Ụ Ụ M C L C
Ặ Ấ 1 Ề……...………………………………………….… I. Đ T V N Đ
1 Ộ .....………………….………………………………. II. N I DUNG
1 ơ ở ậ ủ ế ệ
1. C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m ……. ………….......
ề ướ ự ấ ụ ế ạ 2. Th c tr ng v n đ tr c khi áp d ng sáng ki n kinh 5
ệ nghi m …………………………………………………….. 5
ả ể ả ế ấ ử ụ i pháp s d ng đ gi i quy t v n
3. Các gi ề đ ………………… 5 ộ ố ấ ệ ậ ế ị ủ ề ố ự t nhanh v s c c tr c a
3.1. M t s d u hi u nh n bi hàm
5
6 ố s …………………………………………………………
ươ ể ả ế ả ng pháp ghép b ng bi n thiên đ gi i nhanh các
3.2. Ph bài 6
ứ ấ ố ợ ị ủ ự ệ ị
toán c c tr c a hàm s h p có ch a d u giá tr tuy t đ i..ố
ạ 3.3. Các d ng bài toán ……………………………………….
ố ứ ấ ị ủ ự ệ ị Bài toán 1: Tìm c c tr c a hàm s ch a d u giái tr tuy t
ố ố đ i khi cho hàm s ………………………………
ố ứ ấ ị ủ ự ệ ị Bài toán 2: Tìm c c tr c a hàm s ch a d u giái tr tuy t
ả ả ố ế đ i khi cho b ng bi n thiên, b ng xét d u c a ấ ủ ……...
ố ứ ấ ự ị ệ ị ủ Bài toán 3: Tìm c c tr c a hàm s ch a d u giái tr tuy t
ồ ị ố đ i khi cho đ th ………………………………………...
ệ ả ủ ế ệ
4. Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m ………………………..
Ậ Ế Ế Ị …………………………………… III. K T LU N, KI N NGH
ệ Tài li u tham kh o ả …………………………………………………
1
Ặ Ấ Ề I. Đ T V N Đ
ỗ ạ ở
ở ườ tr M i giáo viên d y toán ạ ứ ơ ả ố ư ể ế ố
ề ứ ẩ
ạ ọ ả ố ườ ế ệ ọ ọ ng THPT luôn trăn tr , suy nghĩ tìm m i ọ ữ ệ i u đ truy n đ t cho h c sinh nh ng ki n th c c b n c t lõi bi n pháp t ấ ể ứ ỹ ế nh t đ giúp các em đáp ng chu n ki n th c k năng và làm bài thi m t cách ả trôi ch y, giúp h c sinh luy n thi vào các tr ng Đ i h c có k t qu t ộ ấ t nh t.
ố
ệ ầ ố ộ ạ ữ Trong các kì thi THPT qu c gia nh ng năm g n đây và năm 2020 g i là kì ị ủ
ặ ề
ự ớ ố ứ ấ
ố ậ ấ ệ
ư
ư ớ i toán đ c tr ng cho lo i toán. V i tình hình y đ ể
ự
ế ủ ư ệ ả ờ i gi ế t
duy, bi ế ươ ể ộ ả ả i là m t đi u c n thi
ọ ả ng pháp gi ọ ẽ ệ ả ỹ t. i toán s giúp h c sinh hoàn thi n k năng
i toán. ố ẽ ố ượ ọ
ệ ể ả ượ ặ i k c trung bình có th gi ị
ệ ố ạ ế ả ng pháp gi i, tôi đã
ề ọ ọ ự ố thi T t nghi p THPT, bài toán tìm c c tr c a hàm s là m t d ng bài toán ứ ộ ừ ễ ố ườ ng g p trong các đ thi THPT qu c gia môn Toán v i các m c đ t th d ị ủ ế ị ệ ố đ n khó, trong đó bài toán tìm c c tr c a hàm s ch a d u giá tr tuy t đ i ề ể ả ượ ạ ươ ườ ng xu t hi n trong các đ thi t c d ng i đ th ng đ i khó. Vì v y đ gi ể ả ầ ạ ấ toán này chúng ta c n tìm hi u b n ch t, phân lo i các bài toán cũng nh xây ư ả ặ ươ ự ấ ạ duy gi ng pháp t d ng ph ố ơ ướ ị ọ ị ủ ả i bài toán tìm c c tr c a t h n trong quá trình gi ng t giúp h c sinh đ nh h ệ ố ị ọ ầ ạ ườ ố ứ ấ i giáo viên c n t o cho h c sinh thói hàm s ch a d u giá tr tuy t đ i, ng ộ ề ướ ế t c a bài thi t khai thác các gi i nhi u góc đ , bi quen xem xét bài toán d ể i. Trong đó vi c hình thành cho h c sinh kh năng t toán đ tìm l ề ầ ạ ạ phân lo i theo các d ng toán đ tìm ph ả ệ ệ Vi c tr i nghi m qua quá trình gi ả ướ ị ng và gi đ nh h ọ ớ V i mong mu n s giúp các em h c sinh, đ c bi ng h c sinh t là đ i t ỏ ể ả ề ự ọ ở ứ ộ i đ m c đ khá, gi h c c các bài toán v c c tr ả ố ứ ấ ộ ị ủ c a hàm s ch d u giá tr tuy t đ i m t cách trôi ch y, có đáp án chính xác và ươ ệ nhanh thông qua vi c bi t phân lo i bài toán và tìm ph ch n đ tài
ọ ả ố ứ ấ ự ị ủ i bài toán c c tr c a hàm s ch a d u
ỹ ệ ố ị "Rèn luyên k năng cho h c sinh gi giá tr tuy t đ i"
ề
ng pháp đ gi ệ ố ố
ươ Trong đ tài này tôi không có tham v ng nêu ra ph ị ụ ộ ố ươ
ụ ệ ọ
ầ ạ ươ ể ố ộ ố ng pháp d y
ệ ả ả ể ả ượ ọ c i đ ỉ ạ ứ ấ ị ủ ự ấ ả t c các bài toán c c tr c a hàm s ch a d u giá tr tuy t đ i mà ch m nh t ả ạ d n nêu lên m t s ph ng pháp mà chúng tôi đã áp d ng trong quá trình gi ng ạ ạ d y và ôn thi cho h c sinh. Coi đó là kinh nghi m qua m t s ví d minh ho , ạ h c ọ toán h cọ ớ v i mong mu n góp ph n t o ra và phát tri n ph ơ ạ đ t hi u qu cao h n qua các bài gi ng.
2
Ộ II. N I DUNG
ậ ủ ơ ở ệ ế 1. C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m:
ự ố ị ủ 1.1. C c tr c a hàm s
ị a. Đ nh nghĩa
ụ ể ể ả ố ị Cho hàm s xác đ nh và liên t c trên kho ng (có th là ; là ) và đi m .
ế ồ ạ ố ớ ọ ố ạ c c đ i +) N u t n t i s sao cho v i m i và thì ta nói hàm s đ t ự ạ t i .ạ
ế ồ ạ ố ớ ọ +) N u t n t i s sao cho v i m i và
thì ta nói hàm s đ t i .ạ ự ể t ố ạ c c ti u
* Chú ý
ạ ể ể c g i là
ượ ọ ự ể c g i là
ượ ọ ể ượ ọ giá tr c c đ i (giá tr c c ti u) ể ể i thì đ ị ự ạ ự ạ đi m c c đ i (đi m c c ti u) c g i là ự ạ đi m c c đ i (đi m ố ủ ị ự ể c a hàm s , ủ ồ ị ự ể c a đ th hàm
ố ạ ự ạ ế +) N u hàm s đ t c c đ i (c c ti u) t ố ủ ự ể c a hàm s ; đ c c ti u) ệ kí hi u là , còn đi m đ s .ố
ể ể ị Giá tr ị
ự ể đi m c c tr . ượ ọ ự ể ượ ọ ự ạ ọ c c đ i (c c ti u) c c ự c g i chung là ự ể và đ c g i chung là
ự ạ +) Các đi m c c đ i và đi m c c ti u đ ự ạ ị ự ể c c đ i (giá tr c c ti u) còn g i là ố trị c a hàm s . ủ
ố ạ ự ệ ầ ề ị ể b. Đi u ki n c n đ hàm s đ t c c tr
ả ử ố ạ ự ị ạ ể ạ ố Gi s hàm s đ t c c tr t ế i đi m . Khi đó n u hàm s có đ o
ị * Đ nh lí 1: ạ i thì . hàm t
ệ ủ ể ố ạ ự ề ị c. Đi u ki n đ đ hàm s đ t c c tr
ị ả ử ụ ạ ặ ố ớ Gi s hàm s liên t c trên và có đ o hàm trên ho c trên , v i . * Đ nh lí 2:
ự ạ ủ ể ế ả ộ ố +) N u trên kho ng và trên thì là m t đi m c c đ i c a hàm s .
ự ể ủ ể ế ả ộ ố +) N u trên kho ng và trên thì là m t đi m c c ti u c a hàm s .
ọ ằ ế ế ả Minh h a b ng b ng bi n thi n
3
* Chú ý
ự ể ị ớ ủ ả ố
ị ự ạ ấ ỏ ủ ủ ấ ậ ị +) Giá tr c c đ i (c c ti u) c a hàm s nói chung không ph i là giá tr l n ố nh t (nh nh t) c a hàm s trên t p xác đ nh c a nó.
ể ạ ự ị ạ ủ ạ i các đi m
ố ỉ ặ ạ ạ ể mà t ượ ạ c l iạ đó đ o hàm c a hàm s ố i ạ i, đ o hàm có th b ng ể ằ t
+) Hàm s ch có th đ t c c tr t b ngằ ho c hàm s không có đ o hàm. Ng ố đi mể
ạ ự ị ạ ư ố nh ng hàm s không đ t c c tr t ể . i đi m
ị ả ử ạ ấ ả ố ớ Gi s hàm s có đ o hàm c p hai trong kho ng v i . Khi đó: * Đ nh lí 3:
ự ể ể ế +) N u thì là đi m c c ti u.
ự ạ ể ế +) N u thì là đi m c c đ i.
ố ẻ ố ẵ 1.2. Hàm s ch n, hàm s l
ị
ế
ố ớ ậ ố ớ ậ ố ẵ ố ẻ ế ị ị a. Đ nh nghĩa: ọ +) Hàm s v i t p xác đ nh g i là hàm s ch n n u thì và ọ +) Hàm s v i t p xác đ nh g i là hàm s l n u thì và
ố ẻ ố ẵ ồ ị ủ .
ậ ồ ị ủ ồ ị ủ ụ ố ứ ố ứ ụ ố ọ ộ
b. Đ th c a hàm s ch n, hàm s l ố ẵ ậ Đ th c a hàm s ch n nh n tr c tung làm tr c đ i x ng ố ẻ Đ th c a hàm s l ộ ố nh n g c t a đ làm tâm đ i x ng ườ ị ố ứ ấ ệ ố ặ ng g p và cách v đ ẽ ồ
ị ủ ố
ố ị ậ : Hàm s luôn nh n giá tr không âm 1.3. M t s hàm s ch a d u giá tr tuy t đ i th th c a các hàm s đó a. Hàm s ố Ta có: ậ Nh n xét
ẽ ồ ị
ủ ụ
ằ ầ ớ ướ ụ ủ i tr c hoành c a qua
ố ồ ồ ị ậ
Cách v đ th : ẽ ồ ị ủ ố +> V đ th c a hàm s ồ ị ằ ầ ọ +> G i là ph n đ th n m phía trên tr c hoành c a ồ ị ố ứ ầ ọ +> G i là ph n đ th đ i x ng v i ph n n m phía d tr c .ụ +> V y đ th hàm s g m và ồ ị ậ ụ ằ ố Đ th hàm s luôn n m trên tr c hoành
Nh n xét: b. Hàm s ố
4
Ta có: ậ ố ẵ ố Hàm s là hàm s ch n Nh n xét:
ẽ ồ ị
ủ
ả ụ ụ ớ
Cách v đ th : ố ẽ ồ ị ủ +> V đ th c a hàm s ồ ị ằ ầ ọ +> G i là ph n đ th n m phía bên ph i tr c tung c a ồ ị ố ứ ầ ọ +> G i là ph n đ th đ i x ng v i qua tr c . ố ồ ồ ị ậ +> V y đ th hàm s g m và ồ ị ụ ố ứ ậ ậ ố ụ Đ th hàm s nh n tr c tung làm tr c đ i x ng Nh n xét:
c. Hàm s ố
ẽ ồ ị
ẽ ồ ị ủ ừ ồ ị ủ ừ ồ ị ủ ồ ị ủ ồ ị ủ
ẽ ồ ị ủ ừ ồ ị ủ ừ ồ ị ủ ồ ị ủ ồ ị ủ Cách v đ th : Cách 1: ố +> V đ th c a hàm s ố ố +> T đ th c a hàm s ta suy ra đ th c a hàm s ố ố +> T đ th c a hàm s ta suy ra đ th c a hàm s Cách 2: ố +> V đ th c a hàm s ố ố +> T đ th c a hàm s ta suy ra đ th c a hàm s ố ố +> T đ th c a hàm s ta suy ra đ th c a hàm s
ề ướ ự ạ ấ ụ ế ệ 2. Th c tr ng v n đ tr c khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m:
ộ ớ ế ệ ể ụ
ệ ệ ử
ắ ọ ặ ệ
ọ ầ ố ượ ệ ng pháp thi tr c nghi m. Yêu c u s l ả ươ ng trình h c. Vì v y vi c làm phong phú h
ỏ ề ế ứ ầ ằ ủ ộ ậ ậ ớ ự ế
ấ ề
ự ữ
ớ ắ ụ ị
ắ ố ở ứ ộ ng lúng túng, cách gi ườ ế ắ ấ ả ượ i đ
ắ ị i d ng tr c nghi m: s l
ợ ị ủ ể i khi các bài ki m tra thi c d ắ ạ ờ ị ự V i xu th giáo d c phát tri n năng l c h c sinh m t cách toàn di n, và ủ ổ ụ ớ đ i m i thi c , đánh giá c a ngành giáo d c, đ c bi t là vi c thi và đánh giá ươ ự ọ ỏ năng l c h c sinh b ng ph ng câu h i ớ ệ ộ l n, n i dung thi ph r ng c ch ố ị ủ th ng câu h i và bài t p là đi u h t s c c n thi t. V i bài toán tìm c c tr c a ệ ở ứ ộ ố ứ ộ ườ ọ hàm s khi xu t hi n trong các đ thi m c đ 1 và m c đ 2 h c sinh th ng ướ ủ ư ị ủ ố đi theo các b c c a quy t c tìm c c tr c a hàm s , nh ng v i nh ng bài toán ự ị ủ ự ế ỉ ơ tìm c c tr c a hàm s m c đ khó h n n u ch áp d ng quy t c tìm c c tr thì ờ ả ườ ọ ề ế ấ h c sinh th i quy t v n đ dài dòng, m t th i gian. ặ ệ ẽ ơ ề c. Đ c bi t ng h p bài làm s r i vào b t c không gi Trong nhi u tr ề ệ ố ấ ứ ố ự các bài toán tìm c c tr c a hàm s ch a d u giá tr tuy t đ i và đi u đó càng ỏ ố ượ ệ ử ướ ạ ấ ợ ng câu h i b t l ề i. nhi u, th i gian làm bài b rút ng n l
ứ ẽ ạ Chính vì l
ệ ố ị ủ ươ ụ ấ ố ị tr c a hàm s ch a d u giá tr tuy t đ i và áp d ng các ph ự ể đó tôi đã tìm tòi nghiên c u đ phân lo i các bài toán tìm c c ứ ng pháp đó vào
5
ố
ự ọ i, h c sinh d thi h c sinh gi ồ ệ t nghi p THPT hi n nay và b i ướ ỏ ỉ i t nh. D i ng, gi ệ ỏ ườ i tr
ạ ả gi ng d y ôn thi THPT Qu c gia và ôn thi t ỏ ọ ưỡ ng h c sinh khá gi d ộ ố ươ đây là m t s ph ố ọ ụ ể ng pháp c th .
ả ể ả ề 3. Các gi ử ụ i pháp s d ng đ gi ế ấ i quy t v n đ
ộ ố ấ ệ ậ ế ề ố ự ị ủ ố 3.1. M t s d u hi u nh n bi t nhanh v s c c tr c a hàm s
ệ ằ ố ơ ổ ứ +> S đi m c c tr c a hàm đa th c b ng t ng s nghi m đ n và s ố
ố ể ộ ẻ ủ ệ ự ươ c a ph ị ủ ng trình nghi m b i l
ố ằ ố ể ị ủ ự ự ầ ị ươ ủ ng c a
+> S đi m c c tr c a hàm s b ng 2 l n s đi m c c tr d ố ộ ố ể ớ hàm s c ng v i 1.
ị ủ ị ủ ự ự ố
ố ằ ộ ẻ ủ ố ể ơ ệ ổ ươ ệ ố +> S đi m c c tr c a hàm s b ng t ng s đi m c c tr c a hàm s c a ph ớ ố v i s nghi m đ n và s nghi m b i l ố ể ng trình .
ươ ể ả ế ự i nhanh các bài toán c c tr ị
ả ứ ấ ị ng pháp ghép b ng bi n thiên đ gi 3.2. Ph ệ ố ố ợ ủ c a hàm s h p có ch a d u giá tr tuy t đ i
ướ ủ ậ ị ố B c 1: Tìm t p xác đ nh c a hàm s
ướ ủ ế ả ậ ố B c 2: L p b ng bi n thiên c a các hàm s và
ướ ự ươ ế ậ ả ổ ợ ớ B c 3: L p b ng bi n thiên t ng h p xét s t ữ ng quan gi a v i và
v i ớ
ể ế ướ ự ế ả ậ B c 4: D a vào b ng bi n thiên đ k t lu n
ạ 3.3. Các d ng bài toán
ệ ố ị ủ ự ị
ố ứ ấ Bài toán 1: Tìm c c tr c a hàm s ch a d u giái tr tuy t đ i khi cho hàm s ố
ử ụ ể ả ấ ự ị i nhanh các bài toán c c tr . Bài toán 1.1: S d ng các tính ch t 3.1 đ gi
ủ ệ ươ ệ i ph ơ ng trình là nghi m đ n,
ươ ộ ẻ ệ ẵ ộ ả +> Gi ệ nghi m b i l ng trình . Xét xem các nghi m c a ph , nghi m b i ch n.
ử ụ ấ ở ụ ể ế +> S d ng các tính ch t ậ m c 3.1 đ k t lu n.
ố ể ị ủ ự ố ố Ví d 1.ụ Cho hàm s có . S đi m c c tr c a hàm s là.
A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
Ch n Bọ
Ta có
6
Trong đó:
ộ ệ +> là nghi m b i 2 nên ổ ấ không đ i d u khi qua
ể ơ ố hàm s có 2
ộ ự ệ ể ị ươ ự ể ệ +> là nghi m đ n và ị đi m c c tr trong đó có 1 đi m c c tr d ổ ấ là nghi m b i 3 đ i d u khi qua 2 đi m nên ng.
ự ể ẵ ố ị Do khi và hàm là hàm ch n nên hàm s có 3 đi m c c tr .
ố ể ị ủ ự ố ố Ví d 2. ụ Cho hàm s có . S đi m c c tr c a hàm s là.
A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
Ch n Dọ
Ta có
Trong đó:
ộ ệ +> là nghi m b i 4 nên ổ ấ không đ i d u khi qua
ệ ổ ấ ể ơ ố hàm s có 3
ị ươ ệ ể ự ể ị ộ +> là nghi m đ n và là nghi m b i 3 đ i d u khi qua 3 đi m nên ự đi m c c tr trong đó có 2 đi m c c tr d ng.
ự ể ẵ ố ị Do khi và hàm là hàm ch n nên hàm s có 5 đi m c c tr .
́ ́ ̀ ́ ́ ̀ ự ̣ ̉ ̣ ̉ ̀ ̀ Ví d 3. ụ Cho ham sô co đao ham Sô điêm c c tri cua ham sô la:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
L i gi ờ ả i
Ch n Bọ
Ta co: .́
̀ ́ ́ ́ ự ̉ ̉ ̉ ̉ ̣ Do chi đôi dâu khi đi qua điêm nên ham sô co 1 điêm c c tri .
̀ ́ ̀ ́ ̀ ̀ ̃ ̀ ́ ́ ự ̉ ̣ Ma nêu va la ham sô chăn nên ham sô co 1 điêm c c tri .
́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ự ̣ ̉ ̣ ̀ ́ Cho ham sô co đao ham ́ . Ham sô co nhiêu nhât bao nhiêu điêm c c tri? Ví d 4. ụ
A. 5. B. 6. C. 12. D. 11.
L i gi ờ ả i
Ch n Dọ
Ta co: .́
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
7
́ ́ ́ ́ ́ ́ ̀ ư ̉ ự ươ ̉ ̣ ng trình co tôi đa 6
̣ ̣ ̀ T bang biên thiên ta thây ham sô co 5 điêm c c tri và ph nghiêm phân biêt.
́ ̀ ́ ́ ự ̉ ̣ ́ Do đo ham sô co tôi đa điêm c c tri.
ạ ố Ví d 5. ụ Cho hàm s có đ o hàm
ọ ớ v i m i .
ố ể ủ ố ị ể Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s đ hàm s có ị ự đi m c c tr ?
. . . A. B. 7. C. D.
L i gi ờ ả i
Ch n Cọ
ụ ự ể ấ ố ứ Do tính ch t đ i x ng qua tr c ố ủ ồ ị c a đ th hàm s nên hàm s ố ị có đi m c c tr
ể ị ươ khi hàm s ố có ự đi m c c tr d ng.
Ta có:
ệ ệ ộ ơ ị ươ ể ố Do là nghi m b i 2 và là nghi m đ n âm nên hàm s có ự đi m c c tr d ng
ươ ệ ươ ệ khi ph ng trình có hai nghi m d ng phân bi t.
ố ể ủ ố ị ể ị Giá tr nguyên c a tham s đ hàm s có ự đi m c c tr là: .
ố ể ủ ố ố ị ể ị S giá tr nguyên c a tham s đ hàm s có ự đi m c c tr là .
8
ụ ế ậ ố
ợ t và . G i là t p h p các giá tr nguyên ị ổ ọ ấ ả ầ ử ủ ố ể ự ể ằ ố Ví d 6. ụ Cho hàm s liên t c trên , bi ủ c a tham s đ hàm s có đi m c c tr . T ng t ị c a b ng t c các ph n t
A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
ọ Ch n B
Ta có
,
vì
Nên
TXĐ:
ủ ế ả B ng bi n thiên c a hàm
ố ắ ồ ị ự ể ấ ị
ừ ả ụ ể ế T b ng bi n thiên ta th y đ hàm s có đi m c c tr thì đ th hàm s c t ạ tr c hoành t ố ể ệ t. Khi đó ta có i đi m phân bi
Vì nguyên nên . Suy ra
ậ ổ V y t ng các ph n t ầ ử ủ b ng ằ c a
ử ụ ươ ế ợ ớ ế ả ng pháp ghép b ng bi n thiên k t h p v i các
ể ả ấ Bài toán 1.2: S d ng ph tính ch t 3.1 đ gi ự ị i nhanh các bài toán c c tr .
ướ ủ ậ ị B ố c 1: Tìm t p xác đ nh c a hàm s
ướ ủ ế ậ ả ố B c 2: L p b ng bi n thiên c a các hàm s và
ướ ự ươ ế ậ ả ổ ợ ữ ớ ớ B c 3: L p b ng bi n thiên t ng h p xét s t ng quan gi a v i và v i
9
Trong đó:
ự ể ị ố
ủ ậ ủ ị ủ ố ế ệ +> , , …, , là các đi m biên c a t p xác đ nh D, là các đi m c c tr c a hàm s ươ . (N u thì còn có thêm nghi m c a ph ể ng trình , hay thì còn có thêm s 0)
ứ Ở ề ề ặ ỗ ố
ả ị ể ể ạ ị dòng th 2 ta đi n các giá tr . Trên m i kho ng ho c đi n các s , , …, , ị ủ i đó , không xác đ nh; là các đi m c c tr c a
ủ ế ề ể ố +> ự trong đó , , …, là các đi m mà t ố ể ể ệ hàm s . Có th dùng mũi tên đ th hi n chi u bi n thiên c a hàm s
Ở ủ ế ề ả ằ dòng 3 xét chi u bi n thiên c a hàm s d a vào b ng bi n thiên b ng
ố ự ủ ủ ổ ế +> cách hoán đ i đóng vai trò c a và đóng vai trò c a
ướ ố ể ế ế ợ ủ ự ế ậ ớ c 4: D a vào b ng bi n thiên c a hàm s đ k t lu n. (K t h p v i các
ả ế ể ấ ậ ầ ặ B ỏ tính ch t 3.1 đ có k t lu n th a mãn yêu c u bài toán đ t ra)
ự ể ủ ố ố ố ể Ví d 7. ụ Cho hàm s có . S đi m c c ti u c a hàm s là.
A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
Ch n ọ B.
Đ t ặ
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
10
Ta có:
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ự ể ự ủ ể ế ả ố ố D a vào b ng bi n thiên c a hàm s thì hàm s có 3 đi m c c ti u.
ụ ố ị có . Hàm số có bao nhiêu đi m ể
Ví d 8. ụ Cho hàm s xác đ nh và liên t c trên , ự ể c c ti u ?
A. 2. B. 5. C. 7. D. 4.
L i gi ờ ả i
Ch n ọ D.
Đ t ặ
Ta có:
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
11
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ự ể ủ ự ể ế ả ố ố D a vào b ng bi n thiên c a hàm s thì hàm s có 4 đi m c c ti u.
ố ể ị ủ ự ụ ố ố Ví d 9. ụ Cho hàm s liên t c trên và có và . S đi m c c tr c a hàm s là
A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.
L i gi ờ ả i
Ch n ọ C.
Xét hàm s ố
Đ t ặ
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
12
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ủ ế ả B ng bi n thiên c a
ự ủ ự ế ể ả ố ị D a vào b ng bi n thiên c a thì hàm s có 2 đi m c c tr .
ươ ệ ơ ộ ỉ Mà nên ph ng trình ch có m t nghi m đ n
ự ể ậ ố ị V y hàm s có 3 đi m c c tr .
ệ ố ự ị
ị ủ ấ ủ ế ả ả ố ứ ấ Bài toán 2: Tìm c c tr c a hàm s ch a d u giái tr tuy t đ i khi cho b ng bi n thiên, b ng xét d u c a
ố ư ủ ế ạ ả ố
Ví d 1ụ .Cho hàm s có đ o hàm trên và b ng bi n thiên c a hàm s nh hình v .ẽ
13
ự ố ị Hàm s có bao nhiêu c c tr ?
A. B. . C. D.
L i gi ờ ả i
Ch n Bọ
ồ ị ượ ừ ồ ị ồ ị ố ị ố Đ th hàm s có đ ố đ th hàm s c t ế ằ b ng cách t nh ti n đ th hàm s
ị ủ ế ả ị sang ph i ả ơ đ n v và lên trên ố ơ đ n v . Suy ra b ng bi n thiên c a hàm s
ả ự ủ ệ ố ố ị
ự ể ố ế ự D a vào b ng bi n thiên c a hàm s suy ra hàm s có 2 c c tr và 1 nghi m ị ơ đ n nên hàm s có 3 đi m c u tr .
ố ụ ư ấ ạ ả và đ o hàm liên t c trên và có b ng xét d u nh hình
Ví d 2ụ . Cho hàm s có sau
ự ể ố ị Hàm s có bao nhiêu đi m c c tr ?
A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
L i gi ờ ả i
Ch n Cọ
Xét hàm s ố
Ta có
14
.
ấ ủ ự ả Mà nên d a vào b ng xét d u c a ta suy ra .
.
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ự ể ự ủ ế ả D a vào b ng bi n thiên c a hàm s ị ố suy ra hàm s ố có 3 đi m c c tr .
ươ ệ ệ ậ ơ ộ ng trình có hai nghi m đ n và 1 nghi m b i ch n. ự ẵ V y có c c
Ta có nên ph tr .ị
ư ạ ả ấ ố ố Ví d 3. ụ Cho hàm s có đ o hàm trên và có b ng xét d u hàm s nh sau:
ự ạ ể ố Hàm s có bao nhiêu đi m c c đ i.
A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
Ch n ọ B.
Đ t ặ
Ta có:
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
15
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ự ạ ủ ự ế ể ả ố ố D a vào b ng bi n thiên c a hàm s thì hàm s có 3 đi m c c đ i.
ấ ủ ư ả ố ị ụ Ví d 4. ụ Cho hàm s xác đ nh và liên t c trên , có b ng xét d u c a nh sau
ị ủ ồ ị ố ể ự ố S đi m c c tr c a đ th hàm s là
A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
Ch nọ D
Đ t ặ
Ta có:
16
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ự ự ủ ể ế ả ố ị D a vào b ng bi n thiên c a thì hàm s có 13 đi m c c tr
ồ ị ồ ị ự ế ể ố
ố ể ị ị ị ị ố Suy ra đ th hàm s có 13 đi m c c tr (T nh ti n đ th hàm s lên trên 2021 ổ ự ơ đ n v thì s đi m c c tr không thay đ i).
ụ ư ả ị ấ c a ủ nh sau: Ví d 5ụ . Cho hàm s ố xác đ nh và liên t c trên và có b ng xét d u
ị ủ ự ể ậ ọ ợ ổ Xét hàm s . ố G i là t p h p các đi m c c tr c a hàm s ố . T ng giá tr t ị ấ ả t c
ầ ử ủ các ph n t c a là
A. . B. . C. . D. 5.
L i gi ờ ả i
ọ Ch n A
Ta có
Do
17
ấ ủ ả B ng xét d u c a
ả ế B ng bi n thiên ố ủ c a hàm s
ả ế B ng bi n thiên ố ủ c a hàm s
ế ấ ả ố B ng bi n thiên ta th y hàm s
18
ừ ả ự ể ế ấ ố ị T b ng bi n thiên ta th y hàm s có 5 đi m c c tr .
ị ạ ể ươ ứ ố ạ ự Hàm s đ t c c tr t i các đi m t ớ ng ng v i
ậ ổ ầ ử ủ Suy ra . V y t ng các ph n t ằ c a b ng 10
ố ứ ấ ệ ố ị ủ ự ị ồ
Bài toán 3: Tìm c c tr c a hàm s ch a d u giái tr tuy t đ i khi cho đ thị
ồ ị ư ứ ộ ố ẽ Ví d 1. ụ Cho hàm s là m t hàm đa th c có đ th nh hình v .
ố ể ị ủ ự ố S đi m c c tr c a hàm s là
A. 3. B. 5. C. 7. D. 9.
L i gi ờ ả i
Ch n Cọ
ừ ồ ị ủ ế ả ố T đ th c a hàm s ta có b ng bi n thiên
19
Đ t ặ
Ta có:
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ự ể ậ ố ị V y hàm s có 7 đi m c c tr .
ồ ị ư ẽ ướ ố ố i đây. Ví d 2. ụ Cho hàm s . Hàm s có đ th nh hình v d
20
ố ự ể ị ố Hàm s có t i đa bao nhiêu đi m c c tr ?
A. . B. . C. . D. .
ờ ả L i gi i
Ch n Cọ
ố Xét hàm s có:
.
ườ ắ ạ ộ ầ ượ ể Đ ng cong c t parabol t i ba đi m có hoành đ l n l t là .
Do đó .
21
ế ả Ta có b ng bi n thiên
ự ế ị ươ ố ng trình có t i đa
ự ệ ể ố ừ ả T b ng bi n thiên suy ra hàm s có 3 đi m c c tr và ph ậ ố b n nghi m . V y hàm s có t ố ể ị ố i đa đi m c c tr .
ố ậ ố ồ ị ư ố ẽ Ví d 3. ụ Cho hàm s b c b n có đ th hàm s nh hình v
ố ự ạ ể ố Hàm s có t i đa bao nhiêu đi m c c đ i?
A. . B. . C. . D. .
ờ ả L i gi i
Ch n Bọ
Đ t ặ
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
22
ừ ồ ị ế ả T đ th hàm s ố ta có b ng bi n thiên
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ự ế ả ố ố ố ự ạ ể ủ D a vào b ng bi n thiên c a hàm s suy ra hàm s có t i đa 5 đi m c c đ i.
ồ ị ư ố ậ ố Ví d 4. ụ Cho hàm s b c b n có đ th nh hình bên.
ố ể ị ủ ự ố S đi m c c tr c a hàm s là
A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
23
Ch n Aọ
ừ ồ ị ủ ế ả ố T đ th c a hàm s ta có b ng bi n thiên
Trong đó , , và
Đ t ặ
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ự ủ ự ế ể ả ố ố ị D a vào b ng bi n thiên c a hàm s thì hàm s có 9 đi m c c tr .
24
ươ ệ ơ Mà nên ph
ng trình có 10 nghi m đ n. ự ố ậ ể
ế ằ ụ ố ị ồ ị ượ ư có đ th đ c cho nh hình
t r ng hàm s xác đ nh, liên t c trên ố ể ự ể ủ ố ị V y hàm s có 19 đi m c c tr . Ví d 5. ụ Bi ẽ v bên. Tìm s đi m c c ti u c a hàm s .
A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
Ch n Dọ
ừ ồ ị ủ ế ả ố T đ th c a hàm s ta có b ng bi n thiên
Đ t ặ
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
25
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ự ể ủ ự ể ế ả ố ố D a vào b ng bi n thiên c a hàm s suy ra hàm s có 4 đi m c c ti u.
ả ủ ệ ệ ế 4. Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m
ạ ả ố ố ệ Trong quá trình gi ng d y, ôn thi THPT Qu c gia, ôn thi t
ồ ưỡ ọ ỏ ự ọ ọ nay và b i d ng h c sinh khá gi i, h c sinh d thi h c sinh gi ệ t nghi p THPT hi n ỏ i ỏ ườ i tr ng, gi
ượ ộ ố ệ ệ ọ ỉ t nh, tôi đã tích lũy đ c m t s kinh nghi m rèn luy n cho h c sinh bi
ệ ả ề ự ị ủ ố ế ế ả ế ử t s ể ấ ụ d ng các d u hi u gi i toán v c c tr c a hàm s ; bi t ghép b ng bi n thiên đ
ả ặ ợ ệ ụ gi ề i các bài toán v hàm h p, đ c bi ụ ể t tôi đã áp d ng c th trong bài toán tìm
ứ ấ ụ ể ệ ố ố ợ ị ủ ọ ị ự c c tr c a hàm s h p có ch a d u giá tr tuy t đ i. C th trong năm h c 2018
ở ớ ươ ụ ấ ọ – 2019 tôi đã áp d ng ph ng pháp này
ắ ấ ố ơ ế ế ề ắ ả ơ ế l p 12C1, tôi th y các em h c sinh ti p ơ t h n, n m b t v n đ nhanh h n và đi đ n k t qu chính xác h n. thu bài t
ể ế ả ọ ớ K t qu thi THPT QG trong năm h c 2018 – 2019 đi m trung bình môn Toán l p
ể ề ể ạ ừ ở ể 12C1 là 8,17 đi m, có nhi u em đ t đi m t 9 tr ạ lên, có em đ t đi m 9,8.
ươ ả ư ạ ủ ọ Ph ng pháp này còn kích thích kh năng t duy, tìm tòi sáng t o c a h c sinh
ạ ế ấ ả sao cho đ t k t qu nhanh nh t.
ệ ữ ự ự ộ ượ ự ế ứ ể Đây th c s là m t tài li u h u ích đã đ c tôi ki m ch ng th c t và cho
ế k t qu t ả ố t.
26
Ế Ế Ị Ậ III. K T LU N, KI N NGH
ớ ề ỉ ề ậ ả Trong đ tài này tôi m i ch đ c p đ n m t s ph
ị ự ộ ố ệ ươ ng pháp gi ụ ậ
ả ế ồ ị ự ề i các bài toán tìm c c tr nói riêng và các bài toán v hàm s
ự ậ ề ề ả
ề
ậ ợ ả ấ ấ ộ ươ ng pháp, nhi u cách gi ế c v n d ng m t cách ch đ o nh t, thu n l
ư ọ ụ ề i nhanh trong bài toán tìm c c tr mà tôi và các đ ng nghi p đã v n d ng. Tuy nhiên ố trong quá trình gi ầ ệ ố ấ ộ nói chung, không có m t ph ng pháp nào là duy nh t và tuy t đ i. Mà nó c n ộ ụ ươ ự ổ ợ ủ i và s v n d ng m t cách s b tr c a nhi u ph ễ ầ ươ ủ ng pháp nhu n nhuy n, khéo léo c a nhi u ki n th c khác nhau. Trong đó ph ượ ọ i nhanh đ gi i nh t. Tôi hi v ng ề ượ ấ đây là v n đ đ ứ ậ ủ ạ c nhi u giáo viên cũng nh h c sinh quan tâm.
ứ ủ ụ ụ ề ớ ọ ớ ặ V i m c đích nghiên c u c a đ tài là áp d ng cho h c sinh l p 12. Đ c
ệ ớ ự ố ắ ủ ả ậ ọ ố bi t dùng cho h c sinh ôn t p thi THPT qu c gia. V i s c g ng c a b n thân
ấ ượ ồ ụ ượ ệ và đ ng nghi p tôi tin ch t l ng giáo d c ngày càng đ c nâng cao.
ề ế ằ ả ầ ư ọ ề Qua đ tài này tôi thi t nghĩ r ng: Ph i kiên trì h c h i ỏ , đ u t nhi u công
ụ ậ ạ ươ ẽ ạ ả ọ ứ s c, v n d ng sáng t o ph ọ ng pháp d y h c toán h c, thì s có bài gi ng thu
ượ ọ hút đ c h c sinh.
ố ắ ặ ề ề M c dù tôi đã c g ng ấ r t nhi u trong quá trình hoàn thành đ tài,
ượ ế ấ song ượ ự quan tâm, đóng góp ý c s ể không th tránh đ c các thi u sót, r t mong đ
ể ề ủ ủ ệ ế ấ ạ ồ ọ ki n c a các c p lãnh đ o, đ ng nghi p và h c sinh đ đ tài c a tôi đ ượ c
ơ ệ hoàn thi n h n.
ả ơ Tôi xin chân thành c m n!
Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O
ả ấ ả 1. Sách giáo khoa gi ụ . i tích 12 (nhà xu t b n giáo d c)
ấ ả ạ ố ụ 2. Sách giáo khoa đ i s 10 (nhà xu t b n giáo d c).
ử ứ ề ố QG các tr ngườ trên
3. Các đ thi chính th c THPT qu c gia và đ thi th THPT ả ướ c n ề c.
ụ ợ ư ầ ng pháp ghép tr c trong bài toán hàm h p. (Kênh PPT Tivi – S u t m
ươ ạ 4. Ph trên m ng Internet).
