Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y<br />
<br />
NG VI T HÙNG<br />
<br />
Facebook: LyHung95<br />
<br />
04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P3<br />
Th y ng Vi t Hùng<br />
IV. PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ Khái ni m: Là phương trình có d ng a f ( x ) .b g ( x ) = c, (1) trong ó a, b nguyên t cùng nhau, f(x) và g(x) thư ng là hàm b c nh t ho c b c hai. Cách gi i: L y logarith cơ s a ho c cơ s b c hai v c a (1) ta ư c<br />
<br />
(1) ⇔ log a ( a f ( x ) .b g ( x ) ) = log a c ⇔ log a a f ( x ) + log a b g ( x ) = log a c ⇔<br />
<br />
f ( x) + g ( x) log a b = log a c,<br />
<br />
( 2).<br />
<br />
(2) thu ư c là phương trình b c nh t c a x, ho c phương trình b c hai có th gi i ơn gi n. Chú ý: Nh ng d ng phương trình ki u này chúng ta c g ng s d ng tính ch t c a hàm mũ bi n vi c logarith hóa hai v v i c = 1 s cho phương trình thu ư c ơn gi n hơn r t nhi u. Ví d 1: [ VH]. Gi i các phương trình sau a) 3x.2 x+1 = 72 b) 5x.3x = 1 Hư ng d n gi i:<br />
2<br />
<br />
i sao cho c = 1. Khi ó<br />
<br />
c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x<br />
<br />
3x.2 x +1 = 1 ⇔ 3x − 2.2 x − 2 = 1 ⇔ 6 x −2 = 1 x = 2. → 9.8 V y phương trình có nghi m x = 1.<br />
<br />
a) 3x.2 x +1 = 72 ⇔<br />
2<br />
<br />
b) 5x.3x = 1 ⇔ log 3 5 x.3x<br />
<br />
(<br />
<br />
2<br />
<br />
) = log 1 ⇔ log 5<br />
3 3<br />
<br />
x<br />
<br />
+ log 3 3x = 0 ⇔ x log 3 5 + x 2 = 0<br />
2<br />
<br />
x = 0 ⇔ x ( log 3 5 + x ) = 0 → x = − log 3 5 V y phương trình ã cho có hai nghi m x = 0 và x = –log35.<br />
x ( 3lg 7 − 2lg 5 ) = 0 ⇔ x = 0. → V y phương trình ã cho có nghi m x = 0.<br />
<br />
c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x ⇔ 8.73 x = 8.52 x ⇔ 73 x = 52 x ⇔ lg 73 x = lg 52 x ⇔ 3 x.lg 7 − 2 x.lg 5 = 0<br />
<br />
( )<br />
<br />
( )<br />
<br />
Ví d 2: [ VH]. Gi i các phương trình sau: a) 5<br />
x x +1 .8 x<br />
<br />
= 500<br />
<br />
b) 5<br />
<br />
x<br />
<br />
2 x −1 .2 x +1<br />
<br />
= 50<br />
<br />
c) 2 x −3 = 5 x Hư ng d n gi i:<br />
<br />
2<br />
<br />
−5 x + 6<br />
<br />
d) x 2lg x = 10 x<br />
<br />
a) 5<br />
<br />
x<br />
<br />
x +1 .8 x<br />
<br />
= 500,<br />
3<br />
<br />
(1) .<br />
2<br />
<br />
i u ki n: x ≠ 0.<br />
x −3 2 x 3− x<br />
<br />
x −3 x−3 = 5 .2 ⇔ = 5 ⇔ log 2 2 x = log 2 53− x ⇔ = ( 3 − x ) log 2 5 (1) ⇔ x x = 3 ⇔ ( log 2 5 ) x 2 − 3 ( log 2 5 − 1) x − 3 = 0 → 1 x = log 5 2<br />
<br />
x +1 3 x 5 .2 x<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
b) 5 x.2 x +1 = 50,<br />
<br />
2 x −1<br />
<br />
( 2 ).<br />
<br />
i u ki n: x ≠ –1.<br />
2 x −1<br />
−1<br />
<br />
( 2 ) ⇔ 5x.2 x +1<br />
<br />
2 x −1 −1 2x −1 = 1 ⇔ log 2 5 x − 2.2 x +1 = log 2 1 = 0 ⇔ − 1 + ( x − 2 ) log 2 5 = 0 x +1 x = 2 x − 2 = 0 (1 + log 2 5) 1 ⇔ x − 2 + ( x − 2 )( x + 1) log 2 5 = 0 → ⇔ x = − =− 1 + ( x + 1) log 2 5 = 0 log 2 5 lg 5 <br />
<br />
2 x −1<br />
<br />
= 52.2 ⇔ 5 x − 2.2 x +1<br />
<br />
Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn<br />
<br />
t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br />
<br />
Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y V y phương trình có hai nghi m x = 2 ; x = − c) 2 x −3 = 5 x<br />
2<br />
<br />
NG VI T HÙNG<br />
1 . lg 5<br />
<br />
Facebook: LyHung95<br />
<br />
−5 x + 6<br />
<br />
⇔ log 2 2 x −3 = log 2 5 x<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
(<br />
<br />
2<br />
<br />
−5 x + 6<br />
<br />
) ⇔ x −3 = (x<br />
<br />
2<br />
<br />
− 5 x + 6 log 2 5<br />
<br />
)<br />
<br />
x = 3 x − 3 = 0 ⇔ ( x − 3) 1 − ( x − 2 ) log 2 5 = 0 → ⇔ x = log 2 50 = log 5 50 x log 2 5 = 1 + 2log 2 5 log 2 5 V y phương trình có hai nghi m x = 3 ; x = log5 50.<br />
<br />
d) x 2lg x = 10 x,<br />
<br />
( 4).<br />
<br />
i u ki n: x > 0.<br />
2<br />
<br />
( 4 ) ⇔ lg ( x<br />
<br />
2lg x<br />
<br />
)<br />
<br />
lg x = 1 x = 10 = lg (10 x ) ⇔ 2lg x − lg x − 1 = 0 ⇔ 1⇔ lg x = x = 10 2<br />
<br />
V y phương trình có hai nghi m x = 10 ; x = 10.<br />
<br />
BÀI T P LUY N TÂP:<br />
Bài 1: [ VH]. Gi i phương trình a) 5x.8 b) 3 .8<br />
x<br />
<br />
x −1 x x x +1<br />
<br />
= 500 = 36<br />
x<br />
<br />
x<br />
<br />
c) 34 = 43<br />
<br />
Bài 2: [ VH]. Gi i các phương trình sau : a) 53− log5 x = 25 x c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3 Bài 3: [ VH]. Gi i các phương trình sau : a) x log 9 + 9log x = 6 c) 4log2 2 x − x log2 6 = 2.3log2 4 x<br />
2 log 3 x 2 −16<br />
2<br />
<br />
b) 9.x log9 x = x 2 d) x<br />
3 2 3( log x ) − log x 3<br />
<br />
= 100. 3 10<br />
<br />
b) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log2 x d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3<br />
lg 100 x 2<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
Bài 4: [ VH]. Gi i các phương trình sau : a) 2<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
+2<br />
<br />
log 3 x 2 −16 +1<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
= 24<br />
<br />
b) 21+( log2 x ) + 224 = x 2log 2 x<br />
2<br />
<br />
c) xlgx −3lg x−4,5 = 10−2lg x<br />
2<br />
<br />
Bài 5: [ VH]. Gi i các phương trình sau : a) 4 x<br />
2<br />
<br />
+ 2 x −8<br />
2 x −1<br />
<br />
= 5x−2<br />
<br />
9<br />
<br />
b) 7 x.2 x+1 = 392 e) 2 x<br />
2<br />
<br />
c) 2 x.39− x = 8<br />
2<br />
<br />
d) 5x.2 x +1 = 50<br />
<br />
−2 x<br />
<br />
.3x =<br />
<br />
3 2<br />
<br />
f) 3x −1 = 5x<br />
<br />
2<br />
<br />
−1<br />
<br />
HƯ NG D N GI I: Bài 1: [ VH]. Gi i phương trình<br />
a) 5 x.8 a) 5 x.8<br />
x −1 x<br />
<br />
= 500<br />
= 500 ⇔ 5 x.2<br />
3( x −1) x<br />
<br />
b) 3x.8 x+1 = 36<br />
= 53.2 2 ⇔ 2<br />
3( x −1) x −2<br />
<br />
x<br />
<br />
c) 34 = 43<br />
x<br />
<br />
x<br />
<br />
x −1 x<br />
<br />
= 53 − x ⇔<br />
<br />
x−3 = ( 3 − x ) log 2 5 ⇔ x<br />
<br />
x = 3 x = − log 5 2<br />
<br />
Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn<br />
<br />
t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br />
<br />
Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y b) 3x.8 x +1 = 36 ⇔ 3<br />
x<br />
3x x+1<br />
<br />
NG VI T HÙNG<br />
<br />
Facebook: LyHung95<br />
<br />
= 22.32 ⇔ 3 x +1 = 4 ⇔<br />
x<br />
<br />
3x<br />
<br />
−2<br />
<br />
x ≠ −1 2 + log3 4 x−2 = log3 4 ⇔ ⇒x= x +1 1 − log3 4 (1 − log3 4 ) x = 2 + log3 4 <br />
<br />
x x 4 c) 34 = 43 ⇔ 4 x = 3x.log3 4 ⇔ = log3 4 ⇒ x = log 4 ( log3 4 ) 3 3<br />
<br />
Bài 2: [ VH]. Gi i các phương trình sau : a) 53− log5 x = 25 x<br />
c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3<br />
<br />
b) 9.x log9 x = x 2 d) x L i gi i:<br />
3 2 3( log x ) − log x 3<br />
<br />
= 100. 3 10<br />
<br />
a) 5<br />
<br />
3− log5 x<br />
<br />
x > 0 x > 0 = 25 x ⇔ 53 ⇔ 3 ⇔ x2 = 5 → x = 5 5 = 52 x 2 = 25 x log5 x 5<br />
<br />
b) 9.x 9 = x 2 ⇔ L y loga cơ s 9 hai v , ta có phương trình : x > 0 x > 0 x > 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x=9>0 2 2 1 + ( log 9 x ) − 2log 9 x = 0 ( log 9 x − 1) = 0 log 9 x = 1 <br />
log x<br />
<br />
c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3 . S d ng công th c : a logc b = blogc a . Phương trình bi n i thành : 3log2 x > 0 ⇔ 9log2 x − x 2 .3log2 x + 3log2 x = 0 ⇔ 3log2 x ( 3log2 x − x 2 + 1) = 0 ⇔ log x ⇔ 3log2 x = x 2 − 1 3 2 − x2 + 1 = 0 <br />
t : t = log 2 x ⇒ x = 2t ↔ x 2 = 4t . Phương trình :<br />
3 1 ⇔ 3log2 x = x 2 − 1 = 3t = 4t − 1 ⇔ + − 1 = 0 . 4 4 3 1 3 3 1 1 Xét hàm s f (t ) = + − 1 → f '(t ) = ln + ln < 0 . 4 4 4 4 4 4 Ch ng t hàm s f(t) là m t hàm s ngh ch bi n. Do f(1) = 0 cho nên v i t = 1 thì phương trình có nghi m duy nh t log 2 x = 1 → x = 2 .<br />
d) x<br />
3 2 3( log x ) − log x 3<br />
<br />
t<br />
<br />
t<br />
<br />
t<br />
<br />
t<br />
<br />
t<br />
<br />
t<br />
<br />
= 100. 3 10 . L y log hai v , phương trình tr thành :<br />
<br />
x<br />
<br />
3 2 3( log x ) − log x 3<br />
<br />
t = log x 2 1 3 = 100. 3 10 ⇔ 3( log x ) − log x log x = 2 + ⇔ 0 < x ≠ 1 3 3 2 7 3t 4 − t 2 − = 0 3 3 <br />
<br />
0 < x ≠ 1 7 t = log x − 7 x = 10 3 ⇔ 0 < x ≠ 1 ⇔ log x = − ⇔ 7 3 2 x = 10 3 t = −1 7 2 7 log x = 3 t = 9 Bài 3: [ VH]. Gi i các phương trình sau : a) x log 9 + 9log x = 6 c) 4log2 2 x − x log2 6 = 2.3log2 4 x<br />
2<br />
<br />
b) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log2 x d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3<br />
lg 100 x 2<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
L i gi i:<br />
0 < x ≠ 1 1 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1 a) x log 9 + 9log x = 6 ⇔ log x ⇔ log x ⇔ 2log x ⇔ ↔ x = 10 2 = 10 1 log x = 3 log x = 9 + 9 = 6 9 = 3 3 2<br />
<br />
Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn<br />
<br />
t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br />
<br />
Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y<br />
<br />
NG VI T HÙNG<br />
log 2 x<br />
<br />
Facebook: LyHung95<br />
= 1 2<br />
<br />
3 b) 3log 2 x + x log2 3 = 63log2 x ⇔ 3log2 x + 3log2 x = 63log2 x ⇔ 2.3log2 x = 63log2 x ⇔ 3 6 <br />
<br />
⇔ log 2 x = log 1<br />
72<br />
<br />
log 1 1 2 ⇔ x = 2 72 2<br />
<br />
1<br />
<br />
c) 4<br />
<br />
log 2 2 x<br />
<br />
−x<br />
<br />
log 2 6<br />
<br />
= 2.3log2 4 x ⇔ 2<br />
2<br />
<br />
⇔ 4.22 log2 x − 6log 2 x = 18.32log2 x<br />
<br />
2 ) − 6log2 x = 2.3( ⇔ 4.22 log 2 x − 6log2 x = 18.32log2 x 3 log2 x x > 0 >0 t = 2 log 2 x ⇔ 6 log2 x ⇔ 2 3 = 18. 4 − 2 2 4 18t + t − 4 = 0<br />
<br />
2(1+ log 2 x )<br />
<br />
2 + 2log x<br />
<br />
t > 0 t = − 1 < 0 3 log2 x 4 3 −2 1 ⇔ ⇒ = = ↔ log 2 x = −2 → x = 2 9 2 4 2 4 t = 9<br />
⇔ 41+ lg x − 6lg x = 2.32+ 2 lg x ⇔ 4.22 lg x − 6lg x = 18.32 lg x . d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3 Chia hai v cho 22 lg x > 0 ta ư c t > 0 3 lg x lg x 2 lg x t = − 1 < 0 3 log2 x 4 3 −2 t = >0 6 3 1 4 − = 18. ⇔ 2 ⇔ ⇒ = = ↔ log 2 x = −2 → x = 2 9 2 4 4 2 2 2 4 t = 18t + t − 4 = 0 9 Bài 4: [ VH]. Gi i các phương trình sau :<br />
lg 100 x 2<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
+ 224 = x 2 log 2 x c) x L i gi i: t > 0 t = 2log3 ( x2 −16) > 0 2 log3 ( x 2 −16 ) log3 ( x 2 −16 ) +1 log ( x 2 −16 ) a) 2 +2 = 24 ⇔ ⇔ t = −6 ⇔ 2 3 = 22 2 t + 2t − 24 = 0 t = 4 2 2 2 2 ⇒ log 3 ( x − 16 ) = 2 ⇔ x − 16 = 3 = 9 ⇔ x = 25 → x = 5 a) 2 b) 2<br />
<br />
2 log 3 x 2 −16<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
+2<br />
<br />
log 3 x 2 −16 +1<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
= 24<br />
<br />
1+ ( log 2 x )<br />
<br />
2<br />
<br />
lg2 −3lg x −4,5 x<br />
<br />
= 10−2lg x<br />
<br />
b) 2<br />
<br />
1+ ( log 2 x )<br />
<br />
2<br />
<br />
+ 224 = x<br />
<br />
2log 2 x<br />
<br />
⇔ 2.2<br />
<br />
( log 2 x )2<br />
<br />
+ 224 = ( 2<br />
<br />
log 2 x 2 log 2 x<br />
<br />
)<br />
<br />
t = 2( log2 x ) > 0 ⇔ 2 t − 2t − 224 = 0 <br />
2<br />
<br />
t > 0 1 −2 log 2 x = −2 2 ( log 2 x )2 4 x = 2 = 4 ⇔ t = −14 ⇔ 2 = 2 ⇔ ( log 2 x ) = 4 ⇔ ⇔ 2 log 2 x = 2 t = 16 = 24 x = 2 = 4 c) x lg x − 3lg x − 4,5 = 10−2lg x<br />
2<br />
<br />
L y lg hai v<br />
<br />
⇒<br />
<br />
(<br />
<br />
lg 2 − 3lg x − 4,5 x<br />
<br />
)<br />
<br />
lg x = 0 x = 1 3− 10 lg x = 3 − 10 ⇔ x = 10 2 2 lg x = −2 lg x ⇔ lg x ( lg x − 3lg x − 4,5 + 2 ) = 0 ⇔ 2 3+ 10 3 + 10 x = 10 2 lg x = 2<br />
<br />
V. PHƯƠNG PHÁP HÀM S Cơ s c a phương pháp:<br />
<br />
GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ<br />
<br />
Xét phương trình f(x) = g(x), (1). N u f(x) ng bi n (ho c ngh ch bi n) và f(x) là hàm h ng thì (1) có nghi m duy nh t x = xo. N u f(x) ng bi n (ho c ngh ch bi n) và f(x) ngh ch bi n (ho c ng bi n) thì (1) có nghi m duy nh t x = xo.<br />
<br />
Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn<br />
<br />
t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br />
<br />
Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y<br />
<br />
NG VI T HÙNG<br />
<br />
Facebook: LyHung95<br />
<br />
Các bư c th c hi n: Bi n i phương trình ã cho v d ng (1), d oán x = xo là m t nghi m c a (1). Ch ng minh tính ng bi n, ngh ch bi n hay h ng s c a (1). D a vào tính ng bi n, ngh ch bi n k t lu n trên ch ng t khi x > xo và x < xo thì (1) vô nghi m. T ư c x = xo là nghi m duy nh t c a phương trình. Chú ý: Hàm f(x) ng bi n thì x2 > x1 f ( x2 ) > f ( x1 ) ; f(x) ngh ch bi n thì x2 > x1 f ( x2 ) < f ( x1 ) → →<br />
Hàm f ( x ) = a u( x ) f ′( x ) = u(′ x ) .a u( x ) .ln a . Khi a > 1 thì hàm s →<br />
<br />
ó ta<br />
<br />
ng bi n, ngư c l i hàm ngh ch bi n. ng bi n (ho c ngh ch bi n), không có tính<br />
c h s và trên lũy<br />
<br />
T ng ho c tích c a hai hàm ng bi n (ho c ngh ch bi n) là m t hàm ch t tương t cho hi u ho c thương c a hai hàm.<br />
<br />
V i nh ng phương trình có d ng f x;a u( x ) = 0, hay ơn gi n là phương trình có ch a x<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
th a, ta coi ó là phương trình n là hàm mũ và gi i như bình thư ng. Bài toán s quy v vi c gi i phương trình b ng phương pháp hàm s thu ư c nghi m cu i cùng.<br />
<br />
D ng 1: Phương trình s d ng s bi n thiên c a hàm s mũ Ví d 1: [ VH]. Gi i các phương trình sau a) 3 = 5 − 2 x<br />
x<br />
<br />
b) 2<br />
<br />
x<br />
<br />
x 2 =3<br />
<br />
+1 L i gi i:<br />
<br />
c) ( 3 + 2 2 ) + ( 3 − 2 2 ) = 6 x<br />
x x<br />
<br />
f ( x ) = 3x a) 3 = 5 − 2 x, (1) . t → g ( x) = 5 − 2 x g ′( x) = −2 < 0 T ó ta th y f(x) ng bi n, còn g(x) ngh ch bi n. Nh n th y x = 1 là m t nghi m c a (1). f ( x) > f (1) = 3 Khi x > 1 thì (1) vô nghi m. → g ( x) < g (1) = 3 f ( x) < f (1) = 3 Khi x < 1 thì (1) vô nghi m. V y x = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình (1). → g ( x) > g (1) = 3<br />
x<br />
<br />
b) 2<br />
<br />
x<br />
<br />
x = 32<br />
<br />
+1 ⇔ 2 =<br />
x x<br />
<br />
( 3)<br />
<br />
x<br />
<br />
3 1 x +1 ⇔ 2 + 2 = 1, <br />
x<br />
<br />
x<br />
<br />
( 2 ).<br />
<br />
x 3 1 x 3 3 1 1 t f ( x) = → + ln < 0 f(x) là hàm ngh ch bi n. → + f ′( x) = ln 2 2 2 2 2 2 Nh n th y x = 2 là m t nghi m c a (2). Khi x > 2 thì f(x) < f(2) = 1 → (2) vô nghi m. Khi x < 2 thì f(x) > f(2) = 1 → (2) vô nghi m. V y x = 2 là nghi m duy nh t c a phương trình ã cho.<br />
<br />
c) ( 3 + 2 2 ) + ( 3 − 2 2 )<br />
x x<br />
<br />
x<br />
<br />
3+ 2 2 3−2 2 =6 ⇔ + = 1, 6 6 <br />
x x x<br />
<br />
x<br />
<br />
x<br />
<br />
( 3) .<br />
x<br />
<br />
3+ 2 2 3− 2 2 3+ 2 2 3+ 2 2 3− 2 2 3+ 2 2 t f ( x) = → + < 0. + f ′( x) = ln ln 6 6 6 6 6 6 Do ó f(x) là hàm ngh ch bi n. Nh n th y x = 1 là m t nghi m c a (3). Khi x > 1 thì f(x) < f(1) = 1 → (3) vô nghi m. Khi x < 1 thì f(x) > f(1) = 1 → (3) vô nghi m. V y x = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình ã cho. 1 1 Ví d 2: [ VH]. Gi i phương trình − ( 3 x + 11) . + 3 x + 10 = 0 . 4 2 L i gi i: x t = 3 x + 10 1 t t = ⇒ t > 0. Khi ó phương trình ã cho tr thành t 2 − ( 3 x + 11) t + 3x + 10 = 0 ⇔ 2 t = 1<br />
x x<br />
<br />
Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn<br />
<br />
t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br />
<br />