phương pháp tính dùng cho sinh viên ngành cơ khí phần 2

Chia sẻ: Thái Duy Ái Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

214
lượt xem 73
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương pháp tính dùng cho sinh viên ngành cơ khí phần 2', kỹ thuật - công nghệ, cơ khí - chế tạo máy phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: phương pháp tính dùng cho sinh viên ngành cơ khí phần 2

f(c), nãúu f(c) = 0 thç c chênh laì nghiãûm âuïng α. Nãúu f(c) ≠ 0, luïc âoï ta so saïnh dáúu cuía f(c) våïi dáúu cuía f(a) âãø choün khoaíng phán ly nghiãûm måïi: Nãúu f(c) traïi dáúu våïi f(a) thç khoaíng phán ly nghiãûm måïi laì [a,c]. Nãúu f(c) cuìng dáúu våïi f(a) thç khoaíng phán ly nghiãûm måïi laì [c,b]. Luïc naìy ta coï khoaíng phán ly nghiãûm måïi chè nhoí bàòng næía khoaíng phán ly nghiãûm ban âáöu, vaì kyï hiãûu laì [a1,b1]. Ta laûi tiãúp tuûc nhæ váûy cho khoaíng phán ly nghiãûm måïi [a1,b1] cho âãún láön thæï n ta âæåüc khoaíng phán ly [an,bn] noï nàòm trong [a,b] vaì chè daìi bàòng 1/2n cuía [a,b]. Theo âënh nghéa ta coï: (b − a) an ≤ α ≤ bn ; bn - an = . 2n Váûy coï thãø láúy an laìm giaï trë gáön âuïng cuía α, luïc âoï sai säú laì: b−a | α − a n |≤ bn − a n = (2-10) 2n cuîng coï thãø láúy bn laìm nghiãûm gáön âuïng cuía α, luïc âoï sai säú laì : b−a | α − bn |≤ bn − a n = (2-11) 2n Do âoï våïi n âuí låïn an hay bn âãöu âuí gáön våïi α. Khi n→∞ thç an→α, bn→α nãn ta noïi phæång phaïp chia âäi häüi tuû. Chuï yï: Trong quaï trçnh chia âäi liãn tiãúp, coï thãø gàûp âiãøm chia maì taûi âoï f bàòng khäng. Khi âoï ta coï âiãøm chia chênh laì nghiãûm âuïng cuía f(x) . 2.2.2 Thê duû Xeït phæång trçnh (2-9), ta âaî chæïng toí noï coï khoaíng phán ly nghiãûm [1, 2] vaì coï f(1) < 0, f(2) > 0. Ta chia âäi khoaíng [1,2] âiãøm chia laì 3/2. 2 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ 3 f ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − − 1 > 0 traïi dáúu våïi f(1) váûy α ∈ [1,3/2]. ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 2 Ta chia âäi khoaíng [1, 3/2], âiãøm chia laì 5/4 ta coï f(5/4) < 0 cuìng dáúu våïi f(1), váûy α ∈ [5/4, 3/2]. Ta chia âäi khoaíng [5/4, 3/2], âiãøm chia laì 11/8. Ta coï f(11/8) > 0 traïi dáúu våïi f(5/4), váûy α ∈ [5/4, 11/8]. Ta chia âäi khoaíng [5/4, 11/8], âiãøm chia laì 21/16. Ta coï f(21/16) < 0 cuìng dáúu våïi f(5/4), váûy α ∈ [21/16, 11/8]. Ta chia âäi khoaíng [21/16, 11/8], âiãøm chia laì 43/32. Ta coï f(43/32) > 0 traïi dáúu våïi f(21/16), váûy α ∈ [21/16, 43/32]. Ta dæìng quaï trçnh chia âäi taûi âáy vaì láúy 21/16 = 1,3125 hay 43/32 = 1,34375 laìm giaï trë gáön âuïng cuía α thç sai säú khäng væåüt quaï 1/25 = 1/32 = 0,03125. Nhæ 13
váûy ta âaî chia âäi 5 láön khoaíng [1, 2] laì 2-1=1. Nãúu yãu cáöu sai säú beï hån thç ta phaíi tiãúp tuûc chia âäi. 2.2.3. Så âäö toïm tàõt phæång phaïp chia âäi 1) Cho phæång trçnh f(x) = 0. 2) ÁÚn âënh sai säú cho pheïp ε. 3) Xaïc âënh khoaíng phán ly nghiãûm [a, b]. 4) Láûp chæång trçnh tênh theo så âäö khäúi sau âáy: Nháûp f(x), a,b, ε Tênh c = (a+b)/2; Tênh f(c) S Â f(c).f(a) < 0 Thay b = c Thay a = c Tênh e= b - a S e
2.3. PHÆÅNG PHAÏP LÀÛP 2.3.1 Mä taí phæång phaïp Xeït phæång trçnh (2-1) våïi giaí thiãút noï coï nghiãûm thæûc α vaì phán ly trong khoaíng [a, b]. Træåïc hãút ta chuyãøn phæång trçnh (2-1) vãö daûng tæång âæång: x = ϕ (x ) (2-12) Sau âoï ta choün mäüt säú xo naìo âoï ∈[a, b] laìm xáúp xè âáöu räöi tênh dáön daîy säú xn theo quy tàõc: x n = ϕ ( x n −1 ), n = 1,2.. (2-13) xo cho træåïc ∈ [a, b] (2-14) Quaï trçnh naìy coï tênh làûp âi làûp laûi nãn phæång phaïp naìy coï tãn laì phæång phaïp làûp, haìm ϕ goüi laì haìm làûp. 2.3.2. Sæû häüi tuû cuía phæång phaïp làûp Âënh nghéa:Nãúu daîy xn → α khi n → ∞ thç ta noïi phæång phaïp làûp (2-13), (2-14) häüi tuû. Khi phæång phaïp làûp häüi tuû thç xn caìng gáön våïi α nãúu n caìng låïn. Cho nãn ta coï thãø xem xn våïi n xaïc âënh laì giaï trë gáön âuïng cuía α. Nãúu phæång phaïp làûp khäng häüi tuû thç xn coï thãø ráút xa α. Vç váûy chè coï phæång phaïp làûp häüi tuû måïi coï giaï trë. Âãø kiãøm tra xem mäüt phæång phaïp làûp coï häüi tuû hay khäng ta duìng âënh lyï sau. Âënh lyï 4: Xeït phæång phaïp làûp (2-13), (2-14) giaí sæí : 1) [a, b] laì khoaíng phán ly nghiãûm α cuía phæång trçnh (2-1) tæïc laì cuía phæång trçnh (2-12); 2) Moüi xn tênh theo (2-13) (2-14) âãöu ∈ [a, b]; 3) Haìm ϕ(x) coï âaûo haìm thoía maîn: ϕ ' (x ) ≤ q < 1 a < x < b Trong âoï q laì mäüt hàòng säú. (2-15) Thãú thç phæång phaïp làûp (2-13), (2-14) häüi tuû : xn → α khi n → ∞ (2-16) Chæïng minh âënh lyï : Træåïc hãút vç α laì nghiãûm cuía (2-12) nãn coï α = ϕ(α) âem âàóng thæïc naìy træì âi (2-13) vãú våïi vãú ta âæåüc α - xn = ϕ(α) - ϕ(xn-1) (2-17) Ta seî aïp duûng cäng thæïc Lagrangiå vaìo vãú phaíi cuía âàóng thæïc trãn. Cäng thæïc Lagrangiå âæåüc phaït biãøu: Cho haìm säú F(x) liãn tuûc trãn [a,b], coï âaûo haìm trong (a,b) thç täön taûi säú c ∈ (a,b), tæïc laì c = a + θ(b-a), 0< θ
Aïp duûng (2-18) ta coï : α - xn = ϕ’(c) (α - xn-1) (2-19) våïi c = a + θ(α - xn-1) ∈ (a,b). Theo giaí thiãút (2-15) ta coï |ϕ’(c)| ≤ q 0 ta coï thãø choün xo ∈ [a, b] mäüt caïch báút kyì, coìn nãúu ϕ’(x) < 0 thç phaíi choün xo theo quy tàõc: ( a + b) a
Coï nghiãûm X ∈ [c,d] vaì X laì mäüt säú ∈[c,d] âæåüc xem laì giaï trë gáön âuïng cuía X. Luïc âoï ta coï F(X ) X−X ≤ (2-24) m Trong âoï m laì mäüt säú dæång thoía maîn |F’(x)| ≥ m > 0, c< x < d (2-25) Chæïng minh : Theo giaí thiãút ta coï F(X) = 0 nãn coï F( X ) = F(X) Aïp duûng cäng thæïc Lagrangiå (2-18) vaìo vãú phaíi âæåüc F( X ) = F’(C) ( X -X) Trong âoï C = X + θ( X -X) ∈ (c,d). Theo giaí thiãút (2-25) ta coï |F( X )| = |F’(C)| | X -X| ≥ m| X - X| tæì âoï ta ruït ra kãút luáûn(2-24). Ta aïp duûng kãút quaí naìy âãø âaïnh giaï sai säú cuía phæång phaïp làûp. Våïi F(x) = x - ϕ(x), c = a, d = b X = α, X = x n | xn − ϕ ( xn ) | | α − x n |≤ Ta thu âæåüc (2-26) m Trong âoï m laì mäüt säú dæång thoía maîn 0< m < |(x - ϕ(x))’|, a
Nãúu haìm làûp choün nhæ váûy phæång phaïp làûp seî khäng coï hy voüng häüi tuû. Ta viãút phæång trçnh dæåïi daûng khaïc nhæ sau : x3 = x + 1 x = (x + 1) 1/3 ϕ(x) = (x + 1) 1/3 Ta âàût (2-29) ϕ’(x) = (1/3)(x + 1) -2/3 = ⎛ ⎞ 1 1 ⎜⎟ Luïc âoï nãn ⎝ 3 ⎠ 3 ( x + 1) 2 0 < ϕ’(x) ≤ 1/3 taûi moüi x ∈ [1,2] Luïc naìy haìm làûp ϕ(x) thoía maîn caïc âiãöu kiãûn cuía âinh lyï 4 vaì chuï thêch åí cäng thæïc (2-21). Ta bàõt âáöu thæûc hiãûn pheïp làûp taûi x0 báút kyì trong [1,2]; chàóng haûn choün x0 = 1. Giaí sæí ta tênh làûp 5 láön våïi caïc kãút quaí nhæ sau : x0 = 1 x1 = 1,25992105; |α - x1| ≤ 0,13 x2 = 1,312293837; |α - x2| ≤ 0,027 x3 = 1,322353819; |α - x3| ≤ 0,005 x4 = 1,324268745; |α - x4| ≤ 0,00096 x5 = 1,324632625; |α - x5| ≤ 0,000182 Kãút quaí naìy coï quaï nhiãöu chæî säú âaïng nghi. Ta quy troìn noï âãún 4 chæî säú leí tháûp α - 1,3246 = α - x5 + x5 - 1,3246 phán bàòng caïch viãút: |α - 1,3246| ≤ |α - x5| + |x5 - 1,3246| |α - 1,3246| ≤ 0,000182 + 0,00003265 |α - 1,3246| ≤ 0,00025 Do âoï : α = 1,3246 ± 0,00025. Váûy ta coï kãút quaí laì Chuï yï : Trong thæûc tãú ngæåìi ta dæìng quaï trçnh tênh khi |(xn - xn-1)| < sai säú cho pheïp ε 2.3.6 Thuáût toaïn cuía phæång phaïp làûp - Cho phæång trçnh f(x) = 0 - ÁÚn âënh sai säú cho pheïp ε - Xaïc âënh khoaíng phán ly nghiãûm [a,b] - Tçm haìm làûp häüi tuû ϕ - Choün xáúp xè âáöu x0 xn = ϕ(xn-1) våïi n = 1,2,3,.. cho tåïi khi | xn - xn-1| < ε thç dæìng. - Tênh q Láúy kãút quaí α ≈ xn våïi sai säú α − xn ≤ ε trong âoï q laì säú dæång nhoí hån 1 1− q thoía maîn |ϕ’(x)| ≤ q
2.4. PHÆÅNG PHAÏP TIÃÚP TUYÃÚN 2.4.1. Mä taí phæång phaïp Muûc tiãu cuía phæång phaïp tiãúp tuyãún laì tçm caïch thay phæång trçnh (2-1), phi tuyãún âäúi våïi x, bàòng mäüt phæång trçnh gáön âuïng tuyãún tênh âäúi våïi x. Chuïng ta duìng khai triãøn Taylo âãø laìm âiãöu âoï. Cäng thæïc Taylo : Cho haìm säú F(x) xaïc âënh vaì coï âaûo haìm âãún cáúp n+1 taûi x0 vaì lán cáûn x0. Thãú thç khai triãøn Taylo báûc n cuía F(x) taûi x0 laì: ( x − x0 ) 2 ( x − x0 ) n ( n) F ( x) = F ( x 0 ) + ( x + x 0 ) F ' ( x 0 ) + F " ( x 0 ) + ... + F ( x0 ) + 2! n! (2-30) ( x − x 0 ) n +1 ( n +1) + F (c ) (n + 1)! c = x0 + θ(x - x0); 0 < θ < 1 (2-31) Cäng thæïc naìy coï giaï trë taûi caïc giaï trë x taûi lán cáûn x0, c laì mäüt säú trung gian nàòm giæîa x0 vaì x. Xeït phæång trçnh (2-1) våïi giaí thiãút noï coï nghiãûm thæûc α phán ly trong [a,b]. Giaí sæí haìm f coï âaûo haìm f’(x) ≠ 0 taûi x ∈ [a,b] âaûo haìm cáúp hai f’’(x) taûi x ∈ (a,b). Ta choün x0 ∈ [a,b] räöi viãút khai triãøn Taylo báûc nháút cuía f taûi x0 : 1 f ( x) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f ' ( x 0 ) +( x − x 0 ) 2 f ' ' (c ) 2 c = x 0 + θ ( x − x 0 ) ∈ ( a , b) x ∈ [a, b], Nhæ váûy phæång trçnh (2-1) âæåüc viãút thaình : 1 f (x0 ) + (x − x0 ) f ' (x0 ) + (x − x0 ) 2 f ' ' (c) = 0 2 Ta boí qua säú haûng cuäúi cuìng vaì âæåüc phæång trçnh: f(x0) + (x - x0)f’(x0) = 0 (2-32) Tæïc laì ta âaî thay phæång trçnh (2-1) bàòng phæång trçnh báûc nháút (2-32). Âoï laì viãûc thay thãú gáön âuïng. Goüi x1 laì nghiãûm cuía (2-32) ta coï ngay : f ( x0 ) x1 = x 0 − (2-33) f ' ( x0 ) Tæì x0 ta tênh mäüt caïch tæång tæû ra x1, vv... vaì mäüt caïch täøng quat, khi âaî biãút xn ta tênh xn+1 theo cäng thæïc f ( xn ) x n +1 = x n − (2-34) f ' ( xn ) x0 choün træåïc trãn [a,b] (2-35) vaì xem xn laì giaï trë gáön âuïng cuía nghiãûm α. 19
Phæång phaïp tênh xn theo phæång phaïp tuyãún tênh hoïa trãn goüi laì phæång phaïp Niutån hay cuîng chênh laì phæång phaïp tiãúp tuyãún. Chuï yï 1 : Nhçn vaìo (2-34) , (2-35) ta tháúy phæång phaïp tiãúp tuyãún cuîng laì loaûi phæång phaïp làûp våïi haìm làûp f ( x) ϕ ( x) = x − (2-36) f ' ( x) Chuï yï 2 : Vãö màût hçnh hoüc thç f(x0) laì hãû säú goïc cuía tiãúp tuyãún cuía âäö thë haìm säú y = f(x) taûi x0. Ta xem trãn hçnh 2-6. y Âoüan âäö thë AB càõt truûc hoaình taûi M B Coï hoaình âäü chênh laì nghiãûm âuïng α. Âãø tênh gáön âuïng α ta thay mäüt caïch aM gáön âuïng cung AB båíi tiãúp tuyãún taûi B, αPb x B coï hoaình âäü x0, tiãúp tuyãún naìy càõt truûc hoaình taûi P, P coï hoaình âäü x1 vaì ta A xem x1 laì giaï trë gáön âuïng cuía α. Hçnh 2-6 Âãø tênh x1 ta viãút phæång trçnh tiãúp tuyãún taûi B Våïi x0 = b ta coï : Y - f(x0) = f’(x0) (X - x0) Taûi P ta coï X = x1, Y = 0 nãn coï : -f(x0) = f’(x0)(x1 - x0) Tæì âoï ta suy ra (2-33). Cho nãn phæång phaïp naìy âæåüc goüi laì phæång phaïp tiãúp tuyãún. 2.4.2. Sæû häüi tuû vaì sai säú Váún âãö åí âáy laì khi tênh bàòng phæång phaïp tiãúp tuyãún thç phaíi coï xn → α khi n→ ∞. Âiãöu naìy âæåüc khàóng âënh åí âënh lyï sau. Âënh lyï 6: Giaí sæí [a,b] laì khoaíng phán ly nghiãûm cuía phæång trçnh (2-1), f coï âaûo haìm f’, f’’ vaì f’ liãn tuûc trãn [a,b], f’ vaì f’’ khäng âäøi dáúu trong (a,b). Xáúp xè âáöu x0 choün laì a hay b sao cho f(x0) cuìng dáúu våïi f’’. Khi âoï xn tênh båíi (2-34) (2- 35) häüi tuû vãö α khi n→ ∞, cuû thãø hån ta coï xn âån âiãûu tàng tåïi α nãúu f’f’’0. Khi dæìng laûi åí n xaïc âënh ta âæåüc xn vaì coi xn gáön âuïng våïi α. Vãö sai säú aïp duûng âënh lyï 5 ta coï : | f ( xn ) | α − x n |≤ (2-37) m Våïi 0< m ≤ |f’(x)|, α≤x≤b (2-38) Ta khäng chæïng minh âënh lyï 6 nhæng coï thãø hiãøu trãn caïc hçnh 2-7 dæåïi âáy. 20
b) y a) y B A x2 x1 a α x b α a x2 x1 b x A B y y A B d) a x1 x2 α x α b b a x1 x2 x c) B A Hçnh 2-7 2.4.3 Thê duû * Haîy tênh càn báûc hai cuía mäüt säú dæång a. Tæïc laì coï phæång trçnh x2 = a hay ta f(x) = x2 - a = 0 coï thãø viãút laì : (2-39) Roî raìng nghiãûm dæång cuía phæång trçnh (2-39) phán ly trong khoaíng [1,a]; Trong khoaíng âoï f’(x) =2x > 0, f’’ = 2 >0. Váûy ta coï thãø aïp duûng âënh lyï 6. Cäng thæïc (2-34) viãút thaình : 1 a x n +1 = ( xn + ) (2-40) 2 xn Våïi a = 2 ta coï f(2) =22 -2 > 0 cuìng dáúu våïi f’’ nãn ta choün x0 = 2. Aïp duûng cäng thæïc (2-40) coï : x1 = 1,5 x2 = 1,417 x3 = 1,41421 Ta biãút 2 =1,414213562 nãn ta tháúy phæång phaïp tiãúp tuyãún häüi tuû ráút nhanh. • Ta laûi giaíi phæång trçnh (2-9), f(x) = x3 - x -1 = 0 ta âaî tçm âæåüc khoaíng phán ly nghiãûm cuía noï laì [1,2]. Trong khoaíng âoï f’(x) = 3x2 -1 > 0 f’’(x) = 6x > 0 21
Váûy coï thãø aïp duûng âënh lyï 6. Âãø choün x0 ta tênh f(2) = 23 -2 - 1 = 5 >0 cuìng dáúu våïi f’’ váûy choün x0 = 2. Ta coï cäng thæïc tênh : xn − xn − 1 3 x n +1 = x n − 3x n − 1 2 x0 = 2 Ta coï baíng kãút quaí tênh toaïn nhæ sau: n xn Sai säú 0 2 1 1,545454545 2 1,359614916 3 1,325801345 4 1,324719049 0,0000024 2.10-10 5 1,324717950 2.4.4. Chuï yï Trong thæûc tãú ta dæìng quaï trçnh tênh khi |xn - xn-1| < sai säú cho pheïp ε 2.4.5. Thuáût toaïn giaíi bàòng phæång phaïp tiãúp tuyãún 1. Cho phæång trçnh f(x) = 0 2. ÁÚn âënh sai säú cho pheïp ε 3. Tçm khoaíng phán ly nghiãûm [a,b] trong âoï f’ vaì f’’ khäng âäøi dáúu. 4. Choün x0 5. f ( x0 ) x1 = x 0 − Tênh f ' ( x0 ) Tênh e = |x1 - x0| S e
2.5. PHÆÅNG PHAÏP DÁY CUNG 2.5.1. Mä taí phæång phaïp Trong phæång phaïp tiãúp tuyãún ta âaî thay cung âäö thë AB cuía haìm y = f(x) båíi tiãúp tuyãún veî taûi A hay B. Báy giåì ta thay cung AB båíi dáy cung AB räöi láúy hoaình âäü x1 cuía giao âiãøm P cuía dáy cung våïi truûc hoaình laìm giaï trë gáön âuïng cuía nghiãûm α. (H. 2-8). Phæång trçnh dáy cung AB âæåüc viãút : Y − f (a) X −a = y f (b) − f (a) b − a B Taûi giao âiãøm P coï Y = 0, x = x1, nãn : x −a − f (a) =1 f (b) − f (a ) b − a aP α Tæì âoï suy ra: x b (b − a) f (a) x1 x1 = a − (2-41) A f (b) − f (a) Hçnh 2-8 Hay: af (b) − bf (a) x1 = (2-42) f (a ) − f (b) Phæång phaïp tênh x1 nhæ váûy goüi laì phæång phaïp dáy cung. Sau khi tênh âæåüc x1 ta tçm khoaíng phán ly nghiãûm måïi xem laì [a, x1] hay [x1,b] räöi laûi tiãúp tuûc phæång phaïp dáy cung nhæ trãn cho khoaíng phán ly nghiãûm måïi, âaî thu nhoí hån khoaíng cuî. Cæï tiãúp tuûc nhæ thãú ta âæåüc caïc giaï trë x2, x3, ...,xn, ngaìy caìng gáön α. Sai säú coï thãø tênh bàòng (2-24). 2.5.2. Thê duû Ta laûi xeït phæång trçnh (2-9), khoaíng phán ly nghiãûm cuía noï laì [1,2]. Ta coï: f(a) = f(1) = 13 - 1 - 1 = -1 < 0 a = 1; f(b) = f(2) = 23 - 2 - 1 = 5 > 0 b=2 Theo (2-42) coï : 1.5 − 2.(−1) x1 = = 1,167 5 − (−1) Tiãúp tuûc ta coï f(1,167) = -0,58 < 0; khoaíng phán ly nghiãûm måïi laì [1,167;2]. Ta tçm âæåüc 1,167.5 − 2.(−0,58) x2 = = 1,253 5 − (−0,58) 23
Sai säú tênh theo (2-24) laì 0,15. Nhæ váûy phæång phaïp dáy cung häüi tuû cháûm hån phæång phaïp tiãúp tuyãún. 2.5.3. Så âäö toïm tàõt phæång phaïp dáy cung 1. Cho phæång trçnh f(x) = 0. 2. Choün sai säú cho pheïp ε. 3. Tçm khoaíng phán ly nghiãûm [a,b]. 4. Så âäö tênh Nháûp f(x), a,b, ε af (b) − bf (a) Tênh x1 = f (b ) − f ( a ) S Â f(x1).f(a) < 0 Thay b = c Thay a = c Tênh e= b - a S e