Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận
bằng phép chia đa thức
Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn
Ngày 16 tháng 4 năm 2020
A. Dẫn nhập
Cho Alà ma trận vuông cấp n. Khi đó ta định nghĩa lũy thừa bậc kcủa A(với klà số tự
nhiên), ký hiệu là Ak,là tích klần của ma trận A, tức là
Ak=A·A·. . . ·A
|{z }
klần
.
Lũy thừa của ma trận xuất hiện tự nhiên trong tính toán, ví dụ trong việc giải phương
trình vi phân. Vì vậy, nắm được kỹ thuật lũy thừa là một việc hữu ích.
Có hai cách khả dĩ để thực hiện lũy thừa: Một là thông qua chéo hóa ma trận. Hai là
thông qua định lý Cayley-Hamilton và phép chia đa thức.
Thông qua chéo hóa ma trận Giả sử Achéo hóa được. Khi đó tồn tại ma trận Ckhả
nghịch, sao cho
C−1AC =
λ1
λ2...
λn
.
Đặt D=C−1AC. Ta suy ra A=CDC−1và Dk=
λk
1
λk
2...
λk
n
.
Do đó,
Ak= (CDC−1)k= (CD C−1)·(C
|{z }
triệt tiêu
D C−1)·(C
|{z }
triệt tiêu
DC−1)·. . . ·(CDC−1).
Ta suy ra Ak=CDkC−1.Như vậy, nếu xác định được ma trận Cthì ta hoàn toàn có thể
tính được lũy thừa bậc kcủa Anhờ các thông tin từ quá trình chéo hóa.
Trong bài viết này, tôi muốn trình bày cho các bạn sinh viên cách thứ hai để tính lũy thừa
ma trận, đó là thông qua định lý Cayley-Hamilton và phép chia đa thức, với mục đích
giúp các bạn sinh viên mở rộng kỹ thuật tính toán.
1
B. Định lý Cayley-Hamilton và phép chia đa thức
Khái niệm đa thức của ma trận Đa thức (1 biến) là một biểu thức có dạng f(x) =
c0xn+c1xn−1+. . . +cn−1x+cnvới cilà các số và xlà ẩn.
Xét Alà ma trận vuông. Ta định nghĩa f(A) = c0An+c1An−1+. . . +cn−1A+cnIvới Iở
cuối là ma trận đơn vị cùng cấp. Khi đó f(A)là một ma trận vuông cùng cấp với Avà biểu
hiện nhiều tính chất từ A.
Định lý (Cayley-Hamilton (thừa nhận, không chứng minh)).Cho Alà ma trận vuông nào
đó. Ký hiệu PA(x) = det(A−xI)là đa thức đặc trưng của A. Khi đó PAbị triệt tiêu bởi A,
tức là PA(A) = 0 (lưu ý: 0 ở đây là ma trận 0 cùng cấp với A).
Tiếp theo là ta trình bày về phép chia đa thức.
Phép chia đa thức Nếu các bạn còn nhớ phép chia số học thông thường, tức là nếu bạn
có hai số tự nhiên a, b, và bạn đem số này chia cho số kia, bạn sẽ thu được thương và một số
dư. Điều tương tự cũng xảy ra với đa thức. Cụ thể như sau:
Cho f(x), g(x)là hai đa thức không tầm thường (tức không ≡0). Khi đó, tồn tại duy
nhất đa thức q(x)và r(x)thỏa mãn f(x) = g(x)q(x) + r(x)và bậc của r(x)nhỏ hơn hẳn
bậc của g(x)(ý tô đậm này quan trọng).
C. Vận dụng phép chia đa thức như thế nào để tính
được lũy thừa ma trận?
Giả sử ta có ma trận Avà được yêu cầu tính lũy thừa Ak.Ta thấy là Akchính là đa thức
f(A)với f(x) = xk.
Bây giờ ta chia f(x)cho đa thức đặc trưng PA(x).Khi đó, tồn tại duy nhất đa thức q(x)
và r(x)sao cho f(x) = PA(x)q(x) + r(x),trong đó r(x)là đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của
PA(x).
Ta thay x=Avào biểu thức, lưu ý rằng PA(A) = 0,và thu được
Ak=f(A) = PA(A)q(A) + r(A) = 0 ·q(A) + r(A) = r(A).
Như vậy, việc tính lũy thừa Akquy về xác định đa thức dư r(x).
Câu hỏi Việc làm này có giúp giảm phức tạp tính toán không?
Câu trả lời là có. Lý do: thông thường, klà một số lớn. Trong khi đó, bậc của r(x)bé hơn
bậc của PA(x),và bậc của PA(x)bằng cấp của ma trận A.
Do đó tính r(A)sẽ quy về tính lũy thừa bậc nhỏ của A. Điều này hoàn toàn khả dĩ nhờ
tính bằng tay, hoặc dùng công cụ tính toán online.
Câu hỏi Xác định r(x)như thế nào?
Giả sử Alà ma trận vuông cấp n. Khi đó r(x)là đa thức bậc < n. Như vậy ta phải xác
định nhệ số của r(x) = c0+c1x+c2x2+. . . +cn−1xn.
Để xác định các hệ số này, ta thay x=λilà nghiệm của PA(x)(tức các giá trị riêng của
A) vào đẳng thức f(x) = PA(x)q(x) + r(x).
Khi đó, ta thu được f(λi) = PA(λi)q(λi) + r(λi) = r(λi) = c0+c1λi+c2λ2
i+. . . +cn−1λn
i.
Đây là một phương trình tuyến tính với các hệ số c0, c1, . . . , cn−1.
Từ các phương trình tuyến tính này, ta giải ra các hệ số c0, c1, . . . , cn−1.
2
D. Quy trình tính lũy thừa ma trận bằng phép chia đa
thức
Ta tóm tắt các bước đã phân tích ở trên thành một quy trình tính toán như sau. Đầu tiên,
nhắc lại là ta cần tính lũy thừa Akcủa ma trận vuông Acấp n. Ta giả sử Acó ngiá trị riêng
phân biệt.
•Bước 1: Tính đa thức đặc trưng PA(x) = det(A−xI),có thể đổi dấu PA(x)cho tiện
tính toán, không ảnh hưởng tới kết quả cuối cùng.
•Bước 2: Xác định đa thức dư r(x)trong phép chia đa thức xk=PA(x)q(x) + r(x)bằng
cách thay x=λ1, λ2, . . . , λnvào phép chia để thu được nphương trình tuyến tính theo
nẩn là các hệ số của đa thức r(x).
•Bước 3: Giải hệ phương trình tuyến tinh thu được và xác định chính xác r(x).
•Bước 4 - Kết luận:Ak=r(A),tính cụ thể r(A)bằng tính tay hoặc nhờ máy tính
online.
E. Ví dụ
Đề bài Tính lũy thừa sau 3 2
2 02020
.
Giải Đầu tiên, đa thức đặc trưng
PA(x) =
3−x2
2−x=−(3 −x)x−4 = x2−3x−4 = (x+ 1)(x−4).
Như vậy Acó hai giá trị riêng phân biệt là -1 và 4.
Bước 2-3: Ký hiệu r(x)là đa thức dư trong phép chia x2020 =PA(x)q(x) + r(x).Khi đó
r(x)là đa thức có bậc bé hơn 2, do đó ta viết r(x) = ax +b. Ta cần xác định các hệ số a, b.
Thay x=−1ta thu được −a+b=r(−1) = (−1)2020 = 1.
Thay x= 4 ta thu được 4a+b=r(4) = 42020.
Giải hệ phương trình tuyến tính trên, ta thu được a=42020
−1
5và b=42020+4
5.
Kết luận:
A2020 =r(A) = 42020 −1
5A+42020 + 4
5I.
Tức là
3 2
2 02020
=42020 −1
53 2
2 0+42020 + 4
51 0
0 1=42021+1
52·42020
−1
5
2·42020
−1
5
42020+4
5.
3
F. Bài tập vận dụng
Tính các lũy thừa ma trận sau:
(a) 1 0
−1 210
.
(b) 1 0
6−130
.
(c)
26 28 −10
−23 −25 8
7 8 −1
2020
Lưu ý Các bạn nên tính theo cả hai phương pháp. Mục đích là nắm được kỹ năng.
4