Luận văn Thạc sĩ Khoa học lâm nghiệp: Tính toán tối ưu cho phần đệm đầu cọc khi sử dụng búa điêzen đóng cọc bê tông cốt thép

Chia sẻ: Tri Lộ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là thiết lập và giải bài toán đóng cọc bê tông cốt thép có cọc đệm thép bằng búa máy điêzen; tính toán cường độ ứng suất trong cọc đệm thép và cọc bê tông phụ thuộc vào các thông số của các cọc; từ sự phụ thuộc đó đưa ra được các giá trị tối thiểu cần thiết của cọc đệm thép về diện tích tiết diện, về chiều dài để cường độ ứng suất trong các cọc ở dưới mức ứng suất cho phép trong quá trình đóng cọc.... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học lâm nghiệp: Tính toán tối ưu cho phần đệm đầu cọc khi sử dụng búa điêzen đóng cọc bê tông cốt thép

1 MỞ ĐẦU Trong bất cứ các công trình xây dựng nào dù lớn hoặc nhỏ thì việc gia cố nền móng là không thể thiếu được. Để gia cố nền móng người ta thường sử dụng các cọc bê tông cốt thép với hai hình thức : cọc nhồi và cọc bê tông đúc sẵn. Mỗi hình thức gia cố trên đều có các ưu, nhược điểm của nó. Hình thức dùng cọc nhồi thường ở các công trình lớn. Hình thức thi công cọc bê tông đúc sẵn thường dùng cho các công trình nhỏ và vừa, nhất là trong các điều kiện thi công bằng cọc nhồi gặp khó khăn. Máy và thiết bị để thi công đóng cọc bê tông đúc sẵn là các máy ép cọc hoặc búa máy đóng cọc. Trong các loại búa máy đóng cọc hiện nay được dùng nhiều nhất là các búa máy điêzen. Khi tác nghiệp việc đóng cọc bê tông cốt thép để gia cố nền móng ở những địa hình khác nhau, chẳng hạn như trên bến sông, cầu cảng hoặc là do yêu cầu đầu trên của cọc phải chìm sâu dưới mặt đất thì người ta dùng thêm một cọc đệm (còn gọi là cọc giả) bằng thép. Độ dài và độ chịu bền của các cọc đệm tùy thuộc theo địa hình và tùy theo các loại búa khác nhau. Trong quá trình thi công đóng cọc bê tông cốt thép, do lực va chạm giữa búa máy và đầu cọc được đóng trên nền đất với các tính chất cơ lý khác nhau sẽ có khả năng dẫn đến hiện tượng đầu cọc bị phá vỡ. Sở dĩ có hiện tượng trên là do quá trình va chạm lực từ búa đến đầu cọc, lực được truyền theo dạng sóng đàn hồi từ đầu cọc đến đáy cọc và phản xạ từ đáy cọc lên, nếu cùng tần số thì sẽ có cộng hưởng lực và xảy ra hiện tượng ứng suất tăng đột ngột dẫn đến đầu cọc bị phá vỡ. Hiện tượng này có thể xảy ra ngay trong phần thân cọc.
2 Nghiên cứu lý thuyết về bài toán toán đóng cọc bê tông đúc sẵn với nội dung lựa chọn các thông số của búa, của phần cọc đệm một các tốt nhất để trong quá trình thi công đóng cọc tránh được hiện tượng vỡ đầu cọc cũng như hiện tượng nứt vỡ cọc hiện nay vẫn là vấn đề thời sự. Tính toán lực va chạm giữa búa và đầu cọc cũng như tần số đóng cọc trên cơ sở độ dài của cọc và của phần đệm, các tham số đặc trưng cho vật liệu, hình học của cọc và phầm đệm sẽ giải quyết được vấn đề trên. Để nâng cao hiệu quả sử dụng của cọc bê tông trong gia cố nền móng trong các công trình dân dụng và giao thông thủy lợi hiện tại ở Việt nam, đồng thời xuất phát từ những cơ sở khoa học và thực tiễn , tôi thực hiện đề tài: “Tính toán tối ưu cho phần đệm đầu cọc khi sử dụng búa điêzen đóng cọc bê tông cốt thép”. Đối với bài toán cơ học, điều kiện biên sẽ ảnh hưởng rất lớn đến phương pháp giải và nghiệm của bài toán. Do khuôn khổ của đề tài và giới hạn của thời gian, nên nội dung của luận án chủ yếu xét cho trường hợp bài toán đóng cọc bê tông có các điều kiện biên phù hợp với các điều kiện thực tế khi thi công đóng cọc trên địa hình bến sông, cầu cảng hoặc ao hồ, những nơi mà lực cản đàn nhớt của mặt bên cọc có thể bỏ qua khi thi công đóng cọc.
3 CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1.1 Các nghiên cứu về lý thuyết Nghiên cứu liên quan đến nội dung về va chạm của búa máy và các ứng xử cơ học bên trong cọc bê tông cốt thép đã có nhiều tác giả quan tâm dưới các dạng bài toán về va chạm dọc của hai thanh đàn hồi, va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi với các điều kiện biên khác nhau [1] , [2] : có lực chống cản đàn hồi ở đầu dưới thanh và mặt bên có lực ma sát hoặc không có lực ma sát. Trong các nghiên cứu này, các tác giả đã thiết lập bài toán về truyền sóng trong thanh đàn hồi và nói chung đều dẫn đến phương trình có dạng : 2 u(x,t) u(x,t) 2  u(xi ,t) 2  K.u(x,t)    a t2 t x2 trong đó : u = u(x,t) hàm chuyển dịch của tiết diện ngang dọc theo thanh K - hệ số chống cản đàn hồi  - hệ số cản nhớt a - vận tốc truyền sóng. Phương pháp giải chủ yếu được dùng là phép biến đổi Laplace :  u0 (x,p)   u(x, t).e pt dt từ đó dẫn đến phương trình Volter. Nghiệm tìm được 0 theo phương pháp lặp gần đúng liên tiếp.
4 Nhận xét chung về các bài toán đã giải quyết thấy rằng:  Mô hình thiết lập chỉ gần với mô hình của quá trình đóng cọc bê tông cốt thép đúc sẵn .  Không sử dụng được các kết quả của các nghiên cứu này cho việc lựa chọn: các thông số cho cọc đệm, các thông số cho búa máy để không xảy hiện tượng cộng hưởng lực khi đóng cọc trong giai đoạn cuối của cọc ( gặp tầng đất có hệ số chống cản cao). 1.2 Các chỉ dẫn kỹ thuật khi thi công đóng cọc Trong thực tế, để thực hiện các quá trình đóng cọc bê tông, người ta chuẩn bị sẵn nhiều loại búa có các thông số khác nhau, nhiều loại cọc đệm có độ dài và các thông số khác nhau. Một trong các công tác chuẩn bị khi thực hiện tác nghiệp đóng cọc bê tông là chọn búa đóng cọc cho phù hợp. Búa đóng cọc được chọn phải đảm bảo các yêu cầu kỹ thuật : - Phải phù hợp với cọc, không quá lớn dẫn đến vỡ đầu cọc, tốc độ đóng hợp lý, đạt được độ chối thiết kế cho cọc. - Phải phù hợp với loại giá búa - Có tính khả thi theo địa hình thi công. Tại các công trình xây dựng hiện nay người ta thực hiện quy trình chọn búa đóng cọc theo các bước và các chỉ dẫn kỹ thuật như sau: 1- Chọn sơ bộ theo điều kiện sau (theo trị số động năng của bộ phận xung kích): Q = 0.025Pđ
5 trong đó  Q – năng lượng một nhát búa (năng lượng của bộ phận xung kích , kJ ; kG.m ; J.m)  Pđ - sức chịu tải của cọc theo đất nền (kG ; T) Hoặc công thức: Q = Qb.v2/2g trong đó  Qb – trọng lượng đầu búa  v – vận tốc rơi của búa (m/s) 2- Kiểm tra sự thích dụng của búa với trọng lượng cọc (hệ số thích dụng): Kt.h = (QT + qc)/ Q trong đó  QT – trọng lượng toàn bộ búa  qc – trọng lượng toàn bộ cọc Nếu giá trị của Kt.h nhỏ hơn nhiều so với các giá trị cho phép tức là búa không đủ nặng so với trọng lượng cọc dẫn đến tốc độ đóng chậm, dễ vỡ đầu cọc hoặc cọc sẽ không đủ sức chịu tải theo thiết kế. Nếu Kt.h lớn hơn nhiều giá trị so với các giá trị cho cho phép tức là trọng lượng búa quá lớn dẫn đến cọc xuống quá nhanh, khó kiểm soát độ chối ổn định so với thiết kế, mặt khác nếu gặp vật cản hoặc tầng đất cứng dễ bị gẫy cọc .
6 Theo kinh nghiệm, chọn búa đóng cọc theo tỉ lệ trọng lượng đầu búa Qb và trọng lượng cọc như sau:  Với cọc có L ≤ 12m: Qb/qc = 1.25 - 1.50  Với cọc có L > 12m: Qb/qc = 0.75 - 1.0 1.3 Mục tiêu của đề tài Giải quyết các vấn đề về lý thuyết của bài toán đóng cọc bê tông có cọc đệm thép làm cơ sở cho việc chọn búa - cọc cũng như thiết kế các thông số tối ưu về kích cỡ của cọc đệm thép , đề tài đưa ra mục tiêu nghiên cứu với các vấn đề như sau:  Thiết lập và giải bài toán đóng cọc bê tông cốt thép có cọc đệm thép bằng búa máy điêzen .  Tính toán cường độ ứng suất trong cọc đệm thép và cọc bê tông phụ thuộc vào các thông số của các cọc : Mô đun đàn hồi E , chiều dài L , diện tích thiết diện F, khối lượng riêng  của thép và của bê tông cốt thép.  Từ sự phụ thuộc đó đưa ra được các giá trị tối thiểu cần thiết của cọc đệm thép về diện tích tiết diện, về chiều dài để cường độ ứng suất trong các cọc ở dưới mức ứng suất cho phép trong quá trình đóng cọc. Đây cũng là mục tiêu làm tối ưu của phần cọc đệm thép tức là có tổng khối lượng cọc đệm thép tối thiểu.  Viết phần mềm giúp cho việc tính toán được thuận lợi và nhanh chóng.
7 1.4 Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu - Khả năng ứng dụng 1.4.1 Đối tượng nghiên cứu  Thiết lập và giải bài toán về trạng thái ứng suất trong các cọc đệm thép và cọc bê tông cốt thép trong quá trình thi công đóng cọc bằng búa máy Điêzen  Trên cơ sở sự liên hệ giữa các thông số của các búa máy với các thông số của các cọc và độ chống cản của nền đất cùng với điều kiện cường độ ứng suất trong các cọc nhỏ hơn ứng suất cho phép, đưa ra được các thông số tối ưu (về diện tích tiết diện ) cho việc thết kế các cọc đệm ( dựa trên các yêu cầu cố định về độ dài).  Viết phần mềm tính toán. 1.4.2 Phạm vi nghiên cứu  Nghiên cứu bài toán đóng cọc bê tông cốt thép có cọc đệm thép khi bỏ qua các lực ma sát dọc theo cọc bằng các loại búa máy điêzen  Các thông số tối ưu về tiết diện ngang của cọc đệm thép với các độ dài cố định khác nhau. 1.4.3 Khả năng ứng dụng  Cho kết quả tính toán nhanh do có phần mềm.  Đề tài có khả năng ứng dụng cho các loại búa máy khác. 1. 5 Nội dung trình bày của luận văn Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, 5 chương và phụ lục :  Chương 1 : Tổng quan nội dung nghiên cứu  Chương 2 : Cơ sở lý thuyết sử dụng trong luận văn
8  Chương 3 : Mô hình hóa và thiết lập bài toán đóng cọc bê tông bằng búa máy - Phương pháp giải  Chương 4 : Kết quả tính toán với các số liệu cụ thể.  Chương 5 : Kết luận Phần phụ lục là code của chương trình tính trên Visual-Basic. 1.6 Các kết quả đạt được của luận văn Kết quả nghiên cứu của đề tài đã thực hiện được : - Xây dựng mô hình tính toán về sự lan truyền của sóng đàn hồi trong bài toán đóng cọc bê tông cốt thép bằng búa máy điêzen. - Xác định được chuyển vị, biến dạng, ứng suất trên cơ sở lý thuyết va chạm và lý thuyết đàn hồi cùng với lực chống cản khác nhau của nền đất. . - Xác định được cường độ ứng suất cực đại trong các cọc, từ đó kiểm tra sự làm việc trong giới hạn cho phép hay không. - Viết phần mềm tính toán giúp cho việc lựa chọn các thông số của phần cọc đệm và loại búa để có sự phù hợp với các thông số của cọc bê tông và của nền đất trong quá trình thi công đóng cọc. - Sự phù hợp của các thông số trên sẽ là các thông số tối ưu khi chế tạo các cọc đệm thép.
9 CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN 2.1 BÀI TOÁN ĐỘNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 2.1.1 Các hệ thức cơ bản Bài toán của lý thuyết đàn hồi với tải trọng thay đổi theo thời gian sẽ cho xuất hiện các ứng suất động. Giả thiết mọi biến dạng của vật thể là nhỏ, nên chuyển động là nhỏ và người ta gọi là dao động đàn hồi hoặc sóng đàn hồi. Các thành phần chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong vật thể phải thỏa mãn các phương trình và các điều kiên biên sau : + Phương trình chuyển động ij 2u j  K j   2 (2. 1a) xi t nếu không kể lực khối : ij 2u j  2 (2.1b) xi t + Định luật Huc ( phương trình trạng thái) ij  ij  2eij (2. 2) + Hệ thức Cô-si
10 1  u u j  eij   i   (2. 3) 2  x j xi  + Điều kiện đầu tại t = 0 có : * ui(x1 , x2 , x3 , 0) = ui0  x1 ,x2 ,x3 ,0  (2.4) ui *  vi0 (x1 ,x 2 ,x3 ) t t0 + Các điều kiện biên   * Trên biên Su cho chuyển vị : u  u b (2.5)  * Trên biên S lực mặt F = Tn hay là ij n j  Fi (2.6) Các phương trình (2.1a) (hoặc (2.1b) ), (2.2) , (2.3) cùng với các điều kiện đầu (2.4) và các điều kiện biên (2.5), (2.6) lập thành một hệ kín xác định 3 thành phần chuyển vị, 6 thành phần biến dạng và 6 thành phần ứng suất. Việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán trên đã được chứng minh. 2.1.2 Nguyên lý Saint - Venant và nguyên lý chồng chất nghiệm Đối vật thể có một trong các kích thước đặc trung nhỏ hơn nhiều lần ( lớn hơn 20 lần) so với các kích thước kia ( bản, vỏ) hoặc hai kích thước nhỏ hơn nhiều lần kích thước thứ 3 ( thanh, dầm) thì người ta thường dùng nguyên lý Saint - Venant trong khi giải bài toán. Nguyên lý Saint -venant : Nếu tại miền nào đấy ( bên trong hoặc trên biên vật thể ) không lớn lắm so với kích thước chính của vật thể, mà chịu tác dụng của lực ngoài ( lực khối hoặc lực mặt) và vật thể ở trạng thái cân bằng, thì
11 tại các miền xa miền đặt lực đó trạng thái ứng suất và biến dạng được xác định chủ yếu bằng véc tơ chính và mô men chính của các lực đó và không phụ thuộc vào các đặc trưng chi tiết của sự phân bố các lực đó. Ảnh hưởng về sự phân bố cụ thể của các lực chỉ thể hiện ngay lân cận miền đặt lực. Dựa vào nguyên lý Saint-Venant, khi giải các bài toán cân bằng về bản, vỏ, dầm người ta đã cho thỏa mãn gần đúng các điều kiện biên về lực ngoài dưới dạng cho thỏa mãn về lực tổng, mô men tổng của các lực trên cả miền đặt lực. Nguyên lý chồng chất nghiệm: Trong phạm vi lý thuyết đàn hồi tuyến tính ta nhận thấy từ tính chất tuyến tính của các phương trình cân bằng, phương trình trạng thái, hệ thức Cô - si sẽ dẫn đến tính chất cộng tuyến của các nghiệm. j , ij Giả sử có hai nghiệm u(1) và j , ij mô tả trạng thái ứng (1) u(2) (2) suất - biến dạng của cùng một vật thể dưới tác dụng của các hệ lực tương ứng : lực khối K(1) j và lực mặt Fj(1) ; lực khối K(2) j và lực mặt Fj(2) . Chúng thỏa mãn phương trình cân bằng ( hoặc chuyển động) và các điều kiện biên tương ứng : ij(1) ni  Fj(1) trên S1 và u (1) j  uj b(1) trên S2 ij(2) ni  Fj(2) trên S1 và u(2) j  u b(2) j trên S2 khi đó ta sẽ có : u j  u(1) j  uj (2) và ij  ij(1)  ij(2) sẽ là nghiệm của bài toán về chuyển dịch, ứng suất trong vật thể dưới tác dụng của lực khối : K j  K(1) j  K(2) j và lực mặt Fj  Fj(1)  Fj(2) trên biên S1 thỏa mãn chuyển dịch cho trước u bj  u b(1) j  ub(2) j trên biên S2
12 2.1.3 Các phương pháp giải bài toán đàn hồi theo chuyển dịch Nhờ có định luật Huc và hệ thức Cô-si ta có thể đưa phương trình chuyển động viết cho chuyển dịch , đó là phương trình La-mê   2 u j 2 u j 2 u j  2 u j       2  2  2    K j   2 (2.7a) x j  x1 x2 x3  t hoặc khi không lực khối   2 u j 2 u j 2 u j  2 u j       2  2  2    2 j=1,2 3 (2.7b) x j  x1 x2 x3  t u1 u2 u3 trong đó   e11  e22  e33 =    divu x1 x2 x3 Các điều kiện biên * Trên biên Su chuyển vị : u(x1,x2 ,x3 ,t)  ub (x1,x2 ,x3 ,t) (2.8a)  * Trên biên S lực mặt F = Tn hay là ij n j  Fi được đưa về các thành phần chuyển dịch nhờ Huc và Cô-si :   ui u j  ij n j  Fi  ij n j  ij      n j  Fi    jx x i  hay là (2.8b)  u u u   u u   u u   u u    1  2  3  ni   i  1  n1   i  2  n2   i  3  n3 = Fi  x1 x 2 x3   x1 xi   x 2 xi   x3 xi  i = 1,2,3
13 Điều kiện đầu tại t = 0 có : * ui(x1 , x2 , x3 , 0) = ui0  x1 ,x2 ,x3 ,0  (2.8c) ui *  vi0 (x1 ,x 2 ,x3 ) t t0 Để giải phương trình các phương trình (2.7a) hoặc (2.7b) với các điều kiện biên (2.8a) , (2.8b) và điều kiện đầu (2.8c) người ta có nhiều cách giải khác nhau. Trong nội dung của luận văn này, để giải bài toán động của lý thuyết đàn hồi, nhờ nguyên lý chồng chất nghiệm ta dùng phương pháp Ritz, tức là sẽ tìm nghiệm theo các thành phần chuyển dịch của vật thể cân bằng dưới dạng:  ui (x1,x2 ,x3 ,t)   Aik .fik (x1,x2 ,x3 ,t) ; ( i = 1 , 2 , 3 và không tổng theo i ) k 1 trong đó các hàm fik (x1,x2 ,x3 ,t) thỏa mãn các phương trình chuyển động. Các hệ số Aik được xác định từ các phương trình có được bằng cách cho thỏa mãn các điều kiện biên và điều kiện đầu. 2.1.4 Dao động của vật thể đàn hồi 2.1.4.1 Dao động tự do và dao động cưỡng bức  Nếu lực ngoài tác động làm vật thể đàn hồi biến dạng và nằm trong trạng thái cân bằng hoặc chuyển động, sau đó triệt tiêu tức khắc sự tác động gây ra biến dạng, thì các phần tử của vật thể sẽ chuyển dịch tuần hoàn. Chuyển động như vậy của vật thể đàn hồi liên quan đến biến dạng khi không có lực ngoài gọi là dao động tự do . Dao động tự do của vật thể đàn hồi sẽ là nghiệm của phương trình chuyển động không lực khối (2.7b) với điều kiện biên không có lực ngoài tác động :
14   u1 u2 u3   2 u j 2 u j 2 u j  2 u j           2  2  2    2  0 (2.7b) x j  x1 x2 x3   x1 x2 x3  t j = 1,2 3   ui u j  ij n j  0 hay ij n j  ij      n j  0 ; i = 1 , 2 , 3 (2.9)   x j x i  Chú ý rằng các phương trình (2.7b) là các phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc hai, còn điều kiện biên (2.9) là biểu thức tuyến tính thuần nhất của các vi phân bậc nhất các chuyển dịch. Do tính chất tuần hoàn của các chuyển dịch và giả thiết các chuyển dịch ui khả tích trên các trên các khoảng thời gian T bất kỳ nên ta có thể biểu diễn các chuyển dịch qua chuỗi Fourier. Chính vì vậy ta có thể tìm nghiệm của (2.7b) dưới dạng :  u j (x1,x2 ,x3 ,t)  Ak u(k) (x1,x2 ,x3 ). cos(pk t k ) (2.10) k 1 pk trong đó pk được gọi là tần số vòng, k  là tần số riêng , k là pha ban 2 đầu , các hằng số nhân Ak và hàm số u(k) được xác định từ các phương trình nhận được khi thay (2.10) vào (2.7b) và điều kiện biên (2.9).  Dưới tác dụng của lực ngoài thay đổi theo thời gian, các phần tử của vật thể đàn hồi chuyển động tuần hoàn, ta gọi chuyển động đó là dao động cưỡng bức. Nếu có lực khối và lực ngoài tác dụng lên vật thể thì phương trình (2.7b) và hệ thức (2.9) sẽ không thuần nhất. Khi đó nghiệm tổng quát sẽ bằng nghiệm của thuần nhất cộng với nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất.
15 Nếu tần số của lực ngoài trùng với tần số riêng nào đấy, sẽ xuất hiện hiện tượng cộng hưởng và biên độ dao động riêng tương ứng sẽ tăng vô hạn, gây ra sự phá hủy vật thể. 2.1.4.2 Dao động dọc của thanh Dưới tác dụng của lực ngoài dọc trục và được phân bố đều trên tiết diện ngang, khi đó các phần tử nằm trên các tiết diện ngang chỉ chuyển động theo hướng trục thanh và chúng luôn trên cùng một mặt phẳng vuông góc với trục. Tất nhiên biến dạng dọc do dãn, nén dọc trục sẽ kéo theo biến dạng ngang nào đấy, nhưng giả thiết ở đây là bước sóng dọc lớn hơn nhiều so với kích thước tiết diện ngang nên ta có thể bỏ qua biến dạng ngang. Hình 2.1 Chọn hệ trục tọa độ khi xét bài toán truyền sóng trong thanh đàn hồi Giả sử thanh có chiều dài L với trục theo chiều x, chịu tác dụng lực dọc trục. Mặt bên không có lực ngoài tác dụng, bỏ qua lực khối. Như vậy biến dạng ở đây chỉ có biến dạng dọc là dãn nén đơn giản do đó chỉ có một thành phần ứng suất xx và một thành phần biến dạng exx là khác không. Gọi véc tơ chuyển dịch là u  u(x, y,z,t)   u, v , w  , khi đó có: u  xx  E.exx  E. x
16 thay vào phương trình chuyển động không lực khối (2.1b) ta nhận được : 2u(x, t) 2u(x, t) E.   x 2 t 2 2 u(x, t) 2  u(x, t) 2 hay là a (2.11) t 2 x 2 E trong đó a được gọi là vận tốc truyền sóng , với a (2.12)  Phương trình (2.11) được gọi là phương trình dao động dọc của thanh.  Nghiệm tổng quát của (2.11) được viết dưới dạng : u(x,t) = (x  at) + (x  at) (2.13) trong đó các hàm  và  là các hàm khả vi đến cấp 2 , chúng được xác định qua các điều kiện biên và điều kiện đầu. 2.2. CHUỖI FOURIER CỦA HÀM LIÊN TỤC TRÊN ĐOẠN 2.2.1 Khai triển Fourier của một hàm liên tục trên [a , b] Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a , b], khi đó f(x) khả tích trên [a, b]. Đặt hàm F(x) = f(x) với mọi x  [a , b] và F(x) tuần hoàn với chu kỳ 2T nào đó ( thỏa mãn điều kiện 2T > b - a ), khả tích trên đoạn bất kỳ, việc làm như vậy ta gọi là thác triển f(x) thành hàm F(x). Với tích chất tuần hoàn và khả tích của F(x) ta khai triển được hàm F(x) thành chuỗi fourier có dạng :   kx kx  F(x)  a0   a kcos  bk sin  (2.15) k 1  T T 
17 với : kx T T 1 1 2T T a0  F(x)dx ; a k   F(x)cos dx ; T T T kx T 1 bk   F(x)sin dx (2.16) T T T Chuỗi lượng giác (2.15) hội tụ về đúng giá trị của F(x) tại những điểm mà F(x) liên tục, còn tại các điểm gián đoạn loại một thì chuỗi hội tụ về giá trị trung bình cộng của các giới hạn phải, giới hạn trái. Như vậy chuỗi (2.15) sẽ hội tụ về giá trị của f(x) với mọi x  ( a, b) , còn tại x  a và x  b thì tùy thuộc vào việc thác triển thành hàm F(x) có liên tục tại các điểm này hay không. Chú ý rằng nếu ta thác triển f(x) thành hàm F(x) :  Nếu F(x) là một hàm chẵn thì chuỗi fourier có dạng :  kx F(x)  a0  a k cos (2.17) k 1 T 1T 2T kx với a 0   F(x)dx ; a k   F(x)cos dx T0 T0 T  Nếu F(x) là một hàm lẻ thì chuỗi fourier có dạng :  kx F(x)  b k 1 k sin T (2.18) 2T kx với bk   F(x)sin dx T0 T
18 2.3. MỘT SỐ CÁC NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT VA CHẠM 2.3.1 Khái niệm và các giả thiết trong lý thuyết va chạm 2.3.1.1 Thời gian va chạm : thời gian va chạm được ký hiệu là  có giá trị rất nhỏ, thực tế thời gian va chạm thường trong khoảng 10 -4 giây đến 10-2 giây tùy thuộc vào các tính chất cơ lý của các vật va chạm. Gọi v  v(t) là vận tốc chuyển động của cơ hệ trong thời gian va chạm thì  đại lượng :   v(t)dt là đoạn đường dịch chuyển của cơ hệ trong thời gian 0 va chạm, vì thời gian va chạm  là vô cùng nhỏ nên người ta giả thiết trong quá trình va chạm cơ hệ không di chuyển. 2.3.1.2 Lực và xung lực va chạm : Trong quá trình va chạm ngoài các lực thông thường như trọng lực, lực ma sát... vật còn chịu tác dụng của phản lực ( lực tương hỗ). Lực tương hỗ gây nên gia tốc chuyển động của vật trong quá trình va chạm và nó được gọi là lực va chạm, ký hiệu là N . Lực va chạm N chỉ xuất hiện trong quá trình va chạm, nó không có trước và không tồn tại sau khi va chạm. Vì gia tốc trong thời gian va chạm rất lớn nên lực va chạm N cũng rất lớn. Do lực va chạm N biến đổi trong thời gian  vô cùng nhỏ nên người ta đánh giá tác dụng của nó qua xung lượng: S  m.v
19 Áp dụng định lý biến thiên động lượng cho cơ hệ trong thời gian va chạm, ta có :   mk vk   F k dt   Ndt 0 0  trong đó xung lượng của lực thường  F dt 0 k rất nhỏ và ảnh hưởng đến sự biến đổi động lượng của hệ là không đáng kể nên giả thiết có thể bỏ qua. Do vậy biểu thức biến thiên động lượng của hệ trong thời gian va chạm :  mk vk   Ndt 0 = S (2.19) Xung lượng S = | S | có thứ nguyên [ lực. thời gian] với các đơn vị : N.s ; KG. s ; KN.s Hình 2.2 : Xung lực N = f(t) ; xung lực trung bình N*
20 2.3.1.3 Giai đoạn biến dạng - Giai đoạn hồi phục : Quá trình va chạm được chia thành hai giai đoạn : giai đoạn biến dạng và giai đoạn hồi phục . Giai đoạn biến dạng trong thời gian 1 từ lúc bắt đầu va chạm cho đến khi thôi biến dạng. Giai đoạn hồi phục kéo dài trong thời gian 2 từ khi kết thúc giai đoạn biến dạng đến khi lấy lại hình dạng ban đầu ở một mức độ nhất định nào đấy tùy theo tính chất đàn hồi của vật. Theo mức độ hồi phục của vật mà người chia va chạm thành ba loại :  Va chạm mềm là va chạm sau giai đoạn biến dạng vật không có khả năng hồi phục, do vậy không có giai đoạn hồi phục.  Va chạm hoàn toàn đàn hồi là va chạm mà sau khi kết thúc va chạm thì vật lấy lại hình dạng như ban đầu.  Va chạm không hoàn toàn đàn hồi là va chạm mà sau khi kết thúc va chạm thì vật chỉ lấy lại một phần hình dạng ban đầu. Người ta đưa ra khái niệm về hệ số hồi phục k - là tỷ số giữa xung lượng của giai đoạn 2 ( giai đoạn hồi phục) và xung lượng của giai đoạn 1 ( giai đoạn biến dạng) : S2 k (2.20) S1 Như vậy với va chạm mềm thì k = 0 , với va chạm hoàn toàn đàn hồi thì k = 1, với va chạm không hoàn toàn đàn hồi thì 0 < k < 1.