Ặ
Ấ
Ề
I.Đ T V N Đ
ọ ề :
ồ ể ụ ự
ọ ẽ ụ
ạ ệ c giao cho ngành Giáo d c. Vì l ườ
ọ ầ ữ i. Trong nh ng năm g n đây s l
i ngày càng tăng chính là k t qu
ấ ố ớ
ọ ọ ọ ệ ụ ồ ưỡ
ộ ẳ ấ ệ ể Lý do ch n đ tài ồ ưỡ ng nhân tài, phát tri n ngu n nhân l c là nhi m v vô cùng quan B i d ộ ụ ướ ả đó B Giáo d c tr ng mà Đ ng và Nhà n ệ ế ng THPT nói riêng luôn quan tâm đ n vi c phát & Đào T o nói chung, các tr ố ượ ồ ưỡ ỏ ệ ng và ng h c sinh khá, gi hi n, b i d ả ế ỏ ọ ả ấ ượ i trong các kì thi h c sinh gi ch t l ng gi ả ủ ủ ự ầ ư , quan tâm c a các c p qu n lí giáo d c. Đ i v i môn Toán, c a s đ u t ộ ữ ấ m t trong nh ng môn h c quan tr ng nh t thì vi c b i d ng h c sinh khá, ơ ọ ượ ỏ c xem tr ng h n. gi ứ
ộ ế ẳ ạ ọ
ọ ế
ọ ọ ự ọ ấ ẳ ọ ố
ứ ố
t các ch đ ấ ọ
đó h c t ọ ứ ấ ẳ ư ọ
ứ ủ ề ọ ố ậ ủ ế ợ ọ ộ t kh năng t ễ ự ọ ợ ộ ề ươ
ạ ữ ứ
ấ ẳ ộ ấ ẳ ấ ẳ ề ụ ấ ọ ứ ế
ụ ứ ậ ọ ể ả ng y u
ấ ẳ ụ ứ ậ ọ
ế
ữ ế ả ạ
ự ừ ự ọ ễ ề ứ
ơ ở ể ứ ấ ẳ
ọ ỏ ấ ẳ ệ ng h c sinh khá, gi
i càng đ ồ ủ ề Ch đ “B t đ ng th c” là n i dung không th thi u trong vi c b i ọ ưỡ ấ ỏ i. Trong các kì thì Đ i h c – Cao Đ ng, n i dung b t ng h c sinh khá, gi d ố ỏ ạ ộ ườ ứ ẳ ng là n i dung giúp phân lo i, ch n l a h c sinh khá, gi đ ng th c th i. Đ i ộ ề ớ ầ v i h u h t giáo viên và h c sinh THPT đ u xem “B t đ ng th c” là n i dung ế ấ ẳ ọ ấ ạ t ch đ “B t đ ng khó d y, khó h c nh t. Tuy nhiên n u h c sinh h c t ạ ừ ủ ề ư ả ẽ th c” thì s phát huy t duy sáng t o t ằ ạ khác, môn h c khác. Th c ti n qua quá trình d y h c tôi nh n th y r ng ủ ề nhi u h c sinh không thích h c ch đ “B t đ ng th c” ch y u do ch a có ọ ậ ớ ng pháp h c t p phù h p c ng v i tâm lý ng i và s h c n i dung này. ph ứ ể ộ ấ ẳ B t đ ng th c Bunhiacopxki là m t trong nh ng b t đ ng th c kinh đi n ứ ử ụ ủ c a Toán h c. S d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki là m t công c r t hay, ế ệ ữ i quy t nhi u bài toán liên quan đ n b t đ ng th c. H c sinh h u hi u đ gi ệ ấ ẳ ế ở ườ kĩ năng v n d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki nên vi c THPT th ệ ườ ng rèn luy n kĩ năng v n d ng b t đ ng th c này cho h c sinh là tăng c ệ ự ấ vi c làm r t thi t th c. ọ ớ ữ th c ti n d y h c Nh ng lí do nêu trên cùng v i nh ng k t qu tích c c t ủ ả ủ ề ch đ “B t đ ng th c” c a b n thân là c s đ tôi đã ch n đ tài nghiên c u: ứ “Rèn luy n kĩ năng v n d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki trong b i ậ ụ ồ ưỡ i THPT” d
.
Ả
Ấ
Ế
Ề
II. GI I QUY T V N Đ
ơ ở
ậ ủ ề ấ ơ ả ủ ấ ẳ ứ
(cid:0) ả a + c > b +c. H qu : a > b + c a c > b.
a + c > b + d.
ế ặ ế 1. C s lí lu n c a đ tài. a. Các tính ch t c b n c a b t đ ng th c. 1/ a > b và b > c (cid:0) a > c. 2/ a > b (cid:0) ệ 3/ a > b và c > d (cid:0) 4/ a > b (cid:0) ac > bc ( n u c > 0 ); ho c ac < bc ( n u c < 0 ).
1
(cid:0)
2
(cid:0)
a
a
b
nb . > n b . ≥ b
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ả 5/ a > b > 0 bà c > d > 0 (cid:0) ươ 6/ a > b > 0, n nguyên d ươ 7/ a > b > 0, n nguyên d a ac > bd. ng na > ng n a 2 b H qu : a > b ≥ 0: .
1 a
(cid:0) . < 8/ a > b, ab > 0
ma
na . > ma <
na .
(cid:0) ơ (cid:0) ơ
ấ ẳ ấ ẳ ơ ạ ấ
2
2
2
ả ấ ẳ
a
c
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1) ng a, b, c, d khi đó ta có b t đ ng th c: 2 d (
ớ
2) (2)
ố
1 b 9/ + a > 1, m và n nguyên dư ng, m > n + 0 < a < 1, m và n nguyên dư ng, m > n ứ b. B t đ ng th c Bunhiacopxki ứ * B t đ ng th c Bunhiacopxki d ng đ n gi n nh t. ố ươ ứ Cho 4 s d 2 ab cd b )( ( ) ả ấ D u “=” x y ra khi ad = bc ứ ấ ẳ * B t đ ng th c Bunhiacopxki Cho hai dãy s không âm a (a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2 (cid:0) 2 +a2
2 + …+bn
2)(b1
n
2
ố v i hai dãy s không âm. 1,a2,…và b1,b2,…bn. khi đó ta có: 2 +b2 2 + …+ an (a1
...
a b
a b
n
a 1 b 1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ằ ẩ ấ ớ ướ ế ẫ ằ D u b ng x y ra (v i quy c n u m u b ng 0 thì t ử
ằ b ng 0).
ấ ẳ
,.........
..,
n
2 ,.........
n
..........
,.........
....,
n
2
1
a b ..., ....... c
ứ Bunhiacovski m r ng ở ộ : ỗ ố ự ầ ử : n ph n t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m dãy (cid:0) (cid:0) (cid:0)
c. B t đ ng th c Cho m dãy s th c không âm, trong m i dãy có aa , 1 bb , 1 2 .......... cc , ứ
n
n
n
2
2
m
m
m
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ... ...
(cid:0) m …(cid:0)
...
n
1
2
c
c
(cid:0)c
m 2
m 2
b
a ẳ
cba ... (cid:0)b ... ỉ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (3)
ị ụ ể ằ ượ ộ : B ng cách cho m;n m t giá tr c th ta thu đ c:
ấ ẳ Khi đó ta có b t đ ng th c sau: cbacba ... 11 1 2 (cid:0)a m m m m a b ... n n 1 1 ứ ẩ ấ D u đ ng th c x y ra khi và ch khi: a1: b1:…:c1 = a2: b2:…: c2 =…= an: bn:…: cn ậ Nh n xét ớ + V i m=2; n=2 thì:
(cid:0) 2
2 1
2 2
2
2
2 1
2 2
baba 11
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ạ D ng (1)
(cid:0)bb
ấ ẳ ứ
(cid:0)aa + m=2; n(cid:0) N và n>2 ta có b t đ ng th c:
2
(cid:0) 2
n
2 n
2 n
2
2
2 2
2 2
ba n
2 aa 1
2 bb 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) D ngạ ... ... (cid:0) ... (cid:0)
(cid:0)a
(cid:0)b
(cid:0) 3
3
3
2
2
3
3 1
3 2
3 3
3 1
3 2
3 3
3 2
3 3
baba 11 (2) + m=3; n=3 ta có: cbacbacba 111 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (4)
(cid:0)aaa
(cid:0)bbb
3 cc 1
(cid:0)c
…………………………………..
ạ ủ ề
ọ ọ ạ ậ ạ 2. Th c tr ng c a đ tài: ự ễ ự Qua quá trình th c ti n d y h c tôi nh n th y r ng khi d y h c ch đ
ạ ấ ằ ứ
ậ ả
ợ ấ ẫ ạ
ừ ủ ề ủ ề ứ ọ ấ ẳ “B t đ ng th c” nói chung, d y h c b t đ ng th c Bunhiacopxki nói riêng có ư th c tr ng nh sau: ố ọ ạ ấ ẳ ợ ọ ứ ặ ứ ọ
ứ ể ả duy đ gi ụ ứ
ủ ọ ụ ỹ ạ ở ứ ấ ọ ấ ẳ ạ ự ạ + Đa s h c sinh r t ng i th m chí “s ” khi gi ế ề i toán. ấ ẳ t ứ ấ ẳ i toán b t đ ng th c. ọ ế T tâm lý ng i và s đó d n đ n tình tr ng h c sinh không quy t tâm khi h c ỏ ấ ẳ ch đ “ B t đ ng th c”, nhi u h c sinh c g p bài toán b t đ ng th c là b , ị ư không ch u t ệ i
ố ớ + Vi c áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki c a h c sinh đa s m i ầ ế , r t ít h c sinh thu n th c k năng và sáng t o ạ ả i toán.
m c nh n bi ứ ấ ẳ ầ ư ạ ọ khi d y h c ch
ậ ỉ ừ ch d ng l ậ ụ khi v n d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki vào gi ầ ư + Nhi u th y cô giáo ch a th c s quan tâm và đ u t ứ ề ấ ẳ ấ ẳ ứ ọ
ủ ự ự ạ ề đ “B t đ ng th c” nói chung, d y h c b t đ ng th c Bunhiacopxki nói riêng.
ạ
ứ ệ ở ạ ơ
ượ + B t đ ng th c Bunhiacopxki không đ ạ ấ ẳ c d y trong ch ơ ứ ẳ i thi u ươ ấ ố
ươ ng trình ữ ố ế t theo d ng đ n gi n nh t (d ng (1)) h n n a s ti ả ng trình dành cho ch đ “ B t đ ng th c” r t ít nên nh ỏ ế ệ ạ ấ ỉ ớ SGK, ch gi phân ph i ch ưở h ng không nh đ n vi c d y h c ch đ này.
ư ấ ẳ ọ ứ
ể ề ồ ưỡ ữ ả ấ ủ ề ủ ề ườ ổ ứ ạ ọ ng h c ng dành u tiên đ b i d ề ớ ọ ở nh ng l p có nhi u ch c d y h c
ổ ứ ự ch c th c hi n.
ệ ấ ẳ ủ ề ứ ọ
ể ậ ậ
ủ ọ
ể ọ ự ợ ị
ể ứ ứ ạ ủ ề + Ch đ “ B t đ ng th c” th ấ ỏ sinh khá, gi i nên r t khó đ giáo viên t ố ượ ọ đ i t ng h c sinh. ả i pháp và t 3.Gi ầ ộ ọ ạ Khi d y h c ch đ “b t đ ng th c” cho h c sinh tôi đã dành m t ph n ụ ấ ẳ ệ ươ ờ ượ th i l ng trình đ t p trung rèn luy n kĩ năng v n d ng b t đ ng ng ch ỗ ọ ứ th c Bunhiacôpxki cho h c sinh. Tùy theo năng l c c a m i h c sinh cũng ậ ẩ ư ậ nh t p th h c sinh đ tôi chu n b giáo án phù h p. Các bài t p đ h c sinh ậ ụ v n d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki tôi so n theo 3 m c đó là:
ứ ộ Dành cho h c sinh đ i trà, h c sinh khá. Các bài t p này ch
ướ ế ụ ậ ạ ọ ọ ọ ế t, giúp h c sinh b ầ c đ u bi ủ ậ ậ t cách v n d ng lí
ở ứ ộ m c đ nh n bi ậ ể ọ ấ ẳ M c đ 1: ừ ế y u d ng thuy t đ gi i bài t p.
ọ ế ể ả M c đ 2:
i. Các bài t p ả ắ ậ ở ứ ắ ệ ậ ọ ứ ộ Dành cho h c sinh khá, gi i đ ể ỏ m c thông hi u, ế ữ c các bài t p này h c sinh ngoài vi c ph i n m tr c nh ng ki n ể ả ượ đ gi
3
ả ế ạ ử ụ ứ ế ề t linh ho t s d ng nhi u ki n th c, kĩ năng toán
ứ ơ ả th c c b n còn ph i bi ọ h c khác.
ữ ậ ở ứ ỏ ứ ộ Dành cho nh ng h c sinh gi i. Các bài t p
ể ả ả duy toán h c, đ gi ọ ố ư t t
M c đ 3: ỏ ọ ế ả ử ụ ữ ứ ọ
ọ ổ ổ
ơ m c cao h n ậ ọ i các bài t p này đòi h i h c sinh ph i phát huy t ườ ề ọ ng ph i s d ng nhi u ngoài ki n th c toán h c v ng vàng h c sinh th ợ ế ư ạ ộ ho t đ ng toán h c nh phán đoán, phân tích, bi n đ i, so sánh, t ng h p, khái quát…
ụ ự ứ ễ ạ ớ ậ ọ V i các m c đ bài t p nh trên tôi đã áp d ng vào th c ti n d y h c
ữ ư ụ ể ộ ả i pháp c th sau:
ả ậ ụ ấ ẳ ứ
ệ ấ ẳ i pháp 1: Rèn luy n kĩ năng v n d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki ứ thông qua nh ng gi 3.1.Gi trong ch ng minh b t đ ng th c:
ậ ở ứ ộ ứ m c đ 1. Ví d 1:ụ Bài t p
acb
)
(
)
(
bca ạ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ố ươ ứ Cho 3 s d ng a, b, c v i a, b
2
ấ ẳ ụ i: ờ L i gi
ac
a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ta có: đpcm và (cid:0) bc (cid:0) b
c c. Ch ng minh: ả Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki ( d ng (1)) cho các b s ộ ố ứ bca
acb
c
)
(
;
2))
(
)
(
(
) ( ;
2
2
2
ố m c đ 2. Ví d 2ụ : Bài t p (cid:0) ề ỏ Cho x, y, z > 0 th a món : x + y + z ậ ở ứ ộ ( Đ thi ĐH CĐ kh i A năm 2003) 1. Cmr:
x
y
z
82
1 2 x
1 2 y
1 2 z
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P =
ờ ả L i gi i:
x ;(
)
1 x
2
2
ấ ẳ ụ ứ ộ ố Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki cho các b s và (1; 9) ta có:
x
x
(
)
.(82
)
9 x
1 2 x
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ự t ng t ta có:
y
y
(
)
.(82
)
z
z
(
.(82
)
)
9 y
9 z
1 2 z
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ớ ế ộ ượ ; . C ng v v i v ta đ c:
82
x
y
z
x
y
z
(81
(9)
(80
)
)
1 2 y 9 9 9 zyx
1 x
1 y
1 z
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P. + x+ y+ z
x
y
z
(3.9.2
)(
80
)
1 x
1 y
1 z
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 162 80 = 82 (cid:0) đpcm
ậ ở ứ ộ m c đ 3. Ví d 3:ụ Bài t p
ố ươ a. Cho a;b;c là ba s d ng
4
a c (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ 1 Ch ng minh r ng: (cid:0) (cid:0) (cid:0) b c c a a 2 b 2 b 2
m
1
m
m
m
2
ng và p;q>0 (cid:0) ươ m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cba (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) N ứ ằ Ch ng minh r ng: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b. Cho a;b;c>0;m nguyên d a pb qc b pc qa c pa qb qp 3.
ờ ả ứ ụ L i gi i: ấ ẳ a. Áp d ng b t đ ng th c (4)
Ta có (a+b+c) 3 =
3
3
3
3
3 .
3 c .)2
3 .
3 a .)2
3 .
3 b .)2
c a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b c ( ba ( cb ( ac ( ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b c a c a 2 b 2 b 2
a c (ab+2ac+bc+2ab+ac+2bc).(a+b+c) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( ). (cid:0) (cid:0) (cid:0) b c c a a 2 b 2 b 2
2
ế ượ Chia hai v cho: 3(ab+bc+ac).(a+b+c) , ta đ c:
(cid:0) (cid:0) a c (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b c c a a 2 b 2 b 2 bc ) ac cba ( ab (3 )
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ab bc ac (3 ) ể Hi n nhiên ta có : (a+b+c) 2 do đó:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) bc ) ac cba ( ab (3 )
a c (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ 1 T đó suy ra: (đpcm) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b c c a a 2 b 2 b 2
ằ ả ấ ỉ D u b ng x y ra khi và ch khi: a=b=c
ả ẫ
ể ằ ỏ ấ ẳ ậ ứ ở ứ ổ ự ấ ắ ể ọ ặ i bài t p giáo viên nên đ t câu h i, d n d t đ h c câu b th c ch t là b t đ ng th c t ng quát
ứ ở ọ Sau khi cho h c sinh gi ấ ẳ sinh hi u r ng b t đ ng th c ứ ủ ấ ẳ c a b t đ ng th c đã ch ng minh ý a.
5
m
b. Ta có: (a+b+c) m =
m
m
m
pb
qc
pc
qa
pa
qb
m
m
m
a pb
qc
b pc
qa
c pa
qb
1...1.1 m 2
1...1.1 m 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
qc
1...1.1 m 2 pa
qb
pc
qa
pbN .
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)qp (cid:0)
111...111 m 2 m 23. cba
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Suy ra: (a+b+c) m (cid:0) N.(cid:0) mà a+b+c > 0
m
1
m
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cba Cho nên: N (cid:0) (đpcm) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) qp 3.
ằ ẩ ấ ỉ D u b ng x y ra khi và ch khi: a = b = c
ậ ở ạ ệ ố ạ ớ ợ ộ Vi c tham s hoá tr l i thích h p ta có m t lo i các bài toán m i: Nh n xét:
m =1;p=1;q=1: + + (cid:0) (cid:0) a cb b ac c (cid:0) ba 3(cid:0) 2
c (cid:0) 1 m=1; p = 1; q = 2: + + (cid:0) c b c a a a 2(cid:0) b 2(cid:0) b 2
4 ba 2
4 cb 2
4 ac 2
2 abc . 3
(cid:0) (cid:0) m =3; p = 2; q = : (cid:0) 1 abc ab ca 2 (cid:0) 1 bc 2 (cid:0) 1 2 1 (cid:0) (cid:0) ( (cid:0) (cid:0) cba ) abc 1 2
m
1
m
m
m
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) p=q=1;m . (cid:0) N : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a cb b ac c ba 3 2 cba 3
2
2
ậ ở ứ ộ Ví d 4ụ : Bài t p m c đ 3. 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a. Cho a,b,c >0 . CMR: + (cid:0) (cid:0) (cid:0) a cb b ac c ba cba 2
2
2
2
3 b
3
k , ố ươ ng kk , b. Cho a,b,c>0 và 1 2 là các tham s d 2 (cid:0) (cid:0) ( (cid:0) (cid:0) (cid:0) CMR: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c bka c 1( 1( a ckb 1 ak 2 ak ) 2 cba ) bk 1( ) 3 ck ) 1
ờ ả L i gi i:
a. Ta có:
6
2
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cba cb ac ba (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a cb b ac c ba
a cb
2
2
2
(cid:0) ( .(b+c+c+a+a+b) + + ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b ac c ba
a cb
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Hay + + (đpcm) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cba 2 b ac c ba
:
ứ ề ằ
ấ ẳ ượ ổ c bài toán t ng quát chính
ậ Nh n xét B t đ ng th c trên có th ch ng minh b ng nhi u cách . ể ứ ấ ẳ Tham s hoá b t đ ng th c trong câu a ta đ ứ ấ ẳ ố ứ ở câu b. là b t đ ng th c
2
b.
2
3
3
2
2
2
(cid:0) (cid:0) b (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cba c bka ckb 1 ak 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c c bka (cid:0) (cid:0) a ckb 1 ak 2
3
2
3
b (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cba bkak ( ).( ) (cid:0) ck 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) c c bka a ckb 1 ak 2
2
2
2
Suy ra (a+b+c) 2 (cid:0)
(cid:0)ck )
1
3
b (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( 1(). 1( 1( ak ) 2 bk ) 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) c c bka a ckb 1 ak 2
2
2
2
2
ậ V y
3
(cid:0) (cid:0) b ( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đpcm) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c c bka 1( 1( a ckb 1 ak 2 cba ) bk 1( ) 3 ck ) 1 ak ) 2
2
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) b c a (cid:0) ả ằ ấ ỉ D u b ng x y ra khi và ch khi: (cid:0) (cid:0) (cid:0) k k k 1
ứ ệ
ậ ụ ị ấ ẳ i pháp 2: Rèn luy n kĩ năng v n d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki ị ớ ấ ỏ ; tìm giá tr nh nh t (GTNN), giá tr l n i bài toán tìm min, max
ả 3.2.Gi ả khi gi ấ nh t (GTLN). Ví d 5:ụ
7
ứ ộ ậ a. Bài t p m c đ 1.
(cid:0) ứ ủ ể Cho a; b > 0 và a+b= . Tìm Min c a bi u th c: S = 4 b 1 a4 5 4 ứ ộ ậ b. Bài t p m c đ 2.
(cid:0) (cid:0) a ứ ằ Cho a;b>0; ab=1 và X;Y>0; X+Y= . Ch ng minh r ng: a b b X 1 bY
ứ ụ L i giờ ải: ấ ẳ a. Do a;b > 0 nên áp d ng b t đ ng th c (1) cho 2 dãy:
2
1 ; c:ượ và a ; b ta đ a 2 b 2
(cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = ( )(a+b) a b (cid:0) (cid:0) 4 b 1 a4 25 4 a 2 b 2
(cid:0) Hay: ( ) (vì a+b = ) 4 b 1 a4 25 (cid:0) 4 5 4 5 4
(cid:0) Suy ra: S= 5 4 (cid:0) b 1 a4
(cid:0) 1 (cid:0) a b : : (cid:0) a 2 b 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ba ẩ ằ ấ ỉ D u b ng x y ra khi và ch khi: 5 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b 1 4 1 (cid:0) (cid:0) ba ; 0 (cid:0) (cid:0)
ậ V y MinS = 5 khi a = ; b = 1 1 4
ậ ụ ấ ẳ ứ b. V n d ng b t đ ng th c (1) cho 2 dãy:
2
; c:ượ và Y ; X ta đ 1 bY b X
(cid:0)YX
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = Y X (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)1 bY b X (cid:0) (cid:0) b 2 b 1 bY b X
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Hay: (do a=1+b) (cid:0) (cid:0) (cid:0)1 bY b X a b b 2 b
8
(cid:0) (cid:0) a Suy ra: (đpcm) b X 1 bY
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Y X : : 1 bY b X (cid:0) (cid:0) (cid:0) X 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) YX ằ ẩ ấ ỉ D u b ng x y ra khi và ch khi: (cid:0) a b Y (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 b (cid:0) (cid:0) YX ; 0 (cid:0) (cid:0)
ứ ộ ậ Ví d 6ụ : Bài t p m c đ 3.
6 (cid:0) ấ ủ ị Cho x>1;y>2 và x+y= ỏ Tìm giá tr nh nh t c a S = (cid:0) (cid:0) 1 x y (6 )1 2 25 6
ờ ả : Ta có x+y= (x1)+(y2)= và x>1;y>2 nên x1>0;y2>0 L i gi i 25 (cid:0) 6 7 6
6 (cid:0) (cid:0) ; ấ ẳ ứ ụ x y Áp d ng b t đ ng th c(1) cho 2 dãy: và ;1 2 (cid:0) (cid:0) 1 x y (6 )1 2
2
ta đ c:ượ
(cid:0))2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y 1 2 ( )1 ( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x y 49 6 (6 )1 2 1 x y (6 2 (cid:0) (cid:0)
(cid:0) S(cid:0) . S Hay 7(cid:0) 7 6 )1 49 6
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y ẩ ấ ỉ D u “=” x y ra khi và ch khi : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 7 6 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y ;1 1 6 25 6 2 (cid:0) (cid:0)
ậ V y MinS=7 khi x= ;y=3 7 6
ệ ệ ươ ấ ẳ ươ ươ ả i pháp 3: Rèn luy n kĩ năng v n d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki 3.3.Gi ể ả đ gi i ph ậ ụ ấ ng trình, b t ph ứ ng trình. ng trình, h ph
9
ứ ộ
2
ươ ả Ví d 7ụ : Bài t p m c đ 1. Gi ậ ng trình: i ph
x
x
x
x
2
3
25
3
12
14
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
L i gi Gi ả
= x 5 2
3
14
2
x 2
- - ờ ả : i ươ ng trình: i ph - + x 3
x (
+ 12 )
�
x
x
= x 5 2
3
+ 2
2
2
- + 3
- -
x
2
(cid:0)�
x
1,5
2,5
5 2
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) ĐK: - (cid:0) (cid:0)
ộ ố ố Áp d ng b t đ ng th c Bunhiac pxki cho hai b s không âm (1:1) và (
2
3 0 x 0 ấ ẳ : 5 2x
2
2
2
-
)
(
)
)
(
)
x
x
x
x
2
5 2
+ 2 1
2 1
+ 3
2
5 2
2.2 4
( � � �
� = � �
- (cid:0) - - (cid:0) ứ ) ta có: ( ụ 3x - - + 3
x
x
Do
x
0
5 2
- + x 2
3
> 5 2
- (cid:0) - 2
�
�
x
x
= x
2
2 - = 3
5 2
2
-
- + 3 ả ) 2 +
(
2
3
2
(cid:0) (cid:0) ấ ẩ (cid:0) ấ D u “=” x y ra x - d u”=” x y ra x = 2
ấ 2 ệ ậ V y pt có nghi m duy nh t x = 2
2
ứ ộ ậ Ví d 8ụ : Bài t p m c đ 2.
x
x
x
x
1
3
(2
)3
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ Gi i ph ng trình:
x
x
1
- + + = x 3
+ 3)
- - ờ ả (a) L i gi
1x -
2
2
i: ụ ; x – 3) và (1 ; 1)
x 2 2 ộ ố (
)
2( Áp d ng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 b s không âm ( )
(
) 1
2 1
( - + � x �
2
(cid:0) - x x - + - x 1 + 2 1 3 3 � � ta có: (b) (cid:0) -
( (
) )
x x - + - x 1 3 - + x 2( 1) 2( 3)
x
3
- = - x 1 x2 – 6x + 9 = x – 1 x2 – 7x + 10 = 0 (cid:0)
ỉ
ặ (a)và (b) x y ra khi ch khi: ả (cid:0) (cid:0) x = 2 ho c x = 5
{
S =
}5
ả ả
x = 2 không tho mãn; x = 5 tho mãn v y ậ
10
2
4
3
x
x
x
x
2
- = 4 1
4
4
2
4
3
2
ứ ộ 4 - - ươ ả ậ Ví d 9ụ : Bài t p m c đ 3. Gi ng trình: i ph
�
x
x
x
x
- = 4 1
x
x
- = 4 1
3 x x (
1)
2
- - - -
2 2
4
2
ờ ả L i gi i: Đ K : x4 (cid:0)
�
+ = 4 x
x
2 x
1 + 2 x
2
2
2
+
- ệ ươ ả Vì x = 0 không ph i là nghi m nên ph ng trình
=� x
x
2
x =�
1
1 2 x
1 2 x
(cid:0) ấ ả Ta có: d u “=” x y ra (c)
2
4
ấ ẳ ứ ụ ặ M t khác: Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki ta có:
(cid:0) (cid:0) -
(
x
+ 4 x
2 1
2
2 �- x � �
4 � � �
2
4
2
4
4
4
+ 4
+
)
- (cid:0) - (cid:0) -
) )
+ 2 1 )
) ( (
2 (
x
x
x
+ 4 x
x
= x
2
4
2
( 4.2 2
16
4
+ 2
(cid:0) (d)
�
x
2
= 16
2
-
2
4
4
4
ấ ừ ấ
4 � ỉ ươ ứ ộ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ ươ ả Bài t p m c đ 3. Gi ệ ng trình có nghi m duy nh t x = 1. ng trình i ph
x ả D u “=” x y ra khi ch khi x = 1 T (c) và (d) suy ra ph Ví d 10.ụ
x
x
x
1
1
1
3
Gi¶i: §k : -1 (cid:0) x (cid:0) 1
2
4
Theo b©t ®¼ng thc C«-si ta cã:
x
x
1(
1)(
)
4 1 x
1 x(cid:0)
1 x(cid:0) 2
1 x(cid:0) 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = 4 + (i)
x(cid:0)
1
4
x(cid:0)
1.(1
)
1 2
(cid:0) (ii) (cid:0)
x(cid:0)
1
x(cid:0)
1.(1
)
4 1 x(cid:0)
1 2
2
(cid:0) (cid:0) = 4 (iii)
1 x(cid:0)
ta cã : 4 + ấ ẳ ứ ụ Tõ (i),(ii),vµ(iii) áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki
x(cid:0)1
x(cid:0)1
4 1 x(cid:0)
(cid:0) (cid:0) 1+ + 3 + 4 1 x(cid:0)
x(cid:0)1
x(cid:0)1
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi : = = 1 (cid:0) x=o
KiÓm tra l¹i ta thÊy x=0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
11
ậ ụ ấ ẳ ứ ệ
ả ả ộ ố ọ 3.4.Gi khi gi i pháp 4: Rèn luy n kĩ năng v n d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki i m t s bài toán hình h c.
2
Ví d 11ụ : Bài t p m c đ 2.
1
(cid:0) (cid:0) ầ ượ ể ể ộ Cho elip (E) : các đi m M, N chuy n đ ng l n l t trên các tia ậ x 16 ứ ộ 2 y 9
ọ ộ ể ế ạ ớ ị
ấ ỏ ỏ ị
0
Ox, Oy sao cho MN luôn ti p xúc v i (E). Xác đ nh t a đ M, N đ đo n MN ấ ộ có đ dài nh nh t. Tìm giá tr nh nh t đó. ờ ả : L i gi i
y
E
;
)
(
)
1
xM ( 0
0
0
xx . 0 16
yy . 9
M
(
)0;
N
;0(
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ế ạ Ph ế ng trình ti p tuy n t ể i đi m là
16 0x
9 0y
2
2
2
2
2
2
2
ọ ộ ủ Suy ra t a đ c a M, N là và
MN
)
(
)
9 y
9 y
16 ( 2 x 0
2 0
2 0
y 0 9
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = .
16 2 x 0 ấ ẳ
(cid:0)MN
)34(
49
x 0 16 Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki (d ng (1)) ta có
(cid:0) (cid:0) ứ ụ ạ :
)0;72(M
;0(N
)21
ạ ằ ớ Khi đó MN đ t GTNN b ng 7 v i và .
ậ
ứ ộ ủ ộ Ví d 12ụ : Bài t p m c đ 2. ạ a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác
1
ac
c
ba
a
b 2
2
2
b 2
c cb 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ Ch ng minh r ng ằ : A = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ộ a 2
ấ ẳ ứ ụ ố ờ ả : Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki cho 6 s không âm L i gi i
ac
ba 2(
2
)
ac
c
ba
a
cb
b 2
2
2
c (cid:0) 2
a (cid:0) 2
b (cid:0) 2
(cid:0) (cid:0) ; ; và ; (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ba
cb 2(
2
)
ac 2(
cb 2
)
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; ta có :
A
ab
ca
a
b
c
cba
4.(
bc 4
4
)
(
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
ổ ươ ằ ươ ứ ễ ế B ng bi n đ i t ng đ ng d dàng ch ng minh đ ượ : c
1
A
1(cid:0)
2
2
2
ab
b
c
( bc 4
cba ) ca a 4 4 ABC là tam giác đ u.ề
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ả , d u “=” x y ra khi tam giác (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ứ ộ ậ Ví d 13ụ : Bài t p m c đ 3.
12
2
2
2
ứ ằ Cho tam giác ABC.Ch ng minh r ng:
2
Sin Sin Sin (cid:0) (cid:0) Sin Sin Sin (2 ) A 2 B 2 C 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Q= A 2 C 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Sin SinC Sin SinA Sin SinB 1(3 B 2 )3 B 2 C 2 A 2
ờ ả : Ta có L i gi i
2
2
2
ụ Cos Cos Cos ; ; 0 áp d ng bài toán 3 Do 00 2 Sin Sin Sin B
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Q= (cid:0) (cid:0) (cid:0) Sin Sin Sin Sin Sin Sin Cos
2 Cos
2 Cos
2 B
2 C
2
B
2 B
2 A
2 A
2 A
2 C
2 A
2
C
2 (cid:0) (cid:0) Sin Sin Sin ( ) C
2
A
2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cos Sin Cos Sin Cos Sin 21( ) 21( ) 21( ) C
2
B
2 B
2
B
2 A
2 A
2 C
2 C
2 (cid:0) (cid:0) Sin Sin Sin ( ) A
2 B
2 C
2 Hay Q (cid:0) (6) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Sin Sin Sin SinA SinB SinC A
2 B
2 C
2 ứ ễ ặ ượ ế ả M t khác ta d dàng ch ng minh đ c k t qu sau: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Sin Sin Sin SinA SinB SinC ; A
2 B
2 C
2 3
2 33
2 2 (cid:0) 1(3 )3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Suy ra: (7) Sin Sin Sin SinA SinB SinC A
2 B
2 C
2 2 (cid:0) (cid:0) Sin Sin Sin (2 ) (cid:0) ừ T (6) và (7) ta có: Q (đpcm) A
2 C
2 (cid:0) 1(3 B
2
)3 ề ấ ằ ả ỉ D u b ng x y ra khi và ch khi tam giác ABC đ u 13 ộ ố ậ ụ .
3.5.M t s bài t p áp d ng x 2 = + x x 3 2 6
x 3
1 x
=x2 - 10x + 27 - - ả ươ Gi i ph ng trình: Bài t p 1:ậ - - 6(cid:0)x 4(cid:0)x + Bài t p 2:ậ 2 Bài t p 3:ậ y + = -
x
1 6 x
2 3
2 + xy
= x y 1 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ
i h ph ng trình: Gi (cid:0) (cid:0) Bài t p 4ậ : Cho x>2;y>3 và x+y= 43
7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Tìm Min c a P=ủ (cid:0) (cid:0) 3
x y
(7 x
(49
y
)(2 )2
)3 Bài t p 5ậ : Cho a;b;c> và a+b+c=1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 CMR: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
ab b
bc c
ca 1 1 1 Bài t p 6ậ : Cho a;b;c>0. ca 3
ac
12 3
ba
(cid:0) 12 3
cb
(cid:0) 12 (cid:0) (cid:0) abc ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) CMR : (cid:0) (cid:0) cba
(
abc
1 ab bc ọ ộ ầ ượ
t 2 3 3 3 ộ
ạ ế ủ
ộ ế ủ ườ Bài t p 7ậ : Cho a;b;c là đ dài ba c nh c a m t tam giác.G i R;r l n l
là bán kính c a đ ạ
ng tròn ngo i ti p và n i ti p tam giác đó. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) CMR + + . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
cb b
ac c
ba 1
24 abc
rR
. Bài t p 8ậ : Cho a;b;c>0. 2 2 2 a b c (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 CMR: (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b ac c ab bc
8 8 8 ề (Đ thi ÔLympic ) ủ ề ả ự ế ệ 4. K t qu th c nghi m c a đ tài. 14 ả ụ ề ọ
ạ ự ễ Năm h c 2012 – 2013 tôi đã áp d ng các gi
ụ ể ạ ớ ọ
ủ ề ự ọ ờ ư ườ
ơ ả ươ ớ ọ ố
ề
ọ ử ụ ứ ả ớ ng nhau) , l p d y h c đ i ch ng không s d ng các gi i pháp nêu trong đ tài vào
ộ
ị
ườ
th c ti n d y h c, c th t
ng THPT Yên Đ nh 2 trong n i
i l p 10 A3 – Tr
ấ ẳ
ậ
ồ
ứ
ớ ộ
ch n ( Ôn t p b t đ ng th c). Đ ng th i cũng v i n i dung
dung: Ch đ t
ị
ạ ớ
ạ
ứ
ng THPT Yên Đ nh 2 (
nh trên tôi đã d y h c đ i ch ng t
i l p 10 A7 – Tr
ự ọ ươ
ọ
ớ
l p 10 A7 và l p 10 A3 đ u h c theo ch
ng
ng trình c b n, có l c h c t
ố
ạ
ươ
đ
i pháp nêu trên
ề
đ tài. ậ ộ ộ ề ủ ề ả ượ ế ư ớ
ố ế ể
Sau n i dung ôn t p tôi cho 2 l p làm bài ki m tra ( n i dung v ch đ
ấ ẳ
c th ng k nh sau: ứ
“B t đ ng th c”) k t qu đ iỏ L pớ Sĩ
số
48 Gi
SL
15 %
31,2 Khá
SL
25 Trung bình
SL
8 %
16,7 Y u ế
SL %
0
0 Kém
SL %
0
0 45 6 13,3 10 24 53,3 5 0 0 %
52,
1
22,
2 11,
2 10
A3
10
A7 ả ữ ế ớ ề ế
ừ ọ ả ị
ả ề ạ ạ
h c sinh tôi m nh d n kh ng đ nh nh ng gi ữ
ả ể ả ọ ồ ưỡ ọ ỏ ữ
Nh ng k t qu trên đây cùng v i nh ng k t qu đ nh tính khi thăm dò,
ị
ư
ẳ
i pháp mà đ tài đ a
đi u tra t
ạ
ệ
ụ
ra là hoàn toàn kh thi và có th áp d ng hi u qu trong quá trình d y h c nói
i nói riêng.
chung, b i d ng h c sinh khá gi ừ ự ệ ạ ọ ự
ề ứ ệ ệ ệ ạ ượ ủ ề ế
ạ ữ
ự ệ ạ ọ ấ ẳ
+ Đ tài đã nêu lên th c tr ng c a vi c d y và h c ch đ “B t đ ng ứ ấ ế ự ệ i pháp thi ề
+ Đ tài đã đ xu t m t s gi
ấ ẳ ỏ ộ ố ả
ệ
t th c trong vi c rèn luy n kĩ
ứ
năng v n d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki cho h c sinh khá, gi ề
ệ
th c” hi n nay.
ề
ậ ụ
ề ụ ọ
ể ứ ả i pháp. i.
c các ví d minh ch ng đi n hình cho các gi
ễ ứ ậ ộ ố ượ ề ượ
+ Đ tài đã nêu đ
ư
ộ ố
+ Đã đ a ra m t s bài t p áp d ng theo các m c đ khó, d khác nhau
ớ
phù h p v i nhi u đ i t
ề ế ủ ề ợ
ặ ạ ụ
ọ
ng h c sinh.
ố ắ
ậ ủ ấ ỏ ế
ữ
ơ ở ể ầ
ệ ữ ệ ề ồ ơ ứ ủ M c dù tôi đã nhi u c g ng xong thi u xót, h n ch c a đ tài là không
ượ
ể
c nh ng góp ý c a các th y cô giáo, các
th tránh kh i tôi r t mong nh n đ
ẽ
ạ
b n đ ng nghi p. Nh ng góp ý đó s là c s đ tôi hoàn thi n h n đ tài
nghiên c u c a này. ả ơ Tôi xin chân thành c m n! 15 ủ ưở ơ ị ng đ n v Thanh Hóa, ngày 16/05/2013 ế ộ
t, không sao chép n i ậ ủ
Xác nh n c a th tr
……………………………………… Tôi xin cam đoan đây là SKKN
c aủ
……………………………………… mình vi ườ i khác. ườ ự ệ dung
ủ
……………………………………… c a ng
……………………………………… Ng i th c hi n Ả TÀI LI U THAM KH O
ạ
ươ ễ Ph ọ
ng pháp d y h c môn Toán, Ệ
1. Nguy n Bá Kim (2004), Nxb Đ iạ ọ ư ạ
h c s ph m. ấ ẳ ứ ạ ộ 2. Ph m Kim Hùng (2008), Sáng t o b t đ ng th c, Nxb Hà N i. ậ ạ
ữ ọ
4. Pôlya. G (1976), Toán h c và nh ng suy lu n có lý , Nxb Giáo d c.ụ ễ ễ ễ ỳ ắ
5. Đoàn Qu nh, Nguy n Huy Đoan, Nguy n Xuân Liêm, Nguy n Kh c ắ ặ ạ ố Đ i s 10 nâng cao Minh, Đ ng Hùng Th ng (2007), ư ươ ạ ạ ỳ , Nxb Giáo d c.ụ
ắ 6. Đoàn Qu nh, Văn Nh C ng, Ph m Kh c Ban, T Mân (2007), ọ Hình h c 10 nâng cao , Nxb Giáo d c.ụ 16 ấ ẳ ạ ọ ề ệ ầ ạ Chuyên đ luy n thi đ i h c B t đ ng th c 7. Tr n Văn H o, ứ , Nxb Giáo d c.ụ ươ ầ ố ố ẻ ẹ ấ ẳ
V đ p b t đ ng ầ
8. Tr n Ph ẩ
ng, Võ Qu c Bá C n, Tr n Qu c Anh, ạ ọ ố ộ
th cứ , Nxb Đ i h c qu c gia Hà N i Ụ Ụ Trang M C L C Ở Ầ Ầ ề ọ I. PH N M Đ U: Lí do ch n đ tài 01 Ả Ấ Ế Ề II. GI I QUY T V N Đ 01 ậ ủ ề ơ ở 1. C s lí lu n c a đ tài. 01 ủ ề ự ạ 2. Th c tr ng c a đ tài 03 ả ổ ứ ệ 3. Gi i pháp và t ự
ch c th c hi n 03 17 ả ấ ẳ ụ ệ ậ 3.1. Gi ứ
i pháp 1: Rèn luy n kĩ năng v n d ng b t đ ng th c 03 ấ ẳ ứ ứ
Bunhiacôpxki trong ch ng mình b t đ ng th c. ả ấ ẳ ụ ệ ậ 3.1. Gi ứ
i pháp 2: Rèn luy n kĩ năng v n d ng b t đ ng th c 07 ả Bunhiacôpxki khi gi i toán tìm min, mác; tìm GTNN, GTLN. ả ấ ẳ ụ ệ ậ 3.1. Gi ứ
i pháp 3: Rèn luy n kĩ năng v n d ng b t đ ng th c 09 ể ả ươ Bunhiacôpxki đ gi i ph ng trình…. ả ấ ẳ ụ ệ ậ 3.4. Gi ứ
i pháp 4: Rèn luy n kĩ năng v n d ng b t đ ng th c 11 ả ộ ố ọ Bunhiacôpxki khi gi ậ
i m t s bài t p hình h c. ộ ố ụ ậ 3.5. M t s bài t p áp d ng 13 ủ ề ả ự ệ ế 4. K t qu th c nghi m c a đ tài 14 Ấ Ậ Ề Ế III. K T LU N VÀ Đ XU T 15 ệ ả
Tài li u tham kh o 16 18 19 20Ậ
Ế
III.K T LU N
ễ ủ ả
T kinh nghi m th c ti n c a b n thân trong quá trình d y h c, s giúp
ỡ ồ
đ đ ng nghi p, thông qua vi c nghiên c u các tài li u có liên quan đ tài đã
ả
c nh ng k t qu chính sau đây:
hoàn thành và đ t đ
ủ
ữ
ị
ự
Tr nh H u Th c
