SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH
----------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI
LỚP BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
Nhóm tác giả
1. Phan Đình Trường - P. Hiệu trưởng
2. Trương Đức Thanh - Giáo viên
NĂM HỌC 2020 2021
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH
----------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI
LỚP BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
Nhóm tác giả
1. Phan Đình Trường - P. Hiệu trưởng
2. Trương Đức Thanh - Giáo viên
NĂM HỌC 2020 2021
MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ..................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................... 1 2. Giới hạn nội dung và phạm vi áp dụng. ...................................................................... 2 3. Phương pháp nghiên cứu: ............................................................................................ 2 4. Tính mới và ý nghĩa của đề tài. ................................................................................... 3 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .............................................................................. 4 1. Cơ sở khoa học. ........................................................................................................... 4 1.1. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số ................................................................ 4 1.2. Khái niệm về giá trị lớn nhất nhỏ nhất .................................................................. 4 2. Thực trạng năng lực, chất lượng môn Toán của học sinh tại trường THPT DTNT tỉnh ....................................................................................................................... 5 2.1. Thực trạng chất lượng ........................................................................................... 5 2.2. Thực trạng năng lực học, giải toán về tính đơn điệu của hàm số .......................... 5 3. Một số kinh nghiệm về phân dạng, định hướng xây dựng phương pháp giải các dạng toán về xét tính đơn điệu của hàm số. .................................................................... 7 3.1. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết
, bảng biến thiên hoặc đồ thị của
................................................................................................................................. 7
3.2. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết
, bảng biến thiên hoặc đồ thị của
.............................................................................................................................. 16
3.3. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết biểu thức
, bảng biến thiên
hoặc đồ thị của
. ............................................................................................... 25
3.4. Bài toán xét tính đơn điệu chứa tham số ............................................................. 32 4. Kết quả đạt được ........................................................................................................ 52 5. Bài học kinh nghiệm .................................................................................................. 53 5.1.Tìm hiểu đối tượng học sinh để lựa chọn phương pháp phù hợp. ........................ 53 5.2. Khuyến khích học sinh tự tìm tòi, khám phá trong quá trình giải toán ............... 54 6. Hướng phát triển của đề tài ....................................................................................... 54 PHẦN III. KẾT LUẬN ....................................................................................................... 55 1. Kết luận ...................................................................................................................... 55 2. Kiến nghị. .................................................................................................................. 55 2.1. Đối với các cấp, ngành ........................................................................................ 55 2.1. Đối với nhà trường .............................................................................................. 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 56
DANH MỤC VIẾT TẮT
TNTHPT : Tốt nghiệp trung học phổ thông
THPT : Trung học phổ thông
THPT DTNT : Trung học phổ thông Dân tộc Nội trú
HS : Học sinh
SKKN : Sáng kiến kinh nghiệm.
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình môn toán trung học phổ thông, chủ đề hàm số được xây dựng xuyên suốt chương trình, tạo nên sự gắn bó giữa các phân môn toán học với nhau. Các bài toán về hàm số rất đa dạng, được khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau tạo nên nhiều lớp bài toán đặc trưng về hàm số.
Từ năm học 2017-2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã thực hiện đề án thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm. Nội dung chương trình chủ yếu tập trung vào chương trình khối 12, các bài toán được khai thác đưa vào đề thi rất đa dạng. Trong nội dung đề thi, bài toán về hàm số được đưa vào với tỷ lệ từ 10-15 % ở cả 3 mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng. Các bài toán về hàm số thường rất đa dạng và khó đặc biệt là các bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao . Chỉ từ một bài toán về hàm số quen thuộc, ta thay đổi một vài dự kiện thì nó sẽ “biến” thành bài toán lạ, khó đối với HS. Với thực trạng hiện nay, do áp lực của thi cử nên việc học Toán của HS thiên về các phương pháp thực dụng để giải quyết các bài toán trắc nghiệm; các em nhìn các đối tượng toán học dưới dạng tĩnh mà chưa nhìn nhận dưới dạng động; khả năng nhìn nhận, khai thác các dạng toán dưới dạng tổng thể còn hạn chế. Điều đó dẫn đến HS gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán về hàm số ở mức độ vận dụng, vận dụng cao.
Các lớp bài toán về hàm số trong đề thi TNTHPT bao gồm các dạng: Bài toán về tính đơn điệu; bài toán về cực trị; bài toán về sự tương giao, bài toán về giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Trong đó lớp bài toán về tính đơn điệu là lớp bài toán đa dạng nhất và nó cũng là cơ sở để xây dựng phương pháp giải các lớp bài toán khác.
1
Là giáo viên dạy học môn Toán ở trường THPTDTNT tỉnh, đối tượng HS chủ yếu là con em đồng bào dân tộc thiểu số thuộc vùng đặc biệt khó khăn, chất lượng đầu vào còn thấp, năng lực tư duy về toán còn nhiều hạn chế; vấn đề đặt ra làm thế nào để HS giải được các bài toàn ở mức độ vận dụng, vận dụng cao trong đề thi TNTHPT với khoảng thời gian làm bài 50 câu/90 phút. Điều đó đòi hỏi chúng tôi phải luôn phải tìm tòi, nghiên cứu để đưa ra các giải pháp phù
hợp nhằm nâng cao chất lượng giáo dục nói chung của nhà trường, chất lượng giáo dục môn Toán nói riêng.
Thực tế trong quá trình giảng dạy ôn thi TNTHPT về lớp bài toán xét tính đơn điệu của hàm số chúng tôi đã căn cứ vào cơ sở khoa học, đề thi TNTHPT, đề minh họa, đề thi tốt nghiệp các năm, các tài liệu ôn thi tốt nghiệp để từ đó phân chia thành các dạng toán, từ đó định hướng phương pháp giải và sắp xếp theo logic các dạng toán từ mức độ nhận biết, thông hiểu để mở rộng lên mức độ vận dụng, vận dụng cao. Đồng thời, trong mỗi bài toán chúng tôi đã giúp HS biết cách nhận xét bản chất bài toán, tìm tòi nghiên cứu đưa ra nhiều phương pháp giải khác nhau để HS lựa chọn phương pháp tối ưu cho mỗi bài toán. Những giải pháp đó đã giúp HS nắm được tổng thể lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số, bước đầu nhận thấy đem lại kết quả rõ rệt qua các bài kiểm tra khảo sát, kì thi TNTHPT 2019-2020. Từ những lý do trên trong thực tiễn công tác của bản thân chúng tôi đã đúc rút được kinh nghiệm “Phân dạng và định hướng phương pháp giải lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong đề thi TNTHPT”.
2. Giới hạn nội dung và phạm vi áp dụng.
- Đề tài đề cập đến một số kinh nghiệm giúp HS phân dạng, định hướng xây dựng và nắm vững phương pháp giải lớp bài toán tính đơn điệu của hàm số trong cấu trúc đề thi TN THPT.
- Khách thể nghiên cứu: HS trường THPT DTNT tỉnh Nghệ An, HS
trường Dân tộc Nội trú THPT số 2, HS trường THPT Lê Viết Thuật
- Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng tại trường THPT DTNT tỉnh
Nghệ An, trường Dân tộc Nội trú THPT số 2, trường THPT Lê Viết Thuật.
3. Phương pháp nghiên cứu:
3.1. Phương pháp khảo sát: Mục đích của phương pháp khảo sát là tìm hiểu, đánh giá thực trạng và kết quả của các vấn đề nghiên cứu. Phương pháp khảo sát có thể được tiến hành bằng nhiều hình thức khác nhau.
2
Trong đề tài này, chúng tôi sử dụng phương pháp khảo sát để tìm hiểu thực trạng năng lực Toán học; thực trạng năng lực học và giải các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số, đặc biệt chú trọng khảo sát đánh giá năng lực giải các
bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao; khảo sát việc thực hiện dạy ôn thi TNTHPT của giáo viên về lớp bài toán tính đơn điệu của hàm số.
3.2. Phương pháp phân tích: Thông qua các số liệu khảo sát, phân tích
đánh giá thực trạng việc dạy và học của HS.
3.3. Phương pháp tổng hợp: Tổng hợp mọi vấn đề liên quan để hình thành lí luận, nội dung của đề tài, vận dụng của đề tài để rút ra kết luận cần thiết. 3.4. Phương pháp khái quát hóa: Từ các số liệu, giải pháp thực nghiệm
để khái quát thành giải pháp chung cho đề tài
3.5. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực hiện áp dụng đề tài trên
một số phạm vi, đánh giá tác động của đề tài từ đó
4. Tính mới và ý nghĩa của đề tài.
- Căn cứ vào nội dung, chương trình thi TNTHPT về lớp bài toán xét tính đơn điệu hàm số; phân tích, đánh giá căn cứ vào giả thiết, yêu cầu của bài toán và tính chất đặc trưng của các hàm số từ đó chia thành các dạng, hướng dẫn HS phân tích, nhận xét bản chất bài toán, xây dựng phương pháp giải cho các dạng và sắp xếp khai thác theo trình tự logic từ mức độ nhận biết, thông hiểu đến mức độ vận dụng, vận dụng cao. Trong quá trình áp dụng, thực hiện đã giúp cho HS nắm vững tổng thể các dạng, vận dụng linh hoạt phương pháp giải lớp bài toán về xét tính đơn điệu của hàm số, tránh được một số sai lầm thường xảy ra đối với dạng toán hàm số, giải được các bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Từ đó, đã nâng cao năng lực giải toán cho HS và nâng cao kết quả thi TNTHPT môn Toán.
3
- Đề tài có thể áp dụng rộng rãi ở các trường THPT và làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên ôn thi TNTHPT và nghiên cứu các lớp bài toán khác về hàm số.
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. Cơ sở khoa học. 1.1. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số
1.1.1. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên ( là một
khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn)
- Hàm số đồng biến (tăng) trên nếu
.
- Hàm số nghịch biến (giảm) trên nếu
.
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên được gọi chung là hàm số
đơn điệu trên .
có đạo hàm trên khoảng .
.
thì hàm số đồng biến trên khoảng thì hàm số nghịch biến trên khoảng .
1.1.2. Định lí: Giả sử hàm số - Nếu - Nếu Chú ý: Nếu (hoặc
) và thì hàm số đồng biến trên khoảng chỉ tại một (hoặc nghịch biến
số hữu hạn điểm của trên khoảng ).
1.2. Khái niệm về giá trị lớn nhất nhỏ nhất
1.2.1. Định nghĩa Cho hàm số xác định trên tập
* Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu:
. Kí hiệu: .
* Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nếu:
. Kí hiệu: .
1.2.2. Định lí
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trên đoạn đó.
1.2.3. Phương pháp:
+ Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên. B1: Tính và tìm các điểm mà tại đó hoặc
hàm số không có đạo hàm.
4
B2: Lập bảng biến thiên. B3: Kết luận + Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
B1: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn
trên khoảng , tại đó hoặc
Tìm các điểm không xác định.
B2: Tính
B3: Khi đó:
Chú ý:
- Nếu đồng biến trên thì .
- Nếu nghịch biến trên thì
- Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trên khoảng đó.
2. Thực trạng năng lực, chất lượng môn Toán của học sinh tại trường THPTDTNT tỉnh 2.1. Thực trạng chất lượng * Chất lượng đầu vào lớp 10
Tổng số HS Điểm từ 9-10 Điểm từ 8 -<9 Điểm từ 7 -<8 Điểm từ 5 -<7 Điểm <5
Điểm Năm học 2018-2019 2019-2020 2020-2021 180 189 215 0 1 1 6 0 10 19 41 28 36 44 31 119 103 145
Đánh giá chất lượng đầu vào: Điểm đầu vào thấp, số em đạt điểm toán từ
8 điểm trở lên rất ít. Hơn 50% HS điểm thi toán đầu vào dưới 5 điểm.
2.2. Thực trạng năng lực học, giải toán về tính đơn điệu của hàm số 2.2.1. Thực trạng. Đánh giá việc tiếp thu và làm bài và làm bài ở các mức độ: Đối với mức độ nhận biết, thông hiểu các em làm khá tốt. Tuy nhiên ở mức độ vận dụng, vận dụng cao
có rất ít các em có thể giải được các bài toán. HS gặp nhiều khó khăn khi
giải các bài toán vận dụng, vận dụng cao.
5
2.2.2. Kết quả khảo sát
* Qua khảo sát HS 3 trường THPT bằng câu hỏi trắc nghiệm: Em nhận thấy các bài về tính đơn điệu của hàm số ở mức độ vận dụng,
vận dụng cao trong cấu trúc đề thi TNTHPT khó ở mức độ nào?
+ Mức độ vận dụng: A. Rất khó B. Khó C. Bình thường D. Dễ
Kết quả:
Rất khó Khó Dễ
Bình thường
K12 trường THPT DTNT Tỉnh 65,2 % 30,4% 4,1% 0 %
K12 trường DTNT THPT số 2 58% 33,5% 6,4% 2,1%
K12 trường Lê Viết Thuật 24,7% 31,3% 25,2% 8,8%
+ Mức độ vận dụng cao: A. Rất khó B. Khó C. Bình thường D. Dễ
Kết quả:
Rất khó Khó Dễ
Bình thường
0% K12 trường THPT DTNT Tỉnh 65,5 % 34,5% 0%
0% K12 trường DTNT THPT số 2 53,5% 46,5% 0 %
0% K12 trường Lê Viết Thuật 51,3% 42,3% 6,4%
* Qua bài kiểm tra khảo sát 45 phút ở ba lớp – Trường THPTDTNT Tỉnh năm học 2019 - 2020. (Đề được ra ở 4 mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao) Kết quả:
Lớp Tốt Khá Trung bình Yếu
12A1 2,5% 27,5% 66,5% 3,5%
12A2 0% 20,5% 72,5% 7%
12A3 0% 23,5% 71% 5,5%
Đánh giá kết quả làm bài của HS:
6
- Mức độ nhận biết, thông hiểu: Đa số các em HS làm tốt mức độ này.
- Mức độ vận dụng: Chỉ có một số em vận dụng tốt phương pháp và làm
bài tốt.
- Mức độ vận dụng cao: Hầu hết các em không nắm được phương pháp
giải.
3. Một số kinh nghiệm về phân dạng, định hướng xây dựng phương
pháp
giải các dạng toán về xét tính đơn điệu của hàm số.
Trong đề thi TNTHPT các bài toán về tính đơn điệu rất đa dạng, được đưa ra ở cả 4 mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Việc phân chia các bài toán dựa vào giả thiết và yêu cầu của bài toán.
Do đó để HS để dàng nắm phương pháp giải lớp bài toán này chúng tôi đã phân chia thành các dạng từ đó định hướng xây dựng phương pháp giải các dạng đó và phát triển cách giải cho các bài toán tổng hợp theo một trình tự logic như sau:
Trước hết chúng tôi căn cứ vào giả thiết bài toán để phân dạng thành các
trường hợp:
.
+ Cho biết hàm số + Cho biết , bảng biến thiên hoặc đồ thị của . bảng biến thiên hoặc đồ thị của
, bảng biến thiên hoặc đồ thị của
+ Cho biết 3.1. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết . , bảng biến thiên hoặc
đồ thị của
Đối với dạng này chúng tôi đã chia ra làm 3 trường hợp: Xét tính đơn
điệu của hàm số và hàm số tổng quát ,
. 3.1.1. Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết hàm số
, bảng biến thiên hoặc đồ thị của
Phương pháp: Dạng bài toán này đã được trình bày ở SGK Giải tích. 12
như sau:
B1. Tìm tập xác định. B2.Tính đạo hàm, tìm nghiệm phương trình (nếu có). Lập bảng
biến thiên
B3. Dựa vào bảng biến thiên kết luận Chú ý:
Khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số - Từ bảng biến thiên của thì ta hoàn toàn tương tự ta dựa vào dấu đạo hàm dễ dàng suy ra
khoảng đơn điệu
- Từ đồ thị của ta căn cứ vào chiều của đồ thị từ trái qua phải để kết
luận: Hướng đi lên thì đồng biến, hướng đi xuống thì nghịch biến.
7
(Đây là dạng bài toán đơn giản nên chúng tôi không đưa ra ví dụ họa)
3.1.2. Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết ,
bảng biến thiên hoặc đồ thị của
Phương pháp 1: Từ hàm số ta thay x bằng , suy ra hàm số . Ta xét sự
biến thiên của hàm số như phương pháp giải Dạng 1.
Phương pháp 2: Bước 1. Tính đạo hàm của hàm số Bước 2. Sử dụng nghiệm của phương trình
, để tìm nghiệm của lập suy ra dấu của
phương trình bảng biến thiên của hàm số từ đó dựa vào dấu của
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên kết luận. Bài toán áp dụng:
Bài 1. Cho hàm số . Hàm số đồng biến
trên khoảng:
Hướng dẫn giải Ở bài toán này ta có thể hướng dẫn HS giải theo các cách sau: Cách 1. Tìm sau đó áp dụng phương pháp Dạng 1.
Ta có:
ta dễ dàng suy ra kết quả: Đáp án
Từ đó xét hàm số Tuy nhiên ở C1 nếu thay hàm số u(x) phức tạp thì việc thay vào để tính khó khăn, làm cho học sinh dễ sai lầm. Nên ta có thể hướng dẫn HS giải
theo cách sau.
x
-1
Cách 2. Ta dễ dàng lập bảng biến thiên của hàm số như sau:
8
Đặt Ta tính.
x
-1
Lập bảng biến thiên của
Từ bảng biến thiên ta suy ra: Đáp án B Chú ý: Cách xét dấu - Ta chỉ cần chọn một khoảng bất kì, trên khoảng đó chọn 1 giá trị x thay trên sau đó dựa vào bảng biến thiên của suy ra dấu của
vào khoảng đó rồi suy ra dấu trên các khoảng còn lại
- C2 thường áp dụng cho các bài toán chỉ cho bảng biến thiên, đồ thị của
mà không cho hàm số cụ thể.
Bài 2: Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Như vậy ở bài toán này giả thiết không cho nên ta áp
dụng phương pháp 2.
Cách1.Ta có
9
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra đáp án D Chú ý: Nếu không lập bảng biến thiên ta có thể hướng dẫn học sinh giải
trực tiếp như sau
Hàm số nghịch biến
+ Trường hợp 1:
+ Trường hợp 2:
hệ bất phương trình vô
nghiệm
Kết hợp hai trường hợp ta được Chọn D
Để phát triển tư duy cho HS, kích thích sự tìm tòi, đam mê học tập của
HS đối với bài toán này ta nên định hướng học sinh giải thêm các cách sau:
Cách 2. Vì
Suy ra dấu của phụ thuộc vào dấu của Yêu cầu bài toán cần
Cách 3. Từ giả giả thiết bài toán ta nhận xét bài toán đúng với mọi hàm số có bảng biến thiên như giả thiết. Ta thấy, bảng biến thiên của hàm số có dạng của hàm bậc 3 nên ta có thể chọn hàm số như sau:
Ta giả sử
Từ bảng biến thiên ta có hệ:
Suy ra
.
10
Khi đó
.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra đáp án D Cách 4. Chúng ta dùng phương pháp thử (phương pháp này sẽ giúp
học sinh loại bỏ phương án không đúng)
Phương án A. . Ta chọn 2 giá trị thay
vào ta được tương ứng . Từ bảng biến thiên của ta có
. Suy ra hàm số không nghịch biến trên khoảng , ta loại A
Tương tự, với phương án B. sai với cách chọn
Phương án C. cũng sai với cách chọn .
Vậy đáp án đúng là D. Chú ý: Đối với phương pháp này khi hướng dẫn HS chọn 2 giá trị
thích hợp để sao cho khi thay vào ta được 2 giá trị nằm trên một
khoảng của bảng biến thiên thì ta mới so sánh được .
Cách 5: Chúng ta có có thể dùng phương pháp thử (phương pháp
này sẽ giúp HS loại bỏ phương án không đúng)
Tính . Chọn các giá trị hợp lí thuộc các đáp án
để loại bỏ các phương án sai.
Phương án A. . Chọn ta có . Dựa vào bảng
biến thiên ta có nên đáp án A sai.
Tương tự, với phương án B. sai khi chọn và thay vào
.
Phương án C. cũng sai với cách chọn và thay vào .
11
Vậy đáp án đúng là D.
Đối với những phương án thử đáp án thì giúp HS khi gặp phải những bài toán việc xét dấu gặp khó khăn. Tất nhiên phương pháp này cũng chỉ giúp HS giải quyết được ở một số bài toán.
Bài 3: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cách 1. Từ đồ thị ta có hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
và . Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Xét hàm số
Ta có , . ( là nghiệm
bội 3)
Dễ thấy (do hàm số đồng biến trên khoảng
nên )
Ta có bảng xét dấu
Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên khoảng . Đáp án D
Cách 2. Từ đồ thị ta có hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
và . Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Xét hàm số ta có .
Để hàm số đồng biến thì .
12
Ta có các trường hợp sau Trường hợp 1:
.
Trường hợp 2:
.
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và .
Đối với bài này chúng ta vẫn có thể sử dụng các cách ở Bài 2 để giải. 3.1.3. Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết , bảng
biến thiên hoặc đồ thị của
xét tính đơn điệu với các hàm số
Với cách làm tương tự như các bài ở trên ta có thể mở rộng bài toán để , , trong đó … có dạng là các hằng số. Ở đây ,
là một hàm số tổng hợp.
Dạng toán này thường nằm trong phần vận dụng cao của đề thi tốt nghiệp. Vì vậy tùy thuộc vào từng bài toán sẽ đưa ra một số định hướng riêng để giải. Tuy nhiên để giải các bài toán dạng này chúng tôi đề xuất định hướng giải chung như sau:
. Giải phương trình
. hoặc xét dấu
Định hướng giải Bước 1. Tính Bước 2. Lập bảng biến thiên Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên, dấu . kết luận.
Bài 4: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. . B. . D. .
C. . Hướng dẫn giải
nên khi xét
Nhận xét: Đối với bài toán này ta phải dựa vào dấu của có chứa .
13
dấu Ta có .
ta có thể hướng dẫn học sinh theo 2 cách sau
.
Việc xét dấu Cách 1: Từ bảng biến thiên suy ra Xét
.
.
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng và .
Cách 2:
-2
+ - -
0 0
+ - -
0
0 0
+ + +
+ + + nghịch biến trên các khoảng
Bảng biến thiên
và . Suy ra hàm số
Bài 5: Cho hàm số có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như
hình vẽ
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Ta có .
Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy:
.
14
Ta có bảng biến thiên của hàm số :
Từ bảng biến thiên chọn đáp án B.
Bài 7: Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như
hình sau.
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Ta có: .
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có:
; ;
Ta có bảng biến thiên như sau
Đối chiếu đáp án vậy ta chọn D. Đối với các bài toán ở trên chúng ta có thể hướng dẫn các em HS sử dụng
15
phương án thử đáp án để loại các phương án sai. Vì giới hạn của sáng kiến nên chúng tôi không trình bày các cách thử đáp án.
Chú ý: Trong dạng toán này việc xét dấu
HS thường gặp nhiều khó khăn. Vì vậy chúng tôi đề xuất hai hướng để các em HS có thể xét dấu của hàm số như sau:
Cách 1: Lập một bảng chung xét dấu của các hàm số , hàm số . Từ dấu của các hàm số , hàm số thì có
và hàm số thể suy ra dấu của hàm số .
Cách 2: Vẽ dạng đồ thị các hàm số
, hàm số một hệ trục tọa độ. Từ hoành độ giao điểm của các đồ thị là trên cùng chúng ta có thể
tìm được nghiệm của phương trình bằng cách cho . Sau đó
tiến hành lập bảng xét dấu của .
3.2. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết , bảng biến thiên hoặc
đồ thị của
Dạng toán xuất hiện khá nhiều trong các đề thi và chương trình ôn thi tốt nghiệp. Bài tập đa dạng và ở các mức độ thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Chúng tôi phân chia như sau:
dạng biểu thức. dạng bảng biến thiên. dạng đồ thị.
+ Xét tính đơn điệu khi cho + Xét tính đơn điệu khi cho + Xét tính đơn điệu khi cho Vì vậy tùy từng cách cho thì ta có thể đưa ra các phương án giải bài
toán.
khi biết hàm số
.
hoặc bảng xét dấu .
Bài 1: Cho hàm số . 3.2.1. Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số , bảng biến thiên hoặc đồ thị của Định hướng giải Bước 1. Giải phương trình Bước 2. Lập bảng biến thiên Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên kết luận. có đạo hàm
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng và
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
Nhận xét: Ta thấy có nên dấu của sẽ không đổi khi
16
qua vì đây là nghiệm bội chẵn của đạo hàm.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng trên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng .
Ngoài cách giải ở trên ta cũng có thể sử dụng phương pháp thử đáp án để
loại các đáp án sai.
Chú ý: + Khi xét dấu của
cần chú ý đến số nghiệm bội chẵn, bội lẻ . Qua nghiệm bội chẵn thì đạo hàm không đổi dấu, của phương trình qua nghiệm bội lẻ thì đạo hàm đổi dấu. Cách xét dấu được thực hiện giống với cách xét dấu hàm số trong mục 3.1.
thì cần chú ý khi kết hoặc đạo
+ Đối với bài toán cho bảng biến thiên hàm số luận về tính đơn điệu hàm số tại những điểm là nghiệm của hàm không tồn tại nhưng qua những điểm đó đạo hàm không đổi dấu.
+ Đối với bài toán cho đồ thị hàm số
thì cần chú ý khi kết luận về tiếp xúc với tính đơn điệu hàm số tại những điểm tiếp xúc đồ thị hàm số trục hoành. Qua những điểm này đạo hàm không đổi dấu, còn qua những điểm cắt trục hoành đạo hàm sẽ đổi dấu. Bài 2: Cho hàm số xác định, liên tục trên R và có đạo hàm
. Biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
Nhận xét: Đây là bài toán cho đồ thị hàm số nên cần chú ý như
17
sau:
+ Phần đồ thị nằm phía trên trục hoành sẽ tương ứng với + Phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành sẽ tương ứng với . .
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng
Cách 2: Quan sát đồ thị
Từ đồ thị của ta có:
trên mỗi khoảng và suy ra đồng biến +
trên mỗi khoảng và
trên mỗi khoảng và suy ra nghịch biến +
mỗi khoảng và .
3.2.2. Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số biết , bảng
biến thiên hoặc đồ thị của .
Dạng toán xuất hiện khá nhiều trong các đề thi và chương trình ôn thi tốt nghiệp. Bài tập đa dạng và ở các mức độ vận dụng và vận dụng cao. Vì vậy tùy thì ta có thể đưa ra các phương án giải bài toán. Tuy nhiên từng cách cho định hướng chung khi giải bài toán này chúng tôi đề xuất như sau:
Định hướng giải Bước 1: Xét dấu đạo hàm
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số
Bước 3: Xét dấu đạo hàm của hàm số hoặc lập bảng biến thiên
của hàm số
Bước 4: Kết luận Bài 3: (Đề thi THPTQG 2019 Mã đề 102)( dạng cho bảng biến thiên)
Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
18
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
. Ta có
Hàm số nghịch biến .
Dựa vào bảng biến thiên, ta được
.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng .
Bài 4: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018)( dạng cho đồ thị) Cho có đồ thị như hình bên. Hàm số .Hàm số hàm số
đồng biến trên khoảng:
A. . B. . C. . D. .
Nhận xét: Đây là bài toán cho đồ thị hàm số nên cần chú ý như
sau:
+ Phần đồ thị nằm phía trên trục hoành sẽ tương ứng với + Phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành sẽ tương ứng với . .
Hướng dẫn giải
Ta có:
số đồng biến khi Hàm
.
Ngoài việc giải như trên thì để thuận tiện cho việc xét dấu
ta có thể lập bảng biến thiên hoặc trục xét dấu để từ đó chọn cách xét dấu giống với cách xét dấu hàm số trong mục 3.1.
Ngoài ra đối với những dạng toán này chúng ta có thể hướng dẫn HS
phương án thử đáp án.
Bài 5: (dạng cho biểu thức) Cho hàm số có đạo hàm
. Khi đó hàm số đồng biến trong khoảng nào?
19
A. . B. . C. . D. và .
Nhận xét : Đối với dạng . Vì vậy để tính khi tính đạo hàm ta có sẽ dẫn đến giải phương trình
. Để giải phương trình này thì ta có thể làm theo các hướng sau :
bởi đã cho và giải.
+ Cách 1: Thay + Cách 2: Tìm nghiệm của vào biểu thức và cho bằng các giá trị nghiệm đó
và giải.
Hướng dẫn giải
Ta có .
Mặt khác nên .
Do đó
(Trong đó: là các nghiệm bội chẵn của phương trình:
và ).
Ta có bảng biến thiên sau.
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
và .
Chú ý: Khi giải bài toán này HS thường mắc phải các sai lầm khi tính hoặc không chú ý đến những điểm làm cho đạo hàm của hàm số
không đổi dấu nên dẫn đến kết quả sai.
Bài 6: Cho hàm số . Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ
bên dưới. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
20
A. B. C. D. .
Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị ta có . Ta có:
Bảng xét dấu:
. ; và ; Vậy hàm số đồng biến trên
3.2.3. Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết , bảng
biến thiên hoặc đồ thị của
Đây là dạng toán mức độ vận dụng cao trong các đề thi. Dạng bài tập đa thì ta có thể đưa ra các phương án giải bài dạng, vì vậy tùy từng cách cho toán. Tuy nhiên định hướng chung khi giải bài toán này chúng tôi đề xuất như sau:
hoặc . Xét Định hướng giải Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số
dấu
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số Bước 3: Xét dấu đạo hàm của hàm số hoặc bảng biến thiên của hàm
số
Bước 4: Kết luận Bài 7: ( dạng cho đồ thị) Cho hàm số . Đồ thị của hàm số
như hình bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. .
21
C. . D. .
Nhận xét: Đối với bài toán dạng này khi giải
thường đưa về bài toán tương giao của hai đồ thị. Khi đó nghiệm của phương trình là hoành độ các giao điểm. Việc xét dấu của trong các bài toán dạng này ta thường vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ. Từ đó dựa vào vị trí của hai đồ thị trên trừng khoảng để kết luận về dấu của .
Hướng dẫn giải
Xét hàm số
, , .
– ∞
-1
1
2
+ ∞
x g'
0
+
–
-
+
0
0
g(-1)
+ ∞
g
g(1)
g(2)
– ∞
Bảng biến thiên
Vậy .
Bài 8: (dạng cho đồ thị) Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa
và đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ bên dưới.
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta lập được bảng biến thiên của
như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy .
22
Xét hàm số , ta có .
Do và nên hàm số
nghịch biến trên khoảng và .
Bài 9: Cho hàm số xác định trên và có đạo hàm thỏa mãn
trong đó Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Ta có Đặt
Theo đề
. Do đó
Mặt khác
Nên
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên nhận thấy nghịch biến trên khoảng
Bài 10: [Đề minh họa lần 1 năm 2020](dạng cho đồ thị) Cho hàm số
liên tục trên và hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
23
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do đó:
Đặt . Vẽ đường thẳng và đồ thị hàm số trên cùng
một hệ trục
Hàm số nghịch biến
Như vậy .
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng và
.
nên hàm số nghịch biến trên Mà
khoảng .
Bài 11: (Đề chính thức 2018 - Mã 101) (dạng cho đồ thị) Cho hai hàm có đồ thị như hình vẽ . Hai hàm số và , số
24
bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số .
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Đặt , . Ta có .
Để hàm số đồng biến thì
với .
.Vì nên chọn B
cắt đồ thị hàm số tại , Cách 2: Kẻ đường thẳng .
Khi đó ta có .
Do đó khi .
Cách 3: Kiểu đánh giá khác:
Ta có .
Dựa vào đồ thị, , ta có , ;
, do đó .
Suy ra . Do đó hàm số đồng
biến trên .
3.3. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết biểu thức , bảng
biến thiên hoặc đồ thị của .
3.3.1 Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết biểu thức,
25
bảng biến thiên, đồ thị của .
Đối với dạng toán cho biểu thức
về dạng quen thuộc
là một dạng toán gây khó khăn trong việc suy luận cách giải cho các em HS. Thông thường các em quen với , vì vậy để giải bài toán này ta định hướng việc giải các bài toán cho trước bằng cách cho các em biến đổi từ biểu thức đổi biến . Từ đó chúng tôi đề xuất hướng giải bài toán như sau:
Định hướng giải Bước 1: Xét dấu đạo hàm
Bước 2: Đặt Bước 3: Dựa vào dấu của , xét dấu đạo hàm của hàm số
cũng là kết quả bài toán.
Bước 4: Kết luận: kết quả với biến Lưu ý: Khoảng đơn điệu của hàm số với biến
cũng là khoảng đơn . Vì hàm số không phụ thuộc vào biến, mà phụ
điệu của hàm số với biến thuộc vào cấu trúc của hàm số. Bài 1: Cho hàm số có đạo hàm là hàm số trên . Biết rằng
hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. . B. . C. . D. .
Nhận xét: Đây là bài toán cho đồ thị hàm số nên cần chú ý như
sau:
+ Phần đồ thị nằm phía trên trục hoành sẽ tương ứng với + Phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành sẽ tương ứng với . .
Hướng dẫn giải
Cách 1: Dựa vào đồ thị ta có:
.
. Đặt thì
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Phân tích: Cho biết đồ thị của hàm số sau khi đã tịnh tiến và dựa
26
vào đó để xét sự đồng biến của hàm số .
Cách 2: Tịnh tiến đồ thị Từ đồ thị hàm số tịnh tiến xuống dưới đơn vị, ta được đồ thị
hàm số (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số đơn vị, ta được đồ thị sang trái
hàm số (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Từ đồ thị hàm số , ta thấy khi
Bài 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số
như hình vẽ. Hàm số nghịch trên khoảng nào?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Đặt . Khi đó .
Ta có .
Khi đó .
27
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Bài 3: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ. Hàm số nghịch
biến trong khoảng nào trong các khoảng sau?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị suy ra .
Đặt .
Suy ra .
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng và .
Ngoài cách giải ở trên thì khi giải cho HS, chúng ta có thể hướng dẫn học
sinh giải theo cách thử đáp án.
3.3.2. Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết biểu thức
của .
+ Đối với dạng toán này thường là các bài toán mức độ vận dụng cao việc . Cách
giải bài toán gây cho HS nhiều khó khăn. Đặc biệt là việc xét dấu xét dấu chúng tôi đã nêu trong 3.1.
+ Với các bài toán mà
cho dạng đồ thị hoặc bảng biến thiên thì xuất hiện . Tùy vào từng bài toán cụ thể thì chúng ta mới đưa ra phép đổi
phương pháp phải sử dụng phép đổi biến để biến đổi biểu thức dạng biến phù hợp.
Bài 4. Cho hàm số liên tục và xác định trên , biết rằng
. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới
đây?
A. . B. . C. . D. .
Nhận xét: Vì bài toán cho nên việc xét dấu ta cần đưa về dạng
toán đã biết là cho , xét tính đơn điệu của hàm số.
28
Định hướng giải
và xét dấu đạo hàm Bước 1: Từ biến đổi về dạng
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số
Bước 3: Xét dấu đạo hàm của hàm số
Bước 4: Kết luận
Hướng dẫn giải
Ta có:
Khi đó: . Đặt .
Ta có:
.
Bảng xét dấu :
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: hàm số đồng biến
trên khoảng .
Bài 5: Cho hàm đa thức bậc bốn , đồ thị của hàm số là
đường cong trong hình vẽ bên.
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
29
A. . B. . C. . D. .
Nhận xét: Vì hàm số đã cho bậc bốn, nên biểu thức hàm số là
bậc ba. Dựa vào đồ thị ta có thể xác định được biểu thức hàm số
. Từ đó xác định được biểu thức .
Hướng dẫn giải
Vì hàm số là đa thức bậc bốn nên đạo hàm là đa thức bậc 3.
Từ đồ thị suy ra có một nghiệm kép , một nghiệm đơn
. Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm
nên .
.
.
Bảng xét dấu của :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
Bài 6: Cho hàm đa thức có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị
hàm số như hình vẽ bên. Hàm số nghịch
biến trên khoảng nào dưới đây?
30
A. . B. . C. . D. .
Nhận xét: Bài toán này xác định biểu thức rất khó khăn
nên chúng ta chọn lựa phương pháp đổi biến, với phép đặt
Hướng dẫn giải
Xét hàm số
Ta có
nghịch biến
(1)
thì bất phương trình (1) trở thành Đặt
(vì phần đồ thị của nằm phía dưới đường thẳng ).
Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án D thỏa mãn. Chọn D.
Bài 7. (dạng cho đồ thị) Cho hàm số là hàm đa thức có đạo hàm
liên tục trên và có đồ thị hàm số như hình vẽ sau.
Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
31
A. . B. . C. . D. .
Nhận xét: Dựa vào biểu thức ta có thể nhận ra dạng chúng ta
xét tính đơn điệu của . Đối với dạng này ta
thường gặp là cho đồ thị đã xét trong mục 3.2. Bài toán cần phải sử dụng đồ thị của hàm số
nên chúng ta phải sử dụng phương pháp đổi biến. Hướng dẫn giải
Ta có: .
.
Đặt sao cho trở thành , tức là
đồng nhất hai vế của (2*) ta có , vậy chọn đặt khi đó (1*) trở
, từ đồ thị của hàm số và đường thẳng ta
thành có
.
Bảng biến thiên của như sau
Qua bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng .
3.4. Bài toán xét tính đơn điệu chứa tham số
3.4.1. Cơ sở lý thuyết
32
Cho hàm số với là tham số, có tập xác định K.
- Hàm số đồng biến trên D D
- Hàm số nghịch biến trên D D ,
- Hàm số đồng biến trên
- Hàm số nghịch biến trên
Trong phạm vi nội dung đề thi TNTHPT đối với dạng toán tìm điều nào đó, chúng ta nên chia
kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một tập làm 2 dạng chính:
+ Dạng 1: Các bài toán tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên tập
khi biết biểu thức.
+ Dạng 2: Tìm điều để hàm số đơn điệu trên tập khi biết biểu thức
hoặc đồ thị của
3.4.2. Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến, nghịch
biến trên một khoảng khi biết biểu thức của .
a. Định hướng giải:
Bước 1: Tính
Bước 2: Hàm đồng (nghịch trên D biến) biến
số , trong đó dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc D
Bước 3: Căn cứ vào yêu cầu bài toán để kết luận.
Việc giải (1) ở bước 2 chúng ta định hướng cho học sinh theo 2 phương
pháp:
Phương pháp 1: Sử tính chất đặc thù của từng dạng hàm số của
( là hàm bậc nhất, bậc 2, hàm phân thức)
TH1: Nếu thì:
33
- Để hàm số đồng biến (tăng) trên
- Để hàm số nghịch biến (giảm) trên
TH2: Nếu thì:
- Để hàm số đồng biến trên
- Để hàm số nghịch biến trên
Chú ý: Đối với hàm phân số hữu tỉ thì dấu “=” không xảy ra.
Phương pháp 2:
(hay biểu thức chứa và chuyển
) ra khỏi biến . Lưu ý khi chuyển vế thành phân thức thì phải ta đưa vào bảng xét
Độc lập (tách) về một vế. Đặt vế còn lại là để ý điều kiện xác định của biểu thức để khi xét dấu dấu .
- Tính . Cho và tìm nghiệm.
- Lập bảng biến thiên của .
- Kết luận: “Lớn hơn số lớn – Bé hơn số bé”. Nghĩa là:
+ Khi ta đặt thì dựa vào bảng biến thiên ta sẽ lấy
giá trị số lớn nhất trong bảng biến thiên
+ Khi ta đặt thì dựa vào bảng biến thiên ta sẽ lấy
giá trị số nhỏ nhất trong bảng biến thiên
b. Bài toán áp dụng.
Với bài tập áp dụng trước hết ta sẽ xét đối với 4 dạng hàm số: Hàm bậc 3,
hàm trùng phương, hàm phân thức (2 dạng).
* Hàm số bậc 3, ta chia thành 4 dạng bài tập:
34
- Tìm tham số để hàm số luôn luôn đồng biến trên R
- Tìm tham số để hàm số luôn luôn đồng biến trên R
- Tìm tham số để hàm số đồng biến trên một khoảng
- Tìm tham số để hàm số đồng biến trên một khoảng
Bài 1:(Luôn luôn ĐB) Tìm tất cả giá trị thực của tham số để hàm số
đồng biến trên .
A. . C. . D. . . B.
Hướng dẫn giải
Tập xác định .
. Áp dụng phương pháp TH1
Hàm số đã cho đồng biến trên
.
Đáp án A.
Bài 2:(Luôn luôn NB) Cho hàm số , với là
tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên
?
A. 5. B. 6. C. 7. D. 4.
Hướng dẫn giải
Ta có: . Áp dụng phương pháp TH1
Hàm số nghịch biến trên , .
.
Số giá trị nguyên của để hàm số nghịch biến trên là .Đáp án C.
Lưu ý: Để phát triển năng lực toán cho HS chúng ta có thể hướng dẫn
35
HS dùng phương pháp 2 (tách tham số m)
Bài 3. [ĐỀ MINH HỌA BGD 2020 ] (ĐB trên 1 khoảng) Tập hợp tất cả đồng biến trên khoảng để hàm số các giá trị của tham số
là
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
.
Ta có Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi
.
Xét hàm số trên khoảng .
Có , .
Bảng biến thiên
.
Từ bàng biến thiên ta có Vậy . Đáp án C.
Bài 4. (Đề tham khảo THPTQG 2019) (NB trên một khoảng) Tìm tất cả nghịch biến các giá trị thực của tham số để hàm số
trên khoảng là
A. . B. . C. . D.
Hướng dẫn giải
có Ta
–
36
Đặt
Vậy .
Bài 5: Gọi
là tập hợp các giá trị nguyên dương của đồng biến trên khoảng để hàm số . Số phần tử của
bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tập xác định . .
Hàm số đồng biến trong khoảng khi ,
, .
. Xét hàm số với
với hàm số đồng biến trên
khoảng . Do đó , .
Vậy không có giá trị nguyên dương nào của thỏa mãn bài toán. Đáp án D.
(Trong bài này khi tách biến ta phải chia cho biểu thức chứa biến, giáo
viên cần lưu ý HS đối chiếu với khoảng cần xét để đặt điều kiện cho x).
Lưu ý: Ngoài phương pháp trên ta có thể hướng dẫn HS sử dụng phương pháp thử. Khi sử dụng phương pháp thử ta cần định hướng HS cách chọn giá trị m thích hợp để thử.
Ví dụ: (Bài tập 4). Ta thấy xuất hiện 2 giá trị nên trước hết ta sẽ thử
với 2 giá trị này.
+ Nếu thử , ta lập bảng biến thiên thấy
37
không thỏa mãn nên ta loại đáp án A, D, B.
+ Nếu ta thử thõa mãn thì trước hết ta loại đáp án D. Tiếp theo
ta thử không thõa mãn ta loại được đáp án A, B.
- Ta có thể hướng dẫn HS sử dụng phương pháp tam thức để làm các dạng
bài toán mà không tách được tham số
* Hàm trùng phương, ta chia thành 2 dạng bài tập:
- Tìm tham số để hàm số đồng biến trên một khoảng
- Tìm tham số để hàm số đồng biến trên một khoảng
Bài 6: Cho hàm số với là tham số thực. Tìm tất
cả các giá trị thực của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
TXĐ: . Đạo hàm:
có một nghiệm và đổi dấu từ • Nếu
sang khi qua điểm hàm số đồng biến trên khoảng nên đồng
biến trên khoảng . Vậy thỏa mãn.
• Nếu
Bảng biến thiên
.
Chọn D.
Dựa vào bảng biến tiên, ta có YCBT Hợp hai trường hợp ta được Bài 7: Tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số
nghịch biến trên khoảng là , trong đó phân
số tối giản và . Hỏi tổng là?
A. . B. . . D. .
C. Hướng dẫn giải
38
Tập xác định . Ta có .
Hàm số nghịch biến trên
.
Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: . Vậy
.
* Dạng hàm số phân thức bậc nhất, ta chia thành 4 dạng:
- Tìm tham số để hàm số luôn luôn đồng biến, nghịch biến trên từng
khoảng xác định
- Tìm tham số để hàm số đồng biến trên một khoảng (dạng này ta chia ra
TH: khoảng có chứa ; khoảng không chứa )
Bài 8: (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 104) (ĐB, NB trên từng
khoảng xác định). Cho hàm số với là tham số. Gọi là tập hợp
để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
tất cả các giá trị nguyên của Tìm số phần tử của .
A. B. C. Vô số D.
Hướng dẫn giải
;
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi
Mà nên có giá trị thỏa mãn. Đáp án D.
Bài 9: (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) (ĐB, NB trên 1 khoảng có
chứa ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số
nghịch biến trên khoảng ?
A. . B. Vô số. C. . D. .
39
Hướng dẫn giải
Tập xác định . Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
. Mà nên .
Đáp án C.
Bài 10. (NB trên khoảng không chứa ). Tìm tham số để hàm số
nghịch biến trên khoảng .
A. . C. . D. . . B.
hoặc Hướng dẫn giải
Xét hàm số . Tập xác định: ; .
Hàm số nghịch biến trên khoảng , .
.
* Hàm phân thức bậc 2, ta chia thành 4 dạng
- Tìm tham số để hàm số luôn luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
- Tìm tham số để hàm số luôn luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
- Tìm tham số để hàm số đồng biến trên một khoảng
- Tìm tham số để hàm số đồng biến trên một khoảng
Đối với dạng này khi tính đạo hàm có tử thức là hàm số bậc 2 nên ta áp dụng phương pháp như trường hợp hàm bậc 3 nên chúng tôi không lấy ví dụ minh họa.
* Tất cả các dạng ở trên chúng ta có thể khai thác mở rộng cho HS
bằng cách thay x bởi một hàm số u(x).
Phương pháp: Ta chỉ việc đặt ẩn phụ
, sau đó từ điều kiện của x với lưu ý cần xét tính đơn (Đây là vấn đề HS hay nhầm
40
suy ra điều kiện của t. Khi đó ta xét hàm số mới điệu của u(x) để suy ra điều kiện đơn điệu của lẫn, khi đổi biến nhưng không thay đổi điều kiện đơn điệu của )
Bài tập áp dụng:
Bài 11: Tất cả các giá trị của để hàm số đồng biến trên
khoảng là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Đặt . Ta có . Vì hàm số nghịch biến
trên khoảng nên yêu cầu bài toán tương đương với tìm tất cả các giá trị
của để hàm số nghịch biến trên khoảng (Như vậy điều kiện
của thay đổi)
Bài toán bây giờ được phát biểu lại: Tìm tất cả giá trị của m đề hàm số
nghịch biến trên khoảng .
Cách làm hoàn toàn tương tự như trên ta có, Đáp án D
Lưu ý: Khi đặt , nếu hàm số
giữ nguyên; nếu hàm số nghịch biến thì tính đơn điệu của đồng biến thì tính đơn điệu của được
đôi ngược lại.
* Một số dạng khác Phương pháp: Những dạng hàm số không rơi vào các trường hợp trên
thì ta chỉ xét các bài toán tách được tham số
Bài 12: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Có bao nhiêu giá trị
nguyên âm của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng
?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
41
Hàm số xác định và liên tục trên khoảng .
Ta có , . Hàm số đồng biến trên khoảng
khi và chỉ khi , . Dấu đẳng thức chỉ xảy ra
ở hữu hạn điểm trên .
,
Ta có ;
Bảng biến thiên
Suy ra
,
Mà .
Bài 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số
đồng biến trên ?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Ta có: .
Để hàm số đồng biến trên thì
Vì nên do đó ta có hai trường hợp sau:
TH1: thì: mà do đó:
, do nên .
42
TH2: thì: mà do đó:
do nên .
Vậy .
3.4.3 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến,
nghịch biến trên một khoảng khi biết ( có thể được cho dưới dạng
hàm số, đồ thị, bảng biến thiên).
Phương phápchung:
Bước 1: Tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm của hàm số
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số
Bước 3: Dựa vào dấu đạo hàm của , xét dấu đạo hàm của hàm số
Bước 4: Kết luận
Đây là dạng bài toán khó, trong đề thi TNTHPT thường nằm ở phần vận dụng cao. Chúng tôi chỉ đưa ra định hướng chung, điều quan trọng là ở mỗi bài toán giáo viên cần hướng dẫn HS nhìn nhận được sự đặc trưng của bài toán đó để có cách giải hợp lí.
Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa, qua các ví dụ này
chúng tôi định hướng phân tích để suy ra phương pháp giải.
Đối với bài toán dạng này chúng tôi phân ra làm 2 dạng:
+ Dạng 1: Đạo hàm không chứa tham số
+ Dạng 2: Đạo hàm có chứa tham số
Bài 14. (Dạng không chứa tham số) Cho hàm số có
. Có bao nhiêu số nguyên để
đồng biến trên ?
A. . B. C. D.
Hướng dẫn giải
Phân tích: Trong bài toán này, hàm số không chứa tham số nên ta
43
làm theo phương pháp chung.
0 1 2
+ 0 - 0 - 0 +
Bảng xét của
Ta có
đồng biến trên
Mà do đó
Xét hàm số có bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng biến thiên ta có do đó không tồn tại
để
Mà
Vậy có 3 giá trị nguyên của thỏa mãn. Đáp án A.
Bài 15: (Dạng không chứa tham số) Cho hàm số có đồ
thị của hàm số như hình vẽ bên dưới. Các giá trị của để hàm số
44
đồng biến trên khoảng là
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Ta có .
Hàm số đồng biến trên khoảng
Vậy thì hàm số đồng biến trên khoảng .
Bài 16: (Dạng không chứa tham số) Cho hàm số có đạo
hàm liên tục trên Đồ thị hàm số như hình bên dưới
Đặt hàm số , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu
giá trị nguyên của m thuộc đoạn để hàm số nghịch biến trên
khoảng ?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
45
Ta có :
Đặt , bất phương trình trở thành
Từ đồ thị của hàm số và đồ thị hàm số (hình vẽ bên dưới)
ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số lần lượt tại ba điểm
Quan sát đồ thị ta thấy
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng và
Bài 17:(Dạng chứa tham số) Cho hàm số liên tục trên
và có đạo hàm với mọi . Có bao nhiêu số
nguyên thuộc đoạn để hàm số nghịch biến trên
khoảng ?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích:
- Bài toán này có chứa tham số m nên ta không xét dấu
Ta thấy g(x) có dạng , nó là dạng hàm hợp của
, nhưng ở đây là hàm chứa dấu tuyệt đối, do đó giáo viên cần chú ý hướng dẫn HS theo 2
hướng.
- Căn cứ điều kiện bài toán để mở dấu tuyệt đối: Bài toán yêu cầu NB trên
, nên
- Tính đạo hàm của hàm có dấu tuyệt đối :
46
Hướng dẫn giải
Cách 1.
Suy ra
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng với mọi
(dấu chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm)
với mọi (vì )
với mọi .
Do nguyên và nên suy ra .
Vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn điều kiện.
Cách 2. Do hàm số đơn giản nên ta hướng dẫn HS tìm hàm số ,
bằng cách thay vào .
Bài 18: (Dạng không tham số) Cho hàm số có đạo hàm
với . Số giá trị nguyên âm của để hàm
số đồng biến trên ?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Phương pháp làm tương tự Bài 3.
Ta có .
Hàm số đồng biến trên khi
.
47
Đặt do
Do nguyên âm nên .
Bài 19. (Dạng không tham số ) Cho hàm số có đạo
hàm với mọi . Có bao nhiêu
số nguyên dương để hàm số nghịch biến trên khoảng .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Trong bài toán này là bài toán ngược lại cho hàm hợp
, xét sự đơn điệu của , sẽ được suy ra từ
Ta có , .
Suy ra
Vậy
Hàm số nghịch biến trên khoảng
, .
, mà nguyên dương suy ra . Vậy có 2 giá trị của
thỏa mãn.
, suy ra dấu của ta hướng dẫn HS theo 2
Lưu ý: Từ dấu của phương pháp.
về các dạng hàm hợp của , từ đó suy ra
- C1: Biểu diễn biểu thức biểu thức .
- C2: Đặt , rút qua thay vào suy ra cũng chính là
4. Bài toán tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số
48
như hình vẽ sau.
với là tham số thực. Có bao Đặt
nhiêu giá trị nguyên của để hàm số đồng biến trên khoảng
A. . B. . C. . D. .
Bài 2: Cho hàm đa thức có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị
hàm số như hình vẽ sau
Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng
nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Bài 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số
nghịch biến trên khoảng .
A. B. . D. . . C. .
Bài 4: (Đề tham khảo BGD 2017) Hỏi có bao nhiêu số nguyên để
hàm số nghịch biến trên khoảng .
49
A. B. C. D.
Bài 5. (ĐB trên từng khoảng xác định) Với giá trị tham số (với
) thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Giá trị biểu thức
A. . B. . C. . D. .
Bài 6: Gọi là tổng các giá trị nguyên của tham số để hàm
số nghịch biến trên khoảng . Giá trị là
A. . B. . C. . D. .
Bài 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số
đồng biến trên khoảng .
A. . B. . C. . D. .
Bài 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao hàm số
đồng biến trên khoảng .
A. . B. . C. . D. .
Bài 9: Cho hàm số . Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ
bên dưới. Hàm số đồng biến trên khoảng
A. . B. . C. . D. .
Câu 10: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ sau
Hàm số đồng biến trên khoảng
50
A. . B. . C. . D. .
Bài 11: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ
Hàm số nghịch biến trên khoảng
A. . B. . C. . D. .
Bài 12: (Đề tham khảo THPTQG 2019) Cho hàm số có bảng xét
dấu của đạo hàm như sau:
3
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Bài 13: Cho hàm số có bảng biên thiên như hình vẽ
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các
khoảng sau?
51
A. . B. .C. . D. .
4. Kết quả đạt được
- Với sáng kiến kinh nghiệm “Phân dạng và định hướng phương pháp giải lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong cấu trúc đề thi TNTHPT”, chúng tôi đã nghiên cứu cơ sở lý luận, tìm hiểu rõ thực trạng chất lượng đầu vào, kết quả thi TNTHPT môn Toán của học sinh; khảo sát, nghiên cứu về việc tiếp thu lý thuyết và vận dụng làm bài tập về lớp bài toán xét sự biến thiên của hàm số trong cấu trúc đề thi TNTHPT ở cả 4 mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao.Từ đó đưa ra giải pháp giúp HS nắm vững cơ sở khoa học và nắm được phương pháp giải các dạng toán về lớp bài toán xét tính đơn điệu của hàm số; nâng cao kết quả thi TN THPT môn Toán.
Qua quá trình nghiên cứu lý luận, thực trạng, thực nghiệm ở 3 trường THPT trên địa bàn thành phố Vinh và áp dụng giải pháp trên để ôn thi TNTHPT về lớp bài toán xét tính đơn điệu của hàm số trong cấu trúc đề thi TNTHPT ở cấp THPT đã đạt được những kết quả sau:
Thứ nhất, HS đã nắm vững cơ sở lý thuyết, phương pháp giải các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số, giúp các em tự tin hơn khi tiếp cận với lớp các bài toán này, hầu hết các em không còn cảm giác lo sợ khó khăn làm các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số ở các mức nhận biết, thông hiểu, vận dụng và có nhiều em đã làm được các bài ở mức vận dụng cao.
Thứ hai, khi vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trong việc ôn thi TN THPT đã giúp cho HS cảm thấy không nặng nề, khó khăn trong việc học toán, từ đó đã tạo được hứng thú, niềm say mê học tập của các em. Đồng thời qua việc áp dụng có hiệu quả ở tất cả các đối tượng HS đã tạo được động lực cho đồng nghiệp cùng áp dụng và đẩy mạnh việc sinh hoạt chuyên môn, nghiên cứu giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy.
Thứ ba, qua sáng kiến kinh nghiệm chúng tôi đã vận dụng giảng dạy trong những năm qua vào môn học mà chúng tôi đảm nhiệm đã đạt được những kết quả cụ thể:
- Qua việc luyện đề thi TNTHPT, tất cả HS đều làm được bài toán về tính đơn điệu ở mức độ nhận biết, thông hiểu, hầu hết các em đều làm được bài toán ở mức độ vận dụng và có khoảng 10% làm được ở mức độ vận dụng cao.
- Về kết quả thi THPTQG: trong năm học 2019-2020, trường THPT DTNT Tỉnh có tỷ lệ đậu tốt nghiệp 100 % trong đó môn Toán có nhiều em đạt điểm khá giỏi.
52
Cụ thể: Điểm từ 9 trở lên: 4 em; điểm từ 8 đến dưới 9: 32 em.
Tuy kết quả chưa thật cao so với các trường khác trong thành phố, nhưng
so với kết qua đầu vào thì đây là một kết quả đáng khích lệ.
- Kết quả khảo sát làm bài kiểm tra sau khi áp dụng đề tài
- Kết quả thi TN THPT năm 2019-2020
Điểm Từ 9-10 Từ 8-<9 Từ 6.5-<8 Từ5-<6.5 Dưới 5
Số lượng 4 32 61 47 31
+ Qua bài kiểm tra 45 phút ở ba lớp – Trường THPTDTNT Tỉnh năm học
2019-2020.
Từ 9-10
Từ 8-<9
Từ 6.5-<8
Từ5-<6.5
Dưới 5
+ Lần 1:
Lớp
12A1 2 4 17 4 0
12A2 1 2 13 10 1
12A3 1 2 16 8 1
+ Qua bài kiểm tra 45 phút ở ba lớp – Trường THPTDTNT Tỉnh năm học
2019-2020.
Từ 9-10
Từ 8-<9
Từ 6.5-<8
Từ5-<6.5
Dưới 5
+ Lần 2
Lớp
12A1 7 10 8 2 0
12A2 3 5 14 5 0
12A3 3 8 13 4 0
5. Bài học kinh nghiệm 5.1.Tìm hiểu đối tượng học sinh để lựa chọn phương pháp phù hợp.
53
Để lựa chọn và vận dụng các phương pháp giải toán phù hợp và hiệu quả còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố trong đó đối tượng HS giữ vai trò quan trọng bởi vì HS chính là đối tượng của quá trình nhận thức. Tùy vào trình độ, đặc điểm của HS để giáo viên lựa chọn phương pháp dạy học nào cho phù hợp. Trên thực tế không phải phương pháp nào cũng thích hợp với tất cả các đối tượng học sinh, vì vậy tìm hiểu đối tượng HS để lựa chọn phương pháp và kỷ thuật dạy học là yếu tố cần thiết để bài dạy thành công, nâng cao hiệu quả dạy học bộ môn. Để hướng dẫn các em ôn
tập về lớp bài toán xét tính đơn điệu của hàm số thì trước hết giáo viên phải tìm hiểu, nắm vững tất cả các dạng toán về tính đơn điệu từ đó phân chia thành các dạng toán tương đồng, khai thác, phát triển theo một logic nhận thức từ dễ đến khó để giúp các em nắm vững cơ sở lý thuyết, các dạng toán nền tảng, sau đó mới mở rộng, khai thác dạng nâng cao. Đồng thời, khi nghiên cứu, tìm hiểu, giải bài toán giáo viên cần định hướng cho HS cách nhìn nhận, phân tích tính đặc thù của bài toán, tìm hiểu đưa ra nhiều phương pháp giải khác nhau và đánh giá được sự tối ưu của các phương pháp để áp dụng phù hợp giúp HS giải nhanh, tiết kiệm thời gian trong làm bài.
5.2. Khuyến khích học sinh tự tìm tòi, khám phá trong quá trình giải
toán
Nên phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh bằng việc giao cho HS nghiên cứu, tìm hiểu các chủ đề Toán học phù hợp với năng lực của từng nhóm đối tượng (Nghiên cứu cơ sở lí thuyết, nghiên cứu tìm hiểu các dạng toán của chủ đề, xây dựng phương pháp giải, sắp xếp các dạng toán theo logic tư duy). Trong các tiết học luôn tạo tình huống để HS tìm tòi, nghiên cứu.
6. Hướng phát triển của đề tài
Mặc dù trong đề tài chỉ nghiên cứu trên phạm vi các bài toán về tính đơn điệu của hàm số nhưng sau khi áp dụng đã tạo được cho HS cảm giác không thấy khó khăn khi học Toán, từ đó không khí yêu thích học tập môn Toán trong các lớp học. Các em thích giải toán, tìm hiểu các bài toán khó nhiều hơn; các em đã có ý thức tìm hiểu các dạng toán theo các chủ đề và nghiên cứu phương pháp.
Việc định hướng, xây dựng các dạng bài toán theo lôgic không chỉ áp dụng đối với lớp bài toán này mà chúng tôi đang nghiên cứu hình thành ở các lớp bài toán khác: Bài toán cực trị; Bài toán sự tương giao; Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
54
Đề tài góp phần thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy theo hướng nghiên cứu bài học, phát huy phẩm chất, năng lực cho HS, tiến tới thực hiện chương trình giáo dục phổ thông 2018.
PHẦN III. KẾT LUẬN
1. Kết luận
Từ việc đưa ra phương pháp tiếp cận, khai thác kiến thức về “lớp các bài toán đơn điệu của hàm số trong cấu trúc đề thi TN THPT” bằng việc căn cứ vào giả thiết, yêu cầu của bài toán, các tính chất đặc trưng của hàm số để phân chia thành các dạng toán sau đó xây dựng phương pháp giải và sắp xếp các dạng theo logic tư duy từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp; đồng thời từ bài toán cơ bản mở rông nâng cao thành bài tổng quát. Từ đó, giúp cho HS nắm vững tổng thể các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số. Trong đề tài chúng tôi cũng đã tập trung phân tích các tính chất đắc trưng của mỗi bài toán và khai thác các cách giải khác nhau. Từ đó tạo cho các em một thói quen khi giải một bài toán biết nhìn nhận nó dưới nhiều khía cạnh, biết tự đặt ra các giả thuyết, tình huống mới để giải quyết, biết tìm tòi nhiều cách giải khác nhau; điều đó đã góp phần trong việc hình thành và phát triển tư duy sáng tạo của HS, tạo cho các em có một tư duy tốt để học tập tất cả các môn, từ đó nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện trong nhà trường.
2. Kiến nghị. 2.1. Đối với các cấp, ngành
Có những chỉ đạo, giải pháp cụ thể phù hợp với đặc thù bộ môn, đối tượng HS trong việc thực hiện đổi mới phướng pháp dạy học theo chủ đề theo hướng nghiên cứu bài học, phát triển phẩm chất năng lực cho HS nhằm chuẩn bị tiền đề thực hiện thành công chương trình giáo dục phổ thông 2018.
2.1. Đối với nhà trường
Tạo mọi điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian để giáo viên thực
hiện đổi mới về phương pháp giảng dạy
Tạo cho giáo viên quyền tự chủ xây dựng, thiết kế kế hoạch dạy phù hợp
với nội dung chương trình, đối tượng HS mà giáo viên trực tiếp giảng dạy.
SKKN: “Phân dạng và định hướng phương pháp giải lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong cấu trúc đề thi TNTHPT” mới được thực hiện trong một thời gian ngắn, kinh nghiệm còn chưa nhiều. Hơn nữa, đây chỉ mới là kinh nghiệm của bản thân chúng tôi nên không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các đồng nghiệp để đề tài này có thể được áp dụng trong các trường THPT và có thể rút ra bài học kinh nghiệm, tích lũy chuyên môn cho bản thân.
55
Thành phố Vinh, ngày 3 tháng 03 năm 2021
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Trần Tuấn Điệp – Ngô Long Hậu – Nguyễn Phú Trường (2008), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học – Cao Đẳng toàn quốc từ năm học 2002-2003 đến 2008-2009, NXB Hà Nội.
, NXB
[2]. Lê Phương Anh – Nguyễn Thị Tuyết (2018), Đột phá môn toán Đại học quốc gia Hà Nội.
[3]. Đỗ Đường Hiếu (2018), Bứt phá điểm thi THPTQG môn toán, NXB Hồng Đức.
[4]. Đoàn Quỳnh – Phạm Khắc Ban – Doãn Minh Cường – Phạm Đức – Nguyến Khắc Minh (2018), Hướng dẫn ôn tập kì thi THPTQG năm học 2017-2018 môn Toán, NXB Giáo dục Việt Nam.
[5]. Phạm Đức (Chủ biên) – Nguyễn Hải Châu – Phạm Đức Quang – Lê Thế Tùng – Nguyễn Hồng Đào (2019), Bộ đề kỳ thi THPT quốc gia năm 2019, NXB Giáo dục Việt Nam.
[6]. Phí Thị Khánh Văn (2020), Thần tố luyện đề môn Toán, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
56
[7]. Tạp chí Toán học tuổi trẻ.
