Phụ lục B
Hệ động lực hồi quy và hệ động
lực tuần hoàn
Q-1 Ma trận lũy linh
Ma trận lũy linh và ma trận tuần hoàn là các vấn đề đã được đề cập đến.
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu, khai thác mặt ứng dụng của chúng;
chẳng hạn như nếu ma trận cộng đồng trong các hệ sinh học là ma trận luỹ
linh hay tuần hoàn thì dáng điệu của hệ khi thời gian ra vô cùng sẽ dễ dàng
nhận được nhờ tính chất đặc biệt của các ma trận này. Mặt khác, sử dụng
khai triển Jordan chúng ta có thể tìm được công thức nghiệm tường minh và
một một phép chứng minh mới về tính ổn định nghiệm của hệ động lực (cả
rời rạc và liên tục).
Định nghĩa Q.5. Ma trận vuông Ađược gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại
số nguyên dương psao cho Ap=0(ở đây 0là ma trận không). Đa thức đặc
trưng của ma trận được định nghĩa bởi
χA(λ) = det(λI −A).
Định lý Q.9. Cho Alà một ma trận vuông cỡ n×ntrên trường bất kỳ. Thế
thì, Alà ma trận lũy linh nếu và chỉ nếu
χA(λ)=λn.
539
540 Phụ lục B
Chứng minh. Nếu đa thức đặc trưng của ma trận Acó dạng λnthì áp dụng
định lý Caley - Hamilton ta được An=0.VậyAlà ma trận luỹ linh. Để chứng
minh phần đảo lại của định lý ta nhận xét rằng với trường kbất kỳ luôn tồn
tại trường Klà mở rộng của trường ksao cho trong Kmọi đa thức với hệ số
trong kcó đủ nghiệm, tức Klà trường đóng đại số. Vì thế, không mất tính
tổng quát, ta giả sử trường đã cho là trường đóng đại số. Kí hiệu λlà một giá
trị riêng của ma trận luỹ linh Aứng với véc tơ riêng vcủa A. Khi đó Av =λv.
Theo giả thiết Alà ma trận lũy linh nên tồn tại số nguyên dương p>1sao
cho Ap=0. Do đó Apv=λpv=0. Nhưng véc tơ riêng vkhông thể bằng 0nên
λp=0. Suy ra λ=0. Vậy đa thức đặc trưng của Aphải có dạng λn. Định lý
được chứng minh.
Nhận xét Q.3. Nhận xét rằng, nếu klà trường số thực Rhoặc trường số
phức Cthì ta có phép chứng minh khác. Thật vậy, vì klà không gian Banach
nên theo định lý của Gelfand, bán kính phổ
ρ(A) = sup{| λ|:λ∈σ(A)}= lim
n→∞ || An||1
n.
Mà Alà ma trận lũy linh nên tồn tại số nguyên dương p>1sao cho Ap=0.
Do vậy ρ(A)=0nên λ=0. Vậy đa thức đặc trưng của Aphải có dạng λn.
Kết hợp định lý này với định lý Caley - Hamilton ta có
Hệ quả Q.2. Nếu Alà một ma trận lũy linh cỡ (n×n), thì ta có An=0.
Nhận xét Q.4. Hệ quả này nói rằng nếu ta cần kiểm tra tính luỹ linh của
một ma trận n×nthì chỉ cần tính đến luỹ thừa thứ ncủa nó là đủ. Nếu tới
luỹ thừa nmà vẫn chưa nhận được ma trận 0thì ma trận đó chắc chắn không
thể là ma trận luỹ linh được. Hơn nữa ta cần chú ý rằng tổng cũng như tích
của hai ma trận luỹ linh không nhất thiết phải là luỹ linh. Thật vậy xét hai ma
trận luỹ linh (2 ×2) sau đây
A=01
00
và B=00
10
.
Q-1. Ma trận lũy linh 541
Ta có A2=B2=0, do đó Avà Blà các ma trận lũy linh. Nhưng cả tổng
A+B=01
10
và tích AB =10
00
không là ma trận luỹ linh vì (A+B)2=I(ma trận đơn vị) và (AB)2=AB.
(Cũng có thể tính trực tiếp được đa thức đặc trưng của A+Blà λ2−1và đa
thức đặc trưng của AB là λ2−λnên chúng không thể là luỹ linh). Mặt khác
nhận thấy rằng nếu hai ma trận luỹ linh Avà Blà tựa giao hoán với nhau
(AB =λ·BA) thì rõ ràng cả tổng và tích của chúng là luỹ linh. Đảo lại ta có
hai mệnh đề quan trọng sau đây:
Mệnh đề Q.1. Nếu A, B và A+Blà các ma trận lũy linh cỡ (2 ×2) thì ta
có AB =−BA. Từ đó, AB và BA là các ma trận lũy linh.
Chứng minh. Theo định lý Q.9 ta có A2=B2=(A+B)2=0.Vìvậy,AB +
BA =0,dođóAB =−BA. Từ đó suy ra, (AB)2=ABAB =−AABB =0,
do đó AB là ma trận lũy linh. Tương tự ta thu được BA là ma trận lũy linh.
Mệnh đề được chứng minh
Mệnh đề Q.2. Nếu A, B và AB,BA là các ma trận lũy linh cỡ (2 ×2) thì
A+Blà ma trận lũy linh và ta cũng thu được AB =−BA.
Chứng minh. Ta có
(A+B)2=A2+AB +BA +B2=AB +BA.
Từ đó,
(A+B)4=(AB +BA)2=(AB)2+ABBA +BAAB +(BA)2=0.
Điều này chứng tỏ A+Blà ma trận lũy linh và nhờ mệnh đề trên ta thu được
AB =−BA. Mệnh đề được chứng minh.
Nhận xét Q.5. Đối với những ma trận luỹ linh cỡ lớn hơn 2×2thì mệnh đề
Q.1 và Q.2 không còn đúng. Ta lấy các ví dụ như sau:
542 Phụ lục B
Ví dụ Q.22. Với A= 000
200
220
!và B= 0−21
001
000
!.Dễ kiểm
tra được A, B, A +Blà các ma trận luỹ linh nhưng ma trận
AB = 000
0−42
0−44
!
không là ma trận luỹ linh vì
(AB)3= 00 0
0−32 16
0−32 32!6=0.
Ví dụ Q.23. Với A= 010
001
000
!và B= 000
000
100
!.Dễ kiểm tra
được AB, BA, A, B là các ma trận luỹ linh nhưng ma trận
A+B= 010
001
100
!
không là ma trận luỹ linh vì
(A+B)2=I.
Nhận xét Q.6. Ma trận luỹ linh xuất hiện trong lý thuyết hệ động lực như
một hệ động lực hồi quy đơn giản nhất. Nếu xuất phát từ một véc tơ bất kỳ
trong không gian nchiều thì hệ thống luôn quay về gốc toạ độ sau không quá
nbước. Tiếp theo ta đề cập đến một số khái niệm và tính chất của ma trận
tuần hoàn.
Q-2 Ma trận tuần hoàn
Định nghĩa Q.6. Ma trận vuông Uđược gọi là ma trận tuần hoàn nếu tồn
tại số nguyên dương k>1sao cho Uk=I(ở đây Ilà ma trận đơn vị).
Ma trận tuần hoàn là ví dụ đơn giản cho hệ động lực tuần hoàn. Sau pbước
hệ thống của ta trở về trạng thái ban đầu. Đây cũng là chu kỳ của hệ động
Q-2. Ma trận tuần hoàn 543
lực. Các ma trận tuần hoàn đều là các ma trận nửa đơn (xem [?],p.613)).
Nhắc lại rằng ma trận nửa đơn là các ma trận có hệ véc tơ riêng đầy đủ (tức
là chúng đồng dạng với ma trận chéo). Chẳng hạn xét ma trận
U=cos(2π/p) sin(2π/p)
−sin(2π/p) cos(2π/p)
ta có ngay Up=Inên Ulà ma trận tuần hoàn. Đây là một phép quay quanh
gốc toạ độ với góc 2π
p. Rõ ràng là sau pbước ta quay về vị trí ban đầu. Một
lớp các ví dụ hấp dẫn khác là các ma trận hoán vị. Những ma trận này dùng
để biểu diễn các nhóm đối xứng. Để cụ thể hơn những vấn đề này ta ký hiệu V
là không gian véc tơ nchiều trên trường số phức với cơ sở là {v1,v
2,···,v
n}.
Kí hiệu Snlà nhóm đối xứng với các phần tử là các hoán vị của tập hợp
{1,2,···,n}. Tương ứng với mỗi hoán vị σta thành lập ánh xạ tuyến tính Pσ
như sau Pσvj=vσ(j)với j=1,2,···,n. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Pσ
trong cơ sở {v1,v
2,···,v
n}cũng được ký hiệu là Pσvà có tên là ma trận hoán
vị. Về mặt trực quan, các ma trận hoán vị là các bảng số vuông mà trong mỗi
dòng mỗi cột có đúng một số 1, các số còn lại đều bằng 0. Chẳng hạn
P(1,2) = 010
100
001
!và P(1,3,2) = 010
001
100
!.
với (1,2) là hoán vị đổi chỗ 1 với 2, còn (1,3,2) là vòng xích đưa 1 vào 3, 3 vào
2 còn 2 thì trở về. Ta có P2
(1,2) =P3
(1,3,2) =Ivà đa thức đặc trưng của P(1,2) là
χP(1,2) =(λ2−1)(λ−1) còn đa thức đặc trưng của P(1,3,2) là χP(1,3,2) =(λ3−1).
Bây giờ ta sẽ nghiên cứu chi tiết đa thức đặc trưng của các ma trận tuần
hoàn.
Bổ đề Q.1. Nếu Up=Uq=I, trong đó pvà qlà các số nguyên tố cùng nhau
thì U=I.
Chứng minh. Vì pvà qlà hai số nguyên tố cùng nhau, nên tồn tại các số