1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲ CHÂU
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
“PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG CÔNG CỤ VECTƠ CHO HỌC
SINH TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
HÌNH HỌC VÀ TÌM CỰC TRỊ HÌNH HỌC”.
Người thực hiện: Phạm Duy Khánh
Tổ:Toán – Tin
Lĩnh vực: Toán học
Điện thoại: 0987492483
Năm thực hiện: 2021 - 2022
2
Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lý do chọn đề tài.
Bất đẳng thức là một vấn đề hiện nay rất được quan tâm, trong các kì thi đại
học, trong các cuộc thi học sinh giỏi, thi Olympic hay trên tạp chí Toán học và
Tuổi trẻ bài toán bất đẳng thức rất hay xuất hiện và phương pháp chứng minh bất
đẳng thức ngày càng phong phú và đa dạng bởi tính độc đáo của nó. Để tìm được
lời giải cho bài toán chứng minh bất đẳng thức đòi hỏi người làm toán phải biết
đào sâu suy nghĩ, phân tích bài toán dưới nhiều khía cạnh và góc độ khác nhau. Vì
thế, mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức thường chứa đựng nhiều lời giải hay
và đẹp, bên cạnh đó các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng rất đa dạng
và phong phú. Nhằm trang bị thêm cho các em học sinh có kỹ năng sử dụng véctơ
cũng như năng lực sử dụng véctơ trong bài toán hình học, trong bài viết này tác giả
hướng dẫn học sinh sử dụng công cụ véctơ vào giải toán chứng minh các bất đẳng
thức và tìm cực trị hình học.
Véctơ là một khái niệm mới mẻ đối với các em học sinh bắt đầu vào lớp 10 ,
ngoài việc nắm vững khái niệm và các tính chất của véctơ thì việc áp dụng được
véctơ vào giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị hình học là công việc
hết sức quan trọng. Nhằm mục đích nâng cao khả năng sử dụng véctơ cũng như
năng lực áp dụng công cụ véctơ cho học sinh vào giải toán chứng minh bất đẳng
thức và tìm cực trị hình học, đó cũng chính là lý do Tôi chọn viết đề tài này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Có rất nhiều vấn đề mà ta có thể khai thác, tôi chọn viết đề tài này bao gồm các
mục đích sau đây:
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng công cụ véctơ vào giải toán chứng
minh bất đẳng thức hình học và tìm cực trị hình học.
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phát triền từ bài toán hình học phẳng sang hình
học không gian.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Giáo viên giảng dạy môn toán bậc THPT, học sinh THPT…
- Giáo viên bồi dưỡng đội tuyển HSG cấp Tỉnh,...
3
Phần II: NỘI DUNG
2.1. Những thuận lợi và khó khăn.
2.1.1. Thuận lợi.
- Bản thân tôi được nhà trường, tổ chuyên môn tạo điều kiện, quan tâm giúp đỡ,
phân công giảng dạy ở các lớp chọn của trường.
- Bản thân tôi là giáo viên trẻ nhiệt tình, luôn chịu khó tìm tòi sáng tạo và nghiên
cứu các tài liệu tham khảo để trau dồi chuyên môn, luôn có ý thức học hỏi và trao
đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp.
- Có rất nhiều học sinh, đặc biệt là những học sinh lớp chọn có tố chất, nhiệt tình
và luôn mong muốn tìm hiểu, khám phá những vấn đề mới của toán học.
2..1.2. Khó khăn.
Bên cạnh những thuận lợi thì tôi cũng gặp một số khó khăn nhất định sau:
- Đặc thù của môn toán là rất khó so với các môn học khác nên các em thường có
tâm lý e ngại khi học toán, chưa nói đến việc khai thác, hiểu sâu về môn toán.
- Phần lớn học sinh của trường đều có hoàn cảnh gia đình khó khăn nên các bậc
phụ huynh chưa chú trọng vào việc học của con em mình.
2.2. Thực trạng của đề tài.
- Trong giảng dạy, nếu đơn thuần chỉ truyền thụ những kiến thức cơ bản mà lãng
quên đi những hoạt động tìm tòi, nghiên cứu thì bản thân người giáo viên sẽ mai
một kiến thức và học sinh cũng bị hạn chế khả năng suy luận, tư duy sáng tạo.
- Một số học sinh mang khuynh hướng học đối phó, học để thi nên không muốn
hiểu sâu, hiểu rộng một vấn đề nào đó.
2.3. Khả năng ứng dụng và khai triển đề tài.
- Đề tài này có khả năng ứng dụng cho học sinh THPT, ôn thi học sinh giỏi, ôn thi
đại học , trường công lập , trường bán công,…
2.4. Kiến thức cơ sở về véctơ.
Trong mục này tác giả bổ sung một số kiến thức nâng cao về véc tơ.
*) Một số bất đẳng thức về véctơ : Với các véctơ
a
,
b
khác véctơ_ không, thì
a b a b
,
a b a b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a kb
(
0
k
)
4
cb
a
I
A
B
C
D
*) Một số hệ thức về véctơ liên quan đến các điểm đặc biệt trong tam giác.
+) Với
G
là trọng tâm tam giác
ABC
thì:
0
GA GB GC
+) Với
I
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
:
0
aIA bIB cIC
Chứng minh.
Ta có:
BD CD BD CD BC a
BA CA BA CA AB AC b c
suy ra
ac
BD
b c
, do đó:
c c
BD BC BI ID IC IB
b c b c

(1)
Mặt khác:
IA ID
BA BD
, suy ra BD a
ID IA IA
BA b c
(2)
Thay (2) vào (1) ta có:
a c
BI IA IC IB
b c b c
0
b c BI aIA cIC cIB aIA bIB cIC
+) Với
H
là trực tâm tam giác
ABC
thì:
tan . tan . tan . 0
A HA B HB C HC

Chứng minh.
Dựng hình bình hành
HA CB
ta có
HMB
đồng dạng với
B CB
,
Do đó:
tan
tan
AM
HB CM B
BM
AM
HB BM C
CM
, suy ra
tan tan
tan tan
B B
HB HB HB HB
C C
, tương tự ta cũng có tan
tan
A
HA HA
C
Mặt khác theo quy tắc hình bình hành ta có
HC HA HB
tan tan
tan tan
A B
HC HA HB
C C

tan . tan . tan . 0
A HA B HB C HC

+) Với
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
thì:
sin 2 sin 2 sin 2 0
OA A OB B OC C
Chứng minh.
Bình phương hai vế của đẳng thức ta có đẳng thức sau:
2 2 2 2
sin 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 sin 2 . 0
R A B C A BOA OB
P
M
H
A
C
B
B'
A'
N
5
A
B
C
M
D
E
H
K
I
D
A
B
C
M'
M
P
P'
N
N'
2 2 2 2 2
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 0
R A B C R A B C C B
2 2 2
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 2 0
A B C A B C
2 2 2
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 2 0
A B C A A
2 2 2 2 2 2
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 0
A B C A B C
+) Với
G
là trọng tâm của tứ diện
ABCD
thì ta có:
0
GA GB GC GD
.
*) Một số đẳng thức véctơ liên quan đến diện tích.
+) Trong mặt phẳng.
Cho tam giác
ABC
và
M
là điểm nằm trong tam giác
ABC
, đặt
MBC a
S S
,
MCA b
S S
,
MAB c
S S
ta có đẳng thức véctơ sau
. . . 0
a b c
S MA S MB S MC
Chứng minh.
Dựng hình bình hành
ADME
, kẻ
AH
và
BK
vuông góc với
MC
lần lượt tại
,
H K
.
Ta có:
ADME
là hình bình hành nên
MA MD ME
AHE
đồng dạng
BKM
ta có
b b
a a
S S
AE MD AH
MD MB
BM BM BK S S
, tương tự c
a
S
ME MC
S
Ta có:
. . . 0
b c
a b c
a a
S S
MA MB MC S MA S MB S MC
S S
(đpcm)
+) Trong không gian.
-) Cho tứ diện
ABCD
với
I
là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện , đặt
a BCD
S S
,
b CDA
S S
,
c BDA
S S
,
d ABC
S S
, ta có đẳng thức véctơ sau
. . . . 0
a b c d
S IA S IB S IC S ID
Chứng minh.
Đặt:
. . . .
a b c d
x S IA S IB S IC S ID
Ta có: c cMAB MDAB
MAC MDAC b b
S SS V
MB
MB MC
MC S V S S
