ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ THANH THỦY
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ THANH THỦY
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ
THÁI NGUYÊN - 2017
iii
Mục lục
Mở đầu iv
Chương 1. Phương pháp diện tích 2
1.1 Định lý Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Hệ tọa độ Descarte vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Định lý Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Phương pháp diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Phương pháp diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Định lý Ptolemy và mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner . . . . . . . . 22
1.4 Định lý Ceva và Định lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Bất đẳng thức Erd¨
os-Mordell cho đa giác . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 2. Phương pháp thể tích 35
2.1 Phương pháp thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Phương pháp thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Thể tích qua định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Quan hệ bán kính mặt cầu ngoại-nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . 42
Chương 3. Vận dụng giải bài thi học sinh giỏi 46
Kết luận 56
Tài liệu tham khảo 57
iv
Mở đầu
Hình học là một trong những phân nhánh Toán học xuất hiện sớm nhất của
nhân loại. Nhiệm vụ của hình học có thể được mô tả ngắn gọn là trả lời cho các
câu hỏi về hình dạng, kích thước, vị trí tương đối của các hình khối, và các tính
chất của không gian.
Các phương pháp giải toán trong hình học sơ cấp vốn vô cùng phong phú và đa
dạng. Điều đó hoàn toàn dễ hiểu vì hình học là một môn học truyền thống trong
nhà trường phổ thông và các trường đại học sư phạm. Dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ, tác giả luận văn này có mục đích trình bày về các phương
pháp diện tích và thể tích trong hình học và những thảo luận về các bài thi học sinh
giỏi, nhằm làm phong phú lý thuyết vừa trình bày và tạo cái nhìn đa chiều nhiều
khía cạnh hơn cho giải toán hình học.
Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Chỉ mục, nội dung của
luận văn được trình bày trong ba chương:
•Chương 1. Phương pháp diện tích. Chương này sẽ trình bày các kết quả
về phương pháp diện tích và ứng dụng vào giải toán hình học sơ cấp. Các
chủ đề sẽ được thảo luận là các Định lý Pythagore, Định lý Stewart, Ceva,
Menelaus và Bất đẳng thức Erd¨
os-Mordell cho đa giác.
•Chương 2. Phương pháp thể tích. Chương này dành để trình bày về phương
pháp thể tích trong hình học, đặc biệt lưu ý đến thể tích qua định thức và
một quan hệ liên quan đến bán kính của mặt cầu nội và ngoại tiếp.
•Chương 3. Vận dụng giải bài thi học sinh giỏi. Chương này sẽ trình bày lời
giải của một số bài thi học sinh giỏi điển hình liên quan đến các phương
pháp diện tích và thể tích của Chương 1 và Chương 2.
v
Tác giả hi vọng rằng, bản luận văn này có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích
cho những ai quan tâm đến Hình học sơ cấp và ứng dụng. Nó sẽ có ích trong việc
bồi dưỡng giáo viên, các học sinh khá giỏi, và những ai quan tâm đến toán sơ cấp
và muốn mở rộng nhãn quan nói chung.
Luận văn này đã được tác giả đầu tư nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ nhưng do nhiều lí do, luận văn chắc chắn sẽ không tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả mong muốn sẽ nhận được nhiều đóng góp của các
quý Thầy Cô, các anh chị em đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh hơn.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2017
Tác giả
Phạm Thị Thanh Thủy