu

đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng

lượng bù cực tiểu

3.3. Trường hợp đánh giá dưới mô đun đàn hồi trượt diện

tích

3.4. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể

3.5. Kết luận

Chương 4 PHƯƠNG PHÁP PTHH ÁP DỤNG CHO VẬT LIỆU TUẦN HOÀN NHIỀU THÀNH PHẦN

4.1. Đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn

4.2. Giới thiệu về chương trình CAST3M

4.3. Tính toán cho mô hình vật liệu cụ thể

4.4. Kết luận

KẾT LUẬN CHUNG

Những đóng góp mới của luận án:

Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu

Các công trình đã công bố

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

Có thể bạn quan tâm

Loại hình di tích cư trú trên nền đất đắp thời tiền sử ở tỉnh Long An

Tài liệu Kỹ thuật sản xuất lúa hữu cơ

Nghiên cứu sử dụng tro xỉ của các nhà máy nhiệt điện TKV làm nền đường

Mô đun đàn hồi của bê tông

Bài giảng Vật liệu xây dựng: Chương 6 - Nguyễn Thanh Sang

Bài giảng Kết cấu bê tông ứng lực trước: Chương 5 - PGS.TS. Nguyễn Minh Long

Mẫu Văn bản đề nghị phê duyệt nghiên cứu thử nghiệm lâm sàng của tổ chức, cá nhân có kỹ thuật mới, phương pháp mới trong khám bệnh, chữa bệnh - Mẫu 04

Tài liệu TOF - Hướng dẫn kỹ thuật sản xuất cà phê chè bền vững thích ứng với biến đổi khí hậu vùng Tây Bắc Việt Nam (Dùng để tập huấn nông dân sản xuất cà phê chè vùng Tây Bắc Việt Nam)

Báo cáo tổng kết đề tài khoa học và công nghệ cấp trường: Xây dựng video bài giảng cho học phần Cơ kỹ thuật

Báo cáo tổng kết đề tài khoa học và công nghệ cấp trường: Xây dựng Video bài giảng cho môn học Cơ kỹ thuật 1

Báo cáo tổng kết đề tài khoa học và công nghệ cấp trường: Xây dựng video bài giảng cho học phần Cơ kỹ thuật 2

Dao động tự do của dầm có cơ tính biến thiên trong môi trường nhiệt độ cao

Đề thi cuối học kì 2 môn Cơ kỹ thuật năm 2019-2020 - Đề số 02

Đề thi cuối học kì 2 môn Cơ kỹ thuật năm 2019-2020 - Đề số 01

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật: Nghiên cứu giải pháp nâng cao hiệu quả chẩn đoán lỗi vòng bi động cơ điện bằng kỹ thuật xử lý tín hiệu tiên tiến và học máy

Đề thi học kì 1 môn Cơ kỹ thuật năm 2022-2023 (Hệ CLC)

Đề thi học kì 2 môn Cơ kỹ thuật năm 2021-2022 (Hệ CLC)

Đề thi học kì 2 môn Cơ kỹ thuật năm 2021-2022

Đề thi học kì 2 môn Cơ kỹ thuật năm 2019-2020 có đáp án

Đề thi học kì 2 môn Cơ kỹ thuật năm 2019-2020