Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học giải toán tổ hợp chương trình lớp 11, ban nâng cao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC KIỀU VĂN VƯỢNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA

DẠY HỌC GIẢI TOÁN TỔ HỢP CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11,

BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC KIỀU VĂN VƯỢNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA

DẠY HỌC GIẢI TOÁN TỔ HỢP CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11,

BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. BÙI VĂN NGHỊ

HÀ NỘI – 2013

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành

đến quý thầy cô Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo

điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và làm luận văn.

Đặc biệt, tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến

người thầy hướng dẫn của mình là GS.TS. BÙI VĂN NGHỊ, người thầy đã

tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu

và thực hiện luận văn này.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban Giám hiệu và tổ

Toán trường THPT Hàm Long, thành phố Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh đã tạo điều

kiện, cộng tác và giúp đỡ tác giả làm thực nghiệm sư phạm tại trường.

Xin cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cùng học tại lớp LL&PP dạy

học Bộ môn Toán K6, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã

dành sự quan tâm và tham gia đóng góp ý kiến cho tác giả trong quá trình học

tập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn gia đình, người thân đã động viên

và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận văn này.

Mặc dù bản thân tác giả đã cố gắng nghiên cứu và thực hiện luận văn

này song vẫn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả rất

mong nhận được sự đóng góp các ý kiến quý báu của các thầy cô giáo, các

bạn đồng nghiệp và những người quan tâm đến các vấn đề được trình bày

trong luận văn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 21 tháng 11 năm 2013

Người thực hiện

Kiều Văn Vượng

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Ý nghĩa Chữ viết tắt

: Chủ biên CB

: Công nghệ thông tin CNTT

: Chương trình CT

: Điều kiện ĐK

: Giáo viên GV

: Học sinh HS

: Nâng cao NC

: Nhà xuất bản NXB

: Phương pháp dạy học PPDH

: Sách giáo khoa SGK

: Sách giáo viên SGV

: Tổng chủ biên TCB

: Trung học phổ thông THPT

: Thực nghiệm sư phạm TNSP

: Tập xác định TXĐ

: Ví dụ VD

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn ..................................................................................................... i

Danh mục chữ viết tắt .................................................................................... ii

Mục lục ............................................................................................................ iii

MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1

Chương 1: TƯ DUY THUẬT TOÁN VÀ VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN

5 TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA MÔN

5 1.1. Cơ sở lý luận

5 1.1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học

6 1.1.2. Một số quan điểm khác

6 1.2. Dạy học giải bài tập toán học

6 1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

7 1.2.2. Giải bài tập

8 1.3. Tư duy thuật toán

8 1.3.1. Khái niệm thuật toán và quy trình tựa thuật toán( thuật giải)

12 1.3.2. Các đặc trưng của thuật toán

12 1.3.3. Các phương pháp biểu diễn thuật toán

16 1.3.4. Độ phức tạp của thuật toán

1.3.5. Tư duy thuật toán và vấn đề phát tiển tư duy thuật toán trong

17 dạy học

18 1.3.6. Dạy học thuật toán và quy trình tựa thuật toán

19 1.4. Một số thực tiễn về dạy học Đại số tổ hợp ở trường THPT

1.4.1. Đặc điểm của chương trình và sách giáo khoa đại số và giải

19 tích 11 nâng cao trong chương trình Trung học phổ thông hiện nay

1.4.2. Đặc điểm phần đại số tổ hợp trong chương trình và sách giáo

20 khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao.

1.4.3.Một số nhận định chủ quan của tác giả về thực tiễn dạy và học

22 Đại số tổ hợp ở trường THPT Hàm Long, Bắc Ninh.

iii

22 1.5. Tiểu kết chương 1

Chương 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY

THUẬT TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ

23 HỢP LỚP 11(NÂNG CAO)

23 2.1. Nội dung Đại số tổ hợp trong sách giáo khoa lớp 11 (nâng cao)

23 2.1.1. Hai quy tắc đếm cơ bản

23 2.1.2. Hoán vị

24 2.1.3. Chỉnh hợp

24 2.1.4. Tổ hợp

24 2.1.5. Nhị thức Newton

25 2.2. Định hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông

qua dạy học giải toán đại số tổ hợp

2.2.1. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải trên cơ

sở đáp ứng được mục đích của việc dạy, học môn toán ở nhà trường

25 phổ thông.

2.2.2. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải trên cơ

25 sở tôn trọng chương trình sách giáo khoa hiện hành.

2.2.3. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán góp phần đổi

26 mới phương pháp dạy học hiện nay.

2.2.4. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toánphải góp phần

26 đắc lực hình thành nhân cách con người ở thời đại mới.

2.2.5. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải phát huy

tính tính cực nhận thức của học sinh phù hợp với thực tiễn hoàn

26 cảnh, môi trường giáo dục và thực tiễn học sinh.

2.2.6. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải kết hợp

27 chặt chẽ rèn luyện cho học sinh tính tổ chức, tính linh hoạt và sáng tạo.

2.3. Biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong dạy

27 học giải toán đại số tổ hợp.

2.3.1. Biện pháp 1 : Rèn luyện cho học sinh sử dụng thành thạo các

27 thuật toán đã được trang bị trong chương trình.

2.3.2. Biện pháp 2: Tổ chức cho học sinh phát hiện những thuật toán

38 mới để giải cùng một những dạng toán

2.3.3. Biện pháp 3: Trang bị và rèn luyện cho học sinh những kĩ

thuật cần thiết quy một dạng toán lạ về dạng toán quen, về thuật toán

46 quen thuộc.

2.3.4. Biện pháp 4: Tạo điều kiện cho học sinh đề xuất một hay nhiều

thuật toán để giải cùng một dạng toán; qua đó chọn được thuật toán

49 tốt nhất.

52 2.3.5. Biện pháp 5: Khắc phục những khó khăn, sai lầm cho học sinh

57 2.4. Tiểu kết chương 2

59 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

59 3.1. Mục đích, nhiệm vụ, kế hoạch thực nghiệm sư phạm

59 3.1.1. Mục đích

59 3.1.2. Nhiệm vụ

59 3.1.3. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm

60 3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm

60 3.2.1. Giáo án thực nghiệm thứ nhất

64 3.2.2. Giáo án thực nghiệm thứ hai

68 3.3. Đánh giá kết quảthực nghiệm sư phạm

68 3.3.1. Đề bài kiểm tra, đánh giá sau giờ dạy thực nghiệm sư phạm:

70 3.3.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm

72 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm

73 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

MỞ DẦU

1. Lý do chọn đề tài

1.1. Để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước và bắt

kịp sự phát triển của xã hội trong điều kiện bùng nổ thông tin, ngành giáo dục

và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào

tạo những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao động trong nền sản

xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ

chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu

khi giải quyết công việc.

Điều 24, luật giáo dục (2005) quy định:" Phương pháp giáo dục phổ

thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học

sinh,..., bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức

vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho

học sinh".

Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện

trong quá trình dạy học là phát triển tư duy thuật giải cho học sinh.

1.2. Hiện nay ở trường phổ thông đã tiến hành giáo dục tin học. Tin học được

dạy tường minh như một nội dung và sử dụng máy tính điện tử như công cụ

dạy học. Do đó vấn đề phát triển phát triển tư duy thuật toán trong môn toán

giữ một vị trí quan trọng trong giáo dục tin học. Khẳng định này được thể

hiện rõ trong mục đích giáo dục tin học: "Làm cho tất cả mọi học sinh tốt

nghiệp trung học đều nắm được những yếu tố cơ bản của tin học với tư cách

là thành tố của văn hóa phổ thông". "Góp phần hình thành ở học sinh những

loại hình tư duy liên hệ mật thiết với việc sử dụng công nghệ thông tin như tư

duy thuật giải, tư duy điều khiển,..", "Góp phần hình thành ở học sinh những

phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: tính kỷ

luật, tính kế hoạh hóa, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra,..".

1.3. Phát triển tư duy thuật toán là một mục đích của việc dạy học toán ở

trường phổ thông vì:

Tư duy thuật toán tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn

luyện các kỹ năng Toán học.

Tư duy thuật toán phát triển sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ

(như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,...) cũng như

những phẩm chất trí tuệ (như : tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo).

Tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được quá trình tự động hóa

diễn ra trong những lĩnh vực khác nhau của con người, trong đó có lĩnh vực

xử lý thông tin. Điều này làm cho học sinh thích nghi với xã hội tự động hóa,

góp phần làm giảm ngăn cách giữa nhà trường và xã hội.

1.4. Phát triển tư duy thuật toán trong môn toán có ý nghĩa về nhiều mặt và

môn toán chứa đựng khả năng to lớn về phát triển tư duy thuật giải, thế

nhưng, tư duy thuật giải chưa được chú ý phát triển đúng mức ở nhà trường

phổ thông. Đã có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các

công trình đó có thể kể tới luận án của tiến sỹ Dương Vương Minh: "Phát

triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường

phổ thông" (1998). Luận án này đã xem xét việc phát triển tư duy thuật giải

cho học sinh trong khi dạy các hệ thống số chứ chưa đi sâu vào việc phát triển

tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy học nội dung phương trình.

Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp phần phát triển tư

duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung

lượng giác 11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển tư duy thuật giải cho học

sinh trong khi dạy nội dung lượng giác 11.

1.5. Nội dung chương đại số tổ hợp – ban nâng cao là nội dung khá hay và

khó ở chương trình toán trung học phổ thông vì có tính trừu tượng, nhiều

dạng toán, nhiều quy trình vận dụng kỹ năng tính toán nhiều bài toán có tiềm

năng có thể chuyển về một thuật toán hay một quy trình tựa thuật toán. Đó là

điều kiện thuận lợi nhằm phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.

Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài "Phát triển tư duy thuật toán

cho học sinh thông qua dạy học giải toán tổ hợp chương trình lớp 11, ban

nâng cao " làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề ra một số biện pháp phát triển

tư duy thuật giải trong quá trình dạy học nội dung đại số tổ hợp lớp 11 nhằm

góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trường phổ thông.

3. Giả thuyết khoa học

Trong quá trình dạy học Toán trung học phổ thông nói chung, dạy học

nội dung đại số tổ hợp nói riêng, giáo viên thực hiện theo một quy trình dạy

học theo hướng phát triển tư duy thuật toán sẽ góp phần nâng cao chất lượng

dạy học toán ở trường phổ thông.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi

khoa học sau:

4.1. Tư duy thuật toán là gì? Vì sao nó cần được phát triển ở học sinh trong

dạy học môn Toán?

4.2. Có thể đưa ra thuật toán hay quy trình tựa thuật toán để giải một số dạng

bài toán tổ hợp nhằm tập luyện hoạt động tư duy thuật toán cho học sinh được

không?

4.3. Làm thế nào để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài?

5. Phương pháp nghiên cứu

5.1. Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các công trình Tâm lí học, Giáo dục học, Lí luận và Phương

pháp dạy học bộ môn Toán liên quan đến đề tài.

- Các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài (các

luận văn, luận án, chuyên đề...)

5.2. Nghiên cứu thực tiễn

Dự giờ, quan sát giờ dạy của giáo viên và hoạt động học tập của học

sinh trong quá trình dạy học nói chung, dạy học nội dung đại số tổ hợp nói

riêng.

5.3. Thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm một số nội dung của luận văn tại trường

THPT Hàm Long – tỉnh Bắc Ninh, kiểm chứng tính khả thi của đề tài thông

qua các lớp học thực nghiệm và đối chứng trên cùng một lớp đối tượng.

6. Đóng góp của luận văn

6.1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy thuật toán và

vai trò vị trí của việc phát triển tư duy thuật toán trong dạy học toán.

6.2. Xây dựng được các quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật

toán cho học sinh.

6.3. Khai thác được một số dạng bài toán tổ hợp có thể giúp học sinh xây

dựng được thuật toán hay quy trình tựa thuật toán.

7. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, nội

dung chính của luận văn được trình bày trong gồm có 3 chương.

Chương 1: Tư duy thuật toán và vấn đề phát triển tư duy thuật toán cho

học sinh phổ thông.

Chương 2: Biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán trong

dạy học giải toán đại sô tổ hợp lớp 11, ban nâng cao.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

CHƯƠNG 1

TƯ DUY THUẬT TOÁN VÀ VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY

THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA MÔN TOÁN

1.1. Cơ sở lý luận

1.1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học

Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt

động giao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học. Còn học

tập là một quá trình xử lý thông tin. Quá trình này có các chức năng: đưa

thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều

phối. Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình.

Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học

sinh học tập một cách tự giác, tích cực.

Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động

liên hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho

học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện. Việc phân tích một hoạt

động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến

hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ.

Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định,

đặc biệt là tri thức phương pháp. Những tri thức này lại là kết quả của một

quá trình hoạt động khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức

độ nào đó có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn. Do đó cần

phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc

chỉ đạo quá trình dạy học. Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy

học theo quan điểm hoạt động. Luận văn được nghiên cứu trong khuôn khổ

của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học. Nội

dung của quan điểm này được thể hiện một cách tóm tắt qua những tư tưởng

chủ đạo sau:

* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động

tương thích với nội dung và mục đích dạy học.

* Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động.

* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như

phương tiện và kết quả của hoạt động.

* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học.

1.1.2. Một số quan điểm khác

Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học để nghiên

cứu nhưng cũng dựa vào quan điểm của lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến

tạo bởi vì các quan điểm dạy học của các lý thuyết này có sự giao thoa với

quan điểm của lý thuyết hoạt động. Theo lý thuyết tình huống thì học là sự

thích ứng (bao gồm đồng hóa và điều tiết) đối với một môi trường sản sinh ra

những mâu thuẫn, những khó khăn, những sự mất cân bằng.

Một tình huống thường liên hệ với những quy trình hành động. Một yếu

tố của tình huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi quy

trình giải quyết vấn đề của học sinh. Do đó trong quá trình dạy học ta cần

soạn thảo ra tình huống tương ứng với tri thức cần dạy (tình huống cho tri

thức đó một nghĩa đúng). Sau đó ủy thác tình huống này cho học sinh. Học

sinh tiến hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự tương tác với môi trường.

Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của người học.

Do đó dạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi

sự thích ứng của học sinh, qua đó học sinh kiến tạo được kiến thức, đồng thời

phát triển được trí tuệ và nhân cách của mình.

Như vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình huống

và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần phát triển phương pháp dạy học phát triển tư

duy thuật giải cho học sinh.

1.2. Dạy học giải bài tập toán học

1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều quan trọng là

bài tập có vai trò giá trị mang hoạt động của học sinh. Thông qua giả bài tập,

học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và

thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp ( thuật toán), những

hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán

học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Từ đó ta

càng thấy rõ hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung

và phương pháp dạy học.

1.2.2. Giải bài tập

Vấn đề giải bài tập được tiến hành theo hai hướng cơ bản sau:

Một là thông qua nghiên cứu việc giải bài tập để xác định cấu trúc quy

luật hoạt động tư duy của con người.

Hai là nghiên cứu việc giải bài tập như một dạng hoạt động học của học

sinh. Phải kể đến công trình nghiên cứu của G.Poolya trong nhiều tác phẩm

của mình: Giải bài toán như thế nào? Toán học và những suy luận có lý, Sáng

tạo toán học…tuy ông không đưa ra một định nghĩa chính xác về giải bài tập,

nhưng theo ông giải bài toán là sự “tìm kiếm một cách ý thức phương tiện

thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt

được ngay”. Dựa trên ngững tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết

của Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực

tiễn dạy học, Nguyễn Bá Kim [6] đã nêu phương pháp chung để giải bài toán

như sau:

+ Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Phát biểu đề bài dưới dạng thức khác nhau để tìm hiểu rõ nội dung bài toán.

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.

- Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

+ Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán, biến

đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho

hoặc cái phải tìm với tri thức đã biết. liên hệ bài toán cần giải với một bài toán

cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài

toán nào đó có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán

chứng minhphanr chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa

kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan…

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để có thể chọn được cách giải

hợp lý nhất.

+ Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình

gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.

+ Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.

- Nghiên cứu giải các bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

1.3. Tư duy thuật toán

1.3.1. Khái niệm thuật toán và quy tắc tựa thuật toán

Hằng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến

phức tạp. Đối với một số bài toán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá

trình giải. Từ đó con người đã đi đến khái niệm trực giác về thật toán và khái

niệm này đã được dùng từ lâu, kéo dài suốt mấy nghìn năm trong Toán học.

Thuật toán theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn các chỉ

dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và

đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào một lớp của bài toán đó.

Tuy nhiên trong quá trình dạy học, chúng ta thường chỉ gặp những quy

tắc chưa mang đủ các đặc điểm đó nhưng cũng tỏ ra có hiệu lực trong việc chỉ

dẫn hành động và giải toán. Đó là “quy tắc tựa thuật toán” hay còn gọi là

“Thuật giải” được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện theo

một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành

thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó.

Quy tắc tựa thuật toán phân biệt với thuật toán như sau:

+ Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định.

+ Kết quả thực hiện mỗ chỉ dẫn có thể không đơn trị.

+ Quy tắc không bảo đảm chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem

lại kết quả là lời giải của bài toán.

Mặc dù còn có những hạn chế so với thuật toán nhưng quy tắc tựa thuật

toán cũng vẫn là tri thức phương pháp có ích cho quá trình hoạt động và giải

toán.

Trong tin học, người ta quan niệm bài toán là một việc nào đó ta muốn

máy tính thực hiện. Những việc như đưa một dòng chữ ra màn hình, giải phương

trình bậc hai, quản lý cán bộ của một cơ quan... là những ví dụ về bài toán.

Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đưa vào

máy thông tin gì (Input) và lấy ra thông tin gì (Output). Do đó để phát biểu

một bài toán, ta cần phải trình bày rõ Input và Output của bài toán và mối

quan hệ giữa Input và Output.

Ví dụ 1: Bài toán tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương.

Input: Hai số nguyên dương M và N.

Output: ước chung lớn nhất của M và N.

Ví dụ 2: Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0

(a 0).

Input: Các số thực a, b, c. (a 0)

Output: Tất cả các số thực x thỏa mãn: ax2 + bx + c = 0

Ở đây Output có thể là một hoặc hai số thực hoặc câu trả lời không có

số thực nào như vậy.

Qua các ví dụ trên, ta thấy các bài toán được cấu tạo bởi hai thành

phần cơ bản:

Input: Các thông tin đã có.

Output: Các thông tin cần tìm từ Input.

Việc cho một bài toán là mô tả rõ Input cho trước và Output cần tìm.

Vấn đề là làm thế nào để tìm ra Output.

Việc chỉ ra tường minh một cách tìm Output của bài toán được gọi là

một thuật toán trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy,

từ Input của bài toán (algorithm) giải bài toán đó. Có nhiều định nghĩa khác

nhau về thuật toán. Dựa vào sự phân tích trên ta có thể định nghĩa thuật

toán như sau:

Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác được

sắp xếp theo một toán, ta nhận được Output cần tìm.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của một dãy số nguyên.

+ Xác định bài toán.

+ Input: Số nguyên dương N và dãy N số nguyên a1, a2, ...an.

+ Output: Giá trị lớn nhất Max của dãy số.

* Ý tưởng: - Khởi tạo giá trị Max = a1.

- Lần lượt với i từ 2 đến N, so sánh giá trị số hạng ai với

giá trị Max, nếu ai > Max thì Max nhận giá trị mới là ai.

* Thuật toán: Thuật toán giải bài toán này có thể được mô tả theo cách

liệt kê như sau:

Bước 1: Nhập N và dãy a1, a2, ...,an.

Bước 2: Max = ai ; i: = 2

Bước 3: Nếu i > N thì đưa ra giá trị Max rồi kết thúc.

Bước 4: + Bước 4.1. Nếu ai > Max thì Max: = ai

+ Bước 4.2. Nếu i: = i + 1 rồi quay lại bước 3.

Từ đó ta thấy thuật toán có các tính chất sau:

* Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện

các thao tác.

* Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán

kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo.

* Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận được Output cần

tìm.

Ví dụ: Với thuật toán tìm Max đã xét:

* Tính dừng: Vì giá trị của i mỗi lần tăng lên một đơn vị nên sau N

lần thì i > N, khi đó kết quả của phép so sánh ở bước 3 xác định việc đưa ra

giá trị Max rồi kết thúc.

* Tính xác định: Thứ tự thực hiện các bước của thuật toán được mặc

định là tuần tự nên sau bước 1 là bước 2, sau bước 2 là bước 3. Kết quả các

bước so sánh trong bước 3 và bước 4 đều xác định duy nhất bước tiếp theo

cần thực hiện.

* Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với từng số hạng của dãy

số và thực hiện Max: = ai nếu ai > Max nên sau khi so sánh hết N số hạng của

dãy thì Max là giá trị lớn nhất.

1.3.2. Các đặc trưng của thuật toán

- Tính đơn trị

Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị,

nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên

cùng một đối tượng thì phải cho cùng kết quả.

Ví dụ: Quy trình 4 bước để giải một bài toán.

Bước 1. Tìm hiểu nội dung bài toán.

Bước 2. Tìm đường lối giải toán.

Bước 3. Thực hiện chương trình giải toán.

Bước 4. Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải.

Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm.

Chẳng hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta

có thể hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau.

Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật toán. Bất

kể cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết

quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này. Tính chất này

hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực

hiện thuật giải, làm một số công việc thay thế cho con người.

- Tính hiệu quả

Tính hiệu quả của thuật toán được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn

như: khối lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thực

hiện. Tính hiệu quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn

lựa cách giải quyết vấn đề - bài toán trên thực tế. Có rất nhiều phương pháp

để đánh giá tính hiệu quả của thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán là một

tiêu chuẩn được dùng rộng rãi.

- Tính tổng quát

Thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng được cho mọi

trường hợp của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng được cho một số trường

hợp riêng lẻ nào đó.

1.3.3. Các phương pháp biểu diễn thuật toán

Khi chứng minh hoặc giải một bài toán trong toán học, ta thường dùng

những ngôn ngữ toán học như: "ta có", "điều phải chứng minh","giả thiết",...

và sử dụng các phép suy luận toán học như phép kéo theo, phép tương

đương,...

Thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải một bài toán nên cũng

phải tuân theo một số quy tắc nhất định. Để có thể truyền đạt thuật toán cho

người khác hay chuyển thuật toán thành chương trình máy tính, ta phải có

phương pháp biểu diễn thuật toán. Có 4 phương pháp biểu diễn thuật toán.

+ Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.

+ Dùng lưu đồ - sơ đồ khối.

+ Dùng ngôn ngữ phỏng trình.

+ Dùng ngôn ngữ lập trình.

- Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.

Trong cách biểu diễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ

toán học, người ta sử dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để

liệt kê các bước của thuật toán. Các thuật toán ở mục 1 đều được viết dưới

dạng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Phương pháp biểu diễn này

không yêu cầu người viết thuật toán cũng như người đọc thuật toán phải nắm

các quy tắc. Tuy vậy, cách biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện rõ

cấu trúc thuật toán, đôi lúc gây hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho người đọc.

- Lưu đồ - Sơ đồ khối.

Lưu đồ hay sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật

toán. Biểu diễn thuật toán bằng lưu đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sự

phân cấp các trường hợp và quá trình xử lý của thuật toán. Phương pháp lưu

đồ thường được dùng trong những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi

được quá trình xử lý.

Để biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao

tác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động.

* Thao tác lựa chọn.

Thao tác lựa chọn được biểu diễn bằng một hình thoi, bên trong chứa

biểu thức điều kiện:

a = b  = 0

* Thao tác xử lý được biểu diễn bằng một hình chữ nhật, bên trong

chứa nội dung xử lý.

Tăng i lên Tăng i lên 1 Chọn 1 hộp bất kỳ

* Đường đi.

Trong ngôn ngữ lưu đồ, do thể hiện các bước bằng hình vẽ và có thể

đặt các hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên ta phải có phương pháp để hiện trình tự

thực hiện các thao tác.

Bước 2

Bước 1

Bước 3

Hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một mũi tên chỉ hướng thực hiện.

Từ thao tác chọn lựa có thể có hai hướng đi, một hướng ứng với điều

kiện đúng, một hướng ứng với điều kiện sai.

S  = 0  > 0 Đ

Có 2 nghiệm phân biệt

* Điểm cuối.

Điểm cuối là điểm khởi đầu và kết thúc của thuật toán, được biểu diễn

như sau:

Bắt đầu Kết thúc

(Có thể thay chữ bắt đầu bởi Star/Begin) (Có thể thay chữ kết thúc bởi End)

Ngoài ra còn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật toán có

lưu đồ lớn.

Lưu đồ mô tả thuật toán một cách trực quan nhưng lại rất cồng kềnh khi

phải mô tả những thuật toán phức tạp. Một phương pháp khác để biểu diễn

thuật toán khắc phục nhược điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình.

- Ngôn ngữ phỏng trình

Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trường

hợp của thuật toán nhưng lại cồng kềnh. Để mô tả thuật toán nhỏ ta phải

dùng một không gian rất lớn. Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là

rẽ nhánh (lựa chọn có điều kiện) và xử lý mà trong trực tế, các thuật toán

còn có các lặp.

Biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ phỏng trình là cách biểu diễn sự

vay mượn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C,

C++,...) để thể hiện thuật toán. Ngôn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với

mọi người, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và chưa quá sa đà vào

những quy ước chi tiết. Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ

cho máy tính điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa.

Ví dụ: Biểu diễn thuật toán giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ

phỏng trình.

Begin.

If Delta > 0 then begin.

x1 = (-b-sqrt(delta))/(2*a)

x2 = (-b + sqrt (delta))/(2*a).

inra: phương trình có 2 nghiệm là x1, x2.

End.

Else.

If Delta = 0 then.

Inra: phương trình có nghiệm kép là

Else (trường hợp Delta < 0)

Inra: phương trình vô nghiệm.

End.

Trên đây, ta đã chỉ ra 3 cách để biểu diễn một thuật toán. Trong trường

hợp thuật toán viết bằng ngôn ngữ máy tính, ta có một chương trình.

- Ngôn ngữ lập trình.

Có nhiều ngôn ngữ lập trình như Pascal, Basic, C, C++,.... Sau đây là ví

dụ dùng ngôn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật toán giải phương trình

bậc hai:

Ví dụ. Tìm nghiệm thực của phương trình bậc hai:

ax2 + bx + c = 0, (a 0)

Input: Các hệ số a, b, c nhập từ bàn phím.

Output: Đưa ra màn hình các nghiệm thực hoặc thông báo “Phương

trình vô nghiệm”.

Thuật toán: Thuật toán giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ lập

trình Pascal.

Program Giai-pt bậc hai;

Uses Crt;

Var a , b, c : real;

, x1, x2 : real;

Begin

Clrscr;

Write (‘a, b, c: ’);

Readln (a, b, c) ;

 = b * b – 4 * a * c ;

if  < 0 then Writeln (‘Phương trình vô nghiệm’)

Else

Begin

x1 = ( - b – sqrt ( ))/(2 * a);

x1 = ( - b + sqrt ( ))/(2 * a);

Witeln ( ‘x1 =’, x1 : 8:3 , ‘x2 = ’ , x2 : 8:3);

End;

Readln

End.

1.3.4. Độ phức tạp của thuật toán

Trong thực tế có nhiều thuật toán, về mặt lý thuyết là kết thúc sau hữu

hạn bước, tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đó vượt quá khả năng làm việc của

chúng ta. Do đó để đánh giá tính hiệu quả của một thuật toán, chúng ta phải

chú ý đến độ phức tạp của các thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán có thể

đo bằng không gian, tức là dung lượng bộ nhớ của máy tính cần thiết để thực

hiện thuật toán; và bằng thời gian, tức là thời gian máy tính làm việc. Trong

luận văn này, khi nói đến độ phức tạp của thuật toán ta luôn hiểu là độ phức

tạp thời gian. Độ phức tạp của thuật toán chính là cơ sở để phân loại bài toán

giải được hay không giải được.

1.3.5. Tư duy thuật toán và vấn đề phát triển tư duy thuật toán trong dạy

học

Tư duy thuật toán là cách suy nghĩ để nhận thức, để giải quyết vấn đề

một cách có trình tự (sắp xếp lần lượt, thứ tự trước sau).

Thông qua việc dạy học các quy trình, phương pháp có tính chất thuật toán

giáo viên cần rèn luyện cho học sinh tư duy thuật toán. Tư duy thuật toán

được đặc trưng bởi các khả năng:

- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một

thuật toán cho trước.

- Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện

theo một trình tự xác định.

- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.

- Khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một

hoạt động trên một lớp đối tượng.

- So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và

phát triển thuật toán tối ưu.

Khả năng đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật toán, bốn khả năng sau thể

hiện khả năng xây dựng thuật toán, đặc biệt khả năng thứ hai thể hiện con mắt

phát hiện thuật toán.

Việc phát triển tư duy thuật toán cho học sinh có thể được thực hiện

bằng cách rèn luyện cho họ những khả năng đã liệt kê ở trên như những thành

tố của phương thức tư duy thuật toán.

1.3.6. Dạy học thuật toán và quy trình tựa thuật toán

+) Trong dạy học thuật toán hoặc quy trình tựa thuật toán cần lưu ý một số

điều sau:

- Thứ nhất là nên cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện một quy

tắc, tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh nắm vững nội dung từng bước và

trình tự thực hiện các bước của quy tắc đó.

- Thứ hai là cần trình bày rõ các bước trong những ví dụ cụ thể để đọng

lại cho học sinh cách trình bày khi luyện tập và được áp dụng trong một thời

gian đủ dài để họ nắm vững và vận dụng tốt quy tắc đó.

- Thứ ba là cần luyện tập cho học sinh thực hiện tốt những chỉ dẫn nêu

trong thuật toán hoặc quy tắc tựa thuật toán.

- Thứ tư là cần làm cho học sinh ý thức được và biết sử dụng trình tự

các bước.

- Thứ năm là cần có ý thức góp phần phát triển tư duy thuật toán cho

học sinh thông qua dạy học những thuật toán hay quy trình tựa thuật toán.

+) Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì

những lý do cơ bản sau:

- Tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa

trong các lĩnh vực khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn

cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa.

- Tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi

giải các bài toán bằng máy tính điện tử.

- Tư duy thuật toán giúp học sinh học tốt các môn học ở nhà trường phổ

thông, rõ nét nhất là môn toán.

- Tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển năng lực tư duy khác như

phân tích, tổng hợp, khái quát… và hình thành những phẩm chất của con

người lao động mới như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thói quen tự

kiểm tra…

1.4. Một số thực tiễn về dạy học Đại số tổ hợp ở trường THPT

1.4.1. Đặc điểm của chương trình và sách giáo khoa đại số và giải tích 11

nâng cao trong chương trình Trung học phổ thông hiện nay

- Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao được biên soạn theo

chương trình môn Toán Trung học phổ thông ban hành theo quyết định của

Bộ trưởng Bộ giáo dục và đào tạo, trên cơ sở tổng kết các ưu điểm và nhược

điểm của cuốn sách giáo khoa thí điểm Đại số và giải tích 11 ban Khoa học tự

nhiên (Bộ 1) sau 2 năm thí điểm được dạy tại gần 50 trường THPT ở nước ta

và lấy ý kiến của các cán bộ, giáo viên trong cả nước.

- Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao là sự tiếp nối của SGK

Đại số 10 nâng cao và theo [9, tr14] có những đặc điểm sau:

+ Sát thực, tức là gần gũi với thực tiễn dạy học ở phổ thông nhằm nâng

cao tính khả thi của chương trình và sách giáo khoa phù hợp với việc đổi mới

giáo dục trung học phổ thông; tiếp cận thực tiễn đời sống, thực tiễn khoa học.

+ Trực quan, tức là coi trình quan là phương pháp chủ đạo trong việc

tiếp cận các khái niệm toán học, dẫn dắt học sinh nhận thức từ trực quan sinh

động đến tư duy trừu tượng thông qua các hoạt động của họ.

+ Nhẹ nhàng, tức là xác định các yêu cầu vừa sức đối với học sinh,

không quá hàn lâm; sách giáo khoa trình bày vấn đề ngắn gọn, súc tích, không

gây cho học sinh căng thẳng trong quá trình học tập.

+ Đổi mới, tức là sách giáo khoa đã cách tân cách trình bày, nâng cao

tính sư phạm, góp phần đổi mới phương pháp dạy học và phương pháp

đánh giá.

1.4.2. Đặc điểm phần đại số tổ hợp trong chương trình và sách giáo khoa

Đại số và giải tích 11 nâng cao

- Chương trình đại số và tổ hợp được đưa vào dạy trong chương trình

lớp 11, giữa học kỳ I với thời lượng 9 tiết. Nội dung được trình bày trong

chương II cùng với nội dung xác suất.

- Tổ hợp là phần mở đầu chương II. Các kiến thức của nó rất cơ bản và

có liên quan mật thiết với phần xác suất – một kiến thức rất quan trọng trong

xã hội hiện đại. Nếu học sinh không nắm vững phần tổ hợp thì sẽ ảnh hưởng

không tốt đến việc học phần xác suất.

- Nội dung trong sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao phần tổ

hợp bám sát chương trình và đảm bảo nguyên tắc kế thừa. Trong thực tế giảng

dạy của bản thân tôi nhận thấy các bài toán tổ hợp luôn là các bài tập khó đối

với học sinh. Hệ thống bài tập trong sách giáo khoa được chọn lọc cẩn thận và

đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố lý thuyết. Do đó học sinh muốn

nắm vững bài học thì phải tự mình giải được các bài tập.

- Mục đích phần tổ hợp của sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng

cao là để học sinh làm quen với những vấn đề đơn giản có nội dung tổ hợp

thường gặp trong đời sống và khoa học. Do dô, hầu hết các ví dụ trong sách

giáo khoa ta thấy đều lấy từ thực tế cuộc sống. Do đó học sinh cần phải

hiểu và phân biệt được các khái niệm, nhớ và vận dụng được các quy tắc,

các công thức vào những bài toán đơn giản, không đòi hỏi qua các bước suy

luận trung gian.

- Mục tiêu chung phần tổ hợp của sách giáo khoa đại số và giải tích 11

nâng cao:

* Về kiến thức:

Giúp học sinh:

+ Nắm vững hai quy tắc cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân.

+ Hiểu rõ thế nào là hoán vị của n phần tử. Hai hoán vị khác nhau có

nghĩa là gì?

+ Hiểu rõ thế nào là một chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử. Đặc

biệt là thấy rõ mối liên hệ và sự khác nhau giữa hai khái niệm trên.

+ Nhớ công thức tính số các chỉnh hợp, số các tổ hợp chập k của n phần

tử.

+ Nắm vững các định lý, tính chất của chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n

phần tử.

+ Nắm vững công thức khai triển nhị thức Newton.

+ Nắm vững quy luật truy hồi thiết lập hàng thứ n+1 của tam giác

Pascal khi đã biết hàng thứ n. Tìm thấy mối quan hệ giữa các hệ số trong công

thức nhị thức Newton với các số nằm trên một hàng của tam giác Pascal.

* Về kỹ năng

Giúp học sinh:

+ Biết vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, công thức tính số các hoán vị,

số các tổ hợp, số các chỉnh hợp để giải một bài toán đơn giản.

+ Biết vận dụng công thức khai triển Newton vào làm một số bài tập

trong sách giáo khoa và sách bài tập.

1.4.3. Một số nhận định chủ quan của tác giả về thực tiễn dạy và học Đại số

tổ hợp ở trường THPT Hàm Long, Bắc Ninh

Với kinh nghiệm mười năm dạy học của bản thân, tôi có một số nhận

xét về việc dạy và học Đại số tổ hợp tại trường THPT Hàm Long, Bắc Ninh

như sau:

- Việc dạy và học Đại số tổ hợp vẫn được tiến hành theo những phương

pháp truyền thống, chưa áp dụng được các phương pháp dạy học tích cực.

- Học sinh tiếp thu phần kiến thức này còn chậm, do có nhiều kiến thức

có tính trừu tượng cao.

- Học sinh thường gặp khó khăn khi xác định cách giải bài tập đồng

thời việc trình bày lời giải cũng gặp không ít khó khăn.

1.5. Tiểu kết chương 1

Chương này trình bày những vấn đề về cơ sở lí luận của việc phát triển

tư duy thuật toán cho học sinh: khái niệm thuật toán và các đặc trưng của

thuật toán, quy trình tựa thuật toán; nhiệm vụ, vai trò của việc phát triển tư

duy thuật toán cho học sinh.

Tác giả cũng đưa ra được một số ví dụ minh họa cho việc phát triển tư

duy thuật toán trong dạy học một số nội dung toán học.

CHƯƠNG 2

BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN

TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP LỚP 11

(NÂNG CAO)

2.1. Nội dung Đại số tổ hợp trong sách giáo khoa lớp 11 (nâng cao)

2.1.1. Hai quy tắc đếm cơ bản

*) Quy tắc cộng

- Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc

phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương

án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi m + n cách.

Tổng quát hơn ta có định nghĩa sau:

- Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương

án A1, A2,…, Ak. Có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện

phương án A2, … và nk cách thực hiện phương án Ak . Khi đó công việc đó có

thể được thực hiện bởi n1+ n2+…+ nk cách.

*) Quy tắc nhân

- Giả sử một công việc gồm 2 công đoạn A và B. Công đoạn A có thể

làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể

làm theo m cách. Khi đó công việc có thể được thực hiện theo n.m cách.

Tổng quát hơn ta có định nghĩa sau:

- Giả sử một công việc bao gồm k công đoạn A1, A2,…, Ak. Công đoạn

A1 có n1 cách thực hiện, công đoạn A2 có n2 cách thực hiện, …, công đoạn Ak

có nk cách thực hiện. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1.n2….nk cách.

2.1.2. Hoán vị

*) Cho tập hợp A có n ( ) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một

thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A)

*) Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:

2.1.3. Chỉnh hợp

*) Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với . Khi lấy ra k

phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập

k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).

*) Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ( ) là

Quy ước: và .

2.1.4. Tổ hợp

*) Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với . Mỗi tập con của A

có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tủ của A (gọi tắt là một

tổ hợp chập k của A).

*) Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ( ) là:

*) Tính chất:

- Cho số nguyên dương n và số nguyên k với . Khi đó

2.1.5. Nhị thức Newton

*) Công thức nhị thức Newton

Quy ước: .

Số hạng tổng quát trong khai triển là .

2.2. Định hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy

học giải toán đại số tổ hợp

Nhiệm vụ phát triển tư duy thuật toán cho học sinh không thể thay thế

nhiệm vụ đào tạo con người đáp ứng được sự đòi hỏi của xã hội hiện đại, đảm

bảo chất lượng và đạt hiệu quả dạy học theo chuẩn kiến thức, kĩ năng đã đề ra

của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Bởi vậy định hướng kết hợp giữa các nhiệm vụ

đó được chúng tôi xác dịnh như sau:

2.2.1. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải trên cơ sở đáp

ứng được mục đích của việc dạy, học môn toán ở nhà trường phổ thông

Mục đích của việc dạy học toán trong nhà trường phổ thông là: giúp

học sinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thói quen cần

thiết cho cuộc sống, cho học tập; Hình thành và phát triển các phẩm chất tư

duy (tư duy logic, tư duy thuật giải, tư duy trừu tượng...) cần thiết của một

con người có học vấn trong xã hội hiện đại; Góp phần quan trọng trong việc

hình thành thế giới quan khoa học toán học, hiểu được nguồn gốc thực tiễn

của toán học và vai trò của nó trong quá trình phát triển văn hóa văn minh

nhân loại cũng như những tiến bộ của khoa học kỹ thuật.

2.2.2. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải trên cơ sở tôn

trọng chương trình sách giáo khoa hiện hành

Chương trình và sách giáo khoa môn Toán hiện nay được xây dựng trên

cơ sở tham khảo những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nước theo một

hệ thống quan điểm nhất quán về phương diện toán học cũng như về phương

diện sư phạm. Chương trình và sách giáo khoa lần này đã được thực hiện

thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và được điều chỉnh nội

dung phù hợp với thực tiễn giáo dục ở nước ta. Cụ thể là:

+ Khai thác triệt để sách giáo khoa để tìm những phần có thể thông qua

đó bồi dưỡng các hoạt động tư duy thuật toán .

+ Khai thác các dạng toán trong sách giáo khoa để xây dựng các thuật

giải cho các dạng toán tổng quát.

2.2.3. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán góp phần đổi mới

phương pháp dạy học hiện nay

Trong những năm gần đây, ngành Giáo dục Đào tạo đã đổi mới

chương trình, sách giáo khoa, phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới

phương pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho người học được học tập trong

hoạt động và bằng hoạt động: tự giác, tích cực, sáng tạo (hoạt động hóa người

học). Phù hợp với định hướng đổi mới đó, nhiều kết quả nghiên cứu, áp dụng

những xu hướng dạy học không truyền thống vào thực tế. Chảng hạn như:

dạy học giải quyết vấn đề, dạy học dựa vào lý thuyết tình huống, dạy học theo

thuyết kiến tạo, dạy học chương trình hóa, dạy học với công cụ máy tính điện

tử, dạy học theo lý thuyết hoạt động...

Vì vậy, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải dựa trên

định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.

2.2.4. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toánphải góp phần đắc

lực hình thành nhân cách con người ở thời đại mới

Xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi con người phải năng động, tự chủ,

sáng tạo, kỷ luật, biết tôn trọng pháp luật và các quy tắc của xã hội. Do đó,

dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán góp phần quan trọng trong

việc phát triển nhân cách người học. Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh

kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng toán học, dạy học theo hướng

phát triển tư duy thuật toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí

tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá... và những

phẩm chất của người lao động mới.như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật,

tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ cho học sinh.

2.2.5. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải phát huy tính

tính cực nhận thức của học sinh phù hợp với thực tiễn hoàn cảnh, môi

trường giáo dục và thực tiễn học sinh

Quá trình dạy học chỉ thực sự đạt hiệu quả khi quá trình dạy học bảo

đảm sự thống nhất giữa tính vừa sức với yêu cầu phát triển có thể được thực

hiện dựa trên lý thuyết về vùng phát triển gần nhất của Vưgôtxki.

Tính vừa sức để học sinh có thể chiếm lĩnh được tri thức, rèn luyện

được kỹ năng, kỹ xảo nhưng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu

cầu để thúc đẩy sự phát triển của học sinh. Hơn nữa, trong quá trình dạy học,

những yêu cầu phải hướng vào vùng phát triển gần nhất, tức là phải phù hợp

với trình độ mà học sinh đã đạt tới ở thời điểm đó, không thoát ly cách xa

trình độ này, nhưng họ vẫn còn phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu vươn lên thì

mới thực hiện được nhiệm vụ đặt ra.

2.2.6. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải kết hợp chặt

chẽ rèn luyện cho học sinh tính tổ chức, tính linh hoạt và sáng tạo.

Để đào tạo những con người có đầy đủ các phẩm chất của người lao

động mới đòi hỏi trong quá trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật

toán bên cạnh việc cho học sinh tập luyện tốt các hoạt động tư duy thuật toán

cần làm cho học sinh biết cách tìm tòi, sáng tạo thông qua việc khai thác ứng

dụng của một số nội dung kiến thức hay những bài tập đòi hỏi tính linh hoạt,

tính tích cực trong tư duy của học sinh.

2.3. Biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong dạy học

giải toán đại số tổ hợp

Từ các định hướng trên, những biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện và

phát triển tư duy thuật toán cho học sinh được chúng tôi đề xuất như sau:

2.3.1. Biện pháp 1 : Rèn luyện cho học sinh sử dụng thành thạo các thuật

toán đã được trang bị trong chương trình

Trong chương trình môn Toán lớp 11, học sinh được trang bị những

thuật toán sau:

- Quy tắc cộng.

- Quy tắc nhân.

- Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

- Công thức khai triển nhị thức Newtơn.

Điều quan trọng khi vận dụng những thuật toán trên, học sinh cần phân

biệt được: khi giải quyết công việc đó ta thực hiện theo những cách khác nhau

hay theo những công đoạn kế tiếp nhau? Việc sắp thứ tự trong khi chọn có

dẫn tới những cách chọn khác nhau hay không?

Theo đó khi dạy học về hai quy tắc đếm, giáo viên có thể cho HS tiếp

cận với hai quy tắc này bằng cách đưa ra một số bài toán (về hai quy tắc đếm,

từ cụ thể đến khái quát), ghi trên phiếu học tập, phát cho từng nhóm HS

nghiên cứu, thảo luận, đề xuất lời giải. Trước hết, mỗi học sinh cần độc lập

nghiên cứu lời giải các bài toán được ghi trong phiếu học tập. Sau đó cả nhóm

thảo luận và phát hiện ra khi nào, dạng nào thì dùng quy tắc cộng, khi nào,

dạng nào thì dùng quy tắc nhân. Trong mỗi bài toán nên có cả hai quy tắc, tạo

điều kiện để học sinh phân biệt được hai quy tắc đếm.

Chẳng hạn, một phiếu học tập khi học quy tắc đếm có thể gồm các hệ thống

bài toán sau:

Hệ thống 1: gồm các bài toán có nội dung cụ thể:

1) Trong hộp có 6 viên bi trắng khác nhau và 3 bi đen khác nhau.

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một viên bi?

b) Có bao nhiêu cách chọn ra một cặp viên bi: Trắng, đen?

2) Trên giá sách có 4 quyển Văn và 3 quyển Toán.

a) Có bao nhiêu cách chọn một quyển sách?

b) Có bao nhiêu cách lấy ra 2 quyển sách cùng loại?

3) Hoàng có 8 đồ mặc gồm 3 kiểu quần và 5 kiểu áo.

a) Có bao nhiêu cách chọn một đồ mặc?

b) Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?

Hệ thống 2: gồm các bài toán khái quát từ các bài cụ thể ở trên:

1) Một công việc được hoàn thành bởi hai hoạt động: Hoạt động một có m

cách, hoạt động hai có n cách. Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn thành công

việc?

2) Một công việc được hoàn thành bởi hai hoạt động liên tiếp: Hoạt động

một có m cách, hoạt động hai có n cách. Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn

thành công việc?

3) Một công việc được hoàn thành bởi hai phương án: Phương án một có m

cách, phương án hai có n cách. Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn thành công

việc?

4) Một công việc được hoàn thành sau hai công đoạn: Công đoạn một có m

cách, công đoạn hai có n cách. Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn thành công

việc?

Hệ thống 3: gồm các bài toán để củng cố tiếp các bài toán khái quát ở trên

1) Một cơ quan có 4 cổng để vào, ra.

a) Có bao nhiêu cách vào rồi ra cơ quan đó?

b) Có bao nhiêu cách vào rồi ra cơ quan đó bằng hai cổng khác nhau?

2) Một tập bài có 5 quân đỏ khác nhau và 4 quân đen khác nhau.

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một quân bài?

b) Có bao nhiêu cách chọn ra hai quân bài khác màu?

Bằng cách này giáo viên đã trang bị cho học sinh hai quy tắc đếm theo

phương pháp dạy học tích cực.

Ta còn có thể chia các dạng bài tập theo các dạng toán riêng lẻ giúp học

sinh thuận lợi trong quá trình rèn kĩ năng về hai dạng bài toán đếm:

Dạng 1: Đếm số phần tử của tập hợp theo qui tắc cộng

Ví dụ 2.1: Một nhà hàng có 3 loại kem, 4 loại chè và 6 loại bánh ngọt. Thực

khách cần chọn đúng 1 loại đồ ăn. Hỏi có mấy cách chọn?

Hướng dẫn: Có: 3 + 4 + 6 = 13 cách chọn.

Ví dụ 2.2: Từ các chữ số 1, 2, 3 có bao nhiêu cách để lập được số tự nhiên có

chữ số khác nhau?

Hướng dẫn:Các số phải tìm gồm ba loại:

Loại 1: Số gồm một chữ số có 3 số: 1, 2, 3.

Loại 2: Số gồm một chữ số có 6 số: 12, 13, 21, 23, 31, 32.

Loại 3: Số gồm một chữ số có 6 số: 123, 132, 213, 231, 321, 312.

Vậy có: 6 + 6 + 3 = 15 số.

Ví dụ 2.3: Giả sử trường A được cử một học sinh đi dự trại hè toàn tỉnh Sơn

La, nhà trường quyết định chọn học sinh đó là học sinh giỏi Toán hoặc là học

sinh giỏi Văn. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng trường

có 15 học giỏi Văn và 12 học sinh giỏi Toán?

Hướng dẫn: Có các trường hợp sau

Trường hợp 1: Nếu ở trường đó mỗi học sinh giỏi Văn thì không giỏi Toán và

mỗi học sinh giỏi Toán thì không giỏi Văn (tức là không có học sinh nào giỏi

cả Văn và Toán) thì ta mới áp dụng được quy tắc cộng.

Ta có số cách chọn là: 15 + 12 = 27 cách.

Trường hợp 2: Giả sử trường A có học sinh vừa giỏi Văn vừa giỏi Toán thì ta

phải áp dụng quy tắc cộng mở rộng.

Chẳng hạn, nếu trường đó có 5 em là học sinh giỏi cả Văn và Toán thì theo

quy tắc cộng mở rộng thì trường đó sẽ có: 15 + 12 – 5 = 22 cách chọn.

Ví dụ 2.4: Trong trường THPT Thuận Châu, khối 11 có 16 HS tham gia CLB

đá cầu, 14 HS tham gia CLB bóng đá, 5 HS tham gia cả hai CLB và 10 HS

không tham gia CLB nào. Hỏi khối 11 ở trường đó có bao nhiêu HS?

Hướng dẫn: Kí hiệu |A| là số phần tử của tập hợp A thì ta có lời giải

Gọi tập hợp HS khối 11 tham gia CLB đá cầu và CLB bóng đá lần lượt

là A và B. Khi đó tập hợp khối 11 đó tham gia câu lạc bộ là A B.

Theo bài ra ta có:|A| = 16, |B| = 14, HS tham gia cả hai CLB là A B và

|A B | = 5.

Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:

|A B| = |A| + |B| |A B | = 16 + 14 – 5 = 25.

Vậy khối 11 đó có: 25 + 10 = 35 học sinh.

Dạng 2: Đếm số phần tử của tập hợp theo qui tắc nhân

Ví dụ 2.5: Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho ta có thể lập

lập được mấy số tự nhiên khác nhau và:

a) Gồm 3 chữ số?

b) Gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400?

c) Gồm 3 chữ số và chia hết cho 5?

Hướng dẫn:

Đặt

a) Có 6 cách chọn a; 5 cách chọn b ( ); 4 cách chọn c ( ).

Vậy có: 6.5.4 = 120 số.

b) Chọn a = 2 hay b = 3, có 2 cách. Sau đó, có 5 cách chọn b ( ), 4 cách

chọn c ( ).

Vậy có: 2.5.4 = 40 số nhỏ hơn 400.

c) Vì n chia hết cho 5, có 1 cách chọn c (c = 5).

Sau đó, có 5 cách chọn a (a ≠ c), có 4 cách chọn b (b ≠ a, b ≠ c).

Vậy có: 1.5.4 = 20 số chia hết cho 5.

Ví dụ 2.6: Một chi đoàn có 15 người, cần bầu ra 1 bí thư, 1 phó bí thư, 1 ủy

viên và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có mấy cách chọn?

Hướng dẫn: Có 15 cách chọn bí thư.

Với mỗi cách chọn bí thư, có 14 cách chọn phó bí thư. Với mỗi cách chọn bí

thư, chọn phó bí thư, có 13 cách chọn ủy viên.

Có: 15.14.13 = 2730 cách chọn.

Ví dụ 2.7: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,

mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1 và 5?

Hướng dẫn: Bài toán được chia thành các bước sau

Bước 1: Chọn ra 3 số thuộc tập hợp {2,3,4,6,7}. Số cách chọn là:

= 10. n1 =

Bước 2: Với 5 số được chọn ra, số các số tự nhiên với 5 chữ số được tạo ra là:

n2 = 5! = 120.

Theo quy tắc nhân số các số phải tìm là: n = n1.n2 = 10.120 =1200 số.

Ví dụ 2.8: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế trong một lớp

học. Hỏi có mấy cách xếp sao cho:

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ?

b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề

nhau?

c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được

ngồi kề nhau?

Hướng dẫn: a) Có 6 cách chọn một người tùy ý ngồi vào chỗ thứ nhất.

Tiếp đến, có 3 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 2. Lại có 2

cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có 2 cách chọn vào chỗ

thứ 4, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 5, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 6.

Vậy có: 6.3.2.2.1.1 = 72 cách.

b) Cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ nhất và chỗ thứ hai, có 2 cách.

Tiếp đến, chỗ thứ ba có 2 cách chọn, chỗ thứ tư có 2 cách chọn, chỗ thứ năm

có 1 cách chọn, chỗ thứ sáu có 1 cách chọn.

Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ hai và chỗ thứ ba. Khi đó,

chỗ thứ nhất có 2 cách chọn, chỗ thứ tư có 2 cách chọn, chỗ thứ năm có 1

cách chọn, chỗ thứ sáu có 1 cách chọn.

Tương tự, khi cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ ba và chỗ thứ tư, chỗ

thứ tư và chỗ thứ năm, chỗ thứ năm và chỗ thứ sáu.

Vậy có: 5.(2.2.2.1.1) = 40 cách.

c) Số cách chọn để cặp nam nữ đó không ngồi kề nhau bằng số cách chọn tùy

ý trừ đi số cách chọn để cặp nam nữ đó ngồi kề nhau:

Vậy có: 72 – 40 = 32 cách.

Dạng 3: Sử dụng phối hợp hai quy tắc cộng và nhân

Ví dụ 2.9: Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm

phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng.

a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành?

b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành?

Hướng dẫn: Gọi X = {0,1,2,3,4,5}

Số cần tìm có dạng: .

a) a6

{1,3,5} có 3 cách chọn. X \ {0, a6}có 4 cách chọn. a6

X \ {a1, a6}có 4 cách chọn. a2

X \ {a1, a2, a6}có 3 cách chọn. a3

X \ {a1, a2, a3, a6}có 2 cách chọn. a4

X \ {a1, a2, a3, a4, a6}có 1 cách chọn. a5

Số các số lẻ cần tìm: 3.4.4.3.2.1 = 288 số.

b) Số các số gồm 6 chữ số bất kì (a1có thể bằng 0) là:

6.5.4.3.2.1 = 720 số.

Số các số gồm 6 chữ số mà a1 = 0 là: 5.4.3.2.1 = 120 số.

120 = 600 số. Vậy số các số gồm 6 chữ số (a1 ≠ 0) lấy từ X: 720

Mà các số lẻ là 288. Vậy các số chẵn là: 600 288 = 312 số.

Cách khác:

Có 5! số chẵn với a6 = 0.

Có 2.4.4! số chẵn với a6 = 2 hay a6 = 4.

Vậy số các số chẵn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 5! + 2.4.4! = 312 số.

Ví dụ 2.10: Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ

0, 2, 3, 6, 9?

Hướng dẫn: Gọi X = {0,2,3,6,9}.

Số cần tìm có dạng: a1 ≠ 0

Cách 1:

* Trường hợp a1 lẻ

{3,9} có 2 cách chọn. a1

{0,2,6} có 3 cách chọn. a5

a2 X \ {a1, a5} có 3 cách chọn.

a3 X \ {a1, a5, a2} có 2 cách chọn.

a4 X \ {a1, a5, a2, a3} có 1 cách chọn.

Vậy có: 2.3.3.2 = 36 số chẵn.

* Trường hợp a1 chẵn

{2,6} có 2 cách chọn. a1

a5 {0,2,6} \ {a1} có 2 cách chọn.

Tương tự, trên số cách chọn a2, a3, a4 là: 2.2.3.2 = 24 số.

Vậy số các số chẵn là: 36 + 24 = 60 số.

Cách 2:

Có 4! số chẵn với với a5 = 0.

Có 2.3.3! số chẵn với với a5 = 2 hay a5 = 6.

Vậy số các số chẵn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4! + 2.3.3! = 60 số.

Khi giảng dạy các thuật toán tương tự nhau, giáo viên cần nhấn mạnh

điểm giống nhau và đặc biệt là các điểm khác nhau để học sinh có thể nhận

biết và sử dụng đúng trong quá trình giải toán. Chẳng hạn khi dạy về chỉnh

hợp và tổ hợp để phân biệt giữa tổ hợp và chỉnh hợp ta chỉ cần lưu ý, nhấn

mạnh cho HS một số dạng bài toán sau:

Dạng 1 : Nếu việc lấy ra tập con gồm k phần tử của tập n phần tử mà thứ tự

các phần tử lấy ra không quan trọng, không ảnh hưởng đến kết quả bài toán

thì đáp số là số tổ hợp chập k của n, còn nếu thứ tự các phần tử lấy ra quan

trọng, ảnh hưởng đến kết quả bài toán thì đáp số là số chỉnh hợp chập k của

Ví dụ 2.11: Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 người ta cần lập ra các số tự nhiên gồm 2

chữ số khác nhau. Hỏi có bao nhiêu số như thế?

Hướng dẫn: Có hai cách đơn giản để giải bài toán này

Rõ ràng đáp án ở đây chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy có:

số.

Học sinh cũng có thể làm theo cách liệt kê các số đó là: 12, 13, 14, 15, 21, 23,

24, 25, 31, 32, ,34, 35, 41, 42, 43, ,45, 51, 52, 53, 54 rồi đếm số lượng để đưa

ra đáp án.

Ví dụ 2.12: Để thăm dò mức độ yêu thích của HS đối với 11 môn học ở lớp

11, một giáo viên đã phát phiếu thăm dò cho HS, trên đó đã ghi thứ tự các

môn học từ Toán, Lý,... như nhau. Học sinh cần ghi vào phiếu các số từ 1 đến

11 tương ứng cho mỗi môn học, theo thứ tự yêu thích giảm dần (yêu thích

nhất ghi số 1, yêu thích nhì ghi số 2,...). Hỏi có thể có bao nhiêu cách ghi khác

nhau?

Hướng dẫn: Rõ ràng dữ kiện bài toán phù hợp với định nghĩa của hoán vị

Mỗi cách ghi phiếu của HS là một hoán vị của 11 phần tử. Vậy có thể có:

P11 = 11! cách ghi khác nhau.

Ví dụ 2.13: Một nhóm học sinh gồm 7 nam HS dân tộc Kinh và 4 nữ HS dân

tộc Thái. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh đó vào ghế dài sao cho:

a) Học sinh nam phải ngồi liền nhau?

b) Nhóm học sinh nữ ngồi chính giữa?

Hướng dẫn: a) 7 học sinh nam ngồi liền nhau xem như một vị trí x nên ta sắp

xếp x và 4 nữ là một hoán vị 5 phần tử: Có 5! cách.

Sau đó, sắp xếp 7 nam sinh trong vị trí x là một hoán vị 7 phần tử: Có 7! cách.

Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 5!.7! = 604800 cách.

b) 4 học sinh nữ ngồi chính giữa nên chiếm một vị trí y cố định nên sắp 7 học

sinh trên 7 chỗ: Có 7! cách.

Sau đó, hoán vị 4 học sinh nữ trong vị trí y: Có 4! cách.

Vậy có: 4!.7! = 120960 cách.

Ví dụ 2.14: Cho tập hợp số: E = {0,1,2,3,4,5}. Hỏi có thể lập thành bao nhiêu

số có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3?

Hướng dẫn: Chú ý rằng trong bài toán này có số 0 trong tập hợp.

Số gồm 3 chữ số khác nhau thành lập từ các chữ số của E kể cả số 0 ở

vị trí hàng trăm là: .

Số gồm 3 chữ số khác nhau thành lập từ các chữ số của E mà số 0 đứng

ở vị trí hàng trăm là: .

Số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Do đó, trong tập E

các tập con các chữ số sau đây có tổng chia hết cho 3: {0,1,2}; {0,2,4};

{0,4,5}; {0,1,5}; {1,2,3}; {2,3,4}; {1,3,5}.

Do đó có: 2.3! – 2.2! = 36 số chia hết cho 3.

Vậy tất cả có: 120 – 36 – 20 = 64 số phải tìm.

Ví dụ 2.15: Một cuộc thi ném còn gồm có 16 người trong đó có 2 cặp vợ

chồng. Trưởng bản muốn chọn 8 người chơi vào thi ném còn. Hỏi có bao

nhiêu cách chọn người chơi này phải có một cặp vợ chồng?

Hướng dẫn: Có 2 cách chọn một cặp vợ chồng và số người chơi còn lại ngoài

2 cặp vợ chồng là 12, trưởng bản phải chọn 6 người chơi trong 12 người này.

Có tất cả:

cách chọn. Vậy có tất cả: 2.924 = 1848 cách chọn người chơi.

Ví dụ 2.16: Có 5 học sinh, cần chọn ra 2 học sinh để đi trực nhật lớp học, hỏi

có mấy cách chọn?

Hướng dẫn: Dựa vào định nghĩa tổ hợp thì:

Đây là tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy có:

cách chọn.

Ví dụ 2.17: Trong các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ

số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1

lần?

Hướng dẫn: Cách 1: Gọi

Số các số n bất kì (a1 có thể là 0) mà 4 có mặt đúng 3 lần và các chữ số khác

đúng 1 lần:

Số các số n a1 = 0; 4 có mặt đúng 3 lần và các chữ số 1,2,3 có mặt đúng 1

lần:

Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán : = 720.

Cách 2: Xét một dãy hàng ngang có 7 ô trống liền nhau.

Lấy số 0 bỏ vào dãy hàng ngang có 6 cách.

Lấy số 1 bỏ vào dãy hàng ngang có 6 cách.

Lấy số 2 bỏ vào dãy hàng ngang có 5 cách.

Lấy số 3 bỏ vào dãy hàng ngang có 4 cách.

Lấy số 3 số 4 bỏ vào dãy hàng ngang có 1 cách.

Lấy các số thỏa mãn yêu cầu bài toán: 6.6.5.4 = 720.

Ví dụ 2.18: Trường THPT Tô Hiệu có 12 học sinh suất sắc. Cần chọn ra 4

học sinh để đi dự đại hội học sinh suất sắc toàn tỉnh Sơn La. Hỏi có mấy cách

chọn:

a) Tùy ý chọn bất kì HS nào?

b) Sao cho 2 học sinh A và B không cùng đi?

c) Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi?

Hướng dẫn: a) Chọn tùy ý 4 trong 12 học sinh, là tổ hợp chập 4 của 12 phần

tử.

Vậy có: cách.

b) Cách 1:

Nếu A, B cùng không đi, cần chọn 4 trong 10 học sinh còn lại. Đây là tổ hợp

chập 4 của 10 phần tử có: cách.

Nếu A đi, B không đi, cần chọn thêm 3 trong 10 học sinh còn lại có:

cách.

Tương tự

Nếu B đi dự, A không đi dự, cần chọn thêm 3 trong 10 học sinh còn lại có 120

cách.

Vậy số cách chọn theo yêu cầu là: 210 + 120 + 120 = 450 cách.

*Cách 2:

Nếu A và B cùng đi dự, cần chọn thêm 2 trong 10 học sinh còn lại có:

cách.

Suy ra số cách chọn theo yêu cầu là: 495 – 45 = 450 cách.

c) A và B cùng đi có: cách.

A và B cùng đi có: cách.

Vậy có tất cả: 45 + 210 = 255 cách.

2.3.2. Biện pháp 2: Tổ chức cho học sinh phát hiện những thuật toán mới

để giải cùng một những dạng toán

Để làm được việc trên, người giáo viên có thể thiết kế các dạng bài tập

có nhiều cách giải đồng thời yêu cầu học sinh giải bằng nhiều cách khác nhau

nhằm giúp học sinh suy nghĩ theo nhiều hướng khác nhau để tìm cách làm.

Bên cạnh đó, vai trò của người giáo viên trong việc định hướng suy nghĩ cho

học sinh là hết sức cần thiết vì không phải bài toán nào học sinh cũng có thể

tìm thêm được thuật toán mới. Sau đay là một số ví dụ minh họa:

Dạng toán có bao nhiêu cách thành lập số tự nhiên

Ví dụ 2.19: Cho tập hợp . Có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên gồm năm chữ số khác nhau đôi một từ X.

Hướng dẫn: Cách 1: Học sinh có thể làm theo cách thông thường đã được

học đó là

Gọi số cần lập là: , với .

Có 6 cách chọn a do .

Có 6 cách chọn b, do b khác a.

Có 5 cách chọn c, do c khác a, b.

Có 4 cách chọn d, do d khác a, b, c.

Có 3 cách chọn e, do e khác a, b, c, d.

Theo quy tắc nhân ta có: 6.6.5.4.3=2160 số thỏa mãn đề bài.

Cách 2:

Nếu coi số 0 có vai trò bình đẳng với các chư số còn lại ( mặc dù số 0 không

thể là chữ số đứng ở vị trí đầu tiên của một số tự nhên) thì ta có số

có 5 chữ số khác nhau từ tập X.

Xét các số có dạng , thì chọn 4 chữ số khác nhau từ 6 chữ số thuộc X (

trừu số 0), có số.

Vậy số các số thỏa mãn đề bài là: 2520 – 360 = 2160 số.

Rõ ràng hai đáp số trên là hoàn toàn giống nhau. Ở đây, khi dạy học bài

tập dạng này, giáo viên nên có những câu hỏi gợi mở để học sinh tập phát

hiện thuật toán mới. Đồng thời, qua một vài bài toán cụ thể, học sinh có thể

đưa ra bài toán tổng quát mà có thể vận dụng quy trình giải tương tự nhau

Chẳng hạn, từ cách giải thứ hai, học sinh có thể phát triển thành một phương

pháp giải bài tập đó là “Phương pháp tính phần bù”.

Ví dụ 2.20: Cho tập hợp . Có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn gồm năm chữ số khác nhau đôi một từ X .

Hướng dẫn: Cách 1

Gọi số cần lập là: , với .

Để số lập được là số chẵn thì phải chia hết cho 2, mà nên có 4 cách

có thể chọn là 0, 2, 4, 6. Nhưng ta phải chia làm 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Chọn e=0 thì:

Có 6 cách chọn a, do a khác e.

Có 5 cách chọn b, do b khác a, e.

Có 4 cách chọn c, do c khác a, b, e.

Và có 3 cách chọn d, do d khác a, b, c, e.

Theo quy tắc nhân ta có: 1.6.5.4.3=360 số.

Trường hợp 2: Chọn có 3 cách

Có 5 cách chọn a, do a khác e và khác 0.

Có 5 cách chọn b, do b khác a, e.

Có 4 cách chọn c, do c khác a, b , e.

Có 3 cách chọn d, do d khác a, b, c, e.

Theo quy tắc nhân: Có 3.5.5.4.3=900 số.

Theo quy tắc cộng: có 360+900=1260 số thỏa mãn đề.

Cách 2:

Gọi số cần lập là: , với và khác nhau đôi một

Chữ số a có 6 cách chọn, vì a khác 0.

Chữ số b có 6 cách chọn, vì a khác b.

Chữ số c có 5 cách chọn, vì c khác a, b.

Chữ số d có 4 cách chọn, vì d khác a, b, c.

Chữ số e có 3 cách chọn , vì e khác a, b, c, d.

Theo quy tắc nhân, có: 6.6.5.4.3=2160 số có 5 chữ số đôi một khác nhau

Bây giờ ta đi tìm các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập ra từ tập X mà đó

là số lẻ. Khi đó:

Chữ số e lẻ có 3 cách chọn.

Chữ số a có 5 cách chọn, do a khác e và khác 0.

Chữ số b có 5 cách chọn , do b khác a, e.

Chứ số c có 4 cách chọn, do c khác a, b, c.

Chữ số d có 3 cách chọn, do d khác a, b, c, e.

Theo quy tắc nhân, có 3.5.5.4.3=900 số.

Vậy các số tự nhiên chẵn, có 5 chữ số khác nhau là: 2160-900=1260 số.

Dạng toán chọn người hay đồ vật

Ví dụ 2.21: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học

sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần

chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá

2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Hướng dẫn: Cách 1(tính trực tiếp): Nếu phân tích theo đề bài và làm trực tiếp

thì sẽ phải chia ra thành rất nhiều trường hợp như sau:

- Chọn cả 4 học sinh ở lớp A có cách.

- Chọn cả 4 học sinh ở lớp B có cách.

- Chọn 4 học sinh có mặt ở hai lớp A và B có các khả năng

3 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B, có cách.

2 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp B, có cách.

1 học sinh lớp A và 3 học sinh lớp B, có cách.

Vậy trong trường hợp này có: + + cách.

- Chọn 4 học sinh chỉ từ hai lớp A và C có các khả năng

3 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp C, có cách.

2 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp C, có cách.

1 học sinh lớp A và 3 học sinh lớp C, có cách.

Vậy trong trường hợp này có: + + cách.

- Chọn 4 học sinh chỉ từ hai lớp B và C có các khả năng

3 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, có cách.

2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C, có cách.

1 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C, có cách.

Vậy trong trường hợp này có: + + cách.

Theo quy tắc cộng có:

+ + + + + + + + + + =225.

Cách 2 (Tính gián tiếp)

Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: = 495.

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:

- Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh

 Số cách chọn là: = 120.

- Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh

 Số cách chọn là: = 90.

- Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh

 Số cách chọn là: = 60.

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là

120 + 90 + 60 = 270.

Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách.

Ví dụ 2.22: Một hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi trắng và 9 viên bi

vàng.Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4

viên bi mà không có đủ cả 3 màu

Hướng dẫn: Số cách chọn 4 viên bi bất kỳ từ hộp trên là

Ta chọn 4 viên bi có đủ cả 3 màu từ hộp trên

- Chọn 2 viên bi màu đỏ, 1 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu vàng có

cách.

- Chọn 1 viên bi màu đỏ, 2 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu vàng có

cách.

- Chọn 1 viên bi màu đỏ, 1 viên bi màu trắng và 2 viên bi màu vàng có

cách.

Vậy, có 8855-1080-1512-1728=4535 cách thỏa mãn đề.

Vấn đề quan trọng ở dạng toán này là học sinh phải xác định được các

pần tử chọn ra có cần đến thứ tự hay không để sử dụng công thức chỉnh hợp

hay tổ hợp cho chính xác.

Ví dụ 2.23: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển của nhị thức

với .

Hướng dẫn: Cách 1

Trong khai triển của nhị thức: thì số hạng tổng quát là:

với .

Vậy để số hạng chứa thì thỏa mãn điều kiện.

Kết luận: Số hạng chứa là: .

Cách 2

Học sinh có thể tiến hành khai triển cụ thể thao công thức nhị thức

Newtơn rồi chỉ ra số hạng thỏa mãn đề bài.

Rõ ràng khi đưa cho học sinh một bài toán có nhiều cách giải thì học

sinh có nhiều hướng suy nghĩ để giải bài, tư đó có thể tìm thấy cách giải tối

ưu hay cũng có thể khái quát hóa thành một thuật toán khi giải các bài mới

tương tự.

Ví dụ 2.24: Một số kiểu bài về Nhị thức Newton:

- Tìm hệ số của số hạng không chứa trong khai triển của nhị thức

với .

- Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển của nhị thức

. với n thỏa mãn:

- Trong khai triển nhị thức , hãy tìm số hạng không phụ thuộc

vào x, biết rằng với .

Qua việc giải các bài toán trong ví dụ 2.24, học sinh có thể nhận thấy:

các bài toán tìm số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước của khai triển nhị thức

có thể được tiến hành theo một quy trình chung đó là:

+) Tìm số hạng tổng quát của khai triển.

+) Buộc số hạng tổng quát phải thỏa mãn yêu cầu của đề bài .

Cụ thể

- Tìm hệ số của số hạng không chứa trong khai triển của nhị thức

với .

Hướng dẫn: Số hạng tổng quát của khai triển là:

với và .

Để số hạng không chứa x trong khai triển thì: .

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển Newton của nhị thức trên là:

- Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển của nhị thức

với n thỏa mãn: .

Hướng dẫn: Điều kiện: .

Từ hệ thức

Thỏa mãn điều kiện. Khi đó học sinh đã đưa về dạng toán cơ bản, có thuật

toán như hai bài tập trên.

Với n=12, ta có khai triển là :

có số hạng tổng quát là với

Để số hạng chứa thì .

Vậy, số hạng chứa trong khai triển trên là: .

- Trong khai triển nhị thức , hãy tìm số hạng không phụ thuộc

vào x, biết rằng với .

Hướng dẫn

Từ

Với n=12 ta có khai triển với số hạng tổng quát là :

Để số hạng không chứa x thì .

Vậy số hạng cần tìm là : .

2.3.3. Biện pháp 3: Trang bị và rèn luyện cho học sinh những kĩ thuật cần

thiết quy một dạng toán lạ về dạng toán quen, về thuật toán quen thuộc

Để thực hiện biện pháp này, giáo viên có thể sử dụng hệ thống các ví

dụ, bài tập để dẫn dắt, minh họa cho học sinh cách thức suy luận chuyển một

bài toán lạ về một bài toán quen thuộc đã có thuật toán hay một dạng toán đã

biết cách làm.

Ví dụ 2.25: Chứng minh rằng

Hướng dẫn:

Xét khai triển Newton của:

Ví dụ 2.26: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( ). Biết rằng số tập con

gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm

sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.

Hướng dẫn: Số tập con có k phần tử của tập A là .

Vậy, theo đề bài ta có

Kết hợp điều kiện thì n=18.

Số tập con có k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi

Ta có

Vậy ta có k=9 thỏa mãn đề bài.

Nhận xét: Từ một bài toán lạ, có thể phân tích để đưa về những bài toán

đã gặp và tương đối quen thuộc.

Kĩ thuật nhóm đối tượng

Ví dụ 2.27:

Từ các chữ số , lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số

sao cho chữ số 1 xuất hiện đúng ba lần còn các chữ số còn lại xuất hiện đúng

1 lần ?

Hướng dẫn: Nhận xét

Đây là bài toán liên quan đến lập số tự nhiên, học sinh đã gặp trong khi học

bài quy tắc đếm cũng như bài hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

Nếu học sinh sử dụng cách làm bình thường, đó là

Gọi số cần lập là với và tiến hành theo

bài toán đã gặp là chọn từng chữ số một thì sẽ gặp nhiều khó khăn, có thể phải

chia thành rất nhiều trường hợp.

Một hướng phân tích khác mà nếu học sinh có thể vận dụng để chuyển

bài toán trên thành một bài toán quen hơn, đó là : Việc tạo thành một số tự

nhiên có thể đưa về bài toán sắp xếp các chữ số vào các

vị trí trên một hàng ngang.

Vì vậy, bài toán trên có thể vận dụng quy trình khác để giải quyết như

sau.

Mỗi cách lập số tự nhiên có 7 chữ số thỏa mãn đề là một cách xếp 7

chữ số vào 7 vị trí trên một hàng ngang sao cho mỗi vị trí có

đúng một chữ số. Vậy ta nếu ta coi đó là 7 chữ số phân biệt thi có số.

Do có 3 chữ số 1 giống nhau nên hoán vị của 3 chữ số này cho ta các

kết quả giống nhau là lần.

Vậy số kết quả thực tế của bài toán là : số.

Kết luận : Có 840 số thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 2.28: Có 10 học sinh gồm 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Có bao

nhiêu cách xếp 10 học sinh đó thành một hàng dọc sao cho các học sinh nam

đứng liền với nhau ?

Hướng dẫn : Ta chia bài toán làm hai công đoạn

Xếp 5 học sinh nam vào 5 vị trí liền nhau, có 5! cách sắp xếp và coi đó là một

phần tử, 5 học sinh nữ là 5 phần tử.

Sau khi xếp 5 học sinh nam vào 5 vị trí liến nhau rồi thì với mỗi cách xếp đó

yêu cầu của bài toán tương đương với việc: Sắp xếp 6 phần tử phân biệt ở trên

vào 6 vị trí trên một hàng dọc. Vậy ta có 6! cách xếp.

Theo quy tắc nhân, ta có 5!.6! =86400 cách xếp thỏa mãn đề bài.

Kĩ thuật chọn công đoạn ưu tiên

Ví dụ 2.29: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao

nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3

người đó có ít nhất một cán bộ lớp.

Hướng dẫn : Có 2 khả năng

- 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có .

- 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có .

Vậy số chọn là: + = 324 cách.

Ví dụ 2.30: Cho tập hợp . Có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn gồm năm chữ số khác nhau đôi một từ X .

Hướng dẫn: Để số lập được là số chẵn thì phải chia hết cho 2, mà

nên có 4 cách có thể chọn là 0, 2, 4, 6.

Nhưng ta phải chia làm 2 trường hợp

Trường hợp 1: Chọn e=0 thì

Có 6 cách chọn a, do a khác e.

Có 5 cách chọn b, do b khác a, e.

Có 4 cách chọn c, do c khác a, b, e

Và có 3 cách chọn d, do d khác a, b, c, e.

Theo quy tắc nhân ta có: 1.6.5.4.3=360 số.

Trường hợp 2: Chọn có 3 cách.

Có 5 cách chọn a, do a khác e và khác 0.

Có 5 cách chọn b, do b khác a, e.

Có 4 cách chọn c, do c khác a, b , e.

Có 3 cách chọn d, do d khác a, b, c, e.

Theo quy tắc nhân: Có 3.5.5.4.3=900 số.

Theo quy tắc cộng: có 360+900=1260 số thỏa mãn đề.

2.3.4. Biện pháp 4: Tạo điều kiện cho học sinh đề xuất một hay nhiều thuật

toán để giải cùng một dạng toán; qua đó chọn được thuật toán tốt nhất

Để thực hiện biện pháp này, giáo viên có thể thực hiện theo cách sau:

- Đưa ra bài tập có nhiều cách giải.

- Cho học sinh hợp tác nhóm trong quá trình giải bài.

- Nghiên cứu kết quả của các nhóm đề xuất để giúp học sinh tìm thuật toán tối ưu.

Ví dụ 2.31: Một hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi trắng và 9 viên bi

vàng.Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4

viên bi mà không có đủ cả 3 màu.

Hướng dẫn :Số cách chọn 4 viên bi bất kỳ từ hộp trên là Ta chọn 4 viên bi có đủ cả 3 màu từ hộp trên.

- Chọn 2 viên bi màu đỏ, 1 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu vàng có:

cách.

- Chọn 1 viên bi màu đỏ, 2 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu vàng có :

cách.

- Chọn 1 viên bi màu đỏ, 1 viên bi màu trắng và 2 viên bi màu vàng có:

cách.

Vậy, có 8855-1080-1512-1728=4535 cách thỏa mãn đề.

Ví dụ 2.32: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học

sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4

học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3

lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Hướng dẫn: Cách trực tiếp

Nếu phân tích theo đề bài và làm trực tiếp thì sẽ phải chia ra thành rất nhiều

trường hợp như sau:

- Chọn cả 4 học sinh ở lớp A có cách.

- Chọn cả 4 học sinh ở lớp B có cách.

- Chọn 4 học sinh có mặt ở hai lớp A và B có các khả năng

3 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B, có cách.

2 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp B, có cách.

1 học sinh lớp A và 3 học sinh lớp B, có cách.

Vậy trong trường hợp này có: + + cách.

- Chọn 4 học sinh chỉ từ hai lớp A và C có các khả năng

3 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp C, có cách.

2 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp C, có cách.

1 học sinh lớp A và 3 học sinh lớp C, có cách.

Vậy trong trường hợp này có: + + cách.

- Chọn 4 học sinh chỉ từ hai lớp B và C có các khả năng

3 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, có cách.

2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C, có cách.

1 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C, có cách..

Vậy trong trường hợp này có: + + cách.

Theo quy tắc cộng có:

+ + + + + + + + + + =225.

Nhưng rõ ràng là lời giải khá dài với nhiều trường hợp. Đôi khi học sinh sẽ

thấy lúng túng và bỏ sót trường hợp. Vì vậy, giáo viên gợi ý, vấn đáp để học

sinh suy nghĩ theo hướng “phần bù”, tính cái không cần tính để suy ra cái cần

tính theo các câu hỏi sau.

GV: Nếu chọn 4 học sinh bất kỳ từ 12 học sinh trên thì có bao nhiêu cách?

HS: Có cách chọn học sinh.

GV: 4 học sinh được chọn có thể được chọn từ bao nhiêu lớp?

HS: Có thể được chọn từ 1, 2,hoặc 3 lớp.

GV: Vậy nếu 4 học sinh ở không quá 2 lớp thì có thể rơi vào mấy lớp?

HS: 1 hoặc 2 lớp.

GV: Vậy nếu ta tìm được số cách chọn học sinh có mặt ở cả 3 lớp thì có thể

suy ra đáp án của bài không?

HS: Có, lấy tổng số cách chọn trừ đi trường hợp có mặt ở cả 3 lớp thì ta thu

được đáp án của bài.

GV: Khi nào ta nên áp dụng cách làm này?

HS: Khi bài toán phải chia làm nhiều quá trường hợp khi giải trực tiếp thì có

thể dùng.

Cách gián tiếp:

Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: = 495.

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:

- Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh

 Số cách chọn là: = 120.

- Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh

 Số cách chọn là: = 90.

- Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh

 Số cách chọn là: = 60.

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là

120 + 90 + 60 = 270.

Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách.

Qua lời giải trên, so sánh với lời giải trực tiếp ta thấy rõ ràng là đáp án

như nhau nhưng ngắn gọn hơn nên có thể giảm khả năng xét thiếu trường

hợp xảy ra.

2.3.5. Biện pháp 5: Khắc phục những khó khăn, sai lầm cho học sinh

Khi giải toán về đại số tổ hợp HS thường gặp nhiều khó khăn và lúng

túng. Khó trong việc xác định đường lối giải bài toán, chưa biết bắt đầu từ

đâu. Còn sai lầm trong lời giải của HS thì có thể kể ra rất nhiều, rất đa dạng.

Chúng tôi sẽ trình bày chi tiết vấn đề này trong từng dạng toán cụ thể.

Những biểu hiện khó khăn và sai lầm chủ yếu của học sinh thường là:

- Khó tìm ra cách giải, nhưng xem lời giải thì thấy dễ hiểu.

- Nhầm lẫn giữa quy tắc nhân và quy tắc cộng, giữa tổ hợp và chỉnh hợp.

- Sai lầm khi sử dụng phương pháp tình gián tiếp nhưng xác định sai phần bù.

Ví dụ 2.33: Trong một lớp học có 20 nam và 23 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần

chọn hai học sinh: Một bạn nam và một bạn nữ đi dự lễ kỷ niệm chào mừng

ngày Quốc khánh 2 – 9. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn?

Một số HS cho rằng số cách chọn là: 20 + 23 = 43. Thực ra ở đây phải

dùng quy tắc nhân tức là có 20 . 23 = 460 cách chọn. Trong trường hợp này

GV cần phân tích cho HS thấy việc chọn HS theo yêu cầu đề bài phải chia

làm hai giai đoạn: Chọn nam rồi chọn nữ, hoặc ngược lại. Bởi vậy phải dùng

quy tắc nhân.

Ví dụ 2.34: Từ các số {0, 1, 2, 4, 7} có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5

chữ số khác nhau?

Có một số HS giải như sau:

Giả sử số cần tìm là ( ).

có 3 cách chọn; có 3 cách chọn; có 3 cách chọn; có 2 cách chọn;

có 1 cách chọn. Vậy có tất cả: 3.3.3.2 = 54 cách chọn.

Hãy đánh giá lời giải trên. Nếu lời giải sai, hãy tìm nguyên nhân sai lầm và

sửa lại cho đúng?

+ Lời giải sai ở chỗ: Khi lựa chọn thì a1 có 4 cách chọn, khi chọn

, thì chỉ còn 3 cách chọn. Vậy, ta phải chia làm 2 trường hợp

và .

+ Trình bày lời giải đúng:

Giả sử số cần tìm là ( ).

Nếu . Có 4 cách chọn .

3! cách chọn . Vậy ta có: 4.3! = 24 (cách chọn) có 24 số.

Nếu . Có 3 cách chọn , 2 cách chọn , 3! cách chọn

Vậy ta có: 3.3!.2 = 36 (cách chọn) có 36 số.

Kết luận: Vậy các số lập được là: 36 + 24 = 60 số.

Qua bài toán trên giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh khi lập các số

từ một tập hợp số có số 0 thì phải loại trừ trường hợp số 0 ở hàng chữ lớn

nhất.

Ví dụ 2.35: Một hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi trắng và 9 viên bi vàng.

Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 viên bi

mà không có đủ cả 3 màu?

Phân tích

Đây là bài toán mà học sinh có thể sử dụng phương pháp tính “phần

bù” để có thể tìm được đáp án. Sai lầm của học sinh dễ mắc phải, đó là quy

trình giải trực tiếp như sau.

Chọn 4 viên bi không có đủ 3 màu, có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: 4 viên bi được chọn chỉ gồm 2 màu đỏ và trắng có

cách.

Trường hợp 2 : 4 viên bi được chọn chỉ gồm 2 màu đỏ và vàng có

cách.

Trường hợp 3 : 4 viên bi được chọn chỉ gồm 2 màu trắng và vàng có

cách.

Trường hợp 4 : 4 viên bi được chọn chỉ gồm 1 màu đỏ, có cách.

Trường hợp 5 : 4 viên bi được chọn chỉ gồm 1 màu trắng, có cách.

Trường hợp 6: 4 viên bi được chọn chỉ gồm 1 màu vàng, có cách.

Vậy, theo quy tắc cộng số cách chọn được 4 viên bi không có đủ cả 3 màu là

1001+1365+2380+15+70+126=4957 cách.

Cách khác: Trong khi đó ta có lời giải theo quy trình sử dụng “phần bù” cho

bài toán trên là:

Số cách chọn 4 viên bi bất kỳ từ hộp trên là .

Ta chọn 4 viên bi có đủ cả 3 màu từ hộp trên

- Chọn 2 viên bi màu đỏ, 1 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu vàng có:

cách.

- Chọn 1 viên bi màu đỏ, 2 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu vàng có :

cách.

- Chọn 1 viên bi màu đỏ, 1 viên bi màu trắng và 2 viên bi màu vàng có:

cách.

Vậy, có 8855-1080-1512-1728=4535 cách thỏa mãn đề.

Câu hỏi đặt ra là cách giải thứ nhất đã mắc sai lầm ở đâu?

Người giáo viên khi đó có thể có những gợi ý, phân tích để học sinh có

thể phát hiện ra sai lầm mà quy trình giải đã mắc phải.

Khi sử dụng quy tắc tính trực tiếp như cách thứ nhất, người làm theo

quy trình đó đã tính trùng lặp nhiều đáp án, dẫn đến một đáp án giống nhau đã

được tính nhiều lần nên kết quả thực tế của quy trình đã tăng lên so với đáp án

thực tế. Cụ thể

Khi tính số cách chọn 4 viên bi mà có hai màu đỏ và trắng mà có

cách chọn thì đã tính cả trường hợp chỉ có một màu đỏ hoặc trắng

trong đó.

Tương tự, trong hai trường hợp chọn 4 viên bi có hai màu đỏ – vàng và

trắng – vàng cũng dẫn đến sự trùng lặp như vậy.

Sau khi cộng các đáp án của từng trường hợp riêng lẻ đó lại thì kết quả

cuối cùng đã tính 3 lần số cách chọn số bi chỉ có một màu. Nên đáp án của bài

toán phải là: 1001+1365+2380+15+70+126-2(15+70+126)=4535.

Rõ ràng đáp án đó trùng với các cách đã giải ở trên.

Ví dụ 2.36: Với n là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai

triển thành đa thức của . Tìm n để .

Ở bài toán này, học sinh có thể giải theo quy trình đã được rèn luyện đó là đi

xét số hạng tổng quát của khai triển rồi đặt điều kiện cho số hạng đó thỏa mãn

điều kiện của đề bài.

Bước 1 : Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có

Vậy ta có

Để số hạng chứa thì .

Khi đó hệ số của số hạng chứa là .

Theo đề bài ta phải có do .

Kết luận thỏa mãn đề bài.

Quy trình giải trên đã mắc phải sai lầm: khi tìm số hạng tổng quát của

khai triển tích, học sinh dùng cùng chỉ số k chạy trong cả 2 khai triển dẫn đến

kết quả đã sai lệch.

Quy trình giải tuong tự của bài toán trên là:

Vậy ta có

với .

Để số hạng chứa thì .

Do đó hệ số của trong khai triển thành đa thức của:

. là:

Vậy

Theo điều kiện, ta có thỏa mãn đề bài.

Sau khi phát hiện những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán

đại số tổ hợp, một số biện pháp khắc phục những sai lầm đó được tác giả đề

xuất là:

- Nắm vững lý thuyết, công thức: Hệ thống lại các công thức đã học, ghi chú

sự phân biệt các kiến thức tương tự dễ nhầm lẫn khi sử dụng.

- Đưa cho học sinh tham khảo các lời giải mắc sai lầm để phân tích các sai

lầm đó, giúp học sinh có thể tránh được sai lầm tương tự.

- Rèn luyện thói quen đọc lại lời giải, rà soát quá trình làm bài.

2.4. Tiểu kết chương 2

Trong chương 2, luận văn đã chỉ ra được :

- Nội dung phần đại số tổ hợp trong chương trình sách giáo khoa được

biên soạn cho lớp 11, ban nâng cao.

- Một số biện pháp sư phạm sử dụng khi dạy học hướng phát triển tư

duy thuật toán.

- Đưa ra được một số dạng toán tiêu biểu về đại số tổ hợp để rèn luyện

thuật toán (hay quy trình tựa thuật toán) cũng như luyện tập cho học sinh phát

triển tư duy thuật toán, tư đó học sinh có thể vận dụng vào việc học bộ môn

Toán cũng như các bộ môn khác.

- Chỉ ra một số sai lầm trong vận dụng giải toán, biện pháp khắc phục

các sai lầm đó.

Qua việc phân tích nội dung chương trình, việc đổi mới phương pháp

giảng dạy, có thể nhận thấy một điều: Dạy học phần đại số tổ hợp lớp 11, ban

nâng cao theo hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh là hoàn toàn

thích hợp, ở đó học sinh được tham gia tích cực vào hoạt động, được tìm tòi,

nghiên cứu ... và học sinh có hứng thú học tập bộ môn, từ đó hình thành ở học

sinh phương pháp tự học, tự nghiên cứu. Đồng thời cũng phát triển ở học sinh

các năng lực tư duy khác như : tư duy sáng tạo, tư duy phê phán, khả năng

phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, khát quát hóa...rất có ích trong quá trình

học tập của bản thân.

Để phát triển tư duy thuật toán cho học sinh đạt hiệu quả cao đòi hỏi

người giáo viên phải có kỹ năng sư phạm, có nghệ thuật biến quá trình dạy

học nói chung thành một hệ thống làm việc định hình, có tổ chức, kiểm soát

chặt chẽ các hoạt động Toán học của học sinh mang tính thuật toán cũng như

xây dựng quy trình giải. Một trong những yếu tố hình thành và phát triển tư

duy toán giải cho học sinh có hiệu quả là trong quá trình dạy học giáo viên

phải xây dựng được các quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật

toán, cho học sinh hoạt động tích cực trong các tình huống dạy học đó.

Như vậy, việc phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong quá trình

dạy học môn Toán nói chung và dạy học nội dung đại số tổ hợp nói riêng là

hết sức quan trọng. Nó giúp chúng ta đạt được mục đích của giáo dục và yêu

cầu của xã hội đặt ra.

CHƯƠNG 3

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1. Mục đích, nhiệm vụ, kế hoạch thực nghiệm sư phạm

3.1.1. Mục đích

Mục đích thực nghiệm sư phạm (TNSP) nhằm đánh giá tính khả thi và

tính hiệu quả của các biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong

quá trình dạy học giải toán đại số tổ hợp.

3.1.2. Nhiệm vụ

- Soạn giáo ánTNSP, trao đổi với giáo viên dạy lớp TNSP và tiến hành

dạy một số giờ TNSP theo hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.

- Phân tích và xử lý số liệu thực nghiệm.

- Đánh giá kết quả thực nghiệm.

3.1.3. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm

+ Thời gian TNSP: Từ ngày 07 đến ngày 26 tháng 10 năm 2013.

+ Nơi và dối tượng thực nghiệm sư phạm:

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Hàm Long –

thành phố Bắc Ninh – tỉnh Bắc Ninh. Lớp thực nghiệm 11A1 với 45 học sinh

và lớp đối chứng là 11A2 với sỹ số 43 học sinh. Cả hai lớp trên đều học theo

chương trình nâng cao, lực học của học sinh tương đương với nhau (theo đánh

giá cuối năm học 2012 - 2013 của Ban giám hiệu Trường), giáo viên Toán

của cả hai lớp có thâm niên dạy học bằng nhau.

Được sự đồng ý của Ban giám hiệu trường Trung học phổ thông Hàm

Long, chúng tôi đã tìm hiểu kết quả học tập của các lớp khối 11 của Trường

và nhận thấy trình độ chung về môn Toán của hai lớp 11A1 và 11A2 là tương

đương nhau. Trên cơ sở đó, chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm tại lớp

11A1 và lấy lớp 11A2 làm đối chứng.

Ban giám hiệu nhà trường, các thầy (cô) trong tổ toán, thầy tổ trưởng

và các thầy cô giáo dạy môn Toán của hai lớp 11A1, 11A2 chấp nhận đề xuất

này và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi tiến hành thực nghiệmsư phạm.

Việc dạy thực nghiệm và đối chứng thực hiện đúng kế hoạch giảng dạy của

nhà trường.

3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm

+ Thực nghiệm được tiến hành trong 2 tiết bài tập về ‘’Hoán vị, chỉnh hợp và

tổ hợp’’ và ‘’Nhị thức Newton’’

+ Giáo án thực nghiệm sư phạm:

3.2.1. Giáo án thực nghiệm thứ nhất

Tiết: 28

Bài 2: BÀI TẬP HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

I. MỤC TIÊU:

Kiến thức: Củng cố:

 Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

 Các công thức tính số các hoán vị, số các chỉnh hợp, số các tổ hợp.

Kĩ năng: Luyện tập:

 Tính số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp.

 Biết được khi nào dùng tổ hợp, khi nào dùng chỉnh hợp trong các bài

toán đếm.

 Biết phối hợp sử dụng các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để

giải các bài toán đếm đơn giản.

Thái độ:

 Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác.

 Luyện tư duy linh hoạt thông qua việc sử dụng các kiến thức về hoán

vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

II. CHUẨN BỊ:

Giáo viên: Giáo án. Hệ thống bài tập.

Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ

hợp.

III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:

1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.

2. Kiểm tra bài cũ: (Lồng vào quá trình luyện tập)

3. Giảng bài mới:

Hoạt động của TL Hoạt động của HS Nội dung GV

Hoạt động 1: Vận dụng kiến thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải bài

toán đếm

H1. Nêu cách HS suy nghĩ trả lời, làm 1. Một bài thi trắc nghiệm

23 đếm? bài vào phiếu bài tập. khách quan gồm 10 câu.

' Ở đây công Mỗi câu có 4 phương án trả Đ1.

việc được thực – Câu 1: có 4 cách chọn lời. Hỏi bài thi đó có bao

hiện liên tiếp – Câu 2: có 4 cách chọn nhiêu phương án trả lời?

hay riêng lẻ? – .....

Vậy ta dung – Câu 10: có 4 cách chọn

quy tắc cộng  Có

hay quy tắc phương án.

nhân?

H2. Nhận xét 2. Có bao nhiêu số tự nhiên Đ2. Gọi

về số có 6 chữ có 6 chữ số và chia hết cho – Chữ số

số và chia hết 5? – Chữ số cho 5?

– Chữ số

 Có (số)

3. Một cuộc thi có 15 người

H3. Nhận xét tham dự, giả thiết rằng Đ3.

về cách chọn? a) Mỗi cách chọn 4 người không có hai người nào có

có điểm cao nhất là một điểm bằng nhau. Có bao

tổ hợp chập 4 của tập 15 nhiêu cách chọn:

phần tử. a) 4 người có điểm cao

nhất?  Có cách

b) 3 người để trao giải nhất, b) Mỗi cách chọn 3

nhì, ba? người để trao giải nhất,

nhì, ba là một chỉnh hợp

chập 3 của tập 15 phần

tử.

 Có cách. 4. Một tổ gồm 8 nam và 2

Đ4. H4. Nêu cách nữ. Cần chọn ra 5 em để dự – Số cách chọn 5 em bất chọn? thi. Hỏi có bao nhiêu cách

kì trong 10 em: chọn nếu trong số các em

– Số cách chọn 5 em đều được chọn phải có ít nhất

một em nữ? là nam:  GV hướng

dẫn HS chọn  Số cách chọn cần tìm:

bằng cách khác – = 196

(1 nữ, 2 nữ). cách.

Hoạt động 2: Luyện tập tính toán các biểu thức tổ hợp

H1. Nêu công 5. Chứng minh các hệ thức Đ1.

sau: thức ? a)

' b) a)

 GV lưu ý HS

về điều kiện

6. Giải các phương trình của ẩn số.

Đ2. sau: H2. Nêu các

a) ĐK: . công thức cần . a)

sử dụng để PT 

biến đổi PT?  . b)

b) ĐK:

PT 

 .

7. Giải hệ phương trình sau: Đ3. H3. Nêu sự

. liên quan giữa HPT  

2 số ?

Hoạt động 3: Củng cố

Nhấn mạnh: Học sinh nghe hiểu, có

3' – Cách vận thể ghi chú vào vở làm tư

dụng các qui liệu học tập

tắc đếm, các

khái niệm hoán

vị, chỉnh hợp,

tổ hợp để giải

bài toán đếm.

– Sử dụng các

số hoán vị,

chỉnh hợp, tổ

hợp để tính các

biểu thức tổ

hợp.

4. BÀI TẬP VỀ NHÀ:

 Xem lại các bài đã chữa. Tìm cách giải khác với các bài đó (nếu có)

Bài 1: Một hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi trắng và 9 viên bi vàng.Người ta

chọn ra 4 viên bi từ hộp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 viên bi mà không

có đủ cả 3 màu.

Bài 2: Giải các phương trình và hệ phương trình sau

a. .

b. .

Bài 3: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi

có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh

miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

3.2.2. Giáo án thực nghiệm thứ hai

Tiết: 31

Bài 3: BÀI TẬP NHỊ THỨC NIU-TƠN

I. MỤC TIÊU:

Kiến thức: Củng cố:

 Công thức nhị thức Niu-tơn

 Qui luật truy hồi của tam giác Pascal.

Kĩ năng: Luyện tập:

 Khai triển nhị thức Niu-tơn với một số mũ cụ thể.

 Tìm được hệ số của trong khai triển nhị thức Niu-tơn thành đa

thức.

Thái độ:

 Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác.

 Luyện tư duy linh hoạt thông qua việc khai triển nhị thức Niu-tơn.

II. CHUẨN BỊ:

Giáo viên: Giáo án. Hệ thống bài tập.

Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức về nhị thức Niu-tơn.

III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:

1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.

2. Kiểm tra bài cũ: (Lồng vào quá trình luyện tập)

3. Giảng bài mới:

Hoạt động của TL Hoạt động của HS Nội dung GV

Hoạt động 1: Luyện tập tìm hệ số của số hạng trong khai triển nhị thức

Niu-tơn

H1. Nêu công 1. Tìm hệ số của M trong Đ1.

25 thức xác định số khai triển nhị thức: . a)

' hạng tương ứng? . a) b)

. b) .

. c) c) .

. d) d) .

2. Tìm số hạng không Đ2.

chứa x trong khai triển của a)

nhị thức: H2. Nêu công

thức xác định số a)

hạng tổng quát? không chứa x

. b)

 

. c)

. d)

không chứa x 

 .

c) .

d) . 3.

a) Biết hệ số của Đ3. H3. Viết công

trong khai triển thức xác định số a) 

hạng tương ứng? bằng 31. Tìm n. . b) Biết các hệ số của các b)  số hạng thứ 1, 2, 3 trong

khai triển bằng

11. Tìm n.

Hoạt động 2: Áp dụng nhị thức Niu-tơn để tính tổng hữu hạn

4. Tính các tổng sau:  GV hướng dẫn 

15 HS cách vận dụng a) . a) Sử dụng với

' nhị thức Niu-tơn . b)

để giải bài toán b) Sử dụng với .

này. . c)

c) Sử dụng với .

Chứng minh a)  GV cho HS  chứng minh câu a) a) , từ đó hướng với .

dẫn chứng minh b) Chứng minh:

câu b).

a) a) Chứng minh với

b) Chứng minh: = .

Hoạt động 3: Củng cố

Nhấn mạnh:

3' – Cách vận dụng

công thức nhị

thức Niu-tơn để

giải một số bài

toán đơn giản.

– Chú ý kĩ năng

tính toán.

4. BÀI TẬP VỀ NHÀ:

Bài 1: Tìm hệ số của x31 trong khai triển của với .

Bài 2: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của:

với .

Bài 3: Trong khai triển nhị thức , hãy tìm số hạng không phụ

thuộc vào x, biết rằng với .

Bài 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của

với

biết rằng: .

Bài 5: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:

3.3. Đánh giá kết quảthực nghiệm sư phạm

3.3.1. Đề bài kiểm tra, đánh giá sau giờ dạy thực nghiệm sư phạm:

Bài 1(5 điểm):

a. Tìm số hạng chứa trong khai triển Newton của biểu thức

b. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển Newton của biểu

thức biết rằng

c. Chỉ ra cách làm chung khi giải hai bài toán trên

Bài 2 (5 điểm): Một tổ có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ xếp thành

một hàng dọc.

a. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau ?

b. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau sao cho hai học sinh cùng

giới không đứng cạnh nhau ? Nêu bài toán tổng quát cho trường hợp

thứ hai.

Đáp án đề kiểm tra

Bài 1(5 điểm):

a. Tìm số hạng chứa trong khai triển Newton của biểu thức

với

Đáp án :

Số hạng tổng quát của khai triển là

Để số hạng chứa thì .

Vậy số hạng chứa trong khai triển trên là

b. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển Newton của biểu thức

biết rằng

Đáp án :

Ta có

Theo đề cho ta có

Trong khai triển , số hạng tổng quát của khai triển là

Để số hạng chứa thì .

Vậy, hệ số của số hạng chứa là

c. Chỉ ra một quy trình chung khi giải hai bài toán trên

Đáp án :

Bước 1: Xác định số mũ n của khai triển.

Bước 2: Xác định số hạng tổng quát của khai triển.

Bước 3: Dụa vào đề bài, đặt điều kiện cho số hạng tổng quát để tìm k

Kết luận dựa vào k vừa tìm được.

Bài 2 (5 điểm): Một tổ có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ xếp thành một

hàng dọc.

a. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau ?

Mỗi cách xếp 10 học sinh vào một hàng dọc là một hoán vị của 10 phần

tử. Vậy có cách xếp hàng khác nhau.

b. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau sao cho hai học sinh cùng giới

không đứng cạnh nhau ? Nêu bài toán tổng quát cho trường hợp thứ hai.

Đáp án : Để 2 học sinh cùng giới không đứng cạnh nhau ta có hai

trường hợp

TH1: Xếp 5 học sinh nam vào 5 vị trí lẻ trong hàng là 1, 3, 5, 7, 9 vậy

có 5! Cách xếp như vậy. Còn 5 học sinh nữ xếp vào 5 vị trí chẵn còn lại ta

cũng có 5! cách xếp. Vậy theo quy tắc nhân ta có cách.

TH2: Xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí lẻ trong hàng là 1, 3, 5, 7, 9 vậy có

5! Cách xếp như vậy. Còn 5 học sinh nam xếp vào 5 vị trí chẵn còn lại ta cũng

có 5! cách xếp. Vậy theo quy tắc nhân ta có cách ( rõ ràng là các cách

xếp ở hai trường hợp trên là không trùng nhau vì sự phân biệt có ngay ở học

sinh đầu hàng).

Vậy, theo quy tắc cộng ta có 2. cách xếp thỏa mãn đề.

Bài toán tổng quát : Có bao nhiêu cách xếp n phần tử phân biệt của tập

hợp A với n phần tử phân biệt của tập hợp B thành một hàng dọc sao cho 2

phần tử của cùng một tập hợp không đứng cạnh nhau, với điều kiện

+ Kết quả thực nghiệm được thể hiện như sau :

Bảng kết quả bài kiểm tra

3.3.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm

Điểm 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 Tổng số HS

Lớp

TN 0 0 0 1 2 12 7 13 5 4 1 45

ĐC 0 0 0 2 4 15 11 6 4 1 0 43

Lớp TN: Yếu (6,7%); Trung bình (42,2%); Khá (40%); Giỏi (11,1%).

Lớp ĐC: Yếu (14%); Trung bình (62,4%); Khá (23,3%); Giỏi (2,3%).

Nhận xét : Căn cứ vào kết quả kiểm tra sau thực nghiệm sư phạm của

cả hai lớp ta thấy

Sau khi tiến hành thực nghiệm sư phạm kết quả ở cả hai lớp thực

nghiệm và đối chứng có sự khác biệt tương đối rõ. Bài làm của lớp thực

nghiệm có phần trăm học sinh đạt điểm giỏi 11,1% so với lớp thực nghiệm là

2,3%. Tỉ lệ phần trăm học sinh đạt điểm khá của lớp thực nghiệm là 40% so

với lớp đối chứng là 23,3%. Tỉ lệ phần trăm học sinh đạt điểm trung bình

42,2% tương ứng với 62,4% của lớp đối chứng và tỉ lệ phần trăm học sinh đạt

điểm loại yếu 6,7% so với của lớp đối chứng là 14%.

Dựa vào kết quả thống kê ở hai bảng cho ta thấy số học sinh lớp thực

nghiệm làm bài kiểm tra tốt hơn hẳn học sinh lớp đối chứng. Sự hơn hẳn đó là

hợp lý vì những lý do sau:

Thứ nhất: nội dung bài kiểm tra phản ánh đầy đủ các yêu cầu dạy học

theo quy định của chương trình.

Thứ hai: Các phương bài tập được ra theo hướng phát triển tư duy thuật

toán.

Thứ ba: Học sinh đã được làm quen với các dạng bài tập nêu trong các

đề kiểm tra, đồng thời đã được rèn luyện thông qua các quy trình giải cụ thể.

Việc làm quen với các dạng bài tập mới không hề làm giảm kỹ năng giải toán

mà trái lại củng cố phát triển kỹ năng này cùng với các thành tố của tư duy

thuật toán.

Thứ tư: Bên cạnh thực hiện các yêu cầu toán học, học sinh lớp thực

nghiệm còn được khuyến khích phát triển các yếu tố của tư duy thuật toán.

Học sinh được học giải toán theo một quy trình hợp lý, trình bày rõ ràng,

mạch lạc...v.v...

3.4. Tiểu kết chưong 3

Quá trình thực nghiệm cùng với những kết quả thu được từ thực

nghiệm cho thấy mục đích của thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi

và hiệu quả của việc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán đã được

khẳng định. Điều đó góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu quả dạy học

giải toán nội dung đại số tổ hợp nói riêng và trong môn toán nói chung ở

trường phổ thông.

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1. Kết luận

Luận văn đạt được những kết quả chính sau đây:

- Góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy thuật toán và vai trò,

vị trí của việc phát triển tư duy thuật toán trong dạy học toán.

- Xác định được các định hướng dạy học để vừa đạt được mục tiêu dạy

học, vừa phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.

-Đề xuất được những biện pháp phát triển tư duy thuật toán trong dạy

học đại số tổ hợp cho học sinh.

-Kết quả thực nghiệm sư phạm phần nào minh hoạ được tính khả thi và

hiệu quả của các biện pháp dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán

cho học sinh.

Những kết quả thu được về mặt lý luận và thực tiễn cho phép kết luận:

Gỉa thuyết khoa học của luận văn là chấp nhận được, mục đích nghiên cứu đã

được hoàn thành.

2. Khuyến nghị

- Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán nên được áp dụng khi

dạy các nội dung khác của môn Toán cũng như các môn học khác trong nhà

trường phổ thông

- Giáo viên có thể vận dụng các phương pháp dạy học tích cực, kết hợp

với việc phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Thị Thanh Bình (2000), Góp phần phát triển tư duy thuật giải của

học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung lượng giác 11.

Luận văn thạc sỹ.

2. Trần Hồng Cẩm, Cao Văn Đán, Lê Hải Yến (2000), Giải thích thuật ngữ

Tâm lí -Giáo dục học. Dự án Việt - Bỉ, Hà Nội.

3. Nguyễn Hữu Châu, “Trao đổi về dạy học Toán nhằm nâng cao tính tích cực

trong hoạt động nhận thức của học sinh”, Thông tin Khoa học giáo dục, số 55,

Viện KHGD.

4. Nguyễn Hữu Châu (1995), “Dạy học giải quyết vấn đề trong môn Toán”,

Nghiên cứu giáo dục , số 9.

5. Ngô Hữu Dũng (1996), “Sách giáo khoa và việc hình thành nhân cách cho

học sinh”, Nghiên cứu giáo dục, số 10.

6. Ngô Hữu Dũng, Trần Đình Châu (1998), “Rèn luyện năng lực thực hành

cho học sinh qua môn toán trường Phổ thông cơ sở”, Thông tin Khoa học giáo

dục, số 67, Viện KHGD.

7. Hồ Ngọc Đại (2000), Tâm lí học dạy học, NXB Giáo dục.

8. Nguyễn Văn Đản (2000), “Mối quan hệ giữa hoạt động dạy với hoạt động

học trong quá trình dạy học”, Thông tin Khoa học giáo dục, số 63, Viện

KHGD.

9. Phạm Gia Đức, Nguyễn Mạnh Cảng, Bùi Huy Ngọc, Vũ Dương Thuỵ

(1998), Phương pháp dạy học môn toán, Tập 1, NXB Giáo dục.

10. Phạm Gia Đức, Nguyễn Mạnh Cảng, Bùi Huy Ngọc, Vũ Dương Thuỵ

(1998), Phương pháp dạy học môn toán, Tập 2, NXB Giáo dục.

11. Phạm Minh Hạc (1980), Nhập môn Tâm lí học, NXB Giáo dục.

12. Phạm Minh Hạc (1981), Phương pháp tiếp cận HĐ - Nhân cách, Nghiên

cứu giáo dục, số 5.

13. Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc (1981), Giáo dục học

môn Toán, NXB Giáo dục.

14.Trần Bá Hoành, Nguyễn Đình Khê, Đào Như Trang (2000), Áp dụng dạy

và học tích cực trong môn Toán (Dự án Việt-Bỉ). NXB Đại học sư phạm, Hà

Nội.

15. Trần Duy Hưng (2000), “Qui trình kiến tạo tình huống trong dạy học theo

nhóm nhỏ”, Nghiên cứu Giáo dục, số 7.

16. Jean Piaget (1999), Tâm lý học và Giáo dục học, NXB Giáo dục.

17. Trần Kiều, Nguyễn Lan Phương (1997), “Tích cực hoá hoạt động học tập

của học sinh”, Thông tin Khoa học giáo dục, số 62, Viện KHGD.

18. Trần Kiều (2001), “Một số ý kiến về đổi mới phương pháp dạy toán ở bậc

trung học của nước ta”, Thông tin Khoa học giáo dục, số 83, Viện KHGD.

19. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Phạm Văn Kiều (1997), Phát triển lý

luận dạy học môn toán, Tập 1, NXBGD.

20. Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh (1998), “Tính giải quyết vấn đề

trong quá trình dạy học”, Thông tin Khoa học giáo dục, số 68, Viện KHGD.

21. Nguyễn Bá Kim (1998), “Những kết luận sư phạm rút ra từ các lý thuyết

dạy học”, Nghiên cứu giáo dục, số 5,6.

22. Nguyễn Bá Kim (1999), “Về định hướng đổi mới phương pháp dạy học”,

Nghiên cứu giáo dục, Số chuyên đề quí 1.

23. Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB ĐHSP.

24. Nguyễn Bá Kim; Vương Dương Minh, Tôn Thân (1998), Khuyến khích

một số HĐ trí tuệ cho HS qua môn Toán ở trường THCS (Tài liệu bồi dưỡng

giáo viên chu kì 1997 – 2000). NXB Giáo dục .

25. Nguyễn Kỳ (1995), Phương pháp giáo dục tích cực, lấy người học làm

trung tâm. NXB Giáo dục.

26. Nguyễn Thị Loan (2009), Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông

qua dạy học dạng toán về khoảng cách trong hình học không gian lớp 11.

Luận văn thạc sỹ K3 ĐHGD – ĐHQG Hà Nội.

27. Trần Luận (1995), “Một số nét về tình hình nghiên cứu các trình độ tư duy

của học sinh khi học hình học”, Thông tin KHGD, số 50. Viện KHGD.

28. Luật Giáo dục (1998), NXB Giáo dục.

29. Dương Vương Minh (1996), Phát triển tư duy thuật giải của học sinh

trong khi dạy các hệ thống số ở trường phổ thông. Luận án Tiến sĩ, ĐHSP Hà

Nội.

30. Bùi Văn Nghị (1996), Vận dụng tư duy thuật toán vào việc xác định hình

để giải các bài toán hình học không gian ở trường trung học phổ thông. Luận

án Tiến sĩ, ĐHSP Hà Nội.

31. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn

Toán, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.

32. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn Toán,

NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.

33. Hoàng Đức Nhuận (2001), “Về sách giáo khoa và PPDH hiện nay”,

Thông tin KHGD, số 81, Viện KHGS.

34. Hoàng Phê (1996), Từ điển tiếng Việt, NXB Đà Nẵng.

35. Đoàn Quỳnh (TCB), Nguyễn Huy Đoan (CB) (2011), Đại số và Giải tích

11(Nâng cao). Nxb GD.

Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học giải toán tổ hợp chương trình lớp 11, ban nâng cao

Tags:

Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán

Phương pháp dạy học môn Toán

Dạy học giải bài tập Toán học

Tư duy thuật toán

Phương pháp biểu diễn thuật toán

Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh

Có thể bạn quan tâm

Khóa luận tốt nghiệp đại học: Sử dụng bản đồ tư duy trong giảng dạy và học tập môn Toán ở trường THPT

Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Dạy học chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở trường trung học phổ thông theo phương pháp khám phá có hướng dẫn

Khóa luận tốt nghiệp: Thiết kế một số trò chơi học tập góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán lớp 1, lớp 2, lớp 3

Bài giảng Cơ sở lập trình: Thuật toán - Trịnh Tấn Đạt

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số hình thức tổ chức hoạt động khởi động nhằm tạo hứng thú học tập cho học sinh khi dạy học môn Toán 10

Một số biện pháp tạo động lực học tập cho học sinh trong dạy học nội dung “số nguyên” ở môn Toán lớp 6

Bài giảng Thuật toán ứng dụng (Tư duy thuật toán và cấu trúc dữ liệu + kỹ năng lập trình) - Bùi Quốc Trung

Bài giảng Thuật toán ứng dụng - Đỗ Phan Thuận

Luận án Tiến sĩ Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán học: Sử dụng mô hình lớp học đảo ngược trong đào tạo giáo viên Toán

Dạy học trải nghiệm với sự hỗ trợ của Geogebra: Trường hợp dạy học nội dung “Thể tích hình hộp chữ nhật” (Toán 5)

Cơ hội dạy học kết hợp (Blended learning) chủ đề Tọa độ Toán lớp 10 trung học phổ thông

Một số biện pháp nâng cao hiệu quả vận dụng dạy học hợp tác trong môn Toán ở tiểu học

Thực trạng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong dạy học môn Toán ở một số trường trung học cơ sở

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Khai thác và sử dụng có hiệu quả một số phần mềm vào kiểm tra đánh giá năng lực học sinh trong dạy học môn Toán lớp 10 ở trường THPT Quỳnh Lưu 4

Bài giảng Cơ sở lập trình: Chương 1 - Thuật toán và thuật giải

Thiết kế kế hoạch dạy học môn Toán trung học cơ sở theo định hướng phát triển phẩm chất năng lực học sinh

Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Rèn luyện kỹ năng hợp tác giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích lớp 12 tại nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào

Bài giảng Thuật toán ứng dụng: Tư duy thuật toán và cấu trúc dữ liệu, kỹ năng lập trình

Đề xuất một số giải pháp giúp sinh viên học tốt môn Toán cao cấp ở bậc đại học

Dạy và học môn xác suất thống kê của sinh viên khối ngành kinh tế Trường Đại học Công nghệ Đông Á

Tài liêu mới

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Bảo vệ quyền sở hữu trí tuệ đối với nhãn hiệu theo pháp luật Việt Nam hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển nông nghiệp sạch ở một số nước Châu Á và bài học kinh nghiệm cho Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Đối chiếu danh ngữ tiếng Nhật với danh ngữ tiếng Việt

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu nâng cao năng lực quản trị ở doanh nghiệp lữ hành tại thành phố Hà Nội

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Quản trị rủi ro trong đào tạo nghề tại các trường cao đẳng thuộc Bộ Công thương

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng tới sự thành công trong khởi sự kinh doanh của phụ nữ khu vực miền Bắc

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu mối liên kết trường đại học – doanh nghiệp ở khu vực miền Bắc Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu giải pháp phát triển trung tâm logistics quốc tế cho khu vực kinh tế trọng điểm phía bắc

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Các yếu tố ảnh hưởng đến quyết định sử dụng dịch vụ logistics chuỗi lạnh: trường hợp doanh nghiệp nông sản tại vùng Đông Nam Bộ

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Ảnh hưởng của chính sách thuế đến phát triển bền vững doanh nghiệp nhỏ và vừa tại Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Năng lực cạnh tranh của doanh nghiệp nhỏ và vừa trên địa bàn tỉnh Phú Thọ

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Tác động của mạng xã hội, tính hiệu quả kinh tế và nâng suất của các thực hành nông nghiệp thích ứng khí hậu: Bằng chứng từ kỹ thuật san phẳng mặt ruộng bằng tia laser trong sản xuất lúa tại Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các nhân tố ảnh hưởng đến mức độ công bố thông tin trên báo cáo thường niên của các ngân hàng thương mại Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu giải pháp phát triển trung tâm logistics quốc tế cho khu vực kinh tế trọng điểm phía Bắc

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Kiểm soát nội bộ tại Tập đoàn xăng dầu Việt Nam

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok