BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

======

NGUYỄN KIM THU THẢO

NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN

CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG

CỦA MẠNG TINH THỂ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Hà Nội, 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn ====== Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Để

có được bài luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới các quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và truyền đạt cho tôi những kiến thức khoa học trong suốt quá trình học học tập NGUYỄN KIM THU THẢO tại trường và đặc biệt xin gửi lời cảm ơn đến cô PGS. TS. Nguyễn Thị Hà

Loan đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, định hướng và giúp đỡ tôi trong suốt

nhất.

quá trình triển khai, nghiên cứu và hoàn thành đề tài đã chọn một cách tốt NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp tại trường THPT Lê Văn CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG Thịnh, bạn bè và những người thân trong gia đình đã luôn động viên, giúp đỡ,

tạo động lực để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này.

CỦA MẠNG TINH THỂ

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2018.

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Học viên

Mã số: 8 44 01 03

Nguyễn Kim Thu Thảo.

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

Lời cảm ơn

Hà Nội, 2018

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên cho tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Thị Hà

Loan đã định hướng và hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin cảm ơn phòng Sau đại học, và thầy cô giáo khoa Vật lý

trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong thời gian nghiên cứu,

học tập và làm luận văn.

Lời cuối cho tôi cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ, khích

lệ và tạo điều kiện để tôi học tập và hoàn thành luận văn giúp đỡ, khích lệ và

tạo điều kiện để tôi học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2018.

Học viên

Nguyễn Kim Thu Thảo.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ: “Nhiệt độ suy biến của dao động

biến dạng của mạng tinh thể” dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Thị

Hà Loan, hoàn thành bởi sự nhận thức của tôi và không trùng khớp các luận

văn khác.

Hà Nội, tháng 6 năm 2018.

Học viên

Nguyễn Kim Thu Thảo.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1

2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1

3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1

4. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 1

5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 1

6. Đóng góp của đề tài ....................................................................................... 2

NỘI DUNG ....................................................................................................... 3

Chương I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA DAO ĐỘNG

MẠNG TINH THỂ. .......................................................................................... 3

1.1. Dao động mạng tinh thể ............................................................................. 3

1.1.1 Dao động tử điều hòa ............................................................................... 3

1.1.2 Dao động mạng tinh thể ........................................................................... 4

1.2. Phonon âm .................................................................................................. 6

1.2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa ............................................... 6

1.2.2 Phonon âm ................................................................................................ 6

1.3. Tính chất vật lý của dao động mạng tinh thể ............................................ 9

1.3.1. Hàm phân bố của dao động tử điều hòa. ................................................. 9

1.3.2. Hàm phân bố của dao động mạng tinh thể. ........................................... 10

4.Năng lượng trung bình. ................................................................................ 11

1.4.1.Năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa. ................................. 11

1.4.2.Năng lượng trung bình của dao động mạng tinh thể.............................. 12

1.5.Nhiệt độ suy biến. ..................................................................................... 13

1.5.1.Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa. ......................................... 13

1.5.2. Nhiệt độ suy biến của dao động mạng tinh thể. .................................... 13

Chương 2. DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG q ....................... 15

2.1. Dao động biến dạng của mạng tinh thể .................................................... 15

2.1.1. Dao động biến dạng q ........................................................................... 15

2.1.2. Dao động biến dạng của mạng tinh thể. ................................................ 16

2.1.3. Dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử khác loại. .. 17

2.2. Phổ năng lượng của dao động biến dạng của mạng tinh thể một

chiều. ............................................................................................................... 18

2.2.1. Phổ năng lượng của dao động mang tinh thể biến dạng q cho chuỗi

nguyên tử cùng loại. ........................................................................................ 18

2.2.2. Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi

nguyên tử khác loại ......................................................................................... 19

Chương III. NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG

CỦA MẠNG TINH THỂ. ............................................................................... 21

3.1. Nhiệt độ Anhxtanh. .................................................................................. 21

3.2. Nhiệt độ Đêbai. ........................................................................................ 23

3.3. Nhiệt độ suy biến của dao động biến dạng của mạng tinh thể................. 26

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 31

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Chất rắn là 1 hệ các nguyên tử, phân tử nằm sát nhau sắp xếp có tính thống

kê. Để nghiên cứu tính chất nhiệt của vật rắn thì lý thuyết Đêbai là phù hợp đã

tính được nhiệt dung phù hợp với thực nghiệm ở nhiệt độ cao và thấp. Nếu

mở rộng hình thức luận dao động điều hòa thành dao động biến dạng thì ta

cần đi xác định nhiệt độ suy biến của dao động mạng tinh thể. Để giải quyết

vấn đề đó, ta coi dao động như 1 hệ dao động biến dạng và dùng phương pháp

thống kê biến dạng để tính nhiệt độ suy biến chính là nhiệt độ bắt đầu gây ra

phá vỡ dao động mạng.

Với lý do này tôi chọn “Nhiệt độ suy biến của dao động biến dạng của

mạng tinh thể” làm đề tài nghiên cứu.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu dao động biến dạng của mạng tinh thể và tìm nhiệt độ suy biến

của nó.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về dao động biến dạng của mạng tinh thể:

 Các hệ thức cơ bản.

 Hàm thống kê.

 Tính năng lượng trung bình.

 Tính nhiệt độ suy biến

4. Đối tƣợng nghiên cứu

Nghiên cứu tinh chất vật lý của dao động biến dạng của mạng tinh thể một

chiều.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu

Dùng phương pháp vật lý thống kê và đại số biến dạng.

2

6. Đóng góp của đề tài

Nghiên cứu và trình bày tổng quan về dao động và dao động biến dạng của

mạng tinh thể. Tìm nhiệt độ suy biến của chúng.

3

NỘI DUNG

Chƣơng 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA DAO ĐỘNG

MẠNG TINH THỂ.

1.1. Dao động mạng tinh thể

1.1.1 Dao động tử điều hòa

Ta dùng mô hình dao động tử lượng tử.

Các toán tử sinh , hủy của dao động điều hòa thỏa mãn:

(1.1)

Toán tử số dao động :

(1.2)

Ta thấy:

[N,a] = aa a a (1.3)

= a

[N, ] = a (1.4) a

=

Ta có:

(1.5)

Và:

4

Vậy dãy các vecto riêng đã được chuẩn hóa của toán tử là:

(1.6)

(1.7)

1.1.2 Dao động mạng tinh thể

Với a là hằng số mạng tinh thể, M là khối lượng mỗi nguyên tử.

Ta có tọa độ của nguyên tử thứ n:

Và độ dịch chuyển là:

(t) u( ,t)

Năng lượng toàn phần của hệ là:

E (t) +

Khi lượng tử hóa:

H (t) + (1.8)

Giữa và có:

[ ] = iћ

[ ] = 0

[ ] = 0

Ta thấy các toán tử và phụ thuộc vào . Khai triển thì ta được:

(1.9)

5

(1.10)

Theo khai triển Fourier ta có:

Nên: =

Hay (1.11)

Tương tự nhân 2 vế của (1.10) với rồi lấy tổng

(1.12)

Ta có:

] = iћ [

] = 0 [

] = 0 [

Mặt khác thay (1.9) và (1.10) vào (1.8) ta được:

=

Thay:

(1.13)

6

1.2. Phonon âm

1.2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa

Ta có toán tử năng lượng:

(1.14)

Toán tử p và x biểu diễn qua , :

(1.15)

(1.16)

Và:

Từ (1.14) và (1.15) ta có :

(1.17)

Suy ra phổ năng lượng là .

1.2.2 Phonon âm

Để tìm phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể ta đặt như sau:

(1.18)

7

= -i (1.19)

và là các toán tử mới được biểu diễn qua và như sau:

=

Và [ ] = (1.20)

[ ] = 0

[ ] = 0

Từ (1.18) và (1.19) ta được:

Hay ta có:

Suy ra (1.13):

8

(1.21)

Theo (1.20) ta có:

+ 1

(1.22)

Đưa vào toán tử số dao động :

= (1.23)

Hệ thức toán tử có dạng:

] = (1.24) [

[ ] =

Từ (1.20) ta có thể chứng minh (1.24)

[ , ] =

=

[ , ] =

=

Gọi là véc tơ riêng của toán tử thì:

= (1.25)

= (1.26)

9

Ở đây là trạng thái chân không:

= 1 (1.27)

= 0

Từ (1.20) và (1.26) có thể chứng minh được rằng:

= (1.28)

Ta giải phương trình:

= (1.29)

Hay thay H từ (1.21) vào (1.29) ta thu được:

= (1.30)

( ) =

Vậy:

= ( )

1.3. Tính chất vật lý của dao động mạng tinh thể

1.3.1. Hàm phân bố của dao động tử điều hòa.

Ta có: (1.31)

Và : (1.32)

Thế (1.32 ) vào (1.31) ta có:

10

Vì nên , ta có:

Suy ra tổng thống kê Z là:

1.3.2. Hàm phân bố của dao động mạng tinh thể.

Ta có: (1.33)

Được tính: (1.34)

Thay (1.34 ) vào (1.33) ta có:

Vì nên ,ta có:

Suy ra tổng thống kê Z là:

11

4. Năng lƣợng trung bình.

1.4.1. Năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa.

Ta có: (1.35)

Trong đó:

(1.36)

Thay (1.36) vào (1.35) ta được:

12

1.4.2. Năng lượng trung bình của dao động mạng tinh thể.

Ta có: (1.37)

Trong đó: (1.38)

Thay (1.38) vào (1.37) ta được:

13

1.5. Nhiệt độ suy biến.

1.5.1. Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa.

Tổng trạng thái đối với một dao động tử được xác định bằng:

(1.39)

Suy ra:

Năng lượng trung bình của một dao động tử là

Ở nhiệt độ rất thấp hay (nhiệt độ suy biến) thì sẽ

tiến tới , tức là năng lượng ở mức thấp nhất.

1.5.2. Nhiệt độ suy biến của dao động mạng tinh thể.

Tổng trạng thái đối với một dao động mạng tinh thể được xác định

bằng:

(1.40)

14

Năng lượng trung bình của một mạng tinh thể là:

Ở nhiệt độ rất thấp hay (nhiệt độ suy biến) thì sẽ

tiến tới , tức là năng lượng ở mức thấp nhất.

15

Chƣơng 2. DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG q

2.1. Dao động biến dạng của mạng tinh thể

2.1.1. Dao động biến dạng q

và a:

Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi a+

(2.1)

Với :

(2.2)

Đồng thời:

(2.3) `

Ta thấy khi thì:

(2.4)

Hamilonian được biểu diễn là:

16

Với q=1 phổ năng lượng của dao động từ điều hòa biến dạng trở

thành:

2.1.2. Dao động biến dạng của mạng tinh thể.

2.1.2.1. Dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử cùng loại.

Ta có phương trình Hamiltonian của dao động là:

(2.7)

Ta có:

(2.8)

Suy ra:

(2.9)

(2.9) được biểu diễn thành:

(2.10)

17

2.1.2. Dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử khác loại.

Ta có Hamiltonian của chuỗi nguyên tử là:

(2.11)

Nếu ta thay phương trình từ (2.10) rồi xét hàm Hamiltonian cho bởi:

(2.12)

Ta có:

(2.13)

Ta có:

Như vậy:

18

(2.14)

Ta có:

2.2. Phổ năng lƣợng của dao động biến dạng của mạng tinh thể một

chiều.

2.2.1. Phổ năng lượng của dao động mang tinh thể biến dạng q cho chuỗi

nguyên tử cùng loại.

Ta có:

(2.15)

*

19

(2.16)

Vậy ta có : (2.17)

2.2.2. Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi

nguyên tử khác loại

Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi hai

nguyên tử khác loại là:

(2.18)

Thế (2.14) vào (2.18):

Như vậy :

20

Từ (2.18) ta suy ra:

(2.19)

21

Chƣơng 3. NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA

MẠNG TINH THỂ.

3.1. Nhiệt độ Anhxtanh.

Anhxtanh đã quan niệm vật rắn như là một hệ dao động mạng tinh thể dao

động với cùng một tần số

Suy ra, phổ năng lượng của dao động tử là:

(3.1)

Theo (3.1) ta sẽ có:

(3.2)

Do nên suy ra . Ta có:

Từ đây, ta suy ra:

(3.3)

Từ (3.3) ta suy ra được biểu thức tính năng lượng trung bình sau đây:

(3.4)

Thế (3.3) vào (3.4), rồi sau đó đạo hàm theo nhiệt độ tuyệt đối T ta có:

(3.5)

Do Anhxtanh đã quan niệm vật rắn như là một hệ dao động mạng tinh thể

dao động với cùng tần số. Ta suy ra:

(*)

22

Ta đạo hàm (*) theo T ta suy ra được công thức tính nhiệt dung đẳng tích:

(3.6)

Ta xét:

TH1: Khi nhiệt độ tuyệt đối với gọi là nhiệt độ Anhxtanh

ta khai triển gần đứng theo thì ta được:

Thế biểu thức trên vào biểu thức tính nhiệt dung đẳng tích ta được:

Do nên ta lấy xấp xỉ:

Ta thấy, ở vùng nhiệt độ cao thì biểu thức (3.6) theo lý thuyết của

Anhxtanh là hoàn toàn phù hợp với định luật Dulong – Petit.

TH2: Khi , ở trường hợp này thì ta có:

Suy ra ở vùng nhiệt độ thấp thì lý thuyết của Anhxtanh thì Cv phụ thuộc

vào T theo biểu thức sau:

(3.7)

Từ (3.7) Cv sẽ dần tiến tới 0 khi T tiến tới 0. Nhưng trên thực tế thì thực chất các mạng tinh thể dao động với những tần số khác nhau chứ không phải cùng một tần số nên Anhxtanh chỉ giải thích được nhiệt dung phù hợp với thực nghiệm ở nhiệt độ cao còn ở nhiệt độ thấp thì không phù hợp. Bởi vì ở

23

nhiệt độ thấp Cv sẽ giảm theo phương trình hàm mũ nhưng thực tế nó lại giảm với lũy thừa bậc ba của T.

3.2. Nhiệt độ Đêbai.

Để khắc phục những nhược điểm của mẫu Anhxtanh thì Đêbai đã xem xét vật rắn như là một hệ rất lớn các hạt mà các hạt này dao động với những tần số khác nhau và được xem như một hệ sóng đứng lan truyền trong vật rắn theo tần số biến đổi. Và đã đưa đến kết quả giải thích được nhiệt dung của vật rắn phù hợp cả ở nhiệt độ cao và thấp.

Số lượng dao động là:

Do trong vật rắn thì sóng âm có sóng ngang và sóng dọc truyền với vận tốc khác nhau. Mà sóng ngang lại có 2 khả năng phân cực. Do đó ta có thể tính số

dao động chuẩn trong như sau:

Tốc độ truyền sóng C là:

(3.8)

Suy ra ta tính số lượng các dao động như sau:

(3.9)

Do hệ gồm 3N nguyên tử dao động với tần số khác nhau từ 0 D xác

định như sau:

(3.10)

Tích phân ta được:

(3.11)

24

Từ biểu thức trên ta thấy tần số Đêbai phụ thuộc vào tốc độ truyền âm và

mật độ nguyên tử.

Từ (3.11) viết lại (3.9):

(3.12)

Năng lượng của mỗi dao động tử điều hòa được tính theo công thức:

(3.13)

Thay (3.13), (312) vào vế phải của công thức trên ta được:

(3.14)

Do số hạng đầu tiên ở vế phải của biểu thức (3.14) không phụ thuộc vào T

nên nhiệt dung Cv được tính:

Do đó, ta sẽ có biểu thức sau:

Đặt , ta có:

(**)

Đại lượng là nhiệt độ Đêbai.

Từ đó, ta viết lại (**):

25

(3.15)

Rút gọn: (3.16)

Với D là hàm Đêbai được tính theo công thức:

(3.17)

Xét với 1 mol thì ta có:

(3.18)

Từ kết quả này, tương tự ta xét sự phụ thuộc của Cv theo lý thuyết Đêbai ở

2 trường hợp cụ thể: nhiệt độ cao và thấp như sau:

TH 1: ở nhiệt độ cao thì TD/T sẽ có giá trị rất nhỏ. Khi đó,

theo biểu thức (3.17) ta được:

Kết hợp với (3.18) ta có:

Từ đó, ta thấy lý thuyết nhiệt dung của Đêbai phù hợp với định luật

Dulong – Petip.

TH 2: ở nhiệt độ thấp thì TD/T rất lớn nên xét hàm D(α) khi

α rất lớn. Ta thấy rằng ta có thể thay cận trên của (3.17) bằng ∞ , kết hợp với (3.17) ta được:

Thay kết quả trên vào biểu thức (3.18) ta có:

26

(3.19)

Do vậy, khi xét ở hiệt độ thấp thì lý thuyết Đêbai phù hợp với thực

nghiệm:

3.3. Nhiệt độ suy biến của dao động biến dạng của mạng tinh thể.

Ta có:

aa+ - qa+a = 1

Đồng thời: [N, a+] = a+

[N,a] = -a (Với N làtoán tử số dao động)

Và ta dùng:

Hamiltonian của dao động biến dạng được viết dưới dạng chuẩn:

Phương trình chuyển động của a, a+ có dạng:

Với w là tần số của dao động điều hòa thông thường còn

Là tần số của dao động biến dạng, phụ thuộc vào năng lượng dao động.

Ta có: (3.20)

Và hàm phân bố:

27

(3.21)

Thay (3.20) vào (3.21), ta được:

Mà:

Suy ra:

Ta lại có:

(3.22)

Trong đó: (3.24)

Thay (3.23) vào (3.22) ta được:

28

Ta có:

Suy ra:

Ở nhiệt độ thấp >>1 hay T<< thì năng lượng trung bình sẽ

dẫn tới .

Đặt

Ở nhiệt độ cao T>> thì lớn và dao động sẽ bị phá vỡ.

29

Nhiệt độ gọi là nhiệt độ suy biến của dao động biến dạng của mạng tinh

thể.

30

KẾT LUẬN

Dùng phương pháp của vật lý thống kê và dao động biến dạng tôi đi tìm

nhiệt độ suy biến của dao động biến dạng của mạng tinh thể. Ở những nhiệt

độ này thì trạng thái của dao động biến dạng sẽ bị biến đổi. Nhiệt độ suy biến

phụ thuộc vào thông số biến dạng q tức là phụ thuộc vào cấu trúc vi mô của

hệ dao động. Ứng với mỗi cấu trúc vi mô, thông số biến dạng q có 1 giá trị

nào đó tức là mỗi hệ dao động sẽ có 1 nhiệt độ suy biến khác nhau phụ thuộc

vào cấu trúc vi mô của hệ đó.

31

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân, Cơ sở lý thuyết của vật lý lượng tử,

NXB ĐHQG Hà Nội, 2003.

[2] Nguyễn Thị Hà Loan, Phổ năng lượng của dao động biến dạng của mạng

tinh thể, Tạp chí khoa học ĐHSPHN2 số 43, tháng 6 năm 2016.

[3] Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng, Vật lý thống kê,

Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 1998.

[4] Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình. Vật lý chất rắn, Hà Nội –

NXBGD.

[5] Vũ Thanh Khiết (năm 1984): Vật lí thông kê, NXB đại học sư phạm hà

nội.

[6] Nguyễn Xuân Hân (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Quốc

gia Hà Nội.

[7] Chaichian M. , Gonzalez F.R. and Montonen C. (1993), “Statistics of q-

oscillators, quons and relations to fractional statistics”, J. Phys. A26 (16),

PP.4017-4034.

[8] Chakrabarti R. and Jagannathan R. (1992), “On the number operators of

single-mode q-oscillators”, J. Phys. A25 (23), PP.6393-6398.

[9] Chaturvedi S., Kapoor A. K., Sandhya R. and Srinisavan V. (1991),

“Generalized commutation relations for a single-mode oscillator”, Phys.

Rev. A43 (8), PP.4555-4557.

[10] D. V. Duc (1994), “Generalized q-deformed oscillators and their

statistics”, preprint ENSLAPP-A-494/94, Annecy, France.

[11] D. V. Duc (1998), “Statistics of generalized q-deformed quantum

oscillators”, Frontiers in quantum physics, Springer 1998, PP.272-276.

32

[12] Nguyen Thi Ha Loan, Nguyen Anh Sang and Do Thi Thu Thuy, The

statistical distribution of (q, R)-deformed crystal lattice viration for

generic atomic string, Journal of phys. Conference series, Vol 627, 2015 –

IOPscience.

[13] Nguyen Thi Ha Loan and Nguyen Hong Ha, (q, R)-deformed Heisenberg

algebra and statics of quantum oscillators, Com. in phys. Vol 13, No 4,

(2003).