Phương pháp 3 : đặt ẩn phụ:
+ /. Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2 + 3x + 932 2 xx =33
ĐKXĐ :
x
R
Phương trình đã cho tương đương với: 2x2 + 3x +9 + 932 2 xx - 42=
0 (1)
Đặt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thường mắc sai lầm không
đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta được phương trình mới : y2 + y – 42 = 0
y1 = 6 , y2 = -7 .Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0
Từ đó ta có 932 2 xx =6
2x2 + 3x -27 = 0
Phương trình có nghiệm x1 = 3, x2 = -
2
9
Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x+ 4x = 12 (ĐKXĐ : x
o)
Đặt 4x = y
0
x = y2 ta có phương trình mới
y2 + y -12 = 0 phương trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)
4x = 3
x = 81 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 1x + x3 - )3)(1( xx = 2 (1)
ĐKXĐ :
03
01
x
x
3
1
x
x -1 ≤ x ≤ 3
Đặt 1x + x3 = t
0
t2 = 4 + 2 )3)(1( xx
)3)(1( xx =
2
4
2t (2) .thay vào (2) ta được
t2 – 2t = 0
t(t-2) = 0
2
0
t
t
+ Với t = 0 phương trình vô nghiệm.
+Với t = 2 thay vào (2) ta có : )3)(1( xx = 0
x1 = -1; x2 = 3 (thoả
mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 = -1và x2 = 3
Ví dụ 4: Giải phương trình : 5 1
3x = 2( x2 + 2)
Ta có 1
3x = 1x1
2 xx
Đặt 1x = a
0 ; 1
2 xx = b
0 và a2 + b2 = x2 + 2
Phương trình đã cho được viết là
5ab = 2(a2 + b2)
(2a- b)( a -2b) = 0
02
02
ba
ba
+ Trường hợp: 2a = b
2 1x = 1
2 xx
4x + 4 = x2 – x +1
x2 – 5x -3 = 0
Phương trình có nghiệm x1 =
2
375 ; x2 =
2
375
+ Trường hợp: a = 2b
1x = 2 1
2 xx
x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0
4x2 -5x + 3 = 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=
2
375 và x=
2
375
Ví dụ 5: Giải phương trình: 1x + 2 (x+1) = x- 1 + x1 + 3 2
1x
(1)
Đặt 1x = u
0 và x1 = t
0
ĐKXĐ: -1
x
1 thì phương trình (1) trở thành.
u + 2u2 = -t2 + t +3ut
(u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0
(u-t)(2u – t +1 ) = 0
tu
tu
12
xx
xx
1112
11
25
24
0
x
x
thoả mãn điều kiện -1
x
1 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 6: Giải phương trình: 12 xx + 12 xx =
2
3
x
ĐKXĐ : x
1
Đặt 1x = t
0
x = t2 + 1 phương trình đã cho trở thành
2
)1( t+2
)1( t =
2
4
2t
1t + 1t =
2
4
2t
0
044
2
2
t
tt (t
1)
0
2
t
t
1
5
x
x
ĐKXĐ: x≥ 1
Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5
+ / . Nhận xét :
Phương pháp đặt ẩn nhằm làm cho phương trình được chuyển về
dạng hữu tỉ .Song để vận dụng phương pháp này phải có những nhận
xét,đánh giá tìm tòi hướng giải quyết cách đặt ẩn như thế nào cho phù hợp
như :
Đặt ẩn phụ để được phương trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3)
Đặt ẩn phụ để đưa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5)
+ /. Bài tập áp dụng:
1/ x2 – 5 + 6
2x = 7 3/ 3 2
x- 3 3x =20
2/ x x
1 - 2x 3x = 20 4/ 8
3x = 2x2 –
6x +4
5/ 96 xx + 96 xx =
6
23
x