Một số phương pháp giải phương trình hàm thường dùng

Chia sẻ: Tran Cong Dat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

504
lượt xem 175
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên chuyên môn toán - Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp giải phương trình hàm thường dùng

CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯ NG DÙNG Phương pháp 1: H s b t ñ nh. Nguyên t c chung: +) D a vào ñi u ki n bài toán, xác ñ nh ñư c d ng c a f(x), thư ng là f(x) = ax + b ho c f(x) = ax2+ bx + c. +) ð ng nh t h s ñ tìm f(x). +) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) ñ u không th a mãn ñi u ki n bài toán. Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x f ( y ) + x ) = xy + f ( x ) ∀x, y ∈ R (1) . L i gi i: x = 1 Thay  vào (18) ta ñư c: f ( f ( y ) + 1) = y + f (1) ( a ) . y∈R ( ) Thay y = − f (1) − 1 vào (a) suy ra: f f ( − f (1) − 1) + 1 = −1 . ð t a = f ( − f (1) − 1) + 1 ta ñư c: f ( a ) = −1 . y = a Ch n  ta ñư c: f ( x f ( a ) + x ) = xa + f ( x ) ⇒ xa + f ( x ) = f ( 0 ) . x ∈ R ð t f ( 0 ) = b ⇒ f ( x ) = −a x + b . Th vào (1) và ñ ng nh t h s ta ñư c: a = 1 a 2 = 1   f ( x) = x  ⇒   a = −1 ⇒   . − a b − a = −a   f ( x) = −x  b = 0 V y có hai hàm s c n tìm là f ( x ) = x và f ( x ) = − x . Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn: f ( f ( x ) + y ) = y f ( x − f ( y ) ) ∀x, y ∈ R ( 2 ) . L i gi i: Cho y = 0; x ∈ R : (2) ⇒ f ( f ( x ) ) = 0 ∀x ∈ R ( a ) . ( ) Cho x = f ( y ) : (2) ⇒ f f ( f ( y ) ) + y = y f ( 0 ) ( a ' ) . ( a ) + ( a' ) ⇒ f ( y ) = y f ( 0) . ð t f ( 0 ) = a ⇒ f ( y ) = ay ∀y ∈ R . Th l i (2) ta ñư c: a 2 ( x 2 + y 2 ) + a ( y − x y ) = 0 ∀x, y ∈ R ⇔ a = 0 ⇒ f ( x ) = 0 ∀x ∈ R . V y có duy nh t hàm s f ( x ) = 0 th a mãn bài toán. Ví d 3: Tìm f , g : R → R th a mãn: 2 f ( x ) − g ( x ) = f ( y ) − y ∀x, y ∈ R  (a)  .  f ( x) g ( x) ≥ x +1  ∀x ∈ R (b ) L i gi i: Cho x = y ∈ R khi ñó ( a ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) − x .Thay l i (a) ta ñư c: 1
g ( x ) = 2 x − 2 y + g ( y ) ∀x, y ∈ R (c). Cho y = 0; x ∈ R : t (c) ta ñư c: g ( x ) = 2 x + g ( 0 ) . ð t g ( 0 ) = a ta ñư c: g ( x ) = 2 x + a , f ( x ) = x + a . Th vào (a), (b) ta ñư c: 2 x + a = 2 x + a  (a), (b) ⇔  ( ∀x ∈ R ) ⇔ 2 x 2 + ( 3a − 1) x + a 2 − 1 ≥ 0 ∀x ∈ R (  x + a )( 2 x + a ) ≥ x + 1 2 ⇔ ( a − 3) ≤ 0 ⇔ a = 3 . V y f ( x ) = x + 3 ; g ( x ) = 2 x + 3 . Ví d 4: ða th c f(x) xác ñ nh v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x 2 , ∀x ∈ ℝ (1). Tìm f(x). L i gi i: Ta nh n th y v trái c a bi u th c dư i d u f là b c nh t: x, 1 – x v ph i là b c hai x2. V y f(x) ph i có d ng: f(x) = ax2 + bx + c. Khi ñó (1) tr thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ ℝ do ñó: 3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ ℝ  1 a = 3 3a = 1    2 ð ng nh t các h s , ta thu ñư c: b − 2a = 0 ⇔ b = a + b + 3c = 0  3   1 c = − 3  1 V y: f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1) 3 Th l i ta th y hi n nhiên f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán. Ta ph i ch ng minh m i hàm s khác f(x) s không th a mãn ñi u ki n bài toán: Th t v y gi s còn hàm s g(x) khác f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán. Do f(x) không trùng v i g(x) nên ∃x0 ∈ ℝ : g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) . Do g(x) th a mãn ñi u ki n bài toán nên: 2 g ( x) + g (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ ℝ Thay x b i x0 ta ñư c: 2 g ( x0 ) + g (1 − x0 ) = x0 2 Thay x b i 1 –x0 ta ñư c: 2 g (1 − x0 ) + g ( x0 ) = (1 − x0 ) 2 1 T hai h th c này ta ñư c: g ( x0 ) = ( x0 2 + 2 x0 − 1) = f ( x0 ) 3 ði u này mâu thu n v i g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) 1 V y phương trình có nghi m duy nh t là f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1) 3 2
Nh n xét: N u ta ch d ñoán f(x) có d ng nào ñó thì ph i ch ng minh s duy nh t c a các hàm s tìm ñư c. Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác ñ nh, liên t c v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: f(f(x)) = f(x) + x, ∀x ∈ ℝ Hãy tìm hai hàm s như th . L i gi i: Ta vi t phương trình ñã cho dư i d ng f(f(x)) – f(x) = x (1). V ph i c a phương trình là m t hàm s tuy n tính vì v y ta nên gi s r ng hàm s c n tìm có d ng: f(x) = ax + b. Khi ñó (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , ∀x ∈ ℝ hay (a2 –a )x + ab = x, ∀x ∈ ℝ   a 2 − a = 1 a = 1 + 5 a = 1 − 5 1± 5 ñ ng nh t h s ta ñư c:  ⇔ 2 ∨ 2 ⇒ f ( x) = x. ab = 0 b = 0 b = 0 2   Hi n nhiên hai hàm s trên th a mãn ñi u ki n bài toán (vi c ch ng minh s duy nh t dành cho ngư i ñ c). Ví d 6: Hàm s f : ℤ → ℤ th a mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau: a ) f ( f ( n)) = n, ∀n ∈ ℤ (1) b) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ ℤ (2) c) f (0) = 1 (3) Tìm giá tr f(1995), f(-2007). L i gi i: Cũng nh n xét và lý lu n như các ví d trư c, ta ñưa ñ n f(n) ph i có d ng: f(n) = an +b. Khi ñó ñi u ki n (1) tr thành: a 2 n + ab + b = n, ∀n ∈ ℤ a 2 = 1 a = 1 a = −1 ð ng nh t các h s , ta ñư c:  ⇔ ∨ ab + b = 0 b = 0 b = 0 a = 1 V i  ta ñư c f(n) = n. Trư ng h p này lo i vì không th a mãn (2). b = 0 a = −1 V i  ta ñư c f(n) = -n + b. T ñi u ki n (3) cho n = 0 ta ñư c b = 1. b = 0 V y f(n) = -n + 1. Hi n nhiên hàm s này th a mãn ñi u ki n bài toán. Ta ph i ch ng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nh t th a mãn ñi u ki n bài toán: Th t v y gi s t n t i hàm g(n) khác f(n) cũng th a mãn ñi u ki n bài toán. T (3) suy ra f(0) = g(0) = 1, f(1) = g(1) = 0. S d ng ñi u ki n (1) và (2) ta nh n ñư c: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) ∀n ∈ℤ . 3
do ñó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) ∀n ∈ℤ Hay g(n) = g(n+2)+2 ∀n ∈ℤ . Gi s n0 là s t nhiên bé nh t làm cho f (n0 ) ≠ g (n0 ) Do f(n) cũng th a mãn (4) nên ta có: g (n0 − 2) = g (n0 ) + 2 = f (n0 ) + 2 = f (n0 − 2) ⇔ g (n0 − 2) = f (n0 − 2) Mâu thu n v i ñi u ki n n0 là s t nhiên bé nh t th a mãn (5). V y f(n) = g(n), ∀n ∈ ℕ Ch ng minh tương t ta cũng ñư c f(n) = g(n) v i m i n nguyên âm. V y f(n) = 1 – n là nghi m duy nh t. T ñó tính ñư c f(1995), f(-2007). BÀI T P Bài 1: Tìm t t c các hàm s f : ℝ → ℝ th a mãn ñi u ki n: f ( x + y ) + f ( x − y ) − 2 f ( x) f (1 + y ) = 2 xy (3 y − x 2 ), ∀x, y ∈ ℝ . ðáp s : f(x) = x3. Bài 2: Hàm s f : ℕ → ℕ th a mãn ñi u ki n f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, ∀n ∈ ℕ. Tìm f(2005). ðáp s : 2006. Bài 3: Tìm t t c các hàm f : ℕ → ℕ sao cho: f ( f (n)) + ( f (n))2 = n 2 + 3n + 3, ∀n ∈ ℕ. ðáp s : f(n) = n + 1.  x −1   1− x  8  2  Bài 4: Tìm các hàm f : ℝ → ℝ n u: 3 f  −5f  = , ∀x ∉ 0, − ,1, 2   3x + 2   x − 2  x −1  3  28 x + 4 ðáp s : f ( x) = 5x Bài 5: Tìm t t c các ña th c P(x) ∈ ℝ [ x] sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y), ∀x , y ∈ ℝ ðáp s : P(x) = x3 + cx. Phương pháp 2: phương pháp th . 2.1. Th n t o PTH m i:  2x +1  Ví d 1: Tìm f: R\{2} → R th a mãn: f   = x + 2 x ∀x ≠ 1 (1) . 2  x −1   2x +1  L i gi i: ð t t =   ⇒ MGT t = R \ {2} (t p xác ñ nh c a f). Ta ñư c:  x −1  x ≠1 t +1 3t 2 − 3 x= th vào (1): f (t ) = 2 ∀t ≠ 2 . Th l i th y ñúng. t−2 (t − 2) 4
3x 2 − 3 V y hàm s c n tìm có d ng f ( x) = 2 . ( x − 2) Nh n xét: + Khi ñ t t, c n ki m tra gi thi t MGT t ⊃ D . V i gi thi t ñó m i ñ m b o tính ch t: “Khi x∈Dx t ch y kh p các giá tr c a t thì x = t cũng ch y kh p t p xác ñ nh c a f”.  3x 2 − 3  2 ( x ≠ 2) + Trong ví d 1, n u f: R → R thì có vô s hàm f d ng: f ( x) =  ( x − 2 ) (v i a∈R  a ( x = 2) tùy ý). Ví d 2: Tìm hàm f : ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] → R th a mãn: f ( x − x 2 − 1) = x + x 2 − 1 ∀ x ≥ 1 ( 2 ) . x − t ≥ 0  L i gi i: ð t t = x − x 2 − 1 ⇔ x 2 − 1 = x − t ⇔  2 2 x −1 = ( x − t )  x ≥ t x ≥ t  t2 +1 t ≤ −1 ⇔ 2 2 2 ⇔ 2 t +1 . H có nghi m x ⇔ ≥t ⇔   x − 1 = x − 2 xt + t x = 2t 0 < t ≤ 1  2t ⇒ t ∈ ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] . V y MGT t = D = ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] . x ≥1 1 1 V i t = x − x 2 − 1 thì x + x 2 − 1 = ⇒ f (t ) = th a mãn (2). t t 1 V y f ( x) = là hàm s c n tìm. x 2   3x − 1  x + 1 Ví d 3: Tìm f : R\  ;3 → R th a mãn: f  = ∀x ≠ 1, x ≠ −2 ( 3) . 3   x + 2  x −1 3x − 1 2  2t + 1 t+4 L i gi i: ð t t = ⇒ MGT t = R \  ;3 ⇒ x = th vào (4) ta ñư c: f (t ) = x+2 ( x ≠2) x ≠1 3  3−t 3t − 2 x+4 th a mãn (3). V y hàm s c n tìm là: f ( x) = . 3x − 2 Ví d 4: Tìm f : ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn: x f ( x f ( y )) = f ( f ( y )) ∀x, y ∈ ( 0; + ∞ ) (4) . L i gi i: Cho y = 1, x ∈ ( 0; + ∞ ) ta ñư c: x f ( x f (1)) = f ( f (1)) . 1 1 Cho x = ta ñư c: f ( f (1) = 1⇒ x f ( x f (1)) = 1 ⇒ f ( x f (1)) = . ð t: f (1) x 5
f (1) a t = x. f (1) ⇒ f (t ) = ⇒ f (t ) = (v i a = f (1) ). Vì f (1) ∈ ( 0; + ∞ ) ⇒ MGT t = ( 0; + ∞ ) . t t x∈( 0; +∞ ) a a V y f ( x) = . Th l i th y ñúng ( a > 0 ) . Hàm s c n tìm là: f ( x) = v i ( a > 0 ) . x x Ví d 5: Tìm hàm f: ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn: 1 3 3 f (1) = ; f ( xy ) = f ( x). f   + f ( y ). f   ∀x, y ∈ ( 0; + ∞ ) ( 5 ) . 2  y x L i gi i: 1 Cho x = 1; y = 3 ta ñư c: f ( 3) = . 2 3 Cho x = 1; y ∈ ( 0; + ∞ ) ta ñư c: f ( y ) = f   . Th l i (5) ta ñư c:  y 3 f ( xy ) = 2 f ( x) f ( y ) ∀x, y ∈ ( 0; + ∞ ) (5') . Thay y b i ta ñư c: x 2 3 1 2 f ( 3) = 2 f ( x )) f   ⇒   = ( f ( x ) ) . Th l i th y ñúng. x 2 1 V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = ∀x > 0 . 2 Ví d 6: Tìm hàm f: R → R th a mãn: ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = 4 xy ( x 2 + y 2 ) ∀x, y ∈ R ( 6) . L i gi i: Ta có: ( 6) ⇔ ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = 1 2 1 2 = ( x + y ) − ( x − y )  + ( x + y ) + ( x − y )   ( x + y ) + ( x − y )  −  ( x + y ) − ( x − y )       4  4    u = x − y 1 ð t  v = x + y 2 ( ta ñư c: v f ( u ) − u f ( v ) = ( u + v )( u − v ) ( u + v ) − ( u − v ) 4 2 ) ⇒ v f ( u ) − u f ( v ) = u 3v − v 3u ⇔ v ( f ( u ) − u 3 ) = u ( f ( v ) − v3 ) + V i uv ≠ 0 ta có: f ( u ) − u 3 f ( v ) − v3 f (u ) − u3 = ∀u , v ∈ R* ⇒ = a ⇒ f ( u ) = au + u 3 ∀u ≠ 0 . u v u + V i u = 0; v ≠ 0 suy ra: f ( u ) − u 3 = 0 ⇔ f ( u ) = u 3 ⇒ f ( 0 ) = 0 . Hàm f ( u ) = au + u 3 th a mãn f ( 0 ) = 0 . V y f ( u ) = au + u 3 ∀u ∈ R Hàm s c n tìm là: f ( x ) = ax + x3 ( a ∈ R ) . Th l i th y ñúng. 2.2. Th n t o ra h PTH m i: 6
Ví d 1: Tìm hàm f: R → R th a mãn: f ( x ) + x f ( − x ) = x + 1 ∀x ∈ R (1) . L i gi i: ð t t = − x ta ñư c: f ( −t ) − t f ( t ) = −t + 1 ∀t ∈ R (1) . Ta có h :  f ( x) + x f (−x) = x +1   ⇒ f ( x ) = 1 . Th l i hàm s c n tìm là: f ( x ) = 1 . − x f ( x ) + f ( − x ) = − x + 1   x −1  Ví d 2: Tìm hàm s f : R \ { 0,1 } → R Th a mãn: f ( x ) + f   = 1 + x ∀x ∈ R * ( 2) .  x  x −1 L i gi i: ð t x1 = , ( 2 ) ⇔ f ( x ) + f ( x1 ) = 1 + x . x x1 − 1 1 ð t x2 = = , ( 2 ) ⇔ f ( x1 ) + f ( x2 ) = 1 + x1 . x1 x −1 x2 − 1 ð t x3 = = x, ( 2 ) ⇔ f ( x2 ) + f ( x ) = 1 + x2 . x2  f ( x1 ) + f ( x ) = 1 + x  1 + x − x1 + x2 1  1 1  Ta có h  f ( x2 ) + f ( x1 ) = 1 + x1 ⇒ f ( x ) = = x+ +  . Th l i th y  2 2 x 1− x   f ( x ) + f ( x2 ) = 1 + x2 1 1 1  ñúng. V y hàm s c n tìm có d ng: f ( x ) =  x + + . 2 x 1− x   x −1  Ví d 3: Tìm hàm s f : R \ { − 1;0;1 } → R th a mãn: x f ( x ) + 2 f   = 1 ∀x ≠ −1 ( 3) .  x +1  L i gi i: x −1 ð t x1 = , ( 3) ⇒ x f ( x ) + 2 f ( x1 ) = 1 . x +1 x1 − 1 1 ð t x2 = = − , ( 3) ⇒ x 1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) = 1 . x1 + 1 x x2 − 1 x + 1 ð t x3 = = , ( 3) ⇒ x2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) = 1 . x2 + 1 x − 1 x3 − 1 ð t x4 = = x , ( 3) ⇒ x3 f ( x3 ) + 2 f ( x ) = 1 . x3 + 1  x f ( x ) + 2 f ( x1 ) = 1   x1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) = 1 4 x2 − x + 1 Ta có h  ⇒ f ( x) = . Th l i th y ñúng.  x2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) = 1 5 x ( x − 1) x f x + 2 f x = 1  3 ( 3) ( ) 7
4 x2 − x + 1 V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = . 5 x ( x − 1) BÀI T P  1 1) Tìm f : R \ { 1 } → R th a mãn: f  1 +  = x 2 + 1 ∀x ∈ R .  x  a  b − ax  x2 a 2) Tìm f : R \  −  → R th a mãn: f  = 4 ∀x ≠ − (a, b là h ng s cho  b  bx + a  x + 1 b trư c và ab ≠ 0 ). 3) Tìm f : R → R th a mãn: f ( 2002 x − f ( 0 ) ) = 2002 x 2 ∀x ∈ R . 1  1  4) Tìm f : R \ { 0 } → R th a mãn: f ( x ) + f  = 1 ∀x ∈ R \ { 0;1} . 2x  1 − x  1− x  5) Tìm f : R \ { ± 1; 0} → R th a mãn: ( f ( x ) ) f   = 64 x ∀x ∈ R \ {−1} .  1+ x  2  2x  2 6) Tìm f : R \   → R th a mãn: 2 f ( x ) + f  = 996 x ∀x ≠ . 3  3x − 2  3  x −3  x+3 7) Tìm f : R \ { ± 1 } → R th a mãn: f  + f  = x ∀x ≠ ±1 .  x +1   1− x  8) Tìm f : R → R th a mãn: 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x 2 ∀x ∈ R . 1 9) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) + f   = x 2008 ∀x ∈ R* . x  1  x −1  1 10) Tìm f : R \ ±  → R th a mãn: f ( x ) + f   = x ∀x ≠ .  3  1 − 3x  3  a2  11) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) + f   = x ∀x ≠ a ( a > 0) . a−x f ( 2 x + 1) + 2 g ( 2 x + 1) = 2 x  12) Tìm f , g : R \ { 1 } → R th a mãn:   x   x  ∀x ≠ 1 . f  + g =x   x −1   x −1  Phương pháp 3: Phương pháp chuy n qua gi i h n.  2 x  3x Ví d 1: Tìm hàm s f : R → R liên t c, th a mãn: f ( x ) + f   = ∀x ∈ R (1) .  3  5 L i gi i: 2x 3 ð t x1 = ; (1) ⇒ f ( x ) + f ( x1 ) = x . 3 5 2 x1 3 ð t x2 = ; (1) ⇒ f ( x1 ) + f ( x2 ) = x1 . 3 5 8
2 xn 3 ð t xn +1 = , n ∈ N * ; (1) ⇒ f ( xn ) + f ( xn +1 ) = xn . 3 5  3  f ( x ) + f ( x1 ) = 5 x (1)   f (x )+ f (x ) = 3 x  ( 2) 1 2 1 Ta có h  5 ……  f x + f x 3  ( n ) ( n+1 ) = xn ( n + 1)  5 Nhân dòng phương trình th (i) v i (-1)i+1 r i c ng l i ta ñư c: 3  2  2  2  2 n n+2 f ( x ) + ( −1) f ( xn +1 ) = x 1 − +   − ⋯ +  −   ( *) . 5  3  3   3   ( f l.tôc ) Xét lim ( −1) f ( xn +1 )  = lim  f ( xn +1 )  = n+ 2   f ( lim xn +1 ) = f ( 0 ) .   n+ 2 M t khác (1) suy ra f(0) = 0 nên lim ( −1) f ( xn +1 ) = 0 . 3 1 9x L y gi i h n hai v c a (*) ta ñư c: f ( x ) = x = . Th l i th y ñúng. 5 1 + 2 25 3 9x V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = . 25 Ví d 2: Tìm hàm s f liên t c t i xo= 0 th a mãn: f : R → R và 2 f ( 2 x ) = f ( x ) + x ∀x ∈ R ( 2) . L i gi i: t t ð t t = 2 x ta ñư c: 2 f ( t ) = f   + ∀t ∈ R ( 2' ) . 2 2  1 * tn +1 = 2 tn , ∀n ∈ N  Xét dãy:  . Thay dãy {tn} vào (2’) ta ñư c: t = 1 t 1 2   1 1  f ( t ) = 2 f ( t1 ) + 4 t (1)   f (t ) = 1 f (t ) + 1 t  1 ( 2 ) . Th  2 2 4 1 (n) vào ( n − 1) → ( n − 2 ) → ⋯ ta ñư c: ⋯⋯  f t 1 1  ( n −1 ) 2 ( n ) 4 n −1 (n) = f t + t  1 1 1 1 f (t ) = 2 n f ( tn ) + n +1 f ( tn −1 ) + n f ( tn − 2 ) + ⋯ + 2 t 2 2 2 (* ) . ' 9
n 1 1  1 1 1  Thay tn =   t vào (*’) ta ñư c: f ( t ) = n f ( tn ) + t  2 + 4 + ⋯ + 2 n  2 2 2 2 2  (* ) . "  1  t Vì f liên t c t i xo = 0 nên lim  n f ( tn )  = 0 . L y gi i h n 2 v (*”) suy ra: f ( t ) = . Th 2  3 l i th y ñúng. Nh n xét: +) N u dãy {xn} tu n hoàn thì ta gi i theo phương pháp th r i quy v h pt hàm. +) N u dãy {xn} không tu n hoàn nhưng f liên t c t i xo = 0 và {xn} → 0 thì s d ng gi i h n như VD1. + N u {xn} không tu n hoàn, không có gi i h n thì ph i ñ i bi n ñ có dãy {tn} có gi i h n 0 và làm như ví d 1. BÀI T P 1) Tìm f : R → R th a mãn: a) f liên t c t i xo = 0, b) n f ( nx ) = f ( x ) + nx ∀n ∈ N , n ≥ 2; ∀x ∈ R .  x  10 2) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn: f ( 3 x ) + f   = x . 3 3 3) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn: m f ( mx ) − n f ( nx ) = ( m + n ) x ∀m, n ∈ N * , m ≠ n , ∀x ∈ R . Phương pháp 4: Phương pháp xét giá tr . +) ðây là phương pháp cơ s c a m i phương pháp khác. +) Khi v n d ng phương pháp c n chú ý s d ng k t qu v a có ñư c. ( a ) f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ R  Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn:  . ( b ) f ( x + y ) ≥ f ( x ) + f ( y ) ∀x, y ∈ R  L i gi i: x = 0  f ( 0) ≥ 0  Cho  suy ra  ⇒ f (0) = 0 . y = 0  f ( 0) ≥ 2 f ( 0)   f ( 0) ≥ f ( x ) + f ( − x )  f ( x) + f ( − x ) ≤ 0   Cho y = − x ⇒  ⇒  f ( x ) ≥ 0, f ( − x ) ≥ 0   f ( x ) ≥ 0, f ( − x ) ≥ 0  ⇒ f ( x ) = f ( − x ) = 0 ∀x ∈ R . V y f ( x ) = 0 . Th l i th y ñúng. Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn: 1 1 1 f ( xy ) + f ( yz ) − f ( x ) f ( yz ) ≥ ∀x, y, z ∈ R ( 2) . 2 2 4 L i gi i: 10
2 2 1  1 1 Cho x = z , y = 1 ta ñư c: f ( x ) − ( f ( x ) ) ≥ ⇔  f ( x ) −  ≤ 0 ⇔ f ( x ) = . Th l i th y 4  2 2 ñúng. Ví d 3: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) = Max { xy − f ( y ) } ∀x ∈ R ( 3) . y∈R L i gi i: ( 3) ⇒ f ( x ) ≥ xy − f ( y ) ∀x, y ∈ R . t2 Cho x = y = t ∈ R ⇒ f ( t ) = ∀t ∈ R (a) . 2 T (a) suy ra: y2 x2 1 2 x2 x2 xy − f ( y ) ≤ xy − = − ( x − y) ≤ ⇒ f ( x ) = Max { xy − f ( y ) } ≤ ∀x ∈ R (b ) 2 2 2 2 y∈R 2 x2 ( a ) + (b) ⇒ f ( x) = . Th l i th y ñúng. 2 Ví d 4: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x + y ) ≥ f ( x ) f ( y ) ≥ 2008x + y ∀x, y ∈ R ( 4) . L i gi i: 2 Cho x = y = 0 ⇒ f ( 0 ) ≥ ( f ( 0 ) ) ≥ 1 ⇒ f ( 0 ) = 1 . Cho 1 x = − y ∈ R ⇒ 1 = f ( 0 ) ≥ f ( x ) f ( − x ) ≥ 1⇒ f ( x ) f ( − x ) = 1⇒ f ( x ) = ∀x ∈ R (a) . f ( −x)  f ( x ) ≥ 2008 x > 0  Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x ) ≥ 2008 ⇒  x (b) .  f ( − x ) ≥ 2008 > 0 −x  1 1 Theo ( a ) + ( b ) ⇒ f ( x ) = ≤ = 2008x ( c ) . ( b ) + ( c ) ⇒ f ( x ) = 2008x . Th l i f ( − x ) 2008− x th y ñúng. Ví d 5: Tìm f : [ a; b ] → [ a ; b ] th a mãn: f ( x ) − f ( y ) ≥ x − y ∀x, y ∈ [ a ; b ] (a < b cho trư c) (5). L i gi i: Cho x = a ; y = b ⇒ f ( a ) − f ( b ) ≥ a − b = b − a ( a ) . vì f ( a ) , f ( b )∈ [ a ; b ] nên f ( a ) − f ( b ) ≤ a − b = b − a ( b ) . 11
 f  (a) = a   f (b) = b ( a ) + ( b ) ⇒ f ( a ) − f ( b ) = b − a ⇔  .   f (a) = b  f   (b) = a  f (a) = a  +) N u  thì:  f (b) = b  Ch n y = b ; x ∈ [ a ; b ] ⇒ f ( x ) ≤ x ( c ) . Ch n y = a ; x ∈ [ a ; b ] ⇒ f ( x ) ≥ x ( d ) . (c) + (d ) ⇒ f ( x) = x .  f (a) = b  +) N u  thì:  f (b) = a  Ch n y = b ; x ∈ [ a ; b ] r i ch n y = a ; x ∈ [ a ; b ] như trên ta ñư c: f ( x ) = a + b − x . Th l i th y ñúng. Nh n xét: +) T VD1 → VD5 là các BPT hàm. Cách gi i nói chung là tìm các giá tr ñ c bi t – có th tính ñư c trư c. Sau ñó t o ra các BðT “ngư c nhau” v hàm s c n tìm ñ ñưa ra k t lu n v hàm s . +) Vi c ch n các trư ng h p c a bi n ph i có tính “k th a”. T c là cái ch n sau ph i d a vào cái ch n trư c nó và th các kh năng có th s d ng k t qu v a có ñư c. Ví d 6: Tìm f : R → R th a mãn:  π   f ( 0 ) = a ; f   = b ( a, b cho tr−íc )  2 (6) .  f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 f ( x ) cos y ∀x, y ∈ R  L i gi i: π  π  π Cho y = ; x ∈ R ta ñư c: f  x +  + f  x −  = 0 (a) . 2  2  2 Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( y ) + f ( − y ) = 2a cos y (b) . π π  π  Cho x = ; y ∈ R ta ñư c: f  + y  + f  − y  = 2b cos y (c) . 2 2  2  12
  π  π f x+ + f x− =0   2  2   π π   π ( a ) + (b) + ( c ) ⇒  f x− + f  − x  = 2a cos  x −  .   2 2   2   π π  f  x +  + f  − x  = 2b cos x   2 2  Gi i h ta ñư c: f ( x ) = a cos x + b sin x . Th l i th y ñúng. Ví d 7: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) + sin x sin y ∀x, y ∈ R (7) . L i gi i: Ta th y f ( x ) = cos x là m t hàm s th a mãn. 2  f (0) = 0 Cho x = y = 0 ⇔ ( f ( 0 ) ) = f ( 0 ) ⇔  .  f (0) = 1  N u f ( 0 ) = 0 thì: Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x ) = − f ( 0 ) = 0 ∀x ∈ R . Th l i ta ñư c: sin x sin y = 0 ∀x, y ∈ R ⇒ vô lý. V y f ( x ) = 0 không là nghi m (7). N u f ( 0 ) = 1 thì cho x = − y ⇒ f ( x ) f ( − x ) = 1 + ( − sin 2 x ) = cos 2 x ⇒ f ( x ) f ( − x ) = cos 2 x ( a ) .  π  f  =0 π 2 Cho x = ⇒  . 2   π f −  = 0   2 π  π N u f   = 0 thì: Cho x = ; y ∈ R th vào (7) suy ra: 2 2  π f  y +  + sin y = 0 ⇒ f ( y ) = cos y ∀y ∈ R . Th l i th y ñúng.  2  π N u f  −  = 0 tương t như trên ta ñư c: f ( y ) = cos y ∀y ∈ R .  2 V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = cos x . Ví d 8: Tìm f , g : R → R th a mãn: f ( x ) − f ( y ) = cos ( x + y ) g ( x − y ) ∀x, y ∈ R ( 8) . L i gi i: π π  π  Ch n x = − y; y∈ R (8) ⇒ f  − y  − f ( y) = 0 ⇔ f  − y  = f ( y) (a) . 2  2   2  π π  π  Ch n x = + y ; y ∈ R ( 8 ) ⇒ f  + y  − f ( y ) = − sin 2 y.g   ( b ) . 2 2  2 13
π  π  π  ( a ) + (b) ⇒ f  + y− f  − y  = − sin 2 y. g   ( c ) . 2  2  2 π  π  Theo (8): f  + y  − f  − y  = − g (2y) (d ) . 2  2   π ( c ) + ( d ) ⇒ g ( 2 y ) = sin 2 y. g   ∀y ∈ R ⇒ g ( 2 x ) = a sin 2 x ⇒ g ( x ) = a sin x ∀x ∈ R . 2 π  (v i a = g   cho trư c.) 2 a Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x ) − f ( 0 ) = cos x. g ( x ) ⇒ f ( x ) = sin 2 x + b (b = f ( 0 )) , ∀x ∈ R . 2  a  f ( x ) = sin 2 x + b Th l i 2 hàm s :  2 (V i a, b là h ng s cho trư c). Th a mãn (8).  g ( x ) = a sin x   f ( − x ) = − f ( x ) ∀x ∈ R ( a )   Ví d 9: Tìm f : R → R th a mãn:  f ( x + 1) = f ( x ) + 1 ∀x ∈ R ( b ) .  f  1  f ( x)    = 2 ∀x ≠ 0 ( c )   x x L i gi i:  x +1  Ta tính f   ñ n f ( x ) theo hai cách:  x   x +1   1 1 f ( x) f  = f 1 +  = 1 + f   = 1 + 2 ∀x ≠ 0 ( a ) .  x   x x x  x   1  f  f 1 −  2  x +1  x +1   x +1    1  =  x +1 f  2 =  2 =  1 + f −  =  x   x   x   x    x +1       x +1  x +1   x +1 2    1     x +1  2  f ( x + 1)  =  1 +  − f   =   1 − =  x     x +1    x   ( x + 1)  2    x +1  2  1+ f ( x)    1 −  ∀x ≠ 0, x ≠ 1 ( b ) .  x   ( x + 1)  2   ( a ) + ( b ) ⇒ f ( x ) = x ∀x ≠ 0; x ≠ 1 . V i x = 0; ( a ) ⇒ f ( 0 ) = 0 th a mãn f ( x ) = x . V i x = 1; ( a ) ⇒ f ( −1) = − f (1) : Cho x = 0; ( b ) ⇒ f (1) = 1 ⇒ f ( −1) = −1 th a mãn f ( x ) = x . 14
V y f ( x ) = x ∀x ∈ R . Th l i th y ñúng . Ví d 10: Tìm f : R \ { 0 } → R th a mãn:  f (1) = 1 ( a )    1  1 1 f   = f   . f   ∀x, y ≠ 0 ( b ) .   x+ y x  y ( x + y ) f ( x + y ) = xy f ( x ) f ( y ) ∀x, y tháa m n xy ( x + y ) ≠ 0 ( c )  L i gi i:  1  1 Cho x = y ∈ R* , ( b ) ta ñư c: f   = 2 f   ⇒ f ( x ) = 2 f ( 2 x ) ∀x ≠ 0 (*)  2x   x 2 2 Cho x = y ∈ R* , ( c ) ta ñư c: 2 x f ( 2 x ) = x 2 ( f ( x ) ) ⇔ 2 f ( 2 x ) = x ( f ( x ) ) ∀x ≠ 0 (*' ) . 2 Th (*) vào (*’) suy ra: f ( x ) = x ( f ( x ) ) (* ) . " Gi s : ∃ xo ≠ 1, xo ∈ R* sao cho: f(xo) = 0. Thay x = 1 − xo ; y = xo vào (*”) ta ñư c: f(1) = 0 trái v i gi thi t f(1) = 1. V y f ( x ) ≠ 0 ∀x ≠ 1; x ≠ 0 . 1 Vì f (1) = 1 ≠ 0 nên t (*”) suy ra f ( x ) = ∀x ≠ 0 . Th l i th y ñúng. x Ví d 11: Tìm f : R → R th a mãn:  f (1) = 1 ( a )   f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 2 xy ∀x, y ∈ R ( b ) .  f  1  f ( x)    = 4 ∀x ≠ 0 ( c )  x x L i gi i: Cho x = y = 0, ( b ) ⇔ f ( 0 ) = 0 Cho x = y = t ≠ 0, ( b ) ⇔ f ( 2t ) − 2 f ( t ) = 2t 2 (1) . 1 1 1 1 Cho x = y = , (b) ⇔ f   − 2 f   = 2 ( *) 2t t  2t  2t 1  f (t )  1  f ( 2t ) f (t ) f ( 2t ) (c) ⇒ f  1 T  = 4 ; f  = 4 . Th vào (*) ta ñư c: 4 − 2 4 = 2 ( 2) . t  t  2t  ( 2t ) t ( 2t ) 2t (1) + ( 2 ) ⇒ f ( t ) = t 2 ∀t ≠ 0 . T f ( 0 ) = 0 ⇒ f ( t ) = t 2 ∀t ∈ R . Th l i th y ñúng. Ví d 12: Cho hàm s f : ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn:  f ( x)  f  = y f ( y ) f ( f ( x ) ) ∀x, y ∈( 0; + ∞ ) (12 ) .  y  15