Ch(cid:1)(cid:2)ng 2. Phép tính tích phân hàm m(cid:3)t bi(cid:4)n §1. TÍCH PHÂN SUY R(cid:5)NG
1.1. Tích phân suy r(cid:1)ng lo(cid:2)i m(cid:1)t (Tích phân v(cid:3)i c(cid:4)n vô t(cid:4)n)
1.1.1. (cid:5)(cid:6)nh ngh(cid:7)a. Cho hàm f xác (cid:6)(cid:7)nh trên , kh(cid:8) tích trên
a, (cid:3)(cid:4)
(cid:1)
(cid:2)
b
b(cid:6)
(cid:7) (cid:2)
(cid:5) a, b , a
(cid:1)
b
lim f x dx (cid:8)(cid:3)(cid:4) (cid:9) m(cid:9)i (cid:6)o(cid:10)n . Gi(cid:11)i h(cid:10)n (n(cid:4)u có) (cid:6)(cid:1)(cid:12)c g(cid:9)i là
a
tích phân suy r(cid:3)ng lo(cid:10)i m(cid:3)t c(cid:13)a hàm f trên và ký hi(cid:14)u là:
a, (cid:3)(cid:4)
(cid:2)
(cid:1)
b
(cid:3)(cid:4)
(cid:10)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2)
b
(cid:9)
lim f x dx (cid:8)(cid:3)(cid:4)
a
a
(cid:9) (cid:15)(cid:7)nh ngh(cid:16)a t(cid:1)(cid:2)ng t(cid:17), ta c(cid:18)ng có các tích phân suy r(cid:3)ng lo(cid:10)i m(cid:3)t sau:
b
a
b
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
(cid:10)
(cid:10)
(cid:3)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2) f x dx
a
(cid:9)
(cid:9)
(cid:9)
(cid:9)
(cid:9)
lim f x dx ; (cid:8)(cid:11)(cid:4)
a
a
(cid:11)(cid:4)
(cid:11)(cid:4)
(cid:11)(cid:4)
(cid:8) N(cid:4)u gi(cid:11)i h(cid:10)n t(cid:19)n t(cid:10)i h(cid:20)u h(cid:10)n thì ta nói tích phân h(cid:3)i t(cid:21), ng(cid:1)(cid:12)c l(cid:10)i
n(cid:4)u gi(cid:11)i h(cid:10)n không t(cid:19)n t(cid:10)i ho(cid:22)c b(cid:23)ng vô cùng thì tích phân phân k(cid:24).
(cid:8) Hai v(cid:25)n (cid:6)(cid:26) (cid:6)(cid:27)i v(cid:11)i tích phân suy r(cid:3)ng:
– Tính tích phân suy r(cid:3)ng (th(cid:1)(cid:28)ng là khó)
– Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
a, (cid:3)(cid:4)
Chú ý. (cid:8) Gi(cid:8) s(cid:29) F là nguyên hàm c(cid:13)a f trên , khi (cid:6)ó
(cid:1)
(cid:2)
b
(cid:3)(cid:4)
(cid:10)
(cid:10)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2)
(cid:7) (cid:2) F a
(cid:13) (cid:15)
b
(cid:9)
(cid:9)
lim f x dx b (cid:8)(cid:3)(cid:4)
(cid:12) (cid:7) (cid:2) lim F b (cid:11)(cid:14) (cid:8)(cid:3)(cid:4)
a
a
F
(cid:7) (cid:10) (cid:3)(cid:4)
(cid:2)
b
(cid:7) (cid:2) N(cid:4)u t(cid:19)n t(cid:10)i thì lim F b (cid:8)(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
F
(cid:10)
(cid:10) (cid:3)(cid:4) (cid:11)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2) F x
(cid:7)
(cid:2)
(cid:7) (cid:2) F a
a
(cid:9)
a
(cid:8) T(cid:1)(cid:2)ng t(cid:17) (cid:6)(cid:27)i v(cid:11)i các tích phân còn l(cid:10)i.
(cid:3)(cid:4)
I
VD 1. Tính
2
(cid:10)
0
(cid:3)(cid:4)
dx (cid:3)(cid:9) 1 x
I dx
VD 2. Tính
(cid:9)
2
(cid:10)
0
(cid:7) 1
(cid:3)(cid:4)
2x
x (cid:3) arctan x (cid:2)3/ 2
(cid:11) e
I cos xdx
VD 3. Tính
0
(cid:10) (cid:9)
I ; (cid:10) (cid:9) dx (cid:16) x
(cid:3)(cid:4) (cid:16) (cid:17) (cid:1) VD4. Tính (a > 0, ) a
(cid:8) K(cid:4)t qu(cid:8) (cid:6)(cid:1)(cid:12)c s(cid:29) d(cid:21)ng (cid:6)(cid:30) kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21):
(cid:3)(cid:4)
(a > 0, ) h(cid:3)i t(cid:21) n(cid:4)u > 1 và phân k(cid:24) n(cid:4)u
1(cid:16) (cid:6)
(cid:16) (cid:17) (cid:1)
a
(cid:16) I ; (cid:10) (cid:9) dx (cid:16) x
1.1.2. Các tiêu chu(cid:9)n h(cid:1)i t(cid:10)
1. Tr(cid:11)(cid:12)ng h(cid:13)p hàm không âm.
(cid:5)(cid:6)nh lý. (Tiêu chu(cid:9)n so sánh 1)
a, (cid:3)(cid:4)
(cid:6)
(cid:6)
0 Gi(cid:8) s(cid:29) f, g là các hàm kh(cid:8) tích trên và
(cid:7) (cid:2) f x
(cid:7) (cid:2) g x ;
(cid:2)
(cid:1)
x
(cid:1) a,(cid:18) (cid:17) (cid:3)(cid:4)
(cid:2) . Khi (cid:6)ó
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
i) N(cid:4)u h(cid:3)i t(cid:21) thì h(cid:3)i t(cid:21)
(cid:7) (cid:2) g x dx
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
(cid:9)
a (cid:3)(cid:4)
a (cid:3)(cid:4)
ii) N(cid:4)u phân k(cid:24) thì phân k(cid:24)
(cid:7) (cid:2) g x dx
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
(cid:9)
a
a
(cid:3)(cid:4)
I
Chú ý. (cid:15)(cid:30) kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21) c(cid:13)a ta th(cid:1)(cid:28)ng so sánh
(cid:7) (cid:2) f x dx
a
(cid:3)(cid:4)
v(cid:11)i tích phân (cid:6)ã bi(cid:4)t k(cid:4)t qu(cid:8)
(cid:10) (cid:9)
a
dx (cid:16)(cid:9) x
(cid:3)(cid:4)
dx
VD 1. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
I
(cid:10)
2
(cid:9)
x 1
x
(cid:3)
1
(cid:3)(cid:4)
VD 2. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
I
(cid:10)
2
(cid:9)
dx 2 sin 3x
2x
(cid:3)
1
(cid:3)(cid:4)
VD 3. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
I
(cid:10)
(cid:9)
3 ln xdx 5 x (cid:3)
1
H(cid:14) qu(cid:15). (Tiêu chu(cid:9)n so sánh 2)
(cid:2) Gi(cid:8) s(cid:29) f, g là các hàm kh(cid:8) tích trên (cid:3)(cid:4)
(cid:1)
(cid:7) (cid:2) ,f x
(cid:7) (cid:2) 0, g x
a, 0; (cid:19) (cid:19)
và . Khi (cid:6)ó
A
(cid:1) a,(cid:18) (cid:17) (cid:3)(cid:4)
(cid:5)
(cid:10)
x
lim (cid:8)(cid:3)(cid:4)
(cid:7) (cid:2) f x (cid:7) (cid:2) g x
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
i) N(cid:4)u A = 0 và h(cid:3)i t(cid:21) thì h(cid:3)i t(cid:21)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2) g x dx
(cid:9)
(cid:9)
a
a
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
A (cid:10) (cid:3)(cid:4)
ii) N(cid:4)u và phân k(cid:24) thì phân k(cid:24)
(cid:7) (cid:2) g x dx
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
(cid:9)
a
a
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
(cid:7) (cid:2) iii) N(cid:4)u 0 < A < thì và cùng HT ho(cid:22)c f x dx
(cid:7) (cid:2) g x dx
(cid:9)
(cid:9)
a
a
cùng PK
f
g(cid:2)
x
Chú ý. N(cid:4)u f, g th(cid:31)a mãn các (cid:6)i(cid:26)u ki(cid:14)n c(cid:13)a H(cid:14) qu(cid:8) trên và ,
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
x (cid:8)(cid:3)(cid:4)
(cid:7) (cid:2) g x dx khi thì và cùng HT ho(cid:22)c cùng PK
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
(cid:9)
a
a
(cid:3)(cid:4)
I dx
VD 1. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
2
(cid:10)
3/ 2 x (cid:3)(cid:9) 1
1
(cid:3)(cid:4)
dx
x
VD2. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
I
(cid:10)
(cid:9)
5x
ln x
(cid:3)
1
(cid:3)(cid:4)
I
VD3. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
3
(cid:9)
(cid:10)
1
sin 3x 2x 3xdx (cid:3)
VD4. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
I
cos
(cid:11)
(cid:3)(cid:4)(cid:20) 21/ x (cid:23)(cid:10) (cid:9) e (cid:23) (cid:23)(cid:24)
(cid:21)(cid:22) dx (cid:22) (cid:22) (cid:25)
1 x
1
(cid:3)(cid:4)
I
VD5. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
2
(cid:9)
(cid:10)
1
(cid:3)(cid:4)
arctan xdx 2 ln x 2x (cid:3)
VD6. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
(cid:9)
I (cid:10)
(cid:7) 3x
0
x 1 (cid:3) (cid:3) dx (cid:2) 1
2. Tr(cid:11)(cid:12)ng h(cid:13)p hàm có d(cid:16)u b(cid:16)t k(cid:17).
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:3)(cid:4) (cid:5)(cid:6)nh ngh(cid:7)a. Tích phân suy r(cid:3)ng (cid:6)(cid:1)(cid:12)c g(cid:9)i là h(cid:3)i t(cid:21) tuy(cid:14)t (cid:9) a
(cid:3)(cid:4)
(cid:7) (cid:2) (cid:6)(cid:27)i n(cid:4)u h(cid:3)i t(cid:21) f x dx
(cid:9)
a
(cid:3)(cid:4)
(cid:5)(cid:6)nh lý. N(cid:4)u h(cid:3)i t(cid:21) tuy(cid:14)t (cid:6)(cid:27)i thì nó h(cid:3)i t(cid:21)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
a
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
(cid:8) Do (cid:6)ó, n(cid:4)u h(cid:3)i t(cid:21) thì h(cid:3)i t(cid:21)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
(cid:9)
a
a
(cid:8) M(cid:3)t tích phân suy r(cid:3)ng h(cid:3)i t(cid:21) nh(cid:1)ng không h(cid:3)i t(cid:21) tuy(cid:14)t (cid:6)(cid:27)i (cid:6)(cid:1)(cid:12)c
g(cid:9)i là bán h(cid:3)i t(cid:21)
(cid:3)(cid:4)
Chú ý. N(cid:4)u hàm f có d(cid:25)u tùy ý, (cid:6)(cid:30) kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21) c(cid:13)a
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
a
(cid:3)(cid:4)
ta kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21) c(cid:13)a tích phân hàm không âm (cid:6)(cid:30) s(cid:29)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
a
d(cid:21)ng (cid:6)(cid:1)(cid:12)c 2 tiêu chu n so sánh
(cid:3)(cid:4)
VD 1. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
1
(cid:3)(cid:4)
I dx (cid:10) (cid:9) s inx 2 x
VD 2. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
I dx (cid:10)
0
(cid:3)(cid:4)
cosx (cid:3)(cid:9) 2 1 x
VD 3. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
(cid:9)
1
I (cid:10) s inxdx 2 ln 2x x (cid:3)
1.2. Tích phân suy r(cid:1)ng lo(cid:2)i hai (Hàm d(cid:11)(cid:3)i d(cid:16)u tích phân
không b(cid:6) ch(cid:18)n)
1.2.1. (cid:5)(cid:6)nh ngh(cid:7)a. (cid:15)i(cid:30)m (cid:6)(cid:1)(cid:12)c g(cid:9)i là (cid:6)i(cid:30)m k(cid:24) d(cid:7) c(cid:13)a (cid:6)(cid:1)(cid:28)ng
ox
(cid:10) (cid:4)
x
(cid:7) (cid:2) lim f x cong y = f(x) n(cid:4)u x (cid:8)
o
1.2.2. (cid:5)(cid:6)nh ngh(cid:7)a. Cho hàm f xác (cid:6)(cid:7)nh trên , kh(cid:8) tích trên
a, b
(cid:1)
(cid:2)
m(cid:9)i (cid:6)o(cid:10)n 0 < < b – a và b là (cid:6)i(cid:30)m k(cid:24) d(cid:7) duy nh(cid:25)t c(cid:13)a f.
(cid:1)
(cid:2) ,(cid:11) (cid:26) a, b b (cid:11)(cid:26)
Gi(cid:11)i h(cid:10)n (n(cid:4)u có) (cid:6)(cid:1)(cid:12)c g(cid:9)i là tích phân suy r(cid:3)ng lo(cid:10)i
(cid:7) (cid:2)
(cid:3) 0
lim f x dx (cid:26)(cid:8) (cid:9)
a
b
b
(cid:11)(cid:26)
(cid:10)
a, b
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2)
(cid:1) hai c(cid:13)a hàm f trên và ký hi(cid:14)u là:
(cid:5)
(cid:9)
(cid:9)
(cid:3) 0
lim f x dx (cid:26)(cid:8)
a
a
b
b
(cid:10)
(cid:8) N(cid:4)u a là (cid:6)i(cid:30)m k(cid:24) d(cid:7) duy nh(cid:25)t c(cid:13)a f thì
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2)
(cid:9)
(cid:9)
(cid:3) 0
lim f x dx (cid:26)(cid:8)
a
a
(cid:3)(cid:26)
(cid:26)
(cid:8) N(cid:4)u gi(cid:11)i h(cid:10)n t(cid:19)n t(cid:10)i h(cid:20)u h(cid:10)n thì ta nói tích phân h(cid:3)i t(cid:21), ng(cid:1)(cid:12)c l(cid:10)i
n(cid:4)u gi(cid:11)i h(cid:10)n không t(cid:19)n t(cid:10)i ho(cid:22)c b(cid:23)ng vô cùng thì tích phân phân k(cid:24).
(cid:8) N(cid:4)u (cid:6)i(cid:30)m k(cid:24) d(cid:7) duy nh(cid:25)t c(cid:13)a f là (cid:6)i(cid:30)m thì
(cid:1) a, b(cid:17)
(cid:5)
b
c
c b
(cid:10)
(cid:3)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
(cid:9)
(cid:9)
a
a
c
Tích phân v(cid:4) trái h(cid:3)i t(cid:21) khi và ch! khi c(cid:8) hai tích phân " v(cid:4) ph(cid:8)i h(cid:3)i
t(cid:21).
Chú ý. Gi(cid:8) s(cid:29) b là (cid:6)i(cid:30)m k(cid:24) d(cid:7) duy nh(cid:25)t c(cid:13)a f và F là nguyên hàm c(cid:13)a b
b
(cid:11)(cid:26)
(cid:10)
(cid:10)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2)
(cid:2) (cid:11) (cid:26) (cid:11)
(cid:2) (cid:7) (cid:2) F a
(cid:2) f trên , khi (cid:6)ó a, b
(cid:1)
(cid:9)
(cid:9)
(cid:3) 0
(cid:3) 0
lim f x dx (cid:26)(cid:8)
(cid:7) (cid:7) lim F b (cid:26)(cid:8)
a
a b
b
(cid:10)
(cid:10)
(cid:11)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2) F x
(cid:7) (cid:2) F a
(cid:2) (cid:11) (cid:26) (cid:10)
(cid:7) (cid:11) F b
(cid:2)
(cid:7) (cid:11) F b
(cid:2)
a
(cid:3) 0
(cid:7) (cid:9) N(cid:4)u t(cid:19)n t(cid:10)i thì lim F b (cid:26)(cid:8)
a (cid:8) T(cid:1)(cid:2)ng t(cid:17) cho tr(cid:1)(cid:28)ng h(cid:12)p a là (cid:6)i(cid:30)m k(cid:24) d(cid:7) duy nh(cid:25)t c(cid:13)a f.
4
VD 1. Tính
I
(cid:10)
(cid:9)
dx x
2
(cid:11)
2
3
VD 2. Tính
I
(cid:10)
dx (cid:11)(cid:9) x 1
0
1
VD 3. Tính
I
(cid:10)
(cid:9)
2
(cid:11)
1 x (cid:11)
dx (cid:2) x
(cid:7)
0
b
b
dx
dx
(cid:16)
VD 4. Tính (a < b, > 0) ; J
I
;
(cid:10)
(cid:10)
(cid:16)
(cid:16)
(cid:9)
(cid:9)
x
a
b
x
(cid:11)
(cid:11)
(cid:7)
(cid:2)
(cid:7)
(cid:2)
a
a
(cid:8) K(cid:4)t qu(cid:8) (cid:6)(cid:1)(cid:12)c s(cid:29) d(cid:21)ng (cid:6)(cid:30) kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21):
b
b
dx
dx
(cid:16)
(cid:16)
(a < b, > 0) h(cid:3)i t(cid:21) n(cid:4)u 0 < < 1
I
; J
;
(cid:10)
(cid:10)
(cid:16)
(cid:16)
(cid:9)
(cid:9)
x
a
b
x
(cid:11)
(cid:11)
(cid:7)
(cid:2)
(cid:7)
(cid:2)
a
a
1(cid:16) (cid:19)
và phân k(cid:24) n(cid:4)u
1.1.2. Các tiêu chu(cid:9)n h(cid:1)i t(cid:10)
# T(cid:1)(cid:2)ng t(cid:17) tích phân suy r(cid:3)ng lo(cid:10)i m(cid:3)t: có hai tiêu chu n so sánh
cho tích phân hàm không âm. Khái ni(cid:14)m h(cid:3)i t(cid:21) tuy(cid:14)t (cid:6)(cid:27)i c(cid:18)ng t(cid:1)(cid:2)ng
t(cid:17) trong tích phân suy r(cid:3)ng lo(cid:10)i m(cid:3)t: h(cid:3)i t(cid:21) tuy(cid:14)t (cid:6)(cid:27)i thì h(cid:3)i t(cid:21).
1. Tr(cid:11)(cid:12)ng h(cid:13)p hàm không âm.
(cid:5)(cid:6)nh lý. (Tiêu chu(cid:9)n so sánh 1)
Gi(cid:8) s(cid:29) f, g là các hàm kh(cid:8) tích trên và
a, b
0
(cid:6)
(cid:6)
(cid:1)
(cid:2)
(cid:7) (cid:2) f x
(cid:7) (cid:2) g x ;
x (cid:18) (cid:17)
(cid:1)
(cid:2)
a, b b
và b là (cid:6)i(cid:30)m k(cid:24) d(cid:7) duy nh(cid:25)t c(cid:13)a f. Khi (cid:6)ó b
i) N(cid:4)u h(cid:3)i t(cid:21) thì h(cid:3)i t(cid:21)
(cid:7) (cid:2) g x dx
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
(cid:9)
a
a b
b
ii) N(cid:4)u phân k(cid:24) thì phân k(cid:24)
(cid:7) (cid:2) g x dx
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
(cid:9)
a
a
# T(cid:1)(cid:2)ng t(cid:17) cho tr(cid:1)(cid:28)ng h(cid:12)p a là (cid:6)i(cid:30)m k(cid:24) d(cid:7) duy nh(cid:25)t c(cid:13)a f.
H(cid:14) qu(cid:15). (Tiêu chu(cid:9)n so sánh 2)
(cid:19)
0; x (cid:19) (cid:18) (cid:17)
(cid:7) (cid:2) 0, g x
(cid:1)
(cid:1)
(cid:2) a, b ,
b là (cid:6)i(cid:30)m k(cid:24) d(cid:7) duy nh(cid:25)t c(cid:13)a f và . Khi (cid:6)ó
A
(cid:10)
lim (cid:11)(cid:8) x b
(cid:7) (cid:2) (cid:2) a, b ,f x Gi(cid:8) s(cid:29) f, g là các hàm kh(cid:8) tích trên (cid:7) (cid:2) f x (cid:7) (cid:2) g x b
b
i) N(cid:4)u A = 0 và h(cid:3)i t(cid:21) thì h(cid:3)i t(cid:21)
(cid:7) (cid:2) g x dx
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
(cid:9)
a
a
b
b
A (cid:10) (cid:3)(cid:4)
ii) N(cid:4)u và phân k(cid:24) thì phân k(cid:24)
(cid:7) (cid:2) g x dx
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:9)
(cid:9)
a
a
b
b
(cid:3)(cid:4)
(cid:7) (cid:2) iii) N(cid:4)u 0 < A < thì và cùng HT ho(cid:22)c f x dx
(cid:7) (cid:2) g x dx
(cid:9)
(cid:9)
a
a
cùng PK
f
g(cid:2)
Chú ý. N(cid:4)u f, g th(cid:31)a mãn các (cid:6)i(cid:26)u ki(cid:14)n c(cid:13)a H(cid:14) qu(cid:8) trên và ,
b
b
x
b(cid:11)(cid:8)
(cid:7) (cid:2) f x dx
(cid:7) (cid:2) khi thì và cùng HT ho(cid:22)c cùng PK g x dx
(cid:9)
(cid:9)
a
a
2
I
(cid:10)
VD 1. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
dx 2
(cid:9)
1
(cid:11)
1
5
1
(cid:3)
x (cid:7) ln 1
(cid:2) 3 x dx
VD2. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
I
(cid:10)
(cid:9)
x e
1
(cid:11)
0
4
I
(cid:10)
VD3. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
(cid:9)
dx x
2
(cid:11)
0
1
3
I
dx
(cid:10)
VD4. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
(cid:9)
5x (cid:3) tan x
x x
(cid:11)
0
(cid:3)(cid:4)
VD5. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
I
(cid:10) (cid:9)
2 sin xdx 2 x
0
(cid:3)(cid:4)
dx I
VD6. Kh(cid:8)o sát s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21)
(cid:10)
0
1 x x sin (cid:3)(cid:9) x
BTVN.
1. Xét s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21) và tính (trong tr(cid:1)(cid:28)ng h(cid:12)p h(cid:3)i t(cid:21)) các tích phân sau
0
2
5 x
1) 4)
xxe dx
(cid:9)
2
(cid:9)
(cid:11)(cid:4)
dx
0
(cid:3)(cid:4)
2
4 x(cid:11)
cos xdx
2) 5)
2
(cid:9)
0
0
(cid:3)(cid:4)
dx
dx x 1(cid:11)(cid:9) (cid:7) (cid:2)
3)
(cid:9)
2
x
(cid:3)
(cid:11)(cid:4)
(cid:7)
(cid:2)2 1
2. Xét s(cid:17) h(cid:3)i t(cid:21) c(cid:13)a các tích phân sau
(cid:3)(cid:4)
3
2
1
I
dx
(cid:10)
3
(cid:9)
x x
(cid:3) 1
dx I (cid:10) (cid:9)
(cid:3)(cid:4) (cid:3) 2 x 1 1) 2) 3 x
x (cid:3) 3x (cid:3) (cid:3)
1
1
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
(cid:9)
dx I I dx (cid:10) (cid:10)
0
0
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
2x
(cid:11) e
dx
I
x 3) 9) (cid:3)(cid:9) 2 1 x arctan x x e 2 (cid:3)
4) 10) dx
(cid:10) (cid:9)
(cid:9)
I (cid:10)
3 x
1
1
x
dx
I
x 2 sin x (cid:3)
5) 11)
I
(cid:10) (cid:9)
(cid:3)(cid:4) (cid:11) e x
(cid:3)(cid:4)(cid:20) (cid:23)(cid:10) (cid:9) 1 cos (cid:11) (cid:23) (cid:23)(cid:24)
(cid:21)(cid:22) dx (cid:22) (cid:22) (cid:25)
2 x
1
1
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
I dx
6) 12) dx
x e x
1
1
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
I (cid:10) (cid:9) (cid:10) (cid:9) cos x x
1
0
(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:4)
I dx dx I (cid:10) (cid:10) (cid:9) s inx x arctan x 7) 13) (cid:3)(cid:9) 4 1 x
(cid:9)
2 sin x x
3 x
1
0
dx I I dx (cid:10) (cid:10) (cid:9) 1 x arctan x 8) 14) (cid:3)
1
(cid:3)(cid:4)
I (cid:10)
2 15) 21) s in(x )dx
I
(cid:9)
(cid:10) (cid:9)
0
1
1
(cid:3)(cid:4)
x
(cid:7) ln 1
(cid:2)
dx x e 1 (cid:11)
16) 22)
dx
I
3
(cid:9)
(cid:10) (cid:9)
(cid:3) x
0
1
1
(cid:3)(cid:4)
I (cid:10) dx x e 1 (cid:11)
I
(cid:10)
(cid:9)
s inx e
I
xdx 1 (cid:11)
17) 23) (cid:9) (cid:10) (cid:3)
(cid:2) 1
dx 2 (cid:7) ln x
0
1
(cid:3)(cid:4)
1
x
(cid:3)
(cid:2)
I
dx
(cid:10)
2
(cid:9)
dx I (cid:10)
(cid:7) ln 1 sinx e
1
(cid:11)
0
0
1
2
ln x 18) 24) (cid:3)(cid:9) 1 x
I
(cid:10) (cid:9)
dx ln x
I (cid:10)
1
0
3
1
3 2x
dx 19) 25) (cid:3)(cid:9) x 2 x
dx I
20) 26)
2
(cid:9)
0
0
(cid:10) dx I (cid:10) (cid:9) ln x x 9 x (cid:11)
1
I (cid:10)
0
1
dx 27) (cid:11)(cid:9) x e cos x
28)
(cid:9)
I (cid:10)
0
1
dx tan x x (cid:11)
(cid:9)
I (cid:10)
1 dx x
29) (cid:11)
0
