ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHAN THỊ HUYỀN
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH CHO
HỌC SINH LỚP 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Thái Nguyên – 2017
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHAN THỊ HUYỀN
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH CHO HỌC SINH LỚP 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11
Nguời hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Việt Cường
Thái Nguyên – 2017
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình
nào khác.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả luận văn
Phan Thị Huyền
Xác nhận Xác nhận
của khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Trần Việt Cường
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
MỤC LỤC
T
Trang
1
MỞ ĐẦU………………………………………………………………
5
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN………………….
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán …………………………………...
5
1.1.1. Kỹ năng………………………………………………………......
5
1.1.2. Kỹ năng giải toán……………………………………...................
7
1.2. Dạy học giải bài tập toán cho học sinh…………………..............
12
1.2.1. Vai trò của bài tập toán ở trường phổ thông……………………..
12
1.2.2. Chức năng của bài tập toán……………………………………....
15
1.2.3. Dạy học giải bài tập toán học theo tư tưởng của G.Polya
1
16
………………………………………………………………………….
1.3. Nội dung của chương trình và yêu cầu của dạy học về chủ đề
1
20
Phép dời hình trong chương trình toán phổ thông ............................
1.3.1. Nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng ở trường phổ
1
20
thông…………………………………………........................................
1.3.2. Mục đích, yêu cầu của việc dạy học nội dung Phép dời hình
1
21
trong mặt phẳng ở trường phổ thông ……………..................................
1.4. Thực trạng dạy học nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng
1
22
cho học sinh lớp 11.................................................................................
1.5. Kết luận chương 1........................................................................... 26 CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN PHÉP DỜI
27
HÌNH TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH LỚP 11…………
2.1. Một số định hướng đề xuất biện pháp sư phạm…………….......
27
1
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
2.1.1. Định hướng 1. Tôn trọng, bám sát nội dung chương trình sách
27
giáo khoa hiện hành…………………………………………………….
2.1.2. Định hướng 2. Phù hợp với đối tượng học sinh………………….
27
2.1.3. Định hướng 3. Đảm bảo tính khả thi góp phần đổi mới phương
2
28
pháp dạy học…………………………………………………………....
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán
2
cho học sinh lớp 11 qua dạy học nội dung Phép dời hình trong mặt
28
phẳng……………………………………………………………….......
2.2.1. Hệ thống hóa các dạng bài toán thường gặp và phương pháp giải
3
28
cho từng dạng toán…………………………………………………......
2.2.2. Hạn chế và khắc phục những sai lầm thường mắc phải cho học
3
52
sinh thông qua phân tích các bài toán có chứa sai lầm…………………
2.2.3. Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán theo quy trình giải
3
58
toán của G.Polya……………………………………………………......
2.2.4. Tổ chức cho học sinh phát hiện thực hành quy tắc thuật giải, tựa
3
62
thuật giải……………………………………………………………......
2.2.5. Ứng dụng công nghệ thông tin trong rèn luyện kỹ năng giải toán
3
71
phép dời hình cho học sinh……………………………………………..
2.3. Kết luận chương 2………………………………………………...
76
78
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM………………………....
3.1. Mục đích thư ̣c nghiệm sư phạm……………………………........
78
3.2. Nội dung thư ̣c nghiệm sư phạm……………………………….....
78
3.2.1. Nội dung thực nghiệm sư phạm……………………………….....
78
3.2.2. Chuẩn bị tài liệu thực nghiệm sư phạm………………………….
79
3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ……………………………......
80
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
3.4. Đánh giá thư ̣c nghiệm sư phạm………………………………….
80
81
3.4.1. Phân tích định lượng…………………………………………......
86
3.4.2. Phân tích định tính……………………………………………….
3.5. Kết luận chương 3………………………………………………...
87
KẾT LUẬN CHUNG……………………………………………….....
89
CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN.........
90
91
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………
iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học
(Thực hiện tháng 8 năm 2016).........................................................80
Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số kết quả kiểm tra 45 phút của học sinh hai
lớp 11A9 và lớp 11A15 trường Trung học phổ thông Quế Võ
số 1.................................................................................................84
v
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Trong những năm gần đây, sự phát triển nhanh chóng của khoa
học và công nghệ đang đặt ra những yêu cầu mới đối với người lao động. Để
thực hiện sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong bối cảnh hội nhập
quốc tế, người lao động phải năng động, sáng tạo, có trình độ, có kiến thức
chuyên môn và kỹ năng thành thạo. Chuẩn mực của người giỏi ngày nay
được “đo” bằng năng lực chuyên môn, năng lực giải quyết các vấn đề. Đây là
những phẩm chất không phải có sẵn ở mỗi con người mà nó được hình thành
và phát triển trong quá trình giáo dục.
Học sinh phổ thông là những người đang trưởng thành, chuẩn bị tham
gia trực tiếp vào lao động sản xuất, phát triển xã hội. Việc trang bị cho các em
những kỹ năng, những phẩm chất của người lao động ngay còn khi ngồi trên
ghế nhà trường là hết sức cần thiết.
Luật Giáo dục nước ta quy định [19]: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương
pháp tự học, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Nghị quyết Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XI của Đảng cộng sản Việt
Nam đã xác định [4]: “Đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục theo hướng
chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế” và
“Phát triển nhanh nguồn nhân lực, nhất là nguồn nhân lực chất lượng cao,
tập trung vào việc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục quốc dân”.
Nghị quyết 29 của Ban Chấp hành Đảng cộng sản Việt Nam khóa XI
đã nêu rõ [2]: “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu
trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực người
học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn chặt với thực tiễn; giáo dục nhà trường
kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”.
1.2. Trong dạy học môn Toán, dạy học giải bài tập được xem là một
trong những tình huống điển hình. Nội dung kiến thức môn Toán cần trang bị
cho học sinh không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí mà còn bao gồm các
kỹ năng, phương pháp, mà giải bài tập toán chính là phương diện không thể
thiếu trong việc giúp học sinh nắm vững các tri thức, hình thành các kỹ năng,
kỹ xảo cho bản thân.
Thực tiễn cho thấy, rèn luyện kỹ năng cho học sinh là một khâu quan
trọng không thể tách rời của quá trình đào tạo ở trường phổ thông. Đó là hoạt
động cần thiết để học sinh biến tri thức nhân loại thành vốn hiểu biết và khả
năng tri thức của riêng mình, đặc biệt quá trình rèn luyện kỹ năng tốt thì chất
lượng học tập mới đem lại hiệu quả cao. Tuy nhiên, kỹ năng giải toán của học
sinh còn nhiều hạn chế.
1.3. Nội dung Phép dời hình trong chương trình môn Toán lớp 11 là
một trong những nội dung khó và trừu tượng trong chương trình phổ thông.
Hiện nay, chương trình dạy học nội dung này đã được giảm tải nhiều. Trong
quá trình học nội dung này, học sinh thường lúng túng, thậm chí giải sai, một
số em không biết cách giải. Vì vậy, việc giúp cho các em có kỹ năng tốt, cũng
như cung cấp các phương pháp giải từng dạng bài tập trong nội dung Phép
dời hình là rất cần thiết.
Vấn đề dạy học giải toán và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
các cấp đã được nhiều người quan tâm, nghiên cứu. Tuy nhiên, việc nghiên
cứu rèn luyện kỹ năng giải toán trong phép dời hình chưa có nhiều người
nghiên cứu một cách đầy đủ.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài: Rèn luyện kỹ
năng giải toán về phép dời hình cho học sinh lớp 11.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu về kỹ năng, rèn luyện kỹ năng, nghiên cứu về
nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng và việc dạy học chủ đề đó ở trường
Trung học phổ thông, đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh lớp 11 qua dạy học nội dung Phép dời hình trong mặt
phẳng.
3. Giả thuyết nghiên cứu
Nêu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp để rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học nội dung Phép
dời hình trong mặt phẳng thì sẽ góp phần phát triển kỹ năng giải toán cho học
sinh và nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của một số nội dung liên quan
tới đề tài.
- Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh lớp 11 qua dạy học nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục,
tìm hiểu một số tạp chí và các tài liệu có liên quan đến đề tài, nghiên cứu nội
dung chương trình sách giáo khoa môn Toán ở trường phổ thông mà trọng
tâm là nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Điều tra tình hình dạy học nội dung
Phép dời hình trong mặt phẳng ở trường phổ thông cũng như việc rèn luyện
kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chủ đề này.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Xin ý kiến của một số giáo viên
dạy toán về một số vấn đề liên quan đến đề tài để điều chỉnh nội dung luận
văn cho phù hợp với thực tiễn dạy học nội dung Phép dời hình trong mặt
phẳng ở trường Trung học phổ thông.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Nhằm kiểm nghiệm tính khả thi
và hiệu quả của giải pháp đã đề xuất.
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”,
nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Rèn luyện kỹ năng giải toán Phép dời hình trong mặt phẳng
cho học sinh lớp 11.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán
1.1.1. Kỹ năng
a) Quan niệm về kỹ năng
Theo từ điển tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [25].
Nhà tâm lí học người Nga A.V.Barabansicov cho rằng: “Kỹ năng là
khả năng sử dụng tri thức và các kỹ xảo của mình một cách có mục đích và
sáng tạo trong quá trình của hoạt động thực tiễn. Khả năng này là khả năng tự
tạo của con người” [27, tr.101].
“Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở
bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ
thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp” [18].
Theo Lê Văn Hồng [12, tr.109]: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến
thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới”
Còn theo G.Polya: "Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài
toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải
và chứng minh nhận được" [17 ].
Bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn khác nhau, có nhiều định nghĩa
khác nhau về kỹ năng. Dù phát biểu theo góc độ nào, hầu hết chúng ta đều
thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chủ thể áp dụng kiến thức vào
thực tiễn. Để sở hữu kỹ năng, chúng ta phải trải qua quá trình lặp đi lặp lại
một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. Nói đến kỹ năng là nói đến
khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên
cơ sở hiểu biết để đạt được mục đích đã định.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Từ những quan niệm trên có thể hiểu: Kỹ năng là sự thực hiện thành
thạo và có kết quả cho một nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định bằng
cách vận dụng những kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…), kinh
nghiệm đã có để hành động phù hợp với ngữ cảnh và điều kiện cụ thể.
Để hiểu rõ hơn về kỹ năng, cần phân biệt kỹ năng với một số dấu hiệu
gần giống kỹ năng:
- Kỹ năng khác phản xạ: Phản xạ là phản ứng của cơ thể với môi
trường. Phản xạ mang tính thụ động. Ngược lại, kỹ năng là phản ứng có ý
thức và mang tính chủ động.
- Kỹ năng khác với kiến thức: Kiến thức là sự hiểu biết nhưng chưa
từng làm. Còn kỹ năng là hành động trên nền tảng kiến thức.
- Kỹ năng khác với thói quen: Hầu hết thói quen được hình thành một
cách vô thức và khó kiểm soát, trong khi kỹ năng được hình thành một cách
có ý thức qua quá trình luyện tập.
b) Đặc điểm của kỹ năng
- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết, đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến
kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó. “Nói cách khác,
có kỹ năng, con người mới sử dụng được tri thức một cách tự giác và có chủ
định, mới biết lựa chọn các biện pháp cần thiết, phù hợp với từng hoàn cảnh
và vận dụng các biện pháp đó vào hoạt động để đạt được mục đích” [1, tr.97].
- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách của hành động. Nhưng không phải cứ có tri thức thì
sẽ có kỹ năng tương ứng.
- Kỹ năng chỉ có ở con người, kỹ năng được hình thành trong hoạt động:
“luyện tập”, vì vậy phải thông qua việc tổ chức hoạt động mà xây dựng kỹ năng.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
- Theo [1, tr.116 ]: Quan điểm chung của các nhà tâm lí hoạt động là có
ba giai đoạn hình thành kỹ năng gồm: nhận thức, làm thử, luyện tập.
+ Nhận thức mục đích của hành động và kế hoạch hành động: Biết
mình sẽ làm gì và sẽ phải đạt đến kết quả nào; biết được cách thức để đi đến
kết quả đó, những cách thức này hoặc tự người học xây dựng hoặc được
người dạy hướng dẫn.
+ Làm thử: Sau khi nắm được phương thức hoạt động thì sẽ làm thử vài
lần dưới sự kiểm soát của người hướng dẫn.
+ Luyện tập: Làm đi làm lại nhiều lần động tác cần học. Lúc mới luyện
tập, người học mới chỉ chú ý đến từng khâu riêng lẻ của hành động, chưa chú
ý được đến toàn bộ. Sau nhiều lần thực hiện, người học biết liên kết nhiều
hành động riêng lẻ lại, hành động lúc này liên tục , không bị ngắt quãng. Quá
trình luyện tập cũng là quá trình làm cho động tác nhanh, chính xác hơn, ít sai
lầm hơn. Đến giai đoạn này người học có thể nhận thấy sai lầm của mình và
biết tự sửa chữa.
Như vậy, sự phát triển của kỹ năng ở giai đoạn sau bao giờ cũng ở mức
độ cao hơn so với giai đoạn trước thể hiện ở tính mục đích, tính sáng tạo trong
việc sử dụng các tri thức trong quá trình hoạt động để đạt được mục đích đề ra.
1.1.2. Kỹ năng giải toán
a) Khái niệm
G.Polya đã khẳng định [18]: “Trong Toán học, kỹ năng là khả năng giải
các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như các phân tích có phê phán
các lời giải và chứng minh nhận được kỹ năng trong toán học quan trọng hơn
nhiều những kiến thức thuần túy, so với thông tin trên”.
Theo tác giả Hoàng Chúng [5]: “Kỹ năng giải toán là khả năng vận
dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng
minh…)”.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Như vậy, kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao
gồm: kiến thức, kỹ năng, phương pháp. Học sinh sau khi nắm vững lý thuyết,
trong quá trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiến thức thì kỹ năng được hình
thành, phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức
Toán học. Kỹ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc
thực hiện các hoạt động toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán.
Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
b) Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán
Kỹ năng giải toán của học sinh biểu hiện qua hoạt động giải bài tập
toán. Trong giải toán, học sinh cần có những kỹ năng sau:
+ Kỹ năng tính toán: Giáo viên cần chú ý rèn luyện cho học sinh khả
năng tư duy, khả năng suy luận độc lập, sáng tạo, không xem nhẹ việc rèn
luyện kỹ năng tính toán vì nó có vai trò quan trọng đối với học sinh trong việc
học tập hiện tại và cuộc sống sau này. Trong hoạt động thực thực tế ở bất kỳ
các lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kỹ năng tính toán: tính đúng, tính nhanh, tính
hợp lý.
+ Kỹ năng sử dụng thành thạo các quy tắc: Về mặt kỹ năng này thì cần
yêu cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc.
+ Kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán: Học sinh được rèn luyện kỹ
năng này trong quá trình họ tìm tòi lời giải bài toán. Nên hướng dẫn học sinh
thực hiện giải toán theo quy trình giải toán của G.Polya [18]: Tìm hiểu nội
dung bài toán; Xây dựng chương trình giải; Thực hiện chương trình giải;
Kiểm tra, nghiên cứu lời giải.
+ Kỹ năng đọc và vẽ hình, đo đạc: Đây là kỹ năng cần thiết và phải rèn
luyện cho học sinh một cách cẩn thận. Đặc biệt, với kỹ năng vẽ hình, học sinh
phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước và phù
hợp với lý thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, đẹp.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
+ Kỹ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầm khi
giải toán. Trên thực tế, nhiều học sinh, kể cả học sinh khá giỏi vẫn mắc sai lầm
khi giải toán. Do vậy, giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen
phát hiện những sai lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích
được những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó. Qua đó, học sinh cũng cần được
rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: câu chữ, các ký hiệu, vẽ
hình chính xác… Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá và
tự điều chỉnh góp phần nâng cao thành tích, chất lượng dạy và học.
+ Kỹ năng chứng minh toán học: Để có kỹ năng chứng minh toán học,
học sinh cần đạt được: Hình thành động cơ chứng minh, rèn luyện những hoạt
động thành phần trong chứng minh, truyền thụ những tri thức phương pháp về
chứng minh, các phép suy luận [5].
+ Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kỹ năng biến đổi
xuôi chiều và ngược chiều: Là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm
vững và vận dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần tư duy
quan trọng của toán học. Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng
biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình
thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên
tưởng thuận.
+ Kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: Kỹ năng toán học hóa
các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời
sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức toán học
trong nhà trường gây hứng thú trong việc học tập giúp học sinh nắm được thực
chất nội dung vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức.
+ Kỹ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức
liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử
của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng. Tư duy hàm đóng
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
vai trò quan trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông. Những
hoạt động tư duy hàm: Hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng; hoạt
động nghiên cứu sự tương ứng.
+ Kỹ năng tìm ra vấn đề và giải quyết vấn đề.
+ Kỹ năng tự học, tự kiểm tra, tự đánh giá lời giải và tránh sai lầm khi
giải toán. Theo G.Polya “Con người phải biết học ở những sai lầm và những
thiếu sót của mình” [17]. Trong giải bài tập toán, việc phát hiện sai lầm và
sửa chữa sai lầm đó là một thành công của người học toán. Do vậy, giáo viên
cần giúp học sinh có khả năng và thói quen tự kiểm tra, tự đánh giá lời giải
sau mỗi bài tập. Việc hình thành kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá và tự điều
chỉnh cho học sinh sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
+ Kỹ năng phân tích, tổng hợp: Học sinh cần có kỹ năng phân tích bài
toán, thiết lập mối liên hệ và phụ thuộc giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần
tìm, liên hệ với những tri thức đã có để tìm ra phương pháp giải đúng đắn,
hiệu quả và nhanh nhất.
Nội dung Phép dời hình mới lạ, trừu tượng đối với học sinh nên học
sinh thường gặp khó khăn trong vận dụng kiến thức đã học trong giải bài tập.
Do đó cần chú trọng rèn luyện các kỹ năng đặc trưng của phần Phép dời hình
nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức cho học sinh. Các kỹ năng đó là:
Kỹ năng xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép dời hình:
Trong từng bài, sau khi học xong định nghĩa thì giáo viên giúp học sinh
xác định các yếu tố chính để tạo nên phép dời hình. Sau đó từ định nghĩa, biểu
thức tọa độ của phép dời hình đó xác định ảnh một điểm bất kỳ qua phép dời
hình đấy. Ví dụ: Để dựng ảnh của điểm M bất kỳ qua Q(O; α):
+ Kiểm tra xem điểm O cố định và góc α không đổi chưa?
+ Dựng điểm ảnh điểm M là M’ qua Q(O; α) theo chiều dương (chiều
âm) của phép quay thỏa mãn OM = OM’ và (OM; OM’) = α.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Sau khi biết cách tìm ảnh của một điểm qua một phép dời hình cụ thể,
học sinh có thể tìm được ảnh của đường thẳng, tam giác, đường tròn.. dựa
tính chất, biểu thức tọa độ của phép đó.
Để xác định ảnh của một điểm, một hình qua tích các phép dời hình thì
giáo viên hướng dẫn học sinh biết tìm ảnh lần lượt qua từng phép dời hình,
phép nào trong đề bài nhắc tới trước thì tìm ảnh qua nó trước rồi tiếp tục tìm
ảnh qua phép tiếp theo.
Kỹ năng nhận biết sử dụng phép dời hình trong một bài toán
Qua những bài tập, giáo viên dẫn dắt học sinh phát hiện được những
dấu hiệu của từng phép dời hình để có thể giải trong bài toán cụ thể. Ví dụ, sử
dụng phép tịnh tiến khi có yếu tố liên quan đến hình bình hành, hai vectơ
bằng nhau.
Sau khi nắm được dấu hiệu của từng phép dời hình thì có thể biến phép
dời hình này sang phép dời hình kia. Ví dụ: Hợp thành của hai phép đối xứng
trục có trục cắt nhau là một phép quay.
c) Sự cần thiết của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh phổ thông
Mục tiêu của môn Toán trong trường phổ thông là trang bị cho học sinh
những kiến thức toán học phổ thông, cơ bản, hiện đại, rèn luyện các kỹ năng
tính toán và phát triển tư duy toán học, góp phần phát triển năng lực giải
quyết vấn đề và các năng lực trí tuệ chung, đặc biệt là khả năng phân tích,
tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa. Trong dạy học môn Toán, dạy học
giải bài tập được xem là một trong những tình huống điển hình. Chất lượng
giải toán sẽ phản ánh rõ nhất trình độ học toán của học sinh. Vì vậy, hoạt
động rèn luyện kỹ năng giải toán là hoạt động không thể thiếu của học sinh.
Những kiến thức, kỹ năng và phương pháp toán học là cơ sở để tiếp thu
những kiến thức về khoa học công nghệ góp phần học tập các môn học khác
trong trường phổ thông và vận dụng vào đời sống.
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Trên cơ sở đó, việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ
quan trọng hàng đầu của bộ môn Toán học. Sở hữu kỹ năng thành thạo sẽ
giúp học sinh làm việc độc lập, sáng tạo không chỉ trong nội bộ môn toán, mà
còn có ứng dụng trong các ngành khoa học khác và trong thực tiễn đời sống.
Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà
trước tiên là kỹ năng giải toán nhằm đạt được những yêu cầu cần thiết sau:
- Giúp học sinh hình thành và nắm vững mạch kiến thức cơ bản xuyên
suốt chương trình.
- Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ.
- Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng trong tất cả các giờ học của học
sinh, phát triển trí tuệ cho học sinh bằng nhiều hoạt động thực hành (tính toán,
kẻ vẽ, đo đạc...)
- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất: Tính cẩn thận, chính xác, kiên
trì, vượt khó, thói quen tự kiểm tra, đánh giá những sai lầm có thể gặp.
1.2. Dạy học giải bài tập toán cho học sinh
1.2.1. Vai trò của bài tập toán ở trường phổ thông
Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung
của giáo dục phổ thông. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, phát triển
những phẩm chất trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái
quát hóa... rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như
tính cẩn thận, chính xác, kỉ luật, tính phê phán, sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm
mỹ. Hơn nữa, môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn
học khác.
Trong dạy học toán ở trường phổ thông, bài tập toán có vai trò quan
trọng, vì “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với
học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững những tri thức,
phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực
tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ
dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải
bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán” [15].
Cụ thể việc giải bài tập toán có những tác dụng sau:
- Hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hoá kiến thức một cách sinh
động. Khi giải quyết bài toán, học sinh phải nhớ lại những kiến thức đã học,
phải đào sâu một số khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp, huy
động nhiều kiến thức để giải quyết được bài tập. Tất cả những thao tác tư duy
đó góp phần củng cố khắc sâu và mở rộng kiến thức cho học sinh.
- Một trong những phương tiện tốt để phát triển năng lực tư duy, khả
năng sáng tạo cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh một phương pháp nghiên
cứu khoa học bởi giải bài tập toán là một hình thức làm việc tự lực của học
sinh. Trong khi giải bài tập toán, học sinh phải phân tích, lập luận... từ đó tư
duy logic, tư duy sáng tạo của học sinh được phát triển và năng lực của học
sinh được nâng cao.
- Xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào
thực tế, đời sống... từ đó có tác dụng giáo dục cho học sinh về phẩm chất đạo
đức, rèn luyện khả năng độc lập suy nghĩ, tính kiên trì dũng cảm khắc phục
khó khăn, tính chính xác khoa học, kích thích hứng thú học tập bộ môn Toán
nói riêng và học tập nói chung.
- Đánh giá mức độ kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán
và trình độ phát triển của học sinh.
Theo Nguyễn Bá Kim [15]: “Bài tập toán học có vai trò quan trọng
trong môn toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học
sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay
phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ
phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động
ngôn ngữ”. Vai trò của bài tập thể hiện ở ba bình diện:
a) Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập toán ở nhà trường phổ
thông là “giá mang” những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể
hiện mức độ đạt mục đích. Bài tập toán học góp phần:
- Hình thành, củng cố tri thức kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tư duy, hình
thành và phát triển những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành và phát triển
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
b) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là “giá
mang” những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập
đó trở thành một phương tiện để gieo mầm nội dung dưới dạng những tri thức
hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình
bày trong phần lý thuyết.
c) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là “giá mang”
những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ
sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như
vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt
động tự giác, tích cực và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác nhau
về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với
nội dung mới, củng cố kiến thức, ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức của học
sinh, giúp giáo viên nắm được thông tin hai chiều trong quá trình dạy học.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Như vậy, bài tập toán học ở trường phổ thông có vai trò quan trọng
trong hoạt động dạy, hoạt động học toán ở trường phổ thông. Vì thế, giáo viên
cần lựa chọn các bài tập toán sao cho phù hợp với từng đối tượng và năng lực
của từng học sinh, như thế mới phát huy được năng lực giải toán của học sinh.
1.2.2. Chức năng của bài tập toán
Trong dạy học, bài tập toán được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau.
Một bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với một
nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra... Mỗi bài tập cụ thể được đặt ra ở
một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường
minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau, những chức năng này đều
hướng đến các mục đích dạy học trong môn Toán, hệ thống bài tập có các
chức năng sau [15].
- Với chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học
sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá
trình dạy học. Cụ thể như: Làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề về lý
thuyết; thu gọn, mở rộng, bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên hệ
thống hóa kiến thức và nhấn mạnh phần trọng tâm của lý thuyết. Đặc biệt, bài
tập còn mang tác dụng giáo dục kĩ thuật, tổng hợp thể hiện qua việc giúp học
sinh rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng đọc hình vẽ, kỹ năng sử dụng các
phương tiện học tập, kỹ năng thực hành toán học; phương pháp tư duy, thói
quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn gọn tiết kiệm thời gian...
- Với chức năng giáo dục: Bài tập giúp học sinh hình thành thế giới
quan duy vật biện chứng, từng bước nâng cao hứng thú học tập, tạo niềm tin ở
bản thân học sinh và phẩm chất của con người lao động, rèn luyện, phát triển
cho học sinh đức tính kiên nhẫn, bền bỉ, không ngại khó, sự chính xác và chu
đáo trong khoa học.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
- Với chức năng phát triển: Bài tập giúp học sinh ngày càng nâng cao
khả năng suy nghĩ, rèn luyện, phát triển các thao tác tư duy như: phân tích,
tổng hợp, suy diễn, quy nạp, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa... thông
thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn
đề một cách thông minh sáng tạo. Từ đó, học sinh hình thành phẩm chất tư
duy khoa học.
- Với chức năng kiểm tra: Bài tập giúp giáo viên và học sinh đánh giá
được mức độ và kết quả của quá trình dạy và học, đồng thời nó cũng đánh giá
khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
Thông qua giải bài tập, giáo viên có thể tìm thấy những điểm mạnh,
những hạn chế trong việc tiếp thu và trình bày tri thức của học sinh. Qua đó
có thể bổ sung, rèn luyện, phát triển và phát triển tiếp cho học sinh. Có thể nói
rằng hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào
việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các
tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người học
sinh phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng
lực sư phạm của mình.
1.2.3. Dạy học giải bài tập toán học theo tư tưởng của G.Polya
Trong chương trình môn toán ở trường phổ thông, nhiều bài tập toán
chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát
nào để giải tất cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải
một số bài toán cụ thể mà dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm
trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán. Dạy học giải bài tập toán
không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán. Biết lời
giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán, vì vậy
cần trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện
cách giải bài toán là cần thiết. Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
những gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thức giải toán, phương pháp tìm tòi
lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo bốn bước sau [18]:
- Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán. Để tìm hiểu nội dung của bài
toán, cần chú ý các yếu tố cơ bản như:
+ Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm và cái phải chứng minh.
+ Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ… để diễn tả đề bài.
+ Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các
điều kiện đó thành công thức không?...
- Bước 2: Xây dựng chương trình giải. Yếu tố quan trọng khi giải được
bài toán chính là việc xây dựng chương trình giải cho bài toán đó. Vì vậy khi
thực hiện, chúng ta cần chú ý:
+ Phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản quen thuộc.
+ Lựa chọn những kiến thức đã học (Định nghĩa, định lí, quy tắc...) gần
gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm dự đoán kết quả.
+ Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng
minh (phản chứng, qui nạp toán học...), toán dựng hình, toán quỹ tích...
- Bước 3: Trình bày lời giải. Trình bày lại lời giải sau khi đã điều chỉnh
những chỗ cần thiết.
- Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
+ Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
+ Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải
một bài toán nào đó.
+ Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể).
+ Khai thác kết quả có thể có của bài toán.
+ Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hoá bài
toán...
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán có hoặc không
có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải các bài
toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể
mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy
nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán:
+ Đối với những bài toán đã có thuật giải: Giáo viên cần căn cứ vào
yêu cầu chung của chương trình cũng như tình hình thực tế để hoặc thông báo
tường minh thuật giải hoặc có thể cho học sinh thực hiện các hoạt động học
tập ăn khớp với tri thức phương pháp đó.
+ Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: Giáo viên
cần hướng dẫn học sinh suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Qua đó trang bị cho học
sinh một số tri thức về phương pháp giải toán. Thông qua dạy học sinh giải
một số bài toán cụ thể mà dần dần cho học sinh cách thức, kinh nghiệm tiến
tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán, hình thành
phương pháp giải một lớp các bài toán có dạng quen thuộc. Từ đó hình thành
kỹ năng giải quyết loại bài toán đó.
Như vậy, có thể nói “Quá trình học sinh học phương pháp chung để
giải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành
kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài
toán cụ thể. Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ
thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh,
trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo” [18].
Ví dụ: Cho hai tam giác đều ABC và AB’C’. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của BB’ và CC’. Chứng minh tam giác AMN đều.
Hướng dẫn giải
- Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Giáo viên: Yêu cầu học sinh vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận bài
toán.
- Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Giáo viên: Tam giác AMN đều khi nào?
Học sinh: Có hai cạnh bằng nhau và một góc bằng 600.
Giáo viên: Để chứng minh tam giác AMN đều ta phải làm làm gì?
Học sinh: Sử dụng phép dời hình.
Giáo viên: Đó là phép dời hình nào? Vì sao xác định được?
Học sinh: Đề bài đã cho trước hai tam giác đều ABC và AB’C’, từ đó
xác định được phép quay Q(O; 600) biến tam giác ABB’ thành tam giác ACC’
dẫn đến điều phải chứng minh.
- Bước 3: Trình bày lời giải.
Ta có Q(O; 600): A → A
B → C
B’ → C’
Suy ra Q(O; 600) biến tam giác
ABB’ thành tam giác ACC’. Từ giả thiết
M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và
CC’, mà Q(O; 600) biến BB’ thành CC’
Hình 1.1 nên Q(O; 600): M → N
∆AMN cân.
- Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Giáo viên yêu cầu học sinh kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải và từ bài
toán này rút ra dấu hiệu xác định phép quay để có thể sử dụng trong chứng
minh: Đề bài có yếu tố liên quan tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông
cân, hình vuông...
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
1.3. Nội dung của chương trình và yêu cầu của dạy học về chủ đề Phép
dời hình trong chương trình toán phổ thông
1.3.1. Nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng ở trường phổ thông
Trong chương trình môn toán (ban cơ bản) ở trường Trung học phổ
thông, Phép dời hình thuộc nội dung chương I. Phép dời hình và phép đồng
dạng trong mặt phẳng của Hình học lớp 11 được học ở học kỳ I với thời
lượng 7 tiết, gồm những nội dung sau:
Phân phối Tên bài dạy Nội dung chương trình
Tiết 1 §1. Phép biến hình Trình bày định nghĩa phép biến
hình trong mặt phẳng.
Tiết 2 §2. Phép tịnh tiến Trình bày định nghĩa, tính chất và
biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Tiết 3 §3. Phép đối xứng trục Trình bày định nghĩa, tính chất và
biểu thức tọa độ của phép đối xứng
trục. Ngoài ra, giới thiệu trục đối
xứng của một hình.
Tiết 4 §4. Phép đối xứng tâm Trình bày định nghĩa, tính chất và
biểu thức tọa độ của phép đối xứng
tâm. Ngoài ra, giới thiệu tâm đối
xứng của một hình.
Tiết 5 §5. Phép quay Trình bày định nghĩa và tính chất
của phép quay.
Tiết 6 §6. Khái niệm về phép Trình bày khái niệm và tính chất
dời hình và hai hình của phép dời hình. Ngoài ra, giới
bằng nhau thiệu khái niệm hai hình bằng
nhau.
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Tiết 7 Ôn tập chương I Ôn tập lại kiến thức về phép biến
hình, các loại phép dời hình cũng
như việc vận dụng các loại phép
dời hình trong giải toán
1.3.2. Mục đích, yêu cầu của việc dạy học nội dung Phép dời hình trong
mặt phẳng ở trường phổ thông
Căn cứ vào nội dung chương trình, mục đích, yêu cầu của việc dạy học
nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng ở trường phổ thông là:
- Về kiến thức: Học xong nội dung này, học sinh có được các kiến thức
sau:
+ Nắm và hiểu được khái niệm, tính chất của phép biến hình.
+ Nắm và hiểu được khái niệm, tính chất cũng như biểu thức tọa độ của
phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay.
+ Nắm được trục đối xứng, tâm đối xứng của một hình; hình có trục đối
xứng, tâm đối xứng.
+ Nắm và hiểu được khái niệm, tính chất của một phép dời hình cũng
như khái niệm hai hình bằng nhau.
- Về kỹ năng: Học xong nội dung này, học sinh sẽ có được các kỹ năng
như:
+ Giúp học sinh bước đầu biết vận dụng phép dời hình trong một số bài
tập chứng minh đơn giản.
+ Giúp học sinh dựng được ảnh của một hình (một điểm, một đoạn
thẳng, một tam giác...) qua một phép dời hình (phép đối xứng trục, đối xứng
tâm, phép quay, phép tịnh tiến).
+ Giúp học sinh biết cách xác định được trục đối xứng, tâm đối xứng
của một hình.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
+ Giúp học sinh biết cách viết được biểu thức tọa độ của một điểm đối
xứng với một điểm đã cho qua trục Ox, trục Oy và qua gốc tọa độ.
+ Viết được biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến, phép quay.
+ Nhận biết được hai tứ giác bằng nhau, hai hình tròn bằng nhau.
1.4. Thực trạng dạy học nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng cho học
sinh lớp 11
Việc tìm hiểu, phân tích thực tế dạy học nội dung Phép dời hình trong
mặt phẳng là việc làm rất cần thiết. Điều đó giúp chúng tôi có thêm cơ sở để
xác định đúng đắn các yêu cầu cũng như biện pháp sư phạm đặt ra trong luận
văn. Để tìm hiểu về thực trạng dạy học nội dung Phép dời hình trong mặt
phẳng ở trường Trung học phổ thông, chúng tôi đã tiến hành phỏng vấn, phát
phiếu hỏi ý kiến của giáo viên dạy toán và thăm dò ý kiến học sinh lớp 11
thuộc trường Trung học phổ thông Quế Võ số 1, tỉnh Bắc Ninh.
a) Giáo viên
Chúng tôi đã tiến hành trao đổi với 5 giáo viên toán trực tiếp giảng dạy
nội dung này, chúng tôi nhận thấy:
- Các giáo viên đều nhận thức được tầm quan trọng của nội dung Phép
dời hình trong mặt phẳng chương trình lớp 11 nói riêng và môn Toán nói
chung. Đa số giáo viên đều cho rằng nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng
là một trong những nội dung khó, trừu tượng đối với học sinh.
- Hiện nay, trong chương trình giảng dạy, một số nội dung đã được cắt
giảm, tài liệu tham khảo về phép biến hình nói chung và Phép dời hình nói
riêng chưa nhiều nên việc học tập nội dung này của học sinh cũng gặp nhiều
khó khăn. Mặt khác, do thời lượng dành cho nội dung này trong chương trình
không nhiều (7 tiết) nên khi học về nội dung Phép dời hình học sinh thường
chưa nắm vững, chưa hiểu rõ bản chất các kiến thức về phép dời hình.
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
- Các bài tập trong phần phép dời hình đa số không có thuật giải chung
cho từng dạng bài nên giáo viên dạy giải bài tập thường gặp khó khăn trong
hình thành thuật giải cho học sinh. Học sinh thường gặp khó khăn trong việc
xác định sử dụng Phép dời hình nào để có thể giải được bài toàn này. Hơn
nữa, nội dung Phép dời hình được học ở đầu học kỳ I và thường không xuất
hiện trong các đề kiểm tra 1 tiết, đề thi hết học kỳ... nên giáo viên chưa quan
tâm nhiều đến việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Do đó, học sinh
thường hay mắc sai lầm trong quá trình giải toán.
- Trong dạy học, vì số lượng tiết dạy ít, nên hầu như giáo viên còn e
ngại việc sử dụng một số phương pháp dạy học tích cực, mở rộng các dạng
bài tập mới, nâng cao vì mất nhiều thời gian, mà chỉ dừng lại ở những bài tập
thuần túy trong sách giáo khoa, có thể nhìn thấy ngay cách giải. Điều đó chưa
thật sự gây được ấn tượng, hứng thú học tập cho học sinh.
- Cũng có giáo viên tham vọng chữa được một số lượng bài tập lớn nên
đã trở thành người hướng dẫn, đưa ra lời giải, học sinh nghe và “chép” lời
giải. Học sinh không trực tiếp hoạt động, tiếp xúc với những khó khăn ngay
trên lớp để được giải đáp. Việc đó vô tình khiến cho học sinh chỉ tiếp thu thụ
động, không có dấu ấn về bài học.
- Bên cạnh đó, có giáo viên tham vọng đưa vào bài học hệ thống bài tập
đa dạng. Điều này dẫn đến thực trạng là một bộ phận học sinh chưa kịp luyện
tập thành thạo, nắm vững những kỹ năng cơ bản đã phải đối mặt với một vấn
đề mới không vừa sức.
Sau đây, chúng tôi xin trích dẫn một đoạn phỏng vấn thầy giáo Trần
Đình Thắng, giáo viên dạy toán trường Trung học phổ thông Quế Võ số 1,
tỉnh Bắc Ninh như sau:
- Hỏi: Thầy vui lòng cho biết, học sinh có hứng thú khi học nội dung
Phép dời hình trong mặt phẳng không?
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
- Trả lời: Do đây là một nội dung trừu tượng, khó và lại được học ở đầu
học kỳ 1 nên học sinh thường chưa tập trung ngay vào việc học tập.
- Hỏi: Thầy cho biết, khi học nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng,
học sinh có hay mắc phải sai lầm trong quá trình giải toán không và đó là
những sai lầm gì?
- Trả lời: Qua thực tế dạy học, tôi thấy khi học nội dung này học sinh
thường mắc sai lầm (ngay cả với những học sinh khá giỏi). Một số sai lầm
thường mắc phải như: Sử dụng nhầm biểu thức tọa độ của phép dời hình, sử
dụng nhầm phép dời hình...
- Hỏi: Theo thầy, nguyên nhân dẫn đến những sai lầm mà học sinh
thường mắc phải là gì?
- Trả lời: Theo tôi, đó là do học sinh không hiểu bản chất, không nắm
chắc kiến thức đó. Khi cần áp dụng, không thể nhớ chính xác mà lại không có
phương pháp để kiểm tra lại. Một phần dẫn đến những sai lầm đó cho học sinh
cũng có phần do giáo viên chưa quan tâm đúng mức tới việc rèn luyện kỹ năng
giải toán cho học sinh do những nội dung về Phép dời hình trong mặt phẳng
được học ở đầu học kỳ 1 nên ít được xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi.
- Hỏi: Thầy thường sử dụng những biện pháp gì để giúp học sinh rèn
luyện kỹ năng giải toán Phép dời hình cũng như phòng tránh và hạn chế được
sai lầm trong quá trình giải toán cho học sinh?
- Trả lời: Tôi có sử dụng một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải
toán Phép dời hình cho học sinh như: Cho học sinh tiếp xúc với những lời giải
bài toán có chứa sai lầm để phân tích cho học sinh thấy được những sai lầm
đó, hệ thống hóa các dạng bài tập cho học sinh hay cho học sinh làm nhiều
các bài tập trong quá trình lên lớp. Tuy nhiên, do thời gian lên lớp không
nhiều nên cũng ít có điều kiện để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán
Phép dời hình cho học sinh.
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
b) Học sinh
Để tìm hiểu về tình hình học tập nội dung Phép dời hình trong mặt
phẳng của học sinh, chúng tôi đã tiến hành điều tra 95 học sinh lớp 11, trường
Trung học phổ thông Quế Võ số 1 tỉnh Bắc Ninh. Kết quả thu được qua các
phiếu điều tra như sau:
Câu hỏi 1: Em đánh giá thế nào về nội dung Phép dời hình trong
chương trình Hình học lớp 11?
Khó hiểu Bình thường Dễ hiểu
Trả lời 20,7% 56,5% 22,8%
Câu hỏi 2: Em có hứng thú khi học nội dung Phép dời hình trong mặt
phẳng không?
Hứng thú Bình thường Không hứng thú
Trả lời 17.6% 52% 30,4%
Câu hỏi 3: Em thường gặp khó khăn, sai lầm gì trong khi giải bài tập
nội dung phép dời hình?
Sai lầm Trả lời
Áp dụng sai công thức 54,5%
Không hiểu đúng khái niệm 72,6%
Cảm nhận trực quan 63%
Xét thiếu trường hợp 48,9%
Ngoài việc sử dụng các phiếu hỏi, chúng tôi còn tiến hành trao đổi với
học sinh, kết quả trao đổi thư được như sau:
- Các học sinh đều cho rằng nội dung Phép dời hình là một nội dung
mới lạ và trừu tượng nên thường gặp khó khăn trong việc tìm ra phương pháp
25
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
giải bài tập vì các bài tập ở nội dung này có nhiều dạng khác nhau nên học
sinh còn phạm nhiều sai lầm.
- Học sinh thường e ngại học nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng
vì các em nghĩ nó khó và vì ít xuất hiện trong các đề thi và kiểm tra nên các
em không chú ý, để tâm. Vì thế một số học sinh học không tốt phần nội dung
này, kỹ năng giải toán còn lúng túng, sai xót. Kỹ năng trình bày lời giải chưa
chặt chẽ, logic.
- Học sinh còn hạn chế về trí tưởng tượng, hầu hết học sinh còn nặng
nề về tư duy trực quan, yếu về tư duy logic, khó khăn trong tìm phương pháp
giải.
1.5. Kết luận chương 1
Chương 1 chủ yếu tìm hiểu một số vấn đề sau: Kỹ năng, kỹ năng giải
toán, bài tập toán... làm cơ sở lí luận quan trọng cho nội dung sẽ được trình
bày ở chương 2.
Chúng tôi cũng cố gắng tìm hiểu về tình hình học phần Phép dời hình
của học sinh lớp 11 thông qua việc thăm dò ý kiến của một số giáo viên dạy
Toán trường Trung học phổ thông và học sinh lớp 11; qua đó chúng tôi nhận
thấy kỹ năng giải toán phần Phép dời hình của học sinh còn kém, nhiều giáo
viên chưa quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện kỹ năng giải toán về chủ đề
này cho học sinh. Từ đó thấy được nhu cầu cần thiết của việc rèn luyện kỹ
năng giải toán về nội dung phép dời hình cho học sinh lớp 11.
26
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
CHƯƠNG 2
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN PHÉP DỜI HÌNH
TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH LỚP 11
2.1. Một số định hướng đề xuất biện pháp sư phạm
2.1.1. Định hướng 1. Tôn trọng, bám sát nội dung chương trình sách giáo
khoa hiện hành
Tôn trọng, bám sát nội dung chương trình sách giáo khoa hiện hành.
Sách giáo khoa là tài liệu học tập chính của học sinh, đảm bảo cung cấp cho
học sinh những kiến thức chuẩn nhất, phù hợp với bậc học, cấp học. Trong
những năm gần đây, thực hiện phương thức tuyển sinh của Bộ giáo dục và
đào tạo với nguyên tắc của việc ra đề là không đánh đố, không quá khó, quá
phức tạp và bám sát kiến thức trong sách giáo khoa hiện hành. Vì vậy, trong
dạy học cần phải bám sát nội dung chương trình và chuẩn kiến thức đã quy
định.
2.1.2. Định hướng 2. Phù hợp với đối tượng học sinh
Việc rèn luyện kỹ năng giải toán phần Phép dời hình phải phù hợp với
từng đối tượng học sinh. Nguyên tắc này đảm bảo tính vừa sức trong hoạt động
dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng, cụ thể trong phần Phép dời
hình giáo viên sắp xếp bài tập theo từng dạng dựa trên nội dung chương Phép
đồng dạng và Phép dời hình trong sách giáo khoa và sách bài tập (ban cơ bản),
mức độ bài tập cũng được nâng dần từ dễ tới khó, có dạng cơ bản và dạng nâng
cao đảm bảo học sinh với sự nỗ lực trí tuệ nhất định chỉ có thể lĩnh hội được
những tri thức phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý của từng cá nhân. Trong cùng
lớp học, học sinh có khả năng tiếp thu, trình độ nhận thức không đồng đều vì
vậy, khi xây dựng các biện pháp để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ta
phải chú ý sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh.
27
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
2.1.3. Định hướng 3. Đảm bảo tính khả thi góp phần đổi mới phương
pháp dạy học
“Khả thi” theo Từ điển Tiếng Việt nghĩa là khả năng thực hiện. Một
biện pháp sư phạm có tính khả thi, theo người viết phải khả thi với hai nhóm
đối tượng là giáo viên và học sinh. Nếu không khả thi với giáo viên thì mục
đích của việc đề xuất biện pháp sư phạm không đạt được. Nếu không khả thi
với đối tượng học sinh thì biện pháp đưa ra không có ý nghĩa và không đem
lại giá trị thực tiễn. Biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ năng giải toán muốn
có tính khả thì phải phù hợp với yêu cầu của chương trình. Mỗi bài, mỗi
chương trong chương trình đều có yêu cầu về kiến thức và kỹ năng.
Trên quan điểm chỉ đạo đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục phổ thông
là chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát
triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Phương pháp dạy và học
cần khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy
tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người
học, tập trung dạy cách học, cách nghĩ và tự học, theo phương châm “giảng ít,
học nhiều”. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần phải sắp xếp lại nội
dung, cấu trúc bài giảng sao cho phù hợp với các đối tượng, vùng miền khác
nhau đảm bảo cho học sinh nắm một cách vững chắc, có hệ thống các kiến
thức quy định trong chương trình.
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh lớp 11 qua dạy học nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng
2.2.1. Hệ thống hóa các dạng bài toán thường gặp và phương pháp giải
cho từng dạng toán
a) Mục đích của biện pháp
Biện pháp này nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp giải đối với
từng dạng toán, từ đó giải được các dạng toán dựa vào phương pháp giải đã
28
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
biết. Thông qua việc phân dạng hệ thống bài tập, học sinh sẽ trau dồi được
các kỹ năng cơ bản để giải một bài toán, đồng thời giúp học sinh củng cố lại
kiến thức cho bản thân.
Trong nội dung phép dời hình chúng ta có thể phân ra một số dạng bài
toán như sau:
a) Dạng 1: Xác định ảnh của một điểm, của một hình qua một phép
dời hình
Ví dụ 2.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho véc tơ và hai điểm
A(3; 5), B(-1; 1). Tìm tọa độ các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của điểm A, B
qua phép tịnh tiến theo véc tơ .
Lời giải. Do (A) = A’ nên ta có .
Giả sử A’( x’; y’ ). Khi đó, ta có .
Do đó, ta có A’(2; 7).
Do (B) = B’ nên ta có .
Giả sử B’(x’; y’). Khi đó, ta có .
Do đó, ta có B’(-2; 3).
Ví dụ 2.2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm I (1; -1), M (4; 1)
và đường thẳng d có phương trình: 4x - 3y + 12 = 0. Xác định tọa độ điểm M
trong các trường hợp sau:
a) ĐI: M → M1 b) ĐOx: M → M2
c) ĐOy: M → M3 d) Đd: M → M4
Lời giải.
a) Do điểm M1 đối xứng với điểm M qua điểm I nên I là trung điểm của
đoạn thẳng MM1. Do đó, ta có:
29
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
.
Vậy, điểm M1 có tọa độ là M1(-2; -3).
b) Do điểm M2 đối xứng với điểm M qua trục Ox nên ta có:
Vậy, điểm M2 có tọa độ là M2(4; -1).
c) Do điểm M3 đối xứng với điểm M qua trục Oy nên ta có
.
Vậy, điểm M3 có tọa độ là M3(- 4; 1).
d) Do là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với d nên phương
trình đường thẳng là:
: 3(x - 4) + 4(y - 1) = 0 3x + 4y – 16 = 0.
Gọi M0 = . Khi đó, ta có M0(0; 4).
. Vì điểm M0 là trung điểm của đoạn thẳng MM4 nên ta có
Vậy, điểm M4 có tọa độ là M4(- 4; 7).
Ví dụ 2.3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4). Tìm tọa độ
điểm A’ là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay 900.
Lời giải. Gọi B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên các
trục Ox, Oy. Khi đó, ta có B(3; 0), C(0; 4) (Hình 2.1).
Ta có, phép quay Q(O; 900) biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ
nhật OB’A’C’. Do đó, ta có B’(0; 3), C’(- 4; 0).
Suy ra, ta có tọa độ điểm A’(- 4; 3).
30
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Hình 2.1
b) Dạng 2: Chứng minh một tính chất hình học
Ví dụ 2.4. Dựng ra bên ngoài tam giác ABC hai tam giác vuông cân có
chung đỉnh A là tam giác ABE và tam giác ACF. Chứng minh rằng EC = BF
và EC BF.
Lời giải. Theo giả thiết, ta có AB = AE và (AE; AB) = 900 (Hình 2.2)
Hình 2.2
Suy ra, ta có Q(A; 900): E B
Tương tự, ta có: Q(A; 900): C F
Suy ra EC = BF và (EC; BF) = 900
Vậy, ta có EC = BF và EC BF.
31
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Ví dụ 2.5. Từ điểm M tùy ý trên cạnh BC của tam giác đều ABC, dựng
các đường thẳng ME // AB và MF // AC sao cho E AC và F AB. Gọi I là
giao điểm của BE với CF. Chứng minh MIEC, MIFB là các tứ giác nội tiếp.
Lời giải. Do MCE và MBF là các tam giác đều có chung đỉnh M nên
ta có Q(M; 600): F B và Q(M; 600): C E (Hình 2.3).
Do đó, ta có (CF; EB) = 600. Suy ra (IF; IB) = (MF; MB) = 600.
Do đó, ta có MIFB là tứ giác nội tiếp.
Hình 2.3
Chứng minh tương tự, ta có tứ giác MIEC nội tiếp.
Ví dụ 2.6. Cho tam giác ABC. Gọi A1, B1, C1 là các trung điểm của ba
cạnh BC, CA, AB. Gọi O1, O2, O3 và I1, I2, I3 tương ứng là các tâm đường tròn
ngoại tiếp và nội tiếp của ba tam giác AB1C1, BC1A1 và CA1B1. Chứng minh
∆O1O2O3 = ∆I1I2I3.
Lời giải. Do phép tịnh tiến theo véc tơ biến điểm A thành điểm
C1, biến điểm C1 thành điểm B, biến điểm B1 thành điểm A1 nên phép tịnh tiến
theo véc tơ biến tam giác AC1B1 thành tam giác C1BA1 (hình 2.4).
Do đó, phép tịnh tiến theo véc tơ biến điểm O1 thành điểm O2 và
biến điểm I1 thành điểm I2.
32
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Suy ra, ta có .
Chứng minh tương tự, ta có và
Vậy ∆O1O2O3 = ∆I1I2I3 (c.c.c).
Hình 2.4
Ví dụ 2.7. Cho ∆ABC nhọn và D là điểm cố định trên BC. Tìm hai
điểm E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho ∆DEF có chu vi nhỏ nhất.
Lời giải. Gọi D1, D2 lần lượt là điểm đối xứng của D qua AB, AC (Hình
2.5). Ta có chu vi ∆DEF được cho bởi:
CV∆DEF = DE + DF + EF = D1E + D2F + EF.
Hình 2.5
Vậy ∆DEF có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi D1E + D2F + EF nhỏ nhất
hay EF thuộc đường thẳng D1D2 . Do đó ta có E, F theo thứ tự là giao điểm
của D1D2 với AB, AC.
33
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Khi đó (CV∆DEF) Min = D1D2.
c) Dạng 3. Dựng hình
Ví dụ 2.8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(-1; -1), B(3; l)
và C(2; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Lời giải. Giả sử điểm D(x; y). Do ABCD là hình bình hành nên ta có
. Theo giả thiết, ta có .
Do đó, ta có .
Vậy điểm D có tọa độ là .
Ví dụ 2.9. Cho góc nhọn và điểm A nằm trong miền góc đó. Xác
định điểm B trên tia Ox và điểm C trên tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi
nhỏ nhất.
Lời giải. Gọi A’ = ĐOx(A) và A” = ĐOy(A). Do đó, ta có A’B = AB, A”C
= AC. Suy ra, ta có AB + BC + CA = A’B + BC + A”C = AA” (nhỏ nhất)
Từ đó suy ra cách dựng:
- Dựng A’ = ĐOx(A), A” = ĐOy(A).
- Nối A’ với A”, AA” cắt Ox và Oy lần lượt tại B và C.
Khi đó, chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.
Hình 2.6
34
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Ví dụ 2.10. Cho hai đường thẳng m, d cắt nhau và hai điểm A, B lần
lượt không thuộc hai đường thẳng m, d. Dựng hình bình hành ABCD sao cho
C m và D d .
Lời giải. Giả sử ABCD là hình bình hành với C m và D d (Hình 2.7).
Ta có: : m n song song với m.
C m D
Suy ra D là giao điểm của đường thẳng n và đường thẳng d.
Từ đó suy ra cách dựng:
- Dựng n là ảnh của m trong phép tịnh tiến .
- Dựng điểm D với D là giao điểm của hai đường thẳng n và d.
- Dựng C là ảnh của D trong phép tịnh tiến .
Hình 2.7
Ví dụ 2.11. Cho góc nhọn và một điểm A thuộc miền trong của
góc đó. Hãy tìm một đường thẳng đi qua A và cắt Ox, Oy theo thứ tự tại hai
điểm M, N sao cho A là trung điểm MN.
Lời giải. Giả sử M, N đã dựng được. Gọi O’ là ảnh của O qua phép đối
xứng qua tâm A (Hình 2.8). Khi đó, tứ giác OMO’N là hình bình hành.
Từ đó suy ra cách dựng:
35
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
- Dựng O’ là ảnh của O qua phép đối xứng qua tâm A.
- Dựng hình bình hành OMO’N sao cho M, N lần lượt thuộc Ox, Oy. Dễ
thấy đường thẳng MN đi qua A và AM = AN. Do đó, đường thẳng MN là
đường thẳng cần tìm.
Hình 2.8
d) Dạng 4: Quỹ tích điểm di động
Ví dụ 2.12. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn
(O) lấy điểm M bất kì. Dựng hình bình hành OBMN. Tìm quỹ tích điểm N khi
điểm M thay đổi trên đường tròn tâm (O).
Lời giải. Ta có tứ giác OBMN là hình bình hành (Hình 2.9).
Hình 2.9
Suy ra : M N.
Khi M thay đổi trên đường tròn tâm O thì quỹ tích của điểm N là đường
tròn (O’) có bán kính bằng đường tròn (O) với .
36
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Do đó, ta có B ≡ O’.
Vậy quỹ tích của điểm N là đường tròn (B; OB).
Ví dụ 2.13. Cho hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn (O) và điểm M
di động trên đường tròn (O). Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua điểm A,
gọi N là điểm đối xứng của điểm E qua điểm B. Tìm quỹ tích điểm N khi
điểm M thay đổi trên đường tròn (O).
Lời giải. Từ giả thiết, ta có AM = AE, BN = BE (Hình 2.10).
Suy ra AB là đường trung bình của tam giác EMN.
Hình 2.10
Do đó, ta có .
Vậy, ta có : M N.
Khi điểm M thay đổi trên đường tròn tâm (O) thì điểm N thay đổi trên
đường tròn tâm (O’) có bán kính bằng đường tròn tâm (O) với .
Vậy quỹ tích của điểm N là đường tròn tâm (O’).
Ví dụ 2.14. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn tâm
O, điểm A là điểm đi động trên đường tròn (O). Chứng ming khi A di động trên
đường tròn (O) thì trực tâm H của tam giác ABC di động trên một đường tròn.
Lời giải. Gọi I, H’ theo thứ tự là giao điểm của tia AH với BC và đường
tròn (O) (hình 2.11). Ta có (tương ứng vuông góc),
(cùng chắn một cung).
37
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Vậy, tam giác CHH’ cân tại C. Do đó, ta có H và H’ đối xứng với nhau
qua đường thẳng BC.
Hình 2.11
Khi A chạy trên đường tròn (O) thì H’ cũng chạy trên đường tròn (O).
Do đó H chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối
xứng qua đường thẳng BC.
Ví dụ 2.15. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy
trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông
ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường tròn cố định.
Hình 2.12 38
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Lời giải. Gọi E là ảnh của điểm A qua phép quay tâm B, góc 900 (Hình
2.12). Khi A chạy trên nửa đường tròn (O) thì E sẽ chạy trên nửa đường tròn
(O’) là ảnh của nửa đường tròn (O) qua phép quay tâm B, góc 900.
e) Dạng 5: Hai hình bằng nhau
Ví dụ 2.16. Chứng minh rằng hai tứ giác có các cặp cạnh tương ứng
bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Lời giải. Giả sử hai tứ giác lồi ABCD và A’B’C’D’ có AB = A’B’,
BC = B’C’, CD = C’D’, DA = D’A’ và AC = A’C’.
Khi đó, ta có ABC = A’B’C’.
Do đó, tồn tại phép dời hình f biến điểm A thành điểm A’, biến điểm B
thành điểm B’ và biến điểm C thành điểm C’.
Gọi D” là điểm đối xứng của điểm D’ qua trục A’C’. Khi đó, ta có
A’C’D’ = A’C’D”. Suy ra, ta có A’C’D’ = A’C’D” = ACD.
Do đó, phép dời hình f chỉ có thể biến điểm D thành điểm D’ hoặc
thành điểm D”.
Hình 2.13
Ví dụ 2.17. Chứng minh hai Parabol sau bằng nhau:
. (P): y = ax2 (a 0) và (P1) : y = ax2 + bx + c (a
39
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
). Lời giải. Đỉnh của Parabol (P1) là O1(
Ta có T : M (x; y)M’ (x’; y’) thì :
Ta có M (P) y = ax2 y’ + = a(x’ + )2
y’ = ax’2 +bx’ + c.
M’ (P1).
Vậy, ta có T : (P) (P1).
Do đó hai Parabol (P) và (P1) bằng nhau.
Ví dụ 2.18. Cho hình chữ nhật ABCD có O là tâm đối xứng. Gọi E, F,
G, H, I, J theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA,
AH, OG. Chứng ming rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau.
Lời giải. Ta có phép tịnh tiến theo véc tơ biến A, I, O, E lần lượt
thành O, J, C, F. Phép đối xứng qua đường trung trực của OG biến O, J, C, F
lần lượt thành G, J, F, C.
Hình 2.14
Từ đó, suy ra phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai
phép dời hình trên sẽ biến hình thang AIOE thành hình thang GJFC. Do đó,
hai hình thang đó bằng nhau.
40
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
f) Dạng 6: Chứng minh phép dời hình
Ví dụ 2.19. Cho phép biến hình f : M(x; y) M’(x’; y’) cho bởi:
(
Chứng minh f là phép dời hình.
2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
(1) Lời giải. Ta có: M1M2
M1’M2’ = (x2’ – x1’)2 + ( y2’ – x2’)2
= (x2 - x1)cos - (y2 - y1)sin ]2 + [(x2 - x1)sin +(y2 – y1)cos ]2
= (x2 – x1)2(cos2 + sin2 ) +(y2 – y1)2(sin2 + cos2 )
– 2(x2 – x1)(y2 – y1)cos sin + 2(x2 – x1)(y2 – y1)sin cos
(2) = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Từ (1) và (2) suy ra M1’M2’ = M1M2.
Vậy f là phép dời hình.
Ví dụ 2.20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép biến hình nào sau đây là
phép dời hình:
a) Phép biến hình F1 biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(y; -x).
b) Phép biến hình F2 biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(2x; y).
Lời giải. Lấy hai điểm bất kỳ ta có
. a) Ta có ảnh của M, N qua F1 lần lượt là
Do đó, ta có
.
Do đó nên F1 là phép dời hình.
b) Ta có ảnh của M, N qua F2 lần lượt là
41
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Do đó, ta có .
Do đó nếu thì
Vậy F2 không phải là phép dời hình.
g) Dạng 7. Trục đối xứng – tâm đối xứng của một hình
Ví dụ 2.21. Tìm trục đối xứng của các hình sau:
a) Tam giác cân, tam giác đều.
b) Hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
Lời giải.
a) - Tam giác ABC cân tại đỉnh A có một trục đối xứng chứa đường cao
đi qua đỉnh A của tam giác.
- Tam giác đều ABC có có ba trục đối xứng là ba đường thẳng chứa
ba đường cao của tam giác.
b) - Hình thang cân có một trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua
trung điểm của hai cạnh đáy.
- Hình chữ nhật có hai trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua trung
điểm của hai cặp cạnh đối.
- Hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường thẳng chứa các đường
chéo.
- Hình vuông có bốn trục đối xứng (vừa như hình chữ nhật vừa như
hình thoi).
Ví dụ 2.22. Chỉ ra các tâm đối xứng của các hình sau:
a. Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau.
b. Hình gồm hai đường thẳng song song.
c. Hình gồm hai đường tròn bằng nhau.
d. Đường elip.
e. Đường Hyperbol.
Lời giải.
42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
a. Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường thẳng đó.
b. Tâm đối xứng là một điểm O bất kì nằm trên đường thẳng song
song và cách đều hai đường thẳng đó.
c. Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm của hai đường tròn.
d. Tâm đối xứng là giao điểm của hai trục đối xứng.
e. Tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận.
Ví dụ 2.23. Tìm trục và tâm đối xứng của hình vuông ABCD.
Lời giải.
a) Gọi đường thẳng m là đường trung trực của cạnh AB (Hình 1.6). Qua
phép đối xứng trục m, ta có:
A B và D C
AD BC với BC = AD
Qua phép đối xứng trục BD, ta có:
B B, A C, D D, C A
BA BC, AD CD, BC BA, DC DA với BC = BA,
CD = AD.
Hình 2.15
Xét tương tự với trục n và AC.
Vậy hình vuông có 4 đường trung trực là hai đường trung trực của các
cạnh và hai đường chéo.
43
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có:
ĐO: A C, B D, C A, D B.
Suy ra, ta có ĐO: AB CD, AD CB, BC DA, CD AB với AB //
CD, AD // BC.
Vậy O là tâm đối xứng của hình vuông ABCD.
h) Dạng 8. Xác định ảnh của một hình qua một phép dời hình
Ví dụ 2.24. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình
3x – y – 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d
qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm
I(1; 2) và phép tịnh tiến theo véc tơ .
Lời giải. Gọi phép dời hình cần tìm là F. Gọi đường thẳng d1 là ảnh của
đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(1; 2), đường thẳng d’ là ảnh của
. Do đó d’ = F(d). đường thẳng d1 qua phép tịnh tiến theo véc tơ
Vì đường thẳng d1 song song hoặc trùng với đường thẳng d và đường
thẳng d’ song song hoặc trùng với đường thẳng d1 nên đường thẳng d’ song
song hoặc trùng với đường thẳng d. Do đó, phương trình của đường thẳng d’
có dạng: 3x – y + C = 0.
Trên đường thẳng d, chọn điểm M(1; 0). Phép đối xứng tâm I(1; 2) biến
biến điểm M thành điểm M1 (1; 4). Phép tịnh tiến theo véc tơ
điểm M1 thành điểm M’(-1; 5). Do đó, ta có M’ = F(M). Vậy, ta có điểm M’
thuộc đường thẳng d’. Thay tọa độ của điểm M’ vào phương trình của đường
thẳng d’ ta được C = 8.
Vậy phương trình của d’ là 3x – y + 8 = 0.
Ví dụ 2.25. Trong Oxy, cho véc tơ và đường thẳng d có
phương trình 2x – y = 0. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách
thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh tiến theo véc tơ .
44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Lời giải. Gọi d1 là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc
900. Vì đường thẳng d đi qua tâm O nên đường thẳng d1 cũng chứa điểm O.
Do đường thẳng d1 vuông góc với đường thẳng d nên đường thẳng d1 có
phương trình: x + 2y = 0.
. Khi đó phương Gọi d’ là ảnh của d1 qua phép tịnh tiến theo véc tơ
theo trình của d’ có dạng x + 2y + C = 0. Vì d’ chứa O’(3; 1) là ảnh của O qua
phép tịnh tiến theo véc tơ nên 3 + 2.1 + C = 0 C = -5.
Vậy phương trình của d’ là x + 2y – 5 = 0.
i) Dạng 9. Các bài toán về mối liên hệ giữa một số phép dời hình
quen biết
Ví dụ 2.26. Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo véc tơ là kết
quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai trục song song với
nhau.
Lời giải. Lấy đường thẳng d nhận làm véc tơ pháp tuyến. Gọi d’ là
ảnh của d qua phép tịnh tiến theo véc tơ . Lấy điểm M tùy ý. Gọi M1 = Đd
(M), M’ = Đd (M1). Khi đó ta có:
.
Vậy, ta có .
Hình 2.16
Ví dụ 2.27. Chứng minh rằng mỗi phép quay đều có thể xem là kết quả
của việc thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục.
45
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Lời giải. Gọi Q(I; 𝛼) là phép quay tâm I góc 𝛼. Lấy đường thẳng d bất
kì qua I. Gọi d’ là ảnh của d qua phép quay tâm I góc . Lấy điểm M bất kì
và gọi M’ = Q(I; 𝛼)(M).
Gọi M’’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục d, M1 là ảnh của M’’ qua
phép đối xứng trục d’. Gọi J là giao của MM’’ với d, H là giao của M”M1 với
d’. Khi đó ta có đẳng thức giữa các góc lượng giác sau:
(IM; IM1) = (IM; IM’’) + (IM’’; IM1) = 2(IJ; IM’’) + 2(IM’’; IH)
= 2(IJ; IH) = 2 = 𝛼 = (IM; IM’).
Hình 2.17
Từ đó suy ra M’ ≡ M1.
Như vậy M’ có thể xem là ảnh của M sau khi thực hiện liên tiếp hai
phép đối xứng qua hai trục d và d’.
b) Nội dung và cách thực hiện
- Ban đầu, giáo viên đưa ra một số bài tập của cùng dạng và yêu cầu
học sinh giải các bài toán đó. Đối với từng bài toán, giáo viên nên giúp học
sinh phân tích để chỉ ra đặc điểm đặc trưng của dạng toán này.
46
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
- Tiếp theo, giáo viên tổ chức để học sinh thảo luận và rút ra phương
pháp chung để giải dạng toán này. Giáo viên chính xác hóa phương pháp và
nêu những chú ý khi vận dụng.
- Cuối cùng, giáo viên yêu cầu học sinh làm các bài tập tương tự nhằm
rèn luyện, củng cố kỹ năng giải toán.
Chú ý. Ngay từ những bài tập đầu tiên, giáo viên cần hướng dẫn cho
học sinh một cách tỉ mỉ nhất các bước giải nhằm hình thành cho học sinh kỹ
năng giải toán.
c) Ví dụ minh họa
Ví dụ 2.28. Tìm ảnh của đường thẳng d: 4x – 5y + 3 = 0 qua phép tịnh
tiến vectơ .
- Giáo viên: Xác định yêu cầu bài toán?
- Học sinh: Xác định ảnh của một đường thẳng qua phép tịnh tiến.
- Giáo viên: Phương pháp để giải bài toán này là gì?
- Học sinh: Dùng định nghĩa kết hợp tích chất hoặc sử dụng biểu thức
tọa độ của phép tịnh tiến để giải.
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải theo cách: Sử dụng biểu thức tọa độ
của phép tịnh tiến.
Lời giải. Gọi đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua .
Từ biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là ta có
. Thay vào phương trình của d: 4x – 5y + 3 = 0, ta được:
4(x’ – 5) – 5(y’ + 3) + 3 = 0 4x’ – 5y’ – 32 = 0.
Vậy phương trình của d’ là: 4x – 5y – 32 = 0.
47
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Từ đó, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh hình thành phương pháp
giải sử dụng biểu thức tọa độ đối với dạng toán này như sau: Từ biểu thức tọa
độ của phép dời hình đó suy ra biến đổi x theo x’ và y theo y’ rồi thế vào
phương trình của một hình suy ra phương trình ảnh của hình đó. Khi ghi kết
quả, ta viết tổng quát phương trình ảnh của hình bằng cách biến đổi tọa độ x’
và y’ thành x và y.
Sau khi biết cách tìm ảnh của một hình qua giải qua phép dời hình bằng
biểu thức tọa độ của phép đó, giáo viên cho học sinh làm bài tập tương tự để
nắm rõ được cách làm:
Bài 1. Tìm ảnh của qua phép đối xứng tâm I(1; 2) của đường tròn (C):
x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0.
Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐI.
nên ta có . Do biểu thức tọa độ của ĐI là
Thay vào phương trình của (C) ta được
(2 –x’)2 + (4 – y’)2 + 2(2 – x’) – 6(4 – y’) + 6 = 0
x’2 + y’2 – 6x’ – 2y’ + 6 = 0
(x’ – 3)2 + (y’ – 1)2 = 4.
Do đó (C’) có phương trình: (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4.
Trong dạng bài tìm ảnh của đường thẳng, đường tròn qua phép một
phép dời hình hay làm theo cách: dựa vào biểu thức tọa độ của phép đó để
biến đổi. Cách đó giúp lời giải bài toán trở nên đơn giản, ngoài ra nó được
dùng trong tìm ảnh của một hình khác, bất kỳ qua một phép dời hình như
trong bài sau:
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 1). Tìm ảnh của (L):
y = 3x3 + 3x + 1 qua phép tịnh tiến theo vectơ , phép đối xứng qua trục
Ox, phép quay tâm O góc quay 900.
48
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Lời giải. Giả sử M(a ; b) (L), khi đó b = 3a3 + 3a + 1
Gọi M’(x’; y’), (L’) lần lượt là ảnh của M, (L) qua phép dời hình F.
với . - Trường hợp 1. F ≡
Do biểu thức tọa độ của là nên ta có .
Thay vào phương trình của (L) được
y’ – 1 = 3(x’ – 2)3 + 3(x’ – 2) + 1
y’ = 3x’3 – 18x’2 + 39x’ – 28.
Vậy phương trình của (L’) là y = 3x3 – 18x2 + 39x – 28.
- Trường hợp 2. F ≡ ĐOx.
nên ta có Ta có ĐOx(M) = M’. Do biểu thức tọa độ của ĐOx là
.
Thay vào phương trình của (L) được -y’ = 3x’3 + 3x’ + 1.
Vậy phương trình của (L’) là: -y = 3x3 + 3x + 1.
- Trường hợp 3. F ≡ Q(O; 900).
Ta có Q(O; 900)(M) = M’. Do nên ta có .
Thay vào phương trình của (L) được –x’ = 3y’3 + 3y’ + 1.
Vậy phương trình của (L’) là –x = 3y3 + 3y + 1.
Ví dụ 2.29. Cho hai đường thẳng d, d’ và hai điểm A, B. Tìm điểm M
trên d và điểm M’ trên d’ sao cho .
Học sinh nhận biết đây là bài toán dựng hình, muốn có cách dựng hình
đúng thì đầu tiên học sinh cần xác định được phép dời hình có thể xác định vị
trí của điểm M và M’ theo yêu cầu đề bài.
49
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác giả thiết với hai
điểm A, B cho trước nên là vectơ cố định để học sinh đây là dấu hiệu
nhận biết cho phép sử dụng phép tịnh tiến với vectơ tịnh tiến là .
Giáo viên đưa phương pháp dựng hình dựa vào : Để dựng một điểm
M’ ta cần tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua hoặc
xem điểm M’ như là giao của một đường cố định với ảnh của một đường đã
biết qua . Dựng điểm M qua tương tự cách làm trên. Bây giờ cần xác
định dựng điểm M hay M’ trước? bằng cách nào?
Từ , học sinh xác định cách dựng điểm M’ trước
(d). với M’ là giao của đường thẳng cố định d’ và d1 với d1 =
Sau đó, dựng được điểm M là ảnh của M’ qua vectơ .
Lời giải. Ta có nên xác định phép tịnh tiến biến M
thành M’. Khi đó điểm M’ vừa thuộc d’ vừa thuộc d1 là ảnh của d qua phép
tịnh tiến theo vectơ . Từ đó suy ra cách dựng:
. - Dựng đường tròn d1 là ảnh của đường tròn d qua phép tịnh tiến
- Dựng M’ = d’ ∩ d1.
- Dựng điểm M sao cho thì cặp điểm M, M’ là cần tìm.
Bài toán có số nghiệm bằng số giao điểm giữa hai đường tròn d1 và d’:
Hình 2.18
50
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
+ Nếu hai đường tròn d1 và d’ không có điểm chung thì bài toán vô
nghiệm.
+ Nếu hai đường tròn d1 và d’ tiếp xúc thì bài toán có 1 nghiệm.
+ Nếu hai đường tròn d1 và d’ cắt nhau thì bài toán có 2 nghiệm.
+ Nếu hai đường tròn d1 và d’ trùng nhau thì bài toán có vô số nghiệm.
Từ bài tập trên học sinh dần hình thành cách dựng hình sử dụng phép
dời hình, giáo viên chính xác lại phương pháp làm bài qua hai bước trong giải
bài toán bằng phép dời hình.
Bước 1: Xác định được phép dời hình cụ thể sử dụng trong bài toán.
Nhận biết được dấu hiệu có thể sử dụng phép dời hình trong bài toán
chứng minh, dựng hình hay tìm tập hợp điểm:
+ : Bài toán có các vectơ bằng ( xác định, không đổi), có hình
bình hành.
+ Đd : Bài toán có yếu tố liên qua đến trung trực d là đường thẳng xác
định, cố định.
+ ĐI : Bài toán có yếu tố liên qua đến trung điểm I là một điểm xác
định, cố định.
+ Q(O; φ): Bài toán liên quan đến tam giác đều, tam giác cân, tam giác
vuông cân, hình vuông…
Bước 2: Để dựng một điểm M ta cần tìm cách xác định nó như là ảnh
của một điểm đã biết qua một phép dời hình, hoặc xem điểm M như là giao
của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép dời hình.
Giáo viên cho học sinh làm bài tập tương tự để nắm rõ hơn cách làm
giải bài toán dựng hình.
Bài toán. Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng.
Tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho tam giác ABC là tam giác đều.
51
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Đề bài cho trước điểm C nên C cố định mà yêu cầu bài toán là tìm trên
a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho tam giác ABC là tam giác đều. Từ đó
học sinh sẽ biết cần sử dụng Q(C; 600) để dựng hình theo yêu cầu bài tập.
Lời giải. Nếu xem B là ảnh của A qua phép quay tâm C, góc quay 600
thì B sẽ là giao của đường thẳng b với đường thẳng a’ là ảnh của a qua
Q(C; 600). Khi đó điểm B vừa thuộc đường thẳng b vừa thuộc đường thẳng a’.
Từ đó suy ra cách dựng:
- Dựng a’ là ảnh của a qua Q(C; 600).
- Dựng B = b ∩ a’.
- Dựng điểm A là ảnh của B qua Q(C; -600).
Dễ thấy tam giác ABC đều.
Hình 2.19
Số nghiệm của bài toán tùy thuộc vào số giao điểm của đường thẳng b
với đường thẳng a’.
2.2.2. Hạn chế và khắc phục những sai lầm thường mắc phải cho học sinh
thông qua phân tích các bài toán có chứa sai lầm
a) Mục đích của biện pháp
Biện pháp này nhằm giúp học sinh thấy được những sai lầm thường
mắc phải khi giải toán, nguyên nhân các sai lầm đó từ đó hạn chế và khắc
phục những sai lầm mà học sinh thường xuyên mắc phải trong giải dạng toán
về phép dời hình.
52
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
b) Nội dung và cách thực hiện
Trong quá trình dạy học, giáo viên cần quan sát để thu thập những khó
khăn, sai lầm mà học sinh hay mắc phải khi học nội dung phần Phép dời hình:
Áp dụng sai công thức, không hiểu đúng khái niệm, cảm nhận trực quan, xét
thiếu trường hợp... Để giúp học sinh khắc phục các dạng sai lầm thường gặp,
giáo viên cho học sinh nhận xét lời giải bài toán có chứa sai lầm và yêu cầu
học sinh tìm chỗ sai sau đó sửa lại cho đúng. Tiếp đó, giáo viên cho học sinh
làm nhiều bài tập về vấn đề mà học sinh thường mắc sai lầm để hiểu rõ và
khắc sâu những dạng sai lầm đó.
c) Ví dụ minh họa
Sai lầm do không hiểu đúng khái niệm
Ví dụ 2.30. Cho hình bình hành ABCD. Tìm ảnh của điểm B qua phép
tịnh tiến theo vectơ .
Hình 2.20
- Giáo viên: Các em hãy cho biết lời giải của bạn học sinh sau đã chính
xác hay chưa, có mắc sai lầm ở đâu không?
Một học sinh giải như sau:
Do nên ta có (A) = B.
Vậy ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến vectơ là điểm A.
- Học sinh: Lời giải của bài toán trên là chưa chính xác, bạn mắc sai
lầm ở chỗ không nhớ chính xác khái niệm hai vectơ bằng nhau nên tìm không
53
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
đúng vectơ bằng vectơ: cùng độ dài nhưng không cùng hướng với ;
chưa xác định được ảnh và tạo ảnh qua một phép tịnh tiến.
- Giáo viên: Lời giải đúng bài toán trên như thế nào?
- Học sinh: Vì nên (B) = A. Vậy ảnh của điểm B qua
vectơ là điểm A.
Ví dụ 2.31. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn
tâm (O) tâm O. Điểm A di động trên đường tròn tâm (O). Chứng minh rằng
khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của ABC chạy trên một
đường tròn.
- Một học sinh giải như sau: Gọi H là trực tâm của ABC và M là trung
nên ta có AD // HC.
điểm của AB (Hình 2.5). Ta có BO cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D. Vì
Hình 2.21
Chứng minh tương tự, ta có AH // CD.
Suy ra, ADCH là hình bình hành.
Do đó, ta có = = .
54
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Suy ra, H là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Do A di động trên đường tròn (O) nên H di động trên đường tròn (O’)
là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ .
- Nguyên nhân sai lầm: Học sinh đã tìm quỹ tích của điểm H qua phép
tịnh tiến theo vectơ mà không phải là vectơ cố định do đó tìm sai
quỹ tích của điểm H.
- Lời giải đúng: Gọi H là trực tâm của ABC và M là trung điểm của
nên ta có DC // AH.
BC (Hình 2.6). Ta có BO cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D. Vì
Chứng minh tương tự, ta có AD // CH.
Suy ra, ta có ADCH là hình bình hành.
Do đó, ta có = = . Ta thấy không đổi suy ra, H là
ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Do A di động trên đường tròn (O) nên H di động trên đường tròn (O’)
là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo .
Hình 2.22
Sai lầm do cảm nhận trực quan
55
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Ví dụ 2.32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-1; 3). Tìm ảnh
của A qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện phép tịnh tiến theo
vectơ và phép quay tâm O góc quay 900.
- Giáo viên: Các em hãy cho biết lời giải của bạn học sinh sau đã chính
xác hay chưa, có mắc sai lầm ở đâu không?
Một học sinh giải như sau:
Gọi phép dời hình cần tìm là F. Gọi A’ là ảnh của A qua phép quay tâm
O góc quay 900, A” là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Ta có A’ = Q(O; 900)(A) = (-3; -1), A" = (A’) = (-1; 2).
Khi đó, ta có A" = F(A). Vậy A"(-1; 2).
- Học sinh: Ta thấy nên lời
giải của bài toán trên là chưa chính xác, bạn học sinh đó đã mắc sai lầm ở chỗ
cảm nhận trực quan F có tính chất giao hoán nên trao đổi vị trí giữa hai phép
dời hình trên: Tìm ảnh qua Q(O; 900) trước sau đó tìm ảnh qua .
- Giáo viên: Đề bài cho: thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ và
phép quay tâm O góc quay 900 nên tìm ảnh qua trước rồi tìm ảnh qua
Q(O; 900). Vậy lời giải đúng bài toán trên như thế nào?
- Học sinh: Gọi phép dời hình cần tìm là F. Gọi A’ là ảnh của A qua
phép tịnh tiến theo vectơ , A’’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc
quay 900. Ta có A’ = (A) = (1; 6), A” = Q(O; 900)(A’) = (-6; 1).
Khi đó, ta có A” = F(A). Vậy A"(-6; 1).
Sai lầm do áp dụng sai công thức
Ví dụ 2.33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có
phương trình x – 2y + 4 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng qua trục Ox.
56
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
- Một học sinh giải như sau: Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục
Ox. Gọi điểm N’(x’; y’) là ảnh của điểm N(x; y) qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó, ta có .
Ta có N d x – 2y + 4 = 0
-x’ – 2(y’) + 4 = 0
x’ + 2y’ - 4 = 0
N’ thuộc đường thẳng d’ có phương trình x + 2y - 4 = 0
- Nguyên nhân sai lầm: Để giúp học sinh phát hiện ra sai lầm trong lời
giải bài toán trên, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh như sau:
Giáo viên: Nêu biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ox?
. Học sinh: ĐOx:
Giáo viên: Vậy sai lầm của bài toán ở đâu?
Học sinh: Sai lầm trong lời giải trên là nhầm lẫn biểu thức tọa độ của
ĐOx và ĐOy: Bài toán yêu cầu tìm ảnh qua ĐOx lại áp dụng biểu thức tọa độ của
ĐOy.
- Lời giải đúng. Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox. Gọi
điểm N’(x’; y’) là ảnh của điểm N(x; y) qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó, ta có .
Ta có N d x – 2y + 4 = 0
x’ - 2(-y’) + 4 = 0
x’ + 2y’ + 4 = 0
N’ thuộc đường thẳng d’ có phương trình x+2y +4 = 0.
Vậy ảnh của d là đường thẳng d’ có phương trình x + 2y + 4 = 0.
57
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
2.2.3. Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán theo quy trình giải toán
của G.Polya
a) Mục đích của biện pháp
Mục đích của biện pháp này nhằm giúp học sinh tìm tòi được lời giải
của một bài toán khi gặp tình huống là bài toán mới giúp học sinh không bị
lúng túng và không biết cách giải. Vì vậy, giáo viên cần rèn luyện cho học
sinh thực hành giải toán theo quy trình bốn bước của G.Polya.
b) Nội dung và cách thực hiện
- Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện tuần tự các bước khi dạy học
giải bài tập phần Phép dời hình theo quy trình giải toán của G.Polya. Giáo
viên cần xây dựng hệ thống câu hỏi dẫn dắt giúp học sinh lựa chọn những
kiến thức phù hợp với bài toán trong hệ thống các kiến thức đã được trang bị.
- Yêu cầu học sinh luyện tập giải các bài tập theo các bước trên.
Theo G.Polya, phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán thường
được tiến hành theo bốn bước sau:
- Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
- Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
- Bước 3: Trình bày lời giải.
- Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
c) Ví dụ minh họa
Ví dụ 2.34. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA,
AB của ABC. Gọi I1, I2 theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác
. AB’C’, BA’C’. Chứng minh rằng I1I2 =
- Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Giáo viên: Yêu cầu học sinh xác định giả thiết, kết luận và vẽ hình.
58
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Giáo viên: Đề bài cho I1, I2 theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam
giác AB’C’, BA’C’, giáo viên hướng dẫn học sinh xác định vị trí của I1, I2.
- Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Giáo viên: Xác định yêu cầu bài toán?
. Học sinh: Bài toán yêu cầu chứng minh I1I2 =
ta phải làm như thế nào? Giáo viên: Muốn chứng minh I1I2 =
Học sinh: Ta sẽ sử dụng phép tịnh tiến theo véc tơ .
Hình 2.23
- Bước 3: Trình bày lời giải.
Do A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB nên qua
phép tịnh tiến theo véc tơ các điểm A, C’, B’ lần lượt biến thành các
điểm C’, B, A’.
Do đó, qua phép tịnh tiến theo véc tơ tam giác AC’B’ biến thành
tam giác C’BA’. Suy ra, qua phép tịnh tiến theo véc tơ tâm I1 đường
tròn nội tiếp tam giác AC’B’ biến thành tâm I2 đường tròn nội tiếp tam giác
C’BA’.
59
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
. Do đó, ta có I1I2 =
- Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
+ Hoạt động 1: Tìm thêm lời giải khác:
bằng cách khác không? Giáo viên: Có thể chứng minh I1I2 =
Trong lời giải trên đã dùng phép tịnh tiến theo véc tơ biến tam
giác tam giác AC’B’ biến thành tam giác C’BA’ với I1, I2 theo thứ tự là tâm
đường tròn nội tiếp các tam giác AB’C’, BA’C’.
Chúng ta có thể có cách giải khác sử dụng phương pháp tổng hợp nhằm
chứng minh AI1I2C’ là hình bình hành.
Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán theo cách này.
Cách khác (Sử dụng phương pháp tổng hợp).
Do A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của
ABC nên ta có AC’B’ = C‘BA’.
Do I1, I2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AB’C’,
BA’C’ nên ta có AI1 // C’I2 và BI2 // C’I1.
Suy ra, ta có AC’I1 = C’BI2.
Do đó, ta có AI1 = C’I2.
Suy ra, ta có AI1I2C’ là hình bình hành.
Do đó, ta có I1I2 = AC’.
. Suy ra, ta có I1I2 =
+ Hoạt động 2: Mở rộng bài toán.
1) Từ bài toán trên ta thấy, nếu gọi I3 là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác A’B’C.
Theo chứng minh trên ta có:
60
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
AC’ = C’B = B’A’ = I1I2
AB’ = B’C = C’A’ = I1I3
BA’ = A’C = C’B’ = I2I3.
Do đó, ta có AC’B’ = C’BA’ = B’A’C = A’B’C’ = I1I2I3.
. Suy ra ta có SAC’B’ = SC’BA’ = SB’A’C = SA’B’C’ =
Do đó, ta có .
Theo chứng minh bài toán gốc, ta có C’I2 = B’I3 và C’I1 = A’I3.
Do đó, ta có C’I2I1 = I3B’A’.
Do đó, ta có kết quả bài toán 1 như sau:
Hình 2.24
Bài toán 1. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA,
AB của ABC. Gọi I1, I2, I3 theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác
AB’C’, BA’C’, CA’B’. Chứng minh rằng:
a) .
b) C’I2I1 = I3B’A’.
c) ∆AC’B’ = ∆C’BA’ = ∆B’A’C = ∆A’B’C’ = ∆I1I2I3.
61
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
2) Từ bài toán gốc ta có phép tịnh tiến nên
phép tịnh tiến sẽ biến các yếu tố thuộc AB’C’ thành yếu tố tương ứng
thuộc C’BA’.
Do đó, nếu trong các tam giác AB’C’, BA’C’, CA’B’ ta lần lượt
thay các yếu tố I1, I2, I3 thành các yếu tố O1, O2, O3 lần lượt là tâm đường tròn
ngoại tiếp các tam giác AB’C’, BA’C’, CA’B’ thì ta cũng có các kết quả
tương tự như ở bài toán gốc và bài toán 1.
Kết hợp các kết quả từ bài toán 1 và kết quả khi thay các yếu tố I1, I2, I3
thành các yếu tố O1, O2, O3 ta có kết quả bài toán 2 như sau:
Hình 2.25
Bài toán 2. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA,
AB của ABC. Gọi O1, O2, O3 và I1, I2, I3 theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại
tiếp và nội tiếp các tam giác AB’C’, BA’C’, CA’B’. Chứng minh rằng
O1O2O3 = I1I2I3.
2.2.4. Tổ chức cho học sinh phát hiện, thực hành quy tắc thuật giải, tựa
thuật giải
a) Mục đích của biện pháp
Mục đích của biện pháp này nhằm giúp học sinh phát triển các thao tác
trí tuệ (phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa...) cũng
62
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
như những phẩm chất trí tuệ (tính độc lập, tính sáng tạo). Việc rèn luyện kỹ
năng giải toán trong phần Phép dời hình thông qua việc giải những bài toán có
tính chất thuật giải, tựa thuật giải nhằm mục đích củng cố lại kiến thức, rèn
luyện kỹ năng giải toán trước đó và mới hình thành.
Thuật giải được hiểu là một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được
một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến
đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của bài
toán đó.
Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như là một dãy những chỉ dẫn thực
hiện theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài
toán thành thông tin ra mô tả lời giải của bài toán đó.
Để phân biệt quy tắc tựa thuật giải với thuật giải, chúng ta dựa vào một
số đặc điểm sau:
- Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác
định.
- Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị.
- Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước đem
lại kết quả là lời giải của lớp bài toán.
b) Nội dung và cách thực hiện
Trong chủ đề Phép dời hình đa số các bài toán đều có thuật giải. Vì
vậy, việc người giáo viên tổ chức cho học sinh phát hiện và hình thành các
thuật giải, quy tắc tựa thuật giải: Quá trình này có thể thực hiện bằng cách
hướng dẫn học sinh tìm tòi, suy nghĩ và hướng đến xây dựng thuật giải, quy
tắc tựa thuật giải cho bài toán nếu có thể.
Để giúp học sinh thành thạo với việc giải mỗi dạng toán đó, sau khi
giúp học sinh nắm được thuật giải, quy tắc tựa thuật giải của dạng toán, giáo
viên tiếp tục cho học sinh làm một số ví dụ áp dụng đối với dạng toán đó.
63
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
c) Ví dụ minh họa
Ví dụ 2.35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho và đường
thẳng d có phương trình 3x – 5y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng
d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến .
- Giáo viên: Em hãy cho biết yêu cầu của bài toán?
- Học sinh: Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép tịnh tiến.
- Giáo viên: Đây là bài toán tìm ảnh của một hình qua phép tịnh tiến,
vậy đối với bài toán này ta phải làm như thế nào?
- Học sinh: Dựa tính chất về ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến
xác định dạng phương trình ảnh của đường thẳng đó là d’. Sau đó tìm một
điểm M thuộc đường thẳng d rồi tìm ảnh điểm M qua phép tịnh tiến là M’ rồi
thay tọa độ ảnh M’ vào phương trình d’ sẽ viết được phương trình đường
thẳng d’.
Lời giải. Theo giả thiết d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M(-1; 0).
Khi đó ta có M’ = (M) = (-3; 3) thuộc d’.
Vì d’ // d nên phương trình của d’ có dạng
3x – 5y + C = 0.
Do M’ ϵ d’ nên ta có 3(-3) – 5.3 + C = 0 C = 24.
Vậy phương trình của d’ là
3x - 5y + 24 = 0.
- Giáo viên: Em hãy nêu cách tổng quát để giải bài toán này?
- Học sinh: Các bước giải dạng toán này là
+ Bước 1: Do đường thẳng d’ là ảnh của d nên d’ song song hoặc trùng
với d.
64
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
+ Bước 2: Lấy một điểm thuộc d và sử dụng biểu thức tọa độ của phép
tịnh tiến tìm được x’, y’ thay vào phương trình d’ ta tìm được tham số.
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d’ và kết luận.
Như vậy, đến đây học sinh đã phát hiện có quy tắc tựa thuật giải bài
toán tìm ảnh của một điểm, một hình. Giáo viên có thể cho học sinh rèn luyện
kỹ năng thông qua một số bài toán khác.
Ví dụ 2.36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương
trình 3x + 2y – 1 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường
thẳng d qua phép đối xứng tâm O.
- Giáo viên: Em hãy xác định yêu cầu bài toán?
- Học sinh: Bài toán yêu cầu tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối
xứng tâm.
- Giáo viên: Để giải được bài toán này chúng ta phải làm thế này?
- Học sinh: Ta phải xác định dạng phương trình của đường thẳng d’ rồi
tìm ảnh của một điểm thuộc đường thẳng d sau đó thay tọa độ điểm vừa tìm
vao phương trình d ta sẽ được phương trình của đường thẳng d’ theo ĐO.
Lời giải. Theo giả thiết đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua
phép đối xứng tâm O. Vì đường thẳng d’ song song hoặc trùng với đường
thẳng d nên phương trình đường thẳng d’ có dạng 3x + 2y + C = 0.
Lấy điểm thuộc d. Ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm O
là . Vì M’ thuộc d’ nên C = 1.
Vậy phương trình của d’ là 3x + 2y + 1 = 0.
Trong quá trình giải học sinh có thể phát hiện ra một số thuật giải khác.
Chẳng hạn đối với bài toán tìm ảnh của một hình qua phép đối xứng tâm thì
phương pháp chung là:
65
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
+ Bước 1: Để tìm ảnh của một hình qua phép đối xứng tâm O ta phải sử
dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng đó.
+ Bước 2: Muốn tìm ảnh của đường thẳng ta lấy một điểm thuộc đường
thẳng rồi lấy đối xứng qua tâm O thì điểm đó sẽ thuộc vào ảnh của đường thẳng.
+ Bước 3: Tính và kết luận.
- Giáo viên: Đối với bài toán trên ta làm như thế nào?
- Học sinh: Ta có đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép
đối xứng tâm O.
Do biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ là nên
ta có . Thay vào phương trình của d được:
3(-x’) + 2(-y’) – 1 = 0 3x’ + 2y’ + 1 = 0.
Do đó, phương trình của d’ là 3x + 2y + 1 = 0.
- Để giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp sử dụng phép dời hình ta
cần thực hiện các bước sau:
+ Bước 1: Tìm phép dời hình f biến phần tử trung gian M’ thành M.
+ Bước 2: Tìm quỹ tích của M’.
+ Bước 3: Tìm quỹ tích của M là ảnh của quỹ tích M’ qua f.
Ví dụ 2.37. Một hình thang cân ABCD, AB song song CD có hai đỉnh
A, B cố định, còn đỉnh C thay đổi trên đường thẳng d’. Tìm quỹ tích đỉnh D.
- Giáo viên: Để tìm bài toán quỹ tích ta phải làm gì?
- Học sinh: Để tìm quỹ tích của điểm D ta xem điểm D là ảnh của điểm
C thuộc hình thang cân ABCD bởi phép dời hình.
Lời giải. Vì ABCD là hình thang cân, AB // CD, có hai đỉnh A, B cố
định nên đường trung trực ∆ của AB cố định và cũng là đường trung trực của
CD do đó phép đối xứng trục ∆ biến C thành D.
66
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Do C chạy trên đường thẳng d’ nên điểm D chạy trên đường thẳng d là
ảnh của d’ qua phép đối xứng trục ∆.
Hình 2.26
Đảo lại với mọi điểm D thuộc đường thẳng d ta luôn tìm được điểm C
thuộc d’ sao cho ∆ là đường trung trực của CD.
Vậy quỹ tích của các điểm D là đường thẳng d là ảnh của d’ qua phép
đối xứng trục ∆.
Nếu đường thẳng d’ cắt đường thẳng AB tại E thì quỹ tích bỏ điểm F là
ảnh của E qua phép đối xứng trục ∆ vì khi đó ABCD không là hình bình hành.
Nếu đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB thì quỹ tích của D qua
phép đối xứng trục ∆ chính là đường thẳng d’.
Ví dụ 2.38. Cho ∆ABC cố định có trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE, từ
D và E vẽ các đường thẳng vuông góc với AB và AC. Các đường thẳng này
cắt nhau tại điểm M. Tìm quỹ tích của điểm M.
- Giáo viên: Để quỹ tích của điểm M ta làm như thế nào?
- Học sinh: Tìm phép dời hình để M là ảnh của điểm D.
- Giáo viên: Đó là phép dời hình nào? Tại sao?
- Học sinh: Phép tịnh tiến vì chứng minh được
nên .
Lời giải. Do tứ giác BCDE là hình thoi nên ta có BC = CD, BC // ED.
. H là trực tâm ∆ABC nên
Do đó, ta có BH // ME.
67
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Suy ra, ta có
Tương tự, ta có HC // DM và BC // ED
Do đó, ta có
Vậy, ta có phép tịnh tiến .
Do BC = CD nên điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm C, bán kính
R = BC.
Suy ra điểm M thuộc đường tròn tâm H, bán kính R = BC là ảnh của
đường tròn (C) qua phép tịnh tiến .
Hình 2.27
Ví dụ 2.39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):
(x – 4)2 + (y – 4)2 = 8 và hai đường thẳng ∆: x – y + 3 = 0, d: x = 2. Tìm
điểm M thuộc ∆ và điểm N thuộc (C) sao cho M, N đối xứng nhau qua d.
- Giáo viên: Để hai điểm M, N đối xứng với nhau qua d ta phải làm như
thế nào?
68
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
- Học sinh: Tìm đường thẳng ’ là đường thẳng đối xứng với qua d
khi đó điểm N vừa thuộc ’ vừa thuộc (C) sẽ suy ra tọa độ của N sau đó tìm
được điểm M đối xứng N qua d.
Lời giải. Do M và N đối xứng qua d nên tồn tại phép đối xứng trục
Đd : M → N.
Gọi ’ là đường thẳng đối xứng với qua d.
Do đó, ta có ’: x + y – 7 = 0.
Do M nên ta có N ’.
Do N (C) nên ta có N ’ (C).
Ta có, tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:
+) Với ta có .
Do đó, ta có .
Gọi M1 và đối xứng với N1 qua d.
. Do đó M1 có tung độ
. Do M1 () nên ta có
Do đó, ta có .
+) Với ta có .
69
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Do đó, ta có .
Gọi M2 () và đối xứng với N2 qua (d).
. Do đó M2 có tung độ
. Do M2 () nên ta có
Do đó, ta có .
Vậy, có hai cặp điểm cần tìm là:
; ,
. ,
- Giáo viên: Từ ví dụ trên một em hãy nêu các bước để giải bài toán
dạng này.
- Học sinh: Các bước giải bài toán trên là:
+ Bước 1: Viết phương trình ’ với ’ là đường thẳng đối xứng với
qua d.
+ Bước 2: Tìm tọa độ của N = ’ (C).
+ Bước 3: Tìm M với M và đối xứng với N qua d.
+ Bước 4: Kết luận.
Giáo viên cho học sinh làm bài tập tương tự nhằm thành thạo cách làm
dạng toán này: “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): và
hai đường thẳng ∆: 2x + y – 9 = 0 và d: y = 3. Tìm điểm M thuộc ∆ và điểm N
thuộc (E) sao cho M, N đối xứng qua d.’’
70
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Lời giải. Do M và N đối xứng qua d nên ta có tồn tại phép đối xứng
trục Đd : M → N.
Gọi ’ là đường thẳng đối xứng với () qua (d).
Khi đó, ta có phương trình đường thẳng ’: 2x - y - 3 = 0
Do M () nên ta có N (’).
Theo giả thiết, ta có N (E) nên ta có N (’) (E).
Do đó, tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:
+) Với x = 2 ta có . Do đó, ta có và .
+) Với ta có . Do đó, ta có và
Vậy, có hai cặp điểm thỏa mãn:
và
và
2.2.5. Ứng dụng công nghệ thông tin trong rèn luyện kỹ năng giải toán
phép dời hình cho học sinh
a) Mục đích của biện pháp
Ngày nay, công nghệ thông tin đã thâm nhập vào mọi lĩnh vực hoạt động
của con người. Việc sử dụng phương tiện dạy học hiện đại, trong đó ứng dụng
công nghệ thông tin được coi là yếu tố tích cực trong quá trình đổi mới phương
71
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
pháp dạy học. Riêng đối với ngành Toán đã có nhiều phần mềm giúp ích rất
nhiều cho việc giảng dạy Toán, học Toán cũng như ứng dụng Toán học. Chính
vì vậy việc sử dụng nhiều loại phương tiện trực quan, đáng chú ý là những
phần mềm dạy học như: Cabri, GeospacW, Geobrageo… trong dạy học toán
nói chung, trong dạy học Phép dời hình nói riêng nhằm hỗ trợ lẫn nhau, thúc
đẩy hoạt động tích cực nhận thức của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng
dạy học môn Toán, hạn chế những sai lầm của học sinh hay mắc phải, dễ dàng
làm cho học sinh nhận ra những khuyết điểm của mình. Ngoài ra sử dụng các
phần mềm trong dạy học Toán còn làm cho học sinh có hứng thú trong học tập.
Chính vì vậy, việc sử dụng phần mềm hình học động vào dạy học Phép dời
hình giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán cho bản thân, từ đó làm cho học
sinh có hứng thú trong học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn
Toán.
b) Nội dung và cách thực hiện
- Giáo viên sử dụng phần mềm để vẽ hình, từ đó giúp học sinh nắm,
hiểu rõ đề bài, yêu cầu bài toán; xác định được mối liên hệ giữa yếu tố đã cho
và yếu tố cần tìm.
- Từ dữ liệu đề bài đã cho kết hợp nhìn hình vẽ, giáo viên hướng dẫn
học sinh tìm lời giải cho bài toán.
- Sử dụng phần mềm để đối chiếu kết quả bài làm đồng thời phát triển,
mở rộng bài toán bằng kẻ thêm các hình phụ, thay đổi vị trí các điểm trên
hình vẽ thể hiện qua phần mềm giúp học sinh phát hiện ra những kết luận mới
từ đó phát triển thành bài toán mới.
c) Ví dụ minh họa
Ví dụ 2.40. Xét bài toán 1: Lấy hai cạnh AB, BC của ABC làm cạnh,
dựng ra ngoài ABC hai hình vuông có tâm lần lượt là M, N. Gọi O là trung
điểm của đoạn thẳng AC thì OMN là tam giác vuông cân tại O.
72
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Với bài toán trên, học sinh dễ dàng tìm ra lời giải bài toán trên như sau:
Hình 2.28 Hình 2.29
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC (Hình 2.12). Khi đó, ta có
MEO = OFN. Suy ra, ta có ON = OM, , . Do
FO // AB nên ta có . Suy ra, ta có . Do đó, ta có
OMN là tam giác vuông cân tại O.
Từ bài toán gốc, sử dụng chức năng của phần mềm hình học động, lấy
đối xứng các hình vuông có tâm lần lượt là M, N qua trung điểm O của đoạn
thẳng AC được các hình vuông tương ứng có tâm là P, Q (Hình 2.13). Khi đó,
theo bài toán 1 và tính chất của phép đối xứng tâm ta có OMN, OPQ là các
tam giác vuông cân tại đỉnh O và đối xứng với nhau qua tâm O. Do đó, ta có
P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M, N qua điểm O. Do đó, ta có MNPQ
là hình vuông. Từ đó ta có kết quả bài toán 2 như sau:
Bài toán 2. Lấy các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD
làm cạnh, dựng ra ngoài hình bình hành ABCD các hình vuông có tâm lần
lượt là M, N, P, Q. Gọi O giao điểm của hai đường chéo hình bình hành
ABCD thì MNPQ là hình vuông.
73
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Từ bài toán 1, tiếp tục sử dụng chức năng của phần mềm hình học
động, lấy đối xứng các hình vuông có tâm lần lượt là M, N qua trục AC được
các hình vuông tương ứng có tâm là P, Q (Hình 2.14). Khi đó, theo bài toán 1
và tính chất của phép đối xứng trục ta có OMN, OPQ là các tam giác
vuông cân tại đỉnh O và đối xứng với nhau qua trục AC. Do đó MQ // NP và
MN = PQ. Suy ra, ta có MNPQ là hình thang cân. Từ đó, ta có kết quả bài
toán 3 như sau:
Bài toán 3. Cho tứ giác ABCD được tạo bởi từ hai tam giác bằng nhau
ACB và ACD. Lấy AB, BC, CD, DA làm cạnh, dựng ra ngoài tứ giác ABCD
các hình vuông có tâm lần lượt là M, N, P, Q. Gọi O trung điểm của đoạn
thẳng AC thì MNPQ là hình thang cân.
Hình 2.30
Tiếp theo, sử dụng chức năng của phần mềm, chúng ta cho thay đổi vị
trí của điểm A để ABCD là hình thoi (Hình 2.15), tức là chúng ta đã tiến hành
74
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
đặc biệt hóa bài toán 2 hoặc bài toán 3. Khi đó, ta có kết quả bài toán 4 như
sau:
Bài toán 4. Lấy các cạnh AB, BC, CD, DA của hình thoi ABCD làm
cạnh, dựng ra ngoài hình thoi ABCD các hình vuông có tâm lần lượt là M, N,
P, Q thì MNPQ là hình vuông.
Hình 2.31
Từ kết quả bài toán 1, áp dụng kết quả liên tiếp hai lần bài toán 1 đối
với tứ giác ABCD. Khi đó, ta có OMN, OPQ là các tam giác vuông cân tại
đỉnh O. Do đó, ta có Q(O; 900): P Q, M N.
Suy ra, ta có Q(O; 900): MP NQ.
Suy ra, ta có MP = NQ và MP NQ (Hình 2.16).
Khi đó, ta có kết quả bài toán 5 như sau:
Bài toán 5. Lấy các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD làm cạnh,
dựng ra ngoài tứ giác ABCD các hình vuông có tâm lần lượt là M, N, P, Q thì
MP = NQ và MP NQ.
75
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Từ bài toán 5, cho đỉnh D trùng với đỉnh C của tứ giác ABCD (Hình
2.17). Khi đó, ta có tâm P trùng với đỉnh C. Do đó, ta có MC NQ và MC =
NQ. Khi đó, ta có kết quả bài toán 6 như sau:
Hình 2.32
Bài toán 6. Trên ba cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC, dựng ra
ngoài tam giác ABC 3 hình vuông. Gọi M, N và P lần lượt là tâm của các hình
vuông ứng với cạnh là AB, BC và CA. Chứng minh MC NQ và MC = NQ.
Từ ví dụ này cho thấy, việc khai thác các yếu tố trực quan của các mô
hình toán học trên máy tính trong dạy học toán giúp học sinh vẽ hình chính
xác, hình vẽ trực quan. Qua đó, học sinh không những phát triển được trí
tưởng tượng, khắc phục được việc vẽ hình không chính xác mà còn khắc phục
được việc nhận dạng hoặc vận dụng sai các khái niệm, các tính chất hình học;
phát hiện được bằng mắt các yếu tố hình học, mỗi quan hệ giữa các đối tượng
toán học được thể hiện qua hình vẽ.
2.3. Kết luận chương 2
Trên cơ sở những nghiên cứu lý luận được trình bày ở chương 1,
chương 2 của luận văn, chúng tôi đã đề xuất được 03 định hướng khi xây
76
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
dựng các biện pháp sư phạm và đề xuất được 05 biện pháp sư phạm nhằm rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Trung học phổ thông khi giải toán phần
Phép dời hình (ban cơ bản) ở trường phổ thông. Mỗi biện pháp ngoài nêu mục
đích; nội dung và cách thực hiện còn đưa ra minh họa cách thực hiện những
biện pháp đó thông qua các ví dụ cụ thể. Những kết quả nghiên cứu ở chương
2 nhằm góp phần thực hiện các mục đích, yêu cầu của việc dạy học phần
Phép dời hình; giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản, rèn luyện kỹ
năng, tính linh hoạt, khả năng tìm tòi sáng tạo; nhằm thực hiện hóa những
biện pháp sư phạm trong điều kiện thực tế của quá trình dạy học, đạt được
mục đích mà giáo dục và yêu cầu của xã hội đặt ra.
77
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
CHƯƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thư ̣c nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm bước đầu kiểm nghiệm
tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp sư pha ̣m đã đươ ̣c đề xuất
chương 2 trong luận văn.
3.2. Nội dung thư ̣c nghiệm sư phạm
3.2.1. Nội dung thư ̣c nghiệm sư phạm
Căn cứ vào phân phối chương trình môn toán lớp 11 (chương trình cơ bản), quá trình thử nghiệm được thực hiện linh hoạt vào trong quá trình dạy
học một số tiết cụ thể như sau:
Tiết Tên bài dạy Mục đích, yêu cầu
1 Phép tịnh tiến Trình bày định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ
của phép tịnh tiến và hướng dẫn học sinh làm
một số bài tập vận dụng.
2 Phép quay Trình bày định nghĩa, tính chất của phép quay,
hướng dẫn học sinh làm một số bài tập liên quan.
3 Khái niệm về phép Trình bày khái niệm, tính chất phép dời hình,
dời hình và hai giới thiệu khái niệm hai hình bằng nhau, hướng
hình bằng nhau dẫn học sinh làm bài tập.
4 Luyện tập Nhắc lại định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ
của các phép dời hình: Phép tịnh tiến, phép đối
xứng trục, tâm và phép quay và áp dụng vào
trong một số bài tập tìm ảnh, chứng minh... qua
từng phép hoặc tích các phép dời hình.
78
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
5 Tự chọn bám sát Ôn tập lại kiến thức về phép biến hình, các loại
chương trình chuẩn phép dời hình sau đó tập trung vào việc áp dụng
phép biến hình, các loại phép dời hình trong giải
6 Ôn tập chương I toán. Qua đó giúp học sinh rèn luyện kỹ năng
(T1) giải toán, biết nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc
độ khác nhau từ đó tìm nhiều cách giải. Mặt khác
nhằm phát triển cho học sinh thói quen không 7 Ôn tập chương I
suy nghĩ cứng nhắc theo những quy tắc đã học (T2)
trước đó, không máy móc áp dụng những mô
hình đã gặp để ứng xử trước những tình huống
mới. Nhằm giúp học sinh thấy được phải có tư
duy linh hoạt khi giải toán, không phải bài toán
nào cũng có thể máy móc áp dụng các phương
pháp đã biết.
Tổng số tiết thực nghiệm: 7 tiết. Thời gian thực nghiệm được tiến hành
từ ngày 22/8/2016 đến ngày 29/10/2016, tại trường Trung học phổ thông Quế
Võ số 1, huyê ̣n Quế Võ, tỉnh Bắc Ninh.
3.2.2. Chuẩn bị tài liệu thực nghiệm sư phạm
Nội dung các tiết dạy được soạn theo hướng tăng cường tổ chức các
hoạt động học tập cho học sinh, trong đó dụng ý phố i hơ ̣p một số biện pháp
cụ thể đã nêu ở Chương 2 củ a luâ ̣n văn.
Xây dựng một số tình huống sư phạm thể hiện một số biện pháp nhằm
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học phần Phép dời
hình, thông qua đó thể hiện tính hiệu quả, tính khả thi của các biện pháp đã đề
ra. Thiết kế và sử dụng các phiếu học tập để hoạt đô ̣ng nhó m, tạo niềm vui và hứng thú học tập của các em trong viê ̣c lĩnh hô ̣i tri thứ c.
79
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm
Căn cứ vào số lượng học sinh trong mỗi lớp cũng như kết quả khảo sát
lực học môn toán của học sinh trong mỗi lớp của khối 11 trường Trung học
phổ thông Quế Võ số 1, huyện Quế Võ, tỉnh Bắc Ninh, chúng tôi nhận thấy:
Lớp 11A9 (50 học sinh) và lớp 11A15 (45 học sinh) có số lượng học sinh gần
bằng nhau, trình độ nhận thức, kết quả học tập toán khi bắt đầu khảo sát là
tương đương nhau (xem Bảng 3.1).
Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học
(Thực hiện tháng 8 năm 2016)
Điểm kiểm
tra
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(i=
)
Số học sinh đạt điểm xi
2
4
3
5
9
1
4
2
1
6
2
4
3
6
9
14
6
5
1
6.02
củ a lớ p 11A9
5
5
2
5
7
1
4
2
2
5
Số học sinh đạt điểm xi
4
3
6
6
8
12
4
2
5.62
củ a lớ p 11A15
Do đó, chúng tôi lựa chọn lớp 11A15 là lớp thực nghiệm và lớp 11A9 là
lớp đối chứng.
- Lớp thực nghiệm 11A15 do cô Nguyễn Thị Hằng đảm nhiệm và được
dạy học theo hướng áp dụng các biện pháp sư phạm đã đề xuất.
- Lớp đối chứng 11A9 do thầy Trần Đình Thắng đảm nhiệm và được
dạy học theo phương pháp truyền thố ng.
3.4. Đánh giá thư ̣c nghiệm sư phạm
Sau quá trình tổ chức thực nghiệm sư phạm, chúng tôi thu được một số
kết quả và tiến hành phân tích trên hai phương diện: Đánh giá về mặt định
tính và đánh giá về mặt định lượng.
80
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
3.4.1. Phân tích định lượng
a) Đề kiểm tra
Sau đợt thực nghiệm sư phạm, chúng tôi đã tổ chức cho học sinh làm
một bài kiểm tra (bài 45 phú t) đối với học sinh hai lớp 11A9, 11A15 để đánh
giá kết quả đầu ra.
Đề kiểm tra 45 phút
Đề bài:
Câu 1 (4 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; -3),
B(2; -4) và đường thẳng d: 3x - 2y + 5 = 0.
a) Xác định ảnh của điểm A và đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo
.
b) Xác định điểm M sao cho với .
Câu 2 (3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
: x – 2y + 3 = 0 và đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25. Xác định ảnh
của đường thẳng và ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O góc quay
900.
Câu 3 (3 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;
-7), trực tâm là H(3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2; 0). Xác định tọa độ
đỉnh C, biết C có hoành độ dương.
Đáp án
Đáp án Câu Thang
điểm
1 1
81
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
2 Giả sử . Khi đó
(*).
Thay (*) vào phương trình của đường thẳng d ta được:
3(x’+2) – 2(y’- 1) + 5 = 0 3x’ – 2y’ + 13 = 0.
Vậy : 3x – 2y + 13 = 0.
1
B(4; -5).
2 1,5 Q(O; 900)(∆) = ∆’ (∆; ∆’) = 900 nên phương trình của ∆’
có dạng: 2x + y + C = 0 (1).
Ta có A(-3; 0) thuộc đường thẳng ∆. Gọi A’ = Q(O; 900)(A)
A’(0; -3), thay tọa độ của A’ vào (1) ta được phương trình
∆’: 2x + y + 3 = 0.
Đường tròn (C) có tâm I(2; -3), bán kính .
1,5 Phép quay Q(O; 900)(I) = I’ I’(3; 2).
Gọi là ảnh của qua Q(O; 900).
có tâm I’(3; 2) và bán kính .
pt là: (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25.
3 Gọi B là điểm đối xứng của qua I, dễ thấy AHCB’ là hình 1
bình hành nên tức là C = (B’).
Từ đó ta có: Điểm B’ vừa thuộc (C’) là đường tròn ngoại tiếp
2 vừa thuộc (C’’) với (C’’) = (C’) ∆ABC
. Theo giả thiết (C’): (x + 6)2 + y2 = 74,
do nên (C’) = (C’’): (x + 2)2 + (y + 6)2 = 74.
82
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Tọa độ giao điểm của là nghiệm của hệ
. Vì C có hoành
độ dương nên .
Những dụng ý sư phạm về đề kiểm tra
Câu 1 (4 điểm). Mức độ nhận biết, thông hiểu: Tìm tọa độ ảnh, tạo ảnh
của một điểm; tìm ảnh của một đường thẳng qua phép tịnh tiến.
Học sinh nhận biết, hiểu được bài toán đó cần sử dụng biểu thức tọa độ
của phép tịnh tiến để giải… (Câu này dành cho học sinh cả lớp).
Câu 2 (3 điểm). Mức độ nhận biết, thông hiểu: Tìm ảnh của đường
tròn, đường thẳng qua phép quay : Học sinh nhận biết, hiểu được cách
tìm ảnh một điểm qua dựa định nghĩa. (Câu này cho học sinh cả lớp).
Câu 3 (3 điểm). Mức độ vận dụng cao: Dựa yếu tố đã cho kết hợp kẻ
thêm đường phụ, học sinh dự đoán, tìm được phép dời hình phù hợp để tìm
tọa độ điểm C. (Câu này dành phân loại học sinh Khá, Giỏi).
b) Kết quả kiểm tra Kết quả bài kiểm tra 45 phú t:
83
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Bả ng 3.2. Bả ng phân bố tần số kết quả kiểm tra 45 phút của học sinh
hai lớp 11A9 và lớp 11A15 trường Trung học phổ thông Quế Võ số 1
Điểm kiểm tra xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (i= )
4
1
8
1
5
1
1
6
6
Lớ p thực nghiệm
1
2
5
6
9
12
8
2
6.18
3
6
1
1
9
5
1
2
5
Lớp đối chứng
2
4
10
8
10
9
5
2
5.54
Từ các kết quả trên ta có nhận xét sau: Lớp thực nghiệm có 31/45 học
sinh đạt điểm trung bình trở lên chiếm 82,22%, trong đó có 22/45 học sinh đạt
loại khá, giỏi chiếm 48,89%. Lớp đối chứng có 34/50, học sinh đạt điểm trung
bình trở lên chiếm 68%, trong đó có 16/50 học sinh đạt loại khá, giỏi chiếm
32%. Điểm trung bình chung học tập ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối
chứng. Số học sinh có điểm dưới điểm trung bình ở lớp thực nghiệm thấp hơn
lớp đối chứng và số học sinh có điểm khá giỏi ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp
đối chứng.
Để có thể khẳng định về chất lượng của đợt thực nghiệm sư phạm, chúng
tôi tiến hành xử lý số liệu thống kê Toán học. Kết quả xử lý số liệu thống kê
thu được như sau:
Nội dung Kiểm tra 45 phút
Thực nghiệm Đối chứng
5.54 6.18 Điểm trung bình
3.11 2,74 Phương sai
84
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
1.66 1.76 Độ lệch chuẩn
(Trong đó N là số học sinh, xi là điểm (thí dụ: điểm 0, 1, 2,.., 10), (fi) là
tần số các điểm xi mà học sinh đạt được).
Sử dụng phép thử t - student để xem xét, kiểm tra tính hiệu quả của việc
thực nghiệm sư phạm, ta có kết quả: = 1.93
Tra bảng phân phối t - student với bậc tự do F = 50 và với mức ý nghĩa
= 0.05 ta được t =1.68. Ta có t > t. Như vậy, thực nghiệm sư phạm có kết
quả rõ rệt.
Tiến hành kiểm định phương sai của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng
với giả thuyết E0: “Sự khác nhau giữa các phương sai ở lớp thực nghiệm và
lớp đối chứng là không có ý nghĩa”.
Ta có kết quả: = 0.94.
Giá trị tới hạn F tra trong bảng phân phối F ứng với mức = 0.05 và với
các bậc tự do fTN = 45; fDC = 50 là 1,71 ta thấy F < F: Chấp nhận E0, tức là sự
khác nhau giữa phương sai ở nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng là
không có ý nghĩa.
Để so sánh kết quả thực nghiệm sư phạm, chúng tôi tiến hành kiểm định
giả thuyết H0: “Sự khác nhau giữa các điểm trung bình ở hai mẫu là không có
ý nghĩa với phương sai như nhau”.
Với mức ý nghĩa = 0.05, tra bảng phân phối t- student với bậc tự do là
NTN + NDC - 2 = 45 + 50 - 2 = 93 ta được t =1.67. Ta có giá trị kiểm định:
= 1.82 với s =
85
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Ta có t > t. Như vậy, khẳng định giả thuyết H0 bị bác bỏ. Điều đó chứng
tỏ sự khác nhau giữa các điểm trung bình ở hai mẫu chọn là có ý nghĩa.
Kết quả kiểm định chứng tỏ chất lượng học tập của lớp thực nghiệm
cao hơn lớp đối chứng.
Dựa trên kết quả phân tích ở trên, chúng ta có thể thấy tuy mới dạy
được 7 tiết nhưng kết quả thu được tương đối khả quan và điều này thể hiện
rõ tính khả thi và hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán phần Phép dời
hình cho học sinh phổ thông.
3.4.2. Phân tích định tính
Sau quá trình tổ chức thực nghiê ̣m sư phạm, chúng tôi đã theo dõi sự
chuyển biến trong hoạt động học tập của học sinh, đặc biệt là các kỹ năng
nghe giảng, ghi chép, thảo luận, đặt câu hỏi, tự đánh giá... Bước đầu rèn luyện
cho học sinh có thói quen tự học, có kỹ năng giải quyết các vấn đề đặt ra, chủ
đô ̣ng trong việc lĩnh hội kiến thức mới. Chúng tôi nhận thấy lớp thực nghiệm có chuyển biến tích cực hơn so với trước thực nghiệm:
- Học sinh hứng thú trong giờ học Toán: Điều này được giải thích là do
trong quá trình học tập, học sinh được giáo viên hệ thống các kiến thức phần
Phép dời hình từ Trung học cơ sở và những kiến thức cơ sở nền tảng của phần
Phép dời hình Trung học phổ thông nên các em được hoạt động, được suy
nghĩ, được tự do bày tỏ quan điểm, được tham gia vào quá trình phát hiện,
định hướng lời giải nhiều hơn; được tham gia vào quá trình khám phá và kiến
tạo kiến thức mới.
- Khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc
biệt hóa, hệ thống hóa của học sinh tiến bộ hơn: Điều này được giải thích là
do giáo viên đã chú ý hơn trong việc phát triển cho học sinh năng lực biến đổi
bài toán về dạng thuận lợi, phù hợp với kiến thức đã có của học sinh và điều
kiện đã cho của bài toán để tìm hướng giải quyết bài toán.
86
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
- Học sinh đã tập trung chú ý nghe giảng, thảo luận nhiều hơn, tranh
luận để đưa ra ý kiến hoặc lời giải của mình: Điều này được giải thích là do
giáo viên đã chú ý và phát triển cho học sinh năng lực nhìn nhận bài toán dưới
nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm nhiều cách giải, qua đó học sinh có thể vận
dụng tổng hợp kiến thức đã học và chọn lựa được lời giải phù hợp, tạo phản
xạ khi tiếp xúc với bài toán.
- Việc đánh giá, tự đánh giá bản thân của học sinh được sát thực hơn:
Có được điều này là do trong quá trình dạy học, giáo viên đã cho học sinh
thảo luận giữa thầy và trò, trò với trò được trả lời bằng các phiếu trắc nghiệm
và khả năng suy luận của bản thân.
- Học sinh tự học, tự nghiên cứu bài ở nhà thuận lợi hơn: Điều này
được giải thích là do trong các tiết học ở trên lớp, giáo viên đã quan tâm tới
việc hướng dẫn học sinh tổ chức việc tự học, tự nghiên cứu sách giáo khoa,
sách tham khảo ở nhà.
- Học sinh tham gia vào bài học sôi nổi hơn, tự tin, mạnh dạn hơn trong
việc bộc lộ kiến thức, dám nói lên suy nghĩ của chính mình về một bài toán,
một vấn đề, không dập khuôn một cách máy móc, thiếu tư duy khi nhìn nhận
bài toán hay một vấn đề cụ thể: Điều này là do trong quá trình dạy học, giáo
viên đã phát triển cho học sinh thói quen không suy nghĩ cứng nhắc theo
những quy tắc đã học, không máy móc áp dụng những mô hình đã gặp để ứng
xử trước những tình huống mới.
3.5. Kết luận chương 3
Sau khi xác định được mục đích, đối tượng, phương pháp thực nghiệm
sư phạm, chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm tại Trường Trung học phổ
thông Quế Võ số 1, huyện Quế Võ, tỉnh Bắc Ninh, với các kết quả thu được
và các số liệu được xử lý từ phương pháp thống kê, phương pháp quan sát,
phương pháp điều tra đã có cơ sở để khẳng định:
87
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
- Kết quả thử nghiệm sư phạm đã chứng tỏ một số biện pháp sư phạm
được đề xuất nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán phần Phép dời hình cho học
sinh Trung học phổ thông là có tính hiệu quả và khả thi.
- Hệ thống các bài tập phần Phép dời hình phù hợp để rèn luyện kỹ
năng giải toán, phát triển tư duy cho học sinh Trung học phổ thông. Các em tự
tin hơn trong học tập, mạnh dạn trình bày ý kiến cá nhân, hăng hái tham gia
thảo luận, tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề...
Như vậy, mục đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi và
tính hiệu quả của các biện pháp đã được khẳng định. Thực hiện các biện pháp
đó sẽ góp phần rèn luyện kỹ năng giải toán phần Phép dời hình cho học sinh
trung học phổ thông.
88
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
KẾT LUẬN CHUNG
Qua thời gian nghiên cứu đề tài, tuy khả năng còn hạn chế nhưng dưới
sự nỗ lực của bản thân và sự chỉ bảo nhiệt tình của PGS.TS.Trần Việt Cường,
nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài đặt ra đã hoàn thành, mục đích nghiên cứu đã
đạt được như mong muốn.
Luận văn đã thu được những kết quả chính sau đây:
1. Đã hệ thống hóa quan điểm của các nhà khoa học về kỹ năng, kỹ năng
giải toán, một số kỹ năng cần thiết khi giải toán, nhu cầu phát triển kỹ năng
giải toán cho học sinh ở trường phổ thông, dạy học giải bài tập toán cho học
sinh, dạy học giải bài tập toán theo tư tưởng của G.Polya…
2. Đã hệ thống hóa được một số dạng toán về phần Phép dời hình như:
Xác định ảnh của một điểm, một hình, dựng hình, chứng minh một tính chất
hình học, quỹ tích điểm di động, hai hình bằng nhau, tâm đối xứng – trục đối
xứng của một hình, chứng minh phép dời hình.
3. Đã tìm hiểu thực tiễn việc dạy học nội dung phần Phép dời hình trong
chương trình phổ thông.
4. Đã đề xuất được 03 định hướng và 05 biện pháp sư phạm rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh phổ thông qua dạy học nội dung Phần Phép dời
hình trong mặt phẳng. Trong mỗi biện pháp sư phạm, ngoài việc trình bày
mục đích, nội dung của biện pháp, chúng tôi đã thể hiện minh hoạ qua các ví
dụ cụ thể dạy học giải toán phần Phép dời hình ở trường phổ thông.
5. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm, đã dạy thực nghiệm được 7 tiết để
minh họa tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Toàn bộ những kết quả trên cho thấy nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn
đã được hoàn thành, giả thiết khoa học đặt ra trong luận văn đã được khẳng
định. Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi những thiếu
sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp của Quý thầy cô để luận văn
được hoàn thiện hơn.
89
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN
Phan Thị Huyền (2017), Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh lớp 11 qua dạy học nội dung Phép dời hình trong
mặt phẳng, Tạp chí Giáo dục và xã hội số đặc biệt tháng 4.
90
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hoàng Anh (chủ biên), Đỗ Thị Châu, Nguyễn Thạc (2016), Hoạt động
giao tiếp nhân cách, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
2. Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (2013), Nghị
quyết 29 hội nghị Trung ương 8 khóa XI.
3. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2007), Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục.
4. Đảng cộng sản Việt Nam (2011), Nghị quyết Đại hội Đảng toàn quốc
lần thứ XI.
5. Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học Toán ở trường Trung học
phổ thông, Nhà xuất bản Giáo dục.
6. Võ Anh Dũng (tổng chủ biên), Trần Đức Huyên (chủ biên) (2015), Giải
toán hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
7. Lê Hồng Đức – Nhóm cự môn (2007), Phương pháp giải bài tập trắc
nghiệm hình học 11, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
8. Lê Hồng Đức – nhóm cự môn (2010), Để học tốt hình học cơ bản và
nâng cao 11, Nhà xuất bản tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh.
9. Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục
học môn Toán, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
10. Trần Bá Hoành (2006), Đổi mới phương pháp dạy học, chương trình
và sách giáo khoa, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
91
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
11. Nguyễn Thái Hòe (2001), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập
Toán, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
12. Lê Văn Hồng (Chủ biên), Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng (1995), Tâm
lí học lứa tuổi và tâm lí học sư phạm, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
13. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh
(2007), Bài tập Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục.
14. Nguyễn Kiếm, Lê Thị Hương, Hồ Xuân Thắng (2007), Phân loại và
phương pháp giải các dạng bài tập Toán 11, Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội.
15. Nguyễn Bá Kim (2015), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất
bản Đại học Sư Phạm.
16. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn
Toán, Nhà xuất bản Giáo dục.
17. G.Polya (1995), Giải một bài toán như thế nào?, Nhà xuất bản Giáo
dục, Hà Nội.
18. G.Polya (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), Nhà xuất bản Giáo
dục, Hà Nội.
19. Luật Giáo dục (1998), Nhà xuất bản Giáo dục.
20. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn
Toán ở trường phổ thông, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
21. Bùi Văn Nghị (2010), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể
môn toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
22. Nguyễn Văn Nho, Lê Bảy (2015), Phương pháp giải toán chuyên đề
hình học 11, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
23. Nguyễn Thị Nhung (2012), Rèn luyện kỹ năng giải toán hình học cho
học sinh trung học phổ thông (thông qua dạy học nội dung hình học
không gian ở lớp 11), Luận văn thạc sĩ Khoa học giáo dục.
92
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
24. Nguyễn Đăng Phất, Phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải
toán hình học, Nhà xuất bản Giáo dục.
25. Hoàng Phê (2009), Từ điển Tiếng Việt, Nhà xuất bản Đà Nẵng.
26. Lê Hoành Phò (2015), Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học
11, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
27. Platonov, Golubev (1967), Tâm lí học Nga (bản tiếng Nga), M, Nhà
xuất bản Giáo dục.
28. Đào Văn Trung (2001), Làm thế nào để học tốt toán phổ thông, Nhà
xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
29. Nguyễn Anh Tuấn (chủ biên), Nguyễn Danh Nam, Bùi Thị Hạnh
Lâm, Phan Thị Phương Thảo (2014), Giáo trình rèn luyện nghiệp vụ
sư phạm môn toán, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
93
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
PHỤ LỤC
MẪU PHIẾU ĐIỀU TRA (Dành cho học sinh)
Họ và tên:............................................................................................................
Trường:.........................................................................................Lớp:...............
Tỉnh (Thành phố):...............................................................................................
Em hãy điền dấu (X) vào các ô tương ứng và phù hợp với suy nghĩ của em.
1. Em đánh giá thế nào về nội dung Phép dời hình trong chương trình
Hình học lớp 11?
Khó hiểu
Bình thường
Dễ hiểu
2. Em có hứng thú khi học nội dung Phép dời hình trong mặt phẳng
không?
Hứng thú
Bình thường
Không hứng thú
3. Em thường gặp khó khăn, sai lầm gì trong khi giải bài tập nội dung
phép dời hình?
Áp dụng sai công thức
Không hiểu đúng khái niệm
94
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Cảm nhận trực quan
Xét thiếu trường hợp
Xin chân thành cám ơn sự hợp tác của các em!
