Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân bậc một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỐ CHÍ MINH

Vũ Thị Lệ Thủy

SỰ DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC MỘT

Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy PGS. TS. Lê Hoàn Hóa và Thầy TS.Trần Đình

Thanh đã tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán – Tin học Trường Đại

học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi từ ngày đầu tiên vào trường Sư phạm

cho đến khi tôi học Cao học. Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn qúy Thầy Cô đã tham gia

giảng dạy lớp Cao học Giải Tích khóa 18.

Tôi cũng gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, khoa Khoa Học Cơ Bản Trường Cao Đẳng

Công Nghệ Thủ Đức đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong công tác để tôi có thể yên tâm

tham gia đầy đủ khóa học.

Tôi xin cảm ơn Khoa Toán – Tin học và Phòng KHCN&SĐH Trường Đại học Sư phạm

TP.Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học và hoàn thành luận văn Cao

học .

Sau cùng, tôi xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp, các bạn học viên

lớp Cao học Giải tích K.18 đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt khóa học.

TP. Hồ Chí Minh, Tháng 8 năm 2010

Vũ Thị Lệ Thủy

MỞ ĐẦU

Trong thời đại khoa học công nghệ, khoa học sinh học phát triển nhanh chóng như hiện

nay, đã có nhiều nghiên cứu cho thấy những ứng dụng quan trọng của phương trình vi phân đối

số lệch vào các lãnh vực vật lí, sinh học, sinh thái học và sinh lí học.

Nhiều nhà toán học trên thế giới đã và đang tiếp tục nghiên cứu nhiều về phương trình vi

phân đối số lệch. Đặc biệt, quan tâm nghiên cứu sự dao động của nghiệm cho phương trình vi

phân bậc một.

Trên tinh thần tìm hiểu rõ hơn về vấn đề dao động của nghiệm cho phương trình vi phân

trung hòa đối số lệch bậc một loại tuyến tính và không tuyến tính, tôi chọn đề tài này làm nội

dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài theo hướng nghiên cứu trên.

Luận văn đi sâu vào nghiên cứu hai trong những hướng cơ bản của Lý thuyết định tính

phương trình vi phân có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đó là sự dao động và tính ổn định của

nghiệm cho phương trình vi phân trung hòa đối số lệch bậc một loại tuyến tính và không tuyến

tính.

Luận văn gồm có ba chương. Chương 1, trình bày một số kết quả về sự dao động của

nghiệm cho phương trình vi phân đối số lệch bậc một:

)

x t ( )



= 0.

P t x t a ( ) ( i i



d dt

1 

trích từ bài báo  1

Chương 2 của luận văn, khảo sát sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân không

tuyến tính trung hòa đối số lệch bậc một:

px t a (

)





+ Q(t) f(x(t - b)) = 0,

 ( ) x t



d dt

trích từ bài báo  2 .

Chương 3 của luận văn, trình bày một số kết quả về tính ổn định của nghiệm cho phương trình

vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch bậc một:

P t x t a

( ) (

)



t

+ Q(t) x(t- b) = 0,

 ( ) x t



d dt

trích từ bài báo  3 .

t t

Trong luận văn một số kết quả được sử dụng sẽ được phát biểu dưới dạng định lí hoặc bổ

đề và không chứng minh.

CHƯƠNG 1. SỰ DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM

CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

Xét phương trình vi phân đối số lệch cấp một:

x t + P(t)x(t - a) = 0 ' ( )

(1.1)

trong đó:

i) P(t)  0, là hàm liên tục

ii) a: là hằng số dương

Hay tổng quát hơn:



x t + '( )

= 0

(1.2)

P t x t a ( ) ( i i



1 

trong đó:

)

1, n

là những hàm liên tục, với i

iP t 

1, n

ii)

là những hằng số dương, với i

x C

Với một nghiệm của phương trình (1.1) (hay (1.2)), chúng ta có một hàm





  , vớ

t    



( h

tt  .

  a ),  ax i m 1 i n  

Nghiệm của phương trình (1.1) (hay (1.2)) được gọi là dao động nếu nó có vô số không điểm .

Chúng ta sẽ thiết lập những điều kiện cho sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân

(1.1) (hay (1.2)).

( ) 0

1.1. Những bổ đề.

Bổ đề 1.1:

Nếu

t a  i



P s ds ( ) i



lim sup t 

với i nào đó và x(t) là một nghiệm dương của phương trình (1.2) thì

)

 

(1.3)

lim inf t 

x t a (  i ( ) x t

Chứng minh.



a i

 



sao cho:

, khi k

và

Theo giả thiết, tồn tại hằng số dương d và dãy  kt

P s ds ( ) i

kt  



, k = 1,2,…

t (

)





lúc đó, tồn tại

, với mỗi k có:

b i

a i

b k

P s ds  ( ) i



d 2

và

(1.4)



a i



P s ds ( ) i



d 2

Theo cách viết khác, từ phương trình (1.2) kéo theo:

'( ) x t





) 0 

(1.5)

P t x t a ( ) ( i i

, ta có:

,k b t

a i

Lấy tích phân trong (1.5) trên đoạn 

t b và đoạn  ,k



b k

)

x t (

)

( ) (

)









(1.6)

x b ( k

P s x s a ds i



và



a i

x t (

)

(

)









(1.7)

a i

x b ( k

P s a ds  i



b k

Bỏ qua số hạng đầu tiên trong (1.6) và (1.7), bằng việc sử dụng tính giảm của hàm x(t) và từ

(1.4), ta có:

x t (

)

x t (









 và ) 0

 ) 0

x b ( k

a i

x b ( k

d 2

hay

)

a i )

d 2

   

  

( x b  k x b ( k

Từ đó, dẫn tới:

)

 

lim inf t 

x t a (  i ( ) x t

Bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 1.2:

Nếu phương trình (1.2) có một nghiệm dương, khi đó:

t a  i



, i =1,2,…,n

(1.8)

( ) P s ds i



Chứng minh.

Xem chứng minh của định lí 2.1.3 trong  4

1.2. Các kết quả cơ bản.

Định lí 1.1.

t a 

t  t

( ) P s ds



Giả sử

, với

t  0



và



P t

( ) ln

 

(1.9)



t a   e P s ds dt ( )

  

  

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.1) dao động.

Chứng minh.

Bằng phương pháp phản chứng, giả sử phương trình (1.1) có nghiệm dương x(t), rõ ràng x(t) có

thể đơn điệu giảm.

( ) t   

Đặt :

, khi đó với t đủ lớn thì hàm số

( )t không âm, liên tục

' ( ) x t ( ) x t

)

t

và x(t) =

, với

x t 1( ) exp(

x t  1( ) 0

t 1

s ( )

t 1

Hơn nữa

( )t thỏa:

t ( )

P t

( ) exp(

s ds ( )

)





(1.10)

 

t a 

Áp dụng bất đẳng thức

)

x  

, với x > 0 và r > 0

ln( er r

Như vậy:

( ) exp(

( ).

)

( ) t

P t

A t

( ) s ds







1 ( ) A t

. t a 

ln(

( ))

P t ( )

s ds ( )









1 A t ( )

eA t A t ( )

t a 

  

  

trong đó

t a 

A t ( )

P s ds ( )

 

Dẫn đến:

t a 

t ( )

P s ds P t ( )

( )

( ) ln(

( )

)



s ds P t ( ) 



(1.11)



t a   e P s ds

t a 

Khi đó với N >T, ta có:

t a 

t ( )

P s ds dt

( )

P t ( )

P t

( ) ln(

)







(1.12)



t a   e P s ds dt ( )



t a 

  

  

 s ds dt ( )  

  

Do:

N T 

s a 

P t ( )

s dsdt ( )

P t





( ) ( ) 



t a 

  

 s dt ds  

N a 

s a 

s ( )

P t dtd ( )





N a 

t a 

t ( )

P s dsd ( )



(1.13)



Từ (1.12) và (1.13) dẫn đến:

t a 

t ( )

P s dsdt

( )

P t

( ) ln(

)





(1.14)



t a   e P s ds dt ( )



N a 

Theo bổ đề 1.2, ta có:

t a 

P s ds ( )



(1.15)



Từ (1.14) và (1.15), dẫn đến:

t dt ( )

P t

( ) ln(

)







t a   e P s ds dt ( )

N a 

hoặc

)

P t

( ) ln(

)

(1.16)

 

t a   e P s ds dt ( )

( x N a  x N ) (

Từ (1.9), ta có:

)

(1.17)

 

lim t 

( x t a  ( ) x t

 

, khi n

mà

Theo cách viết khác, từ (1.9) dẫn tới tồn tại một dãy  nt

nt  



P s ds ( )



1 n ,   e

Khi đó theo bổ đề (1.1), ta phải có:

)

 

lim inf t 

( x t a  ( ) x t

Điều này mâu thuẫn với (1.17).

Định lí được chứng minh.

Định lí 1.2.

max

,...,



Giả sử



a a , 1 2

 a n

Với giả thiết

t a  i



t

, với > 0

P s ds ( ) i

 

 1

và

t a  n



(1.18)

P s ds ( ) n



lim sup t 

Nếu



t a  i

( )

 

(1.19)

P s ds dt i

P t i





1 

  

 ( ) ln  

   

   

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.2) dao động.

Chứng minh.

Bằng phương pháp phản chứng, giả sử phương trình (1.2) có một nghiệm dương x(t) và x(t) có

thể đơn điệu giảm.

Đặt:

t ( )   

' ( ) x t x t ( )

Khi đó,

( )t không âm, liên tục và tồn tại

, sao cho:

t 0

x t  1( ) 0

Như vậy:

x t ( )

s ds ( )



x t ( ) exp 1



t 1

   

   

t ( )

( ) exp

s d ( )





Hơn nữa

( )t thỏa:

P t i





1 

t a  i

   

   

Nếu đặt:

t a  i

B t ( )

P s ( ) i

  

1 

Áp dụng bất đẳng thức

)

x  

, với x> 0 và r > 0

ln( er r

Ta tìm thấy:

( ) exp

( ).

( ) t

B t

( ) s d





P t i





1 ( ) B t

1 

t a  i

   

 s   

(

s ds ( )







P t ( ) i





1 ( ) B t

eB t ( )) ( ) t B

1 

t a  i

   

   

hay

t a  i

t ( )

s dsdt ( )







(1.20)

P s ds ( ) i

P t ( ) i

P t i

P s ds ( ) i





 

1 

  

 ( ) ln  



a i

   

   

   

   

Khi đó với N > T, ta có:

t a  i

s dsdt ( )





P t ( ) i

P s ds ( ) i



 



1 

t a  i

    

 t dt ( )   

t a  i

( )



(1.21)

P t i

P s ds dt i





1 

  

 ( ) ln  

   

   

Do:

N a  i

s a  i

s dsdt ( )





( ) ( ) 

P t ( ) i

P s i





1 

t a  i

   

 s dt ds   

N a  i

t a  i

t ( )



(1.22)

P s dsd ( ) i

 



1 

Từ (1.21) và (1.22), ta có:

t a  i

t ( )

( )





(1.23)

P s dsdt ( ) i

P t i

P s ds dt i





1 

  

 ( ) ln  

N a  i

   

  

Mặt khác theo bổ đề 1.2, ta có:

t a  i



(1.24)

, i =1,2,…,n

P s ds ( ) i



Khi đó, do (1.23) và (1.24), ta có:

t a  i

t dt ( )

( )





P t i

P s ds dt i





1 

  

 ( ) ln  

N a  i

   

   

Hay

t a  i

)

( )



(1.25)

P t i

P s ds dt i





x N a (  i ( ) x t

1 

  

 ( ) ln  

   

  

Trong (1.20), ta có:

)

 

(1.26)



lim t 

x t a (  i ( ) x t

1 

Từ đó, suy ra:

)

 

(1.27)

lim t 

x t a (  n ( ) x t

Mặt khác theo bổ đề 1.1, ta có:

)

 

lim inf t 

x t a (  n ( ) x t

Điều này mâu thuẫn với (1.27).

Từ đó, định lí được chứng minh.

Hệ quả 1.1.

Nếu

t a  i



(1.28)

( ) P s ds i

 

lim inf t 

1 

1 

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.2) dao động.

Chứng minh.



...  

Giả sử

a 1

a 2

a n



m n 

Khi đó, từ (1.28) có m thỏa: 1

sao cho

t a 



(1.29)

( ) P s ds m



lim sup t 

và



(1.30)

( ) P s ds i



lim inf t 

1 

1 

Giả sử phương trình (1.2) có nghiệm dương x(t).

Khi đó x(t) cũng là nghiệm dương thỏa mãn bất đẳng thức

' x t ( )





) 0 

(1.31)

P t x t a ( ) ( i i



1 

Theo bất đẳng thức 3.2.2 trong  5 , ta biết phương trình

' y t ( )





) 0 

(1.32)

P t y t a ( ) ( i i



1 

có nghiệm dương thực sự.

thì:

Mặt khác, từ (1.29) ta có với,

ot 



t a  i

( )

 

(1.33)

P s ds dt i

P t i





1 

  

 ( ) ln  

   

   

Theo định lí 1.2, mỗi nghiệm của phương trình (1.32) dao động

Điều này vô lí.

Từ đó, hệ quả được chứng minh.

CHƯƠNG 2. SỰ DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM CHO

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG TUYẾN TÍNH

TRUNG HÒA ĐỐI SỐ LỆCH

Xét phương trình vi phân trung hòa đối số lệch không tuyến tính

x t ( ( )

px t a (

))

Q t ( )

f x t b

( (

))









= 0 (2.1)

trong đó



i) p  , a và b là những hằng số dương.





ii) Q



  , 0,

  C t



 

 0.và có một hằng số dương M

iii) f :

là một hàm thực liên tục và thỏa u.f(u) > 0 với u

sao cho

 với  là một tỉ số của những số nguyên dương lẻ.

T t

max



Đặt r

và

( ) f u u  

 ,a b

. 0

là một nghiệm của phương trình (2.1) nếu hàm

 T r   

Ta nói một hàm thực liên tục x: 

t T

x(t) + px(t - a) khả vi liên tục với

và x thỏa (2.1) với mọi

Nghiệm của phương trình (2.1) được gọi là dao động nếu nó có vô số không điểm. Trong trường

hợp ngược lại, nghiệm được gọi là không dao động.

2.1. Các kết quả cơ bản.

Bổ đề 2.1. (Xem chứng minh ở chương 1). Cho phương trình

' x t ( )





) 0 

P t x t a ( ) ( i i



1 

( ) 0

trong đó

là những hàm liên tục và

là những hằng số dương.

iP t 







Hàm

được gọi là nghiệm của phương trình nếu x(t) thỏa phương

   





 x C t (

a i

max 1 i n  

t

trình với mọi

Nếu

t a  i

sup

> 0

P s ds ( ) i



lim t

và x(t) là một nghiệm dương của phương trình thì

)

 

inf

lim t

x t a (  i x t ( )

với i nào đó.

1,  , =1 và

Bổ đề 2.2. Giả sử b > a, p 



t b a  

Q s ds ( )

> 0

( 2.2)

sup



lim t 

Nếu x(t) là một nghiệm dương bất kì của phương trình (2.1),thì

)

inf m

 

(2.3)

t 

z t b a (   ( ) z t

trong đó z(t) = x(t) + px(t - a)

Chứng minh.

Từ giả thiết ta có z(t) > 0, và từ phương trình (2.1) ta thấy z(t) là hàm giảm.

Mặt khác:

px(t-a) = z(t) – x(t)

(2.4)

và

z(t + a) = x(t +a) + px(t)

Do z(t) là hàm giảm nên ta có:

z(t) > z(t + a)  px(t)

Từ (2.4) ta thu được:

2 ( p x t a

)

pz t ( )

z t ( )







Vì thế

z t ( )



x(t – a)

p  2 p

hay



x(t - b)

z( t + a - b)

(2.5)

1p  2 p

Từ (2.1) và (2.5), ta có:

' z t ( )

Q t z t a b

( ) (



 

 ) 0

(2.6)

M p (  2 p

Kết hợp với bổ đề 2.1, bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2.3.

Giả sử b > a, p

1,  =1. Nếu phương trình (2.1) có nghiệm dương tùy ý, thì

t b a  

( ) Q s ds



(2.7)



p ( M p

) 1

với t đủ lớn.

Chứng minh.

Bằng phương pháp chứng minh tương tự bổ đề 2.2, ta có bất đẳng thức (2.6), đó là:

' z t ( )

Q t z t a b

( ) (



 

 ) 0

M p (  2 p

Lấy tích phân 2 vế của (2.6) từ t đến t + b – a và dùng tính biến thiên của hàm z(t), ta có:

t b a  

)

Q s ds ( )

z t ( )

z t b a (  







(2.8)



M p (  2 p

  

  

vì z(t) > 0, nên từ (2.8) kéo theo

t b a  

Q s ds ( )

1 0

 

(2.9)



M p (  2 p

với t đủ lớn.

Vậy:

t b a  

( ) Q s ds





p ( M p

) 1

Bổ đề được chứng minh.

2.2. Những kết quả về sự dao động.

Định lí 2.1.

1 

(1,  

Giả sử b > a, p

 và (2.2) thỏa. Nếu



t b a  



Q s ds dt

( )

Q t

)

 

(2.10)



( eM p 2 p

 ( ) ln(  

  

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (2.1)dao động.

Chứng minh.

Bằng phương pháp phản chứng, giả sử phương trình (2.1) có nghiệm dương x(t).

Đặt

z(t) = x(t) + px(t-a)

Khi đó z(t) dương và giảm, thỏa mãn bất đẳng thức:

' z t ( )

Q t z t a b

( ) (



 

 ) 0

(2.11)

M p (  2 p

Đặt

t ( )   

' ( ) z t z t ( )

( )t liên tục và không âm, vì thế tồn tại

với

sao cho:

Khi đó,

t 0

z t  1( ) 0

z t ( )

s ds ( )



z t ( ) exp 1



t 1

   

   

Hơn nữa

( )t thỏa:

t ( )

Q t

( ) exp



s ds ( )



(2.12)



M p (  2 p

t a b  

  

  

Áp dụng bất đẳng thức:

)

x  

, với x > 0 và r > 0

re ln( r

Từ (2.12), ta có:

t ( )

Q t

( ) exp

A t

( ).







M p (  2 p

1 A t ( )

. t a b  

  

 s ds ( )  

ln(

( ))

Q t ( )

s ds ( )









M p (  2 p

1 A t ( )

A t e ( ) A t

t a b  

  

  

trong đó chọn

t b a  

Q s ds ( )

A(t) =



M p (  2 P

Dẫn đến

t b a  



t ( )

Q s ds Q t ( )

( )

( ) ln

Q s ds ( )





s ds Q t ) 



( eM p 2 p

t a b  

  

  

Khi đó với u > T+b – a, ta có:

t b a  

t ( )

Q s ds dt

( )

Q t ( )









t a b  

  

  

  

 s ds dt ( )  

t b a  



Q t

( ) ln

Q s ds dt

( )



(2.13)



( eM p 2 p

  

  

Mặt khác:

u a b  

t b a  

Q t ( )

s dsdt ( )

t ( )

Q s ds dt

( )





(2.14)



t a b  

  

  

Từ (2.13) và (2.14), dẫn đến:

t b a  



t ( )

Q s ds dt

( )

Q t

( ) ln

Q s ds dt

( )





(2.15)



( eM p 2 p

u a b  

  

  

  

  

Áp dụng bổ đề 2.3, ta có:

t b a  



t dt ( )

Q t

( ) ln

Q s ds dt

( )







M p (  2 p

eM p ( 2 p

u a b  

  

  

hay

t b a  

(



Q t

( ) ln

Q s ds dt

( )





z u a b M p ( )  2 p

  ( ) z u

( eM p 2 p

  

  

Theo (2.10), ta phải có

)

 

(2.16)

lim t 

z t a b (   z t ( )

Điều này mâu thuẫn với (2.3).

Định lí được chứng minh.

Định lí 2.2.

 

1

Giả sử b > a, p (1,

 , và tồn tại một hằng số k > 0 sao cho

( ) Q s ds





(2.17)



1 e

t b a  

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (2.1) dao động.

Chứng minh.

Tương tự như chứng minh của định lí 2.1, ta đặt z(t) = x(t)+ px(t-a), có z(t) là một hàm dương,

giảm và thỏa mãn (2.11)

Đặt:

t ( )   

' ( ) z t z t ( )

Ta có bất đẳng thức:

t ( )

Q t

( ) exp

s ds ( )







M p (  2 p

t a b  

  

  

Nếu đặt

Q s ds ( )

B(t) = exp



t a b  

  

  

Khi đó bất đẳng thức trên được viết lại:

B t

B t Q t ( )

( ) exp

s ds ( )

t ( ) ( ) 







M p (  2 p

B t ( ) B t ( )

t a b  

  

  

Áp dụng bất đẳng thức:

x r

1  

, với x > 0 và r > 1

x 2 r

Ta thu được:

( )

B t

( ) ( ) s ds Q t A t

( ) t Q t 



( ) ( ) 





M p (  2 p

t a b  

A t ( )

B t ( )



trong đó

. Khi đó với u > T +b -a, ta có:

M p (  2 p

t B t dt ( ) ( )

Q t ( )

s ds dt ( )

Q t A t dt

( )





(2.18)







M p (  2 p

t a b  

  

  

Do:

u a b  

Q t ( )

s dsdt ( )

t ( )

Q s ds ( )





(2.19)



t a b  

  

  

Từ (1.18) và (1.19) cho ta:

u a b  

t B t dt ( ) ( )

t ( )

Q s ds dt

( )

Q t A t dt

( )









M p (  2 p

t a b  

  

  

và từ đó:

t B t dt ( ) ( )

Q t A t dt

( )









(2.20)



u a b  

Do:

B t ( )

exp

Q s ds ( )







t a b  

  

  

e B t ( ) 



Mặt khác, vì

, với

nên từ (2.20) cho ta:

k 1

k  1

( )

( ) t dt

Q t A t dt







1 k 1

u a b  

hay

)

Q t A t dt

( )





z u a b (   ( ) z u

1 k 1

Theo (2.17), ta thấy tích phân ở vế phải của bất đẳng thức trên phân kỳ khi u

 

Từ đó, ta có:

)

 

lim t 

z t b a (   z t ( )

Điều này mâu thuẫn với (2.3)

Định lí được chứng minh.

Định lí 2.3.

 

1

Giả sử b > a, p (1,

 , và tồn tại một hàm khả vi liên tục

( )t sao cho

' ( ) t



(2.21)

  t

t 0, lim ( ) 

)

' 



(2.22)

lim sup t 

t a b (   ' t ( ) 

1 

t ( )

 

Q t ( )



(2.23)

lim inf t 

t ( )

e ' 

  p 1  2 p 

  

   

   

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (2.1) dao động.

Chứng minh.

Tương tự như trong chứng minh của định lí 2.1, ta nhận xét z(t) là hàm giảm, xác định dương

và thỏa mãn bất đẳng thức:



( )

Q t z ( )

t a b (

' z t M 





 ) 0

(2.24)

  p 1  2 p 

  

Từ (2.21), (2.22) ta có:

)

(2.25)

 1

lim sup t 

t a b (    t ( ) 

T t

Từ (2.22) và (2.25), suy ra tồn tại 0< l< 1,

0 , và

sao cho:

)



 l

t a b (   t ( )

' )  ' 

và

(2.26)

)





t a b ( )    ( ) t 

T

T

với t

. Theo (2.23), ta có thể chọn

sao cho:

( ) t  1  

Q t ( )

t e ( )

' 



(2.27)

  1 p  2 p 

  

( ) t  1  

t e ( ).

' 

Với

, đặt P(t) =

, khi đó P(t) thỏa mãn bất đẳng thức:

t T 0



'( ) z t

P t z ( )



t a b (  

) 0 

(2.28)



thay cho (2.24) (xem  5 ). Ta có z(t+a-b) z(t). Vì thế:



' z t ( )

P t z ( )

t ( )

' z t ( )

P t z ( )







t a b (  

) 0 

và

P t ( )

 

'( ) z t t z ( )

Lấy tích phân 2 vế của bất đẳng thức trên, ta có:

1  

T ( )

 

khi t  

t ( ) 1

1   z  

t ( )

z t , ( )

1   



Kéo theo

. Vì thế tồn tại

sao cho

T 0

'( ) 0 z t 

0 < z(t) < 1,

với t

1T





Đặt y (t) = - lnz(t), với t

, khi đó y(t) > 0 với t

và (2.28) kéo theo

T 2

T b a   1

2T

(

)

y t b a  



' y t ( )

P t e

( ) y t ( )



, với t

2T

Phần còn lại của định lí được chứng minh tương tự như định lí 1 trong 5 .

CHƯƠNG 3. TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRUNG

HÒA ĐỐI SỐ LỆCH

Xét phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch

x t ( )

P t x t a

( ) (

)

Q t x t b ( ) (







t

 , ) 0

(3.1)





d dt

trong đó

i) a, b là những số thực dương.











ii) P



  , 0,

  C t



  Q C t



0 và

Định nghĩa 3.1. Nghiệm

x t của phương trình (3.1) được gọi là ổn định nếu với mỗi 0 ( )

  

> 0 sao cho với mọi nghiệm của phương trình (3.1) thỏa điều kiện

, tồn tại

( ,t ) 0

 

x t (

)

x t ( )







t  t

thì

 ,

x t ( 0

x t  ( ) 0

. 0

Định nghĩa 3.2. Nghiệm

x t của phương trình (3.1) được gọi là ổn định đều nếu với mỗi 0 ( )

( )   

0 , tồn tại

sao cho với mọi nghiệm x(t) của phương trình (3.1) thỏa mãn tại một

x t (

)

x t ( )





 thì

 ,

t  .

điểm

nào đó điều kiện

x t ( 0

x t  ( ) 0

 

Định nghĩa 3.3. Nghiệm

x t của phương trình (3.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu nó 0 ( )

t  

 

 sao cho với mọi nghiệm x(t) của phương trình ) 0

ổn định và với mỗi

, tồn tại

t 0(

x t (

)







thì

   . t

(3.1) thỏa điều kiện

x t0 0 (

x t ( ) 0

x t lim ( ) t 

Trong chương này ta sẽ thiết lập các điều kiện để nghiệm không của phương trình (3.1) là

ổn định đều và tất cả các nghiệm của phương trình đều ổn định tiệm cận.

3.1. Tính ổn định đều và ổn định tiệm cận trong trường hợp P(t) không là hàm hằng.

Định lí 3.1.

P t ( )

p p ,



Giả sử

và

1 2

  

   

t b 

, 2

( ) Q s ds









(3.2)

t 0



1 4

3 2

hoặc

t b 

( ) Q s ds

p  



2(1 2 ), p t 



(3.3)



1 4

1 2

Khi đó nghiệm không của phương trình (3.1) là ổn định đều.

Chứng minh.

Đặt M = max {a,b}, m = min {a.b}.

km b 3

Chọn một số nguyên dương k sao cho

. Với

0 bất kì, đặt:

) 







  ) 2

3 k 







ta có:

Ta sẽ chứng minh với bất kì



 ,  

 ' C t M t , 



 

 

x t  ( ) ,

t

(3.4)

( )

x ss  ( )

, với

trong đó x(t) là nghiệm của phương trình (3.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu

' ', t M t

  

 

Đặt

z(t) = x(t) – P(t)x(t - a)

(3.5)

Ta có kết qủa (Xem Định lí 1 trong  7 ), ta có:

x t ( )





(3.6)





  , t  

m k

Để chứng minh (3.4), bằng phương pháp phản chứng, giả sử (3.4) không đúng, khi đó theo

T t

t T

'  

x T  và ( )

( )x t  với 't

  . Không mất tính tổng quát, giả sử

(3.6), có

sao cho

x T  . Ta có: ( )

x T ( )

P T x T a

( ) (

)





(1  

p  )

 0

(3.7)

( ) z T

và

)

z t (

km x t ) (

z T (

) 



km x t ) ( 



km P t ( ) 



km a 

(1  



)

z t ( ),

z t ( )



km t T  

Từ (3.7), tồn tại

sao cho

= max

và

với

T 0

z T 0(

z T ( 0

 ' t  





km T  , 



km t T   0

Đặt

t

(3.8)

y(t) = z(t) - p, với

Khi đó

-x( t - b) = - z(t - b)- P(t – b)x( t – b - a)

)

 

z t b ( 



 

y t b t ( ), 

  

p 

b t T 0

Từ (3.1) và (3.8), ta có:

)

( ) (

' y t ( )

' z t ( )

Q t x t b ( ) (

Q t y t b t ),



 



 



  

(3.9)

b t T 0

)

z T ( )

p (1 2 )





 

p 



p  , nên ta dễ dàng thấy rằng:

>0.

y T 0(

1 2

)

b

 0

Tiếp theo ta chứng minh :

y T 0(

)

b



 



b

Giả sử ngược lại:

. Khi đó có một lân cận trái

của

, với h >0,

y T 0(

T ( 0

b h T 0

)

b 

b )



. Vì thế theo (3.9), ta thấy

sao cho y(t) > 0 trên

, và y( t - b) > 0 trên

0(T

0,h T

T ( 0

h T , 0

h T ,

z(t) không tăng trên

. Điều này mâu thuẫn với:

T 0(

0 )

)

z t ( ),

z t ( )



km t T  



và

với ' t

z T 0(

z T ( 0

km t T   0

= max 



)





b

 0

sao cho:

y   . ( ) 0

Vậy:

. Do đó, tồn tại



y T 0(

b T , 0

 T 0

Từ (3.9), ta có:

( )

' y t Q t 

  

( ) , 

(3.10)

b t T 0

Lấy tích phân hai vế của (3.10) từ t – b đến  ta được:



)

Q s ds ( )



, 



y t b ( 



 

t T 0



t b 

Kết hợp với (3.9) ta có:



' y t ( )

( )



, 



(3.11)

t T  0

 Q t Q s ds

t b 

Cuối cùng ta chứng minh:

(1 2 )

 



(3.12)

y Tp ) 0(

Ta xét ba trường hợp:

Q s ds ( )

p  



Trường hợp 1.

T 01  , 4



Lấy tích phân 2 vế của (3.11) từ  đến , ta có:



)

( )

Q t Q s dsdt

Q t ( )

Q s ds ( )

Q s ds dt







y T 0(



t b 

T 0   



   

   

T 0

Q s ds dt

p Q s ds

Q t ( )

( )

Q s ds ( )













3 2

  

  

T 0   



   

   

   

 1    2 

   

   

 

(1 2 )p 

Q s ds ( )

p  



Trường hợp 2.

T 01  , 4



T 0

Q s ds  ( )

 đến

và

Chọn

sao cho

. Sau đó lần lượt lấy tích phân trong (3.10), từ

 T

T 1

0



T 1

lấy tích phân trong (3.11) từ

đến

, ta có:



)

( )

Q t dt ( )





y T 0(

 Q t Q s ds

T 1   

t b 

T 0   T 1



T 0

( )

Q t Q s dsdt







t b 

T 1  Q t dt Q s ds 

T 1

   

   

T 1

( )

Q t Q s dsdt



t b 

T 0   T 1

T 0

( )

p Q s ds

( ) Q s ds









3 2

  

  

T 1

 1    2 

   

   

   

= (1- 2p).

T 0

Q s ds ( )

)

p  



2(1 2 

Trường hợp 3.



1 4

1 2



Lấy tích phân trong (3.11) từ  đến

, ta được:

)

( )

sdt

y T 0(

T 0    

  Q t Q s d t b 

( )

Q t ( )

Q s ds ( )

Q s ds dt





t b 



T 0   

   

   

( )

Q t ( )

Q s ds dt



p 2(1 2 ) 







T 0   

   

   

T 0

p Q s ds

( )

Q s ds ( )

2(1 2 ) 







 1    2 

   

   

   

 

(1 2 )p 

Vậy, ta luôn có:

)

(1 2 )

 

p 

y T 0(

)

z T ( )

p (1 2 )





 



p 



Điều này mâu thuẫn với:

y T 0(

Do đó, ta có:

t

x t  , ( )

Định lí được chứng minh.

Định lí 3.2.

P t ( )

p p ,



Giả sử

1 2

   

  và 



Q s ds ( )

 

(3.13)



Nếu

, 2

( ) Q s ds







(3.14)



lim sup t 

3 2

1 4

t b 

hoặc

( ) Q s ds

p  



2(1 2 ) p 

(3.15)



, lim sup t 

1 4

1 2

t b 

t  

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (3.1) tiến về 0 khi

Chứng minh.

Gọi x(t) là một nghiệm của phương trình (3.1). Ta sẽ chứng minh



(3.16)

x t lim ( ) 0 t 

Trường hợp x(t) không dao động, định lí đã được chứng minh (Xem định lí 2 trong  7 ).

Ở đây ta xét x(t) dao động. Đặt z(t) như trong chứng minh của định lí 3.1, nghĩa là: z(t) =

x(t) – P(t)x(t – a)

Theo chứng minh của định lí 3.1, ta có x(t) bị chặn.





Đặt:

. Khi đó 0    và

x t lim sup ( ) t 



(1  

p  )

(3.17)

z t lim sup ( ) t 

0 .

Ta sẽ chứng minh:

p 0, 2(1 2 )



p (0, (1 2 ) 







) 

, tồn tại

và

Ngược lại, giả sử µ > 0. Khi đó với bất kì





3 2

   

  

T t

sao cho:

x t ( )

 

,  

  M t T

và

p p

2 ,





Q s ds ( )

t ≥T (3.18)



t b 

p  

1 4

1 4 1 2

     

Đặt

y(t) = z(t) – p(µ + ε), t ≥ T- b (3.19)

Khi đó

-x (t – b) = - z(t - b) – P(t - b)x(t – b - a)

≤ - z(t - b) + p(µ+ε) = - y(t - b) , t ≥ T

Từ (3.1) và (3.19), ta có:

)

' y t ( )

' z t ( )

Q t x t b ( ) (

Q t y t b ( ) (



 



 



, t ≥ T

(3.20)

z T (

'( ) z t

T a   

 

k khi

Ở đây

là dao động, và có một dãy tăng

 nT sao cho

T n

b T 2 , n

)

)(

( )z t

n  

(1  

p   )



, và

là cực đại địa phương trái của

z T ( n

Khi đó có hai trường hợp:

) 0

Trường hợp 1:

là đơn giản.

z T  ( n

) 0

Trường hợp 2: Ta xét

. Khi đó ta có:

z T  ( n

)

(1 2 )(





 

( )   

)   

 

y T ( n

z T ( n

)



b

 . Vì thế tồn tại

sao

Do định nghĩa của

, ta cũng dễ dàng thấy rằng



ny T (

  n

b T , n

 T n

cho:

ny   . ( ) 0

Từ (3.20), ta có:

( )(





'( ) y t Q t   )

, t ≥ T

(3.21)

Lấy tích phân hai vế của (3.21) từ t - b đến

n , ta được:

 n

)

Q s ds ( )



y t b ( 



( )   

 

,  n

t T n



t b 

Thế vào (3.20), ta có:

 n

' ( ) y t

( )



 

(3.22)

,  n

t T n

 Q t Q s ds ( )   

t b 

Đặt

max 2 , A p p    1 1 , 2 2 1 4    L

Ta có: L < 1 - 2p. Ta sẽ chứng minh:

p      1 2 1 B , 2 4       

(3.23)

ny T (

) (  L   ) 

Xét ba trường hợp:

T n

0 Q s ds ( ) 1 , p   

Trường hợp 1.



 n

Lấy tích phân (3.22), từ

, ta có:

n đến

T n

1 4



 n  ( ) Q t Q s t b 

) ( )  dsdt ( y T n ( )     n

T n

= (



t b 

  )   n

 n

T n

Q t ( ) Q s ds ( ) Q s ds dt ( )         



  ( )   n

 n

T n

Q t A ( ) 2 p Q s ds dt ( )           



 n

( ) A p Q s ds ( ) Q s ds  (    2 )  n  1    2        ) (      



 1  2

= L(µ+ε).

T n

A p 2 ,1   (     ) max     

0 Q s ds ( ) 1. , p   

Trường hợp 2.



 n

T n

1 4

Chọn

sao cho:



   n



 n

Sau đó lấy tích phân (3.21) từ

, ta có:

n đến

n và lấy tích phân (3.22) từ

n đến

T n

, Q s ds ( ) 1 



 n  ( ) Q t Q s t b 

 n ( )     n

T n

 n

T n

 n

) ( ) ( ) Q t dt   dsdt ( y T n ( )     n



t b 

 n  Q t dt Q s ds  n

 n

T n

Q t Q s dsdt ( ) ( ) Q t Q s dsdt ( ) ( ) ( ) ( )   ( )    ( )     n      n    



 n

≤ L(µ+ε).

T n

( ) )( 2 A p Q s ds ( ) Q s ds A p       (    (    ) 1 2 1 2 2 )  n           ) (      

Q s ds B ( ) , p   

.

Trường hợp 3.



 n

Lấy tích phân (3.22) từ

, ta được:

n đến

T n

 n

1 4 1 2



t b 

 n

T n

) ( ) ( ) ( ) Q t Q s dsdt ( ) Q t ( ) Q s ds Q s ds dt    ( y T n ( )     n ( )     n        



 B Q s ds



 n

( ) ( ) ( ) Q t B Q s ds dt ( ) Q s ds    ( )    ( )     n          1    2             

21 B 2

Cả 3 trường hợp cho thấy (3.23) được thỏa, và từ (3.23) có:

L   ( )    (   )

( z T n

n  

Cho

và

0 , ta có:

) (    L p   )( )

) 

K ) ( p   L p  (1   )  z T n lim sup ( n 

Điều này mâu thuẫn với (3.17). Do đó

Định lí được chứng minh.

0 .

Định lí 3.3.

Giả sử 0 ≤ P(t) ≤ p ,

và



b N ( 

1) 

p 0, p p   1 1 2 3 2      và tồn tại một số nguyên dương N sao cho 

, t ≥

(3.24)



Khi đó nghiệm không của phương trình (3.1) là ổn định đều

2 1 p p ( ) Q s ds    1 4 3 2      

Chứng minh.

Đặt M = max 

,a b , m = min

,a b

Chọn một số nguyên dương k sao cho km ≥ 2(3b + Na). Với ε > 0 bất kì,



đặt

p (1 )   p (1 p     ) 2 3 k 



ta luôn có:

Ta sẽ chứng minh với bất kì



 ,  

 ', ' C t M t 



t  t

, ,  t t    

. '

x(s) =

( )x t  ,

trong đó x(t) là nghiệm của phương trình (3.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu

()s ,

', ' t M t

với

Tương tự như định lí 3.1, ta có

s     





x t ( ) 2 p 3 t , t      t ,   m  k

Kéo theo

x t ( ) t k t ,     m ' t

x t ( ) t t ,    m k

Tiếp theo ta chứng minh:

'  

Bằng phương phản chứng, giả sử có

sao cho

Không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng x(T) = ε. Vì vậy (3.7) là đúng và tồn tại

T t km x T  và ( ) ( )x t  , với   . t T

',t

với

, khi đó có

và

sao cho

 ' t  





hai khả năng xảy ra:

) max z t ( ) km t T z t ( ) )     t  z T 0( T 0 z T ( 0 km t T   0 km T  , 

z(t) > 0,

 T 0



t (3   b N (   a T 1) ). 0

hoặc

sao cho

Tồn tại

 T 0



0   T , 

(3 1) ), z z t t   b N (   ( ) 0, ( ) 0,    a T 0

Xét khả năng 1: z(t) > 0.

Ta có:

i , 

x t ( ) p t (3 ) , (     

, i=1, 2, …, N

(3.25)

 T 0



và

b N i a T  0

'( ) z t Q t ( ) 





) P t b x t b a ) ( ( )  z t b (     

 T 0



N   

Đặt

Q t ( ) ) P , t   z t b (     b T 2 , 0  

y(t) = z(t) -

(3.26)

Khi đó

' y t ( )

' z t ( )

,Np t  ' t

(3.27)

 T 0



Q t x t b ( ) ( ) Q t y t b t ), ( ) (          b T 2 , 0

Tương tự, chứng minh của định lí 3.1, từ (3.27) dễ dàng kết luận được

) b  0 y T 0(

N 

Hơn nữa:

) z T ( ) p (1 p p 0       )  y T 0(

Do đó tồn tại:

sao cho:

y   ( ) 0



 T 0

Từ (3.26) và (3.27), ta có:

  b T , 0

' y t Q t p 

N , 

(3.28)

 T 0



, ta có:

Lấy tích phân (3.28) từ  đến



( ) ( ) t   b T 2 , 0

N 

 0 T

0



t b 

Thế vào (3.27), ta có:

' y t ( )

) p Q s ds t ( ) , b T ,  y t b (    

N 

(3.29)

 T 0

0

  p Q t Q s ds t , t b 

b T , ( ) ( )   

Có hai trường hợp xảy ra:

T 0

Q s ds ( ) p 1  

Trường hợp 1.





Lấy tích phân (3.29) từ ξ đến

ta có:

T 0 N   

  Q t Q s d t b 

) p ( ) ( )  s y T 0(





T 0 N   

t b 

p Q t ( ) Q s ds ( ) Q s ds dt ( )         





T 0 N   

T 0

(1 p p )   p Q s ds dt Q t ( ) ( )   )(3 2        

N 















) 

 1

2

T 0

(1 p p )   p Q s ds ( ) Q s ds ( ) )(3 2  1    2             

Q s ds ( ) p 1  

Trường hợp 2.





T 0

sao cho:

. Sau đó lần lượt lấy tích phân (3.28) từ ξ đến

và lấy

Chọn 1 T



T 1

tích phân (3.29) từ

đến

, ta có:



) Q s ds ( ) p 1   T0 ( ,



T 1 N   

t b 

T 0 N   T 1



T 0

T 1

) p Q t dt ( ) p Q t Q s dsd ( ) ( ) t   y T 0(

N 



 p Q s ds ( )





T 1  Q t dt Q s ds 

t b 

T 1

T 0

T 1

p ( ) ( ) Q t Q s dsdt ( ) ( )           

N 





t b 

T 1

T 0

p Q t Q s dsdt ( ) ( ) p Q s ds ( ) Q s ds ( )                   

N 



T 1

(1 p p ) (1 p p )     p ( ) Q s ds ( ) Q s ds p ( ) Q s ds     )(3 2 1 2 )(3 2                        

N 

) 

 1  

2

Vậy cả 2 trường hợp cho thấy:

p p (1 p p   

(3.30)

) (1 p    )N p  y T 0(

)N p 

Điều này mâu thuẫn với:

) y T ( ) (1 p     y T 0(

sao cho ( ) 0

(3 1) ),   b N (   z   , z(t) > 0,

Xét khả năng 2: Tồn tại

 T 0



a T 0

, ta có:

 T

0,

' z t Q t 

(3.31)

và



' z t ( )

( ) t   ( ) ,  t T 0



(3.32)





b N ( 

a 1) ) 

Q t ( ) p Q s ds ( )   ,    t T 0        

Có hai trường hợp xảy ra:

T 0

Q s ds ( ) p 1  

Trường hợp 1.

.





Lấy tích phân (3.32) từ ξ đến

, ta có





b N (

T 0   

3  

1) 

) Q t ( ) Q s ds dt ( )  z T ( 0  p       



b N (

T 0   



T 0   



3  

1) 

T 0

(1 p p )   Q t ( ) p Q s ds ( ) Q s ds dt ( ) Q t ( ) p Q s ds dt ( )       )(3 2                







p 3 2   Q s ds ( ) Q s ds ( )  p 2  1    2             

≤ (1 - p)ε .

T 0

Q s ds ( ) p 1  

Trường hợp 2.

.





T 0

Chọn

sao cho

. Sau đó lần lượt lấy tích phân (3.31) từ ξ đến

và lấy



T 2

tích phân (3.32) từ

đến

, ta có:



) Q s ds ( ) p 1   T 2 T0 ( ,



T 2   



b N ( 

1) 

T 0   T 2



T 0

) Q t dt ( ) Q t ( ) Q s ds dt ( )   z T ( 0  p       





 p Q s ds



(

T 2  Q t dt Q s ds 



b 3  

1) 

T 2

T 0

T 2

( ) ( ) ( ) Q t ( ) Q s dsdt ( )           





 p Q s ds



b N (



3  

1) 

T 2

T 0

Q t ( ) Q s dsdt ( ) ( )          



T 2

= (1 – p) ε.

Vậy trong cả 2 trường hợp ta có:

(1 p p ) (1 p p )     Q s ds ( ) Q s ds ( ) p     )(3 2 )(3 2 1 2                

(3.33)

) (1   p  ) z T 0(

. p  )

Điều này mâu thuẫn với:

Do đó, ta phải có:

) z T ( )  (1   z T 0(

Vậy

x t ( ) t t ,    m . k

Định lí được chứng minh.

Tương tự định lí 3.2 và 3.3, kết hợp với bổ đề sau.

t  t ( )x t  ,

Bổ đề: (Xem Bổ đề 6.4.1 trong  5 ). Cho phương trình







x t ( ) P t x t a ( ) ( ) Q t x t b ( ) ( t     t  ) 0, d dt

  .

trong đó



 P C t 0, 

  t 0, 

Gọi x(t) là một nghiệm dương của phương trình trên

Đặt z(t) = x(t) + P(t)x(t – a).



, Q , ,a b      

Giả sử



Khi đó các phát biểu sau là đúng:

 i z(t) là một hàm giảm.

Nếu P(t) ≤ - 1 thì z(t) < 0.



ii

Q s ds ( )  



iii Nếu - 1≤ P(t) ≤ 0 thì z(t) >0 và lim ( ) 0



Từ đó, ta đưa ra định lí sau về tiêu chuẩn tiệm cận của nghiệm cho phương trình (3.1), đó là:

z t  .

Định lí 3.4.

Giả sử 0 ≤ P(t) ≤ p,

và tồn tại số nguyên dương N sao cho



p p 0, p   . 1 3 2 1 2      

Nếu



và

Q s ds ( )  



)



b N ( 

1) 

p p 2 (1 ) Q s ds ( )    lim sup t  1 4 3 2

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (3.1) dần về 0 khi

t  

3.2. Tính ổn định đều và ổn định tiệm cận trong trường hợp P(t) là hàm hằng

Định lí 3.5.

N 4 p 

và tồn tại một số nguyên dương N sao cho

và

Giả sử

(

t b N  

1) 

( )P t 0, p 1 p , 1 2      

(3.34)



Q s ds ( ) (1 p t ), t    p p ) 3 4  2(1 

Khi đó nghiệm không của phương trình (3.1) là ổn định đều.

Chứng minh.

Đặt M = max 

,a b , m = min

,a b

Chọn một số nguyên dương k sao cho km ≥ 2( b + Na). Với ε > 0 bất kì, đặt



p (1 )   p (1 p     ) 2 3 k 



, ta có:

Ta sẽ chứng minh: Với bất kì

 ' C t M t , 



t t , (   , )      

x t ( ) t ,  t '

, với

trong đó x(t) là nghiệm của phương trình (3.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu

( ) x ss  ( )

' ', t M t

Đặt: z(t) = x(t) – P(t)x(t – a).

Tương tự như định lí 3.1, ta có:

s     





x t ( ) 2 p 3 t t , t m k     ,     

Tiếp theo ta chứng minh:

T t

'  

Bằng phương pháp phản chứng, giả sử điều này không đúng, khi đó theo (3.6) có

t T

 

sao cho x(T) = ε và

x t ( ) t ,  t '

. Không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả rằng

x(T) = ε.

( )x t  , với

Vì vậy: z(T) = x(T) – P(T)x(T – a ) > (1 – p)ε > 0 và tồn tại

 ' t  

km T  , T 0 

sao cho:

và

với ' t





) max z t ( ), t z t ( ) )   km t T    z T 0( z T ( 0 km t T   0

N , 

(3.35)

Đặt:

Khi đó:

1 

p t t y t ( ) z t ( )    1 p  N p 1 





1 

) p z t b ia ( ) p x t b Na ( )  x t b (        

N 





i o 

Từ (3.1) và (3.35) ta có:

' y t ( )

' z t ( )

p z t b ia ( ) p ), ( b N ( 1)           p y t b ia T   0 a t T   0

(3.36)

và

Q t x t b t ), ( ) (      ' t

1 

' y t ( )

(3.37)





Q t ( ) ), ( b N ( 1) a t        p y t b ia T   0 T 0

N 

Dễ dàng thấy rằng:

p (1 (1 2   )  ) z T ( )    y T ( 0  1 )(1 N p p p ) N p  p 1 

Tiếp theo ta đi chứng minh: Tồn tại

 0,1,...,

 1

0(y T

j N ja) 0  b    sao cho:  . Giả sử ngược lại,

với h

với j = 0, 1, 2,…, N-1. Khi đó có một lân cận trái





ja ja ) b   b   b    0 y T 0( j a h T 0, 

> 0 của

sao cho y(t) > 0 trên



 , và y (t – b – ja) > 0 trên ja

0 b 

b   ,h T ja  b  ja

. Vì thế theo (3.37), ta thấy y(t) không tăng trên

. Điều

, với

 0,1,..., 

 1

này mâu thuẫn với định nghĩa của T 0

Vậy

) ) j N T ( 0 h T , 0 T ( 0 h T , 0

, với

 0,1,...,

  . 1

j N ja )  b    0 y T 0(

Do đó tồn tại

sao cho y(ξ) = 0 và y(t) > 0,



 T

 T 0

0,

Từ (3.36), ta có:

b N ( 1) , t     a T 0

'( ) y t Q t  ( ) , 

(3.38)

t   t T 0

Nếu t - b - ia ≤ ξ với

, khi đó lấy tích phân trong (3.38) từ t - b - (N

 T 0



-1)a đến ξ ta được:



t b N ( 1) ,     a T 0



, t - b - ia ≤ ξ



(

t b N  

1) 

) Q s ds ) (  y t b ia (   

  

Nếu

với

khi đó, tương tự ta có

 T 0





 t b N ( 1) ,     t b ia T 0 a T 0



, ξ ≤ t - b - ia ≤



(

t b N  

1) 

Kết hợp với (3.37), ta có:



' y t ( )

) 0 Q s ds ) (  y t b ia (    

(3.39)



(

t b N  

1) 

Q s ds ( ) Q t ( )  ,   t T 0 p 1   p 1 

Có hai trường hợp xảy ra:

Q s ds ( ) 1 

Trường hợp 1.

.

TNp 1   1 p  

Lấy tích phân (3.39) từ ξ đến

, ta có:





T 0   

t b N ( 

1) 

Q ) Q t ( )  s dsdt ( ) y T ( 0 p 1  p 1 



(

T 0   



t b N  

1) 

Q t ( ) Q s ds ( ) Q s ds dt ( )  p 1  1 p         



T 0   



T 0

Q t ( ) (1 p ) Q s ds dt ( )   p p ) p 1  1 p  3 4  2(1         

T 0 )







p Q s ds (1 ( ) Q s ds ( )   p p ) p 1  p 1   1    2       3 4   2(1      

(1 p   )  1 2 p  N 1 p 

Q s ds ( ) 1 

Trường hợp 2.

.

TNp 1   1 p  

TN 0

Chọn

sao cho:

. Sau đó, lần lượt lấy tích phân (3.38) từ ξ đến

và

 T

0



T 1

lấy tích phân (3.39) từ

đến

, ta có:



Q s ds ( ) 1  , T 1 1 p  1 p 



(

T 1   

t b N  

1) 

T 0   T 1



) Q t dt ( ) Q t ( ) Q s ds ( )   dt y T ( 0 p 1  p 1 



(

T 1  Q t dt Q s ds 

t b N  

1) 

T 0   T 1

T 1

( ) ( ) Q t ( ) Q s dsdt ( )   p 1  1 p  p 1  1 p 



(

t b N  

1) 

T 0   T 1

T 0

T 0 )

Q t ( ) Q s dsdt ( ) p 1  1 p 



T 1

(1 ( ) p Q s ds ( ) Q s ds    ) p p p 1  1 p   1    2       3 4   2(1      

Cả hai trường hợp cho thấy:

(1 p  )  1 2 p  N 1 p 

(3.40)

) (1   ) p  ( y T 0 1 2 p  N 1 p 

N 

Điều này mâu thuẫn với:

Định lí được chứng minh.

Tương tự định lí 3.2, định lí 3.5, kết hợp với bổ đề sau

p (1 (1 2   )  ) z T ( )    y T ( 0  1 )(1 N p p p ) N p  p 1 

Bổ đề: (Xem Bổ đề 6.4.2 trong  5 ) Cho phương trình:







x t ( ) px t a ( ) Q t x t b ( ) (      , t ≥ ) 0 d dt

  .

trong đó



p   1 , \

  Q C t 0, 

Gọi x(t) là một nghiệm dương của phương trình trên.

Đặt z(t) = x(t) +px(t-a).



,  ,a b  , 

Giả sử



Khi đó các phát biểu sau là đúng:

Q s ds ( )  

(i)

z(t) là một hàm giảm và hoặc lim ( ) z t



(ii) Các phát biểu sau là tương đương:

z t  .   hoặc lim ( ) 0 t

  z t lim ( ) t 

b. p < -1.

(iii)

Các phát biểu sau là tương đương:

. c.   x t lim ( ) t 

b. p > -1.

 z t lim ( ) 0 t 

Ta đưa ra định lí sau, về một tiêu chuẩn tiệm cận của nghiệm cho phương trình (3.1), đó là

c. .  x t lim ( ) 0 t 

Định lí 3.6.



N p 

và tồn tại một số nguyên dương N sao cho 4

. Nếu

Giả sử



( )P t Q s ds ( ) p 0, 1   p , 1 2       

và



( b N

(  

1) )  a

Q s ds ( ) (1 p )   lim sup t  p p ) 3 4  2(1 

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (3.1) dần về 0 khi

t  

KẾT LUẬN

Như vậy luận văn đã trình bày tính ổn định của nghiệm, sự tồn tại nghiệm dao động

cho phương trình vi phân đối số lệch cấp một loại trung hòa bao gồm trường hợp tuyến

tính và không tuyến tính. Các kết quả trong 3 bài báo không trùng lặp và bổ sung cho

nhau để có những cách nhìn mới trong ứng dụng về sự dao động của nghiệm cho

phương trình vi phân đối số lệch cấp một.

Chương 1 trình bày một số kết quả về sự dao động của nghiệm cho phương

trình vi phân đối số lệch bậc một dạng (1.1) hay tổng quát hơn dạng (1.2).

Chương 2, luận văn xét tính dao động của nghiệm cho phương trình phi tuyến

(2.1) với p là hằng số lớn hơn 1, trong đó hàm f liên tục và thỏa mãn u.f(u) > 0 khi u

≠ 0.

Chương 3 xét tính ổn định của nghiệm cho phương trình tuyến tính (3.1) với

P(t), Q(t) là hàm liên tục. Đặc biệt khi P(T) là hàm hằng luận văn chỉ xét trường hợp

P(T) p với 

Qua quá trình nghiên cứu để thực hiện luận văn tôi học tập được một số kĩ

thuật để xác định tính ổn định của nghiệm, sự dao động của nghiệm cho phương trình

vi phân đối số lệch bậc một.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn vẫn còn có nhiều hạn chế , do

vậy tôi mong muốn được tiếp tục nghiên cứu thêm về các vấn đề đặt ra trong phương

trình vi phân đối số lệch loại trung hòa bậc một loại tuyến tính hoặc không tuyến tính.

p 0, 1 2       

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Proceeding of the Edinburgh Mathematical Society (2002) 45,33 –347.  2 John R.Graef, R. Savithri, E.Thandapani, Oscillation of First Order Neutral Delay

Differential Equations, Electronic Journal of Qualitative, Theory of Differential

Equations (2004) 12,1 - 11.

 3 Christos G. Philos and Ioannis K. Purnaras, Asymptotic Properties, Nonoscillation,

and Stability for Scalar First Order Linear Autonomous Neutral Delay Differential

Equations, Electronic Journal of Differential Equations (2004) 03, 1 – 17.  4 G. S. Ladde, V. Lakshmikantham and B. G. Zhang, Oscillation Theory of Differential

Equations with Deviating Arguments (Marcel Dekker, New York, 1987).

.. Gy o ri

and G. Ladas, Oscillation Theory of Delay Differential Equations with

 5 I.

Applications ( Clarendon, Oxford, 1991).  6 X. H. Tang, Oscillation for the First Order Superlinear Delay Differential Equations,

J. London Math. Soc. 65 (2002), 115 - 122.  7 J. S. Yu, Asymptotic Stability for Nonautonomous Scalar Neutral Differential

Equations, J. Math. Analysis Appli. 203 (1996), 850 – 860.  8 Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định,

Nhà xuất bản Giáo dục 2000.  9 Hoàng Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003.

 1 X.H.Tang and XingFu Zou, Asymptotic Stability of a Neutral Differential Equation,