Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nhận dạng vết nứt của bánh răng bằng phương pháp đo dao động và phép biến đổi Wavelet rời rạc

Chia sẻ: Sơ Dương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:83

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Nhận dạng vết nứt của bánh răng bằng phương pháp đo dao động và phép biến đổi Wavelet rời rạc" trình bày ứng dụng của việc phân tích số tín hiệu dao động cơ học và mạng neural để phát hiện hƣ hỏng, vết nứt bánh răng trong hộp số. Phép phân tích tín hiệu đƣợc sử dụng là phép biến đổi Wavelet rời rạc, mạng nơron đƣợc sử dụng là mạng nơron truyền thẳng đa lớp MLP, chƣơng trình tính toán đƣợc thực hiện trên phần mềm Matlab với công cụ Signal Processing Toolbox, Neural Networks Toolbox.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nhận dạng vết nứt của bánh răng bằng phương pháp đo dao động và phép biến đổi Wavelet rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI -------- HÀ TRUNG KIÊN NHẬN DẠNG VẾT NỨT CỦA BÁNH RĂNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐO DAO ĐỘNG VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: CƠ HỌC KỸ THUẬT MÃ SỐ: CHKT13B-01 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN PHONG ĐIỀN HÀ NỘI 2014 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LỜI CAM ĐOAN Họ tên học viên: Hà Trung Kiên Khóa: 2013- 2015 Ngành: Cơ học kỹ thuật Tên đề tài: “Nhận dạng vết nứt của bánh răng bằng phương pháp đo dao động và phép biến đổi Wavelet rời rạc” Lời cam đoan của học viên: Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình do tôi tự làm và nghiên cứu. Trong luận văn có sử dụng một số tài liệu tham khảo trong nƣớc và nƣớc ngoài. Những tài liệu tham khảo này đã đƣợc trích dẫn và liệt kê trong mục tài liệu tham khảo. Hà nội, ngày…tháng 12 năm 2014 Học viên Hà Trung Kiên 2
MỤC LỤC Trang Trang 1 LỜI CAM ĐOAN ...………………………………………………………...……...2 MỤC LỤC ...………………………………………………………………...……...3 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT ...……………………….………..6 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ...………………………….…………….7 MỞ ĐẦU ...……………………………………………………...……………….10 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC …………...……………………………………………………………….……......14 1.1 Phép biến đổi Fourier ...……….…………………………………………….14 1.2 Biến đổi Wavelet liên tục ............…………………………………………17 1.2.1 Phép biến đổi Wavelet liên tục ……………………………………….18 1.2.2 Ý nghĩa của phép biến đổi Wavelet liên tục …...…………………….20 1.3 Biến đổi Wavelet rời rạc …….……………………………….……………..23 1.3.1 Phân tích đa phân giải ………………………………………………..24 1.3.2 Biến đổi Wavelet trực giao …………………………………………...25 1.3.3 Thuật giải Mallat ……………………………………………………..26 1.3.4 Một số hàm Wavelet rời rạc thông dụng ….…………….……………30 1.4 Biến đổi Wavelet Packet …….….…………………………………………..32 1.4.1 Cơ sở Wavelet Packet…………….…………………………………..32 3
1.4.2 Biến đổi Wavelet Packet điều hòa …………………………………..34 KẾT LUẬN CHƢƠNG 1……………………………….………………………41 CHƢƠNG 2. MẠNG NƠRON ……...…….……………………………………..42 2.1 Giới thiệu về mạng nơron nhân tạo.…………………………..…………….42 2.2 Mạng nơron sinh học và mạng nơron nhân tạo…...…………...……………43 2.2.1 Mạng nơron sinh học………………………………………………...43 2.2.2 Mạng nơron nhân tạo………………………………………………...44 2.2.3 Một số hàm truyền thƣờng gặp……………………………………….46 2.3 Kiến trúc của mạng Nơron …………………………………………………48 2.3.1 Phân loại mạng nơron .……………………………………………….48 2.3.2 Perceptron…………………………………………………………….48 2.3.3 Một số kiểu kiến trúc mạng nơron .…………………………………..50 2.4 Huấn luyện mạng Nơron ..…………………………………………………53 2.4.1 Các phƣơng pháp học của mạng nơron.……………………………..53 2.4.2 Thuật toán lan truyền ngƣợc………………………………………….55 2.5 Wavelet Neural Networks…………………………………………………56 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2………………………………………………………59 CHƢƠNG 3. PHÁT HIỆ N V Ế T NỨT BÁNH RĂNG NHỜ WAVELET NEURAL NETWORKS……………………..……………………..…………….60 3.1 Các dạng hƣ hỏng chủ yếu của bánh răng…………………………………..60 3.1. 1 Mòn…………………………………………………………………60 4
3.1.2 Dính, rỗ, tróc răng…………………………………………………….61 3.1.3 Nứt, gãy chân răng và mẻ đỉnh răng………………………………….61 3.1.4 Tróc mỏi bề mặt………………………………………………………62 3.1.5 Lỗi chế tạo……………………………………………………………62 3.2 Mô hình thí nghiệm…………………………………………………………62 3.3 Phát hiện vết nứt bánh răng bằng phân tích tín hiệu trong miền thời gian, tần số…………………………………………………………………………………...63 3.3.1 Phân tích tín hiệu trong miền thời gian……………………………….63 3.3.2 Phân tích tín hiệu trong miền tần số…………………………………65 3.4 Nhận dạng vết nứt bánh răng nhờ Wavelet Neural Networks………………69 3.4.1 Đồng bộ hóa tín hiệu………………………………………………….69 3.4.2 Phân tích Wavelet Packet……………………………………………71 3.4.3 Mô hình mạng Neural trong nhận dạng vết nứt bánh răng…………72 3.4.4 Nhận dạng vết nứt bánh răng nhờ Wavelet Neural Networks………..75 KẾT LUẬN CHƢƠNG 3……………………………………………………….80 KẾT LUẬN …………………………………………………………………….…81 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………….82 5
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT ANN: Artificial Neural Network- Mạng nơron nhân tạo BP: Backpropagation- Thuật toán lan truyền ngƣợc CWT: Continuous Wavelet Transform- Phép biến đổi Wavelet liên tục DWT: Discrete Wavelet Transform- Phép biến đổi Wavelet rời rạc FT: Fourier Transform- Phép biến đổi Fourier iFT: inverse Fourier Transform- Phép biến đổi Fourier ngƣợc HWPT: Harmonic Wavelet Packet Transform- Phép biến đổi Wavelet Packet điều hòa HWT: Harmonic Wavelet Transform- Phép biến đổi Wavelet điều hòa MLP: Multi-Layer Perceptron- Mạng nơron đa lớp WNN: Wavelet Neural Networks WPT: Wavelet Packet Transform- Phép biến đổi Wavelet Packet WT: Wavelet Transform- Phép biến đổi Wavelet 6
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình vẽ, Tên hình vẽ, đồ thị Trang đồ thị Hình 1. 1 Phổ tần số- biên độ của một tín hiệu điều biến biên độ có A1 20, A2 25 f1 10, f2 50( Hz) 17 Hình 1. 2 Hàm Morlet-Wavelet (phần thực) 19 Hình 1. 3 Các bước biến đổi CWT 20 Hình 1. 4 Tín hiệu thời gian của dao động hộp số bánh răng 21 Hình 1. 5 Phân tích CWT của tín hiệu dao động hộp số bánh răng 22 Hình 1. 6 Tín hiệu phân tích CWT với lát cắt song song với trục thời gian tại vùng 2800Hz 22 Hình 1. 7 Phân tích DWT đa phân giải bậc 4 28 Hình 1. 8 Tín hiệu dao động của hộp số bánh răng qua phân tích DWT bậc 2 29, 30 Hình 1. 9 Hàm wavelet Haar và phổ biên độ của nó 31 Hình 1. 10 Hàm Wavelet Daubechie 4 và phổ biên độ của nó 31 Hình 1. 11 Hàm Wavelet Coiflet 4 và phổ biên độ của nó 31 Hình 1. 12 Hàm Wavelet Symlet 4 và phổ biên độ của nó 32 Hình 1. 13 Phân tích WPT bậc 4 34 Hình 1. 14 Sơ đồ thuật toán HWT 36 Hình 1. 15 Cây phân tích WPT bậc 2 và tín hiệu dao động ban đầu của hộp số bánh răng 37 Hình 1. 16 Các dải tín hiệu con sau khi phân tích WPT bậc 2 38 Hình 1.17 Cây phân tích HWPT bậc 2 và tín hiệu dao động ban đầu của hộp số 39 Hình 1.18 Các dải tín hiệu con sau phân tích HWPT bậc 2 40 7
Hình 2.1 Hệ thần kinh con người 44 Hình 2.2 Cấu trúc của một nơron 44 Hình 2.3 Một số hàm truyền thường gặp 47 Hình 2.4 Perceptron 48 Hình 2.5 Phân loại các vector đầu vào của perceptron 49 Hình 2.6 Mạng nơron truyền thằng đơn lớp 50 Hình 2.7 Mạng nơron truyền thẳng đa lớp 52 Hình 2.8 Mạng nơron hồi quy 53 Hình 2.9 Cấu trúc của một mạng Wavelet Neural Network 57 Hình 2.10 Wavelon 57 Hình 2.11 Mạng WNN một chiều 58 Hình 3.1 Một số dạng hư hỏng của bộ truyền bánh răng 60 Hình 3.2 Mô hình đo tín hiệu dao động của hộp số bánh răng 62 Hình 3.3 Tín hiệu dao động trong miền thời gian: a)-bánh răng bình thường, b)- mòn nhẹ, c)- mòn trung bình, d)- gãy răng 64 Hình 3.4 Phổ tín hiệu trong miền tần số: a)-bánh răng bình thường, b)- mòn nhẹ, c)- mòn trung bình, d)- gãy răng 66 Hình 3.5 Phổ đường bao của các trạng thái hư hỏng bánh răng: a)- bánh răng bình thường, b)- mòn nhẹ, c)- mòn trung bình, d)- mòn nặng/ gãy răng 67, 68 Hình 3.6 Tín hiệu chưa được đồng bộ hóa ứng với 1 vòng quay của trục 69 Hình 3.7 Phân chia tín hiệu thành các khối để đồng bộ hóa nhờ tín hiệu pha 70 Hình 3.8 Tín hiệu sau đồng bộ hóa ứng với 1 vòng quay của trục 70 Hình 3.9 Cây phân tích WPT bậc 4 71 Hình 3.10 Hệ số WPT của mẫu tín hiệu bánh răng gãy bậc 0 đến 3 71 Hình 3.11 Hệ số Wavelet Packet của mẫu tín hiệu bánh răng gãy bậc 4 72 Hình 3.12 Độ lệch chuẩn của mẫu tín hiệu bánh răng gãy phân tích 8
WPT bậc 4 73 Hình 3.13 Mô hình mạng nơron truyền thẳng đa lớp MLP 74 Hình 3.14 Mô hình chẩn đoán thông minh nhờ MNN 75 Hình 3.15 Giao diện chính của chương trình 76 Hình 3.16 Tạo mạng nơron với 3 lớp mạng, các thông số mạng 77 Hình 3.17 Kết quả huấn luyện mạng đạt 100% 77 Hình 3.18 Kết quả kiểm tra mạng đạt 100% 78 Hình 3.19 Kết quả nhận dạng hư hỏng với dữ liệu bất kỳ 78 9
MỞ ĐẦU Trên thế giới, chẩn đoán kỹ thuật, đã trở thành một lĩnh vực khoa học quan trọng về nhận dạng tình trạng kỹ thuật của máy móc, thiết bị và công trình. Dựa trên các kết quả của chẩn đoán kỹ thuật, hình thức bảo dƣỡng theo tình trạng hoạt động đã và đang mang lại nhiều lợi ích về kinh tế- kỹ thuật và đặc biệt là giảm thiểu nguy cơ rủi ro cho ngƣời vận hành. Một thành tố quan trọng trong lĩnh vực chẩn đoán kỹ thuật, nhận dạng tình trạng máy móc, thiết bị chính là kỹ thuật đo đạc dao động cơ học. Các tín hiệu dao động cơ học có thể trợ giúp trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật nhƣ: Chẩn đoán hƣ hỏng và giám sát tình trạng kỹ thuật của máy quay, cân bằng máy, đánh giá chất lƣợng sản phẩm... Để thu đƣợc thông tin chính xác của tín hiệu, ta phải phân tích và xử lý tín hiệu. Kỹ thuật xử lý tín hiệu số hiện nay đã có một bƣớc tiến vƣợt bậc cùng với sự phát triển của kỹ thuật đo đạc dao động bằng tín hiệu điện. Trên cơ sở phép biến đổi Fourier, một loạt các phƣơng pháp phân tích tín hiệu trong miền thời gian và tần số đã đƣợc xây dựng và hoàn thiện nhƣ: Lọc số, phân tích phổ đƣờng bao, trung bình hóa tín hiệu, phân tích Wavelet [1] [6]. Các phƣơng pháp này hiện đang đƣợc sử dụng rộng rãi và đƣợc tích hợp trong phần mềm đo và tính toán chuyên dụng. Tùy từng đối tƣợng cụ thể mà ta sử dụng phƣơng pháp phân tích tín hiệu cụ thể hay kết hợp các phƣơng pháp với nhau để đạt đƣợc hiệu quả nhất. Ví dụ với chẩn đoán ổ lăn, phƣơng pháp phân tích tín hiệu thƣờng đƣợc sử dụng là phƣơng pháp phân tích phổ đƣờng bao tín hiệu [1], chẩn đoán sai hỏng bánh răng ta có thể dùng phƣơng pháp phân tích phổ tần số, phân tích Wavelet trong[2] [6]. Các phép biến đổi Wavelet (Wavelets Transform- WT) đã đƣợc xây dựng về mặt lý thuyết toán học khá hoàn chỉnh. Một số ứng dụng của phƣơng pháp phân tích này 10
đƣợc liệt kê và trình bày trong các tài liệu [6] [8]. Ƣu điểm cơ bản của phƣơng pháp này là khả năng biểu diễn tín hiệu dao động đồng thời trong miền thời gian- tần số, cung cấp nhiều thông tin hơn về tín hiệu, tăng khả năng phát hiện các bất thƣờng trong dao động của máy. Bên cạnh đó, với sự phát triển của khoa học máy tính, ngành trí tuệ nhân tạo đã có những bƣớc phát triển lớn, tạo ra đƣợc những chƣơng trình, những máy thông minh có tri thức của con ngƣời, hoạt động nhƣ suy nghĩ của con ngƣời. Việc áp dụng trí tuệ nhân tạo trong chẩn đoán kỹ thuật là một khía cạnh mới mẻ. Trên thế giới, các áp dụng này mới đƣợc công bố trên các tạp chí khoa học trong những năm gần đây nhƣ các công trình [5] [9] [10] và chỉ mới đƣợc áp dụng trong một số trƣờng hợp, chủ yếu là trong chẩn đoán hƣ hỏng hộp số bánh răng, hƣ hỏng của ổ đỡ. Hệ truyền động bánh răng là những cụm chi tiết thông dụng trong máy móc và thiết bị cơ khí. Chẩn đoán hƣ hỏng của hộp số bánh răng công nghiệp là đề tài nhận đƣợc nhiều sự quan tâm của giới chuyên môn, nó giúp cho kỹ thuật viên có thể theo dõi đƣợc tình trạng thiết bị, từ đó đƣa ra giải pháp kỹ thuật phù hợp. Tại Việt Nam, chẩn đoán kỹ thuật, chẩn đoán hƣ hỏng hộp số bánh răng công nghiệp và hƣ hỏng của ổ đỡ là một lĩnh vực mới, mới đƣợc nghiên cứu trong những năm gần đây; có thể kể đến một số nghiên cứu nhƣ các công trình của PGS. TS Nguyễn Phong Điền [2] [7]. Ngoài ra, việc áp dụng chẩn đoán thông minh và chẩn đoán tự động- online vào lĩnh vực chẩn đoán kỹ thuật đang là hƣớng phát triển mới đầy hứa hẹn, mang tính thực tiễn cao. Trong luận văn “Nhận dạng vết nứt của bánh răng bằng phƣơng pháp đo dao động và phép biến đổi Wavelet rời rạc”, tác giả trình bày ứng dụng của việc phân tích số tín hiệu dao động cơ học và mạng neural để phát hiện hƣ hỏng, vết nứt bánh răng trong hộp số. Phép phân tích tín hiệu đƣợc sử dụng là phép biến đổi Wavelet rời rạc, mạng nơron đƣợc sử dụng là mạng nơron truyền thẳng đa lớp MLP, chƣơng trình tính toán đƣợc thực hiện trên phần mềm Matlab với công cụ Signal Processing Toolbox, Neural Networks Toolbox. 11
Nội dung luận văn đƣợc trình bày trong ba chƣơng: Chương 1: “Cơ sở phép biến đổi Wavelet rời rạc” trình bày cơ sở phép biến đổi Fourier, các phép biến đổi Wavelet và ứng dụng của các phép biến đổi đó trong việc phân tích tín hiệu số. Luận văn trình bày cụ thể cơ sở toán học của phép biến đổi Wavele rời rạc, phép biến đổi Wavelet Packet, Harmonic Wavelet Packet đƣợc sử dụng để xử lý tín hiệu, kết quả của quá trình phân tích này là đầu vào cho mạng nơron. Chương 2: “Mạng Nơron” trình bày cơ sở về mạng nơron, cấu tạo, cấu trúc mạng nơron, các phƣơng pháp học của mạng nơron. Mạng nơron đƣợc sử dụng phổ biến là mạng nơron truyền thẳng đa lớp MLP, với thuật toán học là thuật toán lan truyền ngƣợc. Bên cạnh đó trình bày mạng Wavelet neural networks, mạng này là sự kết hợp giữa mạng nơron truyền thẳng MLP với đầu vào là giá trị của quá trình phân tích tín hiệu bằng Wavelet packet, mạng đƣợc ứng dụng trong chẩn đoán vết nứt, hƣ hỏng bánh răng. Chương 3: “Phát hiện vết nứt bánh răng nhờ Wavelet neural networks” trình bày các dạng hƣ hỏng chủ yếu của bánh răng, mô hình thí nghiệm đo tín hiệu dao động của hộp số bánh răng với các dạng hỏng đƣợc định trƣớc. Chƣơng này cũng trình bày kết quả phân tích tín hiệu trong miền thời gian, miền tần số, cho thấy đƣợc những hạn chế của các phép phân tích tín hiệu trên trong nhận dạng hƣ hỏng bánh răng, từ đó đƣa ra chẩn đoán tình trạng bánh răng bằng Wavelet neural networks. Với việc trình bày trình tự các bƣớc xử lý, phân tích tín hiệu, nhận dạng bằng Wavelet neural networks, kết quả thu đƣợc là tin cậy, đúng với các sai hỏng định trƣớc có thể thấy đƣợc ƣu điểm và khả năng ứng dụng của phƣơng pháp trong thực tiễn sản xuất. Luận văn đƣợc thực hiện tại Bộ môn Cơ học ứng dụng- Viện Cơ Khí- Đại học Bách Khoa Hà Nội dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Phong Điền. 12
Tác giả xin cảm ơn thầy đã hƣớng dẫn, cung cấp những kiến thức quan trọng, quý giá giúp tác giả có thể hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày tháng 11 năm 2014 Học viên thực hiện: Hà Trung Kiên 13
CHƢƠNG I CƠ SỞ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC Các phép biến đổi tín hiệu với mục đích tái hiện tín hiệu theo một dạng khác mà không làm thay đổi các thông tin tín hiệu đó ẩn chứa. Cùng một tín hiệu, mỗi cách biến đổi khác nhau sẽ đƣa ra những cách nhìn khác nhau về tín hiệu đó. Qua đó, những thông tin ẩn chứa trong tín hiệu sẽ đƣợc khai thác và phản ánh hiện trạng của đối tƣợng sinh ra tín hiệu. Có nhiều phƣơng pháp biểu diễn tín hiệu: biểu diễn trong miền thời gian, trong miền tần số và trong miền thời gian- tần số. Ƣu điểm của việc mô tả tín hiệu trong miền thời gian là tính toán tƣơng đối đơn giản, có thể xác định đƣợc các thời điểm xảy ra dao động. Tuy nhiên việc mô tả này lại có nhƣợc điểm là khó đoán biết tần số và khó chẩn đoán. Việc mô tả tín hiệu trong miền tần số (phân tích phổ) cho phép nhận dạng tần số của tín hiệu nhƣng lại làm mất thông tin về thời gian (ví dụ nhƣ thời điểm xảy ra một hiện tƣợng, khoảng thời gian rung động…). Nhƣ vậy, việc mô tả tín hiệu riêng rẽ trong miền thời gian và trong miền tần số đều có những hạn chế nhất định. Để khắc phục những hạn chế trên, việc mô tả tín hiệu trong miền thời gian - tần số (Time - Frequency Analysis) đã đƣợc đề ra. Cách mô tả tín hiệu này thỏa mãn các yêu cầu của ngành chẩn đoán kĩ thuật là phải thể hiện đƣợc những thông tin về tần số, thời điểm và biên độ của các thành phần tín hiệu. Wavelet packet là một trong những công cụ để phân tích tín hiệu trong miền thời gian- tần số. 1.1 Phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier[1] đƣợc xây dựng trên nền tảng chuỗi Fourier, một hàm tuần hoàn x(t) có chu kỳ T bất kỳ có thể đƣợc khai triển thành tổng của các hàm điều hòa dƣới dạng:   x(t )  xk (t) a0 ( ak cos( kt )  bk sin( k t )) (1.1) k 0 k 1 14
Trong đó, các hệ số 𝑎 0 , 𝑎 𝑘, 𝑏𝑘 đƣợc gọi là các hệ số Fourier và đƣợc xác định: T 1 a0   x(t ) dt (1.2) T 0 2T ak   x( t) cos( kt) dt k=1,2,… (1.3) T 0 2T bk   x(t ) sin(kt )dt k=1,2,… (1.4) T0 Ta sử dụng những ký hiệu sau: 1 a a 0  A0 ; Ak  ak2 bk2 ; k arctan k ; fk  k (1.5) 2 bk Khi đó biểu thức (1.1) đƣợc viết lại:  1  x(t )  xk (t)  Ao Ak .cos(2. fk .t  k ) (1.6) k0 2 k 1 Công thức (1.6) còn đƣợc gọi là chuỗi Fourier thực một phía, do các tần số f k có giá trị dƣơng và các biên độ Ak nhận các giá trị là số thực. Tần số f1 1/ T (ứng với k=1) đƣợc gọi là tần số cơ bản, các tần số khác có trị số f k k . f1 với k là số nguyên dƣơng. Thành phần A0 / 2 ứng với tần số f 0 0 là hằng số. Các hàm điều hòa có biên độ Ak và tần số f k đƣợc gọi là điều hòa bậc k. Trong trƣờng hợp tổng quát, hàm x(t) có giá trị phức, ta có dạng biểu diễn khác của chuỗi Fourier: 1  1 x(t)= A0  Ak .(e j (2. f k .t k ) e j (2 . f k .t k) ) 2 k 1 2 15
 1    Ak .e j (2. fk .t k )   X k .e j.2 . fk .t (1.7) k2 k  trong đó j là đơn vị ảo. Công thức (1.7) đƣợc gọi là chuỗi Fourier phức hai phía, do các tần số f k nhận jk các giá trị trên toàn trục số (-∞...+∞) và các biên độ X k  Ak e có giá trị phức. Đây là công thức đƣợc sử dụng trong tính toán chuỗi Fourier, đặc biệt trong các phần mềm tính toán hiện nay. Tuy nhiên, chỉ các tần số dƣơng mới đƣợc sử dụng để phân tích dao động trong các ứng dụng thực tế. Trong trƣờng hợp tổng quát, với tín hiệu x(t) có thể tuần hoàn hoặc không tuần hoàn, phép biến đổi Fourier (FT) là một công cụ toán học quan trọng để biến đổi tín hiệu x(t) trong miền thời gian t sang miền tần số f :  FT x(t ) X ( f ) x(t )e j 2 ft dt (1.8)  Việc chuyển đổi tín hiệu X(f) trong miền tần số sang miền thời gian đƣợc thực hiện bởi phép biến đổi Fourier ngƣợc (iFT)  iFT X ( f )  x (t ) X ( f ).e j2  ftdf (1.9)  Phép biến đổi Fourier có một số tính chất quan trọng sau:  Phép biến đổi Fourier là phép biến đổi tuyến tính, tức : FT a1 x1 (t ) a2 x2 (t ) a1FT x1 (t )  a2 FT x2 (t ) (1.10)  Khi tín hiệu x(t) là tín hiệu thực; các giá trị X(f), X(-f) là các số phức liên hợp: X ( f )  X *( f ) (1.11) 16
 Nếu tín hiệu g(t)= x(t-t0 ) với t0 là hằng số, ta có quan hệ trong miền tần số: G ( f ) e j.2. f .t0 .X ( f ) (1.12) t  Nếu tín hiệu g (t )  x( ) với a là hằng số, ta có quan hệ trong miền tần số: a G( f )  a X (af ) (1.13) Phổ tần số X(f) của tín hiệu x(t) cho phép ta xác định đƣợc các thành phần tần số chứa trong tín hiệu. Theo (1.8) ta có thể biểu diễn X(f) dƣới dạng phổ hai phía, gồm các tần số âm và các tần số dƣơng. Trong thực tế, ta chỉ giữ lại các thành phần tần số dƣơng để biểu diễn đồ thị phổ tần số. Hình 1. 1: Phổ tần số- biên độ của một tín hiệu điều biến biên độ có A1 20, A2 25 f1 10, f 2 50( Hz ) 1.2 Biến đổi Wavelet liên tục Phân tích tín hiệu trong miền thời gian (hoặc tần số) chỉ cung cấp cho ta các thông tin của tín hiệu chỉ duy nhất trong miền thời gian (hoặc tần số). Phép biến đổi Wavelet (Wavelet Transform - WT), trong đó có phép biến đổi Wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform- CWT) [2] [6] là phép biến đổi trong miền thời gian- tần số. Phép biến đổi này đƣợc phát triển để khắc phục những thiếu sót của 17
phép biến đổi Fourier, từ đó cho ta thấy đƣợc rõ hơn các thông tin chứa trong tín hiệu đồng thời trong miền thời gian và tần số. 1.2.1 Phép biến đổi Wavelet liên tục Xét phép biến đổi Fourier của một hàm tín hiệu x(t) đƣợc phân tích thành tổng của các hàm điều hòa phức: 1  FT x (t ) X ( f )   x (t )e j 2 ftdt (1.14) 2  1 . Một cách tƣơng tự, phép biến đổi Wavelet sử dụng các hàm trong đó j   Wavelet cơ sở. Một hàm theo biến thời gian  (t ) đƣợc gọi là một hàm Wavelet cơ sở nếu thỏa mãn điều kiện sau: 1    2  2  (t ) dt  1 , = (t )dt  0 (1.15)     là biến đổi Fourier của  (t). Các hàm Wavelet đƣợc tạo ra từ Wavelet cơ sở với các biến tỉ lệ s, và hệ số dịch chuyển τ theo hệ thức sau: -1 t - ,s (t ) s ( 2 ) s , R  (1.16) s Biến đổi Wavelet của một tín hiệu dao động x(t) đƣợc định nghĩa dƣới dạng các hàm Wavelet: 1  CWTx ( s,)  x (t ), ,s (t ) s 2 x (t ) * ( t )dt (1.17)   s trong đó  * (t ) là hàm liên hợp của (t ) . Theo (1.17), tín hiệu x(t) đƣợc biến đổi thành hàm của hai biến s và τ. Bằng cách thay đổi hệ số tỷ lệ s và dịch chuyển hàm 18
Wavelet dọc theo thời gian một lƣợng τ, hệ số Wavelet CWTx (s ,) có thể tạo ra một đồ thị trong không gian ba chiều biểu diễn sự thay đổi biên độ của tín hiệu đồng thời theo trục thời gian (tỷ lệ với τ) và theo trục tần số (tỷ lệ với s), còn gọi là phân bố thời gian- tần số của tín hiệu. Một Wavelet cơ sở thƣờng hay đƣợc sử dụng đó là hàm Morlet- Wavelet có dạng: 1 t 2  (t )   .e 4 j .0 .t .e 2 (1.18) với 0 là một tham số hằng và có ảnh hƣởng quyết định đến độ phân giải tần số của đồ thị biên độ tín hiệu trong miền thời gian- tần số. Thông thƣờng, giá trị của 0 nằm trong khoảng 5 o 20 khi phân tích tín hiệu dao động. Hàm Morlet- Wavelet tƣơng ứng với hai giá trị khác nhau của 𝜔 0 đƣợc biểu diễn nhƣ hình 1.2: 0 =5 0 =10 Hình 1. 2: Hàm Morlet-Wavelet (phần thực) Một đặc điểm quan trọng của phép biến đổi Wavelet với hàm Morlet- Wavelet là hệ số tỷ lệ s có quan hệ với tần số f theo hệ thức: 0  2 02 f  (1.19) 4s t  Biến đổi Fourier của hàm g (t )  ( ) có dạng: s 19
FT{g (t )} G( f ) s * (sf ) (1.20) Áp dụng công thức (1.20), biến đổi Wavelet của x(t) theo biểu thức (1.15) ta có thể biểu diễn trong miền tần số dƣới dạng:  CWTx (, s )  X ( f ), ,s ( f )  s . X ( f ). *(sf ).e j 2f .df (1.21)  với * ( f ) là hàm liên hợp của  ( f ) . Phép biến đổi Wavelet biến đổi hàm tín hiệu một biến x(t) thành hàm tín hiệu 2 biến CWTx (, s) . Mặt khác từ (1.17), thời gian t là liên tục nên phép biến đổi Wavelet theo (1.21) đƣợc gọi là phép biến đổi Wavelet liên tục (CWT). Các bƣớc biến đổi Wavelet liên tục: Hình 1. 3: Các bước biến đổi CWT [2] 1.2.2 Ý nghĩa của phép biến đổi Wavelet liên tục Các biến và s trong (1.16) và (1.19) đóng một vai trò quan trọng trong biến đổi Wavelet. Khi tín hiệu đƣợc thể hiện qua phân bố thời gian- tần số nhờ biến đổi Wavelet liên tục, biến s đƣợc coi nhƣ là một hệ số tỷ lệ có tác dụng làm co giãn hàm 20