Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Toán tử squaring và ứng dụng trong nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn được chia làm 3 chương. Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản bao gồm đại số Steenrod, lý thuyết bất biến và đại số lambda. Chương 2 trình bày cách xây dựng đồng cấu Lannes-Zarati và nói về dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu. Chương 3 trình bày về các toán tử squaring và ứng dụng trong nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Toán tử squaring và ứng dụng trong nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati

Lời cảm ơn Tôi cảm ơn sâu sắc GS. TSKH. Nguyễn Hữu Việt Hưng, người đã truyền đạt nhiều bài học quí báu và tạo những điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Lê Minh Hà, TS. Võ Thị Như Quỳnh và TS. Phan Hoàng Chơn đã nhiệt tình giúp đỡ, góp ý và cung cấp cho tôi nhiều tài liệu phong phú. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong Bộ môn Đại số-Hình học-Tôpô đã giúp đỡ và có những lời khuyên quí giá trong việc nghiên cứu Khoa học. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình tôi, những người luôn ủng hộ và giúp đỡ để tôi yên tâm làm việc. i
Bảng kí hiệu F2 Trường với 2 phần tử Vk 2- nhóm abel sơ cấp hạng k BVk Không gian phân loại của nhóm Vk GLk = GL(Vk ) Nhóm tuyến tính tổng quát của Vk H∗ (X) Đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F2 H ∗ (X) Đối đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F2 A Đại số Steenrod (modulo 2) Ext∗A (F2 , F2 ) Đối đồng điều của đại số Steenrod T or∗A (F2 , F2 ) Đồng điều của đại số Steenrod ii
Mở đầu Xét đồng cấu Hurewicz H : π∗s (S 0 ) ∼ = π∗ (Q0 S 0 ) → H∗ (Q0 S 0 ), trong đó Q0 S 0 là một thành phần liên thông của không gian vòng lặp vô hạn Ω∞ S ∞ = limn Ωn S n với tôpô compact mở. Giả thuyết cổ điển về lớp cầu dự đoán rằng chỉ có các phần tử với bất biến Hopf bằng 1 và các phần tử với bất biến Kervaire bằng 1 nằm trong ảnh của đồng cấu Hurewicz. (Xem Curtis [8], Snaith-Tornehave [34], Wellington [35].) Trong công trình [22], Lannes và Zarati xây dựng các đồng cấu ϕk : Extk,k+i A (F2 , F2 ) → (F2 ⊗ Dk )∗i , A như là một phân bậc liên kết của đồng cấu Hurewicz H : π∗s (S 0 ) ∼ = π∗ (Q0 S 0 ) → H∗ (Q0 S 0 ). Ở đây, Dk là đại số Dickson gồm tất cả các phần tử của F2 [t1 , . . . , tk ] bất biến dưới tác động của GLk . Các phần tử với bất biến Hopf bằng 1 và bất biến Kervaire bằng 1 được đại điện bởi các chu trình vĩnh cửu nào đó tương ứng trong Ext1,∗ 2,∗ A (F2 , F2 ) và trong ExtA (F2 , F2 ), mà ở đó ϕ1 và ϕ2 khác 0 (xem Adams [2], Browder [6], Lannes-Zarati [22]). Từ đó, Nguyễn H. V. Hưng đã đưa ra giả thuyết nói rằng đồng cấu Lannes-Zarati bị triệt tiêu tại mọi phần tử có gốc i dương, với k > 2 (xem [11]). Giả thuyết này được biết đến như là dạng đại số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu. Trong [31], Singer xây dựng đối ngẫu của đại số lambda theo lý thuyết bất biến. Gọi Γk = Dk [Q−1 k,0 ] là địa phương hóa của Dk bằng cách làm nghịch đảo Qk,0 i và Γ∧k là môđun con của Γk , sinh bởi các đơn thức γ = Qik,0 0 Qik,1 1 k−1 . . . Qk,k−1 , với ∧ ∧ i0 ∈ Z, i1 , . . . , ik−1 ≥ 0 và i0 + degγ ≥ 0. Singer đã chỉ ra rằng Γ = ⊕k Γk là một đối đại số vi phân và đẳng cấu với đối ngẫu của đại số lambda, Λ, được xây dựng năm 1966 bởi 6 tác giả [5]. Vì vậy, Hk (Γ∧ ) ∼ = T orA (F2 , F2 ). k Sau đó, Nguyễn H. V. Hưng [13] đã xây dựng một biểu diễn ở cấp độ dây chuyền cho đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati vào năm 2001. Cụ thể, ông khẳng định iii
rằng phép nhúng Dk ⊂ Γ∧k là một biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati. Trên cơ sở định lý này, giả thuyết về sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes-Zarati với k > 2 tương đương với giả thuyết nói rằng nếu q ∈ Dk+ thì [q] = 0 trong T orkA (F2 , F2 ) với k > 2. Do đó, hình thức tương đương nói trên của dạng đại số của giả thuyết về lớp cầu chỉ ra một con đường chứng minh giả thuyết đó mà không cần dùng tới sự xác định tường minh của nhóm ExtkA (F2 , F2 ). Nhắc lại rằng, cho tới nay nhóm ExtkA (F2 , F2 ) mới chỉ được xác định tường minh cho các bậc đồng điều k ≤ 5. Dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu đã được chứng minh trong các trường hợp riêng sau đây: (1) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ k triệt tiêu trên mọi phần tử phân tích được trong ExtkA (F2 , F2 ) với k > 2 (xem Hưng-Peterson [16].) (2) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ k triệt tiêu trên ảnh của đồng cấu chuyển của Singer với k > 2 (xem Hưng-Nam [15].) (3) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ 3 và thứ 4 triệt tiêu trên mọi phần tử có gốc dương (xem Nguyễn H. V. Hưng [14] và [11].) (4) Gần đây, Nguyễn H. V. Hưng, Võ T. N. Quỳnh, và tác giả luận văn này đã chứng minh trong [18] rằng đồng cấu Lannes-Zarati thứ 5 triệt tiêu trên mọi phần tử có gốc dương. Luận văn được chia làm 3 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản bao gồm đại số Steenrod, lý thuyết bất biến và đại số lambda. Trong chương 2, chúng tôi trình bày cách xây dựng đồng cấu Lannes-Zarati và nói về dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu. Đồng thời, chúng tôi cũng trình bày lại công trình của Nguyễn H. V. Hưng [13] nói về biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati. Trong chương 3, chúng tôi trình bày về các toán tử squaring và ứng dụng trong nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati. Cụ thể, trong Tiết 3.2 chúng tôi trình bày lại công trình của Nguyễn H. V. Hưng [14] nói rằng toán tử squaring cổ điển giao hoán thông qua đồng cấu Lannes-Zarati với toán tử squaring trên đối ngẫu của hệ sinh tối tiểu của đại số Dickson xem như một A-môđun. Trong Tiết 3.3 chúng tôi trình bày lại chứng minh của Nguyễn H. V. Hưng cho sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes-Zarati thứ 3 và thứ 4. Cuối cùng, Tiết 3.4 dành cho việc trình bày công trình gần đây của Nguyễn H. V. Hưng, Võ T. N. Quỳnh, và tác giả luận văn cho sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes-Zarati thứ 5. iv
Mục lục Bảng kí hiệu ii 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Cấu trúc của đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Lý thuyết bất biến và đại số lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Lý thuyết bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Phức dây chuyền Γ∧ M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Một mở rộng của đại số lambda . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Θ . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Λ . . . . . . . . . . 14 2 Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu 17 2.1 Đồng cấu Lannes-Zarati và dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Đồng cấu Lannes-Zarati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu . . . . . . 22 2.2 Biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes- Zarati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Toán tử squaring và đồng cấu Lannes-Zarati 33 3.1 Các toán tử squaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1 Toán tử squaring cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.2 Toán tử squaring Kameko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.3 Toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson . . . . . 37 3.2 Tính giao hoán của các toán tử squaring qua đồng cấu Lannes-Zarati 38 v
3.3 Chứng minh dạng đại số của giả thuyết về lớp cầu trong trường hợp k=3, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4 Chứng minh dạng đại số của giả thuyết về lớp cầu trong trường hợp k=5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 vi
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong luận văn này, chúng tôi làm việc với vành hệ số là trường F2 gồm hai phần tử là 0 và 1. 1.1 Đại số Steenrod Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về đại số Steenrod trên trường F2 . Chúng tôi viết mục này dựa theo các tài liệu [27] và [29]. Đại số Steenrod là đại số sinh bởi các toán tử đối đồng điều Sq k : H n (X) → H n+k (X), là các phép biến đổi tự nhiên trên đối đồng điều của không gian tôpô X, xác định với mọi n, k ≥ 0. Các toán tử này giao hoán với phép treo và do đó chúng được gọi là các toán tử đối đồng điều ổn định. Năm 1950, Cartan đã chứng minh k X Sq k (xy) = Sq i (x)Sq k−i (y), i=0 với x, y ∈ H ∗ (X). Công thức này được gọi là công thức Cartan. Năm 1952, Adem đã chứng minh rằng tất cả các quan hệ trong đại số Steenrod đều được sinh ra từ tập các quan hệ sau, gọi là các quan hệ Adem, [a/2] X b − i − 1 a b Sq Sq = Sq a+b−i Sq i , a < 2b, i=0 a − 2i 1
trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo modulo 2. Năm 1953, Serre chỉ ra rằng đại số Steenrod có một cơ sở cộng tính được gọi là cở sở chấp nhận được. Milnor [29] đã nghiên cứu một cách sâu sắc cấu trúc của đại số Steenrod. Ông đã chứng minh rằng đại số Steenrod là một đại số Hopf, phân bậc, có bổ sung, đối giao hoán, liên thông, và đối ngẫu của nó là một đại số đa thức. 1.1.1 Định nghĩa và tính chất Đại số Steenrod, A, là đại số phân bậc, liên kết, có đơn vị trên trường F2 sinh bởi các toán tử Sq i , i ≥ 0, bậc i, Sq 0 = 1 và thỏa mãn các quan hệ sau, được gọi là các quan hệ Adem, [a/2] X b − i − 1 a b Sq Sq = Sq a+b−i Sq i , a < 2b, (1.1) i=0 a − 2i trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo modulo 2, kí hiệu [x] dùng để chỉ phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Cho I = (i1 , . . . , ik ) là một bộ gồm k số nguyên dương. Ta nói I là dãy chấp nhận được nếu ij ≥ 2ij+1 với 1 ≤ j ≤ k − 1. Một tích các toán tử Sq i1 . . . Sq ik được gọi là một đơn thức có độ dài k và có bậc là i1 + · · · + ik . Đơn thức Sq I được gọi là đơn thức chấp nhận được nếu I là một dãy chấp nhận được. Mệnh đề 1.1 (Mosher-Tangora [27]). Tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhận được là một cơ sở cộng tính của đại số Steenrod A, xem như không gian véctơ trên F2 . Chứng minh. Chứng minh {Sq I }, với I lấy trên các dãy chấp nhận được, là một hệ độc lập tuyến tính có thể xem [27]. Ta sẽ chứng minh {Sq I }, với I là dãy chấp nhận được, là một hệ sinh của A. Thật vậy, với bất kì một dãy J = (j1 , . . . , jk ) (không nhất thiết là một dãy chấp P nhận được), ta định nghĩa moment m(J) = s js s. Ta thấy rằng, khi J không phải là một dãy chấp nhận được, thì bắt đầu từ phải qua trái ta áp dụng quan hệ Adem cho cặp đầu tiên js , js+1 , với js < 2js+1 , lúc này Sq J sẽ được phân tích thành tổng các đơn thức có moment nhỏ hơn m(J). Vì hàm moment bị chặn dưới nên quá trình này sẽ dừng lại sau hữu hạn bước và do đó {Sq I }, với I chấp nhận được, là một hệ sinh của A. 2
Định lý 1, chương 3, trong [27] đã nêu ra một vài tính chất của toán tử Steenrod như sau: (1) Sq i (x) = 0 nếu i > deg(x). (2) Sq 0 là ánh xạ đồng nhất. (3) Sq i (x) = x2 nếu i = deg(x). Ta biết rằng đối đồng điều hệ số F2 của không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều P (∞) là vành đa thức một biến F2 [x]. Tác động của các toán tử Steenrod trên vành đối đồng điều này được mô tả qua mệnh đề sau. Mệnh đề 1.2 (Mosher-Tangora [27]). Với mỗi u ∈ H 1 (P (∞); F2 ), ta có Sq i (uj ) = j j+i i u . Chứng minh. Trước hết, ta thấy với j = 1, mệnh đề hiển nhiên đúng. Giả sử mệnh đề đúng với mọi k ≤ j và mọi i ≤ k. Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với j + 1. Thật vậy, theo công thức Cartan, ta có i X Sq i (uj+1 ) = Sq i (uj u) = Sq k (uj )Sq i−k (u). k=0 Do tính chất Sq i (x) = 0 nếu i > deg(x), nên ta thấy Sq i (uj+1 ) = Sq i−1 (uj )Sq 1 (u) + Sq i (uj )Sq 0 (u). j j+i−1 Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ta có Sq i−1 (uj ) = i−1 u và Sq i (uj ) = j i uj+i . Do đó, ta có i j+1 j j j+i+1 Sq (u ) = + u i−1 i j + 1 j+i+1 = u . i Vậy mệnh đề cũng đúng với j + 1. Ta có điều cần chứng minh. Ta nói rằng Sq i là phân tích được nếu Sq i = 0
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh Sq i là không phân tích được nếu và chỉ nếu i là một lũy thừa của 2. Thật vậy, gọi α là phần tử sinh của H 1 (P (∞); Z2 ) k k k+1 (P (∞) là không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều), ta có Sq 2 (α2 ) = α2 . Khi này, 2k+1 2k 2k+1 k k vì α khác 0 nên Sq không phân tích được; nếu không α = Sq 2 (α2 ) = t 2k P t0 a − 2c b−1 Ta nhận thấy a = 1; do đó Sq i = Sq a+b là phân tích được. k Từ đây, ta thấy ngay là đại số Steenrod được sinh bởi Sq 0 và Sq 2 , với k ≥ 0. 1.1.2 Cấu trúc của đại số Steenrod Cho A là một đại số phân bậc có đơn vị. Khi đó, A được gọi là một đại số Hopf nếu A được trang bị (i) một toàn cấu đại số phân bậc (được gọi là phép bổ sung) : A → F2 ; (ii) một đồng cấu đại số phân bậc (được gọi là phép đối nhân) ψ : A → A ⊗ A; (iii) các hợp thành ψ 1⊗ ∼ = A −→ A ⊗ A −→ A ⊗ F2 −→ A, ψ ⊗1 ∼ = A −→ A ⊗ A −→ F2 ⊗ A −→ A là các ánh xạ đồng nhất; (iv) và ψ có tính chất kết hợp: (1 ⊗ ψ) ◦ ψ = (ψ ⊗ 1) ◦ ψ. Ta nói ψ có tính chất giao hoán nếu T ◦ ψ = ψ, trong đó T : A ⊗ A → A ⊗ A là đồng cấu hoán vị T (a ⊗ b) = b ⊗ a. Định lý 1.4 (Milnor [29]). Đại số Steenrod A là một đại số Hopf, với phép bổ sung : A → F2 được xác định bởi  1, nếu deg(θ)=0,  (θ) = 0, nếu deg(θ)>0,  4
và phép đối nhân ψ : A → A ⊗ A được cho bởi k X k ψ(Sq ) = Sq i ⊗ Sq k−i . i=0 Hơn nữa, ψ giao hoán. Theo [29], tồn tại một tự đẳng cấu χ trên A, được gọi là đẳng cấu phản đối xứng (phản đồng cấu), thỏa mãn các điều kiện sau: k X k χ(Sq ) = Sq i χ(Sq k−1 ), χ(θ1 θ2 ) = χ(θ2 )χ(θ1 ) i=1 và χ(Sq 0 ) = 1. Cũng theo [29], A∗ , đối ngẫu của đại số Steenrod A, là đại số đa thức trên trường F2 sinh bởi các phần tử ξi với i ≥ 0, bậc 2i − 1, trong đó ξ0 = 1 và ξn là n−1 n−2 đối ngẫu của đơn thức Sq 2 Sq 2 . . . Sq 1 theo cơ sở chấp nhận được. Theo Milnor [29] A∗ cũng là một đại số Hopf. Đối nhân và phản đồng cấu trong A∗ được cho bởi công thức sau: k k−1 2i i X X ∗ 2 µ (ξk ) = ξk−i ⊗ ξi , χ(ξk ) = ξk−i χ(ξi ). i=0 i=0 A∗ có một cơ sở cộng tính gồm các đơn thức ξ1r1 . . . ξkrk . Với R = (r1 , . . . , rk ) là một bộ gồm k số nguyên không âm, ta kí hiệu Sq(R) = Sq(r1 , . . . , rk ) là đối ngẫu của đơn thức ξ1r1 . . . ξkrk theo cơ sở gồm các đơn thức của A∗ . Khi đó, bậc của Sq(r1 , . . . , rk ) là r1 + 3r2 + · · · + (2k − 1)rk , và ta có kết quả sau đây. Định lý 1.5 (Milnor [29]). Tập tất cả các phần tử Sq(R) là một cơ sở cộng tính của đại số Steenrod A, xem như một F2 -không gian véctơ. Cơ sở của A nói trong Định lý 1.5 được gọi là cơ sở Milnor. 1.2 Lý thuyết bất biến và đại số lambda Chúng tôi trình bày mục này dựa theo bài báo của William M. Singer [31]. 5
1.2.1 Lý thuyết bất biến Ta gọi Ps = F2 [t1 , . . . , ts ] là đại số đa thức trên trường F2 với s phần tử sinh, mỗi phần tử sinh có chiều 1. Nhóm tuyến tính tổng quát GLs ≡ GLs (F2 ) tác động tự nhiên trên không gian véctơ gồm các phần tử chiều 1 của Ps . Ta mở rộng tác động này cho toàn vành đa thức bằng cách xem GLs tác động như một nhóm của các tự đẳng cấu đại số. Cho Ts ⊆ GLs là nhóm con bao gồm tất cả các ma trận tam giác trên với các phần tử bằng 1 trên đường chéo chính. Vành bất biến PsTs đã được xác định bởi Huỳnh Mùi [26]. Ông chỉ ra rằng PsTs là một đại số đa thức PsTs = F2 [V1 , . . . , Vs ] (1.2) trên các phần tử Vk có chiều 2k−1 . Vk được cho bởi công thức Y Vk = (λ1 t1 + · · · + λk−1 tk−1 + tk ) (1.3) λ trong đó tích lấy trên tất cả các λ = (λ1 , . . . , λk−1 ) với λi ∈ F2 . Vành bất biến PsGLs đã được mô tả bởi Dickson [9]. Ông đã chỉ ra rằng PsGLs cũng là một đại số đa thức PsGLs = F2 [Qs,0 , . . . , Qs,s−1 ] (1.4) trên các phần tử sinh Qs,i có chiều 2s − 2i . Phần tử Qs,0 được cho bởi công thức Y Qs,0 = (λ1 t1 + · · · + λs ts ) (1.5) λ trong đó tích lấy trên tất cả λ = (λ1 , . . . , λs ) với λi ∈ F2 mà λ 6= (0, . . . , 0). Từ cách xác định của Vk ta thấy Qs,0 = V1 . . . Vs . (1.6) Dickson đã mô tả Qs,i quy nạp theo s như sau Qs,i = Vs Qs−1,i + Q2s−1,i−1 , (1.7) với 0 ≤ i < s và qui ước rằng Qs−1,s−1 = 1 (s ≥ 1), Qs,i = 0 nếu i < 0 hoặc i > s. 6
Cho S(s) ⊂ Ps là tập con nhân tính sinh bởi tất cả các dạng tuyến tính khác 0 trong Ps . Cho Φs là địa phương hóa: Φs = (Ps )S(s) . Khi đó, GLs tác động trên Φs như một nhóm các tự đẳng cấu đại số. Từ (1.2), (1.4) và (1.5) ta có ∆s = (Φs )Ts = F2 [V1±1 , . . . , Vs±1 ], (1.8) Γs = (Φs )GLs = F2 [Q±1 s,0 , Qs,1 , . . . , Qs,s−1 ]. (1.9) Nếu ta đặt v1 = V1 , vk = Vk /V1 V2 . . . Vk−1 (k ≥ 2) (1.10) sao cho k−2 k−3 Vk = v12 v22 . . . vk−1 vk (k ≥ 2), (1.11) thì (1.8) được viết lại như sau ∆s = (Φs )Ts = F2 [v1±1 , . . . , vs±1 ]. (1.12) Với mỗi cặp số nguyên không âm p, q mà p + q = s ta định nghĩa một đẳng cấu đại số ψp,q : ∆s → ∆p ⊗ ∆q như sau  vi ⊗ 1,  1 ≤ i ≤ p, ψp,q (vi ) = (1.13) 1 ⊗ vi−p , p + 1 ≤ i ≤ s.  Ta qui ước rằng ∆0 = F2 ; ψs,0 (x) = x ⊗ 1; ψ0,s (x) = 1 ⊗ x. Ta đặt ∆ = ⊕s≥0 (∆s ); lúc này, kết hợp các ánh xạ 1.13 ta thu được đối tích ψ : ∆ → ∆ ⊗ ∆ mà với đối tích này ∆ trở thành một đối đại số. Tương tự, ta đặt Γ = ⊕s≥0 (Γs ). Ta sẽ chỉ ra rằng Γ là một đối đại số con của ∆. Mệnh đề 1.6 (Singer [31]). ψp,q (Γs ) ⊆ Γp ⊗ Γq ; do đó, Γ là một đối đại số con của ∆. Chứng minh. Mệnh đề 1.6 được suy ra từ công thức sau q j j X ψp,q (Qs,i ) = Q2p,0−2 Q2p,i−j ⊗ Qq,j (1.14) j≥0 với mỗi i, 0 ≤ i < s. Ta sẽ chứng minh công thức (1.14) bằng quy nạp theo s. Ta thấy rằng công thức đúng với s = 1. Giả sử công thức đúng với s − 1, ta sẽ chứng 7
minh công thức cũng đúng cho s. Thật vậy, ψp,q (Qs,i ) = ψp,q (Vs Qs−1,i + Q2s−1,i−1 ) (do (1.7)) = ψp,q (Vs )ψp,q (Qs−1,i ) + ψp,q (Q2s−1,i−1 ) = ψp,q (Vs )ψp,q−1 (Qs−1,i ) + ψp,q−1 (Qs−1,i−1 )2 s−2 s−p−1 s−p−2 q−1 −2j j X = (v12 . . . vp2 ⊗ v12 . . . vs−1−p vs−p ).( Q2p,0 Q2p,i−j ⊗ Qq−1,j ) j≥0 q k+1 k+1 X + Q2p,0−2 Q2p,i−k−1 ⊗ Q2q−1,k (do giả thiết quy nạp) k≥0 s−p−1 q−1 −2j j X = Q2p,0 Q2p,0 Q2p,i−j ⊗ Vq Qq−1,j j≥0 q k+1 q k+1 k+1 X + Q2p,0−2 Q2p,0−2 2 Qp,i−k−1 ⊗ Q2q−1,k (do (1.6) và (1.11)) k≥0 q j j X = Q2p,0−2 Q2p,i−j ⊗ Qq,j (đổi biến j=k+1). j≥0 Vậy công thức (1.14) đúng cho s và mệnh đề đã được chứng minh. Singer định nghĩa Γ∧s là môđun con của Γs = Ds [Q−1 s,0 ] sinh bởi tất cả các đơn i thức γ = Qis,0 0 s−1 . . . Qs,s−1 với i1 , . . . , is−1 ≥ 0, i0 ∈ Z và i0 + degγ ≥ 0. Bổ đề 1.7 (Singer [31]). ψs−1,1 (Γ∧s ) ⊆ Γ∧s−1 ⊗ Γ1 . s −1 Chứng minh. Ta lấy γ = Qis,0 0 . . . Qis,s−1 ∈ Γ∧s . Mặt khác, Qs,i = Qs−1,0 Qs−1,i vs + Q2s−1,i−1 với 0 ≤ i < s. Do đó γ được viết như tổng của các phần tử có dạng 2i +k +k2 +···+ks−1 +2(i1 −k1 ) 0 1 1 k +2(i2 −k2 ) k s−2 +2(i s−1 −ks−1 ) i0 +k1 +···+ks−1 Qs−1,0 Qs−1,1 ...Qs−1,s−2 vs . Ta thấy (2i0 + k1 + k2 + · · · + ks−1 + 2(i1 − k1 )) + dimγ − (i0 + k1 + · · · + ks−1 ) ≥ 0. Điều đó có nghĩa là mỗi phần tử trong khai triển thành tổng của γ đều nằm trong Γ∧s−1 . Vì vậy ta có kết luận của bổ đề. P j1 Bổ đề 1.8 (Singer [31]). Cho γ = v1 . . . vsjs ∈ Γ∧s . Khi đó ta có j1 ≥ 0 trong mọi đơn thức xuất hiện trong khai triển của γ theo các biến v1 , . . . , vs . Chứng minh. Đây là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.7. Ta gọi s−1 X Is = {(i0 , . . . , is−1 ) | 0 ≤ i1 , . . . , is−1 và 0 ≤ i0 + (2s − 2k )ik } k=0 8
và Js = {(j1 , . . . , js ) | 0 ≤ j1 và jk−1 ≤ 2jk }. Ánh xạ Φ : Is → Js được xác định bởi Φ(i0 , . . . , is−1 ) = (j1 , . . . , js ) trong đó s−k−1 X jk = 2s−k (i0 + · · · + ik−1 ) + (2s−k − 2l )ik+l . (1.15) l=0 Ánh xạ ψ : Js → Is được xác định bởi ψ(j1 , . . . , js ) = (i0 , . . . , is−1 ) trong đó i0 = j1 − j2 − · · · − js , ik−1 = 2jk − jk−1 (k ≥ 2). (1.16) Bằng tính toán đơn giản ta có kết quả phát biểu trong bổ đề sau. Bổ đề 1.9 (Singer [31]). Φ : Is → Js là một song ánh và ψ là ánh xạ ngược của nó. Ta lấy một cơ sở của ∆s là một tập gồm các đơn thức sau {v1j1 . . . vsjs | j1 , . . . , js ∈ Z} và sắp xếp cơ sở này theo thứ tự từ điển ngược. Ta có bổ đề sau. Bổ đề 1.10 (Singer [31]). Cho (j1 , . . . , js ) = Φ(i0 , . . . , is−1 ). Khi đó trong ∆s ta có i Qis,0 0 Qis,1 1 s−1 . . . Qs,s−1 = v1j1 . . . vsjs + các đơn thức nhỏ hơn. (1.17) Chứng minh. Ta có i i Qis,0 0 s−1 . . . Qs,s−1 = V1i0 V2i0 . . . Vsi0 +···+is−1 Qis−1,1 1 s−2 . . . Qs−1,s−2 + các đơn thức nhỏ hơn i +···+is−2 i = V1i0 V2i0 . . . Vsi0 +···+is−1 Vs−1 1 Qis−2,1 1 s−3 . . . Qs−2,s−3 + các đơn thức nhỏ hơn = ... i +···+is−2 i +···+is−3 = V1i0 V2i0 . . . Vsi0 +···+is−1 Vs−1 1 1 Vs−2 . . . V2i1 Qi1,1 1 + các đơn thức nhỏ hơn i +···+is−2 = V1i0 V2i0 +i1 . . . Vs−1 0 Vsi0 +···+is−1 + các đơn thức nhỏ hơn = v1j1 . . . vsjs + các đơn thức nhỏ hơn. 9
1.2.2 Phức dây chuyền Γ∧ M Cho M là một A-môđun trái bất kỳ. Trong mục này ta sẽ xây dựng phức dây chuyền Γ∧ M . Định nghĩa một ánh xạ tuyến tính trên F2 như sau π : ∆2 → A v1p v2q 7→ Sq p+1 Sq q+1 . Mệnh đề 1.11 (Singer [31]). Γ2 ⊂ kerπ. Chứng minh. Ta sẽ sử dụng mô tả của Γ2 trong (1.9) để chỉ ra rằng π(Qr2,0 Qs2,1 ) = 0 với mọi r ∈ Z và s ≥ 0 bằng quy nạp theo s. Với s = 0 ta có điều khẳng định vì Sq 2r+1 Sq r+1 = 0 trong đại số Steenrod A. Mặt khác ta nhận thấy Q2,1 1 1 π( γ) = π(γ( + )) = απ(γ) Q2,0 v1 v2 với α : A → A là phép đạo hàm thỏa mãn α(Sq k ) = Sq k−1 (xem [20].) Do đó, từ giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính ∂ : ∆s ⊗ M → ∆s−1 ⊗ M bằng công thức j ∂(v1j1 . . . vsjs ⊗ x) = v1j1 . . . vs−1 s−1 ⊗ Sq js +1 x. (1.18) Từ Bổ đề 1.7 ta thấy ngay là ∂(Γ∧s ⊗ M ) ⊆ Γ∧s−1 ⊗ M . Ta định nghĩa phức dây chuyền Γ∧ M bằng cách đặt (Γ∧ M )s = Γ∧s ⊗ M và vi phân là hạn chế của (1.18) tới Γ∧s ⊗ M . Ta chú ý là hợp thành ∂.∂ = 0 suy ra từ Mệnh đề 1.6 và Mệnh đề 1.11. Mệnh đề 1.12 (Singer [31]). Tồn tại một đẳng cấu tự nhiên H0 (Γ∧ M ) = F2 ⊗A M . Chứng minh. Xét phức dây chuyền . . . −→ Γ∧1 ⊗ M −→ Γ∧0 ⊗ M −→ 0, ta thấy từ phức này H0 (Γ∧ M ) = ker(∂0 )/Im(∂1 ). Mặt khác, ta có ker(∂0 ) = Γ∧0 ⊗ M và từ định nghĩa của ∂1 ta suy ra H0 (Γ∧ M ) = Γ∧0 ⊗ M/A+ M = F2 ⊗A M . Mệnh đề 1.13 (Singer [31]). Nếu 0 −→ M −→ N −→ P −→ 0 là một dãy khớp ngắn của các A-môđun thì 0 −→ Γ∧ M −→ Γ∧ N −→ Γ∧ P −→ 0 là dãy khớp ngắn của các phức dây chuyền. 10
Chứng minh. Mệnh đề này là hiển nhiên vì với mỗi s ≥ 0 thì Γ∧s là một môđun tự do. Mệnh đề 1.14 (Singer [31]). Với bất kì một dãy khớp ngắn của các A-môđun 0 −→ M −→ N −→ P −→ 0, thì ta có dãy khớp dài sau . . . −→ Hs (Γ∧ N ) −→ Hs (Γ∧ P ) −→ Hs−1 (Γ∧ M ) −→ . . . −→ H0 (Γ∧ P ) −→ 0. Chứng minh. Mệnh đề này là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 1.13. Mệnh đề 1.15 (Singer [31]). Hs (Γ∧ A) = 0 nếu s > 0. Chứng minh. Nếu Sq I = Sq i1 . . . Sq ip là một đơn thức chấp nhận được trong A thì ta gọi l(I) = p là độ dài của nó. Ta xác định một lọc tăng trên Γ∧ A bằng cách đặt Fp (Γ∧ A)s = Γ∧s ⊗ Span{Sq I |I chấp nhận được; l(I) ≤ p − s}. Khi này Fp (Γ∧ A) là một phức con của Γ∧ A với mỗi p ≥ 0. Ta gọi E 0 Γ∧ A là không gian phân bậc liên kết: với mỗi p ≥ 0, Ep0 Γ∧ A = Fp Γ∧ A/Fp−1 Γ∧ A là is−1 một phức dây chuyền. Một đơn thức y = Qis,0 0 . . . Qs,s−1 ⊗ Sq k1 . . . Sq kp−s trong Fp (Γ∧ A)s /Fp−1 (Γ∧ A)s được gọi là chấp nhận được nếu Sq k1 . . . Sq kp−s chấp nhận được trong A, và nếu js > 2k1 − 2; trong đó, js = i0 + i1 + · · · + is−1 . Bây giờ ta sẽ xác định một lọc tăng trên E 0 Γ∧ A bằng cách đặt  E0 Γ∧ A,     s < q,   (Gq E0 Γ∧ A)s = Span{y = Qis,0 0 is−1 . . . Qs,s−1 ⊗ Sq I |y chấp nhận được}, s = q,     0,  s > q, với mọi q ≥ 0. Khi đó Gq E0 Γ∧ A là một phức con của E 0 Γ∧ A. Ta kiểm tra thấy  Gq E0 Γ∧ A F2 , s = q = 0,  Hs = Gq−1 E0 Γ∧ A 0, trường hợp còn lại.  Từ đây ta suy ra kết luận của mệnh đề. Định lý 1.16 (Singer [31]). Tồn tại một đẳng cấu tự nhiên Hs (Γ∧ M ) ∼ = T orsA (F2 , M ). Chứng minh. Các tính chất của hàm tử M −→ Hs (Γ∧ M ) (s = 0, 1, 2, . . . ) cho bởi Mệnh đề 1.12, 1.14, và 1.15 cũng là các tính chất của hàm tử M −→ T orsA (F2 , M ). Mà ta biết rằng hàm tử sau được đặc trưng bởi các tính chất này. Định lý được chứng minh. 11
1.2.3 Một mở rộng của đại số lambda Cho L là một không gian véctơ phân bậc trên trường F2 với cơ sở bao gồm tất cả phần tử có dạng {λk | k ∈ Z, k ≥ −1}, với degλk = k. Gọi T ens L là đại số liên kết tự do sinh bởi L. Lúc đó, T ens L là một đại số song bậc nếu ta viết bidegλk = (1, k). Trong (T ens L)2 = L ⊗ L, ta định nghĩa một họ các phần tử thuần nhất X p λ(p, q) = λ2q+j−1 λp+q−j−1 (p, q ≥ 0) (1.19) j≥0 j và định nghĩa Θ là đại số song bậc đạt được bằng cách lấy T ens L chia thương cho quan hệ λ(p, q) = 0 (p, q ≥ 0). Các quan hệ này có hai loại. Những quan hệ chứa λ−1 xuất hiện trong các quan hệ λ(p, 0) = 0: λ−1 λ−1 = 0, p−1 X p λ−1 λp−1 + λj−1 λp−j−1 + λp−1 λ−1 = 0 (p > 0), j=−1 j còn các phần tử sinh {λk | k ≥ 0} xuất hiện trong λ(p, q), với q > 0. Ta gọi Λ là đại số con của Θ được sinh bởi các phần tử {λk | k ≥ 0}. Như vậy Λ được xác định bởi quan hệ λ(p, q) = 0 với p ≥ 0 và q > 0. Định nghĩa này giống với định nghĩa gốc trong [5] nhưng tích được viết theo thứ tự ngược với tích viết trong [5]. Trong [5], với mỗi s ≥ 1, một cơ sở của Λs là {λj1 . . . λjs | 0 ≤ j1 , j1 ≤ 2j2 , . . . , js−1 ≤ 2js }. Ta định nghĩa một đồng cấu d : Θ → Θ bởi dx = λ−1 x + xλ−1 . Ánh xạ d là một đạo hàm và vì λ−1 λ−1 = 0 nên ta có d.d = 0. Theo Singer [31] tồn tại duy nhất một đạo hàm χ : T ens L → T ens L thỏa mãn điều kiện: χ(λk ) = λk+1 (k ≥ −1). Bổ đề 1.17 (Singer [31]). χλ(p, q) = λ(p + 1, q). Chứng minh. Ta có χλ(p, q) = j≥0 pj (χ(λ2q+j−1 )λp+q−j−1 + λ2q+j−1 χ(λp+q−j−1 )) P = j≥0 pj (χ(λ2q+j−1 )λp+q−j−1 + λ2q+j−1 χ(λp+q−j−1 )) P = j≥0 pj (λ2q+j λp+q−j−1 + λ2q+j−1 λp+q−j ) P 12
p λ2q−1 λp+q + pk=1 [ k−1 p + kp ]λ2q+k−1 λp+q−k + pp λ2q+p λq−1 P = 0 p+1 λ2q−1 λp+q + pk=1 p+1 λ2q+k−1 λp+q−k + p+1 P = 0 k p+1 λ2q+p λq−1 = λ(p + 1, q). Vậy bổ đề được chứng minh. 1.2.4 Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Θ Mục đích của phần này là xây dựng một ánh xạ tuyến tính ks : Γs → (Θs )∗ . Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính trên F2 , ks : ∆s → (L⊗s )∗ bởi hks (v1i1 . . . vsis ), λj1 ⊗ · · · ⊗ λjs i = δi1 ,j1 . . . δis ,js với mỗi s ≥ 1 và ta gọi k0 : ∆0 → (L⊗0 )∗ là ánh xạ đồng nhất trên F2 . Với ψp,q : ∆s → ∆p ⊗ ∆q được định nghĩa ở (1.13), ta có hks (γ), αβi = h(kp ⊗ kq )ψp,q (γ), α ⊗ βi (1.20) với α ∈ L⊗p , β ∈ L⊗q , γ ∈ ∆s . Bổ đề 1.18 (Singer [31]). Với mọi γ ∈ Γ2 và mọi số nguyên p, q ≥ 0 ta có hk2 (γ), λ(p, q)i = 0. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh bổ đề cho trường hợp γ = Qa2,0 Qb2,1 , với a, b là các số nguyên và b ≥ 0. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo b. Trước hết với b = 0, ta có hk2 (Qa2,0 ), λ(p, q)i = hk2 (v12a v2a ), j≥0 pj λ2q+j−1 λp+q−j−1 i = P p 3(a−q)+2 P j≥0 j δ 2a,2q+j−1 δ a,p+q−j−1 = 2(a−q)+1 = 0. Giả sử bổ đề 1.18 được chứng minh cho γ = Qa2,0 Qb2,1 với b ≥ 0 cố định và mọi giá trị của a, p, và q. Ta định nghĩa ánh xạ ρ : ∆2 → ∆2 như sau Q2,1 1 1 ρ(δ) = δ = ( + )δ Q2,0 v1 v2 với mỗi δ ∈ ∆2 . Ta dễ dàng kiểm tra thấy biểu đồ sau giao hoán: k 2 ∆2 −−−→ (L ⊗ L)∗   ρ χ∗ y y k 2 ∆2 −−−→ (L ⊗ L)∗ , 13
với χ là đạo hàm của T ens L được nhắc đến ở mục trước. Lúc này, nếu ta gọi γ = Qa2,0 Qb2,1 thì do giả thiết quy nạp và tính giao hoán của biểu đồ trên, ta có hk2 (Qa−1 b+1 2,0 Q2,1 ), λ(p, q)i = hk2 ρ(γ), λ(p, q)i = hχ∗ k2 (γ), λ(p, q)i = hk2 (γ), χλ(p, q)i = hk2 (γ), λ(p + 1, q)i = 0. Vậy bổ đề được chứng minh. Bổ đề 1.18 được khái quát thành mệnh đề sau. Mệnh đề 1.19 (Singer [31]). Cho β ∈ L⊗s nằm trong idean hai phía của T ens L sinh bởi các phần tử λ(p, q), khi đó ta có hks (γ), βi = 0 với mọi γ ∈ Γs . Chứng minh. Ta giả sử β = α1 α2 α3 với α1 ∈ L⊗r , α2 = λ(p, q) ∈ L⊗2 , và α3 ∈ L⊗s−r−2 , với r nào đó. Từ đẳng thức (1.20), Mệnh đề 1.6, và Bổ đề 1.18 ta suy ra điều phải chứng minh. 1.2.5 Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Λ Từ Mệnh đề 1.19, ta thấy hạn chế của ks : ∆s → (L⊗s )∗ tới Γs cho ta ánh xạ sau ks : Γs → (Θs )∗ , ta cho hợp thành với phép chiếu tự nhiên (Θs )∗ → (Λs )∗ để thu được ánh xạ tuyến tính sau ls : Γ∧s → (Λs )∗ . Mệnh đề 1.20 (Singer [31]). ls là một đẳng cấu với mỗi s ≥ 0. Chứng minh. Ta lấy một cơ sở của (Λs )∗ là cơ sở đối ngẫu với cơ sở chấp nhận được và cho nó một thứ tự từ điển ngược. Như ta đã biết, tập tất cả các đơn thức i0 is−1 γ = Qs,0 . . . Qs,s−1 , với i0 ∈ Z, i1 , . . . , is−1 ≥ 0 và i0 + degγ ≥ 0, là một cở sở của Γ∧s . Từ cách xác định của ls ta tính được i ls (Qis,0 0 s−1 . . . Qs,s−1 ) = (λj1 . . . λjs )∗ + các phần tử cơ sở nhỏ hơn 14