Một phương trình sóng tuyến tính liên kết với điều kiện biên phi tuyến: Sự tồn tại và khai triển tiệm cận của nghiệm theo bốn tham số bé

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận<br /> Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT<br /> VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN : SỰ TỒN TẠI VÀ KHAI TRIỂN<br /> TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM THEO BỐN THAM SỐ BÉ<br /> <br /> <br /> Trần Minh Thuyết *, Lê Khánh Luận †<br /> Trần Văn Lăng ‡ , Võ Giang Giai §<br /> <br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Trong bài này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên-ban đầu cho phương trình<br /> sóng tuyến tính<br /> utt   (t )u xx  Ku   ut  F ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T , (1)<br /> p0  2 q0  2<br />  (t )ux (0, t )  K0 u(0, t ) u (0, t )  0 ut (0, t ) ut (0, t )  g (t ), (2)<br /> p1  2 q1  2<br />   (t )u x (1, t )  K1 u (1, t ) u (1, t )  1 ut (1, t ) ut (1, t ), (3)<br /> <br /> u ( x,0)  u0 ( x), ut ( x,0)  u1 ( x), (4)<br /> <br /> trong đó trong đó p0 , q0 , p1 , q1  2, K , K 0 , K1 ,   0, 0 , 1  0 là các hằng số cho<br /> trước và u0 , u1,  , F , g là các hàm cho trước thỏa một số điều kiện sẽ được chỉ rõ<br /> sau đó.<br /> Bài toán (1)-(4) là một mô hình toán học mô tả dao động dọc của một thanh<br /> đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi nhớt phi tuyến ở biên. Gần đây, bài<br /> toán (1)-(4) cũng được nhiều nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều chủ đề<br /> như sự tồn tại, duy nhất và tính trơn, các tính chất định tính và định lượng của<br /> nghiệm, xấp xỉ tuyến tính nghiệm, khai triển tiệm cận nghiệm,…[1-3, 5-15].<br /> Bài báo gồm ba phần chính. Trong phần 1, dưới các điều kiện<br /> /<br /> (u0 , u1 )  H 1  L2 , ( F , g ,  )  L2 (QT )  Lq0 (0,T )  H 1 (0, T ),  (t )  0  0,  / (t )  0,<br /> <br /> <br /> *<br /> TS, Trường ĐH Kinh tế Tp.HCM<br /> †<br /> ThS, Trường ĐH Kinh tế Tp.HCM<br /> ‡<br /> PGS.TS, Phân viện Công nghệ Thông tin Tp.HCM<br /> §<br /> ThS, Cộng tác viên khoa Toán – Tin, Trường ĐH Kinh tế Tp.HCM.<br /> <br /> 42<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> p0 , q0 , p1 , q1  2, q0/  q0 ( q0  1) 1, (K, , K 0 , K1 )   , chúng tôi chứng<br /> minh một định lí tồn tại toàn cục và duy nhất nghiệm yếu u của bài toán (1)-(4).<br /> Chứng minh nhờ vào phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với một số đánh giá<br /> tiên nghiệm và các lí luận quen thuộc về sự hội tụ yếu, toán tử đơn điệu và tính<br /> compact. Trong phần 2, chúng tôi chứng minh rằng nghiệm yếu u  L (0, T ; H 2 ),<br /> với u t  L (0, T ; H 1 ), u tt  L (0, T ; L2 ), u 0,, u 1,  H 2 (0, T ), nếu ta giả sử<br /> (u0 , u1 )  H 2  H 1, q0  q1  2, p0 , p1  2, và một số điều kiện khác. Cuối cùng,<br /> trong phần 3, chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm u của bài<br /> toán (1)-(4) đến cấp N  1 theo bốn tham số K ,  , K0 , K1. Các kết quả thu được ở<br /> đây đã tổng quát hoá tương đối các kết quả trong [1-3, 5-15].<br /> <br /> 2. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm<br /> Đặt   (0,1), QT    (0, T ), T  0. Chúng ta bỏ qua các định nghĩa của các<br /> không gian thông dụng như C m (), L p (), W m , p (). Ta kí hiệu W m , p  W m, p (),<br /> L p  W 0, p (), H m  W m, 2 (), 1  p  , m  0,1,...<br /> <br /> Chuẩn L2 được kí hiệu bởi  . Ta cũng kí hiệu bởi , chỉ tích vô hướng<br /> trong L2 hay cặp tích đối ngẫu của phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần<br /> tử của một không gian hàm. Ta kí hiệu bởi  X là chuẩn của một không gian<br /> Banach X và bởi X / là không gian đối ngẫu của X . Ta kí hiệu bởi<br /> Lp (0, T ; X ), 1  p   cho không gian Banach các hàm u : (0, T )  X đo được,<br /> sao cho<br /> 1/ p<br /> T p <br /> u Lp ( 0 ,T ; X )<br />    u (t ) X dt    với 1  p  ,<br /> 0 <br /> <br /> và<br /> u L ( 0 ,T ; X )<br />  ess sup u (t ) X<br />   với p  .<br /> 0 t T<br /> <br /> <br /> u<br /> Kí hiệu u(t ), u / (t )  ut (t ), u // (t )  utt (t ), u x (t ), u xx (t ) để chỉ u ( x, t ), ( x, t ),<br /> t<br />  2u u  2u<br /> ( x , t ), ( x , t ), ( x, t ), lần lượt.<br /> t 2 x x 2<br /> <br /> <br /> 43<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận<br /> Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai<br /> <br /> <br /> <br /> Trên H 1 ta sẽ dùng các chuẩn tương đương<br /> <br /> v H 1  2<br />  v  vx <br /> 2 1/ 2<br /> <br /> , v 1  v 2 (1)  vx <br /> 2 1/ 2<br /> . (5)<br /> <br /> Ta thành lập các giả thiết sau :<br /> ( H1 ) (u0 , u1 )  H 1  L2 ,<br /> <br /> (H 2 ) F  L2 (QT ),<br /> <br /> (H 3 )   H 1 (0,T ),  (t )  0  0,  / (t )  0,<br /> /<br /> (H 4 ) g  Lq0 (0,T ), q0/  q0 ( q0  1) 1,<br /> <br /> 3<br /> (H 5 ) (K, , K 0 , K1 )   ,<br /> <br /> (H6 ) p0 , q0 , p1 , q1  2,<br /> <br /> (H7 ) 0 , 1  0.<br /> <br /> Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng 0  1  1. Khi đó ta có<br /> định lí sau.<br /> Định lí 1. Cho T  0. Giả sử ( H1 )  ( H 6 ) đúng. Khi đó, tồn tại duy nhất một<br /> nghiệm yếu u của bài toán (1)-(4) sao cho<br />  u  L (0, T ; H 1 ), ut  L (0,T ; L2 ),<br />  (6)<br />  u (0,  )  W 1, q0 (0, T ), u (1,  )  W 1, q1 (0, T ).<br /> <br /> Hơn nữa, nếu p 0 , p1  {2}  [3, ) thì nghiệm có được là duy nhất.<br /> <br /> Chú thích 1. Định lí 1 chưa khẳng định về tính duy nhất của nghiệm khi<br /> 2  p0  3 hoặc 2  p1  3. Tuy nhiên, việc xây dựng một bộ các giả thiết<br /> ( H1 )  ( H 6 ) với p0 , p1 trong ( H 6 ) thỏa 2  p0  3 hoặc 2  p1  3 sao cho bài toán<br /> (1)-(4) có ít nhất hai nghiệm thỏa (6) là một bài toán mở. Trong định lí 2, chúng<br /> tôi tăng cường các giả thiết ( H1 )  ( H 6 ) và thu được tính duy nhất nghiệm trong<br /> trường hợp p0 , p1  2, q0  q1  2.<br /> <br /> Chứng minh Định lí 1. Sự tồn tại nghiệm được chứng minh nhờ vào<br /> phương pháp xấp xỉ Galerkin [4] kết hợp với một số đánh giá tiên nghiệm và các<br /> <br /> <br /> 44<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007<br /> <br /> <br /> <br /> lí luận quen thuộc về sự hội tụ yếu và kĩ thuật qua giới hạn số hạng phi tuyến<br /> bằng phương pháp đơn điệu. Tính duy nhất nghiệm được dựa vào bổ đề<br /> Gronwall. <br /> Phần sau đây, để thu được nghiệm tốt hơn, ta tăng cường thêm các giả thiết<br /> như sau<br /> ( H1/ ) (u0 , u1 )  H 2  H 1,<br /> <br /> ( H 2/ ) F , Ft  L2 (QT ),<br /> <br /> ( H 3/ )   W 2,1 (0, T ),  (t )  0  0,<br /> <br /> ( H 4/ ) g  H 1 (0, T ),<br /> <br /> ( H 5/ ) K,   ; K 0 , K1  0,<br /> <br /> ( H 6/ ) p0 , p1  2, q0  q1  2.<br /> <br /> Khi đó ta có định lí sau.<br /> Định lí 2. Cho T  0. Giả sử ( H1/ )  ( H 6/ ) đúng. Khi đó, tồn tại duy nhất<br /> một nghiệm yếu u của bài toán (1)-(4) sao cho<br />  u  L (0, T ; H 2 ), ut  L (0, T ; H 1 ), utt  L (0, T ; L2 ),<br />  (7)<br />  u (0,  ), u (1,  )  H 2 (0, T ).<br /> <br /> Chú thích 2. Từ (7), ta suy ra rằng<br /> <br />  u  L (0, T ; H 2 )  C 0 (0, T ; H 1 )  C 1 (0, T ; L2 ),<br />   1  2<br />  ut  L (0, T ; H ), utt  L (0, T ; L ), (8)<br />  2<br />  u (0,  ), u (1,  )  H (0, T ).<br /> <br /> Mặt khác, từ (7) ta cũng nhận thấy rằng u , u x , ut , u xx , u xt , utt  L (0, T ; L2 )<br />  L2 (QT ), và do đó u  H 2 (QT ). Từ đó nếu (u0 , u1 )  H 2 ()  H 1 () thì nghiệm<br /> yếu u sẽ thuộc vào không gian hàm H 2 (QT )  L (0, T ; H 2 ). Và nghiệm như thế<br /> một phần nào khá giống với nghiệm cổ điển thuộc C 2 (QT ), vì dữ kiện đầu (u0 , u1 )<br /> không cần thiết thuộc về C 2 ()  C 1 ().<br /> <br /> <br /> <br /> 45<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận<br /> Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai<br /> <br /> <br /> <br /> Chứng minh. Phần chứng minh của định lí 2 gồm 4 bước. Chứng minh dựa<br /> vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra được<br /> các dãy con hội tụ yếu về nghiệm trong các không gian hàm thích hợp nhờ một<br /> số các phép nhúng compact.<br /> Chú thích 3. Trong trường hợp p0 , p1  2 và K0  0 hoặc K1  0, sự tồn tại<br /> nghiệm của bài toán (1)-(4) vẫn là câu hỏi mở.<br /> <br /> 3. Khai triển tiệm cận theo 4 tham số<br /> Trong phần này, ta kí hiệu u 0 , u1 bởi u~0 , u~1 , lần lượt. Giả sử<br /> q0  q1  2, p0 , p1  N  1, N  2, 0  1  1, và u~ 0 , u~1 , F ,  , g  thỏa mãn các giả<br /> 3<br /> thiết ( H1 )  ( H 4 ). Với (K, , K 0 , K1 )   , theo Định lí 1, bài toán (1)-(4)<br /> có duy nhất một nghiệm yếu u phụ thuộc ( K ,  , K 0 , K1 ) : u  u ( K ,  , K 0 , K1 ).<br /> <br /> Xét bài toán nhiễu sau, trong đó K ,  , K 0 , K1 là các tham số bé,<br /> 0  K  K  , 0     , 0  K 0  K 0 , 0  K 1  K 1 :<br /> <br />  Au  utt   (t )u xx   Ku  ut  F ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,<br />  u (0, t )  K H (u (0, t ))  u (0, t )  g (t ),<br /> ~  x 0 p0 t<br /> ( PK ,  , K 0 , K 1 ) <br />  u x (1, t )  K1H p1 (u (1, t ))  ut (1, t ),<br />  u ( x,0)  u~ ( x), u ( x,0)  u~ ( x),<br />  0 t 1<br /> <br /> p2<br /> trong đó H p ( z )  z z , p  { p0 , p1}.<br /> <br /> Với mỗi đa chỉ số    1 ,  2 ,  3 ,  4   Z 4 và vectơ<br />  3<br /> K   K, , K 0 , K1    , ta đặt<br /> <br />     1   2   3   4 ,  !  1! 2! 3! 4!,<br />   <br />  K  K 2  2  K 02  K12 , K   K  1  2 K 0 3 K1 4 ,<br /> <br />   ,   Z 4 ,        , i  1, 2, 3, 4,<br />  i i<br /> <br />   !<br />  C   !   !.<br /> <br /> <br /> Trước tiên, ta có bổ đề sau và chi tiết chứng minh có thể xem trong [11]<br /> hoặc [13].<br /> <br /> 46<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Bổ đề 1. Cho m, N  và v   ,   Z4 , 1    N. Khi đó,<br /> m<br />    <br />   v K     T ( m) [v] K  , (9)<br />  1   N <br />   m   mN<br /> <br /> <br /> trong đó hệ số T ( m) [v] , m    mN phụ thuộc vào v  (v ),   Z 4 , 1    N<br /> thỏa mãn công thức qui nạp sau<br /> <br />  (1)<br />  T [v]  v , 1    N ,<br />  ( m) ( m 1)<br />  T [v]   v   T [v] , m    mN , m  2, (10)<br />  ( m)<br />  I <br />  I ( m )    Z 4 :    , 1      N , m  1    (m  1) N .<br />  <br />   <br /> <br /> ~<br /> Gọi u0 u 0,0, 0, 0 là nghiệm yếu duy nhất của bài toán ( P0,0,0,0 ) như trong Định<br /> lí 1, tương ứng với ( K ,  , K 0 , K1 )  (0,0,0,0), i.e.,<br /> <br />  Au 0  F0, 0, 0  F ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,<br /> <br /> ~  u x (0, t )  u 0/ (0, t )  g (t ),  u x (1, t )  u1/ (1, t ),<br /> ( P0,0,0,0 ) <br />  u ( x,0)  u~ ( x), u / ( x,0)  u~ ( x),<br /> 0 0 0 1<br />   <br /> u 0  L (0, T ; H ), u  L (0, T ; L2 ), u 0 (0,  ), u 0 (1,  )  H 1 (0, T ).<br /> 1 /<br />  0<br /> <br /> <br /> Ta xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu u ,   Z 4 , 1    N , xác định bởi các<br /> bài toán sau<br />  Au  F , 0  x  1, 0  t  T ,<br /> <br />  u  x (0, t )  Pˆ (t )  u  (0, t ),<br /> /<br /> <br /> ~ <br /> ( P )   u  x (1, t )  Qˆ  (t )  u / (1, t ),<br />  /<br />  u  ( x,0)  u  ( x,0)  0,<br />   1 /  2 1<br />  u   L (0, T ; H ), u   L (0, T ; L ), u  (0,  ), u  (1,  )  H (0, T ),<br /> <br /> trong đó F , Pˆ , Qˆ ,   N , được xác định bởi công thức qui nạp sau<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 47<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận<br /> Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai<br /> <br /> <br /> <br />  F,   0,<br /> <br />  0,  1   2  0, 1    N ,<br /> <br /> F    u 1 , 2 1, 3 , 4 ,  1  0,  2  1, 1    N , (11)<br /> <br />   u 1 1, 2 , 3 , 4 ,  1  1,  2  0, 1    N ,<br />   u 1 1, 2 , 3 , 4  u 1 , 2 1, 3 , 4 ,  1  1,  2  1, 2    N ,<br /> <br /> <br />  g (t ),   0,<br /> <br />  0,  3  0, 1    N ,<br /> <br /> Pˆ (t )   H p u0 (0, t ) ,  3  1,   1, (12)<br /> 0<br />   1<br />  1 (m)<br />   m! H p0 u0 (0, t ) T [u (0, t )] 1 , 2 , 3 1, 4 ,  3  1, 2    N ,<br /> (m)<br /> <br />  m 1<br /> <br /> 0,  4  0, 1    N ,<br /> <br />  H p1 u0 (1, t ) ,  4  1,   1,<br /> ˆ <br /> Q (t )   (13)<br />   1<br />  1 ( m)<br />   H p1 u0 (1, t ) T ( m ) [u (1, t )] 1 , 2 , 3 , 4 1,  4  1, 2    N ,<br /> m 1 m!<br /> <br /> ở đây, ta kí hiệu u  (u  ),   N . Gọi u  u ( K ,  , K 0 , K1 ) là nghiệm yếu duy nhất<br /> ~ <br /> của bài toán ( PK ,  , K 0 , K1<br /> ). Khi đó, v  u   u K  thỏa bài toán<br />  N<br /> <br /> <br /> ~<br />  Av   Kv  v /  EN , K ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,<br /> <br />  vx (0, t )  R(t ),  vx (1, t )  S (t ),<br />  /<br />  v( x,0)  v ( x,0)  0,<br />  ~  (14)<br />  <br />  R(t )  K 0 H p0 (v  h)(0, t )  H p0 h (0, t )  v (0, t )  E0 N , K (t ),<br /> /<br /> <br /> <br />  ~ <br />  <br />  S (t )  K1 H p1 (v  h)(1, t )  H p1 h(1, t )  v (1, t )  E1N , K (t ),<br /> /<br /> <br /> <br />   1 /  2 1<br />  v  L (0,T ; H ), v  L (0,T ; L ) , v(0,  ), v(1,  )  H (0,T ),<br /> <br /> trong đó<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 48<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007<br /> <br /> <br /> <br />  h   u K  ,<br />   N<br /> ~ /<br /> <br />  EN , K ( x, t )    ( Ku  u ) K ,<br />   N<br /> ~  (15)<br />  E0 N , K (t )  K 0 H p0 h(0, t )   Pˆ (t ) K ,<br />  1   N<br /> ~  <br />   ˆ (t ) K  .<br />  E1 N , K<br /> ( t )  K 1 H p1<br /> h (1, t )   Q <br />  1   N<br /> <br /> <br /> Khi đó ta có bổ đề sau.<br /> Bổ đề 2. Giả sử p0 , p1  N  1, N  2, q0  q1  2, 0  1  1, và ( H1 )  ( H 4 ) đúng.<br /> Khi đó<br />  ~ ~  N 1<br /> EN , K  CN K ,<br />  <br /> L ( 0 ,T ; L )2<br /> <br />  ~ ~  N 1<br />  E0 N , K 2<br />  C0 N K , (16)<br /> L ( 0 ,T )<br /> <br />  ~ ~  N 1<br /> <br />  E1N , K  C1N K ,<br /> L2 ( 0 ,T )<br /> <br />  3<br /> với mọi K   K, ,K 0 ,K1    , với 0  K  K  , 0     , 0  K 0  K 0 ,<br /> ~ ~ ~<br /> 0  K1  K1 , trong đó C N , C0 N , C1N là các hằng số chỉ tùy thuộc vào các hằng số<br /> K ,  , K 0 , K1 , u L ( 0, T ; H 1 )<br /> , u/ ,   N.<br /> L ( 0 ,T ; L2 )<br /> <br /> <br /> Chứng minh bổ đề 2. Dùng khai triển Taylor của hàm H p , H p tại u 0 đến cấp 0 1<br /> <br /> <br /> N , sau một số bước đánh giá, ta thu được (16). <br /> <br /> Kết quả sau đây cho một khai triển tiệm cận của nghiệm u của bài toán (1)-<br /> (4) đến cấp N  1 theo bốn tham số bé K ,  , K0 , K1.<br /> <br /> Định lí 3. Giả sử p0 , p1  N  1, N  2, q0  q1  2, 0  1  1, và ( H1 )  ( H 4 )<br /> <br /> đúng. Khi đó, với mỗi K   K, ,K 0 , K1    3 , với 0  K  K  , 0     ,<br /> ~<br /> 0  K 0  K 0  , 0  K1  K1 , bài toán ( PK ,  , K 0 , K 1 ) có duy nhất một nghiệm yếu<br /> u  u ( K ,  , K 0 , K1 ) thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp N  1 như sau<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 49<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận<br /> Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai<br /> <br /> <br /> <br />   <br /> u/   u K <br /> /<br />  u  u K   u / ( 0,  )   u (0,) K <br /> /<br /> <br /> N  N  N<br /> L ( 0, T ; L2 ) L ( 0 ,T ; H 1 ) L2 ( 0 ,T )<br /> (17)<br />  ~  N 1<br />  u (1,  )   u (1,) K <br /> / /<br />   DN* K ,<br />  N<br /> L2 ( 0 ,T )<br /> <br />  3<br /> với mọi K   K, , K 0 , K1    , với 0  K  K  , 0     , 0  K 0  K0 ,<br /> ~<br /> 0  K1  K1 , và D N* là hằng số chỉ tùy thuộc vào K * , * , K 0* , K 1* các hàm<br /> ~<br /> u  ,   Z 4 , 1    N là nghiệm yếu của các bài toán P ,   Z 4 ,   N .  <br /> Chú thích 4. Trong [8], như là một trường hợp đặc biệt của bài toán (1)-(4),<br /> Long, Định, và Diễm đã thu được kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm theo<br /> hai tham số K ,   đến cấp N  1.<br /> <br /> Chứng minh định lí 3. Bằng cách nhân hai vế của (14)1 với v / , sau đó tích phân<br /> từng phần theo t và sử dụng bổ đề 2, ta thu được<br /> <br /> ~ ~ ~  t<br /> <br /> Z (t )  2 5C02N  5C12N  TC12N K  2N 2<br />  2 1  2 K T  Z ( s)ds<br /> 0<br /> t<br /> 2<br />  10 K 20  H p0 (v(0, s )  h(0, s))  H p0 (h (0, s )) ds (18)<br /> 0<br /> t<br /> 2<br />  10 K 12  H p1 (v(1, s )  h(1, s ))  H p1 (h(1, s )) ds,<br /> 0<br /> <br /> <br /> trong đó<br /> t<br /> 2 2 2<br /> Z (t )  v / (t )   (t ) vx (t )  2  v / (s ) ds<br /> 0<br /> t<br /> (19)<br /> 2 2<br />  2   v (0, s )  v (1, s) ds.<br /> / /<br /> <br /> 0<br />  <br /> <br /> Sau một số bước đánh giá và sử dụng bổ đề Gronwall, ta suy ra từ (18),<br /> (19), rằng<br /> v/  v L ( 0 , T ; H 1 )<br />  v / (0,  )<br /> L ( 0 ,T ; L2 ) L2 ( 0 ,T )<br /> <br /> ~  N 1<br /> (20)<br />  v / (1,  ) 2<br />  DN* K ,<br /> L ( 0 ,T )<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 50<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007<br /> <br /> <br />  3<br /> với mọi K   K, , K 0 , K1    , với 0  K  K  , 0     , 0  K 0  K 0 ,<br /> ~ <br /> 0  K1  K1 , và DN* là hằng số độc lập với K . Từ (20), ta suy ra đánh giá tiệm<br /> cận (17) và Định lí 3 được chứng minh. <br /> Chú thích 5. Trong trường hợp  (t )  1, (u0 , u1 )  H 2  H 1, p1  q0  q1  2,<br /> p0  N  1, chúng tôi cũng đã thu được một kết quả khai triển tiệm cận của<br /> nghiệm yếu u của bài toán (1)-(4) theo ba tham số K ,  , K 0 [11].<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1]. Đ.Đ. Áng, A.P.N. Định (1998), Mixed problem for some semilinear wave<br /> equation with a nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 12, 581 – 592.<br /> [2]. N.T. An, N.Đ. Triều (1991), Shock between absolutely solid body and elastic<br /> bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J. Mech. NCSR.<br /> Vietnam, 13 (2), 1-7.<br /> [3]. M. Bergounioux, N.T. Long, A.P.N. Định (2001), Mathematical model for a<br /> shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal. 43, 547-<br /> 561.<br /> [4]. J.L. Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites<br /> nonlinéaires, Dunod; Gauthier-Villar, Paris.<br /> [5]. N.T. Long, A.P.N. Định(1992), On the quasilinear wave equation :<br /> u tt  u  f (u , u t )  0 associated with a mixed nonhomogeneous condition,<br /> Nonlinear Anal. 19, 613-623.<br /> [6]. N.T. Long, A.P.N. Định (1995), A semilinear wave equation associated with a<br /> linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal. 24, 1261-1279.<br /> [7]. N.T. Long, T.N. Diễm(1997), On the nonlinear wave equation utt  u xx<br />  f ( x, t , u , u x , u t ) associated with the mixed homogeneous conditions,<br /> Nonlinear Anal. 29, 1217 -1230.<br /> [8]. N.T. Long, A.P.N. Định, T.N. Diễm (2005), On a shock problem involving a<br /> nonlinear viscoelastic bar, J. Boundary Value Problem, Hindawi Publishing<br /> Corporation, No.3, 337-358.<br /> [9]. N.T. Long, T.M. Thuyet (2003), A semilinear wave equation associated with a<br /> nonlinear integral equation, Demonstratio Math. 36 (4), 915-938.<br /> <br /> <br /> 51<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận<br /> Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai<br /> <br /> <br /> <br /> [10]. N.T. Long, V.G. Giai (2007), A wave equation associated with mixed<br /> nonhomogeneous conditions : Global existence and asymptotic expansion of<br /> solutions, Nonlinear Anal. 66 (7), 1526-1546.<br /> [11]. N.T. Long, V.G. Giai (2007), A nonlinear wave equation associated with<br /> nonlinear boundary conditions : Existence and asymptotic expansion of<br /> solutions, Nonlinear Anal. 66 (12), 2852- 2880.<br /> [12]. N.T. Long, V.G. Giai (2007), Existence and asymptotic expansion for a<br /> nonlinear wave equation associated with nonlinear boundary conditions,<br /> Nonlinear Anal. (accepted for publication).<br /> [13]. N.T. Long, L.X. Trường (2007), Existence and asymptotic expansion for a<br /> viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear<br /> Anal. 67 (3), 842-864.<br /> [14]. N.T. Long, L.X. Trường (2007), Existence and asymptotic expansion of<br /> solutions to a nonlinear wave equation with a memory condition at the<br /> boundary, Electron. J. Diff. Eqns., Vol. 2007, No. 48, pp. 1-19. ISSN : 1072-<br /> 6691.<br /> [15]. N.T. Long, V.G. Giai, L.X. Truong (2007), A shock problem involving a<br /> nonlinear viscoelastic bar associated with a nonlinear boundary condition,<br /> Demonstratio Math. Vol. 41 (accepted for publication).<br /> <br /> Tóm tắt<br /> Một phương trình sóng tuyến tính liên kết với điều kiện biên phi tuyến :<br /> Sự tồn tại và khai triển tiệm cận của nghiệm theo bốn tham số bé<br /> Bài báo đề cập đến bài toán giá trị biên-ban đầu cho phương trình<br /> sóng phi tuyến<br /> <br />  utt   (t )u xx  Ku   ut  F ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,<br />  p0  2 q 2<br />   (t )u x (0, t )  K 0 u (0, t ) u (0, t )  ut (0, t ) 0 ut (0, t )  g (t ),<br /> (*)  p1  2 q 2<br />    (t )u x (1, t )  K1 u (1, t ) u (1, t )  ut (1, t ) 1 ut (1, t ),<br /> <br />  u ( x,0)  u0 ( x), ut ( x,0)  u1 ( x),<br /> <br /> trong đó p0 , q0 , p1 , q1  2, K , K 0 , K1 ,   0 là các hằng số cho trước và<br /> u0 , u1,  , F , g là các hàm cho trước. Bài báo gồm ba phần. Trong phần 1,<br /> chúng tôi chứng minh một định lí tồn tại duy nhất nghiệm yếu u cho bài<br /> <br /> <br /> 52<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007<br /> <br /> <br /> <br /> toán (*). Trong phần 2, chúng tôi chứng minh rằng nghiệm yếu<br /> u  L (0, T ; H 2 ), với ut  L (0, T ; H 1 ), u tt  L (0, T ; L2 ), u0,, u1, <br /> H 2 (0, T ), nếu ta giả sử (u0 , u1 )  H 2  H 1, và một số điều kiện khác. Cuối<br /> cùng, trong phần 3, chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm<br /> u của bài toán (*) đến cấp N  1 theo bốn tham số K ,  , K 0 , K1.<br /> <br /> Abstract<br /> A linear wave equation associated with nonlinear boundary conditions :<br /> Existence and asymptotic expansion of solutions in four small parameters<br /> The paper deals with the initial-boundary value problem for the linear<br /> wave equation<br /> <br />  utt   (t )u xx  Ku   ut  F ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,<br />  p0  2 q 2<br />   (t )u x (0, t )  K 0 u (0, t ) u (0, t )  ut (0, t ) 0 ut (0, t )  g (t ),<br /> (*)  p1  2 q 2<br />    (t )u x (1, t )  K1 u (1, t ) u (1, t )  ut (1, t ) 1 ut (1, t ),<br /> <br />  u ( x,0)  u0 ( x), ut ( x,0)  u1 ( x),<br /> <br /> where p0 , q0 , p1 , q1  2, K , K 0 , K1 ,   0 are given constants and<br /> u0 , u1 ,  , F , g are given functions. The paper consists of three parts. In Part<br /> 1, we prove a theorem of existence and uniqueness of a weak solution u of<br /> problem (*). In Part 2, we prove that the weak solution u  L (0, T ; H 2 ),<br /> with u t  L (0, T ; H 1 ), u tt  L (0, T ; L2 ), u0,, u1,  H 2 (0, T ), if we<br /> assume (u0 , u1 )  H 2  H 1, and some others. Finally, in Part 3 we obtain an<br /> asymptotic expansion of the solution u of the problem (*) up to order N  1<br /> via four small parameters K ,  , K 0 , K1 .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 53<br />