Phụ lục B: Hệ động lực hồi quy và hệ động lực tuần hoàn

Chia sẻ: Tran Cong Dat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

138
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ma trận lũy linh và ma trận tuần hoàn là các vấn đề đã được đề cập đến. Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu, khai thác mặt ứng dụng của chúng; chẳng hạn như nếu ma trận cộng đồng trong các hệ sinh học là ma trận lũy linh hay tuần hoàn thì dáng điệu của hệ khi thời gian ra vô cùng sẽ dễ dàng nhận được nhờ tính chất đặc biệt của ma trận này

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phụ lục B: Hệ động lực hồi quy và hệ động lực tuần hoàn

Ph l c B H đ ng l c h i quy và h đ ng l c tu n hoàn Q-1 Ma tr n lũy linh Ma tr n lũy linh và ma tr n tu n hoàn là các v n đ đã đư c đ c p đ n. Trong chương này, chúng ta s nghiên c u, khai thác m t ng d ng c a chúng; ch ng h n như n u ma tr n c ng đ ng trong các h sinh h c là ma tr n lu linh hay tu n hoàn thì dáng đi u c a h khi th i gian ra vô cùng s d dàng nh n đư c nh tính ch t đ c bi t c a các ma tr n này. M t khác, s d ng khai tri n Jordan chúng ta có th tìm đư c công th c nghi m tư ng minh và m t m t phép ch ng minh m i v tính n đ nh nghi m c a h đ ng l c (c r i r c và liên t c). Đ nh nghĩa Q.5. Ma tr n vuông A đư c g i là ma tr n lũy linh n u t n t i s nguyên dương p sao cho Ap = 0 ( đây 0 là ma tr n không). Đa th c đ c trưng c a ma tr n đư c đ nh nghĩa b i χA (λ) = det(λI − A). Đ nh lý Q.9. Cho A là m t ma tr n vuông c n × n trên trư ng b t kỳ. Th thì, A là ma tr n lũy linh n u và ch n u χA (λ) = λn . 539
540 Ph l c B Ch ng minh. N u đa th c đ c trưng c a ma tr n A có d ng λn thì áp d ng đ nh lý Caley - Hamilton ta đư c An = 0. V y A là ma tr n lu linh. Đ ch ng minh ph n đ o l i c a đ nh lý ta nh n xét r ng v i trư ng k b t kỳ luôn t n t i trư ng K là m r ng c a trư ng k sao cho trong K m i đa th c v i h s trong k có đ nghi m, t c K là trư ng đóng đ i s . Vì th , không m t tính t ng quát, ta gi s trư ng đã cho là trư ng đóng đ i s . Kí hi u λ là m t giá tr riêng c a ma tr n lu linh A ng v i véc tơ riêng v c a A. Khi đó Av = λv. Theo gi thi t A là ma tr n lũy linh nên t n t i s nguyên dương p > 1 sao cho Ap = 0. Do đó Apv = λp v = 0. Nhưng véc tơ riêng v không th b ng 0 nên λp = 0. Suy ra λ = 0. V y đa th c đ c trưng c a A ph i có d ng λn . Đ nh lý đư c ch ng minh. Nh n xét Q.3. Nh n xét r ng, n u k là trư ng s th c R ho c trư ng s ph c C thì ta có phép ch ng minh khác. Th t v y, vì k là không gian Banach nên theo đ nh lý c a Gelfand, bán kính ph 1 ρ(A) = sup{| λ |: λ ∈ σ(A)} = lim || An || n . n→∞ Mà A là ma tr n lũy linh nên t n t i s nguyên dương p > 1 sao cho Ap = 0. Do v y ρ(A) = 0 nên λ = 0. V y đa th c đ c trưng c a A ph i có d ng λn . K t h p đ nh lý này v i đ nh lý Caley - Hamilton ta có H qu Q.2. N u A là m t ma tr n lũy linh c (n × n), thì ta có An = 0. Nh n xét Q.4. H qu này nói r ng n u ta c n ki m tra tính lu linh c a m t ma tr n n × n thì ch c n tính đ n lu th a th n c a nó là đ . N u t i lu th a n mà v n chưa nh n đư c ma tr n 0 thì ma tr n đó ch c ch n không th là ma tr n lu linh đư c. Hơn n a ta c n chú ý r ng t ng cũng như tích c a hai ma tr n lu linh không nh t thi t ph i là lu linh. Th t v y xét hai ma tr n lu linh (2 × 2) sau đây 0 1 0 0 A= 0 0 và B= 1 0 .
Q-1. Ma tr n lũy linh 541 Ta có A2 = B 2 = 0, do đó A và B là các ma tr n lũy linh. Nhưng c t ng 0 1 1 0 A+B = 1 0 và tích AB = 0 0 không là ma tr n lu linh vì (A + B)2 = I (ma tr n đơn v ) và (AB)2 = AB. (Cũng có th tính tr c ti p đư c đa th c đ c trưng c a A + B là λ2 − 1 và đa th c đ c trưng c a AB là λ2 − λ nên chúng không th là lu linh). M t khác nh n th y r ng n u hai ma tr n lu linh A và B là t a giao hoán v i nhau (AB = λ · BA) thì rõ ràng c t ng và tích c a chúng là lu linh. Đ o l i ta có hai m nh đ quan tr ng sau đây: M nh đ Q.1. N u A, B và A + B là các ma tr n lũy linh c (2 × 2) thì ta có AB = −BA. T đó, AB và BA là các ma tr n lũy linh. Ch ng minh. Theo đ nh lý Q.9 ta có A2 = B 2 = (A + B)2 = 0. Vì v y, AB + BA = 0, do đó AB = −BA. T đó suy ra, (AB)2 = ABAB = −AABB = 0, do đó AB là ma tr n lũy linh. Tương t ta thu đư c BA là ma tr n lũy linh. M nh đ đư c ch ng minh M nh đ Q.2. N u A, B và AB, BA là các ma tr n lũy linh c (2 × 2) thì A + B là ma tr n lũy linh và ta cũng thu đư c AB = −BA. Ch ng minh. Ta có (A + B)2 = A2 + AB + BA + B 2 = AB + BA. T đó, (A + B)4 = (AB + BA)2 = (AB)2 + ABBA + BAAB + (BA)2 = 0. Đi u này ch ng t A + B là ma tr n lũy linh và nh m nh đ trên ta thu đư c AB = −BA. M nh đ đư c ch ng minh. Nh n xét Q.5. Đ i v i nh ng ma tr n lu linh c l n hơn 2 × 2 thì m nh đ Q.1 và Q.2 không còn đúng. Ta l y các ví d như sau:
542 Ph l c B 0 0 0 0 −2 1 Ví d Q.22. V i A = 2 0 0 và B = 0 0 1 . D ki m 2 2 0 0 0 0 tra đư c A, B, A + B là các ma tr n lu linh nhưng ma tr n 0 0 0 AB = 0 −4 2 0 −4 4 không là ma tr n lu linh vì 0 0 0 (AB)3 = 0 −32 16 = 0. 0 −32 32 0 1 0 0 0 0 Ví d Q.23. V i A = 0 0 1 và B= 0 0 0 . D ki m tra 0 0 0 1 0 0 đư c AB, BA, A, B là các ma tr n lu linh nhưng ma tr n 0 1 0 A+B = 0 0 1 1 0 0 không là ma tr n lu linh vì (A + B)2 = I. Nh n xét Q.6. Ma tr n lu linh xu t hi n trong lý thuy t h đ ng l c như m t h đ ng l c h i quy đơn gi n nh t. N u xu t phát t m t véc tơ b t kỳ trong không gian n chi u thì h th ng luôn quay v g c to đ sau không quá n bư c. Ti p theo ta đ c p đ n m t s khái ni m và tính ch t c a ma tr n tu n hoàn. Q-2 Ma tr n tu n hoàn Đ nh nghĩa Q.6. Ma tr n vuông U đư c g i là ma tr n tu n hoàn n u t n t i s nguyên dương k > 1 sao cho U k = I ( đây I là ma tr n đơn v ). Ma tr n tu n hoàn là ví d đơn gi n cho h đ ng l c tu n hoàn. Sau p bư c h th ng c a ta tr v tr ng thái ban đ u. Đây cũng là chu kỳ c a h đ ng
Q-2. Ma tr n tu n hoàn 543 l c. Các ma tr n tu n hoàn đ u là các ma tr n n a đơn (xem [?], p.613)). Nh c l i r ng ma tr n n a đơn là các ma tr n có h véc tơ riêng đ y đ (t c là chúng đ ng d ng v i ma tr n chéo). Ch ng h n xét ma tr n cos(2π/p) sin(2π/p) U = − sin(2π/p) cos(2π/p) ta có ngay U p = I nên U là ma tr n tu n hoàn. Đây là m t phép quay quanh 2π g c to đ v i góc p . Rõ ràng là sau p bư c ta quay v v trí ban đ u. M t l p các ví d h p d n khác là các ma tr n hoán v . Nh ng ma tr n này dùng đ bi u di n các nhóm đ i x ng. Đ c th hơn nh ng v n đ này ta ký hi u V là không gian véc tơ n chi u trên trư ng s ph c v i cơ s là {v1 , v2 , · · · , vn }. Kí hi u Sn là nhóm đ i x ng v i các ph n t là các hoán v c a t p h p {1, 2, · · · , n}. Tương ng v i m i hoán v σ ta thành l p ánh x tuy n tính Pσ như sau Pσ vj = vσ(j) v i j = 1, 2, · · · , n. Ma tr n c a ánh x tuy n tính Pσ trong cơ s {v1 , v2 , · · · , vn } cũng đư c ký hi u là Pσ và có tên là ma tr n hoán v . V m t tr c quan, các ma tr n hoán v là các b ng s vuông mà trong m i dòng m i c t có đúng m t s 1, các s còn l i đ u b ng 0. Ch ng h n 0 1 0 0 1 0 P(1,2) = 1 0 0 và P(1,3,2) = 0 0 1 . 0 0 1 1 0 0 v i (1, 2) là hoán v đ i ch 1 v i 2, còn (1, 3, 2) là vòng xích đưa 1 vào 3, 3 vào 2 3 2 còn 2 thì tr v . Ta có P(1,2) = P(1,3,2) = I và đa th c đ c trưng c a P(1,2) là χP(1,2) = (λ2 −1)(λ−1) còn đa th c đ c trưng c a P(1,3,2) là χP(1,3,2) = (λ3 −1). Bây gi ta s nghiên c u chi ti t đa th c đ c trưng c a các ma tr n tu n hoàn. B đ Q.1. N u U p = U q = I, trong đó p và q là các s nguyên t cùng nhau thì U = I. Ch ng minh. Vì p và q là hai s nguyên t cùng nhau, nên t n t i các s
544 Ph l c B t nhiên m và n sao cho pm = nq + 1. Do đó, U mp = U nq+1 . Theo gi thi t, ta có v trái là I và v ph i là U . B đ đư c ch ng minh. Đ nh lý Q.10. Cho A là m t ma tr n c n × n trên trư ng s h u t Q v i các giá tr riêng khác nhau trên trư ng s ph c C. Gi thi t thêm là t n t i s nguyên t p sao cho Ap = I. Th thì đa th c đ c trưng c a A ph i có d ng λp − 1 ho c λp−1 + λp−2 + · · · + 1. Suy ra p = n ho c p = n + 1. Ch ng minh. Cho λ là m t giá tr riêng c a A. Th thì λp = 1. M t khác các giá tr riêng c a A đ u phân bi t nên đa th c đ c trưng c a A ph i là th a s c a đa th c λp − 1. Khi phân tích đa th c λp − 1 ra th a s nguyên t trên trư ng s h u t Q ta đư c λp − 1 = (λ − 1)(λp−1 + λp−2 + · · · + 1). V y đa th c đ c trưng c a A ch có th là m t trong hai d ng trên. Ta đã ch ng minh xong. Nh n xét Q.7. Đi u ki n các giá tr riêng c a A ph i phân bi t là vô cùng quan tr ng không th b đư c. Ví d ma tr n đơn v I tho mãn t t c các đi u ki n khác c a đ nh lý này mà không có đa th c đ c trưng như hai d ng trên. H qu Q.3. N u p là s nguyên t l n hơn 2 thì ít nh t m t trong hai s {cos(2π/p), sin(2π/p)} ph i là s vô t . Ch ng minh. Ta xét ma tr n sau cos(2π/p) sin(2π/p) U= − sin(2π/p) cos(2π/p) . Khi đó U p = I. N u c hai s {cos(2π/p), sin(2π/p)} là s h u t , ta s d ng đ nh lý 1.2 và nh n đư c p = 2 ho c 3. Theo gi thi t c a ta p là s nguyên
Q-2. Ma tr n tu n hoàn 545 √ t l n hơn 2. V i p = 3 ta có ngay sin(2π/3) = 3/2 là s vô t . H qu đư c ch ng minh xong. Bây gi ta xét đa th c đ c trưng c a các ma tr n hoán v . Trư c h t nh n xét r ng véc tơ v = v 1 + v2 + · · · + vn là véc tơ riêng c a m i ma tr n hoán v ng v i giá tr riêng b ng 1. M t khác n u hoán v σ không thay đ i v trí c a j thì vj s là véc tơ riêng c a ma tr n Pσ ng v i giá tr riêng b ng 1. Như v y n u σ c đ nh k đi m thì đa th c đ c trưng c a Pσ s chia h t cho (λ − 1)k . C th hơn ta có B đ Q.2. Gi s σ ∈ Sn là m t vòng xích đ dài p. Th thì đa th c đ c trưng χ(λ) c a ma tr n hoán v Pσ là (λp − 1)(λ − 1)n−p . Ch ng minh. Ta s li t kê t t c các véc tơ riêng (đ c l p tuy n tính) c a ma tr n Pσ . Không m t tính t ng quát, gi s σ là vòng xích (1, 2, · · · , p). Khi đó {vp+1 , · · · , vn } là n − p véc tơ riêng đ c l p tuy n tính tương ng v i giá tr riêng 1. Bây gi đ t ς = cos(2π/p) + i sin(2π/p) là căn b c p c a 1 và uj = ς jp v1 + ς j(p−1)v 2 + · · · + ς j vp v i j = 1, 2, · · · , p. Khi đó Pσ uj = ς jpv 2 + ς j(p−1) v3 + · · · + ς j v1 = ς j uj . B i đ nh lý quen thu c c a VanderMonde ta có h véc tơ riêng ς j j = 1, 2, · · · , p là đ c l p tuy n tính. Suy ra đa th c đ c trưng c a ma tr n hoán v Pσ là (λ − ς)(λ − ς 2) · · · (λ − ς p )(λ − 1)n−p = (λp − 1)(λ−)n−p . B đ đư c ch ng minh. Đ nh lý Q.11. Gi s τ ∈ Sn đư c bi u di n dư i d ng tích c a k vòng xích r i nhau σ1, σ2, · · · , σk . Gi s pi là đ dài c a σi (v i i = 1, 2, · · · , k) và
546 Ph l c B q = n − (p1 + p2 + · · · + pk ). Th thì đa th c đ c trưng χ(λ) c a ma tr n hoán v Pτ là (λp1 − 1)(λp2 − 1) · · · (λpk − 1)(λ − 1)q . Ch ng minh. B ng quy n p theo k và s d ng b đ 1.2, ta có đ nh lý đúng v i k = 2. Không m t tính t ng quát, ta gi s σ1 là vòng xích (1, 2, · · · , p1 ) và gi s σ2 là vòng xích (p1 + 1, p1 + 2, · · · , p1 + p2 ). Trư c h t ta có n − p1 − p2 = q véc tơ riêng đ c l p tuy n tính c a Pτ tương ng v i giá tr riêng 1 là vp1 +p2 +1 , · · · , vn . Bây gi gi s ς1 = cos(2π/p1 ) + i sin(2π/p1 ) là nghi m ph c th p1 c a 1 (ς p1 = 1) và gi s ς2 = cos(2π/p2 ) + i sin(2π/p2 ) là nghi m ph c th p2 c a 1 (ς p2 = 1). Nh đó ta có th vi t các véc tơ riêng c a Pτ tương j ng v i ς1 và ς2 trong đó = 1, 2, · · · , p1 và j = 1, 2, · · · , p2 . Vì th đa th c đ c trưng χ(λ) c a Pτ có d ng χ(λ) = (λp1 − 1)(λp2 − 1)(λ − 1)n−p1 −p2 . Đ nh lý đư c ch ng minh. Ti p theo ta ta nghiên c u không gian véc tơ tuy n tính đ nh chu n k chi u V trên trư ng s ph c C. Ma tr n lũy đ ng là ma tr n vuông U c (k × k) sao cho U − I là ma tr n lũy linh. Rõ ràng, đa th c đ c trưng c a ma tr n lũy đ ng U là (λ − 1)k . Vì v y, bán kính ph c a ma tr n lũy đ ng là 1. Đ ý r ng, chu n c a các ma tr n lũy linh có th r t l n, m c dù bán kính ph c a chúng là 0. Ta đ nh nghĩa t tn eAt = I + A + · · · + An + · · · . 1! n! Rõ ràng, chu i này h i t v i chu n c a ma tr n. T đ nh nghĩa, d th y ◦ (eAt ) = AeAt , ◦ N u A và B là các ma tr n vuông giao hoán thì e(A+B)t = eAt eBt,
Q-2. Ma tr n tu n hoàn 547 ◦ N u λ là m t giá tr riêng c a A thì eλt là giá tr riêng c a eAt , ◦ N u U 2 = I thì eU t = I cosh t + U sinh t. ◦ N u N là ma tr n lũy linh c (k × k) thì t tk−1 eN t = I + N + ··· + N k−1 1! (k − 1)! là ma tr n lũy đ ng. Ta hãy xét các ví d sau, 0 1 cosh t sinh t ◦ N u U= 1 0 thì eU t = sinh t cosh t (U 2 = I); 0 1 cos t sin t ◦ N u U= −1 0 thì eU t = − sin t cos t (U 2 = −I). Nh c l i r ng, m i ma tr n A đ u có th bi u di n duy nh t dư i d ng A = S + N , trong đó S là ma tr n n a đơn, N là ma tr n lũy linh và SN = N S (khai tri n Jordan c ng tính). Ta có đ nh lý quen thu c sau mà phép ch ng minh nó có th th y d dàng nh s d ng khai tri n này. Đ nh lý Q.12. Nghi m c a h u(t) = Au(t) v i t > 0 có d ng u(t) = eAt u(0). ˙ Hơn h a, n u A = S + N là khai tri n Jordan c ng tính c a A, trong đó S là ma tr n n a đơn c k × k có k véc tơ riêng đ c l p tuy n tính v 1, v2 , · · · , vk tương ng v i các giá tr riêng λ1 , λ2 , · · · , λk (không nh t thi t khác nhau), thì nghi m t ng quát c a h có d ng u(t) = α1eλ1 t eN tv1 + α2 eλ2t eN tv2 + · · · + αk eλk t eN tvk v i t ≥ 0. (4.1) N u Re (λj ) < 0 v i t t c j = 1, 2, · · · , k, thì lim u(t) = 0. (4.2) t→∞
548 Ph l c B Ch ng minh. T SN = N S ta có e(S+N )t = eSt eN t t đó ta có (4.1). Ta ch ng minh(4.2). Đ ý r ng đ l n c a || eN tvj || là giá tr c a đa th c (t bi n s ) b c k − 1 không đ i. Do đó, lim | eλj t | · || eN tvj ||= 0, t→∞ và suy ra (4.2). Chú ý r ng nghi m c a h x(t) = y(t) ˙ y(t) = 0 ˙ có d ng x(t) = a + bt y(t) = b Ma tr n A c a h này là ma tr n lũy linh và ch có m t véc tơ riêng (đ c l p tuy n tính). Đ ý r ng 1 t eAt = I + tA = 0 1 và ta luôn có nghi m c a h u(t) = Au(t) v i t > 0 là u(t) = eAtu(0). ˙ Ti p theo, ta ch ng minh tính n đ nh nghi m c a h đ ng l c r i r c b ng cách dùng khai tri n Jordan nhân tính. Nh c l i r ng t t c các ma tr n kh ngh ch A đ u có th bi u di n (duy nh t) dư i d ng tích (giao hoán đư c) c a m t ma tr n n a đơn S và m t ma tr n lũy đ ng U (khai tri n Jordan nhân tính). Giá tr riêng c a S chính là giá tr riêng c a A. Ta có đ nh lý quen thu c sau mà phép ch ng minh nó có th th y d dàng nh s d ng khai tri n này. Đ nh lý Q.13. Nghi m c a h un+1 = Aun v i n = 0, 1, · · · , có d ng un = An u0 . Hơn n a, n u A = SU là khai tri n Jordan nhân tính c a A (A đư c gi thi t là ma tr n kh ngh ch), trong đó S là ma tr n n a đơn c (k × k) có
Q-2. Ma tr n tu n hoàn 549 k véc tơ riêng đ c l p tuy n tính v 1 , v2, · · · , vk tương ng v i các giá tr riêng λ1 , λ2 , · · · , λk (không nh t thi t khác nhau), thì nghi m t ng quát c a h có d ng un = α1 λn U n v1 + α2 λn U n v2 + · · · + αk λn U n vk v i n = 0, 1, · · · 1 2 k (4.3) N u | λj |< 1 v i t t c j = 1, 2, · · · , k thì lim un = 0. (4.4) n→∞ Ch ng minh. Do v1 , v2 , · · · , v k là các véc tơ riêng đ c l p tuy n tính trong không gian k chi u, nên chúng t o thành cơ s c a không gian này. Vì v y, v i véc tơ u0 cho trư c, ta có u0 = α1 v1 + α2v 2 + · · · + αk vk . Thay vào công th c un = An u0 ta có ngay un = An u0 = U n S n (α1 λ1 + α2 λ2 v 2 + · · · + αk λk vk ) = α 1 λ n U n v 1 + α 2 λ n U n v 2 + · · · + α k λn U n v k . 1 2 k N u giá tr tuy t đ i c a λ nh hơn thì | λn |= (1 + a)−1 ti n t i 0 r t nhanh khi n ti n t i vô cùng. Còn chu n c a ma tr n lu đ ng k−1 n n n(n − 1) · · · (n − r + 1) r U = (I + N ) = N r=0 r! s b ch n trên b i đa th c k−1 || N ||r p(n) = n(n−) · · · (n − r + 1) r=0 r! có b c là k − 1 (c đ nh) c a n. Hàm s mũ có đ l n r t nhi u so v i hàm đa th c. Nói m t cách c th hơn n u p(n) là đa th c còn a là m t s dương thì | p(n) | lim = 0. n→∞ (1 + a)n
550 Ph l c B Vì v y ta có limn→∞ un = 0. Đ nh lý đã đư c ch ng minh trong trư ng h p A là ma tr n kh ngh ch. N u A không kh ngh ch ta có th phân tích không gian véc tơ đã cho thành t ng tr c ti p c a hai không gian con b t bi n là V1 và V2 = {v : Av = 0}. H n ch c a ánh x tuy n tính A trên không gian con V1 là kh ngh ch nên ta có th áp d ng k t qu v a ch ng minh trên đ k t lu n limn→∞ un = 0. Đ ý r ng ma tr n lũy linh 0 1 A= 0 0 . có duy nh t m t véc tơ riêng (đ c l p tuy n tính) 1 v1 = 0 nên nghi m t ng quát c a h un+1 = Aun v i n = 0, 1, 2, · · · , không có d ng (4.3) trong đ nh lý trên. Hơn n a, u0 và u1 không nh t thi t là 0 và un = 0 v i t t c n > 1.
Tài li u tham kh o [1] R. Courant, G.Robins, Toán h c là gì? (ti ng Nga), NXB Matxcơva, 1967 . [2] A.V. Dorofeeva, Giáo trình Toán cao c p cho khoa Tri t h c các trư ng đ i h c (ti ng Nga), NXB MGU, Matxcơva, 1971. [3] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Complexnumbers from A to Z . . ., Birkh¨user, 2006. a [4] I.M. Yaglom, S ph c và ng d ng trong hình h c (ti ng Nga), Moskva, 1963. [5] S.I. Xvarcburd, Izbrannye voproksy matematiki Fakultativnyi kurs 10, Moskva, 1963. [6] G.Polya, G.Szege, Các đ nh lý và bài t p c a gi i tích, (ti ng Nga), Nhà xu t b n Mir, Moscow, 1973 [7] D.Shkliarsky, N.Chentsov, I.Iaglom, The USSR Olympiad Problem book, Dover Publications, New York, 1994. [8] Martin Aigner, Gunter M. Ziegler, Proofs from the Book, Third Edition, Springer, 2003 [9] Arthur Engel, Problems solving strategies, Springer 1998 551
552 TÀI LI U THAM KH O [10] Alexeev A., Đ nh lý Abel qua các bài toán và l i gi i (ti ng Nga), Nhà xu t b n MCCME, 2001 [11] P.S.Modenov, Problems in Geometry, Mir publishers 1981 [12] H. Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their history and solutions, Dover Publications, Newyork 1965 [13] B.J.Venkatachala, Functional Equations, A problem Solving Approach, Prism Books, 2002 [14] Zvezdelina Stankova, Complex numbers in Geometry, Berkeley Mathemat- ical circle. [15] Ross Honsberger, Mathematical Gems III, MAA Publications 1985 [16] Nguy n C nh Toàn, Hình h c cao c p, Nhà xu t b n Giáo d c, 1979. [17] Lê H i Châu, Thi vô đ ch toán Qu c t , Nhà xu t b n tr , 2001. [18] Đoàn Quỳnh, S ph c v i Hình h c ph ng, Nhà xu t b n Giáo d c, 1998. [19] Titu Andresscu, Complex Numbers from A to Z, Birkhauser, 2000. [20] Nguy n Văn M u (ch biên), M t s chuyên đ s h c ch n l c, Nhà xu t b n Giáo d c, 2008 [21] Nguy n Văn M u (ch biên), Chuyên đ hình h c và các v n đ liên quan, Nhà xu t b n Giáo d c, 2008 [22] Nguy n Văn M u (Ch biên), Tr nh Đào Chi n, Tr n Nam Dũng, Nguy n Đăng Ph t, M t s chuyên đ ch n l c v đa th c và áp d ng. Nhà xu t b n Giáo d c, 2008. [23] Nguy n Văn M u, Đa th c đ i s và phân th c h u t , Nhà xu t b n Giáo d c, 2007 (tái b n l n th hai).
TÀI LI U THAM KH O 553 [24] Đ i s 10, Nhà xu t b n Giáo d c, 1969. [25] Gi i tích 12, Nhà xu t b n Giáo d c, 2009. [26] Bl. Sendov, A. Andreev and Kjurkchiev, Numerical Solution of Polyno- mial Equations (Part 2, Vol. VIII trong b sách Handbook of Numerical Analysis, Eds., P. G. Ciarlet and Lions), Nhà xu t b n Elsevier Science, 1994. [27] Ch biên: P. C. Aleksandrov, A. I. Markusevich, A. Ia. Khinchin, T đi n toán sơ c p, Vi n Hàn lâm khoa h c giáo d c Liên bang Nga, Nhà xu t b n sách kĩ thu t - lí thuy t, Moskva, 1951 (ti ng Nga), trang 356 - 379. [28] Nguy n H u Đi n, Đa th c và ng d ng. Nhà xu t b n Giáo d c, 2005. [29] Ngô Vi t Trung, Lý thuy t Galoa, Nhà xu t b n Đ i h c Qu c gia Hà N i, 2005. [30] T Duy Phư ng, Phương trình b c ba và các h th c trong tam giác, Nhà xu t b n Giáo d c, 2004. [31] Eric W. Weisstein, CRC Consise Encyclopedia of Mathemtics, CRC Press LLC, USA, 1999. [32] A. Sveshnikov, A. Tikhonov, The Theory of Function of a complex vari- able, Mir Publishers, 1973. [33] Nguy n Th y Thanh, Cơ s lý thuy t hàm bi n ph c, NXB ĐHQGHN, 2007. [34] Nguy n Th y Thanh, Bài t p toán cao c p, NXB ĐHQGHN, 2007. ‘